MATEMÁTICA FINANCEIRA E ENGENHARIA ECONÔMICA: a teoria e a prática

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA Roberta Torres MATEMÁTICA FINANCEIRA E ENGENHARIA ECONÔMICA: a teoria e a prática Trabalho de Coclusão de Curso submetido ao Curso de Matemática Habilitação Liceciatura como requisito parcial à obteção do título de Liceciado em Matemática. Orietador: Prof. Roberto Meurer Floriaópolis, juho de 2004

2 Esta Moografia foi julgada e adequada como TRABALHO DE CONCLUSÃO DE CURSO o Curso de Matemática Habilitação Liceciatura, e aprovada em sua forma fial pela Baca Examiadora desigada pela Portaria 28/SCG/04. Prof.ª Carmem Suzae Comitre Gimeez Professora da disciplia Baca Examiadora: ROBERTO MEURER Orietador FERNANDO GUERRA NEREU ESTANISLAU BURIN

3 TORRES, Roberta. Matemática Fiaceira e Egeharia Ecoômica: a teoria e a prática. Floriaópolis: UFSC, p. (Trabalho de Coclusão de Curso apresetado ao Curso de Matemática Liceciatura da Uiversidade Federal de Sata Cataria). Palavras-Chaves: Matemática Fiaceira, Egeharia Ecoômica.

4 Dedico aos meus pais, Juares e Luci, e ao meu amorado, Rômulo.

5 AGRADECIMENTOS À toda miha família, pelo cariho, apoio e icetivo, em especial aos meus pais, Juares e Luci. Aos meus colegas de turma, pelos bos mometos que passamos jutos. Aos professores que cotribuíram pela miha formação. Ao meu amorado, Rômulo, pelo sigificado que tem a miha vida, pela compahia, ajuda e paciêcia as horas difíceis.

6 SUMÁRIO Dedicatória Agradecimetos Sumário Resumo 1. INTRODUÇÃO 2. INTRODUÇÃO À MATEMÁTICA FINANCEIRA 2.1. Coceitos Fudametais 2.2. Taxa de Juros Juros Atecipados Juros Postecipados Juros Nomiais / Efetivos / Reais Juros Simples Juros Compostos 2.3 Equivalêcia de Taxas 2.4 Aálise de Situações Especiais Primeira Situação Seguda Situação Terceira Situação Quarta Situação Quita Situação Sexta Situação Sétima Situação 3. ENGENHARIA ECONÔMICA 3.1. Coceitos, pricípios e cosiderações 3.2. Métodos Clássicos de Aálise de Ivestimetos Método do Custo Aual Uiforme (CAU) Método do Valor Atual (VA) ou Valor Presete Líquido (VPL) Método da Taxa de Retoro (TIR) Método da Taxa de Retoro Icremetal (TRI) 3.3. O Efeito do Imposto de Reda (IR) Ivestimetos de Substituição Ivestimetos de Expasão Ivestimetos de Moderização 3.4. Leasig 3.5. A Ifluêcia da Iflação CONSIDERAÇÕES FINAIS REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

7 RESUMO Este trabalho procura fazer a pote etre a Matemática Fiaceira e a Egeharia Ecoômica. Para isto, parte dos coceitos básicos da Matemática Fiaceira até os pricipais métodos de aálise de alterativas de ivestimeto. Na primeira parte do trabalho, basicamete sobre Matemática Fiaceira, são abordados coceitos tais como juros, equivalêcia de taxas e aálise de situações especiais. Na seguda parte do trabalho, sobre Egeharia Ecoômica, são apresetados os pricípios, coceitos, métodos clássicos da aálise de ivestimetos (CAU, VA, TIR, TRI), ifluêcia do imposto de reda (IR) e da iflação, além de um tópico sobre leasig.

8 1 1. INTRODUÇÃO Este trabalho busca aliar os coceitos teóricos desevolvidos ao logo do tempo pela Matemática Fiaceira aos aspectos práticos dos ivestimetos produtivos, preocupação primeira o mudo dos egócios, que se covecioou chamar de Egeharia Ecoômica. A Egeharia Ecoômica desevolve seus estudos voltados à área produtiva, preocupado-se, primeiramete, com o ivestimeto de logo prazo, abordado diversos aspectos da seleção e substituição de equipametos, a melhoria de processos, a compra ou costrução de imóveis, a implatação ou substituição de platas idustriais, o laçameto ou substituição de produtos, etc. Pretedo com este trabalho, ão só apresetar as ferrametas básicas para a aálise de ivestimetos por meio dos coceitos da Matemática Fiaceira, mas, também, as diversas formas de utilização destas as empresas ou órgãos goverametais, mediate os deomiados Métodos Clássicos de Aálise de Ivestimetos, que são as técicas de aálise utilizadas por estas istituições. O trabalho é dividido, basicamete, em duas partes: Matemática Fiaceira e Egeharia Ecoômica, respectivamete. A primeira parte trata da abordagem dos coceitos e demostração de fórmulas da Matemática Fiaceira, que mais tarde serão aplicados os problemas de Egeharia Ecoômica, correspodete à seguda parte do trabalho. Primeiramete esses coceitos serão abordados em um ambiete perfeito, ou seja, sem a preseça de aspectos particulares de cada ecoomia, como por exemplo, o Imposto de Reda (IR) e a Iflação, que serão embutidos posteriormete a aálise.

9 2 2. INTRODUÇÃO À MATEMÁTICA FINANCEIRA A Matemática Fiaceira é a pricipal ferrameta da Egeharia Ecoômica. Para comparar as diversas opções de ivestimetos toma-se por base a Matemática Fiaceira, ode os cohecimetos matemáticos ecessários para tato são muito simples. Os cohecimetos básicos são: Progressão Aritmética (PA), Progressão Geométrica (PG) e a combiação de ambas. Além das fórmulas e coceitos matemáticos há outros coceitos subjacetes às fórmulas dos fatores, os quais são tão ou mais importates que estes. Primeiramete, estuda-se estes coceitos para depois se voltar às fórmulas e coceitos matemáticos CONCEITOS FUNDAMENTAIS - Fluxo de Caixa: É a represetação das cotribuições moetárias (etradas e saídas de diheiro) ao logo do tempo. É um coceito imprescidível para a solução dos problemas que serão discutidos ao logo deste trabalho. O fluxo de caixa pode ser represetado de forma algébrica ou gráfica. - Represetação Gráfica do Fluxo de Caixa: é a maeira pela qual se pode expressar, através de gráficos, a etrada e saída de umerário de um ivestimeto, de um projeto, ou até mesmo todo o fluxo fiaceiro. Na represetação gráfica do fluxo de caixa são adotadas as seguites coveções: a) O eixo horizotal represeta o tempo () a partir de um istate cosiderado iicial até um istate cosiderado fial o prazo em questão. Tem sua origem a extremidade esquerda, se projetado para a direita em direção ao futuro. b) Os valores referetes a desembolso, ou saídas de diheiro, são cosiderados algebricamete egativos e represetados por uma seta orietada para

10 3 baixo. As receitas, ou etradas de diheiro são valores cosiderados algebricamete positivos e são represetados por uma seta orietada para cima. c) A taxa de juros a que o fluxo se ecotra submetido e que deverá correspoder preferecialmete ao mesmo período ficará ao lado direito do fluxo, como segue a figura abaixo. Para estudar a represetação algébrica do fluxo de caixa são ecessários algus coceitos que serão vistos a seguir. Simbologia e outros coceitos fudametais Esta simbologia que será vista a seguir ão é a úica existete, mas é a mais uiversalmete aceita, portato ecotrada com maior facilidade em bibliografias do gêero.

11 4 i represetará a taxa de juros por período de capitalização. A represetação de juros pela letra i se deve ao fato de provir da palavra iglesa iterest. Se a taxa de juros i for, por exemplo, 10% a.a. (ao ao), ela é substituída as fórmulas por i = 0,10 (10/100) e ão por i = 10. úmero de períodos de capitalização. Um período represeta qualquer uidade de tempo (dia, mês, bimestre, ao, etc.) e deverá correspoder à periodicidade da taxa de juros. P quatia existete ou equivalete o istate iicial e cohecido por Valor Presete ou Valor Atual. Localizada à esquerda do fluxo de caixa. S represetará a somatória do pricipal mais os juros, ou motate, ou valor futuro, correspodetes a uma importâcia de diheiro capitalizada após períodos de tempo, sujeita à determiada taxa de juros i. Localizada à direita do fluxo de caixa. R represetará uma série de pagametos e/ou recebimetos omialmete iguais, que serão efetivados o fial de cada período, desde o período iicial 1 até o período de ordem. É o que ormalmete é chamado de prestação. Estes cico coceitos (i,, P, S e R) compõem o que se deomia Triâgulo de Equivalêcia.

12 5 Poderá haver situações em que é possível utilizar pelo meos mais um outro coceito, chamado Série em Gradiete de Pagametos e/ou Recebimetos. G represetará uma série em gradiete de pagametos e/ou recebimetos, cujos valores omiais crescem uiformemete ao logo do tempo. Trata-se, portato, de uma P.A. (Progressão Aritmética). Este ovo coceito trasforma o Triâgulo de Equivalêcia em uma Pirâmide de Equivalêcia TAXA DE JUROS Um dos coceitos básicos da Matemática Fiaceira e da Egeharia Ecoômica é: Não se pode comparar, somar ou subtrair diheiros ($) que se ecotrem em datas diferetes (PILÃO, 2003, p. 13). Este coceito dará suporte para o estudo do

13 6 coceito de taxas de juros e de equivalêcia de capitais. A taxa de juros será a pote etre diheiros que se ecotrem em datas diferetes. No mudo dos egócios pode-se afirmar que a taxa de juros é a remueração recebida pelo capital ivestido, ou paga pelo empréstimo cotraído JUROS ANTECIPADOS São aqueles cobrados o iício de cada período JUROS POSTECIPADOS São aqueles cobrados ao fial de cada período JUROS NOMINAIS / EFETIVOS / REAIS Taxa efetiva É aquela em que a uidade de referêcia de seu tempo coicide com a uidade de tempo dos períodos de capitalização. Assim, são taxas efetivas: 3% ao mês, capitalizados mesalmete; 4% ao semestre, capitalizados semestralmete. Taxa omial É aquela em que a uidade de referêcia de seu tempo ão coicide com a uidade de tempo dos períodos de capitalização. A taxa omial é quase sempre forecida em termos auais e os períodos de capitalização podem ser semestrais trimestrais ou mesais. Exemplos de taxas omiais: 12% ao ao, capitalizados mesalmete; 24% ao ao, capitalizados mesalmete. Taxa Real É a taxa efetiva corrigida pela taxa iflacioária do período da operação.

14 JUROS SIMPLES Os juros simples caracterizam-se pela icidêcia de ídices simples sobre o pricipal, assim, os juros de qualquer período são sempre iguais. J1 = J2 = J3 =... = Jk =... = J Pela simbologia utilizada, tem-se: Jk = P i Como em juros simples todas as parcelas são sempre iguais sua somatória o futuro, após períodos, será: Somatória dos juros = P i Agora, queredo-se cohecer para determiada aplicação, sujeita a juros simples, qual o valor o futuro (S), este será obtido através da fórmula: = + S = P + ( i ) S P P i [1 ] JUROS COMPOSTOS Os juros compostos caracterizam-se pela icidêcia de uma taxa de juros simples sobre o pricipal mais juros vecidos, o que fará com que: J1 J2 J3... J e J1 < J2 < J3 <... < Jk <... < J

15 8 Fórmula fudametal para juros compostos A fórmula fudametal para juros compostos poderá ser obtida a partir da somatória das diversas parcelas de juros ao pricipal, portato, é a fórmula que proporcioará o valor futuro ou motate de determiada aplicação ou fiaciameto após períodos de capitalização. Assim, tem-se: VALOR FUTURO = PRINCIPAL + JUROS Pela forma de represetação, utilizada a motagem algébrica do fluxo de caixa, ela será idetificada como ( P S) presete e desejar cohecer seu valor o futuro. A fórmula será: i, e será utilizada quado se tiver um valor o S = P (1 + i) Fator de Valor Atual para Pagameto Úico Agora, cohecedo S, i, e desejado saber qual o valor de P que lhe deu origem basta iverter a fórmula fudametal e multiplicar S por 1 (1 + i) e tem-se o valor correspodete o presete. O fator será ( S P) i. Assim, tem-se: S P = (1 + i) 2.3. EQUIVALÊNCIA DE TAXAS É utilizada em períodos fracioados. Nestes casos, é ecessário ecotrar a taxa equivalete ao período dado.

16 9 Equivalêcia de Juros em Juros Simples Como a taxa é liear ao logo do tempo para obter a taxa equivalete basta dividir ou multiplicar, depededo do caso, o úmero de períodos que um couber detro do outro pela taxa do período cohecido em relação ao desejado. Equivalêcia de Juros em Juros Compostos Deve-se seguir a mesma regra de equivalêcia em juros simples, porém, ão pode ser feita pela simples multiplicação ou divisão de períodos, já que os juros compostos obedecem a uma taxa expoecial. No caso de juros compostos faz-se ecessária a composição das taxas, ode tem-se a fórmula: I = [(1 + i) ] 1 Ode: I = taxa de juros para a uidade de período maior; i = taxa de juros para a uidade de período meor; = úmero de períodos meores ecessários para compor o maior. Tedo-se a taxa para um período maior e desejado ecotrar a taxa para um período meor, basta iverter a operação. Assim tem-se: i= + 1/ [(1 I) ] ANÁLISE DE SITUAÇÕES ESPECIAIS Equivalêcia. O que se fará agora é a iterligação do vértice do Triâgulo de

17 PRIMEIRA SITUAÇÃO Cohecedo R, e i deseja-se cohecer P. A esta situação deomia-se de Fator de Valor Atual para uma Série Uiforme de Pagametos e/ou Recebimetos, ou fator ( R P) i. Para demostrar a fórmula matemática será utilizado o seguite exemplo: Um bem foi adquirido por um preço à vista de $ ,00 que deverão ser pagos em 5 parcelas mesais iguais e cosecutivas, vecedo cada uma o fial de cada mês. Se os pagametos fossem feitos sem juros, ter-se-ia $ ,00 / 5 = $ ,00. Supodo que a taxa de juros seja de 10% ao mês. Etão, passado um mês, os juros a pagar seriam de $10.000,00. O valor das prestações mesais a serem pagas, computado-se juros compostos e postecipados de 10% a.m. e = 5, seria de R = $26.379,75. Se a prestação R é de $26.379,25 $10.000,00 (juros), etão, $16.379,25 servirão para amortizar parte da dívida. Isso fará com que a cada ovo período teha sempre uma dívida diferete, portato, o saldo devedor será sempre meor. No segudo mês, por exemplo, tería-se $ ,00 $16.379,75 = $83.620,25, sobre os quais passariam a icidir os juros, coforme quadro abaixo: Fial do Dívida $ Juros $ Amortização Prestação 1º mês , , , ,75 2º mês , , , ,75 3º mês , , , ,75 4º mês , , , ,75 5º mês , , , ,75 Pode-se afirmar que desejado saber qual o valor o presete que substitui a série uiforme de cico pagametos com valor de $26.379,75 cada um, basta tirar dos valores correspodetes a cada uma das datas os juros eles embutidos, para isso, devese deslocar cada um deles para a data zero. Assim, tem-se: ( i) 1 R 1/ 1+ laçameto da 1ª prestação para a data 0.

18 11 ( i) 2 R 1/ 1+ ( i) 3 R 1/ 1+ ( i) R 1/ 1+ laçameto da 2ª prestação para a data 0. laçameto da 3ª prestação para a data 0. laçameto da eésima prestação para a data 0. 1 Somatória a data 0 = R/1 ( + i) + + R/1 ( + i). Etão, pela simbologia usada e colocado R em evidêcia, tem-se: 1 ( ) ( ) P= R 1/ 1+ i + + 1/ 1+ i (1) Etre colchetes tem-se a somatória dos primeiros termos de uma P.G., com primeiro termo a 1 = 1/(1 + i) e razão q = 1/(1 + i). Pela fórmula da somatória dos termos de uma P.G., tem-se: a = ( q ) 1 1 q 1 Fazedo a substituição, tem-se: ( i) ( ) ( i) ( ) ( ) ( ) 1/ / = = ( 1+ i) 1/ 1+ i i / 1+ i 1+ i ( i) ( i) ( i) ( i) 1/ 1 1 1/ / = = = 1 1+ i i Substituido esse resultado em (1), tem-se:

19 12 ( i) 1 1+ P= R i Assim, ecotra-se a fórmula matemática para o fator ( cohecedo R, e i é ecotrado P. R P) i, ou seja, Exemplo: Seja R = $26.379,75, = 5 e i = 10% a.m., qual seria o valor presete (P) que deu origem à série uiforme? Solução: 1 1 ( 1,10) 5 P= , 75 P= , 00 0, SEGUNDA SITUAÇÃO Cohecedo P, e i deseja-se cohecer R. Esta situação deomia-se Fator de Recuperação de Capital, ou fator ( ). P R A fórmula para esta situação, assim como todas as outras que se relacioam com o R, será obtida cosiderado-se os mesmos pré-requisitos da 1ª situação. Tem-se, pela 1ª situação, que: i 1 1 ( 1+ i) P= R i Logo, precisa-se isolar R para obter-se a fórmula do fator ( P R) i. Assim, tem-se:

20 13 i R= P 1 ( 1+ i) Ou seja, cohecedo-se P, e i ecotrou-se R. Exemplo: Seja P = $ ,00, = 5 e i = 10% ao mês, determiar o valor das prestações (R) suficietes para pagar todos os juros devidos ao logo do tempo e o pricipal. Solução: 0,10 R= , 00 R= $26.379, ( 1,10) TERCEIRA SITUAÇÃO Cohecedo-se R, e i deseja-se cohecer S. Esta situação deomia-se Fator de Valor Futuro para uma Série Uiforme de Pagameto e/ou Recebimeto, ou fator ( R S) i. Para demostrar a fórmula matemática deve-se pegar as prestações de valor R, que iiciam o período de ordem 1 até ordem, e utilizar a fórmula fudametal para juros compostos, ( P S) i somatória dos resultados obtidos. Assim, tem-se:, para laçar cada uma das parcelas para a data e efetuar a ( 1 i) 1 R + laçameto da 1ª parcela para o futuro. ( 1 i) 2 R + laçameto da 2ª parcela para o futuro. ( 1 i) 1 R + laçameto da peúltima parcela para o futuro. ( 1 i) 0 R + laçameto da parcela para o futuro.

21 14 Efetuado-se a somatória, tem-se: 0 1 ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) = R + i + R + i + + R + i 1 Colocado R em evidêcia, tem-se: = R + i + + i i 0 1 ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) 1 Etão, pela simbologia usada, tem-se: 0 1 ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) 1 S = R + i + + i i (2) Etre colchetes tem-se, ovamete, a somatória dos primeiros termos de uma P.G., com primeiro termo a 1 = 1 e razão q = (1 + i). Pela fórmula da somatória dos primeiros termos de uma P.G., tem-se: ( i) ( i) ( i) = 1 = 1+ 1 i Substituido esse resultado em (2), tem-se: [(1 + i) ] 1 S = R i Assim, foi ecotrada a fórmula matemática para o Fator ( cohecedo-se R,,e i ecotrou-se S. R S) i, ou seja, Exemplo: Seja R = $26.379,75, = 5 meses e i = 10% ao mês, determiar o valor de S caso ão se tivesse pagado ehuma das prestações e precisasse quitá-las a data de vecimeto da eésima prestação. Solução:

22 15 5 [(1,10) ] 1 S = ,75 S = $ ,01 0, QUARTA SITUAÇÃO Cohecedo S, e i deseja-se cohecer R. Esta situação deomia-se Fator de Fudo de Amortização, ou fator ( S R). Tem-se, pela terceira situação, que a fórmula do Fator ( R S) é : i i [(1 + i) ] 1 S = R i Etão, basta isolar R para obter a fórmula do Fator ( S R). Assim, temse: i i R= S [(1 + i) ] 1 Ou seja, cohecedo-se S, e i ecotra-se R. Exemplo: Seja i = 10% ao mês, = 5 meses e S = $ ,01, determiar o valor das prestações para que a dívida seja quitada o 5 mês. Solução: 0,10 R= , 01 R $26.379, 75 5 = [(1,10) ] 1

23 QUINTA SITUAÇÃO Cohecedo G, e i deseja-se cohecer S. Esta situação deomia-se Fator de Valor Futuro para Séries em Gradiete, ou fator ( G S). Para que o Gradiete (G) possa ser utilizado, devem ser satisfeitos três prérequisitos: 1) Data 0 valor ulo ; 2) Data 1 valor ulo ; 3) Gradiete razão, o crescimeto, ou a difereça etre os valores das datas 2 e 1. Esta situação ocorrerá quado for preciso deslocar ao logo do tempo uma série de pagametos e/ou recebimetos que crescem liearmete a partir do segudo até o eésimo período e deseja-se ecotrar o seu valor futuro. Para isso, deve-se raciociar como se esta série fosse decomposta em séries uiformes (R) com períodos que vão de 1 até 0. Portato, deslocado-se todas estas séries uiformes desde 1 até 0 para o futuro por meio do fator ( R S ) i e fazedo-se a somatória dos valores ecotrados a data correspodete ao fial do eésimo período, será possível cohecer S. Assim sedo, substituido-se a fórmula ( R S) o valor de R pelo de G e procededo-se como se em cada uma das séries decompostas o valor da série uiforme fosse o valor de G, com seus respectivos períodos, tem-se: (A) S 2 ( i) G =, ode o S 2 é o motate da data 2 até. i (B) S 3 ( i) G =, ode o S 3 é o motate da data 3 até. i Aalogamete, o motate parcial correspodete ao último período, será:

24 17 (C) S 1 ( i) 1+ 1 = G = 1 i dado por: Portato, somado-se os diversos S ecotrados tem-se o motate, que será S S1 S2 S3 S 1 = + + +, ou 1 ( i) ( i) S = G + + G i i Fazedo-se a somatória e colocado G em evidêcia, tem-se: 1 ( 1+ i) 1 ( 1+ i) S = G + + i i 1 S = G ( 1+ i) + + ( 1+ i) ( 1) i S = G ( 1+ i) + ( 1+ i) + + ( 1+ i) + 1 i i Coforme demostrado a terceira situação especial, a somatória etre os primeiros colchetes correspode ao fator ( R S) i, cuja fórmula é: [(1 + i) ] 1 S = R i Substituido-se R pelo G, coforme explicado, tem-se o fator ( G S) : i ( 1 i) ( 1 i) 1 S G + = S = G 2 i i i i i

25 18 Tem-se, etão: (1 + i) 1 S = G 2 i i Ou seja, cohecedo-se G, e i ecotra-se S. Exemplo: Qual a somatória dos valores a data 12 (31/12/2002) do fluxo de caixa (tabela), cosiderado-se que para tato foram gastos $ ,00 a data zero (01/01/2002) e uma taxa de juros de 5% ao mês. Mês Valores líquidos Mês Valores líquidos Ja/2002 Fev/2002 Mar/2002 Abr/2002 Mai/2002 Ju/ , , , , , ,00 Jul/2002 Ago/2002 Set/2002 Out/2002 Nov/2002 Dez/ , , , , , ,00 Solução: S = Σ em 31/12/2002 = ( P S) ( R S) ( G S) , , , 00 5% 5% 5% ( ) ( ) ( 0,05) 12 1, , S = ,00 ( 1,05) , ,00 2 0,05 0,05 S =+ $14.643, SEXTA SITUAÇÃO Cohecedo-se G, e i deseja-se cohecer P. Esta situação deomia-se fator ( G P) i. Partido dos mesmos pricípios da quita situação, caso deseja-se saber o valor o presete correspodete a uma série em gradiete, deve-se deslocar o valor

26 19 obtido pelo fator ( G S) para a data zero do fluxo. Para isso, basta multiplicar o resultado obtido pelo fator ( G S) pelo fator ( S P) que se ecotra subjacete ao fator ( G S) pelo fator ( P S) resultado o fator ( G P) i. Assim, tem-se:, ou aida, dividir a fórmula para obter como P = G ( G S) ( 1+ i) i Ou seja, cohecedo-se G, e i ecotra-se P. Exemplo: Utilizado a mesma tabela do exemplo da 5 situação, deseja-se saber qual o valor correspodete a tal fluxo a data zero. Solução: P = Σ em 01/01/2002 = ( R P) ( G P) , , , 00 5% 5% ( 1, 05) ( 1, 05) P , , 00 = , ,05 ( 0,05) 0,05 ( 1,05) P =+ $8.152, SÉTIMA SITUAÇÃO ( ) i fator G R. Cohecedo-se G, e i deseja-se cohecer R. Esta situação deomia-se

27 20 Para ecotrar a fórmula matemática do fator deve-se partir da mesma idéia dos fatores para gradiete ateriormete ecotrados. Tem-se que o fator ( G S) i é dado pela fórmula: ( G R) i (1 + i) 1 S = G 2 i i Desdobrado-a, tem-se separadas as fórmulas de ( R S) i e o complemeto referete à Gradiete. Substituido o fator ( R S) i pelo fator ( S R), como segue, é obtido o fator ( G R). Assim sedo: i i [ 1+ i] 1 1 S = G i i i ( R S) ( G R ) i Portato, substituido-se ( R S) por ( S R), tem-se que o fator será: i i 1 i R = G i [(1 + i) ] 1 i Ou seja, cohecedo-se G, e i ecotra-se R. Exemplo: Uma pessoa deveria receber este ao valores que começam a vecer o fial do mês de jaeiro de $5.000,00 por mês, que se estederão crescedo até o fial de dezembro, a partir de fevereiro, à razão de $1.000,00 por mês (gradiete = $1.000,00). Como esta pessoa sabe que seu devedor terá dificuldades para coseguir tais valores, está pesado em propor-lhe o pagameto de parcelas omialmete iguais ao logo dos 12 meses. Se ela cosiderar uma taxa de juros de 6% ao mês, de quato será o valor da prestação que irá receber?

28 21 Solução: 1 0,06 12 R = 1.000, , , 06 + [(1, 06) ] 1 0, 06 R = $9.811, 26

29 22 3. ENGENHARIA ECONÔMICA 3.1. CONCEITOS, PRINCÍPIOS E CONSIDERAÇÕES Até o mometo, por itermédio da Matemática Fiaceira, foi tratado de provideciar as iformações ecessárias acerca da importâcia de se cosiderar o valor do diheiro o tempo. A partir da absorção dos coceitos da Matemática Fiaceira é possível fazer uso da Egeharia Ecoômica. A Egeharia Ecoômica, coforme defiição apresetada por E. L. Grat e W. Ireso, o livro Priciples of Egieerig Ecoomy, compreede os pricípios e técicas ecessárias para se tomar decisões relativas à aquisição e à disposição de bes de capital, a idústria e os órgãos goverametais. Pode-se, de maeira geral, defiir Egeharia Ecoômica como o cojuto de cohecimetos ecessários à tomada de decisão sobre ivestimetos. Aida que os coceitos básicos teham se origiado a idústria, a partir de problemas de atureza técica, os métodos de ivestimetos, que serão apresetados a seguir, são gerais e suas aplicações ão se restrigem apeas ao campo da egeharia. Problemas de fiaciameto, questões de aplicação de capital, etre outros, são igualmete passíveis de aálise pelos métodos da Egeharia Ecoômica. Justifica-se o ome, Egeharia Ecoômica, porque grade parte dos problemas de ivestimeto depedem de iformações e justificativas técicas e porque a maioria das orgaizações tais decisões são tomadas ou por egeheiros, ou por admiistradores agido com base as recomedações dos egeheiros. Em resumo, um estudo de Egeharia Ecoômica evolve: a) Defiição do problema; b) Determiação das alterativas tecicamete viáveis; c) Determiação e avaliação quatitativa das difereças futuras obteção do diagrama de fluxo de caixa de cada alterativa; d) Maipulação dos diagramas e aplicação de critérios de decisão para a obteção da alterativa mais ecoômica a avaliação qualitativa das alterativas, iclusão dos fatores impoderáveis e modificação da decisão aterior se for o caso.

30 23 Efim, tora-se ecessário estabelecer métodos de comparação e critérios de decisão que permitam represetar cada alterativa por um úmero e que idiquem a solução mais ecoômica. Segudo Hummel e Tascher, algus aspectos ão devem ser esquecidos jamais ao se motar um modelo para a tomada de decisão em Egeharia Ecoômica. Esses aspectos são: 1) Não existe decisão a ser tomada, cosiderado-se alterativa úica: para tomar qualquer decisão, devem ser aalisadas todas as alterativas viáveis, ode as alterativas devem ser, o míimo, duas, ao cotrário, a decisão já estará tomada. 2) Só podem ser comparadas alterativas homogêeas: por exemplo, ão será possível a comparação etre a compra de um apartameto em um bairro obre ou a compra de um apartameto em um bairro pobre. Para fazer a comparação dessas alterativas deve-se coseguir a homogeeidade dos dados. 3) Apeas as difereças de alterativas são relevates: se todas as alterativas que estão sedo aalisadas possuírem séries de custos ou receitas iguais, elas ão serão importates para decidir qual das alterativas é melhor, pois suas difereças irão se aular. 4) Os critérios para decisão de alterativa ecoômica devem recohecer o valor do diheiro o tempo: para fazer a comparação etre alterativas de ivestimeto deve-se igualar o tempo de vida ou de utilização das mesmas. 5) Não devem ser esquecidos os problemas relativos ao racioameto de capital: sempre que uma alterativa de ação for proposta, admite-se, a pricípio, que existe capacidade de ivestimeto. 6) Decisões separáveis devem ser tomadas separadamete: todos os problemas e alterativas ecoômicas de ivestimeto devem ser cuidadosamete avaliados para determiar qual o úmero, tipo e seqüêcia das decisões ecessárias. 7) Deve-se sempre atribuir um certo peso para os graus relativos de icerteza associada às previsões efetuadas: isso serve para assegurar que a qualidade da solução seja cohecida e recohecida pelos resposáveis pelo processo de tomada de decisão. 8) As decisões devem levar também em cosideração os evetos qualitativos ão quatificáveis moetariamete: as difereças de alterativas devem

31 24 assumir uma uidade quatificável comum, geralmete uidade moetária, para forecer uma base para a escolha dos ivestimetos. Etretato, os evetos ão quatificáveis devem ser especificados, para que os resposáveis pela tomada de decisão teham todos os dados ecessários para tomar a sua decisão. 9) Realimetação de iformações: por exemplo, precisa-se saber se a taxa de juros esperada para um determiado ivestimeto em 5 aos está sedo atigida. Para isso, deve-se acompahá-la mês a mês, ou ao a ao, para ter certeza de que o ivestimeto atigirá o retoro esperado. 10) Dados ecoômicos / gereciais: o estudo das alterativas de ivestimeto, os valores e os dados que os iteressam devem ser sempre ecoômicos e gereciais. Os dados cotábeis só serão importates a avaliação após o Imposto de Reda. Limitações de Estudo - Impossível traspor para o papel todas as cosiderações e variáveis ecotradas a vida; - Taxas de retoro e taxas de juros, a realidade, ão são as mesmas; - O modelo pressupõe que as taxas de juros ão variam durate a vida; - O modelo pressupõe que o fluxo de caixa real fial é sempre viável, de acordo com as codições ecoômicas e fiaceiras da empresa em pauta; - A complexidade do modelo a ser motado deve ser compatível com a cofiabilidade dos dados assumidos. Mais dois pré-requisitos para a aálise de ivestimetos: Só serão aalisadas alterativas de ação tecicamete viáveis; Só serão aalisadas alterativas de ação para as quais tem-se capacidade fiaceira.

32 MÉTODOS CLÁSSICOS DE ANÁLISE DE INVESTIMENTOS Depois de cosiderar todos esses aspectos, pricípios, pré-requisitos e limitações de estudo para fazer a aálise de um ivestimeto, deve-se, aida, ordear o processo de raciocíio para buscar uma solução lógica para a questão proposta. Isso pode ser feito através dos Métodos Clássicos de Aálise de Ivestimetos. Basicamete, os métodos são três, que se forem aplicados de maeira correta, levarão sempre à mesma alterativa de ação como sedo a melhor, ou seja, eles são equivaletes etre si. Os três métodos são os seguites: - Método do Custo Aual Uiforme CAU; - Método do Valor Atual VA; - Método da Taxa de Retoro TIR. Taxa Míima de Atratividade Os métodos da Egeharia Ecoômica, para avaliar as melhores alterativas de ivestimeto, exigem a adoção de uma taxa de juros básica, que é deomiada Taxa Míima de Atratividade (TMA). Essa taxa represeta a míima retabilidade pretedida em um ivestimeto. A questão de defiir qual taxa deverá ser empregada, pode ser respodida por meio do seguite exemplo: Supõe-se que uma pessoa tem uma oportuidade de fazer um ivestimeto, mas para isso será ecessário tomar o diheiro emprestado de algum baco. É evidete que os juros pagos represetarão um ôus, que deve ser etedido como o custo da utilização deste capital. Portato, a pessoa somete irá fazer o ivestimeto se a expectativa de gahos, já deduzido o valor do ivestimeto, for superior ao custo do capital. Por exemplo, se o motate de juros pagos correspoder a uma taxa de 40% a.a., obrigatoriamete que o custo do capital será expresso por este valor, e o ivestimeto só será iteressate se a taxa de redimetos produzidos for superior a este.

33 26 Tal fato idetifica o custo do capital como sedo a retabilidade míima aceitável para qualquer aplicação, caracterizado, etão, uma base para aceitação ou rejeição de uma proposta de ivestimeto. Esta taxa de juros é a usualmete deomiada TMA MÉTODO DO CUSTO ANUAL UNIFORME CAU Cosiste em distribuir ao logo da vida útil todos os valores existetes o fluxo de caixa, trasformado-os em uma úica série uiforme (R) de pagametos e/ou recebimetos. Para distribuir todos os valores uiformemete ao logo da vida útil, faz-se uso da TMA e como resultado pode-se obter um CAU+ (positivo), um CAU (egativo) ou um CAU ulo. Em termos de escolha etre as alterativas de ação, serão cosideradas iteressates as alterativas cujos CAUs sejam positivos ou ulos, ode o mais iteressate seria o maior CAU positivo, ou seja, as receitas serão suficietes ou mais que suficietes, para cobrir as despesas quado sujeitas àquela taxa de juros, quado estes estão sujeitos àquela TMA. Nos casos em que os ivestimetos se toram obrigatórios, por exemplo, a substituição de um equipameto estarão evolvidos a aálise apeas custos ou despesas, portato, o resultado do CAU a ser obtido será sempre egativo e a escolha deverá recair sobre o CAU mais próximo de zero, ou seja, aquele que possuir o meor custo possível. EXEMPLO 1: Determiada empresa deseja substituir a frota de veículos a serem utilizados para o trabalho de seus vededores. Para essa situação ficou defiido que o veículo mais apropriado seria um carro popular e que para o serviço que se prestaria poderia ser utilizado tato um veículo zero quilômetro como um com até cico aos de vida. Estudos prelimiares determiaram que os custos das mauteções auais, de acordo com o tempo de vida do veículo, a serem realizadas ao logo do ao e alocadas ao seu fial, seriam os expressos o quadro a seguir, bem como a cotação dos veículos, desde que em perfeito estado de coservação. A TMA da empresa é de 10% a.a.

34 27 Fial do Cotação Custo mauteção 0 km $15.000, ao $12.500,00 $2.500,00 / ao 2 aos $10.200,00 $2.800,00 / ao 3 aos $8.500,00 $3.500,00 / ao 4 aos $7.000,00 $3.000,00 / ao 5 aos $6.200,00 $3.700,00 / ao Solução: OPÇÃO A Comprar um carro zero e trocá-lo a cada dois aos. OPÇÃO B Comprar um carro com 1 ao de vida e trocá-lo a cada três aos. Nesse exemplo, o que tora as alterativas de ação heterogêeas é o fato de que com a opção A, os vededores poderão trabalhar com o carro pelo período de dois aos, equato a opção B, poderão trabalhar pelo período de 3 aos. Essa difereça fica solucioada de maeira implícita, pois será ecotrado o custo ecessário para se utilizar as opções A e B por ao e assumir que eles se repetirão de maeira idêtica os aos seguites. Assim, poderão ser comparados. A estrutura dos cálculos para a obteção do CAU ficará da seguite forma:

35 28 CAU = $2.500, 00 $15.000, 00 ( P R) + $9.900, 00 ( S R) 2 2 ( OpçãoA) 10% 10% CAU ( OpçãoA) = $2.500, 00 $8.642,86 + $4.714, 29 CAU ( OpçãoA) = $6.428,57 Na motagem do fluxo algébrico da opção A cosidera-se que -$2.500,00 já se caracterizam como um CAU, pois se repete omialmete desde o período de ordem 1 até o de ordem (data 2). Depois, distribui-se os -$15.000,00 referetes a compra do carro zero a partir da data zero detre os dois períodos da vida útil e, por fim, distribui-se os +$9.900,00 (obtidos pela difereça etre os +$10.200,00, referetes a veda do automóvel com dois aos de uso e os -$300,00 referetes a difereça etre os - $2.800,00 dos custos auais e os -$2.500,00 que foram assumidos que já cofiguram como um CAU). Por aalogia, mostrar-se-á a opção B, assumido que os -$2.800,00 já se cofiguram como um CAU. Assim, tem-se: ( ) = 2.800, , 00 ( ) , 00 ( ) , 00 OpçãoB ( ) CAU S P P R S R ( OpçãoB) 10% 10% 10% [ ] ( ) 3 10% CAU = 2.800,00 578, ,00 P R ,38 CAU ( ) = 2.800, , ,38 OpçãoB CAU ( ) = $6.004, 68 OpçãoB 3 No caso A, os resultados demostram que se tiver o equivalete a ,57 por ao (o sial egativo idetifica um custo), tem-se diheiro suficiete para mater a estrutura de comprar um carro zero, pagar seus custos de mauteção o fial do primeiro ao de uso, pagar seus custos de mauteção o fial do segudo de uso e vedê-lo ao preço de mercado aquela oportuidade, para etão comprar ovamete um carro zero, pagar seus custos de mauteção por dois aos, vedê-lo pelos mesmos valores do fluxo iicial... E assim, sucessivamete, por quato tempo for ecessário. No caso B, com equivalete a -$6.004,68 tem-se diheiro suficiete para mater a estrutura de comprar um carro com um ao de uso, pagar seus custos de mauteção o fial do primeiro, segudo e terceiro ao de uso e vedê-lo ao preço de

36 29 mercado aquela oportuidade, para etão comprar ovamete um carro com 1 ao de uso e pagar seus custos de mauteção o fial do primeiro, segudo e terceiro ao de uso, vedê-lo pelos mesmos valores do fluxo iicial... E assim, sucessivamete, por quato tempo for ecessário. Como em ambas as alterativas existem possibilidade de ateder as ecessidades de trasporte do corpo de vedas e se, com a opção A, tem-se um custo de -$6.428,57 por ao, cotra um custo de -$6.004,68 por ao com a opção B, é evidete que a solução deverá recair sobre a opção B. EXEMPLO 2: Uma empresa de trasformação mieral tem efretado sérios problemas de produtividade e estudos desevolvidos pelos egeheiros da empresa evideciaram duas alterativas tecicamete viáveis para solucioar o problema. Discrimiação Opção A Opção B Ivestimeto Necessário Custo Operacioal Aual Custo Aual Mauteção Valor Residual do Projeto Vida Estimada $50.000,00 $13.000,00 $2.000,00 $25.000,00 10 aos $30.000,00 $18.800,00 $1.200,00 $15.000,00 10 aos Sedo a TMA para a empresa igual a 20% ao ao, deseja-se saber qual a alterativa mais coveiete. Solução: O diagrama de fluxo de caixa para a alterativa A e seu respectivo CAU são:

37 30 ( ) ( ) CAU = , , 00 P R , 00 S R OpçãoA 20% 20% CAU = , , 00 ( 0, 2385) , 00 ( 0, 0385) OpçãoA CAU = , 00 OpçãoA Para a alterativa B, tem-se: ( ) ( ) CAU = , , 00 P R , 00 S R OpçãoB 20% 20% CAU = , , 00 ( 0, 2385) , 00 ( 0, 0385) OpçãoB CAU = , 00 OpçãoB A alterativa A represeta meor CAU, portato, resulta a opção mais coveiete para a empresa. Se o processo de decisão existissem receitas icluídas as opções a serem estudadas, deve-se optar por aquela que levasse ao maior CAU positivo(se houvesse), caso cotrário, se todas as alterativas levassem a CAUs egativos, deve-se descartá-las e sair em busca de outras alterativas.

38 MÉTODO DO VALOR ATUAL (VA) OU VALOR PRESENTE LÍQUIDO (VPL) O método do VA, ou método do VPL, caracteriza-se, essecialmete, pela trasferêcia de todas as variações de caixa esperadas para o istate presete, descotadas à TMA, isto é, seria o trasporte para a data zero de um diagrama de fluxo de caixa de todos os recebimetos e desembolsos esperados, descotados à taxa de juros cosiderada. Assim, como já foi demostrado o método CAU, também pelo método do VA, pode-se obter como resultado da somatória desses fluxos um VA+ (positivo), um VA- (egativo) ou um VA ulo, evidetemete que, desde que se têm evolvidas o egócio receitas e despesas, etradas e saídas de caixa. Em termos de aálise, serão cosideradas iteressates as alterativas de ação cujos VAs sejam positivos ou ulos, sedo mais iteressates os de maior VA+. Isso porque esse valor positivo represetará a quatidade de diheiro que foi gaho, em diheiro de hoje, além da expectativa. Um VA- para um fluxo de caixa que teha receitas e despesas evolvidas, sigificará que aquele egócio possui uma remueração aquém da expectativa, ou aida, que aquele egócio paga aquela quatidade de diheiro, em diheiro de hoje, a meos do que se gostaria. Um VA ulo demostrará que aquele ivestimeto paga exatamete a TMA, portato, também poderá ser cosiderado iteressate. Se utilizarmos esse método para aalisar projetos que evolvam apeas custos, as alterativas de ação que os iteressarão serão aquelas que os levarão mais próximo de um custo zero. EXEMPLO 3: Uma empresa está pesado em abrir uma loja para veda direta de seus produtos aos cosumidores, e para esse fim existem duas oportuidades: abrir uma loja a rua ou uma loja o shoppig. Para isso, levatou as variáveis evolvidas com cada uma das opções que podem ser expressas coforme o quadro abaixo. Sedo a TMA da empresa de 5% ao mês qual a melhor alterativa.

39 32 Discrimiação Loja de Rua Loja de Shoppig Ivestimetos iiciais Tempo de utilização Valor residual e de mercado Receitas mesais Custos mesais $ ,000 5 aos $50.000,00 $35.000,00 $24.000,00 $ ,00 5 aos $ ,00 $50.000,00 $36.000,00 Solução: Os diagramas de fluxo de caixa para as duas alterativas são: Opção A Abrir Loja de Rua Opção B Abrir Loja de Shoppig

40 33 Agora serão deslocados todos os valores evolvidos o fluxo de caixa para a data zero, fazedo uso da TMA, isso sigifica, a prática, extrair dos valores que ão se ecotram a data zero os juros eles embutidos. Assim sedo, o VA das duas opções será: A = , ,00 ( ) ,00 ( ) VA R P S P 5% 5% VA = , , , 78 A VA = $19.101, 04 A B = , , 00 ( ) , 00 ( ) VA R P S P 5% 5% VA = , , , 61 B VA = + $1.969, 67 B Os resultados dos VAs obtidos de -$19.101,04 para a Loja de Rua e +$1.969,67 para a Loja de Shoppig represetam, a prática, que, embora se teha lucro com a loja de Rua, ela ão oferece aos ivestidores a remueração míima aceitável. Ela oferece um gaho de (-)$19.101,04 em diheiro de hoje, aquém da expectativa (o sial egativo sigifica que os custos suplataram as receitas em $19.101,04), ão sedo um ivestimeto iteressate. Já a loja de Shoppig, oferece uma remueração em diheiro de hoje, de (+)$1.969,67 além da expectativa (o sial positivo sigifica que as receitas suplataram os custos em $1.969,67), sedo um ivestimeto iteressate. Para o método do VA, a questão da homogeeidade das vidas úteis das diversas alterativas de ação deve ser tratada ates de iiciar a aálise, ou seja, deve-se fazer presete de maeira explícita. Para isso, será utilizada a Técica do MMC (Míimo Múltiplo Comum) e da Capitalização Ifiita.

41 34 A Técica do Míimo Múltiplo Comum (MMC) Para executar essa técica, deve-se ecotrar o MMC etre os tempos de vida das alterativas em questão e cosiderar a repetição do ivestimeto de maeira idêtica. EXEMPLO 4: Observado a situação do Exemplo 1 do Método CAU. Se fosse utilizado o método do VA, qual seria a melhor opção detre as duas alterativas? Solução: Uma das opções era a de se trabalhar com um carro por dois aos, equato a outra era a de comprar um carro com um ao de vida e trabalhar com ele por mais três aos ates de vedê-lo. Isso tora ambas as alterativas heterogêeas e, portato, ão comparáveis. A maeira de resolver o problema é através da técica do MMC. Portato, as opções deverão cobrir um tempo de vida comum de seis (06) aos (MMC de 2 e 3, ou seja, a opção A deverá se repetir de maeira idêtica por três vezes cosecutivas, equato a opção B deverá se repetir de maeira idêtica por duas vezes cosecutivas. Assim, tem-se: 1 2 ( ) ( ) ( ) ( S P) ( S P) ( S P) VA = , ,00 S P 7.600,00 S P 2.500,00 S P + A 10% 10% 10% 7.600, , ,00 10% 10% 10% VA = , , , , , , ,10 A VA = $27.998, 09 A 3

42 ( ) ( ) ( ) ( S P) ( S P) ( S P) VA = , , 00 S P , 00 S P 8.500, 00 S P + B 10% 10% 10% 2.800, , , 00 10% 10% 10% VA = $26.151,95 B 3 custo. Assim, deve-se optar pela alterativa B que proporcioa um meor VA de A Técica da Capitalização Ifiita A técica da Capitalização Ifiita parte dos mesmos pricípios da técica do MMC. Porém, em vez de limitar o tempo de repetição das vidas úteis ao MMC, admite-se que ela se repetirá ifiitas vezes. Para sua execução, deve-se: - Ecotrar o CAU de cada alterativa ao logo da vida útil; - Cosiderar que o CAU ecotrado será um R que se repetirá ifiitamete de maeira idêtica; - Trazer o R ecotrado para o presete a partir do fator ( R ) i. P

43 36 Quado o fator ( P R) i. Portato, quado o fator ( R P) tede ao ifiito, tede a ser igual a própria taxa tede ao ifiito, tede a ser igual a 1 sobre a taxa i, ou seja, 1/i. 1 = = i i i ( P R) i ( R P) EXEMPLO 5: Será utilizado o EXEMPLO 1, para resolver através da técica da Capitalização Ifiita. Determiada empresa deseja substituir a frota de veículos a serem utilizados para o trabalho de seus vededores. Para essa situação ficou defiido que o veículo mais apropriado seria um carro popular e que para o serviço que se prestaria poderia ser utilizado tato um veículo zero quilômetro como um com até cico aos de vida. Estudos prelimiares determiaram que os custos das mauteções auais, de acordo com o tempo de vida do veículo, a serem realizadas ao logo do ao e alocadas ao seu fial, seriam os expressos o quadro a seguir, bem como a cotação dos veículos, desde que em perfeito estado de coservação. A TMA da empresa é de 10% a.a. Fial do Cotação Custo mauteção 0 km $15.000, ao $12.500,00 $2.500,00 / ao 2 aos $10.200,00 $2.800,00 / ao 3 aos $8.500,00 $3.500,00 / ao 4 aos $7.000,00 $3.000,00 / ao 5 aos $6.200,00 $3.700,00 / ao Solução: Opção A Comprar um carro zero e trocá-lo a cada 2 aos

44 VAA = , 00 ( P R) 2.500, , 00 ( S R) ( R P) CAU 10% 10% 10% 1 VA A = ( 8.642, , , 29) 0,10 VA A = 6.428,57 0,10 VA = $64.285, 70 A Opção B Comprar um carro com 1 ao e trocá-lo a cada 3 aos ( ) ( ) 1 2 VA = {[ , ,00 S P 3.500,00 S P + B 10% 10% 3 3 ( ) ( ) ( ) 4.000,00 S P ] P R } R P 10% 10% 10% ( ) 3 1 VAB = {[ , , , , 26] P R } 10% 0,1 ( ) 3 1 VAB = [ , 76 P R ] 10% 0,1 VA B = 6.004, 68 0,1 VA = $60.046,80 B Foi ecotrado um VA de -$64.285,70 para a opção A, cotra um VA de - $60.046,80 para a opção B. Cosiderado-se que resultados egativos para o método do

45 38 VA idetificam os custos associados a cada alterativa, deve-se escolher a opção B, que proporcioa um meor VA MÉTODO DA TAXA DE RETORNO (TIR) O método da Taxa Itera de Retoro (TIR) é aquele que os permite ecotrar a remueração do ivestimeto em termos percetuais. Ecotrar a TIR de um ivestimeto é o mesmo que ecotrar o percetual exato de remueração que o ivestimeto oferece. Em termos práticos, é ecotrar a taxa de juros que permite igualar receitas e despesas a data zero, trasformado o valor atual do ivestimeto em zero. Portato, quado for calculada a TIR de determiado ivestimeto e/ou fiaciameto, está sedo extraído dele o percetual gaho que ele oferece ao ivestidor. Para efeito de aálise, deve-se comparar a TIR ecotrada com a TMA. Se a TIR for maior ou igual a TMA, o ivestimeto deve ser aceito, se for meor, deve ser recusado. No método TIR trata-se, implicitamete, da questão da homogeeidade das alterativas, o que diz respeito às suas vidas úteis, visto que a TIR ecotrada o 1 período de vida será sempre a mesma para os demais. EXEMPLO 6: Uma empresa está estudado a possibilidade de substituir parte de seu processo produtivo atual por um mais modero, que permitirá sua operação por um úico empregado, proporcioado uma ecoomia aual de mão-de-obra da ordem de $15.000,00. Para colocar o ovo processo em fucioameto deverá ser feita a aquisição de uma ova máquia o valor de $60.000,00, bem como de equipametos complemetares o valor de $25.000,00. Ambos os desembolsos serão feitos à vista, a data 0. Sedo a TMA da empresa de 15% ao ao, cosiderado-se que o processo poderá operar por 15 aos e que após esse período a máquia poderá ser vedida por $25.000,00, o ivestimeto deverá ser feito? Decidir pelo método da TIR. Solução:

46 39 = , ,00 ( ) ,00 ( ) VA R P S P i% i% Se submeter o fluxo a TMA pretedida pela empresa, de 15%, já será cohecido que o ivestimeto vale a pea, pois o VA obtido será positivo, ou seja: ( ) ( ) VA = , ,00 R P ,00 S P 15% 15% Para i = 15% VA = , , ,36 VA =+ $5.782,91 Para saber a TIR, deve-se ecotrar uma taxa de juros que, deslocado os valores do fluxo para a data 0, resulte em um VA = 0. Por exemplo, sabe-se que o ivestimeto paga mais de 15% ao ao será que sua remueração é maior que 20%? Para cofirmar, deve-se deslocar os valores para essa taxa: ( ) ( ) VA = , ,00 R P ,00 S P 20% 20% Para i = 20% VA = , , ,63 VA = $13.245,28

47 40 Assim, sabe-se que o ivestimeto paga mais de 15% ao ao e meos de 20% ao ao, portato, paga uma taxa etre 15% a 20% ao ao. Para ecotrar a TIR deve-se cotiuar testado taxas até ecotrar uma que iguale as receitas e despesas, ou utilizar a técica de iterpolação liear para ecotrar uma taxa de juros aproximada. O processo de iterpolação liear ada mais é que uma regra de três composta, ode: ( 0,15 0,20) 5.782,91 ( ,28) ( 0,15 TIR) 5.782,91 ( 0) 289, ,23 ( 0,05) ( 5.782,91) = ( 0,15 TIR) ( ,19) TIR = ,19 TIR = 0,1652 TIR = 16,52% Como a TIR TMA o ivestimeto deve ser aceito MÉTODO DA TAXA DE RETORNO INCREMENTAL (TRI) O método da Taxa de Retoro Icremetal (TRI) é uma variate da TIR e deve ser usado sempre que forem comparadas alterativas de ação que possuam ivestimetos iiciais diferetes, ode estas alterativas serão cosideradas heterogêeas. A TRI é a TIR referete ao acréscimo da receita de um ivestimeto em relação ao outro, cosiderado-se para isso o ivestimeto icremetal para obtê-la. Para trabalhar com a TRI deve-se: 1 ) Ordear de maeira crescete, em fução dos ivestimetos iiciais, todas as alterativas de ação existetes; 2 ) Se a TIR ecotrada for maior ou igual a TMA, aceitar o ivestimeto e aalisar a possibilidade de se fazer a mudaça desse ivestimeto para o seguite a ordem crescete, aalisado-se a mudaça em fução do icremeto de ivestimeto ecessário à sua implatação e do icremeto de receita que possibilitará a mudaça, ou seja, calcular a TRI. 3 ) Calcular a TRI e comparar com a TMA. Se a TRI < TMA, rejeitar a mudaça e aalisar a possibilidade da mudaça desta opção para a alterativa seguite.

48 41 Se a TRI TMA, aceitar a mudaça e aalisar a possibilidade de ação seguite. E assim sucessivamete, até que se esgotem as alterativas de ação. EXEMPLO 7: Certa empresa está estudado a possibilidade de adquirir um detre os três processos a seguir, que lhe foram oferecidos. Por meio do Método da Taxa de Retoro, cosiderado-se: uma TMA de 6% ao ao e um horizote de tempo para aálise perpétuo ecotre a melhor alterativa. Ites Processo A Processo B Processo C Ivestimeto iicial $ ,00 $ ,00 $ ,00 Receitas líquidas $13.800,00 $18.000,00 $11.200,00 Vida útil Ifiita Ifiita Ifiita Solução: Como os ivestimetos iiciais são diferetes, para compará-los deve-se, obrigatoriamete, utilizar a TRI. Por ordem crescete de ivestimeto iicial: C, A e B, tem-se: Processo C ( ) VA = , ,00 R P TIR TIR TIR C C C ,00 = ,00 = 0,112 = 11,2% i

49 42 Cosiderado-se que foi defiida pela empresa uma TMA de 6% ao ao e que o ivestimeto C paga 11,2% ao ao, o ivestimeto deve ser aceito, passado-se a aalisar as demais alterativas pela TRI. Assim, tem-se: C A A mudaça do ivestimeto C para o ivestimeto A pressupõe que se deve ivestir um icremeto de $30.000,00 ($ ,00 $ ,00) para que seja possível receber $2.600,00 a mais por ao durate ifiitos períodos. Portato, a TRI de C A será a TIR dos icremetos: C A

50 43 ( ) VA = , , 00 R P TIR C A = 2.600, , 00 i TRI TRI C A C A = 0, = 8, 667% Como foi obtido uma TRI de C A de 8,667% a.a., cotra uma TMA de 6% a.a., o ivestimeto iteressa. Agora, a aálise da possibilidade de mudaça de A B. A mudaça de ivestimeto de A B pressupõe que deve-se ivestir um icremeto de $70.000,00 ($ ,00 - $ ,00) para que se possa receber a mais $4.200,00 por ao durate ifiitos períodos. Portato, a TRI de A B será a TIR dos icremetos: A B A B A B A B ( ) VA = , , 00 R P TIR TRI TRI = = 4.200, ,00 0,06 = 6% i