DPS 1016 Engenharia Econômica

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1 DPS Egeharia Ecoômica Material de Aula Departameto de Egeharia de Produção e Sistemas Cetro de Tecologia - Uiversidade Federal de Sata Maria - RS Egeharia Ecoômica Prof. Dr. Eg. Dipl. Wirt. Ig. Adreas Dittmar Weise

2 SUMÁRIO. Itrodução e coceitos básicos. O objeto de estudo da ecoômia.2 Fudametos da aálise macroecoômica.3 Fudametos da aálise microecoômica.4 Defiição de Egeharia Ecoômica.5 Defiição e modalidades de Juros. Juros simples e compostos.7 Diagrama de fluxo de caixa 2. Relações de equivalêcia 2. - Dado P achar F Dado F achar P Dado A achar F Dado F achar A Dado A achar P 2. - Dado P achar A Dado G achar A Dado G achar P 2.9 Séries perpétuas 3. Taxas de juros 3. - Cosiderações gerais Taxa Nomial e Taxa Efetiva Taxas cobradas atecipadamete Taxas Equivaletes Taxa Global de Juros 3. - Taxa Míima de Atratividade 4. Fiaciameto 4. - Fotes de recursos Seleção das fotes de fiaciameto Amortização de dívidas Sistema de amortização fracês (Tabela Price) Sistema de amortização costate (SAC) 4. - Sistema de amortização misto (SAM) Sistema de amortização crescete (SACRE) Outros sistemas de amortização Sistema americao Pagameto úico, com juros postecipados Pagameto úico, com juros atecipados Sistema de amortizações variáveis Cometários sobre os sistemas de amortização Egeharia Ecoômica Prof. Dr. Eg. Dipl. Wirt. Ig. Adreas Dittmar Weise 2

3 4. - Correção moetária dos empréstimos Prestação calculada após a icorporação da correção moetária ao saldo devedor Prestação calculada ates da icorporação da correção moetária ao saldo devedor 5. Métodos determiísticos de aálise de ivestimetos 5. - Valor Presete Líquido Projetos com vidas iguais Projetos com vidas diferetes Valor (ou Custo) Aual Uiforme Equivalete Valor aual uiforme equivalete Custo aual uiforme equivalete Taxa Itera de Retoro Casos especiais Aálise icremetal Iterseção de Fisher Projetos com vidas diferetes Aálise Beefício/Custo Tempo de Recuperação do Capital - PAYBACK 5. - Métodos Modificados Estudo de Caso. Bibliografia 7. Caledário 8. Apedice Egeharia Ecoômica Prof. Dr. Eg. Dipl. Wirt. Ig. Adreas Dittmar Weise 3

4 . INTRODUCAO E CONCEITOS BÁSICOS. O OBJETO DE ESTUDO DA ECONOMIA A palavra ecoomia é de origem Grega (oikoomes) (de oikos = casa e omos = orma, lei), que sigifica a admiistração de uma casa. Xeofotes (455 a 345 a.c.) foi o primeiro a usar o termo Ecoomia o setido exposto ateriormete, ou seja, abragedo apeas o govero ou a admiistração do lar. A Ecoomia se defie como uma ciêcia social que estuda como o idividuo e a sociedade decidem (escolhem) empregar recursos produtivos escassos a produção de bes e serviços, de modo a distribuí-los etre as várias pessoas e grupos da sociedade, a fim de satisfazer as ecessidades humaas da melhor maeira possível. (PINHO; VASCONSELLOS, 2, p. 2). Percebe-se os cico coceitos básicos escrita a defiição aterior, como: Recursos; Escassez; Necessidades; Produção; e Distribuição. Os recursos (seja mão-de-obra, terra, matérias-primas, etc.) são limitados. Ao cotrário as ecessidades que se reovam e mudam, ou seja, são ilimitadas, pois sempre o idividio tem o desejo elevar o padrão de vida e a população cresce mudialmete. Mesmo os países mais ricos do mudo, todos os recursos dispoíveis ão estão suficietes para satisfazer todas as ecessidades. Por isso, se fala de escassez, ou seja, recursos limitados. Viviedo com a escassez, a sociedade busca alterativas de produção e de distribuição dos resultados da atividade produtiva para ateder as ecessidades de diversos grupos da sociedade. Para satisfação das ecessidades: Produção Distribuição Cosumo Nesse processo de produção e cosumo, surgem e são solucioados muitos problemas de caráter ecoômico: Produção Cosumo Que bes produzir e Que meios utilizará para produzir Como vão gastar Assim se ecotra a questão pricipal da ecoomia: Como alocar recursos produtivos limitados para satisfazer todas as ecessidades da população? Etão a sociedade deve tomar decisão sobre a melhor forma da utilização de recursos limitados, sedo estudar assutos como iflação, taxa de juros, taxa de câmbio, desemprego, crescimeto, déficit público, vulerabilidade extera, etc. Egeharia Ecoômica Prof. Dr. Eg. Dipl. Wirt. Ig. Adreas Dittmar Weise 4

5 Ecoomia Descritiva T E [ Micro Macro ] P E Ecoomia Positiva Ecoomia Normativa Ecoomia Descritiva trata da idetificação do fato ecoômico. É a partir dos levatametos descritivos sobre a coduta dos agetes ecoômicos que se iicia o complexo de cohecimeto sistematizado da realidade o campo da ecoomia positiva. È a tarefa de levatameto e descrição dos fatos que se dedica a ecoomia descritiva; é através dela que a realidade começa a ser submetida a um criterioso tratameto o setido de que possam se aalisados as relações básicas que se estabelecem etre os diversos agetes que compõem o quadro da atividade ecoômica. Teoria Ecoômica (TE) é o compartimeto cetral da ecoomia, compete-lhe dar ordeameto lógico aos levatametos sistematizados forecidos pela ecoomia descritiva, produzido geeralizações que sejam capazes de ligar aos fatos etre si, desvedar cadeias de ações maifestadas e estabelecer relações que idetifiquem os graus de depedêcia de um feômeo em relação a outro. Surgiram etão em decorrêcia cojuto de pricípios, de teorias, de modelos e de leis fudametadas as descrições apresetadas. A teoria ecoômica adota duas posições distitas a apresetação e aálise do feômeo ecoômico, estas posições são cohecidas como microecoomia e macroecoomia. A microecoomia é aquela parte da teoria ecoômica que estuda o processo de formação de preços e o fucioameto dos mercados, ou seja, comportameto das uidades, tais como os cosumidores, as idústrias e empresas, e suas iter-relações. A macroecoomia estuda o fucioameto do sistema ecoômico em seu cojuto. Seu propósito é obter uma visão simplificada da ecoomia que, porém, ao mesmo tempo, permita cohecer e atuar sobre o ível da atividade ecoômica de um determiado país ou de um cojuto de países. Os desevolvimetos elaborados o compartimeto da teoria ecoômica tem a fialidade de servir a Política Ecoômica (PE). Nesse terceiro compartimeto é que serão utilizados os pricípios, as teorias, os modelos e as leis. A utilização terá a fialidade de coduzir adequadamete a ação ecoômica com vistas a objetivos pré-determiados. Quado empregamos a expressão política ecoômica goverametal estamos os referido as ações praticas desevolvidas pelo govero com a fialidade de codicioar, balizar e coduzir o sistema ecoômico o setido de que sejam alcaçados um ou mais objetivos politicamete estabelecidos. Para completar existem aida a Lei da Ecoomia, que é a relação etre um feômeo e sua causa, Ecoomia política é uma ciêcia e coseqüetemete possui pricípios, ormas e leis. Assim, as leis podem ser dividas: Leis Naturais são aquelas de forma global, gerias; exprimem uma relação costate etre a causa e o efeito. Ex: leis físicas são aquelas ode cietistas podem determiar perfeitamete a causa; a água a zero grau cogela. Leis Sociais exprimem a tedêcia que certos fatos tem em produzir certos efeitos. Ex: feômeos ecoômicos podem garatir a tedêcia de acotecimeto do fato, segudo as codições propostas; a escassez do produto idica um aumeto do preço. Egeharia Ecoômica Prof. Dr. Eg. Dipl. Wirt. Ig. Adreas Dittmar Weise 5

6 Leis Tipicamete Ecoômicas é lei da oferta e da procura essa lei diz que o preço aumeta. Não pode dizer quato (em valores), quado e como acotecera e em em que medida poderá ser produzida..2 FUNDAMENTOS DA ANÁLISE MACROECONÔMICA A Macroecoomia, segudo Garcia e Vascocellos (22, p. 83), [...] estuda a ecoomia como um todo, aalisado a determiação e o comportameto de grades agregados, tais como: reda e produto acioais, ível geral de preços, emprego e desemprego, estoque de moeda e taxas de juros, balaça de pagametos e taxa de câmbio. Assim sedo, a Macroecoomia faz uma abordagem global das uidades ecoômicas idividuais e de mercados específicos. Por exemplo, essa teoria cosidera apeas o ível geral de preços, e ão atede as mudaças dos preços dos bes das diferetes idústrias. Basicamete, a macroecoômia costitui-se de cico mercados, que através de suas ofertas e demadas determiam os agregados macroecoômicos. Estes cico mercados são mercado de bes e serviços, de trabalho, moetário, de títulos e de divisas..2. Mercado de Bes e Serviços Determia o ível de produção agregada, bem como o ível geral de preços. Para Garcia e Vascocellos (22, p. 9) A idéia seria a de idealizarmos a ecoomia como se ela teoricamete produzisse apeas um úico bem, que seria obtido através da agregação dos diversos bes produzidos. O ível geral dos preços e do agregado da produção depede da demada agregada cosumidores, empresas, govero, setor extero e da oferta agregada de bes e serviços. Para que ao meos houvesse um equilíbrio de mercado, seria ecessário que a oferta agregada de bes e serviços fosse igual à demada agregada de bes e serviços. O mercado de bes e serviços defie as variáveis de: ível de reda, produto acioal e de preços, cosumo, poupaça e ivestimetos agregados e exportações e importações globais..2.2 Mercado de Trabalho Nesse mercado admite-se um úico tipo de mão-de-obra, idepedete do grau de qualificação, escolaridade, sexo etc. Ele determia os salários e o ível de emprego. A oferta de mão-de-obra dá-se pelo salário e pela evolução da população ecoomicamete ativa. E a procura de mão-de-obra ocorre pelo seu custo à empresa e do ível de produção desejada pela mesma. O equilíbrio esse mercado se dá pela igualdade etre a oferta e a demada de mão-de-obra. Esse mercado determia o ível de emprego e a taxa de salário..2.3 Mercado Moetário Existem em fução de que todas as operações comerciais da ecoomia são realizadas através da moeda. Nele existe, portato, uma demada e também uma oferta de moeda através do Baco Cetral que jutas determiam uma taxa de juros. Aqui, a igualdade etre a oferta e a demada de moeda é dá a codição de equilíbrio o mercado moetário. E é ele que impõe, além da taxa de juros, o estoque de moeda. Egeharia Ecoômica Prof. Dr. Eg. Dipl. Wirt. Ig. Adreas Dittmar Weise

7 .2.4 Mercado de Títulos Determia o preço dos títulos, por exemplo, do título público federal. Ele aalisa o papel dos agetes ecoômicos superavitários que gastam meos e gaham mais, podedo efetuar empréstimos e dos agetes ecoômicos deficitários que gastam mais que gaham, que geralmete recorrem à empréstimos dos superavitários. Quado a oferta de títulos se iguala a sua demada, ocorre o equilíbrio desse mercado..2.5 Mercado de Divisas Divisas são moedas estrageiras, dessa forma ele também é chamado de mercado de moeda estrageira, e cuida das trasações da ecoomia com o resto do mudo. Para que ocorra um equilíbrio esse mercado a oferta de divisas gerada pelas exportações e etrada de capital seja iguala sua demada gerada pelas importações e saída de capital fiaceiro. A taxa de câmbio é a variável determiada este mercado que possui iterferêcia do Baco Cetral, que fixa ou deixa a taxa de câmbio flutuar. Na aálise macroecoômica, os gastos do govero e a oferta da moeda [...] ão são determiadas esses mercados, mas sim de forma autôoma pelas autoridades. [...] já que depedem do tipo de política ecoômica adotada pelas autoridades. [...] Elas vão codicioar o comportameto de todos os demais agregados, [...] (GARCIA; VASCONCELLOS, 22, p. 92)..3 FUNDAMENTOS DA ANÁLISE MICROECONOMICA A Microecoomia é cocebida como o ramo da ciêcia ecoômica voltado ao estudo do comportameto das uidades de cosumo represetadas pelos idivíduos ao estudo das empresas, suas respectivas produções e custos, e ao estudo da geração e preços dos diversos bes, serviços e fatores produtivos (PINHO; VASCONCELLOS, 2). O idividuo é cosiderado como forecedor de trabalho e capital, demadates de bes de cosumo. Já a firma é cosiderada demadate de trabalho e fatores de produção e forecedoras de produtos. Assim, o idividuo requer maximizar o seu cosumo e uma firma (empresa) maximizar o seu lucro. Etre estes dois potos, a microecoomia procura aalisar o mercado, e, aida, os tipos de mecaismos, que estabelecem preços relativos etre os produtos e serviços, tetado alocar de modos alterativos os recursos dos quais dispõe determiados idivíduos orgaizados uma sociedade. Para este fim, a microecoomia preocupa-se em explicar como é gerado o preço dos produtos fiais e dos fatores de produção um equilíbrio, geralmete perfeitamete competitivo. A explicação pode ser feito a partir de seguites teorias (PINHO; VASCONCELLOS, 2): Teoria do Cosumidor estuda as preferêcias do cosumidor aalisado o seu comportameto, as suas escolhas, as restrições quato a valores e a demada de mercado. A partir dessa teoria se determia a curva de demada. Teoria da Firma estuda a estrutura ecoômica de orgaizações cujo objetivo é maximizar lucros. Orgaizações que para isso compram fatores de produção e vedem o produto desses fatores de produção para os cosumidores. Estuda estruturas de mercado tato competitivas quato moopolísticas. A partir dessa teoria se determia a curva de oferta. Egeharia Ecoômica Prof. Dr. Eg. Dipl. Wirt. Ig. Adreas Dittmar Weise 7

8 Teoria da Produção estuda o processo de trasformação de fatores adquiridos pela empresa em produtos fiais para a veda o mercado. Estuda as relações etre as variações dos fatores de produção e suas coseqüêcias o produto fial. Determia as curvas de custo, que são utilizadas pelas firmas para determiar o volume ótimo de oferta. Em geral a ecoomia estuda o mercado em si, a produção, custo e eficiêcia, e a oferta e demada, etre outros assutos. Os estudos sobre o mercado icluem o comportameto dos agetes (idivíduos e firmas) e as suas iterações em mercados específicos, cosiderado a escassez de recursos e a regulação goverametal. Um determiado mercado pode ser para de um produto ou de serviços de um fator de produção. A teoria cosidera aida cosidera o jogo de uma quatidade demadada (comprador) e quatidade ofertada (vededor) para cada preço possível por uidade. Com estes dois lados, oferta (procura) e demada, a microecoomia descreve como o mercado pode atigir o equilíbrio etre o preço e a quatidade egociada ou explicar as variações do mercado ao logo do tempo. A estrutura do mercado pode ser classificada em: Moopólio; Moopsóio; Oligopólio; Oligopsóio; Cocorrêcia perfeita; e Cocorrêcia moopolística. Um segudo poto de estudo de microecoomia é a produção, custo e eficiêcia. A produção é um processo que usa isumos para criar produtos, destiados ao comércio ou ao cosumo (PINHO; VASCONCELLOS, 2). A produção é um fluxo, logo é mesurável através de um rácio por uidade de tempo. É comum distiguir etre a produção de bes de cosumo (alimetos, etc.), bes de ivestimeto (ovos carros, edifícios, estradas, etc.), bes públicos (defesa acioal, seguraça pública, proteção civil, etc.) ou bes privados (computadores ovos, baaas, etc.). Já o custo de oportuidade está relacioado com o custo ecoômico: é o valor da melhor alterativa dispesada, quado se tem que fazer uma escolha etre duas ações desejadas, mas mutuamete exclusivas (EHRLICH; MORAES, 29). É descrita como sedo a expressão da relação básica etre escassez e escolha. O custo de oportuidade é um fator que garate a utilização eficiete dos recursos escassos. Os custos de oportuidade ão se restrigem a custos moetários. Podem também ser medidos em tempo, lazer, ou qualquer outra coisa que correspoda a um beefício alterativo (utilidade). As etradas para o processo de produção icluem fatores de produção básicos como o trabalho, capital (bes duradouros usados a produção, como uma fábrica) e terra (icluido recursos aturais). Outros fatores icluem bes itermédios usados a produção dos bes fiais, como seja o aço um carro ovo. Quado a ecoomia se refere a eficiêcia ecoômica a produção, a verdade, descreve o quato um sistema utiliza bem os recursos dispoíveis, dada a tecologia dispoível. A eficiêcia pode aumetar se coseguirá obter um maior resultado sem aumetar os recursos usados, ou seja, se coseguirá reduzir o desperdício. A froteira de possibilidades de produção (FPP) é uma ferrameta aalítica que represeta a escassez, custo e eficiêcia (PINHO; VASCONCELLOS, 2). No caso mais simples, estuda-se uma ecoomia que produz apeas dois bes. A FPP é uma tabela ou Egeharia Ecoômica Prof. Dr. Eg. Dipl. Wirt. Ig. Adreas Dittmar Weise 8

9 gráfico (ver Figura ) que mostra as várias combiações de quatidades dos dois produtos que são possíveis, dado a tecologia e os fatores de produção dispoíveis. Cada poto a curva da Figura mostra uma produção potecial total máxima para a ecoomia, que é a produção máxima de um bem (Care), dada uma quatidade de produção do outro bem (batata). A escassez é represetada a Figura pelas pessoas poderem querer além da FPP, mas ão poderem cosumir. Quado a produção de um bem aumeta, a produção do outro dimiui, uma relação iversa. Isso ocorre porque uma maior produção de um bem requer a trasferêcia de isumos da produção do outro bem, dimiuido-a. A icliação da curva um poto determia o trade-off etre os dois bes e mede o quato uma uidade adicioal de um bem implica reduzir o outro bem, que é um exemplo de custo de oportuidade (PINHO; VASCONSELLOS, 2). Ao logo da FPP, escassez sigifica que escolher mais de um bem implica ter meos do outro. Aida assim, uma ecoomia de mercado, o movimeto ao logo da curva pode ser explicado como uma escolha que os agetes vêm como preferível. Figura : Froteira de possibilidades de produção A última das grades áreas de estudo da microecoomia é a oferta e demada, se refere à determiação do preço e quatidade um mercado de cocorrêcia perfeita. Assim, eles estão fudametalmete importates a costrução de modelos para outras estruturas de mercados. Egeharia Ecoômica Prof. Dr. Eg. Dipl. Wirt. Ig. Adreas Dittmar Weise 9

10 Preço do apartameto (R$) Excesso de oferta c d 2. Figura 2: Oferta e demada Preço de equilíbrio a b Excesso de procura 45 Número de apartametos Para o mercado de um bem, a demada mostra a quatidade que os possíveis compradores estariam dispostos a comprar para cada preço uitário do bem (ver Figura 2). A demada é freqüetemete represetada usado uma tabela ou um gráfico relacioado o preço com a quatidade demadada (ver Figura 2). A teoria da demada descreve os cosumidores idividuais como etes racioais que escolhem a quatidade melhor possível de cada bem, em fução dos redimetos, preços, preferêcias, etc. A lei da demada diz que, regra geral, o preço e a quatidade demadada um determiado mercado estão iversamete relacioados, ou seja, quato mais alto for o preço de um produto, meos pessoas estarão dispostas ou poderão comprá-lo (tudo o resto ialterado). Quado o preço de um bem sobe, o poder de compra geral dimiui (efeito reda) e os cosumidores mudam para bes mais baratos (efeito substituição). Outros fatores também podem afetar a demada. Por exemplo, um aumeto a reda desloca a curva da demada em direção oposta à origem. Já a oferta é a relação etre o preço de um bem e a quatidade que os forecedores colocam à veda para cada preço desse bem. A oferta é ormalmete represetada através de um gráfico relacioado o preço com a quatidade ofertada. Assume-se que os produtores maximizam o lucro, o que sigifica que tetam produzir a quatidade que lhes irá dar o maior lucro possível..4 DEFINICAO DE ENGENHARIA ECONÔMICA Os estudos sobre egeharia ecoômica iiciaram os Estados Uidos em 887, quado Arthur Welligto publicou seu livro The Ecoomic Theory of Railway Locatio, texto que sitetizava aálise de viabilidade ecoômica para ferrovias. A Egeharia ecoômica objetiva a aálise ecoômica de decisões sobre ivestimetos. E tem aplicações bastate amplas, pois os ivestimetos poderão tato ser de empresas, como de particulares ou de etidades goverametais. (CASAROTTO; KOPITTKE, 27, p. 5). Pode-se defiir Egeharia Ecoômica como o estudo que compreede os métodos, as técicas e os pricípios ecessários para se tomar decisões etre alterativas de Egeharia Ecoômica Prof. Dr. Eg. Dipl. Wirt. Ig. Adreas Dittmar Weise

11 ivestimetos, relativas à aquisição e à disposição de bes de capital, tato de empresas, como de particulares ou de etidades do govero, idicado a mais ecoômica. Segudo Hess et al. (984, p.) justifica-se o ome, porque grade parte dos problemas de ivestimeto depedem de iformações e justificativas técicas e porque a maioria das orgaizações tais decisões são tomadas ou por egeheiros, ou por admiistradores agido com base as recomedações dos egeheiros. Ela é importate para todos que precisam decidir sobre propostas tecicamete corretas, e seus fudametos podem ser utilizados tato para empresas privadas como estatais. Todo o fudameto da egeharia ecoômica se baseia a matemática fiaceira, que se preocupa com o valor do diheiro o tempo. O estudo de Egeharia Ecoômica evolve: a) um problema a resolver ou uma fução a executar, como por exemplo o trasporte de material detro de um almoxarifado; b) diversas alterativas possíveis, por exemplo, trasporte maual, por empilhadeira, por carrihos ou aida por correia trasportadora; c) avaliação de cada alterativa, determiado as vatages e desvatages, tais como custo, eficiêcia, distâcia, volume trasportado, etc.; d) comparação e escolha da melhor alterativa, sedo que, este caso, devemos otimizar alterativas, ou seja, miimizar custos ou maximizar lucros. As pricipais características de um estudo ecoômico são: a) avaliar quatitativamete vatages e desvatages; b) adotar uidades coeretes (R$,, U$, ); c) determiar o ivestimeto ecessário; d) estimar custos (mauteção, mão-de-obra, eergia elétrica, impostos, refugos, ); e) avaliar receitas (vedas, mercado, ); f) cohecimeto técico do processo em estudo; g) cosiderar somete problemas futuros (ex.: já ivesti tato em um determiado projeto que o jeito é ivestir um pouco mais ele); h) iicialmete desprezar fatores impoderáveis, cosiderado-los somete após a aálise (prestígio, status, valor promocioal, etc.); i) avaliar o risco do ivestimeto; j) cosiderar critérios ecoômicos, ou seja, a retabilidade do ivestimeto; k) cosiderar critérios fiaceiros, ou seja, a dispoibilidade de recursos. Pode-se citar como exemplos de aplicação (CASAROTTO; KOPITTKE, 27): Efetuar o trasporte de materiais maualmete ou comprar uma correia trasportadora; Fazer uma rede de abastecimeto de água com tubos grossos ou fios; Substituição de equipametos obsoletos; Comprar carro a prazo ou à vista. Para fazer um estudo ecoômico adequado algus pricípios básicos devem ser cosiderados, sedo os seguites: a) deve haver alterativas de ivestimetos. É ifrutífero calcular se é vatajoso comprar um carro à vista se ão há codições de coseguir diheiro para tal; b) as alterativas devem ser expressas em diheiro. Não á possível comparar diretamete 2 horas/mesais de mão de obra com 5 kwh de eergia. Covertedo os dados em termos moetários teremos um deomiador comum Egeharia Ecoômica Prof. Dr. Eg. Dipl. Wirt. Ig. Adreas Dittmar Weise

12 muito prático. Algus dados, etretato, são difíceis de coverter em diheiro. Exemplos que ocorrem muito os casos reais são: boa votade de um forecedor, boa imagem da empresa ou status. São os chamados itagíveis; c) só as difereças etre as alterativas são relevates. Numa aálise para decidir sobre o tipo de motor a comprar ão iteressa sobre o cosumo dos mesmos se forem idêticos; d) sempre serão cosiderados os juros sobre o capital empregado. Sempre existem oportuidades de empregar diheiro de maeira que ele reda alguma coisa. Ao se aplicar o capital em um projeto devemos ter certeza de ser esta a maeira mais redosa de utilizá-lo; e) os estudos ecoômicos o passado geralmete ão é cosiderado; iteressa-os o presete e o futuro. A afirmação: ão posso veder este carro por meos de $ porque gastei isto com ele em oficia ão faz setido, o que ormalmete iteressa é o valor de mercado do carro. Os critérios de aprovação de um projeto são os seguites: critérios fiaceiros: dispoibilidade de recursos; critérios ecoômicos: retabilidade do ivestimeto; e critérios impoderáveis: fatores ão covertidos em diheiro. Neste curso, a ateção especial será sobre os critérios ecoômicos, ou seja, a pricipal questão que será abordada é quato o fiaciameto e a retabilidade dos ivestimetos..5 DEFINICAO E MODALIDADES DE JUROS Para podermos compreeder o coceito de capitalização temos de começar pelos seguites coceitos base: Capital (Pricipal) é a quatidade de moeda (meios líquidos) que origiou uma trasação etre duas etidades ou idivíduos que é aplicada durate um certo período de tempo. Tempo é o prazo pelo qual o capital é aplicado; Período de tempo é a uidade de tempo em que o tempo global da aplicação foi subdividido, para efeito de cálculo dos juros. Toda trasação fiaceira deve ecessariamete prever quado (datas de iício e do térmio da operação) e por quato tempo (duração da operação) se dará a cedêcia (o empréstimo) do capital. Este prazo deve estar expresso em determiada uidade de tempo (que pode ser: dia, mês, trimestre, semestre, ao, etc.). Juro será a remueração recebida (ou paga) em troca do empréstimo de algum recurso fiaceiro. Ao possuir um recurso fiaceiro que excede as ecessidades, pode-se, em geral, adquirir algus bes extraordiários ao dia a dia (tais como imóveis, veículos, viages etc.), pode também aplicá-los (ou mesmo emprestá-los). Quado se empresta recursos fiaceiros, etão, abre-se mão, temporariamete, da dispoibilidade deles e em troca desta dispoibilidade recebe-se o juro. Sedo assim, podemos dizer que o juro é o aluguer pago (ou recebido) pelo uso de um recurso fiaceiro, e, portato, será fução do prazo deste aluguer, do valor do recurso alugado e do risco evolvido a trasação. Taxa de juro é a costate de proporcioalidade etre o juro produzido e o capital aplicado uma uidade de tempo. Egeharia Ecoômica Prof. Dr. Eg. Dipl. Wirt. Ig. Adreas Dittmar Weise 2

13 Iflação defii-la como sedo o aumeto geeralizado de preços a ecoomia. Este feômeo provoca a redução do poder aquisitivo da moeda, que ada mais é do que, com a mesma quatidade de moedas (uidades moetárias, diheiro), passar-se a comprar meos produtos e serviços. O processo iverso da iflação, quado há uma queda geeralizada dos preços a ecoomia, deomia-se deflação. Forma de pagameto de juros determia como os juros serão pagos e sua periodicidade. Spread é a taxa de itermediação cobrada pelo itermediário fiaceiro. Os tipos de taxa de juros são expressos em período aual ou mesal, com base em ao comercial, covecioado em 3 dias (semestral = 8 dias, trimestral= 9 dias, mesal = 3 dias). Nada impede que sejam cotratadas com base o ao civil, 35 dias. Os títulos federais, por exemplo, adotavam como período de remueração o ao civil. Atualmete, utilizam com base em ao de 252 dias úteis. Os tipos de taxas de juros se difereciam de seguite maeira: a) Taxas fixas: São aquelas que ão se alteram durate todo o prazo da operação fiaceira (tomador cedete), mesmo que exista mais de um período de capitalização. b) Pré-fixada: Quado determiada ou defiida o ato da cotratação. Por exemplo, 2,9% a.m.; 4,5% por 9 dias. c) Pós-fixada: Quado o valor efetivo do juro é calculado somete após o reajuste da base de cálculo. Normalmete, é utilizado para cotratos com previsão de reajuste moetário, atrelado a um ídice de variação de preços, como, por exemplo, IGP-M, INPC, IPCA, IGP-DI. d) Taxa Flutuate (ou variáveis): São as que variam a cada período de capitalização, ou seja, são fixadas ovas taxas para o ovo período de capitalização. Para tato, há uma taxa de juros referecial como Libor Lodo Iterbak Offered Rate (mercado lodrio), Prime (mercado americao), Abid (mercado brasileiro), etc. Por ser uma espécie de idexação (que egloba uma taxa de iflação e uma taxa de juros) esse modelo de taxa de juros proporcioa maior seguraça ao ivestidor.. JUROS SIMPLES E COMPOSTOS Os juros são a remueração do capital. Represetam o diheiro pago pelo uso de diheiro emprestado ou o gaho de diheiro gerado pelo capital empregado um ivestimeto. A especificação dos juros é feita pela taxa de juros, defiida como a razão etre os juros que serão cobrados o fim do período e o capital iicialmete empregado (HESS ET AL., 984). O itervalo de tempo o qual os juros são calculados é o seu período de capitalização. A taxa deve sempre especificar este período. Exemplo : Seja uma quatia de R$., que redeu R$ 2, de juros após um ao. A taxa de juros foi de R$ 2, / R$., =,2 ou 2% a.a. (ao ao). Defie-se motate (F) como sedo o pricipal (P) mais os juros (J) devidos: F = P + J () Exemplo 2: Para o Exemplo, F = R$., + R$ 2, = R$.2, Egeharia Ecoômica Prof. Dr. Eg. Dipl. Wirt. Ig. Adreas Dittmar Weise 3

14 Existem dois regimes de capitalização para os juros, deomiados de juros simples e juros compostos (EHRLICH; MORARES, 29). Juros simples: apeas o pricipal rede juros. J = i P (2) F = P ( + i ) (3) ode: J juros i taxa de juros P pricipal úmero de períodos de capitalização F motate Juros compostos: a cada período de capitalização, os juros são icorporados ao capital e passam a também reder juros. J = P [( + i) ] (4) F = P ( + i) (5) ode : J juros i taxa de juros P pricipal úmero de períodos de capitalização F motate A Equação 5 permite calcular o motate F que se obtém a partir de um ivestimeto P aplicado à taxa i, após períodos. Esta é uma das mais importates equações da Matemárica Fiaceira. Resolução em plailha eletrôica: Fórmulas da plailha: C7 = C2*(+C3*C4) C = C2*(+C3)^C4 Exemplo 3: Seja R$., aplicados a 5% a.a., durate 5 aos. Calcular o motate após cada período de capitalização, a o total a receber o fial do 5º ao, empregado a fórmula. Egeharia Ecoômica Prof. Dr. Eg. Dipl. Wirt. Ig. Adreas Dittmar Weise 4

15 Solução: Período Motate (F) [R$] Juros simples Juros compostos.,.,. +,5 x. =.5,. +,5 x. =.5, 2.5 +,5 x. =.3,.5 +,5 x.5 =.322, ,5 x. =.45,.322,5 +,5 x.322,5 =.52, ,5 x. =.,.52,88 +,5 x.52,88 =.749, 5. +,5 x. =.75,.749, +,5 x.749, = 2.,3 Fórmula F = P ( + i ) F = P ( + i). x ( +,5 x 5) =.75,. x ( +,5) 5 = 2.,3 Na prática, em estudos ecoômicos são utilizados quase sempre juros compostos. Neste texto, daqui para frete, sempre será cosiderada a hipótese dos juros compostos, salvo quado mecioado o cotrário. No Exemplo 3, R$., hoje são equivaletes a R$ 2.,3 daqui a cico aos, à taxa de 5% a.a. (juros compostos). Assim, a taxa de juros e o úmero de períodos estabelecem um fator de coversão para torar equivaletes duas quatias de diheiro, cosiderado em diferetes potos o tempo. Exemplo 4: Qual é o fator de coversão para torar equivalete uma quatia hoje uma quatia daqui a cico aos, cosiderado juros de 5% ao ao? Cosidere as quatias forecidas e calculadas o Exemplo 3. Solução: R$ 2.,3 / R$., = 2,3 Este fator de coversão pode ser aplicado a qualquer quatia presete para calcular a equivalêcia o futuro, sob as mesmas codições para i e. Exemplo 5: Qual é a quatia equivaletes a um valor de R$ 5.37, hoje, cosiderado juros de 5% ao ao, durate 5 aos? Solução: F = 5.37, x 2,3 = R$.8,.7 DIAGRAMA DE FLUXO DE CAIXA Para elaborar o fluxo de caixa deve-se estimar o mometo o tempo em que se darão os desembolsos e as receitas previstas para o empreedimeto. Necessita-se, portato, de orçametos para o custo de costrução e do respectivo croograma, da plailha de vedas e do respectivo plao de vedas, bem como da estimativa de desembolsos diversos associados ao empreedimeto. Os pricipais elemetos a cosiderar o fluxo de caixa de um empreedimeto imobiliário são os seguites:. Custo do terreo: correspode ao valor do terreo. A aquisição do terreo pode dar-se por desembolso de diheiro, por troca de área costruída, ou por uma combiação destas duas modalidades. 2. Custo da legalização do terreo: correspode às despesas com impostos de trasmissão, escritura e registro do imóvel. 3. Custo dos projetos: refere-se ao custo de elaboração de todos os projetos ecessários ao empreedimeto. Egeharia Ecoômica Prof. Dr. Eg. Dipl. Wirt. Ig. Adreas Dittmar Weise 5

16 4. Custo de costrução: correspode aos custos diretos de costrução, coforme croograma previsto para a execução da obra. 5. Despesas admiistrativas: iclui todos os custos admiistrativos ecessários para a execução do empreedimeto.. Despesas com seguros: correspodem aos prêmios das apólices de seguros (resposabilidade civil do costrutor, daos físicos, garatia de térmio da obra, etc.) 7. Despesas de vedas: iclui todos os custos referetes à publicidade do empreedimeto. Os maiores custos icorrem o mometo de seu laçameto e os meses seguites. 8. Corretagem: é a comissão sobre as vedas, devida ao corretor. É paga à vista, o mometo da veda. 9. Receita de vedas: segue o plao de vedas e é fução da estratégia do icorporador.. Fiaciametos: o caso de empreedimetos fiaciados, devem-se cosiderar também as receitas e despesas destes fiaciametos (juros e amortizações, comissões diversas, IOF, etc.).. Receita fiaceira: Sempre que houver sobra de caixa, este valor pode ser aplicado, proporcioado uma receita. 2. Impostos e taxas diversas: taxas para habite-se e averbação, imposto de reda, etc., de acordo com a legislação fiscal em vigor. Outras despesas aida podem ser cosideradas, depededo de sua importâcia em termos de valor. Estas despesas, que ão foram detalhadas o projeto, podem ser cosideradas uma cota geérica de despesas diversas. Deve-se lembrar também que existe sempre uma icerteza associada às estimativas feitas, tato em valor quato ao mometo de sua ocorrêcia. Assim, ão será de grade valia esmiuçar excessivamete o fluxo de caixa. Em algumas situações, pode ser iteressate cosiderar a aálise um valor de cotigêcia, que leva em cota estas icertezas (quato maior a icerteza, maior a cotigêcia). Egeharia Ecoômica Prof. Dr. Eg. Dipl. Wirt. Ig. Adreas Dittmar Weise

17 2. RELAÇÕES DE EQUIVALÊNCIA 2. DADO P ACHAR F Esta relação permite determiar o valor futuro F (motate) equivalete a um valor presete P (pricipal) e vice-versa, cosiderado uma aplicação à taxa de juros i durate um período (Figura 3). F P Figura 3: Dado P determiar F, e vice-versa F = P ( + i) () O termo etre parêteses a Equação 2. represeta um fator de coversão, deomiado de achar F dado P, e tem a seguite otação e sigificado: (F/P; i; ) = ( + i) (7) A otação aqui adotada é a otação iteracioal. O exemplo do que já foi cometado sobre a simbologia, também ão existe uiformização de otação para os fatores de coversão, a bibliografia existete. Estes fator, e os que serão apresetados a seguir, podem sr facilmete tabelados, em fução de i e. O uso destas tabelas apreseta utilidade quado se dispõe de apeas uma calculadora ão fiaceira para resolver problemas de matemática fiaceira. Embora ão faremos apelo a este tipo de tabela este texto, idicaremos a resolução de problemas através destes fatores, por serem de mais fácil memorização do que as fórmulas respectivas. Além disto, iteressa destacar o raciocíio aplicado a resolução dos problemas propostos, mais do que fazer cotas. Calculadoras fiaceiras e plailhas eletrôicas dispõem de rotias para fazer os cálculos respectivos. Caso ão se dispoha destes istrumetos, deve-se calcular o valor dos fatores usado as respectivas fórmulas ou cosultado as já referidas tabelas. A Equação 5 pode etão ser reescrita como: F = P (F/P; i; ) (8) Exemplo : Uma costrutora cotraiu um empréstimo de R$ 3., para ser devolvido em 5 meses. Qual o motate a ser devolvido, se a taxa de juros deste empréstimo é de 4,5% a.m.? Solução: Egeharia Ecoômica Prof. Dr. Eg. Dipl. Wirt. Ig. Adreas Dittmar Weise 7

18 3. 5 F F = P (F/P; i; ) = P ( + i) F = P (F/P; 4,5%; 5) = 3. ( +,45)5 F = R$ ,4 2.2 DADO F ACHAR P Da Equação tira-se que: F P ( i) (9) Fazedo (P/F; i; ) = ( i) (fator achar P dado F ) () tem-se que P = F (P/F; i; ) () Exemplo 7: Uma empreiteira precisa adquirir escoras metálicas o valor de R$ 8.,, que serão ecessárias daqui a meses. Quato ela deve ivestir hoje em papéis que redem 2,2% a.m., para ter este diheiro dispoível quado ecessário? Solução: 8. P F P = F (P/F; i; ) = ( i) 8. P = 8. (P/F; 2,2%; ) = (,22) P = R$ 7.2, DADO A ACHAR F Em muitas situações práticas, ode se tem uma série uiforme de pagametos, exige-se que o primeiro pagameto da série seja feito o mometo de fechameto do egócio, servido como etrada. Tem-se etão uma série uiforme atecipada, como mostrado a Figura 4. Observa-se esta figura que a série atecipada A' iicia o período (zero) e termia o período (-). Uma outra situação prática é aquela a qual se faz depósitos regulares um Egeharia Ecoômica Prof. Dr. Eg. Dipl. Wirt. Ig. Adreas Dittmar Weise 8

19 fudo que rede juros i, iiciado a data (zero) e termiado a data (-), para retirar um valor F a data. Também esta situação tem-se uma série uiforme atecipada. A' F (-) (-) P A' Figura 4: Série uiforme atecipada A relação etre uma série uiforme A e uma série uiforme atecipada A' é a seguite: A A' = ( i) (2) ou A' = A (P/F; i; ) (3) e A = A' (+i) (4) ou A = A' (F/P; i; ) (5) Como F = A (F/A; i, ),aplicado a Equação tem-se: F = A' (F/P; i; ) (F/A; i, ) () Substituido os fatores pelas suas expressões (Equação 7 e Equação 2, respectivamete), chega-se a: [( i) -] ( i) F = A' i (7) e i A' = F [( i) -] ( i) (8) ou A' = F (A/F; i; ) (P/F, i; ) (9) Exemplo 8: Num fiaciameto de compra de apartameto, uma parcela de R$.,, referete à etrega de chaves, vece daqui a 5 meses. O comprador propõe parcelar esta quatia em 5 parcelas iguais, iiciado hoje. Se a TMA do vededor é de 2,5% a.m., de quato deve ser a prestação exigida do comprador?. 4 A' 5 Egeharia Ecoômica Prof. Dr. Eg. Dipl. Wirt. Ig. Adreas Dittmar Weise 9

20 Solução : i A' = F [( i) -] ( i),25 A' =. 5 [(,25) -] (,25) A' =. x,85 A' = R$.3,4 Solução 2: A' = F (A/F; i; ) (P/F, i; ) A' =. (A/F; 2,5%; 5) (P/F, 2,5%; ) i,25 A' = F x x =. x ( i) - ( i) (,25) A' =. x,9248 x,97597 = R$.3,4 5 - (,25) x Exemplo 9: Se um ivestidor aplicar R$., por mês, durate 2 aos uma aplicação que lhe rederá 2% a.a., capitalizados mesalmete, qual a quatia que ele terá dispoível em 2 aos? F 24. Solução: i = 2% a.a./2meses = % a.m. ( i) - F = A (F/A; i; ) = A i F =. (F/A; %; 24) 24 (,) - F =., F = R$ 2.973, DADO F ACHAR A Esta relação permite determiar o valor futuro F equivalete a uma série uiforme A e vice-versa, cosiderado uma aplicação à taxa de juros i durate um período (Figura 5). Egeharia Ecoômica Prof. Dr. Eg. Dipl. Wirt. Ig. Adreas Dittmar Weise 2

21 F A Figura 5: Dado A determiar F, e vice-versa ( i) - F = A i (2) ( i) - Fazedo (F/A; i; ) = i (fator achar F dado A ) (2) tem-se que F = A (F/A; i; ) (22) Da Equação 2 tem-se que: i A = F ( i) - (23) i Fazedo (A/F; i; ) = ( i) - (fator achar A dado F ) (24) tem-se que A = F (A/F; i; ) (25) Exemplo : Uma costrutora ecessitará comprar um carro ovo daqui a um ao. Nesta ocasião, dará um carro usado como parte do pagameto, mas mesmo assim estima que precisará desembolsar R$ 5., para efetuar o egócio. Quato ela deverá aplicar por mês um fudo de ivestimetos que lhe rederá,8% a.m. este período, para ter dispoível esta quatia? 5. 2 A Solução: i A = F (A/F; i; ) = F ( i) A = F (A/F;,8%; 2) - Egeharia Ecoômica Prof. Dr. Eg. Dipl. Wirt. Ig. Adreas Dittmar Weise 2

22 ,8 A = 5. (,8) A = R$.3,3 2.5 DADO A ACHAR P 2 - Em muitas situações práticas, ode se tem uma série uiforme de pagametos, exige-se que o primeiro pagameto da série seja feito o mometo de fechameto do egócio, servido como etrada. Tem-se etão uma série uiforme atecipada, como mostrado a Figura. Observa-se esta figura que a série atecipada A' iicia o período (zero) e termia o período (-). Uma outra situação prática é aquela a qual se faz depósitos regulares um fudo que rede juros i, iiciado a data (zero) e termiado a data (-), para retirar um valor F a data. Também esta situação tem-se uma série uiforme atecipada. A' F (-) (-) P A' Figura : Série uiforme atecipada A relação etre uma série uiforme A e uma série uiforme atecipada A' é a seguite: A A' = ( i) (2) ou A' = A (P/F; i; ) (27) e A = A' (+i) (28) ou A = A' (F/P; i; ) (29) Como P = A (P/A; i, ),aplicado a Equação 28 tem-se: P = A' (F/P; i; ) (P/A; i, ) (3) Substituido os fatores pelas suas expressões (Equação e Equação 38, respectivamete), chega-se a: ( i) - P = A' - i ( i) e - i ( i) A' = P ( i) - (32) ou A' = P (A/P; i; ) (P/F, i; ) (33) (3) Egeharia Ecoômica Prof. Dr. Eg. Dipl. Wirt. Ig. Adreas Dittmar Weise 22

23 Exemplo : A poupaça de um apartameto é de R$ 5.,. Um comprador propõe parcelar esta poupaça em vezes, iiciado os pagametos hoje. Se a TMA da empresa vededora é de 2% a.m., de quato deve ser a prestação exigida? A' 5 5. Solução : Solução 2: A' = P - i ( i) ( i) -,2 (,2) A' = 5. (,2) - A' = 5. x,75253 A' = R$ 2.25,38 - A' = P (A/P; i; ) (P/F, i; ) A' = 5. (A/P; 2%; ) (P/F, 2%; ) i ( i),2 (,2) A' = P x x = 5. x ( i) - ( i) (,2) - A' = 5. x, x,98392 = R$ 2.25,38 (,2) x 2. DADO P ACHAR A Esta relação permite determiar uma série uiforme A, que é equivalete a um valor presete P e vice-versa, cosiderado uma aplicação à taxa de juros i durate um período (Figura 7). A P Figura 7: Dado P determiar A, e vice-versa Egeharia Ecoômica Prof. Dr. Eg. Dipl. Wirt. Ig. Adreas Dittmar Weise 23

24 i ( i) A = P ( i) - (34) i ( i) Fazedo (A/P; i; ) = ( i) - (fator achar A dado P ) (35) tem-se que A = P (A/P; i; ) (3) Da Equação 34 tem-se que: ( i) - P = A i ( i) (37) ( i) - Fazedo (P/A; i; ) = i ( i) (fator achar P dado A ) (38) tem-se que P = A (P/A; i; ) (39) Exemplo 2: As codições de fiaciameto de um apartameto exigem como poupaça a quatia de R$ 2.,. Um comprador está iteressado o egócio, mas precisa parcelar esta poupaça em 5 vezes, iiciado os pagametos em 3 dias. Se a TMA da empresa vededora é de 2% a.m., de quato deve ser a prestação exigida? Solução: A 2. 5 ( i) - A = P (P/A; i; ) = P i ( i) A = 2. (A/P; 2%; 5) 5,2 (,2) A = 2. 5 (,2) - A = R$ 4.243,7 Exemplo 3: A poupaça de um apartameto é de uma etrada mais 2 prestações mesais fixas de R$.2,, com vecimetos iiciado em 3 dias. Um potecial comprador propõe pagar a etrada solicitada mais R$ 2., hoje, para liquidar a parte parcelada da poupaça. Se a TMA do vededor é de 2,5% a.m., ele deve aceitar este egócio? Solução: Egeharia Ecoômica Prof. Dr. Eg. Dipl. Wirt. Ig. Adreas Dittmar Weise 24

25 .2 P 2 ( i) - P = A (P/A; i; )= A i ( i) P =.2 (P/A; 2,5%; 2) 2 (,25) - P =.2 2,25 (,25) P = R$ 2.39,32 Como a proposta do comprador é iferior ao valor equivalete das parcelas vicedas, o vededor ão deve aceitar a proposta. 2.7 DADO G ACHAR A Esta relação permite determiar uma série uiforme A equivalete a uma série gradiete G e vice-versa, cosiderado uma taxa de juros i durate um período (Figura 8). P 2 G (-)G Figura 8: Dado G determiar A, e vice-versa i A = G [ - x ] i i ( i) - (4) Fazedo i (A/G; i; ) = [ - x ] i i ( i) - (fator achar A dado G ) (4) tem-se que A = G (A/G; i; ) (42) Exemplo 4: Cosidere os mesmos dados do Exemplo 5 e calcule a série uiforme equivalete. Solução: A = 2., + 2 (A/G; %, ), A = 2., + 2 [ - x ],, (,) - Egeharia Ecoômica Prof. Dr. Eg. Dipl. Wirt. Ig. Adreas Dittmar Weise 25

26 A = 2., + 2 x 2, = 2., + 444,7 A = R$ 2.444,7 2.8 DADO G ACHAR P Esta relação permite determiar o valor presete P equivalete a uma série gradiete G e vice-versa, cosiderado uma taxa de juros i durate um período (Figura 9). P 2 G (-)G Figura 9: Dado G determiar P, e vice-versa ( i) - P = G {[ - ] } (43) 2 i i ( i) ( i) - Fazedo (P/G; i; ) = {[ - ] } (fator achar P dado G ) (44) 2 i i ( i) tem-se que P = G (P/G; i; ) (45) Exemplo 5: Um determiado veículo tem um custo aual de mauteção de R$ 2.,. Estima-se que, a partir do 2º ao de uso, devido ao crescete desgaste, este custo aumete em R$ 2, ao ao. Cosiderado que este veículo tem aos de vida útil, calcule o valor presete dos custos de mauteção, para uma TMA de % a.a Solução: O problema pode ser decomposto em uma série uiforme de R$ 2., e uma série gradiete com G = R$ 2,. O valor presete será etão: P = 2. (P/A; %; ) + 2 (P/G; %, ) (,) - (,) - P = {[ - ] } 2, (,),, (,) Egeharia Ecoômica Prof. Dr. Eg. Dipl. Wirt. Ig. Adreas Dittmar Weise 2

27 P = 2. x 4, x 9,8472 = 8.7, ,83 P = R$.47, SÉRIES PERPÉTUAS Uma série perpétua é aquela a qual os pagametos (ou recebimetos) ão tem um horizote de tempo fiito, ou o úmero de períodos o qual eles ocorrem é muito grade. O valor presete de uma série perpétua é: ( i) - P = lim A = A i ( i) i A P = (4) i e A = i P (47) Exemplo : Quato deve ser depositado uma cadereta de poupaça que rede,5% a.m., para fazer-se retiradas perpétuas de R$ 3., a cada seis meses? Solução: i = ( +,5) =,3378 a.s. 3. P = = R$ ,8,3378 Exemplo 7: Qual é o custo, em termos de valor presete, de uma máquia que tem vida útil muito loga, cujo valor de aquisição é R$., e que cosome aualmete R$ 2., em despesas de operação e mauteção? Cosidere uma taxa de juros de 5% a.a. Solução: A 2. P =., + =., + = ,33 i, 5 P = R$ ,33 Exemplo 8: Quato pode-se retirar a cada doze meses de um fudo de ivestimeto que rede % a.m., de forma a que ele sempre permaeça com o mesmo valor do ivestimeto iicial, que foi de R$ 5.,? Solução: i = ( +,)2 =,2825 a.a. A = i P =,2825 x 5., A = R$.34,25 Ou seja, a série perpétua correspode aos redimetos da aplicação. Egeharia Ecoômica Prof. Dr. Eg. Dipl. Wirt. Ig. Adreas Dittmar Weise 27

28 3. TAXAS DE JUROS 3.. CONSIDERAÇÕES GERAIS Todas as decisões que evolvem quatias de diheiro, além da quatia propriamete dita, devem também cosiderar o mometo o tempo em que esta quatia será desembolsada ou recebida. O fluxo de caixa é um diagrama que mostra as quatias de diheiro (desembolsos e recebimetos) ao logo do período cosiderado a aálise. Este diagrama é composto de uma reta horizotal, que costitui-se a escala de tempo, e por flechas verticais, que represetam as etradas e saídas de diheiro (Figura ). F F 2 F 3 F 4 F P (=I =F ) Figura : Fluxo de caixa geérico Os períodos de tempo são represetados em itervalos cotíguos, progredido da esquerda para a direita, iiciado o istate (iício do primeiro período a ser cosiderado a aálise) e termiado o istate (fim do último período a ser cosiderado a aálise). Assim, cada úmero represeta o período de tempo acumulado até aquele poto. Por coveção, as saídas de diheiro são represetadas por flechas para baixo, abaixo da liha de tempo, e as etradas de diheiro são represetadas por flechas para cima, acima da liha de tempo. As flechas ão precisam represetar em escala as quatias de diheiro. Por hipótese, os valores ocorrem um úico mometo em cada período cosiderado. O valor iicial é desembolsado (ou recebido) o istate zero, e os demais recebimetos (ou desembolsos) dão-se o fim de cada período em que ocorrem, a meos que idicado de outro modo. Não existe uiformização de simbologia a bibliografia dispoível, variado de autor para autor. A simbologia apresetada a seguir é a mais comum, e será adotada este texto. Costuma-se idetificar geericamete a quatia iicial pela letra P (valor Presete) ou I (Ivestimeto) e as quatias seguites por F i, com i =,..., (valor Futuro). A quatia iicial também pode ser represetada por F. Quado todos os valores futuros são iguais e cosecutivos, eles são comumete represetados pela letra A (de Auidade, embora em sempre os períodos cosiderados teham esta periodicidade). Estes valores costituem uma série uiforme de pagametos (ou recebimetos), iiciado o período e termiado o período (Figura ). Egeharia Ecoômica Prof. Dr. Eg. Dipl. Wirt. Ig. Adreas Dittmar Weise 28

29 2 3 A Figura : Série uiforme de pagametos Uma variate da série uiforme é a série uiforme atecipada, que difere daquela apeas o fato de que os pagametos (ou recebimetos) iiciam já o período iicial (data zero) do fluxo de caixa, termiado o período -, coforme mostrado a Figura A Figura 2: Série uiforme atecipada de pagametos Uma série de pagametos (ou recebimetos) que cresce a uma razão costate G em cada período, iiciado com o valor G o período 2, e termiado com o valor (-)G o período, é deomiada de série em gradiete (Figura 3). Observe que esta série ão apreseta ehum valor o período G 2G 3G (-)G Figura 3: Série gradiete de pagametos 3.2 TAXA NOMINAL E TAXA EFETIVA Uma taxa de juros efetiva é aquela a qual o período referido a taxa coicide com o período de capitalização (exemplo: 2% a.a. com capitalização aual). Mas em sempre o período referido a taxa coicide com o período de capitalização (exemplo: 2% a.a. com capitalização mesal). Muitas vezes uma taxa de juros é assim euciada para aparetar um redimeto maior, ou aparetar uma cobraça de juros mais baixa. Nesta situação, temse uma taxa de juros omial. Para uma taxa omial i, capitalizada k vezes por período, a taxa efetiva i é: Egeharia Ecoômica Prof. Dr. Eg. Dipl. Wirt. Ig. Adreas Dittmar Weise 29

30 i k ( i) ( ) k (48) i k i ( ) - k (49) Um outro modo de solucioar o problema cosiste em trasformar primeiro a taxa omial uma taxa efetiva, cosiderado o período de capitalização euciado, e a seguir aplicar a Equação 5: i i k (5) i eq = ( + i)k (5) Resolução em plailha eletrôica: Fórmulas da plailha: C5 = (+C2/C3)^2- C = EFETIVA(C2;C3) Exemplo 9: Qual a taxa aual efetiva equivalete a taxa de 3% a.a. com capitalização mesal? Solução : Solução 2: i,3 2 ( ) - i ( ) - =,3449 = 34,49% a.a. k 2 i k i 3% i i 2,5% a.m. k 2 I eq = ( + i)k = ( +,25)2 =,3449 = 34,49% a.a. Exemplo 2: Qual a taxa mesal efetiva equivalete a taxa de 4% a.m. com capitalização aual? Solução : i,4 /2 ( ) - i ( ) - =,332 = 3,32% a.a. k /2 i k Egeharia Ecoômica Prof. Dr. Eg. Dipl. Wirt. Ig. Adreas Dittmar Weise 3

31 Solução 2: i 4 % i i i = 4% a.m. x 2 meses = 48% a.a. (taxa efetiva) k 2 I eq = (+ i)k = ( +,48)/2 =,332 = 3,32% a.m. 3.3 TAXAS COBRADAS ANTECIPADAMENTE Em algus empréstimos costuma-se cobrar atecipadamete os juros. Ou seja, os juros são pagos o mometo em que se recebe o diheiro emprestado, sedo devolvido o fial apeas o pricipal emprestado. Nestas situações, a taxa de juros real é maior do que aquela euciada. Exemplo 2: Calcule a taxa efetiva aual e mesal de um empréstimo de R$. por um ao a uma taxa de 3% a.a., sedo os juros cobrados atecipadamete. Solução. Juros: J = R$. x,3 = R$ 3., Diheiro efetivamete recebido: P = R$., R$ 3., = R$ 7., Diheiro a ser devolvido: F = R$., 7.. F = P ( + i). = 7. ( + i) * i = (. / 7.) i =,428 = 42,8% a.a. i = (+ i)/m = ( +,428)/2 =,32 = 3,2% a.m. 3.4 TAXAS EQUIVALENTES A taxa de juros sempre é expressa em termos uméricos e com meção de seu período de capitalização. Duas taxas de juros podem ser equivaletes, ou seja, produzirem o mesmo motate após um mesmo período de tempo, porém com períodos de capitalização diferetes. A coversão etre taxas de juros é feita utilizado-se a relação: P( + i eq ) = P( + i)k (52) i eq = ( + i)k (53) Egeharia Ecoômica Prof. Dr. Eg. Dipl. Wirt. Ig. Adreas Dittmar Weise 3

32 ode: i eq taxa de juros equivalete i - taxa de juros a ser covertida k úmero de vezes que a taxa i vai ser capitalizada o período Duas situações podem ocorrer: coverter uma taxa de juros com um período de capitalização meor em uma taxa com um período de capitalização maior ou coverter uma taxa de juros com um período de capitalização maior em uma taxa com um período de capitalização meor. Exemplo 22: Coverter a taxa de juros de % a.m. para uma taxa de juros com capitalização aual. Solução: i eq = ( + i)k = ( +,)2 = 2,8% a.a. Exemplo 23: Coverter a taxa de juros de 2% a.a. para uma taxa de juros com capitalização mesal. Solução: i eq = (+ i)k = ( +,2)/2 =,9489% a.m. 3.5 TAXA GLOBAL DE JUROS P corr. P P corr. = P( + ) (54) F = P corr. ( + i) (55) F = P( + )( + i) (5) F = P( + i g ) (57) Ode i g é a taxa global que cosidera simultaeamete a iflação e os juros. P( + i g ) = P( + )( + i) (58) ( + i g ) = ( + )( + i) (59) i g = ( + )( + i) - () Egeharia Ecoômica Prof. Dr. Eg. Dipl. Wirt. Ig. Adreas Dittmar Weise 32

33 Exemplo 24: Determie o valor atualizado de um ivestimeto de R$ 75., feito a 2 meses. Neste tempo, ele foi corrigido pela iflação que ocorreu o período (8%) e foi remuerado por uma taxa de juros de 2,%. Solução: F = P( + )( + i) F = 75.,( +,8)(+,2) = 9.72, Exemplo 25: Um cliete deseja fiaciar uma compra de R$ 8.5, em vezes, sem etrada. Qual é o valor de cada prestação que deve ser cobrada dele, se estima-se uma iflação de 2,3% a.m. e a TMA da empresa vededora for de,5% a.m.? A =? 8.5 A P ig ig i g ( + i g ) = ( + i)( + ) ( + i g ) = ( +,5)( +,23) i g = 3,83% a.m.,383,383,383. A 85 A =.2,5 3. TAXA MÍNIMA DE ATRATIVIDADE A taxa míima de atratividade (TMA) é a meor taxa que um ivestidor aceita como retabilidade para um ivestimeto. É a taxa a partir da qual o ivestidor cosidera que está tedo gahos fiaceiros (Casarotto; Kopitke, 994). Sua determiação deve cosiderar duas situações:. A TMA deve remuerar adequadamete os capitais (próprios e de terceiros) ivestidos: os os Quat Cap Própr x Custo Cap Própr Quat Cap 3 x CustoCap 3 Custode Capital () Totaldo Capital 2. A TMA deve expressar a remueração de um ivestimeto alterativo, de baixo risco, para o ivestidor. Egeharia Ecoômica Prof. Dr. Eg. Dipl. Wirt. Ig. Adreas Dittmar Weise 33

34 A TMA a ser adotada é a maior das ecotradas as duas situações acima mecioadas. Assim sedo, verifica-se que a TMA depede da situação ecoômica e fiaceira do ivestidor. Cada ivestidor, ou empresa, tem sua própria TMA. Somete pode-se somar ou comparar quatias de diheiro que estejam referidas a um mesmo período de tempo. Para movimetar quatias de diheiro o tempo, utiliza-se uma taxa de juros deomiada de taxa de descoto (ormalmete, deve-se comparar valores atuais com valores futuros, devedo-se, pois descotar estes últimos valores). Numa aálise de ivestimeto, a taxa de descoto a ser utilizada pelo ivestidor é a sua TMA. Por isso, um ivestimeto pode ser atrativo para um ivestidor A e ão ser atrativo para um ivestidor B, por exemplo. Exemplo 2: Uma empresa está avaliado a possibilidade de diversificar seus egócios. Para tal, dispõe de 35% do capital ecessário, devedo fiaciar os 5% restates, a um custo de 2% a.a. (o diheiro emprestado somete poderá ser aplicado este projeto). Os acioistas exigem uma remueração de 5% a.a. do capital ivestido a empresa. Caso a empresa desista deste egócio, ela pode aplicar seu diheiro em papéis do govero, a um redimeto de 2,8% a.a. Qual a TMA que a empresa deve adotar a aálise deste ivestimeto? Solução: Custo do diheiro: Custo de Capital 35% x 5% 5% x 2% 3,5% % Remueração do ivestimeto alterativo: 2,8% a.a. Logo, para a aálise de viabilidade ecoômica deste empreedimeto deve ser adotada uma TMA de 3,5% a.a. Egeharia Ecoômica Prof. Dr. Eg. Dipl. Wirt. Ig. Adreas Dittmar Weise 34

35 4. FINANCIAMENTO 4. FONTES DE RECURSOS Para a execução de um projeto de ivestimeto, em sempre os recursos próprios são suficietes, devedo uma parte ser fiaciada. De qualquer forma, o aporte de capital próprio é muito importate, dado que quase sempre as istituições fiaceiras só emprestam diheiro até certos limites do capital total ecessário. A decisão de fiaciar o projeto implica em modificações o custo do capital para a empresa. Este custo é uma média poderada do custo dos recursos próprios e do custo dos recursos de terceiros. O retoro de um projeto deve, o míimo, cobrir estes custos. O diheiro proveiete de empréstimos, ao cotrário do capital próprio, ão participa o risco empresarial associado ao projeto. Por isso, ormalmete é remuerado a uma taxa mais baixa do que o capital dos acioistas (quotistas). Além disso, os juros são cosiderados como despesas para efeito de tributação, ou seja, dimiuem o imposto de reda a pagar. A desvatagem dos empréstimos é que eles tem datas de vecimetos prefixadas para serem restituídos. Além disto, os direitos dos credores tem preferêcia sobre os direitos dos proprietários da empresa, uma evetual liquidação. O capital próprio ão tem data de vecimeto, salvo os casos de sociedades costituídas por tempo limitado. Por participarem o risco do projeto, os proprietários recebem uma remueração média maior e tem o cotrole admiistrativo do empreedimeto. Para obter crédito juto às istituições fiaceiras, as empresas precisam ateder algums requisitos. Etre outras codições, elas devem: aportar uma parcela míima de recursos próprios; oferecer garatias reais; demostrar que tem codições de cumprir os compromissos assumidos; e demostrar que o projeto é retável. O edividameto excessivo pode provocar um risco fiaceiro elevado, que pode comprometer a viabilidade do projeto. A capacidade fiaceira do projeto correspode à capacidade dele gerar receitas que cubram, pelo meos, os custos de produção, as despesas fiaceiras (juros) e gerar recursos para devolver os empréstimos. Defie-se como risco primário a risco associado à possibilidade de que o fluxo de caixa gerado pelo projeto ão seja suficiete para pagar os juros e as amortizações das dívidas (icluido as debêtures e os dividedos obrigatórios dos acioistas prefereciais). A possibilidade de que os proprietários (possuidores de ações ordiárias ou quotistas) ão sejam remuerados é defio como risco secudário (Woiler & Mathias, 985). 4.. Fatores a serem cosiderados a seleção das fotes de fiaciameto Para a aálise dos recursos ecessários à implemetação de um projeto, deve-se prever o volume total de ivestimetos e o correspodete croograma de desembolsos. Com estes dados, pode-se fazer a busca e seleção das fotes de recursos ecessários à execução do projeto. Woiler & Mathias (985) recomedam aalisar os seguites fatores a seleção de fiaciametos: a) Compatibilidade: os fudos devem ser adequados às aplicações previstas. Deve-se cosiderar que os fiaciametos de curto prazo são ormalmete mais caros que os de logo prazo. Daí a recomedação de que eles sejam utilizados apeas para fiaciar parte do ativo circulate. Egeharia Ecoômica Prof. Dr. Eg. Dipl. Wirt. Ig. Adreas Dittmar Weise 35

36 b) Risco: fotes que participam do risco do egócio exigem uma remueração maior. Para otimizar seu custo de capital, a empresa deve balacear adequadamete a participação das diferetes fotes de recursos. c) Redimeto: quato mais elevado for o risco do empreedimeto, maior será a remueração exigida do projeto de ivestimeto. d) Cotrole: um edividameto excessivo levar à perda do cotrole da empresa os credores podem querer iterferir a sua admiistração, de modo a garatir a restituição dos empréstimos. e) Flexibilidade: um edividameto elevado pode dificultar a cocessão de ovos empréstimos à empresa, mesmo que existam recursos a custos baixos. Isto dificulta a flexibilidade da empresa de alterar a composição dos fudos que a fiaciam. f) Época: a dispoibilidade de recursos e os seus custos depedem da liquidez existete a ecoomia. Assim, em termos de obteção de recursos, um projeto pode ser viável uma época e iviável em outra Classificação das fotes de fiaciameto As fotes de fiaciametos podem ser classificadas (Holada, 975; Woiler & Mathias, 985): a) Quato ao prazo: curto prazo: empréstimos bacários em cota correte; crédito mercatil, operações de descoto de duplicatas; médio prazo: empréstimos e créditos diversos; logo prazo: empréstimos bacários, debêtures, aporte próprio (lucros retidos, ações). b) Quato à origem: fotes iteras: reservas (depreciação, exaustão, outras reservas, etc.), lucros retidos, outros fudos e provisões; fotes exteras: aportes ovos de capital próprio (ações), e empréstimos (istituições fiaceiras, forecedores, debêtures, etc.). ou aida: recursos próprios: lucros retidos, reservas diversas e ações; recursos de terceiros: empréstimos diversos. 4.2 SELEÇÃO DAS FONTES DE FINANCIAMENTO Evidetemete, procura-se sempre obter recursos as fotes que represetam os meores custos de fiaciameto. Na maior parte das vezes, os custos especificados pelas istituições fiaceiras são omiais. Para chegar-se aos custos efetivos, deve-se calcular as taxas efetivas de juros e a cobraça de diversas taxas (admiistrativas, de abertura de crédito, de aval, etc.), comissões, além do imposto sobre operações fiaceiras (IOF). Também as cotrapartidas exigidas pela istituição fiaceira, como saldo médio em cota correte e/ou aplicações, seguros, etc., represetam um custo adicioal. O problema da seleção da fote de fiaciameto resume-se, pois a selecioar aquela que tem o meor custo efetivo detre as opções dispoíveis. O custo efetivo de um empréstimo é obtido através do cálculo da taxa de juros real do empreedimeto, que correspode à taxa itera de retoro do fluxo de caixa do empréstimo. Egeharia Ecoômica Prof. Dr. Eg. Dipl. Wirt. Ig. Adreas Dittmar Weise 3

37 Além do critério ecoômico acima mecioado, deve-se também cosiderar o critério fiaceiro, ou seja, a questão ligada à dispoibilidade de caixa da empresa. O sistema de amortização, que determia o fluxo de caixa da devolução do empréstimo e do pagameto dos juros correspodetes, forece elemetos para este estudo. Os pricipais sistemas de amortização são: sistema fracês ou tabela price (TP); sistema de amortização costate (SAC); sistema de amortização misto (SAM); sistema de amortização crescete (SACRE); sistema americao; pagameto úico com juros postecipados; pagameto úico com juros atecipados; sistema de amortizações variáveis. 4.3 AMORTIZAÇÃO DE DÍVIDAS Muitas vêzes, para viabilizar um empreedimeto imobiliário faz-se ecessário fiaciar uma parte dos recursos ecessários. A devolução do empréstimo dá-se através de prestações. A cada período t é paga uma prestação, que é composta de uma parcela de amortização e de uma parcela de juros: p t = a t + j t (2) ode: p prestação a amortização j juros A amortização correspode à devolução do diheiro (pricipal) emprestado. Os juros são a remueração deste diheiro. Os juros icidem sobre o saldo devedor do período: j t = SD (t-) x i (3) ode: j juros SD saldo devedor i taxa de juros O saldo devedor do t-ésimo período é obtido mediate a subtração da parcela de amortização do período, do saldo devedor aterior: SD t = SD (t-) a t (4) ode: SD saldo devedor a amortização Os juros variam com o saldo devedor; à medida que este vai decrescedo, os juros também vão ficado meores. Algus fiaciametos icluem um prazo de carêcia, durate o qual ão há devolução do pricipal emprestado. Duas situações podem ocorrer: durate o prazo de carêcia ocorre o pagameto de juros; e durate o prazo de carêcia ão há ecessidade de pagameto de juros, que são capitalizados (somados ao saldo devedor, passam a também reder juros). Egeharia Ecoômica Prof. Dr. Eg. Dipl. Wirt. Ig. Adreas Dittmar Weise 37

38 A seguir serão apresetadas as pricipais modalidades de amortização de dívidas. 4.4 SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO FRANCÊS (TABELA PRICE) O Sistema Fracês de amortização também é cohecido como sistema de prestações costates. Este sistema de amortização caracteriza-se por ter suas prestações costates. Foi popularizado o crédito direto ao cosumidor e pelos fiaciametos para aquisição de casa (moradia) própria. Atualmete, é utilizado comumete e em algus fiaciametos de curto prazo. A Tabela Price (TP) é um caso particular do sistema fracês, o qual as taxas usadas os cotratos são omiais (usualmete são dadas em termos auais) e as prestações tem periodicidade meor do que aquela euciada a taxa (em geral, usam-se prestações mesais). Como a prestação é costate, a amortização é variável, crescedo expoecialmete ao logo do tempo. O saldo devedor decresce expoecialmete, seguido o movimeto dos juros (Figura 4). Prestação ($) Saldo Devedor ($) juros amortização Período Período (a) (b) Figura 4: Evolução da prestação (a) e do saldo devedor (b) o Sistema Fracês de amortização O valor da prestação p (que correspode ao valor A de uma série uiforme, coforme visto o capítulo 2) é dado por: p = P (A/P; i; ) (5) ou i ( i) p = P ( i) - () ou aida: i p = P - ( i) (7) ode: p valor da prestação (costate) P pricipal (dívida iicial) i taxa de juros úmero de períodos para amortização da dívida A amortização é obtida subtraido-se da prestação paga o valor correspodete aos juros do período: Egeharia Ecoômica Prof. Dr. Eg. Dipl. Wirt. Ig. Adreas Dittmar Weise 38

39 a = p j (8) Após o pagameto da t-ésima parcela, o saldo devedor é o valor presete das prestações que aida faltam pagar (Casarotto e Kopitke, 994), coforme mostra a Figura 5. SD t (t+) t p Figura 5: Saldo devedor o sistema fracês Etão: SD t = p [P/A; i; (-t)] (9) (-t) ( i) - ou SD t = p (7) (-t) i ( i) Para acompahar a evolução do pagameto da dívida, costuma-se motar uma plailha ode aparecem, período a período, a prestação, juros, amortização e saldo devedor. Resolução em plailha eletrôica: Fórmulas da plailha: C8 = +PGTO($C$3;$C$4;-$C$2) D8 = C2*C3 E8 = C8-D8 F9 = F8+E9 G9 = G8-E9 Exemplo 27: Fazer a plailha de amortização, usado o sistema fracês, de um empréstimo de R$., a ser pago em parcelas mesais. A taxa de juros é de 2,5% a.m. Calcule também o saldo devedor após o pagameto da ª prestação, usado a fórmula. Egeharia Ecoômica Prof. Dr. Eg. Dipl. Wirt. Ig. Adreas Dittmar Weise 39

40 Solução: i ( i) i p = P (A/P; i; ) = P = P - ( i) - ( i) p =. (A/P; 2,5%; ),25 (,25) p.425,88 (,25) -,25 ou p.425, 88 - (,25) SD =.425,88 x [P/A; 2,5%; (-)] (-) (,25) - SD 425, ,87 (-),25 (,25) Exemplo 28: Fazer a plailha de amortização, utilizado o sistema fracês (tabela PRICE), de um empréstimo de R$., a ser pago em parcelas mesais, com carêcia de três meses, durate a qual serão pagos apeas os juros. A taxa de juros é de 2,5% a.m. Solução: valor dos juros durate carêcia: j =., x,25 = R$ 2.5, Os demais cálculos são idêticos ao Exemplo 27. A plailha é mostrada abaixo: Período Prestação Juros Amortização Saldo Devedor., 2.5, 2.5,,., 2 2.5, 2.5,,., 3 2.5, 2.5,,., 4.425,88 2.5, 8.925, , , , , ,.425, , , , ,88.83,8 9.2, , 8.425,88.573, , , 9.425,88.327,7.98, ,85.425,88.74,.35, ,57.425,88 85,8., 22.22, ,88 55,5.875,3.47, ,88 278,8.47,2, Total., Exemplo 29: Fazer a plailha de amortização, utilizado o sistema fracês (tabela PRICE), de um empréstimo de R$., a ser pago em parcelas mesais, com carêcia de três meses, sedo os juros capitalizados durate este período. A taxa de juros é de 2,5% a.m. Solução: valor da dívida após capitalização dos juros: Egeharia Ecoômica Prof. Dr. Eg. Dipl. Wirt. Ig. Adreas Dittmar Weise 4

41 F = P (F/P; i; ) = P ( + i) F =. (F/P; 2,5%; 3) =. ( +,25)3 = R$ 7.89, Este é o ovo saldo devedor (R$ 7.89,), que deve ser devolvido em dez prestações. i ( i) valor da prestação: p = P (A/P; i; ) = ( i) - p = 7.89, (A/P; 2,5%; ),25 (,25) p 789, 2.34,42 (,25) - Segue abaixo a plailha de amortização. Observe que os juros dos meses de carêcia, por ão serem pagos este período, costituem amortizações egativas. Período Prestação Juros Amortização Saldo Devedor.,, 2.5, (2.5,) 2.5, 2, 2.52,5 (2.52,5) 5.2,5 3, 2.2,5 (2.2,5) 7.89, , ,23 9.2,9 98.7, , , , , , ,.98, , ,42.953,4.35, , ,42.94,3., 57.4, ,42.429,.875, ,9 2.34,42.57,22.47,2 35.4,7 2.34,42 878,54.425, , ,42 592,9.7,52 2.4, ,42 3, 2.4,3, Total., 4.5 SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE (SAC) Como o ome idica, o sistema de amortização costate caracteriza-se por ter suas amortizações costates. Neste sistema, a prestação e o saldo devedor decrescem liearmete (Figura ). Egeharia Ecoômica Prof. Dr. Eg. Dipl. Wirt. Ig. Adreas Dittmar Weise 4

42 Prestação ($) Saldo Devedor ($) juros amortização Período Período (a) (b) Figura : Evolução da prestação (a) e do saldo devedor (b) o SAC O valor da t-ésima prestação é dado pela relação: P t = a + j t (7) ode: p prestação do período t a amortização (costate) j juros do período t A amortização de cada período é dada por: a = P (72) ode: a amortização (costate) P pricipal (dívida iicial) úmero de períodos para amortização da dívida Os juros referetes ao t-ésimo período obtém-se fazedo: j t = SD (t-) x i (73) ode: j juros SD saldo devedor i taxa de juros Como o saldo devedor o t-ésimo período é dado por: SD t = P a x t (74) tem-se que j t = [P a x (t-)] x i (75) ou aida ( t ) j t = [ ] x P x i (7) A prestação em qualquer período será etão: t p t = P [ + (- )i] (77) Egeharia Ecoômica Prof. Dr. Eg. Dipl. Wirt. Ig. Adreas Dittmar Weise 42

43 Para o primeiro período (t = ) tem-se: P SD P x i SD x i (78) p Resolução em plailha eletrôica: Fórmulas da plailha: C8 = D8+E8 D8 = C2*C3 E8 = C2/C4 F9 = E9+F8 G9 = C$2-F9 Exemplo 3: Fazer a plailha de amortização, utilizado o sistema de amortização costate (SAC), de um empréstimo de R$., a ser pago em parcelas mesais. A taxa de juros é de 2,5% a.m. Calcule também o saldo devedor após o pagameto da ª prestação, usado a fórmula. Solução: p t = a + j t P. a = = = R$., Para o º período tem-se: jt = [P a x (t-)] x i j = [.. (-)] x, = R$., etão: p = a + j =., +., = R$., e o saldo devedor é: SD t = P a x t SD =.. x = R$ 9., SD =.. x = 4., Egeharia Ecoômica Prof. Dr. Eg. Dipl. Wirt. Ig. Adreas Dittmar Weise 43

44 Período Prestação Juros Amortização Saldo Devedor., 2.5, 2.5,., 9., , 2.25,., 8., 3 2., 2.,., 7., 4.75,.75,.,., 5.5,.5,., 5.,.25,.25,., 4., 7.,.,., 3., 8.75, 75,., 2., 9.5, 5,.,.,.25, 25,.,, Total., 4. SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO MISTO (SAM) O sistema de amortização misto (SAM) é uma composição etre o sistema fracês (tabela price TP) e o sistema de amortização costate (SAC). Assim sedo, apreseta amortizações crescetes e juros decrescetes. Suas prestações correspodem à média aritmética das prestações calculadas pelo sistema fracês e pelo sistema de amortização costate. O valor da primeira prestação é: P i ( i) p = [( ) + ( 2 + i)] (79) ( i) - ode: p valor da prestação iicial P pricipal (dívida iicial) i taxa de juros úmero de períodos para amortização da dívida O valor da prestação em qualquer período é dado por: ou i ( i) P p = [P + ( 2 + (P-(a(t-)i))] (8) ( i) - P i( i) t p i (8) 2 ( i) O cálculo dos juros, das amortizações e do saldo devedor para cada período seguem os pricípios já expostos este texto. Resolução em plailha eletrôica: Egeharia Ecoômica Prof. Dr. Eg. Dipl. Wirt. Ig. Adreas Dittmar Weise 44

45 Fórmulas da plailha: C8 = (C2/2)*(((C3*(+C3)^C4)/(((+C3)^C4)-))+((/C4)+(-((C5-)/C4))*C3)) D9 = G8 *C3 E9 = C9-D9 F9 = E9+F8 G9 = C2-F9 Exemplo 3: Fazer a plailha de amortização, utilizado o sistema de amortização misto (SAM), de um empréstimo de R$., a ser pago em parcelas mesais. A taxa de juros é de 2,5% a.m. Solução: Valor da prestação iicial: P i( i) t p i 2 ( i),25(,25) p, 25 2 (,25) p = 5. (, ,25) = R$.92,94 Período Prestação Juros Amortização Saldo Devedor.,.92,94 2.5, 9.42, , 2.837, , ,5 8.92, , , 9.88, , ,94.78,84 9.8,.47, ,94.53,9 9.92, ,33.337,94.288,53.49,4 4.49, ,94.37,3.75,4 3.3, ,94 782,9.35,3 2., ,94 525,28.437,.573,.837,94 24,34.573,, Total., Egeharia Ecoômica Prof. Dr. Eg. Dipl. Wirt. Ig. Adreas Dittmar Weise 45

46 4.7 SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CRESCENTE (SACRE) O sistema de amortização crescete (SACRE) é uma variação do sistema de amortização costate (SAC). No SACRE, a prestação é calculada como o SAC, mas é matida costate. Normalmete, esta prestação permaece cogelada por períodos determiados em cotrato (geralmete ao), após os quais se recalcula a prestação. O cálculo dos juros, das amortizações e do saldo devedor para cada período seguem os pricípios já expostos ateriormete. No SACRE, as parcelas de amortização são crescetes e os juros são decrescetes. Atualmete, este é o sistema mais utilizado pela Caixa Ecoômica Federal em suas lihas de crédito imobiliário. Resolução em plailha eletrôica: Fórmulas da plailha: C8 = C2/C4+C2*C3 D9 = G8*C3 E8 = C7-C8 Exemplo 32: Fazer a plailha de amortização, utilizado o sistema de amortização crescete (SACRE), de um empréstimo de R$., a ser pago em parcelas mesais. A taxa de juros é de 2,5% a.m. Cosidere que: a) ão haverá recálculo da prestação; e b) haverá um recálculo da prestação, a metade do prazo de fiaciameto. Solução do item a): Valor da prestação do período até o período 9: P t = a + j t SD p =... = p 9 = + SD x i =. +. x,25 = R$ 2.5, Egeharia Ecoômica Prof. Dr. Eg. Dipl. Wirt. Ig. Adreas Dittmar Weise 4

47 Período Prestação Juros Amortização Saldo Devedor., 2.5, 2.5,., 9., 2 2.5, 2.25,.25, 79.75, 3 2.5,.993,75.5, , ,.73,9.78, , ,.4,87.38, ,7 2.5,.85,92.34,8 3.22, , 93,7.59, , , 3,4.88,8 2.38, , 35, ,3 454,8 2.5,, ,3-2.33,82 Total 2.33,82 p = 4,8 O valor da última prestação é: p = 2.5, 2.33,82 = R$ 4,8 ou p = SD 9 + j = 454, ,8 x,25 = R$ 4,8 Solução do item b): Valor da prestação do período até o período 5: P t = a + j t SD p =... = p 5 = + SD x i = Cálculo da ª até a 9ª prestação:. +. x,25 = R$ 2.5, SD 5 p =... = p 9 = + SD5 x i = , ,7x,25 = R$.73,2 5 Período Prestação Juros Amortização Saldo Devedor., 2.5, 2.5,., 9., 2 2.5, 2.25,.25, 79.75, 3 2.5,.993,75.5, , ,.73,9.78, , ,.4,87.38, ,7.73,2.85, , , ,2 948, , , ,2 75,2 9.97, ,2 9.73,2 45,43.2,83 8.4,37.73,2 2,.472, ,88 Total 2.43,88 p = 8.24,38 Egeharia Ecoômica Prof. Dr. Eg. Dipl. Wirt. Ig. Adreas Dittmar Weise 47

48 O valor da última prestação é: p =.73,2 2.43,88 = R$ 8.24,38 ou p = SD 9 + j = 8.4, ,37 x,25 = 8.24, OUTROS SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO 4.8. Sistema Americao No sistema americao pagam-se apeas os juros durate o prazo de empréstimo. No fial, são pagos os juros e devolvido o pricipal (Figura 7). P i P Figura 7: Sistema Americao A prestação, do período ao período (-) resume-se aos juros: p =...= p (-) = j = i P (82) e o último pagameto é: p = i P + P (83) ode: p prestação j juros i taxa de juros P pricipal Resolução em plailha eletrôica: P Egeharia Ecoômica Prof. Dr. Eg. Dipl. Wirt. Ig. Adreas Dittmar Weise 48

49 Fórmulas da plailha: C8 = C2*C3 C8 = C2*C3+C2 Exemplo 33: Calcule as prestações mesais, utilizado o sistema americao, de um empréstimo de R$., a ser devolvido em dez meses. A taxa de juros é de 2,5% a.m. Solução: Prestações do mês ao 9: p =... = p 9 = i P =,25 x. = R$ 2.5, Prestação do mês : p = i P + P =,25 x. +. = R$ 2.5, Pagameto úico, com juros postecipados No sistema de pagameto úico, com juros postecipados, tato o pricipal como os juros são devolvidos uma úica parcela, o fial do prazo de empréstimo: p = P ( +i) (84) ode: p prestação P pricipal i taxa de juros úmero de capitalizações o prazo do empréstimo Resolução em plailha eletrôica: Fórmulas da plailha: C7 = C2*(+C3)^C4 Exemplo 34: Calcule a quatia a ser devolvida após dez meses, o sistema de pagameto úico com juros postecipados, referete a um empréstimo de R$., à taxa de juros de 2,5% a.m. Solução: p = P ( +i) =. ( +,25) = R$ 28.8, Pagameto úico, com juros atecipados No sistema de pagameto úico, com juros atecipados, os juros são cobrados o istate em que o empréstimo é cedido, e o pricipal é devolvido uma úica parcela, o fial do prazo de empréstimo. Deve-se observar que este tipo de empréstimo a taxa de juros euciada é sempre meor do que a taxa efetivamete cobrada. Egeharia Ecoômica Prof. Dr. Eg. Dipl. Wirt. Ig. Adreas Dittmar Weise 49

50 Resolução em plailha eletrôica: Fórmulas da plailha: C7 = C2*(+C3)^C4-C2 Exemplo 35: Calcule a taxa de juros efetiva de um empréstimo de R$., por dez meses, à taxa de juros de 2,5% a.m., cobrados atecipadamete. Solução: juros a serem pagos atecipadamete: j = P ( +i) P =. ( +,25)., = R$ 28.8,45 Cálculo da taxa de juros: F = P ( +i). = (., 28.8,45) ( +,25) = 7.99,55 ( +,25) i = (. / 7.99,55) / =,334 = 3,34% a.m Sistema de amortizações variáveis No sistema de amortizações variáveis as prestações cotradas pelas partes são variáveis. Por isso, as amortizações também são variáveis (Figura 8). Prestação ($) juros amortização Período Figura 8: Sistema de amortizações variáveis O cálculo dos juros, das amortizações e do saldo devedor para cada período seguem os pricípios já cometados ateriormete. 4.9 COMENTÁRIOS SOBRE OS SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO Egeharia Ecoômica Prof. Dr. Eg. Dipl. Wirt. Ig. Adreas Dittmar Weise 5

51 Qual é o melhor sistema de amortização? A resposta a esta perguta depede de uma série de fatores e da forma com que estes pesam a aálise: velocidade de recuperação do capital, valor das prestações, quatia de juros pagos, risco evolvido a trasação, etc. Cada situação apreseta particularidades que devem ser cuidadosamete estudadas. Além disto, há que se cosiderar que o poto de vista do credor em sempre coicide com o poto de vista do devedor. Qual o sistema que mais cobra juros? Para respoder a esta perguta, deve-se calcular o valor presete dos juros pagos em cada sistema. Para exemplificar, a Tabela mostra os resultados destes cálculos para os exemplos resolvidos este capítulo, para os pricipais sistemas de amortização utilizados em empréstimos de logo prazo. Não foi cosiderado ehum prazo de carêcia e a taxa utilizada foi a mesma dos exemplos (2,5% a.m.). Sistema de amortização Valor Presete dos juros pagos (R$) Sistema fracês (TP) 2.98,28 Sistema de amortização costate (SAC) 2.479,3 Sistema de amortização misto (SAM) 2.98,82 Sistema de amortização crescete (SACRE (a)).839,82 Sistema de amortização crescete (SACRE (b)) 2.24,7 Tabela : Juros pagos em diferetes sistemas de amortização A Tabela 2 e a Figura 9 mostram o comportameto das prestações os sistemas TP, SAC, SAM e SACRE, para os exemplos explorados. Período [meses] Prestação [R$] TP SAC SAM SACRE (a) SACRE (b).425,88 2.5,.92,94 2.5, 2.5, 2.425, ,.837,94 2.5, 2.5, 3.425,88 2.,.72,94 2.5, 2.5, 4.425,88.75,.587,94 2.5, 2.5, 5.425,88.5,.42,94 2.5, 2.5,.425,88.25,.337,94 2.5,.73, ,88.,.22,94 2.5,.73, ,88.75,.87,94 2.5,.73, ,88.5,.92,94 2.5,.73,2.425,88.25,.837,94 4,8 8.24,38 Tabela 2: Comportameto da prestação em algus sistemas de amortização Egeharia Ecoômica Prof. Dr. Eg. Dipl. Wirt. Ig. Adreas Dittmar Weise 5

52 Prestação [$] Período TP SAC SAM SACRE (b) Figura 9: Comportameto da prestação em algus sistemas de amortização A Tabela 3 apreseta o comportameto dos saldos devedores os sistemas TP, SAC, SAM e SACRE, para os exemplos explorados. Período [meses] Saldo Devedor [R$] TP SAC SAM SACRE (a) SACRE (b).,.,.,.,., 9.74,2 9., 9.537, 9., 9., , 8., 8.92, , 79.75, ,35 7., 7.273, , , ,.,.47, , , , 5., 5.54, , , ,85 4., 4.49, , , ,57 3., 3.3, , , ,5 2., 2., , ,2 9.47,2.,.573, 454,8 8.4,37,,,,, Tabela 3: Comportameto do saldo devedor em algus sistemas de amortização O sistema que permite a meor prestação, para o tomador de empréstimo, é o sistema fracês. Em cotrapartida, é o sistema ode se pagam os maiores juros. Em empréstimos de curto prazo, é o sistema mais utilizado, pois evidecia ao tomador do empréstimo se ele poderá cumprir o compromisso assumido. O sistema de amortização costate (SAC), ormalmete empregado em empréstimos de logo prazo, permite uma recuperação mais rápida, por parte do credor, do diheiro emprestado. Com isso, ele tem seu risco dimiuído. Para o tomador do empréstimo, apesar de exigir uma maior capacidade de pagameto os períodos iiciais, a vatagem está o pagameto de meos juros. O sistema de amortização misto (SAM) é exatamete o meio termo etre a tabela price e o sistema de amortização costate. O sistema de amortização crescete (SACRE) é atualmete muito utilizado pela Caixa Ecoômica Federal em suas lihas de crédito imobiliário (Apeas algumas lihas de Egeharia Ecoômica Prof. Dr. Eg. Dipl. Wirt. Ig. Adreas Dittmar Weise 52

53 crédito voltadas à população de baixa reda cotiuam usado a tabela price). É o sistema que permite a mais rápida recuperação do capital emprestado. Outro fator de dimiuição do risco do credor é o modo de cálculo da prestação, que dilui sigificativamete o impacto egativo da iflação sobre o saldo devedor e o recálculo das prestações. Os outros métodos apresetados (sistema americao, pagameto úico com juros postecipados e pagameto úico com juros atecipados, sistema de amortizações variáveis) são ormalmete utilizados apeas em empréstimos de curto prazo. 4. CORREÇÃO MONETÁRIA DOS EMPRÉSTIMOS A correção moetária dos empréstimos é feita para compesar a iflação ou uma variação cambial, o caso de empréstimos em moeda estrageira. Duas situações podem ocorrer: a prestação é calculada após a icorporação da correção moetária ao saldo devedor, ou, a prestação é calculada ates da icorporação da correção moetária ao saldo devedor. 4.. Prestação calculada após a icorporação da correção moetária ao saldo devedor Nesta situação, o saldo devedor deve ser recalculado cosiderado-se a taxa de correção moetária relativa ao período trascorrido. Calculam-se etão a prestação, os juros e a amortização em fução do saldo devedor corrigido. Na motagem da plailha de amortização é coveiete iserir uma colua para o cálculo do saldo devedor corrigido. O saldo devedor corrigido é obtido pela Equação 85. SD t corrig = SD t-. ( + t ) (85) Ode: t taxa de correção moetária para o período t SD t corrig saldo devedor corrigido, relativo ao iício do período t (fial do período t ) Para o Sistema Fracês (Tabela Price) tem-se as seguites relações: p t = SD t corrig (A/P; i; ) = SD t corrig j t = SD t corrig. i a t = p t j t SD t = SD t corrig a t i ( i) ( i) -(t-) -(t-) - Ode os elemetos das fórmulas tem o mesmo sigificado já apresetado em fórmulas ateriores. Para os demais sistemas de amortização, o procedimeto é aálogo. Exemplo 3: Fazer a plailha de amortização do Exemplo 27 (Sistema Fracês), cosiderado o seguite comportameto para as taxas de correção moetária: Egeharia Ecoômica Prof. Dr. Eg. Dipl. Wirt. Ig. Adreas Dittmar Weise 53

54 Período Correção Moetária (%),5,7 2, 2,3 2,,7,3,8 2,4 2, A prestação devida é calculada após a icorporação da correção moetária ao saldo devedor. Solução: P = R$., i = 2,5% a.m. = meses Período Taxa de CM SD corrig. Prestação Juros Amortização Saldo Devedor.,,5%.5,.597, ,5 9.59, ,24 2,7% 94.,72.794, , , ,59 3 2,% 8.258,95 2.3,3 2.5, , , 4 2,3% 78.4, ,.953,55.353, ,52 5 2,% 9.22,8 2.55,45.73,3.835, ,93,7% 59.39, ,.484,23.294, ,5 7,3% 48.99, ,9.27,49.727,7 3.97,77 8,8% 37.37,2 3.78,2 94, , ,99 9 2,4% 2.9, ,48 5, ,24 3.5,35 2,% 3.428,5 3.74,37 335, ,5, SD corrig = SD. ( + ) =., x (+,5) =.5, i ( i) p = P (A/P; i; ) = P ( i) - p = SD corrig. (A/P; 2,5%; ),25 (,25) p 5.597,2 (,25) - j = SD corrig. i =.5, x,25 = 2.537,5 a = p j =.597, ,5 = 9.59,7 SD = SD corrig - a =.5, ,7 = 92.44,24 SD 2 corrig = SD. ( + 2) = 92.44,24 x (+,7) = 94.,72 p 2 = SD 2 corrig. (A/P; 2,5%; 9) 9,25 (,25) p2 94.,72.794,42 9 (,25) - j 2 = SD 2 corrig. i = 94.,72 x,25 = 2.35,29 a 2 = p 2 j 2 =.794, ,29 = 9.444,3 SD 2 = SD 2 corrig a 2 = 94., ,3 = 84.57,59 Um outro procedimeto possível, é calcular a plailha de amortização sem a correção moetária, e após, corrigir cada liha da plailha de amortização pelo ídice de correção moetária (ou de variação cambial) acumulado. Para maior clareza, é iteressate icluir coluas ode são registrados os ídices de correção moetária do período e os ídices de correção moetária acumulados a serem aplicados. O ídice de correção moetária acumulado é obtido pela Equação 8: ICM t = (+ )..(+ 2 )....(+ t ) (8) Ode: ICMt - ídice de correção moetária acumulado a data t i taxa de correção moetária relativa ao período i i =, 2,..., t Egeharia Ecoômica Prof. Dr. Eg. Dipl. Wirt. Ig. Adreas Dittmar Weise 54

55 O Quadro mostra a motagem da plailha de amortização. Período Taxa de Correção Moetária Ídice de CM Acumulado Prestação Juros Amortização Saldo Devedor SD I CM = (+ ) p. I CM j. I CM a. I CM SD. I CM 2 2 I CM2 = (+ )..(+ 2 ) p 2. I CM2 j 2. I CM2 a 2. I CM2 SD 2. I CM I CM = (+ ). p.(+ 2 )....(+ ). I CM j. I CM a. I CM Quadro : Plailha de amortização com correção moetária Exemplo 37: Fazer a plailha de amortização do Exemplo 27 (Sistema Fracês), cosiderado o seguite comportameto para as taxas de correção moetária: Período Correção Moetária (%),5,7 2, 2,3 2,,7,3,8 2,4 2, Solução: a) Plailha de amortização sem correção moetária: Período Prestação Juros Amortização Saldo Devedor.,.425,88 2.5, 8.925, , , , , , 3.425, , , , ,88.83,8 9.2, , 5.425,88.573, , ,.425,88.327,7.98, , ,88.74,.35, , ,88 85,8., 22.22, ,88 55,5.875,3.47,2.425,88 278,8.47,2, Total., Egeharia Ecoômica Prof. Dr. Eg. Dipl. Wirt. Ig. Adreas Dittmar Weise 55

56 b) Plailha de amortização com correção moetária: Período Taxa CM Ídice Acum. SD corrig. Prestação Juros Amortização Saldo Devedor.,,5%,5.5,.597, ,5 9.59, ,24 2,7%, ,9.794, , , ,59 3 2,%, ,23 2.3,3 2.5, , , 4 2,3%, ,9 2.37,.953,55.353, ,52 5 2,%, , ,45.73,3.835, ,93,7%, , 2.779,.484,23.294, ,5 7,3%, , ,9.27,49.727,7 3.97,77 8,8%, , ,2 94, , ,99 9 2,4%, , ,48 5, ,24 3.5,35 2,%, , ,37 335, ,5, 4..2 Prestação calculada ates da icorporação da correção moetária ao saldo devedor Neste caso, as prestações são calculadas sobre o saldo devedor sem correção, havedo um resíduo o fial dos pagametos das prestações, devido a correção moetária ão paga(s) a(s) prestação(ões). A correção moetária, que é calculada sobre o saldo devedor do fial do período aterior e sobre a parcela de juros, é icorporada ao saldo devedor do iício do período em questão, que se matém desta forma atualizado. Assim, a amortização e os juros calculados pela Equação 2 são omiais. A amortização efetiva (real) deve cosiderar o efeito egativo da correção moetária. As equações 87 a 89 mostram como se fazem estes cálculos. CM t = SD t-. t + j t. t = (SD t- + j t ). t (87) a t efetiva = a t omial CM t (88) SD t = SD t- a t efetiva = SD t- a t omial + CM t (89) Ode: CM t Correção moetária do período t t - taxa de correção moetária do período t SD, j, a saldo devedor, juros, amortização lembrado que p t = a t omial + j t omial (9) ode a t omial e j t omial são ditos omiais porque o seu cálculo ão foi cosiderada a correção moetária. Exemplo 38: Fazer a plailha de amortização do Exemplo 27 (Sistema Fracês), cosiderado o seguite comportameto para as taxas de correção moetária: Período Correção Moetária (%),5,7 2, 2,3 2,,7,3,8 2,4 2, A prestação devida é calculada ates da icorporação da correção moetária ao saldo devedor. Solução: P = R$., i = 2,5% a.m. = meses Egeharia Ecoômica Prof. Dr. Eg. Dipl. Wirt. Ig. Adreas Dittmar Weise 5

57 Período Taxa CM Prestação Juros Amortização Nomial Correção Moetária Amortização Efetiva Saldo Devedor.,,5%.425,88 2.5, 8.925,88.537, ,38 92.,2 2,7%.8, , ,48.3,7 7.89, ,9 3 2,%.843, ,5 9.72,79.74, , ,2 4 2,3% 2.8,2.923,55.94,47.83,9 8.38,5 8.5,4 5 2,% 2.447,33.74,4.733,29.475, , ,95,7% 2.74,99.482,.282,39.33,37.249, ,93 7,3% 3.39,8.22,37.83,3 53,.59, ,29 8,8% 3.28,55 947, ,7 99,7.22, 2.273,29 9 2,4% 3.3,3 5, ,4 4, , ,5 2,% 4.293,78 348, ,5 285, ,27 285,88 p = 4.293, ,88 = 4.579, Ou p = 4.293,78 e p = SD + j + CM = SD + j + (SD + j ) x p = 285, ,88 x,25 + (285,88 + 7,5) x Muitos cotratos de fiaciameto prevêem reajustes periódicos, etre os quais a prestação se matém costate. Observe-se que, apesar das prestações serem reajustadas somete após um período de tempo maior do que o período de capitalização dos juros, o saldo devedor é reajustado a cada pagameto de prestação. Exemplo 39: Fazer a plailha de amortização, utilizado o sistema de amortização crescete (SACRE), de um empréstimo de R$ 3., a ser pago em 3 parcelas mesais. A taxa de juros é de % a.m mais a variação da TR, estimada em,5% a.m. Cosidere que haverá recálculo da prestação a cada 2 meses. Solução: Os cálculos referetes à plailha de amortização da págia seguite, são explicitados abaixo, para os períodos em que há mudaça de cálculo da prestação. Os demais cálculos seguem os pricípios já expostos. Prestações a 2: p = SD + SD x i = x, = R$.33,33 Correção moetária o período : CM = SD x TR + j x TR CM = 3. x,5 + 3 x,5 = R$ 5,5 Saldo devedor o período : SD = SD a efetiva = SD a omial + CM SD = 3., 8,83 = 3., 833,33 + 5,5 = R$ 29.38,7 Egeharia Ecoômica Prof. Dr. Eg. Dipl. Wirt. Ig. Adreas Dittmar Weise 57

58 Período Prestação Juros Amortização Correção Amortização Saldo Nomial Moetária Efetiva Devedor 3.,.33,33 3, 833,33 5,5 8, ,7 2.33,33 293,8 84,5 48, 92,9 28.2,7 3.33,33 28,2 847,7 44,5 72, ,5 4.33,33 279,24 854, 4, 73,8 27.2, ,33 272, 8,23 37,4 723, ,.33,33 24,87 88,47 33,7 734, , ,33 257,52 875,8 3,5 745,77 25.,9 8.33,33 25, 883,27 2,28 75, ,2 9.33,33 242,49 89,84 22,4 78, ,8.33,33 234,8 898,53 8,58 779, ,87.33,33 227, 9,32 4,4 79,9 2.99,8 2.33,33 29,9 94,24,4 83, 2.5,58 3.9,45 2, 879,4,58 772, ,7 4.9,45 23,33 887,3 2,8 784, ,32 5.9,45 95,48 894,97 98,72 79, ,.9,45 87,52 92,93 94,7 88, ,83 7.9,45 79,44 9,2 9,2 82,4 7.23,43 8.9,45 7,23 99,22 8,47 832,75.29,8 9.9,45 2,9 927,55 82,27 845, ,4 2.9,45 54,45 93, 78, 858, 4.587,4 2.9,45 45,87 944,58 73,7 87,9 3.7, ,45 37, 953,29 9,27 884, ,4 23.9,45 28,32 92,3 4,8 897,33.935,4 24.9,45 9,35 97,,27 9,83.24, ,94,24 98,9 55,7 83,2., ,94, 927,32 5,3 87, 9.285, ,94 92,85 93,8 4,89 889,9 8.39, ,94 83,9 944,97 42,4 92, , ,94 74,94 954, 37,84 9,.577, ,94 5,77 93, 33,22 929, ,4 3.28,94 5,47 972,4 28,52 943, , ,94 47,3 98,9 23,75 958, , ,94 37,45 99,48 8,9 972, , ,94 27,73.,2 4, 987,2.785, ,94 7,8.,8 9,2.2, 783, ,94 7,83.2, 3,9.7,4-233, Prestações 3 a 24: SD p 3 = + SD2 x i = , ,58 x, = R$.9,45 Correção moetária o período 3: CM 3 = SD 2 * TR + j 3 * TR CM 3 = 2.5,58 x,5 + 2, x,5 = R$,58 Saldo devedor o período 3: SD 3 = SD 2 a omial 3 + CM 3 = 2.5,58 879,4 +,58= R$ 2.332,7 Prestações 25 a 35: p 25 = SD + SD24 x i = ,3 +.24,3 x, = R$.28,94 2 Correção moetária o período 25: CM 25 = SD 24 * TR + j 25 * TR CM 25 =.24,3 x,5 +,24 x,5 = R$ 55,7 Saldo devedor o período 25: SD 25 = SD 24 a omial 25 + CM 25 =.24,3 98,9 + 55,7 = R$.,28 Egeharia Ecoômica Prof. Dr. Eg. Dipl. Wirt. Ig. Adreas Dittmar Weise 58

59 O valor da última prestação é: p 3 =.28,94 233, = R$ 795,27 ou p = 783, ,48 x, + (783,48 + 7,83) x,5 = 795,27 Exemplo 4: Refaça o exercício aterior, cosiderado agora que a variação da TR seja de,5% a.m. Solução: Pricipal juros prazo TR 3., % 3,5% Período Prestação Juros Amortização Nomial Correção Moetária Amortização Efetiva Saldo Devedor 3.,.33,33 3, 833,33 454,5 378, ,7 2.33,33 29,2 837,2 448,7 388, ,8 3.33,33 292,33 84, 442,88 398, ,8 4.33,33 288,35 844,99 43,85 48, , ,33 284,27 849,7 43, 48,4 28.8,3.33,33 28,8 853,25 424,32 428, ,2 7.33,33 275,79 857,54 47,82 439, , ,33 27,39 8,94 4, 45, ,7 9.33,33 2,89 8,45 44,33 42, 2.22,.33,33 22,27 87,7 397,33 473, ,8.33,33 257,53 875,8 39, 485, ,2 2.33,33 252,7 88, 382,8 497, , ,75 247,9.32, 375,2 5,8 24.2, ,75 24,3.38,2 35,3 73, , ,75 234,39.45,3 355, 9, ,98.279,75 227,49.52,2 344,5 77, 22.4, ,75 22,4.59,34 333,93 725,4 2.35, ,75 23,.,59 322,94 743, , ,75 25,72.74,3 3,7 72,3 9.89, ,75 98,.8,5 3,2 78, , ,75 9,28.89,47 288,28 8, , ,75 82,27.97,48 27,4 82, , ,75 74,.5,9 23,7 84,99.53, ,75 5,4.4, 25,94 83,7 5.7, ,4 57,.38,39 237,87.7,53 4.3,2 2.45,4 4,3.39, 22,5.97, , ,4 35,33.33,7 25,2.25,5 2.47, ,4 24,8.34,33 87,98.53,35.254, ,4 2,54.352,8 7,5.82,3.72, 3.45,4,72.34,8 52,59.22, ,9 3.45,4 88,.37,8 34,23.242,58 7.7, ,4 7,7.389,23 5,4.273,83.343, ,4 3,44.4,97 9,.35,8 5.37, ,4 5,38.45,3 7,32.338,7 3.98, ,4 3,99.428,4 5,4.372, ,5 3.45,4 23,27.442,4 35,25.4,89 99, ,8 9,2 933, 3,93 99,8, P 37 = 99,8 + 99,8 x, + (99,8 + 9,9) x,5 = 942,8 Egeharia Ecoômica Prof. Dr. Eg. Dipl. Wirt. Ig. Adreas Dittmar Weise 59

60 5. MÉTODOS DETERMINÍSTICOS DE ANÁLISE DE INVESTIMENTOS 5. VALOR PRESENTE LÍQUIDO O Valor Presete Líquido (VPL) de um fluxo de caixa é obtido pela soma de todos os valores do fluxo de caixa, trazidos para a data presete. Ou seja, descota-se os valores futuros para a data presete e soma-se estes valores descotados com o valor que o fluxo de caixa apreseta a data iicial. Como taxa de descoto, utiliza-se a TMA do ivestidor. ou: VPL VPL P t t F t i t F t i t (9) (92) Para ser viável, o projeto deve ter VPL. Resolução em plailha eletrôica: Fórmulas da plailha: C = =VPL(C2;D:I)+C5+(I7/((+C2)^)) Exemplo 4: Os ivestimetos em uma cocreteira, etre equipametos, veículos e aquisição de uma jazida, somam US$ 2.,. Os lucros esperados são de US$ 5.,/ao. Após aos, a jazida estará esgotada, e a empresa terá um valor residual de US$ 2.,. Determie o valor presete líquido (VPL) deste egócio, cosiderado uma TMA de 2% a.a. Período Ivestimetos -2., Lucro Aual 5., 5., 5., 5., 5., 5., Valor Residual 2., Fluxo de Caixa -2., 5., 5., 5., 5., 5., 7., Egeharia Ecoômica Prof. Dr. Eg. Dipl. Wirt. Ig. Adreas Dittmar Weise

61 Solução: VPL = P + A. (P/A; i; ) + F. (P/F; i; ) VPL = (P/A; 2%; ) + 2. (P/F; 2%; ) ( i) F VPL P A. i.( i) ( i) (,2) 2 VPL 2 5.,2.(,2) (,2) VPL = -2., ,8 +.32,2 = 4.37,43 Para ser viável, um projeto deve ter VPL. No caso de escolha etre mais de uma alterativa, a melhor será aquela que apreseta o maior VPL. 5.. Projetos com vidas iguais Neste caso, o horizote de plaejameto a ser cosiderado correspode à vida dos projetos. Exemplo 42: Dadas as duas opções de ivestimeto abaixo, determie a melhor delas, para um ivestidor cuja TMA é de 4% a.a. Utilize o método do VPL Ivestimeto A 42. Ivestimeto B VPL A = (P/A; 4%; 4),4 VPL A ,4,4 VPL B = (P/A; 4%; 4) VPL B, ,4,4 Logo, a melhor opção é o ivestimeto B , Egeharia Ecoômica Prof. Dr. Eg. Dipl. Wirt. Ig. Adreas Dittmar Weise.274,25

62 5..2 Projetos com vidas diferetes Neste caso, duas situações são possíveis: os projetos podem ser repetidos quado sua vida acabar, ou ão podem ser repetidos. Cada caso tem um procedimeto de aálise que será exposto a seguir Projetos com repetição Se dois projetos tem vidas diferetes, usa-se a aálise como horizote de plaejameto, o míimo múltiplo comum da duração dos mesmos. Exemplo 43: Calcular, pelo VPL, qual das alterativas abaixo para a compra de um equipameto, é mais ecoômica, supodo que haja repetição. A TMA do ivestidor é de 2% a.a. Equipameto A Equipameto B Custo iicial 3., 5., Vida útil 3 aos aos Ecoomias Auais 4., 5., Valor residual., 2., Equipameto A Equipameto B Solução: Ivestimeto A Ivestimeto B VPL A = (P/A; 2%; ) - 2(P/F; 2%; 3) + (P/F; 2%; ),2 2 3,2,2,2 VPL A 3 4,2 VPL B = (P/A; 2%; ) + 2(P/F; 2%; ) 8.39,4 Egeharia Ecoômica Prof. Dr. Eg. Dipl. Wirt. Ig. Adreas Dittmar Weise 2

63 VPL B,2 2,2,2 5 5,2.75,8 A melhor opção é o Equipameto A, pois apreseta o maior VPL Projetos sem repetição Neste caso, cada projeto será aalisado tomado-se como horizote de plaejameto a sua respectiva vida útil. Cosidera-se que a difereça etre os horizotes de tempo aalisados, os recursos do projeto de meor vida sejam aplicados à TMA. Como o valor presete de um fluxo de caixa de qualquer quatia aplicada à TMA é ulo, a cotribuição desta parcela o VPL total é ula, podedo-se pois, descosiderá-la a aálise. Etão, calcula-se o VPL para cada um dos projetos com sua respectiva vida, e escolhe-se o projeto com maior valor. Exemplo 44: Cosidere os mesmos dados do exemplo aterior, supodo agora que ão haja repetição (caso o ivestidor opte pela alterativa A, ele sairá do mercado após 3 aos, reaplicado seus gahos à TMA). Equipameto A Equipameto B Custo iicial 3., 5., Vida útil 3 aos aos Ecoomias Auais 4., 5., Valor residual., 2., Equipameto A Equipameto B Solução: VPL A = (P/A; 2%; 3) + (P/F; 2%; 3) 3,2 3,2,2 VPL A ,44 3,2 VPL B = (P/A; 2%; ) + 2(P/F; 2%; ) VPL B,2 2,2,2 5 5,2.75,8 A melhor opção agora é o Equipameto B, pois apreseta o maior VPL VALOR (OU CUSTO) ANUAL UNIFORME EQUIVALENTE VAUE OU CAUE 5.2. Valor aual uiforme equivalete Egeharia Ecoômica Prof. Dr. Eg. Dipl. Wirt. Ig. Adreas Dittmar Weise 3

64 O Valor Aual Uiforme Equivalete (VAUE) ou simplesmete Valor Uiforme Equivalete (VUE), é um método que cosiste em achar a série uiforme equivalete (A) ao fluxo de caixa do ivestimeto em aálise, à TMA do ivestidor. Se VAUE o projeto é viável. Resolução em plailha eletrôica: Fórmulas da plailha: C = VPL($C$2;$D$:$I$)+$C$5+(I7/((+C2)^)) C = PGTO(C2;I4;-C) Exemplo 45: Determie o valor aual uiforme equivalete (VAUE) da empresa caracterizada abaixo. A TMA do ivestidor é de 2% a.a. Período Ivestimetos -2., Lucro Aual 5., 5., 5., 5., 5., 5., Valor Residual 2., Fluxo de Caixa -2., 5., 5., 5., 5., 5., 7., Solução: VAUE = P. (A/P; i; ) + A + F. (A/F; i; ) VAUE = -2. (A/P; 2%, ) (A/F; 2%; ) Egeharia Ecoômica Prof. Dr. Eg. Dipl. Wirt. Ig. Adreas Dittmar Weise 4

65 i.( i) i VAUE P. A F. ( i) ( i),2.(,2),2 VAUE (,2) (,2) VAUE = ,4 + 5., ,5 VAUE = 9.89,37 Se um projeto apreseta VAUE, ele é viável. Etre dois projetos, deve-se escolher aquele que apreseta o maior VAUE Projetos com vidas iguais O horizote de plaejameto a ser cosiderado é o tempo de vida dos projetos. Exemplo 4: Os fluxos de caixa abaixo mostram duas alterativas para aquisição de um determiado sistema produtivo. Calcule a alterativa mais ecoômica para uma empresa que tem uma TMA de 8% a.a Alterativa A 33. Alterativa B Solução: VAUE A = -27.,(A/P; 8%; 5) +.5,,8,8 VAUE A , 5,8 VAUE B = -33.,(A/P; 8%; 5) + 2., VAUE B,8,8 33 5, ,33 A melhor opção é a alterativa A, por proporcioar o maior retoro Projetos com vidas diferetes Também este caso, duas situações são possíveis: os projetos podem ser repetidos quado sua vida acabar, ou ão podem ser repetidos. Os procedimetos para cada caso serão expostos a seguir Projetos com repetição Determia-se diretamete os VAUE s sem ecessidade de calcular o míimo múltiplo comum das vidas das alterativas. Egeharia Ecoômica Prof. Dr. Eg. Dipl. Wirt. Ig. Adreas Dittmar Weise 5

66 Exemplo 47: Selecioe a alterativa mais vatajosa etre as duas mostradas abaixo. Cosidere uma TMA = % a.a Alterativa A 47. Alterativa B Solução: VAUE A = -35(A/P; %;3) + 9,, VAUE A ,97 3, VAUE B = -47(A/P; %; 4) + 2 VAUE B,, 47 4, ,37 A melhor opção é o ivestimeto A, pois apreseta o maior VAUE Projetos sem repetição Neste caso, trasforma-se um dos fluxos em fluxo equivalete de mesmo horizote de tempo do outro, utilizado-se a TMA do ivestidor. Exemplo 48: Resolva o Exemplo 47 cosiderado que os projetos ão podem ser repetidos. Solução: Neste caso, trasforma-se a série uiforme de três aos uma série uiforme equivalete de quatro aos , Alterativa A 35. Egeharia Ecoômica Prof. Dr. Eg. Dipl. Wirt. Ig. Adreas Dittmar Weise

67 VP rec = 9(P/A; %; 3) 3 (, ) VP rec 9 3,(,) 42.7, 9 Série uiforme (A) para 4 aos: A = 427,9(A/P; %; 4) = 5.249,87,, A 427, ,87 4, VAUE A = -35(A/P; %; 4) ,87 VAUE A,, 35 4, , ,75 Como VAUE B = 3.23,37 a melhor opção agora é a alterativa B Custo aual uiforme equivalete O método do Custo Aual Uiforme Equivalete (CAUE) é uma variate do método do Valor Aual Uiforme Equivalete (VAUE). Este método é utilizado quado faz-se aálise de ivestimetos ode prepoderam as saídas de caixa, tedo-se, o fial, um valor que represeta um custo aual ao ivés de uma receita aual. Por isso, o CAUE iverte-se a coveção de siais: as saídas (desembolsos) tem sial positivo e as etradas (recebimetos) tem sial egativo. No mais, ele é idêtico ao VAUE. Etre outras aplicações, o CAUE é usado para determiar a vida ecoômica de um bem. A vida ecoômica de um bem é o horizote de tempo o qual este bem apreseta o meor custo total. O custo total cosidera o custo de capital (custo de aquisição) e os custos de operação (que iclui a mauteção) (Figura 2). CAUE Custo Total Custo de Operação Custo de Capital Vida Ecoômica Vida Útil Figura 2: Vida ecoômica de um bem Egeharia Ecoômica Prof. Dr. Eg. Dipl. Wirt. Ig. Adreas Dittmar Weise 7

68 Exemplo 49: Calcule a vida ecoômica de um veículo pelo método do CAUE. O preço do veículo ovo é R$. e a TMA do comprador é 4% a.a O valor de reveda e os custos de operação, ao a ao, são mostrados abaixo. Ao Valor Reveda Custo Operacioal Solução: ao: 2 aos: aos: aos: CAUE =.(F/P; 4%; ) = 24.4 Ou CAUE = [ - 54.(P/F; 4%; ) + +.(P/F; 4%; )].(A/P; 4%; ) = 24.4 CAUE 2 = [ +.(P/F; 4%; ) +.(P/F; 4%; 2) 49.(P/F; 4%; 2)].(A/P; 4%; 2) = 24.7 CAUE 3 = [ +.(P/F; 4%; ) +.(P/F; 4%; 2) 325.(P/F; 4%; 3)].(A/P; 4%; 3) = CAUE 4 = [ +.(P/F; 4%; ) +.(P/F; 4%; 2) + 25.(P/F; 4%; 3) - 2.(P/F; 4%; 4)].(A/P; 4%; 4) = 24.2 Resumido: Ao CAUE Egeharia Ecoômica Prof. Dr. Eg. Dipl. Wirt. Ig. Adreas Dittmar Weise 8

69 A vida ecoômica do veículo é de 3 aos, pois para este tempo ele apreseta o meor custo aual uiforme equivalete. 5.3 TAXA INTERNA DE RETORNO A Taxa Itera de Retoro (TIR) é a taxa que iguala os recebimetos futuros aos ivestimetos feitos o projeto, ou seja, é a taxa de descoto para a qual tem-se VPL =. É determiada por tetativas, testado-se diversas taxas de descoto. Se para uma tetativa tiver-se VPL>, deve-se aumetar a taxa; se VPL<, deve-se dimiuí-la. A taxa fial pode ser obtida por iterpolação liear etre uma taxa que forece VPL> e outra taxa que forece VPL<. Na realidade, o decréscimo do VPL quado se aumeta a taxa de descoto ão acotece de forma liear, por isso, quato mais próximas forem estas duas taxas, melhor será a iterpolação. Como VPL t Ft i etão, a TIR é a taxa i para a qual t Ft i t t (93) (94) Um projeto é cosiderado viável se TIR TMA. Resolução em plailha eletrôica: Fórmulas da plailha: C = TIR(C8:I8) Exemplo 5: Determie a taxa itera de retoro (TIR) da empresa caracterizada abaixo. A TMA do ivestidor é de 2% a.a. Período Ivestimetos -2., Lucro Aual 5., 5., 5., 5., 5., 5., Valor Residual 2., Fluxo de Caixa -2., 5., 5., 5., 5., 5., 7., Egeharia Ecoômica Prof. Dr. Eg. Dipl. Wirt. Ig. Adreas Dittmar Weise 9

70 Solução: VPL = P + A. (P/A; i; ) + F. (P/F; i; ) = (P/A; i; ) + 2. (P/F; i; ) = ( i) F VPL P A. i.( i) ( i) ( i) i.( i) ( i) para i = 5% VPL = 2.577,58 para i = 2% VPL = -7.73,47 para i = 9% VPL = -589,37 para i = 8% VPL = 93,8 Portato, a TIR está etre 8% a.a. e 9% a.a. O valor pode ser obtido por iterpolação liear: 93,8 9% 8% x -589,37 x % a.a. 93,8 % a.a. (9% - 8%) 525,55 (=93, ,37) x 93,8 525,55 x =, % a.a. Etão: TIR = 8 +, = 8, % a.a. Teste: para i = 8, % VPL = 24,27 Egeharia Ecoômica Prof. Dr. Eg. Dipl. Wirt. Ig. Adreas Dittmar Weise 7

71 5.3. Casos especiais A equação t Ft i t (95) pode ão apresetar ehuma solução o domíio dos úmeros reais. Neste caso, sua solução será um úmero imagiário. Esta equação também pode ter mais de uma solução, pois segudo a regra de siais de Descartes, podem existir tatas raízes quatas forem o úmero de variações de siais a equação. Neste caso, utiliza-se o artifício apresetado o exemplo abaixo. Exemplo 5: Verifique a viabilidade do ivestimeto abaixo, para um ivestidor que tem uma TMA de 2% a.a. (Fleischer, 973) Há duas soluções possíveis: TIR = 25% a.a. e TIR = 4% a.a. O problema pode ser resolvido capitalizado-se o adiatameto recebido o período até o período, pela TMA do ivestidor. Tem-se etão: F =.(,2) - = 92 = -88 e a equação para o cálculo da TIR passa a ser: ( + TIR) - = que tem como solução TIR = 23,8 % a.a Aálise icremetal O critério para aálise de viabilidade de um projeto é a comparação da TIR com a TMA do ivestidor. Sempre que a TIR for maior do que a TMA, o projeto é viável. Mas, se um projeto A apresetar uma TIR maior do que um projeto B (TIR A TIR B ), ão sigifica ecessariamete que o projeto A é melhor do que o projeto B. Na comparação etre diversas alterativas deve-se fazer uma aálise icremetal. A aálise icremetal cosiste em determiar a TIR do fluxo de caixa do projeto icremetal, obtido pela difereça etre o projeto que exige o maior ivestimeto e o projeto que ecessita de meos recursos. O projeto que exige mais recursos será melhor do que o outro somete se a TIR do projeto icremetal for maior do que a TMA do ivestidor. Egeharia Ecoômica Prof. Dr. Eg. Dipl. Wirt. Ig. Adreas Dittmar Weise 7

72 Na comparação etre diversos ivestimetos, deve-se ordeá-los em ordem crescete, cosiderado o ivestimeto iicial ecessário. Depois, comparam-se os projetos etre si, dois a dois, fazedo-se a aálise icremetal. Assim, a TIR do ivestimeto icremetal vai mostrar o redimeto do ivestimeto adicioal, que é feito o projeto maior. Se este redimeto for maior do que a TMA, vale a pea o esforço de ivestir o projeto que exige maior desembolso, devedo-se etão escolher o projeto maior. Exemplo 52: Usado o método da TIR, determie qual o melhor dos dois ivestimetos abaixo. A TMA do ivestidor é de 5% a.a. Ivestimeto A.5 Ivestimeto B Solução: (P/A; i; 7) = 7 i i i TIR A = 2,% a.a. TMA viável VPL (TMA=%)A = 7.42, (P/A; i; 7) 7 i i i TIR B = 23,8% a.a. TMA viável VPL (TMA=%)B = 8.275,8 A TIR do ivestimeto A é maior do que a TIR do ivestimeto B, porém o VPL do ivestimeto A é meor do que o VPL do ivestimeto B. Como o método do Valor Presete Líquido e o método da Taxa Itera de Retoro são equivaletes, devem coduzir ao mesmo resultado, ou seja, os dois métodos devem apotar o mesmo ivestimeto como sedo o melhor dos dois. A aparete cotradição etre os VPLs e TIRs calculados pode ser resolvida pela aálise icremetal. Nesta aálise é determiada a TIR de um ivestimeto fictício, obtido tomado-se o fluxo de caixa do ivestimeto maior e dimiuido-se dele o fluxo de caixa do ivestimeto meor. Etão: Egeharia Ecoômica Prof. Dr. Eg. Dipl. Wirt. Ig. Adreas Dittmar Weise 72

73 Ivestimeto Icremetal (B-A) (P/A; i; ) = i 27 7 i i TIR(B A) = 9,% a.a. TMA viável 7 Se a empresa optasse por ivestir em A, teria que aplicar o saldo um projeto que redesse 9% a.a. para equivaler ao projeto B. Como a alterativa que a empresa tem é ivestir a TMA (5% a.a.), sua melhor opção é ivestir em B. Ivestir em B, este caso, traz um retoro equivalete a ivestir em A e o projeto icremetal (A-B) Iterseção de Fisher A TIR do ivestimeto icremetal idetifica a taxa para a qual o VPL deste ivestimeto é ulo. Como Ivest (INCREMENTAL) = Ivest MAIOR - Ivest MENOR etão VPL (INCREMENTAL) = VPL MAIOR - VPL MENOR ou VPL MAIOR = VPL (INCREMENTAL) + VPL MENOR quado VPL (INCREMENTAL) = tem-se que VPL MAIOR = VPL MENOR Num gráfico VPL x TMA, o poto o qual as curvas de dois ivestimetos se cruzam, é deomiado de iterseção de Fischer (Figura 2). Este poto idetifica a taxa para a qual os VPLs dos dois ivestimetos são iguais. Assim, a iterseção de Fischer é dada pela taxa para a qual o VPL do ivestimeto icremetal é ulo, ou seja, pela TIR do ivestimeto icremetal. Egeharia Ecoômica Prof. Dr. Eg. Dipl. Wirt. Ig. Adreas Dittmar Weise 73

74 VPL B A Iterseção de Fisher VPL A = VPL B taxas Escolher B (maior ivest) Escolher A (meor ivest) Figura 2: Iterseção de Fischer No Exemplo 52 a iterseção de Fischer é dada pela taxa de 9% a.a. Para ivestidores que teham uma TMA meor do que esta taxa, o ivestimeto B é melhor; para ivestidores que teham uma TMA maior do que 9%, A é a melhor opção de ivestimeto, coforme mostrado a Figura Projetos com vidas diferetes Na aplicação do método da Taxa Itera de Retoro, quado se compara dois projetos que teham vidas diferetes, o procedimeto a adotar é o mesmo que para o método do Valor Presete: a) Projetos com repetição: utiliza-se como horizote de plaejameto o míimo múltiplo comum das vidas dos dois projetos. b) Projetos sem repetição: calculam-se diretamete as TIRs de cada ivestimeto. c) Nos dois casos, para selecioar o melhor projeto, deve-se fazer a aálise icremetal. 5.4 ANÁLISE BENEFÍCIO/CUSTO Neste método, calcula-se um ídice expresso pela relação etre o VPL dos beefícios (receitas e/ou ecoomias de custo) e o VPL dos ivestimetos para execução do projeto. Etão: IBC beefício t t t i ivestimeto i t t t (9) Egeharia Ecoômica Prof. Dr. Eg. Dipl. Wirt. Ig. Adreas Dittmar Weise 74

75 O IBC também pode ser calculado tomado-se uma base aual. Neste caso, será a relação etre os beefícios auais e o valor dos ivestimetos aualizados, de acordo com a Equação 9. beefício aual IBC (97) ivestimeto aual Se IBC etão o ivestimeto é viável. Exemplo 53: Determie o ídice beefício/custo (IBC) da empresa caracterizada abaixo. A TMA do ivestidor é de 2% a.a. Período Ivestimetos -2., Lucro Aual 5., 5., 5., 5., 5., 5., Valor Residual 2., Fluxo de Caixa -2., 5., 5., 5., 5., 5., 7., Solução: IBC beefício t t i ivestimeto t i t ) t t ( i) F A. i.( i) ( i P IBC (,2) 2 5.,2.(,2) (,2) ,8.32,2 IBC 2., IBC =, ,43 2., Egeharia Ecoômica Prof. Dr. Eg. Dipl. Wirt. Ig. Adreas Dittmar Weise 75

76 Ou: i A F beefício aual ( i) IBC ivestimeto aual i.( i) P ( i), (,2) IBC,2(,2) 2. (,2) 5., 2.44, , IBC 48.45, ,4 IBC =,22 Se IBC etão o ivestimeto é viável. Na comparação etre dois ivestimetos, para decidir qual é o melhor, também deve-de fazer uma aálise icremetal, a exemplo do que foi feito para a TIR. Exemplo 54: Utilizado-se os dados do Exemplo 52, calcule o IBC de cada um dos ivestimetos A e B, idicado qual o melhor dos deles. Solução: 5 P / A;5%;7 92P / A;5%; 7 IBC A,35 IBC B, IBC A =,35 viável IBC B =,28 viável Aálise icremetal: IBC B A 27 P / A;5%; 7 27,5.,5 7,5 7,2 IBC (B A) =,2 viável. Este ídice idica que o ivestimeto adicioal feito em B (em relação a A), traz beefícios maiores do que os custos adicioais. Logo, a melhor opção é o ivestimeto B TEMPO DE RECUPERAÇÃO DO CAPITAL (PAYBACK) O Tempo de Recuperação do Capital (TRC), também chamado de Período de Recuperação do Ivestimeto (PRI) e payback (PB), mede o tempo ecessário para recuperar o capital ivestido. O Payback é um método ão exato de aálise de ivestimeto, mas é muito usado por permitir uma avaliação do risco através do tempo ecessário para recuperar o capital ivestido. Resolução em plailha eletrôica: Egeharia Ecoômica Prof. Dr. Eg. Dipl. Wirt. Ig. Adreas Dittmar Weise 7

77 Fórmulas da plailha: C4 = C2/C3 Exemplo 55: Determie o tempo de recuperação do capital (TRC) ou pay-back (PB) da empresa caracterizada abaixo. Período Ivestimetos -2., Lucro Aual 5., 5., 5., 5., 5., 5., Valor Residual 2., Fluxo de Caixa -2., 5., 5., 5., 5., 5., 7., Solução: Recuperação do capital (RC): No período 3: RC = 3 x 5., = 8., < 2., No período 4: RC = 4 x 5., = 224., > 2., Etão, o payback é de 4 aos. Cotudo, o Exemplo 54 ão foi cosiderado o valor do diheiro o tempo, o que está icorreto. Para cotorar esta deficiêcia, foi criado o TEMPO DE RECUREPAÇÃO DO CAPITAL DESCONTADO (TRCD) ou PAY-BACK DESCONTADO (PBD), que leva em cota a TMA do ivestidor. Exemplo 5: Determie o tempo de recuperação do capital descotado (TRCD) ou payback descotado (PBD) da empresa caracterizada abaixo. A TMA do ivestidor é de 2% a.a. Período Ivestimetos -2., Egeharia Ecoômica Prof. Dr. Eg. Dipl. Wirt. Ig. Adreas Dittmar Weise 77