Conceitos Básicos Aplicações Uso de tabelas financeiras Uso da calculadora HP-12C Uso da planilha EXCEL

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1 CURSO BÁSICO DE MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA (Idicado para as Áreas: Ecoomia, Admiistração, Cotabilidade, Matemática e Preparação para Cocursos) Coceitos Básicos Aplicações Uso de tabelas fiaceiras Uso da calculadora HP-12C Uso da plailha EXCEL Prof. Ilydio Pereira de Sá

2 1) Itrodução: Curso Básico de Matemática Comercial e Fiaceira Todos ós sabemos da importâcia da Matemática Comercial e Fiaceira a vida de todas as pessoas. Ecoomistas, Admiistradores de Empresa, Professores, Empresários, Estudates, Cadidatos a Cocursos Públicos,... todos precisam estar familiarizados e atualizados com seus coceitos fudametais. Normalmete o que acotece a maioria dos cursos de graduação é que apredemos, de forma muito rápida, a usar a máquia a obteção das respostas dos problemas pricipais e, quase sempre, ão sabemos ao meos o que estamos fazedo e os coceitos que estão evolvidos a solução do problema. Em osso curso, procuraremos usar uma liguagem simples, com exemplos do mercado fiaceiro brasileiro, efocado sempre os coceitos matemáticos evolvidos em cada tópico estudado. As aplicações da Matemática Fiaceira serão abordadas através do uso de tabelas fiaceiras (mostradas em aexo, o fial da apostila), da calculadora HP-12C ou do uso da plailha Excel. HP 12 C "Apreder é descobrir aquilo que você já sabe. Fazer é demostrar que você o sabe. Esiar é lembrar aos outros que eles sabem tato quato você". (Richard Bach) Prof. Ilydio Pereira de Sá 2

3 2) RESUMO DAS PRINCIPAIS FUNÇÕES DA CALCULADORA FINANCEIRA HP-12C 2.1) Apresetação da HP 12-C A HP 12-C apreseta três fuções, uma a cor braca que é a fução primária, ode se ecotram os algarismos e outras iscrições; uma a fução amarela cujas iscrições ecotram-se logo acima do teclado e para usá-la se faz ecessário acioar ates a tecla f situada ao lado do ON, e outra a fução azul, que ecotra-se a parte iferior do teclado, e para utilizá-la acioa-se a tecla g, situada ao lado da tecla f. Para facilitarmos a idetificação das teclas a máquia, vamos sempre os referir a lihas e coluas da ESQUERDA para a DIREITA. Como exemplo, a primeira colua a máquia começa com e a primeira liha também. A Quita colua começa com FV e a terceira liha com R/S. A oitava colua com a terceira liha correspode ao algarismo 2. Quado o visor surgir um asterisco piscado, sigifica que as baterias da máquia precisam ser substituídas sob pea de daificação dos circuitos eletrôicos. Mateha o visor da máquia um c miúsculo que é coseguido pressioado STO (quarta colua, última liha) e EEX (sexta colua, seguda liha). Isso deve ser feito para que os juros calculados as frações de tempo sejam feitos de acordo com a coveção expoecial (juros compostos), que atede ao mercado brasileiro. PONTO E VÍRGULA A otação americaa para úmeros decimais é com um poto separado as casas decimais da parte iteira, assim: represeta 1230,45. A otação brasileira é com uma vírgula separado os cetavos dos reais. Para passarmos a máquia para operar de acordo com a otação brasileira você deve fazer o seguiite: Com a máquia desligada, mateha pressioado o poto (oitava colua com última liha) e ligue a máquia. Se estava com poto surgiu a vírgula com este procedimeto, se estava com vírgula volta para o poto da otação americaa. QUANTIDADE DE CASAS DECIMAIS Para trabalharmos com 2, 3, 4 ou mais casas decimais, devemos utilizar a tecla fução f (Seguda colua com última liha). Para colocarmos o visor 6 casas decimais, pressioe f e logo em seguida o algarismo 6 a fução braca. Para 2 casas pressioe F e em seguida 2 a fução braca. Lembrese que este formato só arredoda o visor, para os registros iteros e operações da máquia ela cotiua a cosiderar todas as casas decimais. PILHA OPERACIONAL Na HP 12-C os registradores (memórias) da chamada pilha operacioal são quatro, a saber: X, Y, Z e T. É a chamada otação Poloesa. Este recurso Prof. Ilydio Pereira de Sá 3

4 facilita uma cadeia de cálculos que fucioa mais ou meos como um rascuho através destes registradores adicioais. É o chamado cálculo do úmero pedete. Para ilustramos este euciado observe a seguir: a b c T 4 3 Z 3 2 Y 2 1 X 1 1 Na colua a verificamos os quatro registradores X,Y,Z e T. Na colua b verificamos os laçametos que foram efetuados ocupado os diversos registradores, que foi coseguido da seguite forma: 4 eter 3 eter 2 eter 1. Quado digitamos 4 este foi para o registrador X e ao pressioarmos ENTER o algarismo quatro foi copiado o registrador Y e cotiuou dispoível o visor que correspode ao registrador X. Ao digitarmos 3 e pressioarmos ENTER o 4 foi copiado o registrador Z, o 3 para o registrador Y e cotiuou dispoível o visor que é o X. Ao digitarmos 2 e pressioarmos ENTER, o 4 foi copiado o T, o 3 o Z, o 2 o Y e cotiuou dispoível o X que correspode ao visor. Ao digitarmos agora o algarismo 1 simplesmete, teremos a substituição do 2 o registrador X pelo 1. Coferido os úmeros os respectivos registradores, pressioaremos agora a tecla R (terceira colua com terceira liha). No primeiro comado veremos o visor o algarismo 2 (Y), o segudo comado o algarismo 3 (Z), o terceiro comado o algarismo 4 (T) e o quarto comado o algarismo 1 (X) que foi o poto de partida. Na colua c verificamos que agora o 1 foi copiado o Y. Isto sigifica que partido do último comado da colua a após a digitação do algarismo 1, foi pressioado ENTER. O 2 foi copiado para o Z, o 3 para o T e algarismo 4 foi perdido. É importate a compreesão deste mecaismo para facilitar uma série de cálculos com utilização de úmeros pedetes. Exemplo: 4+[4-(9/3)]. Na HP a sequêcia utilizado os recursos da pilha operacioal: 4 eter 4 eter 9 eter 3 divide meos mais visor = 5. TROCAR REGISTRO DE X POR Y E Y POR X. Por exemplo, se ao comadar a HP a divisão de 20 por 5, foi itroduzido primeiro o 5 e depois o 820. Para resolver o problema evitado assim ova digitação, deve-se pressioar a tecla x > < y (Quarta colua, terceira liha). 5 eter 20 x > < y divide visor = 4. Essa tecla pressioada faz a iversão dos valores digitados. 2.2) Teclado - Pricipais Fuções ON ligar e desligar; Prof. Ilydio Pereira de Sá 4

5 Teclas Fiaceiras prazo e/ou úmero de capitalizações; i taxa de juros; PV valor presete/atual/pricipal ou capital; (Preset Value) FV valor futuro/motate ou valor omial; (Future Value) PMT prestação ou pagameto (Periodic Paymet) Teclas da Taxa de Retoro CFo sigifica fluxo de caixa do mometo zero ou iicial; CFj fluxo de caixa os períodos seguites; Nj repete fluxos iguais e cosecutivos; IRR sigifica a taxa itera de retoro (TIR); NPV valor presete líquido Tabulação de Casas Decimais Para apresetar o visor o úmero de casas decimais desejadas, pressioe a tecla AMARELA - f e o úmero referete a quatidade de casas ( de 0 a 9 ); A tecla Clx - clear é usada para limpar somete os úmeros do visor. Se pressioado as teclas f Clx, todos os registros serão deletados. Iversão de siais Para alterar o úmero de: positivo para egativo ou vice-versa, basta pressioar a tecla CHS Fução Caledário Para ecotrar datas futuras ou passadas e o dia da semaa correspodete, pressioe as teclas g e D.My. Na seqüêcia itroduza a data cohecida, separado o dia e o mês pela tecla., e pressioe a tecla ENTER. Digite o úmero de dias correspodete ao itervalo de tempo e pressioe as teclas g DATE a seqüêcia. OBS: Na primeira vez que for usar a máquia você deve clicar a tecla g e, em seguida, a tecla D.My, para que o formato da data fique adequado ao padrão Brasileiro (dia, mês, ao). Irá surgir o visor da máquia a sigla D.My, que idica tal otação. Dia da semaa : Ex.: Digite , ENTER 0 (zero) g DATE = (sábado) 1 - seguda-feira; 2 - terça-feira; Prof. Ilydio Pereira de Sá 5

6 3 - quarta-feira; 4 - quita-feira; 5 - sexta-feira; 6 - sábado; 7 - domigo TECLAS CLEAR CLx ==> Clear x ==> Limpa O Visor f CLEAR FIN ==> Apaga os registradores fiaceiros, a saber:.n, I, PV, PMT, FV f CLEAR REG ==> Apaga todos os registros. OPERAÇÕES BÁSICAS + - x : x y X EXEMPLOS 1) =? PRESSIONAR NA HP: 87 ENTER 35 + ==> 122 2) =? PRESSIONAR NA HP: 55 ENTER 43 - ==> 12 3) 130 x 43 =? PRESSIONAR NA HP: 130 ENTER 43 x ==> ) 847,30 : 59 =? PRESSIONAR NA HP: 847,30 ENTER 59 : ==> 14,36 5) 80 3 =? PRESSIONAR NA HP: 80 ENTER 3 x y ==> ) 1356 =? PRESSIONAR NA HP: 1356 g x ==> 36,82 (SÓ UTILIZAMOS ESTA FUNÇÃO QUANDO FOR RAÍZ QUADRADA) Ou podemos trasformar a raiz em poteciação, assim: x 1356 ENTER 2 1/x y ==> 36,82 O que você fez ao digitar o 2, seguido de 1/x foi trasformar o úmero 2 a fração ½, que é o expoete correspodete à raiz quadrada. Prof. Ilydio Pereira de Sá 6

7 OBSERVAÇÃO IMPORTANTE SOBRE O CÁLCULO DA RADICIAÇÃO NA HP-12C O cálculo das demais raízes deve ser feito trasformado-as em potêcias de 3 expoetes fracioários. Ex: = 300 Na HP-12C, 300 ENTER 3 1/x ==> 6,69 1 COMO OPERAR AS MEMÓRIAS DA HP-12C? PARA ARMAZENAR ==> STO (STORE) PARA RECUPERAR ==> RCL (RECALL) PARA APAGAR ==> COLOCAR ZERO SOBRE PARA SUBSTITUIR ==> COLOCAR O NOVO NÚMERO PARA APAGAR TUDO ==> f CLEAR REG PARA CALCULAR COM NÚMEROS NA MEMÓRIA: SOMENTE OPERAÇÕES ARITMÉTICAS COMO CONSTANTE APLICAÇÃO Vamos supor que eu queira guardar a memória da máquia, algus dados (somete uméricos, ão esqueça). Em seguida, (posso até desligá-la) e recuperar ou mesmo modificar os dados guardados. COMO FAZER ISTO NA HP-12C? VAMOS ARMAZENAR O SEGUINTE: O valor do dólar paralelo de hoje ==> 2,70 a memória 1 O telefoe do João ==> a memória 2 O telefoe do Maria ==> a memória 3 FAZER NA HP-12C: 2,70 STO STO STO 3 (Já guardou tudo) PARA RECUPERAR O QUE FOI ARQUIVADO, FAZER: RCL 1 ==> APARECE NO VISOR 2,70 RCL 2 ==> APARECE NO VISOR RCL 3 ==> APARECE NO VISOR x y Dificuldades reais podem ser resolvidas; apeas as imagiárias são isuperáveis." Theodore N. Vail Prof. Ilydio Pereira de Sá 7

8 TIPOS DE ERRO QUE PODEM APARECER NO VISOR DA HP 12C ERROR 0 => OPERAÇÃO IMPRÓPRIA ENVOLVENDO O ZERO ERROR 1 => ULTRAPASSAGEM DA CAPACIDADE DO REGISTRADOR DE ARMAZENAMENTO ERROR 2 => DADOS IMPRÓPRIOS NOS REGISTRADORES ESTATÍSTICOS ERROR 3 => FLUXO DE CAIXA: CÁLCULO MUITO COMPLEXO - INTRODUZA UMA ESTIMATIVA DE JUROS E PRESSIONE RCL g R/S ERROR 4 => ENDEREÇAMENTO IMPRÓPRIO À MEMÓRIA ERROR 5 => JURO COMPOSTO - INTRODUÇÃO ERRADA - TROCAR SINAIS ERROR 6 => ANÁLISE DE FLUXO DE CAIXA, DESCONTADO - INTRODUÇÃO ERRADA DOS DADOS ERROR 7 => IRR - NÃO EXISTE SOLUÇÃO ERROR 8 => CALENDÁRIO - INTRODUÇÃO ERRADA DOS DADOS ERROR 9 => MAU FUNCIONAMENTO DA HP PR ERROR => MEMÓRIA CONTÍNUA APAGADA - FALHA NA ALIMENTAÇÃO * PISCANDO NA PARTE INFERIOR ESQUERDA DO VISOR => PILHA FRACA "Há grades homes que fazem com que todos se sitam pequeos. Mas o verdadeiro grade homem é aquele que faz com que todos se sitam grades." (Gilbert Keith Chesterto, escritor iglês) Prof. Ilydio Pereira de Sá 8

9 3) A Matemática Fiaceira e o Diheiro Os fatores de correção. Fote: Revista Veja Edição 1755 de 12 de juho de 2002 A reportagem acima, extraída da revista Veja, é uma excelete etrada para a itrodução do coceito de fatores correção. Após discutirmos os seus usos, voltaremos a ela, verificado a veracidade dos dados que estão a reportagem. Ousamos mesmo dizer que o uso adequado dos fatores de correção é o maior segredo da Matemática Fiaceira, como procuraremos mostrar ao logo dessa Uidade de osso curso. Muita gete acha que a Matemática do diheiro serve só para pagarmos ossas cotas, coferir trocos, coisas desse tipo. Mas ão é somete isso, sabemos que o diheiro, as trasações bacárias ou comerciais, estão cada vez mais presetes a vida de todas as pessoas. Se pergutarmos a uma pessoa qual o valor de 100 dólares, mais 100 marcos, mais 100 reais, ela provavelmete dirá que primeiramete precisamos coverter todos esses valores para uma mesma moeda, ates de efetuarmos a soma. Aalogamete, precisamos tomar cuidado com valores moetários o tempo. Será que 3 parcelas de 100 reais, pagas com itervalos de 30 dias, correspodem a um úico pagameto de 300 reais, uma Ecoomia com iflação? Ifelizmete, a maioria dos livros de matemática igora este fato, assim como igoram também a iflação. Esse tipo de erro é ecotrado tato em textos para o Esio Fudametal e para o Esio Médio. Você deve cocordar comigo que, sem a Matemática, ão coseguiríamos eteder ossos cotracheques, calcular ossos aumetos de salário, idetificar Prof. Ilydio Pereira de Sá 9

10 os produtos que aumetaram demasiadamete de preço, costatar e criticar as propagadas egaosas, reividicar ossos direitos trabalhistas, ou mesmo escolher a opção mais retável para um ivestimeto qualquer. Dessa forma, iremos agora abordar um coteúdo da Matemática que ormalmete é igorado a maioria das escolas ou mesmo currículos brasileiros a Matemática Comercial e Fiaceira. Nossa abordagem iicial será através de um importate segredo da Matemática do diheiro os fatores de correção. Você irá costatar rapidamete que, este coceito, é a base de quase tudo o que se estuda a Matemática Comercial e Fiaceira e, com o auxílio de uma calculadora simples, você poderá eteder e resolver uma grade quatidade de problemas que estão o osso cotidiao. 3.1 ) O GRANDE SEGREDO DA MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA: OS FATORES DE CORREÇÃO Temos a certeza de que o mais simples e também o mais importate coceito de matemática fiaceira é o coceito de FATOR DE CORREÇÃO. O domíio deste coceito será fudametal para que se possa acompahar todo o curso. FATOR DE CORREÇÃO: Vamos imagiar que uma mercadoria será aumetada em 23%. Você poderá descobrir o ovo preço de vários modos distitos: 1) Multiplicado o preço atigo por 23 e dividido por 100, somado o resultado com o preço atigo; 2) Multiplicado o preço atigo por 0,23 e somado o resultado com o preço atigo; 3) Simplesmete multiplicado o preço atigo por 1,23. O úmero 1,23 do exemplo é deomiado fator de correção para um acréscimo de 23 % e foi obtido a partir de 100 % (preço atigo) mais 23 % (aumeto). Em seguida dividimos por 100 para obter a forma de úmero decimal. A taxa 23% é a taxa percetual e a taxa 0,23 (i), é deomiada taxa uitária. OBS: Salvo qualquer meção em cotrário, sempre que em alguma fórmula de osso curso usarmos o símbolo i, estaremos os referido à taxa uitária e ão à percetual. Se, o exemplo apresetado o preço fosse dimiuído em 23 %, o fator seria 0,77, pois 100 % meos 23 % é igual a 77 %. Cocluímos que os fatores que represetam aumetos são maiores que 1 e os que represetam reduções são meores que 1. F = (100 + k ) :100 (Fator de Aumeto de k%) F = (100 - k ):100 (Fator de Redução de k%) ou F = 1 + i ou F i Vamos exercitar um pouco: Prof. Ilydio Pereira de Sá 10

11 1) Trasforme as taxas percetuais em uitárias e vice-versa. Taxa Percetual 23% 2,56% 2345% Taxa Uitária 0, ) Complete o quadro agora, trasformado as taxas os respectivos fatores de correção, e vice-versa. Taxa de aumeto 2,56 % 56,9 % 345,9 % Fator de Correção 1, ,897 EXEMPLOS: Flash Nº 1: O sehor Ekre Kado, gerete de um supermercado, tem que aumetar os preços de todos os produtos de um setor em 3,25 %. Qual o fator de aumeto? Quato passará a custar uma mercadoria do setor, que custava R$ 60,00? SOLUÇÃO : Fator de aumeto : 1,0325 [(100 % + 3,25 %) : 100] Novo preço : R$ 61,95 ( 60,00 x 1,0325 ) Flash º 2: Viícius, em Setembro, obteve uma correção salarial de 5,65 %, sobre o salário de Agosto, passado a receber R$ 422,60. Quato recebia em Agosto? SOLUÇÃO: A x 1,0565 = 422,60 A = 422,60 : 1,0565 = 400,00. Logo, em agosto Viícius recebia R$ 400,00 Flash º 3: Um remédio estava custado R$ 3,40, e passou a custar R$ 4,70. Qual o fator de correção e qual o percetual de aumeto? Prof. Ilydio Pereira de Sá 11

12 SOLUÇÃO : 3,40 x F = 4,70 F = 4,70 : 3,40 = 1,3824 (Fator de correção) 1,3824 x = 38,24 % (Aumeto) Flash º 4: Uma loja está vededo um produto com um descoto à vista de 15 %, ou etão com pagameto ormal, sem descoto, com um cheque pré-datado para 30 dias. Quato estará pagado de juros, em um mês, o cliete que optar pela seguda forma de pagameto? SOLUÇÃO : Vamos supor que o produto custe 100 dólares. Para quem pagar à vista ele custará 85 dólares (15 % de descoto). Para quem escolher o cheque pré-datado, estará, a realidade pagado 100 dólares por algo que custa 85 dólares. Logo o fator de correção iserido este aumeto é: 100 : 85 = 1,1765, o que correspode ao pagameto de 17,65 % de juros em um mês. RESUMINDO OS CONCEITOS ESTUDADOS NA UNIDADE: Dado um fator de aumeto, devemos subtrair 1 dele, para cohecer o aumeto havido. Exemplos: Fator de aumeto Aumeto gerado Percetual de aumeto 1,45 1,45 1 = 0,45 45% 1,953 1,953 1 = 0,953 95,3% 1,065 1,065 1 = 0,065 6,5% 2, 86 2,86 1 = 1,86 186% Dado um fator de redução, devemos subtraí-lo de 1 para cohecer a redução ou descoto havido. Exemplos: Fator de redução Redução gerada Percetual de redução 0,45 1 0,45 = 0,55 55% 0,95 1 0,95 = 0,05 5% 0,76 1 0,76 = 0,24 24% 0, ,86 = 0,14 14% Você reparou que: Todo fator de aumeto é um úmero superior a 1? O fator de aumeto pode ser obtido pela soma (100% + taxa de aumeto percetual) cujo resultado deve ser posto a forma decimal? Prof. Ilydio Pereira de Sá 12

13 Exemplo: fator de aumeto para um acréscimo de 24% = 100% + 24% = 124% = 124 /100 = 1,24. Todo fator de redução é um úmero iferior a 1? O fator de redução pode ser obtido pela subtração (100% - taxa de aumeto percetual) cujo resultado deve ser posto a forma decimal? Exemplo: fator de redução para uma perda de 24% = 100% - 24% = 76% = 76 /100 = 0,76. Aumetos ou reduções (ou mistura dos dois) cosecutivos, devem ser calculados pelo PRODUTO DOS FATORES DE CORREÇÃO, e ão pela soma das taxas a eles correspodetes? Exercícios de Fixação: 1) Qual o fator de correção correspodete a um aumeto de 34,5 %? a) 3,45 b) 4,45 c) 1,345 d) 2,345 2) Qual o aumeto gerado pelo fator de 2,4567? a) 245,67% b) 345,67% c) 145% d) 145,67% e) 95,87% 3) Um preço aumetou de 120 para 150 reais. Qual o percetual de aumeto correspodete? a) 47% b) 25% c) 35% d) 45% e) 34% 4) Um preço reduziu de 150 para 120 reais. Qual o fator de redução e qual o percetual de redução correspodete? a) 25% b) 15% c) 10% d) 40% e) 20% 5) Qual o aumeto acumulado, gerado por dois aumetos cosecutivos de 30 %? a) 40% b) 60% c) 69% d) 65% e) 62% 6) Qual a redução acumulada, gerada por dois descotos cosecutivos de 30 %? a) 51% b) 60% c) 54% d) 69% e) 62% 7) Num certo mês, a aumeto das mesalidades escolares foi de 42,7%. Se em uma escola essa mesalidade passou a ser de R$ 92,76, qual era o valor ates do aumeto? a)r$ 53,15 b)r$ 65,00 c) R$ 58,20 d) R$49,90 e) R$ 62,40 8) O preço de uma mercadoria subiu 300 %. Calcule que porcetagem se deve reduzir do seu preço atual, de modo a retorar ao seu valor de ates do aumeto? a) 25 % b) 75 % c) 300 % d) 400 % e) 20 % 9) Um fucioário teve um reajuste de 34% um certo mês; o mês seguite um ovo reajuste de 38%, passado a receber R$ 221,90. Quato recebia ates desses dois reajustes (aproximadamete)? a)r$120,00 b)r$90,80 c)r$118,00 d)r$124,80 e)r$ 132,00 10) Uma mercadoria sofreu três reduções sucessivas de 12%; 14% e 24%. Qual a redução total acumulada? a) 50 % b) 48 % c) 52 % d) 42,48 % e) 43,89 % Prof. Ilydio Pereira de Sá 13

14 11) Qual a iflação acumulada de um trimestre cujas taxas mesais foram: 34%: 38 % e 40%? a) 112% b) 132,56% c) 158,88% d) 145,78% e) 122% 12) (Telerj ) Uma loja vede seus artigos com pagameto em duas prestações, "sem juros". A primeira prestação é paga o ato da compra e a seguda, um mês após. Etretato, um descoto de 25 % é cocedido se o cliete pagar à vista. Na realidade, essa loja cobra, as vedas a prazo, juros mesais de taxa igual a: a) 100 % b) 75 % c) 50 % d) 25 % e) 12,5 % 13) (TRT ) Uma loja vede seus produtos com pagametos em duas prestações mesais iguais, "sem juros". A primeira prestação é paga o ato da compra e a seguda, um mês após. Etretato um descoto de 10 % é cocedido se o cliete pagar à vista. Na realidade, essa loja cobra, as vedas à prazo, juros mesais de : a) 10 % b) 20 % c) 25 % d) 30 % e) 50 % 14) (TRT ) Certa categoria de trabalhadores obteve em juho um reajuste salarial de 50 % sobre os salários de abril, descotadas as atecipações. Como ela havia recebido em maio uma atecipação de 20 % (sobre o salário de abril), a percetagem do aumeto obtido em juho, sobre o salário de maio, é de: a) 20 % b) 25 % c) 30 % d) 35 % e) 40 % 15) (Telerj ) Aumetado-se o raio de uma esfera em 100 %, de quato aumeta o seu volume? a) 100 % b) 300 % c) 500 % d) 700 % e) 800 % 16) (Telerj ) Uma mercadoria teve seu preço aumetado em 20 %. Em seguida, o ovo preço foi rebaixado em 20 %. O preço fial da mercadoria, em relação ao preço iicial é: a) igual b) 4 % maior c) 4 % meor d) 8 % maior e) 8 % meor 17) A iflação acumulada de um bimestre está em 13,5% e o mês seguite acusou uma taxa de 5,6%. Qual a iflação acumulada o trimestre em questão? a) 19,856% b) 18,965% c) 21,4% d) 23,34% e) 19,65% 18) Uma bodosa loja oferece um descoto à vista de 30%, ou etão o preço ormal, dividido em duas parcelas iguais, sedo a primeira o ato da compra e a seguda um mês após. Quato está pagado de juros esse mês, a pessoa que escolheu a seguda opção de pagameto? a) 120% b) 150% c) 135% d) 145% e) 200% 19) Mostre que a taxa de gaho real (descotada a iflação) da cadereta de poupaça, durate os oito aos do plao real (ver otícia a itrodução da Uidade) foi de 30%. 20) Mostre que a perda do dólar, esse mesmo período citado a otícia, foi de 7%. Prof. Ilydio Pereira de Sá 14

15 GABARITO: (PORCENTAGEM / FATORES DE CORREÇÃO) 1) C 2) D 3) B 4) E 5) C 6) A 7) B 8) B 9) A 10) D 11) C 12) A 13) C 14) B 15) D 16) C 17) A 18) B Para descotrair... Prof. Ilydio Pereira de Sá 15

16 4) MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA: CONCEITOS BÁSICOS JUROS E DESCONTOS 4.1) Termiologias e Represetações Iiciais Capital (C) ou Valor Presete (VP) É o valor evolvido em uma trasação, a data focal zero. No excel (versão portuguesa) o capital é represetado por VP, a calculadora HP 12C ele é otado por PV (Presete Value). Motate ou Valor Futuro (VF) Represeta o valor resultate de uma trasação fiaceira, sedo dessa forma refereciado a uma data futura. No Excel é represetado por VF e a HP-12C, por FV (Future Value). Prazo ou úmero de períodos () - Uma operação fiaceira pode evolver um úico período de tempo, como por exemplo o CDB (certificado de depósito bacário). Podemos ter aida frações ou múltiplos desse período, que represetaremos por. O Excel usa a represetação per (umber of periods). Juros (j) É a remueração exigida a utilização de capital de terceiros. Os juros recebidos represetam um redimeto e os juros pagos represetam um custo. OBS: O motate correspode à soma do capital com os juros, ou seja, M = C + j ou aida VF = VP + j Taxa de juros (i) É a razão etre o valor do juro de um período e o capital emprestado ou aplicado. A taxa pode ser expressa em sua forma percetual ou uitária. Ex: 15 % (forma percetual) ou 0,15 (forma uitária). Nas fórmulas que estudaremos em osso curso, a represetação i estará sigificado a taxa uitária ou cetesimal. Na plailha Excel, podemos usar um artifício para que a tabela apresete para ossa leitura a forma percetual (melhor de ser etedida por todos), mas que ela opere com a forma uitária em suas fórmulas. Basta proceder da seguite maeira: Digamos que você queira represetar a taxa 18%, a célula B2, da plailha: 1) digite a célula o valor 0,18 (taxa uitária correspodete) a célula B2. 2) clique o símbolo de % da barra de ferrametas do Excel. 3) O Excel vai exibir 15% e vai operar 0,15 as fórmulas que você utilizar. No exemplo abaixo estamos represetado um capital de 100 reais, aumetado de 18%. Verifique que a célula B3 ós iserimos uma fórmula (isso é feito clicado-se primeiro o sial de =). Fizemos a fórmula =B1*(1+B2). Egraçado, costumam dizer que eu teho sorte. Só sei que quato mais eu me preparo, mais sorte eu teho (Athoy Robbis) Prof. Ilydio Pereira de Sá 16

17 Note pelo resultado apresetado que a célula B3, o Excel multiplicou 100 por 1,18 ou seja, a fórmula que usamos multiplicou 100 por (1 + 0,18), que ada mais é do que o fator de correção para um acréscimo de 18%. OBS: A plailha Excel utiliza os seguites operadores aritméticos: + para adição - para subtração * para multiplicação / para divisão ^ para poteciação. Na calculadora HP-12C, temos uma tecla específica para porcetagem e, poderíamos ter seguido a seguite seqüêcia para este exemplo: 100 ENTER 15 % 15,00 (total do acréscimo) + 115,00 (Motate ou Valor Futuro) A Matemática apreseta iveções tão sutis que poderão servir ão só para satisfazer os curiosos como, também para auxiliar as artes e poupar trabalho aos homes. (Descartes) Prof. Ilydio Pereira de Sá 17

18 4.2) INFLAÇÃO CÁLCULO DE ÍNDICES Iflação é o processo de crescimeto geeralizado e cotíuo dos preços e serviços de uma ecoomia. Detre os pricipais problemas que a iflação ocasioa a uma ecoomia estão o crescimeto difereciado dos preços, o qual beeficia us e prejudica a outros, e o aumeto dos custos de trasação determiado pelas distorções que o processo iflacioário ocasioa ao sistema de preços ) Os úmeros ídices Mede-se a iflação através de idicadores ou ídices que tetam refletir o aumeto de preços de um setor em particular ou de um segmeto de cosumidores. Efetivamete, existem diversos ídices que são calculados para o atedimeto a várias fialidades. Os ídices de preços ao ``cosumidor" tetam medir a iflação média de um cojuto de produtos e serviços que se pressupõe sejam os adquiridos por um cosumidor com determiadas características de reda. A) Itrodução: Os úmeros ídices são um importate istrumeto para sitetizar modificações em variáveis ecoômicas durate um período de tempo. Esses úmeros idicam a variação relativa o preço, a quatidade, ou o valor (preço x quatidade) etre um poto aterior o tempo (período-base) e, um período qualquer, ormalmete o atual. Por exemplo, se uma pessoa percebe que o preço de um produto atualmete é o quítuplo do que custava há dois aos, está fazedo uso de certo tipo de úmero ídice comparativo. Quado um só produto está em jogo, o ídice é dito ídice simples, equato que uma comparação que evolva um grupo de artigos é chamada de ídice composto. Nos ídices compostos é ecessário ão só icluir as variações de preços, mas também as variações de quatidades, a fim de que possamos ter um quadro mais preciso da variação global. Em resumo, podemos destacar: Um úmero ídice é usado para idicar variações relativas em quatidades, preços, ou valores de um artigo, durate um dado período de tempo. Um úmero ídice é a razão usada para avaliar a variação etre dois períodos de tempo. Prof. Ilydio Pereira de Sá 18

19 B) Números Ídices Simples: Curso Básico de Matemática Comercial e Fiaceira Um úmero ídice simples avalia a variação relativa de um úico item ou variável ecoômica etre dois períodos de tempo. Ele é calculado como a razão etre preço, quatidade ou valor um dado período para o correspodete preço, quatidade ou valor um período-base. Podem-se calcular úmeros ídices, chamados de relativos de preço, quatidade e valor, mediate as seguites fórmulas: p relativo de preço =. 100 p 0 q q 0 relativo de quatidade =. 100 p. q p. relativo de valor = q 0 p o é o preço de um item o ao-base. q o é a quatidade de um item o ao-base. p é o preço de um item em determiado ao q é a quatidade de um item em determiado ao. Exemplo: A empresa Kobra Karo S.A, em 1992 vedeu 300 uidades do produto "X", cobrado 20 dólares por peça e, em 1993, vedeu 450 uidades do mesmo produto, cobrado 25 dólares por peça. Determiar os relativos de preço, quatidade e valor em 1993, tomado como base Solução: É usual a otação 1992 = 100, para deotar que 1992 é o ao base. 25 Relativo de preço - p92 93 =.100 = Relativo de quatidade - q92 93 =.100 = Relativo de valor - v92 93 =.100 = 187, Obs: Devemos otar que houve um aumeto de 25 % o preço, em relação ao ao base, uma aumeto de 50 % a quatidade e um aumeto de 87,5 % o valor. O aumeto do valor é, portato, o aumeto acumulado do aumeto de preço pelo aumeto de quatidade, ou seja, o produto dos ídices de preço e quatidade é o ídice de valor: ( 1,25 x 1,5 = 1,875 ). Prof. Ilydio Pereira de Sá 19

20 C) Relativos em Cadeia: Curso Básico de Matemática Comercial e Fiaceira O relativo em cadeia é o ídice de base fixa, ou seja, todos os relativos são calculados tomado-se por base uma determiada época. Exemplo: Vamos supor um bem de cosumo que apresetou o período 1990/1993 os seguites preços (em dólares): 40, 45, 50, 65. Os relativos em cadeia, tomado como base o ao de 1990, serão: p p p = = = = 90 = 90 = 112, ,5 Poderíamos compor a seguite tabela com os preços os referidos aos e os relativos em cadeia, ao base ANOS PREÇOS RELATIVOS , ,5 D) Elos de Relativos: Vários relativos formam elos quado cada um deles é calculado tomado por base o período aterior, é o que chamamos de base móvel. É usual, esse caso, ão represetarmos o relativo do primeiro período, já que ão existe aterior como referêcia. Exemplo: Vejamos, com os mesmos dados do exemplo aterior, como ficariam os elos de relativos p90 91 =.100 = 112,5 p91 92 =.100 = 111, 11 p92 93 =.100 = Teremos agora a seguite tabela de preços e elos de relativos: ANOS PREÇOS RELATIVOS l- 112,5 111, E) Ídices Agregativos: Os ídices que estudamos até agora servem apeas para caracterizar a marcha de preços referetes a um úico bem. No etato a variação de preços ormalmete exige a observação da variação de um cojuto de bes, como o caso do cálculo da variação da cesta básica. Para atigirmos esse objetivo, laçamos mão de um ovo tipo de ídice, deomiado agregativo. Prof. Ilydio Pereira de Sá 20

21 O ídice agregativo poderá ser simples: Médias de relativos (aritmética, geométrica ou harmôica) ou idice agregativo simples, se todos os bes tiverem a mesma importâcia o seu cálculo, ou poderado: Médias Poderadas de relativos (aritmética, geométrica ou harmôica) ou ídices poderados de Paasche, de Laspeyres ou Fischer, se os bes tiverem importâcia ou pesos difereciados o cálculo do ídice. O ídice agregativo simples é a razão etre a soma dos preços ou quatidades uma época qualquer e a soma dos preços ou quatidades a época base. pt qt Ias = x100 ou x100 p q 0 O ídice agregativo simples e as médias simples apresetam a vatagem de um cálculo simplificado e a desvatagem de cosiderarem todos os bes com a mesma importâcia o cálculo do ídice. Exemplo: Completar a tabela de preços abaixo com os relativos de preço, cosiderado o ao de 1993 como base, em seguida, calcular o ídice agregativo simples, referetes aos preços dos bes da tabela, 1993,1994. Mercadoria (espécie) Preço em 1993 Preço em 1994 A 40,00 50,00 B 50,00 100,00 C 120,00 200,00 Total 210,00 350,00 0 I as = 350 : 210 = 1,67 ou 167 %. Solução: Ídices agregativos poderados - Fórmulas de Laspeyres e de Paasche: No cálculo do ídice agregativo simples, todos os ites são colocados com uma mesma importâcia ou peso. Sabemos, porém, que a prática isso ão acotece; há bes de importâcia maior do que outros, o cálculo de um ídice. Evitamos tais distorções atribuido a cada item a importâcia que lhe cabe através de coeficietes de poderação e as médias de ídices passam a ser poderadas. De acordo com o que cosideramos como peso e com o tipo de média utilizada, temos também algumas variates de fórmulas para o cálculo de tais ídices agregativos. Iremos estudar, basicamete, duas dessas fórmulas (Laspeyres e Paasche). "O Ídice de Laspeyres" ou Método da Época Básica É o ídice poderado dos relativos (preços ou quatidades), sedo os pesos da poderação os valores (preço x quatidade) do ao base. Ou seja, é a média aritmética poderada dos relativos de preços, poderados aos valores do ao base. A fórmula para o ídice de Laspeyres, referete aos preços será: Prof. Ilydio Pereira de Sá 21