Matemática Financeira. Prof. MSc. Denilson Nogueira da Silva

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1 Matemática Fiaceira Prof. MSc. Deilso Nogueira da Silva Juho/03

2 Ídice -INTRODUÇÃO O Excel A Calculadora HPC Pricipais Operações do Excel Operações com HPC Raiz Quadrada Raiz Eésima Poteciação Porcetagem Variação Percetual Operações com datas Algumas Fuções Estatísticas JUROS SIMPLES Pricipais Nomeclaturas Adaptação a outras omeclaturas: Fórmulas Básicas Represetação gráfica Juros Simples a HPC Juros Simples o Excel: Juros Compostos Formulário: Calculado o Valor Presete: Calculado a Taxa: Calculado o Período Coversão de Taxas de Juros: Juros Simples: Juros Compostos: Capitalização Descotos Descotos Simples Descotos Compostos Séries Uiformes de Pagametos Auidades Postecipadas Auidades Atecipadas Séries Diferidas Séries Variáveis Itrodução à amortização Idicadores de Viabilidade Payback (PB) Payback Descotado (PBD) Valor Presete Líquido (VPL) Taxa Itera de Retoro (TIR)... 7 BIBLIOGRAFIA... 8

3 -INTRODUÇÃO 3 Neste capítulo iicial faremos uma breve abordagem das características e operações do Excel e da calculadora HPC.. O Excel O MSExcel é um Software composto de plailhas visado, pricipalmete, à execução de cálculos. Cada plailha é dividida em lihas (de a ) e coluas de (A a XFD). A jução de uma liha com uma colua é chamada de célula, assim, a célula A0 é represetativa da Colua A com a Liha 0. As fórmulas são digitadas a Barra de Fórmulas. Quado a plailha estiver apotada para a célula B5, por exemplo, o posicioameto aparecerá a Caixa de Nome e o seu coteúdo a Barra de Fórmulas, sedo o resultado mostrado a própria célula. Caixa de Nome Barra de Fórmulas Colua B Liha 5 Célula B5 Figura.. A Calculadora HPC. Ligado e desligado a Calculadora: Idicação de bateria fraca: * Importate: remover as baterias somete com a calculadora desligada. Realizado a operação com a calculadora ligada, pode haver perda de memória iutilizado a calculadora. Cada tecla pode efetuar duas ou três fuções simultâeas, depededo da cor da fução. Exemplo: A tecla : Para acioar esta Fução, pressioe a tecla f e depois N Para acioar esta Fução, pressioe a tecla g e depois N Separadores de dígito: a HP trabalha com o padrão americao. Exemplo: Mil Dólares USD, Alterado o padrão : Desligue a calculadora. Mateha. pressioado e ligue ovamete. Resultado:

4 Mil Dólares USD.000,00. 4 Números Negativos: Para fazer uma operação com úmeros egativos, digite o úmero e depois a tecla (CHS CHage Sig Trocar Sial). Números grades: Precisamos fazer um cálculo com o PIB (Produto Itero Bruto) brasileiro. Supomos que seja de um trilhão, quatrocetos e oveta e cico bilhões e quihetos e ciqüeta milhões, assim represetados: R$ ,00, ou O visor só comporta 0 dígitos e temos treze. Se deslocarmos a casa decimal vezes, teremos:, x 0. Para o expoecial utilizamos a tecla Assim, faremos:, Tecla CLEAR (Limpar): Limpa o visor Limpa os registradores estatísticos Limpa a memória de programação Limpa a memória fiaceira Limpa os registradores Casas decimais: pressioe e quatidade de casas que deseja..3 Pricipais Operações do Excel Excel: Operador Operação Exemplo Fórmula + Adição Para somar os dois valores digitados as células A e A de uma plailha - Subtração Para subtrair da célula A um valor digitado em A3 * Multiplicação Para multiplicar os valores das células D4 e D6 / Divisão Para dividir o valor da célula A pelo valor de A3 ^ Poteciação Para elevar o valor da célula A ao expoete da célula A3 A + A A A3 D4 * D6 A / A3 A ^ A3 Operação etre Plailhas

5 Somar o valor de A, a Pla com A a Pla: Pla!A+Pla!A 5 Operação etre Arquivos Buscar os dados da Célula B6, a Plailha Maio do Arquivo ENEM004: [arquivo.xls]maio!b6.4 Operações com HPC As operações são feitas da seguite forma: Exemplo : 5 x Itroduza o primeiro úmero (5). Pressioe ENTER (resultado: 5,00) 3. Itroduza o segudo úmero (5) 4. Pressioe o operador ( X ) 5. Resultado: 60,00 Exemplo : (5 x 5) + (30 x 3) 350. Itroduza o primeiro úmero da primeira operação (5). Pressioe ENTER (resultado: 5,00) 3. Itroduza o segudo úmero da primeira operação (5) 4. Pressioe o operador ( X ) 5. Itroduza o primeiro úmero da seguda operação (30) 6. Pressioe ENTER (resultado: 30,00) 7. Itroduza o segudo úmero da seguda operação (3) 8. Pressioe o operador ( X ) 9. Pressioe o operador ( + ).5 Raiz Quadrada Excel: sedo o coteúdo da Célula A 5, deseja-se em A HPC: 5 ENTER g 5 Raiz(A).6 Raiz Eésima Excel: sedo o coteúdo da Célula A 5, deseja-se em A 3 7 (A)^(/3), lembrado que HPC: 7 ENTER 3 / x y x.7 Poteciação Excel: sedo o coteúdo da Célula A 7, deseja-se em A 7 3 (A)^(3) HPC: 7 ENTER 3 y x.8 Porcetagem A ENEM S/A teve uma Receita Bruta de R$5.000,00, com Impostos sobre vedas de 0% e Gastos de R$.800,00: Excel:

6 Fórmula 6 Resultado Alíquota É importate otarmos que qualquer alteração a alíquota basta alterar D4 e a plailha é recalculada. HPC: Cálculo da Alíquota: 5000 ENTER 0 % Cálculo da Receita Líquida: 5000 ENTER 0 % -.9 Variação Percetual O lucro da Empresa em 003 foi de R$.800,00. Assim, a variação percetual: Fórmula HPC: 800 ENTER 00 %.0 Operações com datas. Nas operações fiaceiras, ormalmete deseja-se saber a variação etre uma data e outra, ou seja, quatos dias há etre as duas datas. Deseja-se saber quatos dias existem etre um empréstimo efetuado em /0/004, pago em 8/0/004. HPC. Habilitar a fução D.MY: g 4 (aparece D.MY o visor).. Laçar a Data digitado Dia Vírgula Mês e Ao 3. Para desabilitar a fução D.MY: g 5 4. Assim, para a Data digita-se Mês Vírgula Dia e Ao HPC:,0004 ENTER 8,0004 g DYS Excel: sedo o coteúdo da Célula A /0/004 e A 8/0/004, o resultado em A3 será A-A, ou 49. O Excel cota também os dias úteis, da seguite forma: Habilite as ferrametas de aálise em: FERRAMENTAS / SUPLEMENTOS / FERRAMENTAS DE ANÁ- LISE. Sitaxe:DIATRABALHOTOTAL(data_iicial;data_fial;feriados) O(s) feriado(s) deve(m) estar em uma célula ou faixa de células. Exemplo: um muicípio com dois feriados em Juho de 004:

7 7 Outro exemplo é uma aplicação vecível em 60 dias úteis, cotratada 0/09/004: A 0/09/004 A 60 A3 07/09/004 (º Feriado) A4 //004 (º Feriado) A5 0//004 (3º Feriado) A6 DIATRABALHO(A;A;A3:A5) (formatar para data).. Algumas Fuções Estatísticas HPC: Somatório e Produtório: Primeiramete, deve-se limpar a memória de soma da calculadora com: f ou f SST A cada dado, ou par de dados laçados, a HPC acumula-os da seguite forma: R Número de dados laçados (também aparece o Display). R x Somatório dos valores de x. R 3 x Quadrado da Soma dos valores de x. R 4 y Somatório dos valores de y. R 5 y Quadrado da Soma valores de y. R 6 xy Somatório do produto de xy. Lembrado que: cada registrador equivale a uma operação STO / RCL. Exemplo: 5 STO 3 Valor 5 armazeado o Registrador 3 (STORAGE). RCL 3 Traz de volta o valor do registrador 3 (RECALL). Exemplo 3: Em uma cota correte ocorreram os seguites evetos: Saldo Iicial: R$5,3 Depósito de R$.000,00 Depósito de R$589,00 f , Cheque compesado de R$879,5 879,5 CHS + Pagameto de Tarifa de R$,00 Retirada de R$ 800,00 Saldo: -R$87,9 800 RCL CHS CHS + + Exemplo 4: Uma carteira de ações de R$5.000,00 obteve os seguites retoros: Empresa Valor Taxa f A R$ 500,00 5% 500 ENTER 0,05 + B R$ 800,00 7% 800 ENTER 0,07 + C R$.500,00-6% 500 ENTER CHS 0,06 + D R$.300,00-4% 300 ENTER CHS 0,04 + E R$ 900,00 0% Total R$ 5.000, ENTER 0, + Resultados do Portfólio: Retoro Médio ( ) Ivestimeto Médio ( ) x : g 0 0,04,4% y : g 0 x y R$.000,00 Desvio Padrão dos Retoros (Risco) g s 7,0% Retoro do Ivestimeto (Produtório): RCL 6 R$ 9,00 No Excel:

8 8 SOMA(B:B6) B*C SOMA(D:D6) MÉDIA(D:D6) MÉDIA(B:B6) DESVPAD(D:D6) Exercício de fixação (resolver o Excel e a HPC): ) Calcule o retoro médio e o risco de um ivestimeto que apresetou o seguite perfil: Ao Cambial Mercado acioário 999 4% 0% 000-5% -5% 00 8% 6% 00 3% 5% 003 0% 30% Compare os Retoros com os respectivos Riscos. JUROS SIMPLES O Juro Simples se caracteriza pela retirada dos Juros (pago ou recebido), sedo a base do etedimeto da Matemática Fiaceira, uma vez que as outras fórmulas derivam do Juro Simples.. Pricipais Nomeclaturas P Pricipal ou Valor Presete (valor atual ou origial da operação). j Juro (valor pago ou recebido). Período da operação. i Taxa da operação expressa em porcetagem, podedo ser ao dia (a.d.), ao mês (a.m.), ao ao (a.a.) ou a qualquer outro período. S Motate (resultado da Operação).. Adaptação a outras omeclaturas: P C Vp Pv S M Vf Fv.3 Fórmulas Básicas j P.i. S P + j Substituido-se a seguda a primeira, tem-se:

9 S P + P.i. S P( + i. ) Exemplo 5: Um ivestimeto de R$4.000,00 foi feito por um ao a uma taxa simples de %a.m. j $4000x0,0x $960,00 e S $ $960 $4.960, 00, ou: S $4.000( + 0,0x ) $4.000x,4 $4.960, Represetação gráfica x $80,00 $4.000,00 + $80,00 -$4.000,00.5 Juros Simples a HPC A HPC calcula Juros Simples com ao comercial (360 dias) ou ormal (365 dias). Mas, em qualquer situação, é importate obedecer às seguites regras: Observações: a) a taxa deve estar ao ao; b) o período deve estar em dias. Exemplo 6: Um ivestidor aplica R$.000,00 por meses a uma taxa simples de 6%a.m. 000 CHS PV 6 i 60 Resultado dos Juros para ao comercial: Motate a resgatar para ao comercial: Motate a resgatar com base 365 dias: f it R x y + f Observação: Quado se digita, 000 CHS PV troca-se o sial para obedecer ao fluxo de caixa de ivestimeto, pois, a visão do ivestidor, primeiro o diheiro sai do bolso (egativo). it f it +.6 Juros Simples o Excel: S P( + i ) Exercícios de Juros Simples ) Qual o juro aplicado a um ivestimeto de $5.600,00 a uma taxa de 4,8%a.m. durate um ao? ) Qual o motate a resgatar a questão aterior? 3) Qual o período que $5.000 deve ficar aplicado para se trasformar em $ a uma taxa de 83%a.a.? (resposta em dias). 4) Qual a taxa ecessária para trasformar $ em $ durate 5 meses? 5) Qual o motate de uma aplicação de R$.300 por 75 dias a uma taxa de %a.a.?

10 3. Juros Compostos Deomia-se composição de juros a reaplicação da parcela de juros. Exemplo 6: Uma aplicação de R$.000,00 a juros compostos a uma taxa de 0%a.m., durate 3 meses. º Mês: º Mês: 3ºMês 0 R$.000 R$00 R$.00 R$0 R$.0 R$ R$.000 Resultado: R$.00 R$.0 R$.33 R$ Formulário: Como a composição do Juro se dá pelo reivestimeto, temos pela fórmula de Juros Simples, para P.( + i ) S Para (lembrar que o Pricipal o º mês é o motate do º mês): P.( + i ) S S.( + i ) S P.( + i ).( i ) S + Para 3 (lembrar que o Pricipal o 3º mês é o motate do º mês): P.( + i ) S S.( + i ) S P.( + i ).( + i ).( i ) S Desta forma, o eésimo mês: S P.( + i ), que é a fórmula geral dos Juros Compostos. Resolvedo o Exemplo 6, tem-se: 3 S P.( + i ) S 000( + 0%) (,) 000.,33 R$.33,00 No Excel: Sitaxe: VF(taxa;per;pgto;vp;tipo) Taxa: é a taxa de juros por período. per: é o úmero total de períodos de pagameto em uma auidade. pgto: é o pagameto feito a cada período; ão pode mudar durate a vigêcia da auidade. Geralmete, pgto cotém o capital e os juros e ehuma outra tarifa ou taxas. Se pgto for omitido, você deverá icluir o argumeto vp, assim, para o cálculo de juros compostos, sem pagametos itermediários. vp: é o valor presete ou a soma total correspodete ao valor presete de uma série de pagametos futuros. tipo: o úmero 0 ou idica as datas de vecimeto dos pagametos, podedo ser iício do período (0), ou fial do período (). Só é relevate para cálculo de séries de pagameto. Na HPC: 000 CHS PV 0 i 3 FV

11 3. Calculado o Valor Presete: S P.( + i ) S P ( + i ) Exemplo 7: Quato deve ser aplicado hoje, para obter R$5.000,00 em aos a uma taxa de 0,65%a.m. S P R$4.79, ( + i ) ( + 0,65%),0065,68 Observar que 4, para igualar o período da Taxa ao próprio Período. Cálculo do Valor Presete o Excel: Sitaxe: VP(taxa;per;pgto;vf;tipo) Observar que per é multiplicado por para igualar à taxa. Cálculo do Valor Presete a HPC: 5000 CHS FV 0,65 i 4 PV 3.3 Calculado a Taxa: S P.( + i ) ( + i ) S P + i S P i S P Lembramos que : x y x y Exemplo 8:Um empréstimo de R$5.600,00 foi pago 6 meses depois com R$8.000,00. S ,6 i (,4857 ) ) (,0648 ) P i 0,0648 6,48%a.m. Cálculo do Valor Presete o Excel: Sitaxe: TAXA(per;pgto;vp;vf;tipo;estimativa) A TAXA é calculada por iteração e pode ter zero ou mais soluções. Se os resultados sucessivos de TAXA ão covergirem para 0, depois de 0 iterações, TAXA retorará o valor de erro #NÚM!. No Excel a Estimativa é utilizada para acelerar o cálculo, uma vez que o cálculo é feito por tetativas sucessivas. Na HPC: 5600 PV 8000 CHS FV 6 i

12 Pode ser resolvido também de forma cietífica (para outras calculadoras): 8000 Eter y x /x - 00 x 3.4 Calculado o Período S S P.( + i ) ( + i ) Log( + i ) Log P Lembrado que: Log L a x b x.log( a) Log( b) x Log L ( b) ( a) ( b) ( a) S P Log Log S P ( + i) Exemplo 9: Deseja-se obter R$0.000,00 ao fial de uma aplicação de R$9.000,00, a uma taxa de %a.a. Qual o período de aplicação? S 0000 Log Log P 9000 Log, 0, ,3053 Log + i Log + 0,0 Log,0 0,0086 ( ) ( ) O cálculo com Log Natural também leva ao mesmo resultado: S 0000 L L P 9000 L, 0,0536 5,3053 L + i L + 0,0 L,0 0,09803 ( ) ( ) Se repetirmos o cálculo, com qualquer Base, iguais a divisão, positiva e maior que (um), o resultado cotiuará sedo o mesmo. Cálculo do Período o Excel: Sitaxe: NPER(taxa;pgto;vp;vf;tipo) Lembrado que se arredodarmos para 5 meses, ão alcaçaremos R$0.000,00 e sim R$9.936,7, por isso a HPC mostrará o resultado com 6. Para efeito de cálculos, teríamos a verdade 5 meses e 0 dias. Na HPC: 9000 CHS PV 0000 FV i Pode ser resolvido também de forma cietífica (para outras calculadoras): 0000 Eter 9000 Eter 0,0 g L g L

13 Exercícios de juros compostos: 3 DETERMINE O MONTANTE DE UMA APLICAÇÃO DE R$ 3.500,00 A UMA TAXA DE % a.m. POR UM PERÍODO DE ANOS. - DETERMINE O VALOR QUE DEVE SER APLICADO HOJE, PARA OBTER R$ 5.000,00, DAQUI A 5 MESES A UMA TAXA DE 0,5% a.d. 3 DETERMINE QUANTO UMA PESSOA IRÁ PAGAR TOMANDO UM EMPRÉSTIMO HOJE PARA PAGAR DAQUI A 90 DIAS A UMA TAXA DE % a. m.. obs: O EMPRÉSTIMO FOI DE R$ 3.000,00. 4 DETERMINE QUANTO TEMPO UM INVESTIMENTO DE R$ 5.000,00 SE TRANSFORMA EM R$ 6.655,00 A UMA TAXA DE 0% a. m. 5 DETERMINE O PERÍODO NECESSÁRIO PARA QUE R$ 4.000,00 SE TRANSFORME EM R$ 7.484,08 A UMA TAXA DE,5% a. m. 6 DETERMINE O TEMPO NECESSÁRIO PARA TRIPLICAR UM CAPITAL A UMA TAXA DE % a. m. 4. Coversão de Taxas de Juros: 4. Juros Simples: A coversão de Juros Simples é liear, assim, pode ser resolvida, etre outras maeiras por regra de três, da seguite forma: Exemplo : Sedo uma taxa de 36%a.a., determie a taxa equivalete a: a) 3 meses: 36% meses x 3 meses x 36%. 3 x 9% a.t. b) dia: 36% 360 dias x dia 360x 36% x 0,% a.d. c) 57 dias: x 0,%a.d..57 5,7%a.57d. 4. Juros Compostos: A coversão de Juros Compostos é expoecial, assim, obedecedo à seguite regra, por exemplo: 30 ( + i ) ( + i ) ( + i ) 30 ( + i ) a.m. a.d. a.m. a.d. De modo geral, teremos a coversão meor elevada a quatidade de períodos da coversão maior. Resolvedo o Exemplo para juros compostos: sedo uma taxa de 36%a.a., determie a taxa equivalete a: a) 3 meses: ( + i ) ( + i ) ( + i ) ( + i ) a.a. 3 a.m. 0,5 ( + 36% ) ( + i ) i (,36 ) 7,99%a.t. a.t. a.t. a.a. a.t. 3 b) dia: 360 ( + i ) ( + i ) ( + i ) ( + i ) a.a. 360 a.d. 0,007 ( + 36% ) ( + i ) i (,36 ) 0,08545%a.d. a.d. a.d. a.a. 360 a.d. ( + i ) ( ) ( ) ( ) a.a. + ia.57d. + ia.a. + ia.57d. c) 57 dias: 57 0,738 ( + 36% ) 360 ( + i ) i (,36 ) 4,55%a57.d. a.d a.d

14 Resolução da Coversão Composta a HPC: 4 Sedo: 36%a.a. 4,55% a.57d. 36 Eter 00 Eter 57 Eter 360 y x - 00 Resolução o Excel: 5. Capitalização O processo de capitalização cosiste em, a partir de uma determiada taxa, capitalizar os períodos de redimeto. Um exemplo típico de taxa capitalizada é a poupaça com aiversário. Por exemplo: uma poupaça com aiversários todo dia 0, se receber um depósito o dia 5 de juho, este depósito só cotará a partir de 0 de julho, com o redimeto sobre o mesmo sedo creditado dia 0 de agosto. Da mesma forma, se um resgate for efetuado o dia /set, o redimeto etre 0/ago e a data do resgate será perdido, coforme o fluxo abaixo: Juros ão computados. Resgate: /set 0/ju 0/jul 0/ago 0/set Depósito 5/ju Juros Creditados Cômputo do depósito para efeito de juros Exemplo : Um ivestimeto de R$5.000,00 foi cotratado por dois aos a uma taxa de 4%a.a. com capitalização mesal. Qual o valor de resgate? º passo: Trazer a taxa para o período de capitalização, utilizado Juros Simples. ia.a. 4% ia.m. %a.m. º passo: Levar a taxa para o período capitalizado, utilizado Juros Compostos ( + ia.4m ) ( + ia.m ) ia.4m ( + % ),0, ,8437% 3º passo: Aplicar a taxa ao valor capitalizado: S P + i ,8437% R$8.04, ( ) ( ) 9 a.4m 6. Descotos Descotos são operações fiaceiras de atecipação de pagameto, ode o valor omial sofre uma redução do seu pagameto. A categoria descotos dividi-se em: Simples Racioal

15 Comercial 5 Composto Racioal Comercial Os Descotos Comerciais são cohecidos como por fora, ao passo que os Descotos Racioais são cohecidos como por detro. 6. Descotos Simples 6.. Descoto Racioal Simples: cosiste em calcular o Valor do Título através da fórmula padrão de Juros Simples: N, ode: V Valor atual do título e N Valor Nomial (ou de face) do título. V ( + i) Exemplo 3: Deseja-se descotar um título o valor de face de R$.300,00, vecível em 0//004, em 5/08/004. A taxa praticada é de 6%a.a. ia.a. 6% Taxa ao dia: ia.d. 0,04%a.d Cálculo do : 5,08004 ENTER 0,004 g DYS 7 dias V,05 ( + 7.0,04% ) R$.35, 74 Assim, o valor do Descoto será: D V N R$.300,00 R$.35,74 R$64,5 6.. Descoto Comercial Simples É o descoto bacário simples, ode a taxa liear de descoto é chamada de d. V N( d) Assim, coforme o exemplo aterior, o descoto comercial simples será: V N( d) 300( 7.0,0004 ) 300( 0,05 ) 300. ( 0,948 ) R$.3, 40 D V N R$.300,00 R$.3,40 R$67, Formulário do Descoto Simples Racioal Comercial D r N.i. + i. D c N.d. V r N + i. V C N ( d.) d r Dr Vr. d c d d. 6. Descotos Compostos Caracterizam-se por utilizar a base de Juros Compostos o seu cálculo Descoto Racioal Composto

16 6 Exemplo 4: Uma empresa possui um Título que o seu valor de face é R$4.500,00, vecível em 75 dias. Ela cosegue descotá-lo a uma taxa de 8%a.m. O valor recebido será: V f N ( + i ) V 4500 ( + 0,08 ) 4500 (,08 ) 4500, f,5,5 R$3.7,39 Desta forma, o descoto será de: D V N R$4.500,00 R$3.7,39 R$787,6 6.. Descoto Comercial Composto É o mais utilizado por obter um descoto maior, sedo assim represetado: C ( + i) ) N ( i) Utilizado o Exemplo 4, teremos: ( ) V N N +,5 ( ( + 0,08 ) ) 4500(,) R$3.545, 9 VC 4500 Desta forma, o descoto será de: D V N R$4.500,00 R$3.545,9 R$954, Formulário do Descoto Composto Racioal D V f f ( + i ) N ( + i ) N ( + i ) D C Comercial N ( + i) ) ( ( i) ) V N + C d f ( + i ) ( + i ) d C ( + i) )

17 ) Determie a taxa equivalete em juros simples a 5%a.a. para: a) meses b) 75 dias c) trimestres d) 7 meses 7 ) Determie a taxa equivalete em juros compostos a 6,5%a.a. para: a) meses b) 75 dias c) trimestres d) 7 meses 3) Uma aplicação de $3.000,00 foi feita por 0 meses a uma taxa de 4%a.a. Determie o valor do resgate, sedo a capitalização: a) Mesal b) Diária c) Semestral 4) Um título de $5.000 para vecimeto daqui a 3 meses foi oferecido pagado $4.500,00 pelo mesmo, a juros compostos simples racioal. Determie a taxa praticada. 5) Um título de $8.000,00 para vecimeto a 300 dias foi descotado com uma taxa de descoto comercial simples de 0,003% a.d. Perguta-se: Qual o valor do descoto? Qual o valor pago? Qual a taxa efetiva praticada? 6) Determie a taxa de um descoto racioal composto de um título de $6.000,00 que teve um descoto de $300,00 por 3 meses. 7. Séries Uiformes de Pagametos As séries uiformes são caracterizadas por pagametos regulares, a uma mesma taxa de juros durate todo o período. Exemplo 5: Um equipameto de R$.500,00 é vedido em três prestações mesais e fixas, a uma taxa de,5%a.m. Deseja-se saber o valor das prestações. 7. Auidades Postecipadas A auidade é o fator que compõe o pagameto, sedo assim represetada: a a i% Ode, o exemplo 5, seria: 3,5% 7.. Cálculo da Auidade Postecipada: ( ) + i a Substituido: VP PMT. PMT. i% i. ( + i) 3 ( + 0,05) PMT. 3 PMT 0,05. ( + 0,05) (,0769) 0,05. (,0769) 500 R$55,, ,0769 0,069

18 Utilizado a HPC 500 PV 3 N,5 i PMT 8 Cálculo da Auidade o Excel: Sitaxe: PGTO(taxa;per;vp;vf;tipo) O Tipo 0 sigifica postecipada. Quado utilizamos o VF sigifica que restou algum resíduo. 7.. Cálculo de uma Auidade Postecipada a Valor presete Exemplo 6: Em um programa de televisão ititulado Sua Resposta vale um Milhão, um participate gahou o prêmio máximo, porém, a hora de receber soube que receberia 5 parcelas de R$40.000,00. Cosiderado a taxa de juros % a.m., o valor correto do prêmio seria: PV ,0. Utilizado a HPC 5 ( + 0,0) ( + 0,0) 0, R$880.96,3 0,084 PV ,0. (,84 ) (,84 ) PMT 5 N i PV 7..3 Cálculo do período de uma Auidade Postecipada. Utilizado o exemplo 6: VP ,3 L.i L.0,0 PMT L 0,0 L + i L + 0,0 L,0 L L ( ) ( ) ( 0, 7798) 0,487 5 (,0) 0,00995 ( ) ( ) Cálculo da Taxa de uma auidade Postecipada. Não se pode obter uma fórmula para a determiação precisa da taxa de juros de uma série uiforme. Ela só é obtida a partir da tetativa e erro, com o cálculo de uma taxa estimada: PMT VP ,3 ie 0,0454 0,0354,0% PV ( PMT. ) ,3 ( ( 5) ) Recalculado o PMT para,0%, obtemos: R$878.75,46, portato acima do pretedido. Nos passos seguites ajustaríamos i, a partir de i e, para chegarmos a um valor mais próximo. 7.. Auidades Atecipadas A auidade Atecipada se caracteriza pelo fato da primeira prestação ser efetuada o ato da cotratação.

19 Utilizado aida o exemplo 6, em uma série atecipada o pagameto seria do tipo: parcela o ato mais 4 mesais. 7.. Cálculo da Auidade Atecipada: PV PMT + PMT ( + i) ( + i) i, ,697.0, (,0 ) ( + i) 0,697 0,0697 (,434 ) , , Cálculo de uma Auidade Atecipada a Valor presete PMT VP ( + i) ( + i).i ,49 0, , ,49. 0,84 (,0 ) (,0) 4 5 ( 0,04496 ) , ,0.0, , Cálculo do período de uma Auidade Atecipada. L ( + i) L( + i) [ 0,4] L(,0) L,0 VP PMT.i L + L 0, + L [ 7876] (,0 ) (,0) , L (,0 ).0,0 + (,697 ) (,84 ) 0, , Cálculo da Taxa de uma Auidade Atecipada. i e PMT PV PMT ( PV PMT ) PMT( ) ( ,49 ) ( 576) , ,047 0, ,00 % ,49 Este método também forece um valor aproximado de i.0,0 ( , ) ( 5 ) Séries Diferidas Este tipo de série tem uma seqüêcia de capitais de valores omialmete iguais e uiformes, com exceção do primeiro período, chamado de carêcia. Utilizado aida o Exemplo 6, podemos supor que se o prêmio de UM MILHÃO fosse pago em 5 parcelas de R$ com a primeira daqui a três meses: PV PMT. PV ( + i) + c ( + i).i (,84) 0,0. (,33) ,0. 5 ( + 0,0) ( + 0,0) 8 0, R$855.08,3 0,033

20 8. Séries Variáveis 0 As séries variáveis são caracterizadas por pagametos irregulares, a qual cada parcela deve ser calculada idividualmete, sedo o seu valor presete a soma das séries. Exemplo 7: Um ivestimeto pagou parcelas mesais de R$4.500, R$5.000 e R$ Qual o valor presete deste ivestimeto, cosiderado que estes meses o IGPM foi de:,3%(mai/004)? VP VP j FC j ( + i ) ( + i ) ( + i ) ( + i ) j j FC FC FC ( + 0,03) ( + 0,03) ( + 0,03) R$4.44,8 + R$4.87,53 + R$5.89,39 R$4.60, 73 Este seria o valor a cotratação, ou seja, FEV/004 Utilizado a HPC: 4500 Eter, Resolvedo, temos: 5000 Eter,03 Eter Eter,03 Eter 3 y x + RCL + y x ) Uma pessoa deposita $.450,00 todo fim de mês em um fudo de ivestimeto que paga juros omiais de 0%a.a. capitalizados mesalmete. Calcular o motate de aplicação o fim do 6º mês. R.: $88.076,84 ) Uma compra o valor de $6.000,00 será paga por meio de uma etrada de 0% e um determiado úmero de prestações mesais de $4.038,0, sedo a primeira, um mês depois da compra. A juros efetivos de 0% a.m., calcular o úmero de prestações ecessárias para liquidar a dívida. R.: 4 prestações. 3) Uma máquia é vedida em prestações mesais de $307. A juros efetivos de 0%a.m., qual deveria ser o seu valor de veda a vista? R.: $.09,80. 4) Calcular o valor de uma aplicação mesal ecessária que permita acumular ao fim de 6 meses um motate de $ , cosiderado um redimeto efetivo de 6%a.m. R.: ,93 5) Um bem de $350, pode ser pago por meio de uma etrada e mais quatro prestações bimetrais de $00. A juros de efetivos de 5%a.m., calcular o valor da etrada. R.: $34,7 6) Cosiderado uma remueração efetiva de 6% a.m., calcular a aplicação ecessária a ser feita hoje que permita sacar mesalmete $3.80 durate os próximos 9 meses. R.: ,6 7) Uma pessoa fiaciou uma compra o valor de $43.000,00 em prestações mesais de $7.93,64. Calcular a taxa de juros efetiva mesal cobrada pelo fiaciameto. R.: 5% 8) A juros efetivos de 8%a.m., em que prazo pode ser liquidado um fiaciameto de $.300 pagado prestações mesais de $78,98? R.: 4 meses. 9) Determiar a taxa de juros efetiva mesal efetiva cobrada por um empréstimo de $3.000, que será reembolsado por meio de 3 parcelas mesais de $5.793,7. R.: 7%

21 Itrodução à amortização Amortização é um processo de extição de uma dívida através de pagametos periódicos, que são realizados em fução de um plaejameto, de modo que cada prestação correspode à soma do reembolso do Capital ou do pagameto dos juros do saldo devedor, podedo ser o reembolso de ambos, sedo que Juros são sempre calculados sobre o saldo devedor. Os pricipais sistemas de amortização são:. Sistema de Pagameto úico: um úico pagameto o fial.. Sistema de Pagametos variáveis: vários pagametos difereciados. 3. Sistema Americao: pagameto o fial com juros calculados período a período. 4. Sistema de Amortização Costate (SAC): amortização da dívida é costate e igual em cada período. 5. Sistema Price ou Fracês (PRICE): os pagametos (prestações) são iguais. 6. Sistema de Amortização Misto (SAM): os pagametos são as médias dos sistemas SAC e Price. 7. Sistema Alemão: os juros são pagos atecipadamete com prestações iguais, exceto o primeiro pagameto que correspode aos juros cobrados o mometo da operação. Em todos os sistemas de amortização, cada pagameto é a soma do valor amortizado com os juros do saldo devedor, isto é: Pagameto Amortização + Juros Em todas as ossas aálises, utilizaremos um fiaciameto hipotético de R$ ,00 que será pago ao fial de 5 meses à taxa mesal de 4%. Na sequêcia, será essecial o uso de tabelas cosolidadas com os dados de cada problema e com iformações esseciais sobre o sistema de amortização. Em todas as aálises, utilizaremos a mesma tabela básica que está idicada abaixo, com os elemetos idicados: Sistema de Pagameto Úico Sistema de Amortização Amortização do Juros Pagameto Saldo devedor Saldo devedor , Totais ,00 O devedor paga o MotateCapital + Juros compostos da dívida em um úico pagameto ao fial de 5 períodos. Uso comum: Letras de câmbio, Títulos descotados em bacos, Certificados a prazo fixo com reda fial.

22 Sistema de Pagameto Úico Juros Amortização do Pagameto Saldo devedor Saldo devedor ,00.000, ,00.480, , , , , , , , ,87 0 Totais , , ,87 Sistema de Pagametos Variáveis O devedor paga o periodicamete valores variáveis de acordo com a sua codição e de acordo com a combiação realizada iicialmete, sedo que os juros do Saldo devedor são pagos sempre ao fial de cada período. Uso comum: Cartões de crédito. Dado: O devedor pagará a dívida da seguite forma: No fial do o.mês: R$ ,00 + juros No fial do o.mês: R$ ,00 + juros No fial do 3o.mês: R$ ,00 + juros No fial do 4o.mês: R$ ,00 + juros No fial do 5o.mês: R$ ,00 + juros Sistema Americao Sistema de Pagametos Variáveis Juros Amortização do Pagameto Saldo devedor Saldo devedor ,00.000, , , , , , , , , , , , , , , , , , ,00 0 Totais 4.000, , ,00 O devedor paga o Pricipal em um úico pagameto o fial e o fial de cada período, realiza o pagameto dos juros do Saldo devedor do período. No fial dos 5 períodos, o devedor paga também os juros do 5o. período. Sistema Americao Juros Amortização do Pagameto Saldo devedor Saldo devedor ,00.000,00.000, ,00.000,00.000, , ,00.000, , ,00.000, , , , ,00 0 Totais , , ,00

23 Sistema de Amortização Costate (SAC) O devedor paga o Pricipal em 5 pagametos sedo que as amortizações são sempre costates e iguais. Uso comum: Sistema Fiaceiro da Habitação Sistema Price (Sistema Fracês) Sistema de Amortização Costate (SAC) N Juros Amortização do Pagameto Saldo devedor Saldo devedor ,00.000, , , , , , , , , , , , , , , , , , ,00 0 Totais , , ,00 Todas as prestações (pagametos) são iguais. Uso comum: Fiaciametos em geral de bes de cosumo. Sistema Price (ou Sistema Fracês) Juros Amortização do Pagameto Saldo devedor Saldo devedor ,00.000, , ,3 44.6, , , , , , , ,3 7.00, , , , ,8 5.59, , ,3 0 Totais , , ,65 Sistema de Amortização Misto (SAM) Cada prestação (pagameto) é a média aritmética das prestações respectivas o Sistemas Price e o Sistema de Amortização Costate (SAC). Uso: Fiaciametos do Sistema Fiaceiro da Habitação. 3 Cálculo: PSAM (PPrice + PSAC) PSAC PPrice PSAM 7.000, , , , , , , , , , , , , , ,07

24 Sistema de Amortização Misto (SAM) Juros Amortização do Pagameto Saldo devedor Saldo devedor ,00.000, , , , , , , , , , , , ,0 6.5, , , , , ,07 0 Totais , , , Idicadores de Viabilidade São critérios para se decidir se um projeto de ivestimeto deverá ser aceiro ou ão. Os métodos mais tradicioais e utilizados para avaliação de um projeto de ivestimeto são:. Payback. Payback descotado 3. Valor Presete Líquido 4. Taxa Itera de Retoro 5. Taxa Itera de Retoro Modificada 6. Custo Aual Equivalete 0. Payback (PB) É um método de avaliação simples é muito utilizado em meados do século passado quado ão existiam recursos computacioais para estimar outros idicadores. O payback mede o tempo ecessário para recuperar o ivestimeto realizado. Exemplo: Os doos de uma lachoete estimam que o egócio produza aualmete R$ 75 mil de caixa. A lachoete foi posta a veda por R$ 50 mil, logo o prazo para recuperar o valor ivestido será de dois aos. Critério para o Payback Se o payback do ivestimeto é meor do que o payback estabelecido pela empresa, deve aceitar o projeto. Se o payback do ivestimeto é igual do que o payback estabelecido pela empresa, etão é idiferete aceitar ou ão. Se o payback do ivestimeto é maior do que o payback estabelecido pela empresa, deve rejeitar o projeto. Exemplo : O uso de garrafas de plástico descartáveis de dois litros para refrigerate está crescedo e a empresa fabricate ecessita aumetar sua capacidade de produção dessas garrafas de plástico descartáveis para poder acompahar a tedêcia de mercado. De acordo com um estudo iicial, para aumetar a capacidade de produção será ecessário um ivestimeto iicial o valor de R$,5 milhões, para compra, e istalação de ovos equipametos e a realização de modificações as istalações existetes. O fluxo de caixa aual foi estimado em R$ 850 mil durate os cico aos de dura-

25 5 ção do projeto. Realize uma avaliação do projeto, cosiderado que o critério da empresa é aceitar ivestimetos que teham prazo de recuperação do valor total ivestido meor do que três aos. Ao Fluxo de Caixa (R$) Fluxo de Caixa Acumulado (R$) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Olhado o fluxo acumulado, otamos que este passa de egativo para positivo etre o segudo (R$ ) e o terceiro ao (R$ ). Portato, recuperamos o ivestimeto esse itervalo. Para determiar o valor exato do payback basta aplicar a seguite fórmula: FCA+ Payback Ao+ FCA FCA Ode: Ao+ ao em que o Fluxo de Caixa Acumulado fica positivo FCA+ Fluxo de Caixa Acumulado do ao em que fica positivo FCA- Fluxo de Caixa Acumulado do ao em que fica egativo aterior ao positivo No exemplo temos que: Payback 3 3 0,06, ( ) Resumido, o ivestimeto será recuperado em,94 aos, logo a empresa deverá aceitar este ivestimeto, pois é meor do que o valor estabelecido (de três aos) pela direção da empresa Payback Descotado (PBD) Esse idicador utiliza o mesmo coceito do payback, mas itroduz a idéia de valor do diheiro o tempo. Exemplo: Levado-se em cota o fluxo de caixa a seguir, aplique o payback descotado sabedose que o custo de capital da empresa é igual a 4% a.a. Ao Fluxo de Caixa (R$ mil) Valor Presete Fluxo de Caixa Acumulado (R$ mil) ,30 ( + 0,4 ) -80,70 ( ,30) ,37 ( + 0,4 ) -88,33 (-80,70 + 9,37) ,74 ( + 0,4 ) 3 80,4 (-88, ,74) ,0 ( + 0,4 ) 4 8,43 (80,4 + 48,0) 80,4 Payback DESCONTADO 3 3 0,48,5 80,4 ( 88,33) A empresa só aceita projetos que recuperem o ivestimeto em meos do que dois aos. Pelo payback teríamos que aceitar o projeto uma vez que o idicador é de dois aos. Já pelo payback descotado (,5 aos) é maior do que o payback aceito pela empresa e, portato, devemos rejeitar o projeto.

26 0.3 Valor Presete Líquido (VPL) 6 Esse método cosiste em trazer cada valor do fluxo de caixa o futuro para a data atual, utilizado uma determiada taxa de descoto (a prática o custo de capital). Fórmula FC FC FC 3 FC t 0 3 t FCI FC FC FC3 VPL FCI i + i Ode: FCI fluxo de caixa do ivestimeto a data zero FC fluxo de caixa a data FC fluxo de caixa a data FC3 fluxo de caixa a data 3 FCt fluxo de caixa a data t i taxa de juros (o caso de aálise de projetos o custo de capital) Critério para o VPL FCt + K + + i 3 ( + i) ( ) ( ) ( ) t Se o valor presete líquido é maior do que zero, o projeto deve ser aceito. Se o valor presete líquido é igual a zero, é idiferete aceitar ou ão. Se o valor presete líquido é meor do que zero, o projeto ão deve ser aceito. Exemplo: A empresa do ramo de biscoitos está iteressada em ivestir R$ 50 mil em um projeto para criar um ovo produto: biscoito com frutas. A expectativa de geração de caixa é descrita a tabela abaixo. Cosiderado que o custo de capital da empresa é igual a 5% ao ao, verifique se esse projeto deve ser aceito aplicado o método do valor presete líquido. Ao Fluxo de Caixa (R$ mil) O valor presete líquido desse fluxo de caixa é igual a: ou VPL ( + 0,5) ( + 0,5) ( + 0,5 ) ( + 0,5 ) ( + 0,5 ) 5 ( + 0,5 ) ( + 0,5 ) VPL ,5 85.5,5 85.5,5 Na HP: CHS g CF g FCj

27 7 5g Nj 5 i f NPV Como o valor presete líquido é positivo, o ivestimeto deverá ser aceito. Isso sigifica que o projeto cosegue pagar o custo do capital e deixa um retoro extra para a empresa idicado que ele sairá do egócio mais rico do que etrou, pois suas expectativas de retoro serão superadas. Relação etre VPL e o custo do capital Usado o exemplo aterior, otamos que quado elevamos o custo de capital, o valor do VPL cai. Além disso, se a taxa de descoto for muito alta o VPL pode ser egativo, o que iviabiliza o ivestimeto o projeto. VPL (R$ mil) (50) (00) (50) 0% 0% 0% 30% 40% 50% 60% Custo de Capital Custo de Capital VPL (R$ mil) 0% 50,0 5% 8,9 0% 9, 5% 85, 0% 49, 5% 8,9 30% - 6,4 35% - 8,0 40% - 46,5 45% - 6,4 50% - 76,3 55% - 88,5 60% - 99, 0.4 Taxa Itera de Retoro (TIR) A TIR é a taxa de juros que iguala o VPL a zero. Matematicamete é represetado pela seguite fórmula:

28 VPL 0 FCI + Ode: FCI fluxo de caixa do ivestimeto a data zero FCt fluxo de caixa a data t TIR Taxa Itera de Retoro t t ( TIR) t + FC t 8 Exemplo: O laçameto de um saboete líquido deverá ter sucesso, pois irá ateder a expectativa do de ovidades do mercado de cosméticos. Os estudos de mercado, de produção e de egeharia permitiram defiir o fluxo de caixa do projeto represetado pelo gráfico abaixo, ode os valores referem-se a milhares de R$. Estime a taxa itera de retoro para o projeto TIR VPL Na HP: 00 CHS g CF0 00g FCj 3g Nj f IRR ( + TIR) ( + TIR) ( + TIR) + 3 TIR 3,37% Critério para a taxa itera de retoro Se a taxa itera de retoro for maior do que o custo do capital, o projeto deve ser aceito Se a taxa itera de retoro for igual ao custo do capital, é idiferete aceitar ou ão Se a taxa itera de retoro for meor do que o custo do capital, o projeto deve ser rejeitado Tomado o exemplo aterior, se o custo do capital da empresa é igual a 0%, a empresa deve aceitar ou ão o projeto? BIBLIOGRAFIA BELLIO, Atoio Carlos. DTCOM: Matemática Fiaceira com Excel. MatFi Cursos e Treiametos Empresariais: Curitiba, 00. HEWLETT PACKARD, HPC: Maual do Usuário LAPPONI, Jua Carlos. Modelagem Fiaceira com Excel. Campus: Rio de Jaeiro NETO, Assaf. Matemática Fiaceira e suas aplicações. Atlas: Rio de Jaeiro. 00. PUCCINI, Abelardo Lima. Matemática Fiaceira - Objetiva e Aplicada Campos: Rio de Jaeiro. 9ª Ed. 0 SAMANEZ, Carlos Patrício. Gestão Ivestimetos e Geração de Valor. Pretice Hall: São Paulo. 006.