Licenciatura em Ciências USP/ Univesp funções polinomiais 4

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1 Lcecatura em Cêcas USP/Uvesp FUNÇÕES POLINOMIAIS 4 51 TÓPICO Gl da Costa Marques 4.1 Potecação 4. Fuções Polomas de grau 4.3 Fução Polomal do Segudo Grau ou Fução Quadrátca 4.4 Aálse da Forma Geral dos Gráfcos da Fução Quadrátca 4.5 Gráfcos das fuções polomas 4.6 Raízes das fuções polomas 4.7 Raízes da Fução Quadrátca 4.8 Máxmos e Mímos da Fução Quadrátca Lcecatura em Cêcas USP/ Uvesp fuções polomas 4

2 4.1 Potecação Lcecatura em Cêcas USP/Uvesp 53 Ates de abordar as fuções polomas, devemos troduzr uma operação com úmeros reas deomada potecação. Assm, defmos a potêca do úmero a, represetada por a (com N*), como o resultado do produto sucessvo do úmero a vezes, ou seja, Assm, defmos a 3 como: a a a a 3 a 4.1 vezes = a a a ou seja, o produto sucessvo de a três vezes. O resultado da potecação de um úmero real é um outro úmero real. Por exemplo, = 333 = 39 = = = 3 9= A potecação de um úmero, caracterzada pela potêca, é uma operação bastate smples sempre que a potêca evolva úmeros teros postvos. 4. Fuções Polomas de grau A operação potecação permte-os defr uma ampla classe de fuções, deomadas geercamete fuções polomas. Por exemplo, a fução cúbca, ou fução polomal de tercero grau é defda de forma aáloga à potecação uma vez que a fução da forma: 3 f ( x) = x 4.4 assoca ao valor x da varável depedete, um valor para a varável depedete o qual é determado da própra varável depedete: f ( x) = ( x x x) 4.5 fuções polomas 4

3 54 Lcecatura em Cêcas USP/Uvesp Um exemplo smples de fução cúbca é aquela que expressa o volume de uma esfera como fução do seu rao. Nesse caso a depedêca do volume em relação ao rao R, se escreve: V = 4π 3 Aalogamete, podemos defr uma fução evolvedo uma potêca arbtrára,, da varável depedete (cosderado-se, até esse poto, apeas úmeros teros e postvos). Ela será represetada por: R f x = x x x x vezes 4.7 Um polômo de grau é defdo como uma soma ou combações leares de fuções da forma 4.7, sto é, ele é defdo pela expressão geral: P x = a f x + a f x + + a f x + a Ou, aalogamete 1 P x = ax + a x ax+ a Ou seja, um polômo de grau pode ser defdo como uma soma de polômos de graus varado de um até, P ( x) = ax = Da defção acma, temos que a fução afm é, por defção, um polômo de prmero grau, ou seja, P x = ax+ a Fgura 4.1: Gráfco de uma fução polomal do prmero grau, ou fução afm. / Fote: Cepa TERRA E UNIVERSO Fudametos da Matemátca I

4 Lcecatura em Cêcas USP/Uvesp 55 Por exemplo, a velocdade escalar de uma partícula de massa m sujeta a uma força costate F atuado ao logo de uma curva é dada, como fução do tempo t decorrdo, por: F V t t V m = Nesse caso, a varável depedete, x, é o tempo, acma desgado por t, equato os parâmetros a 1 e a 0 são, respectvamete, a aceleração da partícula (a 1 = F/m) e a sua velocdade cal (V (t = 0) = V 0 ). Um polômo é cosderado par se: = ( ) P x P x 4.13 em cujo caso, deve ser ecessaramete um úmero par e todos os coefcetes das potêcas ímpares devem ser ulas. Por exemplo, o polômo: 4 4 P x = x 13x é um polômo par. Um polômo é dto ímpar, se: = ( ) P x P x 4.15 A codção ecessára e sufcete para que sso acoteça é a de que deve ser, ecessaramete, um úmero ímpar, bem como todos os coefcetes das potêcas pares devem ser ulos. Assm, o polômo P x = x 13x + 36x 4.16 é um polômo ímpar. fuções polomas 4

5 56 Lcecatura em Cêcas USP/Uvesp 4.3 Fução Polomal do Segudo Grau ou Fução Quadrátca A fução polomal do segudo grau cotém, além dos termos leares já aalsados, um termo quadrátco a varável x. Assm, a forma mas geral do polômo do segudo grau é: y( x) = ax + bx + c 4.17 Na expressão acma, empregamos a forma covecoal de apresetar as fuções quadrátcas, ou seja, em termos de parâmetros desgados pelas letras a, b e c. As costates a, b e c são deomadas, respectvamete, coefcete quadrátco, coefcete lear e coefcete costate ou termo lvre. O coefcete quadrátco é o úco que ão pode ser ulo, pos, esse caso, a equação sera do prmero grau. O gráfco de um polômo do segudo grau é uma parábola. O movmeto dos projétes a superfíce terrestre provê mas de um exemplo de gradezas que depedem quadratcamete, umas das outras. Por exemplo, a coordeada y assocada à posção de um projétl depede da coordeada x da segute forma: g x x y( x) + v + y v y0 0 0x v0x 4.18 ode g é a aceleração da gravdade, y 0 é o valor da coordeada y quado do íco do movmeto, sto é, quado x = 0, e a velocdade cal do projétl tem compoetes (v 0x, v 0y ). Fgura 4.: A trajetóra de um projétl é descrta por uma fução quadrátca. / Fote: Cepa TERRA E UNIVERSO Fudametos da Matemátca I

6 Lcecatura em Cêcas USP/Uvesp 57 A segur, escreveremos a expressão 4.17 de uma forma teramete equvalete, e muto útl, como se verá. Admtdo-se o parâmetro a ão ulo (a 0), podemos escrever as segutes gualdades: b c b c b b = + + = + + = a a a a 4a 4a y ax bx c a x x a x x b b c b b b 4ac = a x + x+ + a x = + a 4 a a 4a a 4a b x+ a 4.19 Dode fermos que b = + + = + a a y x ax bx c a x 4.0 ode o termo é dado por = b Embora seja pouco usual, vamos usar, e mutas vezes, essa últma forma da fução quadrátca. Em partcular, se recorrermos a um artfíco defdo como traslação de exos (mudaças de exos a dreção vertcal e horzotal) ela se tora útl para escrever a equação da parábola de uma forma mas smples. De fato, se redefrmos as varáves de acordo com as expressões: 4ac 4.1 b x = x+ a b 4ac y = y a 4. etão, o polômo do segudo grau pode ser escrto, essas ovas varáves, como: = y x ax 4.3 fuções polomas 4

7 58 Lcecatura em Cêcas USP/Uvesp Observe que efetuar traslações ao logo dos exos x e y correspode a realzar uma mudaça do sstema de coordeadas. As trasformações 4. podem ser pesadas como traslações dos exos a dreção horzotal e a dreção vertcal. Assm, medate uma ova escolha de exos, escolha essa defda por 4., podemos reduzr a expressão 4.17 ou 4.0 a uma forma bastate smples. Utlzaremos, dsttamete, qualquer uma das expressões 4.17, 4.0 ou 4.3. De acordo com a expressão 4.17, podemos costatar que a fução polomal sob a forma 4.3 é uma fução par. Isso os leva a uma smetra da parábola. De fato, ela é smétrca em relação à reta dada por: Fgura 4.3: Por meo da traslação de exos, podemos smplfcar a forma da fução quadrátca. / Fote: Cepa x = b a Aálse da Forma Geral dos Gráfcos da Fução Quadrátca Podemos classfcar as parábolas a partr de suas duas característcas. A prmera delas é a cocavdade. A seguda dz respeto ao fato dela terceptar, ou ão, o exo x. Uma fução quadrátca pode exbr dos tpos de cocavdade. A cocavdade é cosderada postva se a curva está vrada para cma. Se ocorrer o oposto, a cocavdade da curva é egatva. Nesse caso dzemos, uma lguagem coloqual, que ela está vrada para baxo. Levado-se em cota ada a forma 4.3, podemos verfcar que a cocavdade é determada pelo sal do parâmetro a da fução. A cocavdade será egatva se o parâmetro a o for. E será postva se o mesmo valer para a. Isso pode ser faclmete costatado aalsado-se Fgura 4.4: A cocavdade da fução depede do sal do parâmetro a. / Fote: Cepa as fguras em cada caso (Fgura 4.4). TERRA E UNIVERSO Fudametos da Matemátca I

8 Lcecatura em Cêcas USP/Uvesp 59 Assm, o parâmetro a determa também o quão aberta ou fechada será a parábola. Quato maor o valor desse parâmetro tato mas aberta será a parábola (vde fgura 4.5). A parábola pode terceptar, ou ão, o exo x. Para determar sob que crcustâcas a curva terceptará o exo x, basta aalsar em que crcustâcas teremos um valor de y gual a zero para um dado valor de x. A tas valores, quado exstem, damos o ome de raízes do polômo. Os potos os quas a parábola cruza o exo x têm coordeadas ( y = 0, x r ), ode x r é uma das raízes do polômo de segudo grau, sto é: Fgura 4.5: Comportameto da parábola quado varamos o parâmetro a. / Fote: Cepa ax + bx + c = 0 r r 4.5 Assm, o gráfco de um polômo do segudo grau pode terceptar duas vezes o exo x (se ele possur duas raízes), terceptar apeas uma vez (o caso de ter apeas uma raz), ou uca terceptá-lo (se ão houver raízes reas). De acordo com aálse que faremos a seção 4.6, tas casos podem ser decddos por meo da relação etre os parâmetros a, b e c. O resultado é o segute: Se Assm, a fução quadrátca > 0 b > 4ac = 0 b = 4ac < 0 b < 4ac Fgura 4.6: Por forma geral para dferetes sas ou valores de Δ. / Fote: Cepa 4.6 y x = x 3x+ 4.7 tercepta o exo x duas vezes e, esse caso, b = 9 > 4ac = 4 1 = 8 fuções polomas 4

9 60 Lcecatura em Cêcas USP/Uvesp ao passo que a fução y x = x x tercepta o exo x apeas uma vez, pos b = 4 = 4ac = = 4. E a fução x y x = jamas tocará o exo x. Esboce o gráfco da fução Exercíco Resolvdo: Problema 1 y = f x = x 6x Resolução: Prmeramete, lembramos que Um modo de resolver o problema proposto sera atrbur algus valores a x e calcular os correspodetes valores de y, costtudo assm uma tabela e, a partr da tabela, costrur o gráfco. Há um modo mas produtvo, porém, que é procurar os potos mas mportates: corte com os exos e o vértce. Lembramos que, esse caso, temos: a = 1, b = 6, c = 5. a. Corte com o exo y: Para ecotrar o valor de y, basta tomar x = 0 a equação Obtemos: y (0) = = Portato, o gráfco corta o exo 0y o poto de coordeadas (0,5) b. Cocavdade: Tedo em vsta que a = 1 > 0, a cocavdade é para cma c. Cortes com o exo 0x: Devemos verfcar se exstem potos a curva tas que y = 0, ou seja, potos x para os quas: x 6x + 5= TERRA E UNIVERSO Fudametos da Matemátca I

10 O valor de é postvo. Lcecatura em Cêcas USP/Uvesp 61 = b ac = = = Portato, esse caso ele tercepta o exo x duas vezes. 4.5 Gráfcos das fuções polomas Gráfcos típcos das fuções polomas são apresetados as fguras abaxo. O polômo da fgura 4.7C é um polômo par. Os demas ão têm uma pardade bem defda. A) B) C) D) Fgura 4.7: Algus gráfcos de fuções polomas / Fote: Cepa fuções polomas 4

11 6 Lcecatura em Cêcas USP/Uvesp Pode-se ver, pelos gráfcos, que as fuções polomas ão são lmtadas, sto é, elas podem crescer defdamete, decrescer defdamete, ou ambos. A curva assocada ao gráfco pode cortar o exo x um certo de úmero de vezes. Esse úmero é gual ou meor do que. Aos valores de x para os quas sso ocorre damos o ome de raízes do polômo. Os polômos, em geral, exbem potos de máxmos ou mímos locas. Por exemplo, o gráfco da fgura 4.7D exbe dos máxmos locas e um mímo local. 4.6 Raízes das fuções polomas A determação das raízes de um polômo de grau se faz medate a solução de uma equação algébrca. De fato, desgado por x a -ésma raz de um polômo, por defção x, deve satsfazer à equação algébrca: 0 P x = 4.34 ou seja, ax + a x ax + a = Podemos ter até soluções reas para tal equação. Não haver solução, em se tratado de úmeros reas, é, também, uma possbldade. O estudo das raízes de um polômo tem desafado os matemátcos. Assm, desde o século XVI, sabe-se a solução para as segutes equações cúbcas e quártcas: x + mx = 0 3 x + px + qx + r = Nos casos mas geras o problema é complexo. O caso mas smples etre todos é aquele em que o polômo é favorável de tal forma a escrevê-lo sob a forma de produtos de polômos de prmero grau: = ( )( ) ( ) P x a x x1 x x x x 4.37 TERRA E UNIVERSO Fudametos da Matemátca I

12 Lcecatura em Cêcas USP/Uvesp 63 Por exemplo, o polômo dado por 4.14 pode ser escrto como = = ( )( + )( 3)( + 3) 4 4 P x x x x x x x 4.38 Fgura 4.8 Gráfco do polômo P 4 dcado suas raízes. / Fote: Cepa Ele tem, portato, quatro raízes. Elas são represetadas pelo cojuto { 3,,,3} 4.39 Fgura 4.9 Gráfco do polômo P 5 dcado suas raízes. / Fote: Cepa O polômo ímpar, dado por 4.16, pode ser escrto como = = ( )( + )( 3)( + 3) P x x x x x x x x x 4.40 Ele tem, portato, cco raízes, costtudo o cojuto de úmeros reas: { 3,, 0,,3} 4.7 Raízes da Fução Quadrátca 4.41 Aalsaremos, a segur, o problema das raízes de uma equação do segudo grau. Ele tem uma solução bastate smples, que se aplca a qualquer fução polomal de segudo grau. A equação que os permte determar as raízes da fução quadrátca, de acordo com a otação da seção precedete, é dada por: ax + bx + c = De 4.0 vemos que ela pode ser escrta como: ( b ac) b ax ( + ) = 0 a 4a fuções polomas 4

13 64 Lcecatura em Cêcas USP/Uvesp E, portato, tas valores, se exstrem, devem satsfazer à detdade: ( b 4ac) b ( x ) a 4a 4a + = 4.44 Ora, como se pode observar, para que exstam valores x que satsfaçam à relação acma, é ecessáro que o lado dreto de 4.44 seja postvo. Isso, por outro lado, fca assegurado se: Tedo em vsta a expressão 4.43, temos obtemos a segute expressão para as raízes: a x b + = a 4a Uma vez que o coefcete a é ão ulo, a equação acma os leva à segute expressão para as raízes: b x + = a 4a 4.47 Dode fermos que para haver raízes reas devemos ter 0. Se > 0 as raízes são dadas pela expressão: b x + =± a a 4.48 Da expressão acma, cocluímos que, depededo do valor de, podemos ter até três possbldades: > 0 duas raízes reas dferetes = 0 duas raízes reas guas (uma úca raz) < 0 ão há razes reas 4.49 TERRA E UNIVERSO Fudametos da Matemátca I

14 Lcecatura em Cêcas USP/Uvesp 65 Assm, para > 0 ecotramos duas raízes dadas pelos valores: b b b ac 1 = = x x a 4a a b b + b ac = + = a 4a a Se, o etato, = 0, as duas raízes se reduzem a uma só. x = x = 1 De 4.50 podemos coclur que a soma das raízes (S ) e o seu produto (P) são dados, respectvamete, por: b a 4.51 b S = x1+ x = a c P = x1 x = a 4.5 Falmete, é fácl verfcar que, em termos das raízes dadas por 4.50, ou 4.51, um polômo do segudo grau pode ser escrto como: b a c a ax + bx + c = a x + x + = a x x1 x x 4.53 Por exemplo, as raízes da fução 4.1, são determadas pela equação: x 3x + = cujas soluções, de acordo com 4.50, são: x1 = = x = = 4.55 fuções polomas 4

15 66 Lcecatura em Cêcas USP/Uvesp equato que a equação x x + 1= Fgura 4.10: Gráfcos de fuções quadrátca exbdo duas, uma e ehuma raz. / Fote: Cepa comporta apeas uma solução, já que esse caso = 0. Tal raz, de acordo com a expressão 4.51, é dada por: x1 = x = = A fução 4.9 ão exbe soluções para as raízes. Não tem, portato, raízes. Exercíco Resolvdo: Problema Determe as raízes do polômo dado por Resolução: Lembrado que o valor de é dado pela expressão 4.49, obtemos = b ac = = = e utlzado os valores dados por 4.58, em 4.50, obtemos as duas raízes a partr da expressão: b ± 6 ± 4 6± 4 x = = = a 1 ou seja, 6 4 x1 = = x = = TERRA E UNIVERSO Fudametos da Matemátca I

16 Lcecatura em Cêcas USP/Uvesp Máxmos e Mímos da Fução Quadrátca Falmete, lembramos que uma parábola exbe um poto o qual a varável y atge um valor máxmo, (ou um valor mímo). Qualquer que seja o caso (máxmo ou mímo), esse valor de y será represetado geercamete por y m. O valor da varável depedete, x, para o qual ocorre o valor máxmo (ou mímo), da fução polomal do segudo grau será desgado por x m. Como a cada par de valores das varáves correspode um poto o plao (x, y), esse poto mu especal da parábola é aquele para o qual as varáves são dadas por: ( x, y ) m m 4.60 Esse poto tem o ome de vértce da parábola. Exste uma forma sstemátca de determar os potos de máxmos e mímos de um polômo do segudo grau. Para sso reescrevemos a equação do segudo grau utlzado a forma 4.0, ou seja, escrevemos: b y = a x+ a 4a 4.61 Da expressão acma, resulta que os máxmos ou mímos da fução quadrátca ocorrerão para os valores de x para os quas o prmero termo etre parêteses do lado dreto se aula, sto é, para valores x m tas que: ou seja, para x m x m b = a b + = 0 a fuções polomas 4

17 68 Lcecatura em Cêcas USP/Uvesp Outro modo de determar a abscssa do vértce é lembrar que, havedo raízes reas, o vértce se stua um poto cuja abscssa é a méda das coordeadas assocadas às raízes: x x + x b a 1 m = = ao passo que o valor de y m, o valor do máxmo, ou mímo, será determado substtudo-se em 4.61 o valor dado por 4.64, ou seja, 4.64 b ym y( xm) = a xm + a 0 = = a 4a 4a 4a 4.65 Obtemos, assm, explctamete: y b = + c 4a 4a Assm, os potos de máxmo, ou mímo, têm coordeadas dadas por: m b b xm, ym =, + c a 4a Os potos de mímo, os vértces, das fuções quadrátcas 4.7, 4.8 e 4.9, são dados, respectvamete, por: Fgura 4.11: Vértces das fuções quadrátcas / Fote: Cepa No caso da fução: 3 1, 1, 0 0, y x x = a abscssa do vértce (x v ) é dada por: ( 6) b xv = = = 3 a TERRA E UNIVERSO Fudametos da Matemátca I

18 Lcecatura em Cêcas USP/Uvesp 69 Equato de 4.66 temos que a coordeada ordeada do vértce poto será dada por: y m 16 = = = 4 4a Exercíco Resolvdo: Problema 3 A fgura 4.1 apreseta o gráfco de uma fução quadrátca. Escreva a equação que defe a fução. Determe as coordeadas do vértce Resolução: Lembrado a forma geral da fução quadrátca y = ax + bx + c, o problema que se coloca é o de determar os coefcetes a, b, e c. Da fgura 4.1 fermos que as raízes são x 1 = 1 e x = 3. Cosderado agora a forma fatorada de uma fução polomal do segudo grau, escrevemos: Fgura 4.1: Gráfco de uma fução quadrátca / Fote: Cepa ( 1) ( 1)( 3) ( 3) y = a x x x x = a x+ x = a x x 4.7 Resta-os, portato, determar o valor do parâmetro a. Para sso, observemos que o gráfco corta o exo 0y o poto (0,), sto é, para x = 0, temos y = : y ( 0) a( 0 0 3) = = 4.73 Dode fermos que 3a = a = Substtudo esse valor de a em (II) obtemos: y = ( x x 3) fuções polomas 4

19 70 Lcecatura em Cêcas USP/Uvesp ou de modo equvalete: 4 = y x x Para determar a posção do vértce, em termos das coordeadas deomadas abscssa e ordeada, lembramos prmeramete que a abscssa do vértce é essecalmete a méda das abscssas das raízes. Assm, esse caso obtemos: x m x1+ x 1+ 3 b 4 = = = = = 1 a 3 Da expressão 4.66, que dá o valor da ordeada assocada ao vértce obtemos: y = = = m 4a Portato, o vértce é o poto (1, 8 3). Observe que, este caso, a cocavdade da parábola é para baxo e a fução admte um valor máxmo que é 8 3. Exercíco Resolvdo: Problema 4 Uma pessoa que costrur um galhero, de forma retagular, usado um muro reto já costruído, como um dos lados do galhero. Dado que essa pessoa tem materal para costrur 60 metros de cerca de uma altura fxa, determe os valores de x e z de modo que a área do galhero seja a maor possível (possa abrgar o maor úmero possível de galhas). TERRA E UNIVERSO Fudametos da Matemátca I Fgura 4.13 / Fote: Cepa

20 Lcecatura em Cêcas USP/Uvesp 71 Resolução: Tedo em vsta que o galhero é retagular, a sua área, deomada y, é dada pelo produto dos lados: O lado z deve ser escrto de forma que leve em cota a lmtação mposta pela dspobldade do materal à dsposção. Assm, escrevemos para a soma dos três lados: Dode cocluímos que, com o materal exstete, a relação etre os lados é dada por: Portato, escrevedo a área da costrução em fução do comprmeto do lado x,obtemos y = xz 4.79 x+ z+ x = z = 60 x 4.81 y = x 60 x = x + 60x 4.8 Como a < 0, a cocavdade da parábola [que é o gráfco de fução y = f (x)] é para baxo e a fução admte um valor máxmo para o valor da abscssa dado por: b 60 x = xm = = = 15 a ( ) 4.83 Assm, para esse valor de x, o valor do outro lado será, em metros, dado por: z = 60 x = = Portato, para que o galhero teha a área máxma, devemos ter: x = 15 metros y = 30 metros 4.85 Fgura 4.14 / Fote: Cepa fuções polomas 4