CÁLCULO E INSTRUMENTOS FINANCEIROS I (2º ANO)

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1 GESTÃO DE EMPRESAS CÁLCULO E INSTRUMENTOS FINANCEIROS I (2º ANO)

2 INTRODUÇÃO 1. INTRODUÇÃO 1.1. Aplcação do Redmeto Os agetes ecoómcos de uma ecooma auferem redmetos da sua actvdade ecoómca, que aplcam de acordo com as suas ecessdades, preferêcas, gostos e estlos de vda. De acordo com a teora ecoómca, o redmeto das pessoas pode ser aplcado de duas grades formas: cosumo ou poupaça. O cosumo é eteddo como o total da despesa em bes ou servços que têm um tempo de vda defdo e são utlzados de uma forma específca. Esta forma de aplcação do redmeto caracterza-se por ão gerar qualquer retoro do captal vestdo. A parcela de redmeto que ão é afecta ao cosumo desga-se por poupaça. Ada recorredo à teora ecoómca podemos ecotrar duas grades formas de aplcação da poupaça: o etesourameto e o vestmeto. O etesourameto cosste em mater, guardar o motate de redmeto poupado sob a forma de moeda, o que ão permtrá qualquer gaho ao logo do tempo. O vestmeto cosste em aplcar um determado captal com o objectvo de o multplcar. Ao captal, motate de dhero poupado e aplcado em vestmeto, chamaremos captal facero. Este vestmeto pode ser cocretzado essecalmete de duas formas dsttas: Ivestmetos reas drectos costrução de uma udade fabrl, aqusção de um equpameto produtvo ou de um estabelecmeto comercal, etc.) Ivestmetos faceros depósto uma sttução facera ou ada aqusção de títulos (acções, obrgações, opções, etc.) os mercados faceros. Cálculo e Istrumetos Faceros I Gestão de Empresas (2º Ao) Pag. 1

3 INTRODUÇÃO Cosumo Etesourameto Redmeto Ivestmetos Reas Drectos Poupaça Ivestmeto Ivestmetos Faceros O cálculo facero, equato dscpla, preocupa-se essecalmete com a abordagem dos vestmetos faceros, ou seja, com o estudo das relações matemátcas subjacetes ao processo de formação de juros Captal, juro e tempo O captal objecto de um vestmeto facero é portato, a quatdade de moeda cedda pelo seu propretáro a outrém por um determado período de tempo acordado etre ambas as partes. O tempo é o prazo durate o qual o captal é aplcado ou ceddo. Na ossa perspectva de aálse cosderar-se-á que o tempo global da aplcação é o somatóro de parcelas de tempo. A cada udade de tempo chamaremos período de captalzação Período de captalzação O período de captalzação será mesal, trmestral ou aual cosoate a udade de tempo cosderada seja o mês, o trmestre ou o ao, respectvamete. O juro é o redmeto proveete de um captal ceddo (aplcado) por um dado período de tempo. Nesta perspectva o juro deve ser cosderado como o Cálculo e Istrumetos Faceros I Gestão de Empresas (2º Ao) Pag. 2

4 INTRODUÇÃO preço do dhero ceddo e será fução do motate (captal) e do prazo em que o seu propretáro esteve prvado da sua utlzação (tempo) Juro e taxa de juro No poto ateror defmos que o juro aparece como uma compesação pelo sacrfíco de dexar de dspor, o mometo, de determada mportâca capaz de proporcoar cosumo medato e certo em troca dessa dspobldade em data futura. Embora se eteda que uma parte dessa compesação é objectva, porque será exgda por todos ou a maor parte, mas ou meos da mesma forma, o seu valor total é claramete subjectvo. Se o propretáro do captal C 0 cede pelo período de tempo t o seu captal a outrém, o fm do tempo t va receber o seu captal C 0 mas o juro produzdo. Teremos etão que defr qual a fução que traduz a relação etre juro, captal e tempo. Cosderemos o prcípo fudametal do juro de acordo com o qual o juro é drectamete proporcoal ao valor captal o íco de cada período. De acordo com este prcípo o juro obtém-se multplcado o captal cal por uma dada costate de proporcoaldade. J = C FÓRMULA GERAL DO JURO PERIÓDICO k k 1 em que: J k juro do período k. C k-1 captal o íco do período k. costate de proporcoaldade. Esta costate de proporcoaldade tem a desgação de taxa de juro, podedo ser defda como o redmeto gerado por um captal utáro um tempo utáro. Cálculo e Istrumetos Faceros I Gestão de Empresas (2º Ao) Pag. 3

5 INTRODUÇÃO Podemos ecotrar dversos factores determates a fxação da taxa de juro. Etre esses factores ecotramos certamete o perfl dos própros credores, omeadamete a forma como ldam com stuações de rsco e cosequetemete a forma como o avalam. Etre os factores determates do valor da taxa de juro podemos destacar: A desvalorzação do dhero e a ecessdade de repor o seu poder de compra. A taxa de flação poderá ser uma boa medda. O rsco de ão reembolso cumprmeto. A duração do egóco tempo. O ível de terveção do Estado, ecarecedo ou ão o custo dos egócos, através da cração de mpostos sobre o crédto. As codções dos mercados moetáro e facero. O tpo de egóco, omeadamete o desto da aplcação e suas especfcdades. A qualdade das partes evolvdas. Vmos etão que um determado captal aplcado durate um certo período de tempo sofre um acréscmo cosequêca do vecmeto de juros. Assm, teremos que o captal o fal de um dado período k será: C = C + J k k 1 k A este processo de acréscmo que o captal sofre ao logo do tempo remos chamar captalzação. O processo de captalzação é portato o processo que leva à formação do juro e produz um captal acumulado (geralmete superor) o futuro: CAPITALIZAÇÃO C 0 C 1 =C 0 +J 1 C 2 =C 1 +J 2 C =C -1 +J Cálculo e Istrumetos Faceros I Gestão de Empresas (2º Ao) Pag. 4

6 INTRODUÇÃO Exemplo 1 Qual o captal acumulado daqu a um ao, por um depósto, feto hoje, de 5.000, se este for remuerado à taxa aual de 5%? Represetemos o captal cal por C o e por C 1 o valor acumulado o fal de 1 período de captalzação. C 1 = C o + J 1 C 1 = * 0,05 = Descoto e taxa de descoto O descoto ou actualzação é o processo verso da captalzação, pelo qual se calcula o valor actual (hoje) de um captal futuro, cohecdo. ACTUALIZAÇÃO C 0 C 1 =C 0 +J 1 C 2 =C 1 +J 2 C =C -1 +J Equato o processo de captalzação trasforma o captal cal um captal superor, o descoto trasforma o captal um valor feror. O coceto de actualzação só tem teresse se pretedermos recuar o tempo. A sua aplcabldade tem alguma relevâca quado um devedor pretede lqudar a sua dívda ou o credor tem ecessdade de receber os seus crédtos ates da data de vecmeto prevamete acordada etre as partes. Sedo um coceto semelhate ao do juro também o descoto depede do tempo, atecpação do vecmeto e do captal em referêca. Cálculo e Istrumetos Faceros I Gestão de Empresas (2º Ao) Pag. 5

7 INTRODUÇÃO Esta depedêca pode também ser represetada por uma costate de proporcoaldade que se desga por taxa de descoto (d): D = C d 1 k k Se o juro é o cremeto sofrdo por um captal aplcado durate um período de tempo etão o descoto é a redução que esse captal sofre quado descotado durate esse período de tempo. Teremos etão: em que: Ck 1 = Ck Dk D k descoto do período k. C k-1 captal o íco do período k. C k captal o fm do período k. Exemplo 2 Quato deverá ser pago, hoje, por uma dívda de 1.000, que se vece detro de um ao e será descotada à taxa aual de 10%? C 0 = C 1 - D 1 C 1 = * 0,10 = Valor de um captal Valor Acumulado Se um determado captal C 0 for aplcado durate um espaço de tempo t e gerar um juro J t, o fm do período teremos: C t = C 0 + J t Valor Actual Iversamete teremos que C 0 é o valor actual do captal C t : C 0 = C t - D t 1 Admte-se que o descoto é calculado sobre o captal fal. Como veremos mas à frete o descoto poderá também ser calculado sobre o captal cal. Cálculo e Istrumetos Faceros I Gestão de Empresas (2º Ao) Pag. 6

8 CAPITALIZAÇÃO 2. CAPITALIZAÇÃO 2.1 Cocetos geércos Quado um captal é aplcado por um determado período de tempo, perodcamete há lugar à formação de juros. Assm, o fal de cada período de captalzação vece-se o chamado juro peródco. A questão que se coloca ao vestdor é: O que fazer ao juro? O juro sa do processo de captalzação este caso estaremos perate uma stuação de captalzação em regme de juros smples; O juro juta-se ao captal exstete o íco do período de captalzação para dar lugar à formação de juros os períodos subsequetes esta stuação estamos perate a captalzação em regme de juros compostos. Por forma a estudar os dos regmes de captalzação dcados será coveete defr a segute termologa: Captal (C) Quatdade de dhero (motate) com que vamos operar, sem clur a compesação para quem o dspoblza. Juro (J) Compesação pelo vestmeto ou empréstmo. Taxa de juro ( Juro por udade de captal. Período de captalzação Udade de tempo (da, mês, trmestre, etc.), que serve de base ao vecmeto (cálculo) de juros. Tempo Defe a duração do vestmeto, ormalmete meddo em períodos regulares. 2.2 Captalzação em regme de juro smples Utlzado frequetemete em vestmetos de curto prazo, caracterza-se pelo facto de ão exstrem juros sobre juros, mesmo que estes sejam pagos de uma Cálculo e Istrumetos Faceros I Gestão de Empresas (2º Ao) Pag. 7

9 CAPITALIZAÇÃO só vez, o fal do vestmeto. Neste regme podemos detfcar duas varates: Regme smples puro Os juros que se vecem perodcamete o fal de cada período são excluídos do processo de captalzação. Este facto tem, bascamete, duas mplcações: O captal que vece juros é costate ao logo do processo: C 0 = C 1 = C 2 = C 3 =.. = C O juro peródco (J k ) também é costate ao logo do processo: J 1 = J 2 = J 3 = = J k =.. = J = C 0 * Em termos esquemátcos teremos: C 0 C 0 C 0 C 0 C 0 C 0 C 0 C J 1 J 2 J 3 J 4 J -2 J -1 C 0 +J O juro produzdo perodcamete em regme smples é frequetemete desgado por juro smples (J smples ). Exemplo 3 Um captal de fo aplcado durate 3 aos, em regme de juro smples à taxa aual de 10%. a) Calcule o juro vecdo em cada ao. b) Calcule os juros totas vecdos. c) Calcule a quata a receber o fal do 3º ao. Resolução Cálculo e Istrumetos Faceros I Gestão de Empresas (2º Ao) Pag. 8

10 CAPITALIZAÇÃO a) J 1 = J 2 = J 3 = C 0 * = * 0,10 = 500 b) J T = * C 0 * = 3 * 500 = c) C 3 = C 0 + J 3 = = Regme dto smples Os juros que se vecem perodcamete o fal de cada período ão são excluídos do processo de captalzação. Cotudo os períodos subsequetes ão vecem juros. No fal do processo de captalzação o captal acumulado resulta do somatóro do captal cal com a totaldade dos juros smples vecdos. Em termos esquemátcos teremos: C 0 C 1 =C 0 +J smples C 2 =C 1 +J smples C =C -1 +J smples O captal acumulado ao logo do processo de captalzação evolu de forma lear como se pode costatar: 1 0 smples ( ) ( ) ( ) C = C + J = C + C = C 1+ ( ) ( ) C = C + J = C 1+ + C = C smples ( ) ( ) C = C + J = C C = C smples C = C 1+ k k 0... C =C 1+ 0 O juro peródco (J k ) será costate ao logo do processo: J 1 = J 2 = J 3 = = J k =.. = J = C 0 * Os juros totas (J T ) do processo de captalzação serão: J = J = C T smples 0 = 1 Cálculo e Istrumetos Faceros I Gestão de Empresas (2º Ao) Pag. 9

11 CAPITALIZAÇÃO Exemplo 4 Um captal de fo aplcado durate 3 aos, em regme de juro dto smples à taxa aual de 5%. a) Calcule o juro vecdo em cada ao. b) Calcule os juros totas vecdos. c) Calcule a quata a receber o fal do 3º ao. Resolução a) J 1 = J 2 = J 3 = C 0 * = * 0,05 = 500. b) J T = * C 0 * = 3 * 500 = c) C 3 = C 0 * ( 1 + * ) = * ( * 0,05 ) = Captalzação em regme de juro composto Os juros que se vecem perodcamete o fal de cada período ão são excluídos do processo de captalzação. Estes juros são adcoados ao captal vecedo juros os períodos subsequetes, dado orgem à formação daqulo que a gíra se desga por juros de juros. Em termos esquemátcos teremos: C 0 C 1 =C 0 +J 1 C 2 =C 1 +J 2 C =C -1 +J O captal acumulado ao logo do processo de captalzação, devdo à formação de juros de juros, evolu de forma expoecal como se pode costatar: Cálculo e Istrumetos Faceros I Gestão de Empresas (2º Ao) Pag. 10

12 ( ) ( ) ( ) C = C + J = C + C = C 1+ CAPITALIZAÇÃO ( ) ( ) ( ) ( ) C = C + J = C + C = C 1+ = C = C ( ) ( ) ( ) ( ) = = = 2 + = = 0 + C C J C C C 1 C 1 1 C 1... C = C 1+ K 0... C =C * 1+ 0 k O juro peródco(j k ), gualmete devdo à formação de juros de juros, aumetará também de forma expoecal ao logo do processo: J = C K 0 ( ) ( ) k 1 1 ( ) J = C = C 1+ ( ) J = C = C J = C J =C Os juros totas (J T )do processo de captalzação serão dados por: 2 T = 0 = J C C C (1 C J T =C 0 (1+ -1 O juro de juro peródco (JJ k ), ou seja, o juro produzdo um dado período pela totaldade dos juros vecdos aterormete poderá ser determado da segute forma: ( ) k 1 K k smples 0 0 JJ = J J = C 1 + C ( ) k-1 JJ K = C 0* * Os juros de juros totas (JJ T ) produzdos durate todo o processo de captalzação poderão ser determados da segute forma: Cálculo e Istrumetos Faceros I Gestão de Empresas (2º Ao) Pag. 11

13 CAPITALIZAÇÃO JJ = J J T T smples ( ) JJ T =C 0* C 0** Exemplo 4 Um captal de fo aplcado durate 5 aos, em regme de juro composto à taxa aual de 2%. a) Calcule o captal acumulado o fal do 5º ao. b) Calcule os juros totas vecdos. c) Calcule os juros de juros totas vecdos. d) Calcule os juros de juros do 3º e 4º aos. Resolução a) C 5 = C 0 * ( 1 + ) = * ( 1 + 0,02 ) 5 = ,62 b) J T = C - C 0 = , = 2.081,62. c) JJ T = J T - * J smples = 2.081,62 5 * * 0,02 = 81,62 d) JJ 3 + JJ 4 = C 0 * [( 1 + ) 2 1 ] * + C 0 * [( 1 + ) 3 1 ] * JJ 3 + JJ 4 = * [( 1 + 0,02 ) 2 1 ] * 0, * [( 1 + 0,02 ) 3 1 ] * 0,02 JJ 3 + JJ 4 = Comparação prátca dos dferetes regmes de captalzação Exemplo 5 Admtamos um empréstmo de 3.000, egocado à taxa aual de 6%, por um período de 5 aos. Para cada um dos regmes típcos, qual sera o motate a receber o fal de cada um dos aos? Cálculo e Istrumetos Faceros I Gestão de Empresas (2º Ao) Pag. 12

14 CAPITALIZAÇÃO Resolução 1. Regme smples puro ANO Captal o íco do período Juros (6%) Captal acumulado o fm do período Recebmeto Regme dto smples ANO Captal o íco do período Juros (6%) Captal acumulado o fm do período Recebmeto Regme composto ANO Captal o íco do período Juros (6%) Captal acumulado o fm do período Recebmeto ,00 180, , ,00 190, , ,80 202, , ,05 214, , ,43 227, , ,68 Cálculo e Istrumetos Faceros I Gestão de Empresas (2º Ao) Pag. 13

15 CAPITALIZAÇÃO 2.5 Relação etre taxas de juro Sedo a taxa de juro a costate de proporcoaldade etre o juro produzdo e o captal acumulado por um captal cal aplcado durate a udade de tempo, podem evdecar-se algumas relações etre taxas de juro. Vamos etão defr e exemplfcar os cocetos de taxas proporcoas, taxas equvaletes, taxas omas e taxas efectvas. Aalsaremos também a questão da fscaldade e a sua fluêca as taxas de juro, abordado para tal os cocetos de taxas brutas e taxas líqudas Taxas proporcoas e taxas equvaletes Taxas proporcoas Duas taxas de juro, referdas a períodos dferetes, dzem-se proporcoas quado a razão etre as taxas de juro é gual à razão etre os períodos de captalzação. Se cosderarmos m o úmero períodos de captalzação que tem cada período de referêca da taxa de juro, etão: 1/m (m) (m) = m = m 1/m RELAÇÃO DE PROPORCIONALIDADE Sedo usual a taxa referr-se ao ao, a uma taxa de juro aual (m), correspoderá as segutes taxas proporcoas: Dára: Mesal: 1/365 1/12 (365) = 365 (12) = 12 Cálculo e Istrumetos Faceros I Gestão de Empresas (2º Ao) Pag. 14

16 CAPITALIZAÇÃO Trmestral: 1/4 (4) = 4 Quadrmestral: 1/3 (3) = 3 Semestral: 1/2 (2) = 2 Exemplo 5 Cosdere uma taxa de juro aual de 10% em que o período de captalzação é semestral. Determe a respectva taxa proporcoal. Resolução (2) 0,10 1/2 = = = 5% 2 2 Taxas equvaletes Duas taxas de juro, referdas a períodos dferetes, dzem-se equvaletes quado aplcadas a um mesmo captal, durate o mesmo prazo, geram o mesmo captal acumulado, depedetemete do período de referêca das taxas ou do período de captalzação. Dada a taxa de juro aual e uma taxa de juro sub-aual 1/m etão: (1+ = (1+ ) 1/m 1/m (1+ ) = (1+ m 1 m RELAÇÃO DE EQUIVALÊNCIA Exemplo 6 Dada a taxa de juro aual de 10%, determe as respectvas taxas equvaletes semestral, quadrmestral, trmestral, mesal e dára. Cálculo e Istrumetos Faceros I Gestão de Empresas (2º Ao) Pag. 15

17 CAPITALIZAÇÃO Resolução 1 1 1/2 2 1/2 2 1/2 (1+ ) = (1+ (1+ ) = (1+ 0,10) = 4,881% 1 1 1/3 3 1/3 3 1/3 (1 + ) = (1 + (1 + ) = (1 + 0, 10) = 3, 228% 1 1 1/4 4 1/4 4 1/4 (1 + ) = (1 + (1 + ) = (1 + 0, 10) = 2, 411% 1 1 1/ / /12 (1 + ) = (1 + (1 + ) = (1 + 0, 10) = 0,797% 1 1 (1+ ) = ( (1+ ) = (1+ 0,10) 365 = 0,026% 1/365 1/365 1/ Taxas omas e taxas efectvas Taxas omas Uma taxa omal é uma taxa cotratual (declarada), mas que ão é a efectvamete pratcada. Na medda em que as taxas de juro ormalmete declaradas são auas será utlzada a segute otação: (2) = Taxa aual omal de captalzação semestral. (3) = Taxa aual omal de captalzação quadrmestral. (4) = Taxa aual omal de captalzação trmestral. (6) = Taxa aual omal de captalzação bmestral. (12) = Taxa aual omal de captalzação mesal. (365) = Taxa aual omal de captalzação dára. Cálculo e Istrumetos Faceros I Gestão de Empresas (2º Ao) Pag. 16

18 CAPITALIZAÇÃO Taxas efectvas Uma taxa efectva é uma taxa referda ao período de captalzação e com a qual se calcula o valor dos juros. Para os referrmos a taxas efectvas cosderar-seá a segute otação: = Taxa aual efectva. 1/2 = Taxa semestral efectva. 1/3 = Taxa quadrmestral efectva. 1/4 = Taxa trmestral efectva. 1/6 = Taxa bmestral efectva. 1/12 = Taxa mesal efectva. 1/365 = Taxa dára efectva. Exemplo 6 Dada a taxa de juro aual omal de captalzação semestral de 10%, determe: a) A taxa de juro aual efectva. b) A taxa de juro quadrmestral efectva. c) A taxa de juro aual omal de captalzação mesal. d) A taxa de juro aual omal de captalzação trmestral. Resolução (2) 0,10 a) 1/2 = = = 5% 2 2 1/2 2 2 (1+ = (1+ ) (1+ = (1+ 0,05) = 10,25% Cálculo e Istrumetos Faceros I Gestão de Empresas (2º Ao) Pag. 17

19 CAPITALIZAÇÃO 3 3 1/3 1/3 1/3 b) (1+ ) = (1+ (1+ ) = (1+ 0,1025) = 3,306% /12 1/12 1/12 c) (1 + ) = (1 + (1 + ) = (1 + 0,1025) = 0,816% (12) = 12 = 0, = 9,792% 1/ /4 1/4 1/4 d) (1+ ) = (1+ (1+ ) = (1+ 0,1025) = 2,47% (4) = 1/4 4 = 0, = 9,88% Taxas brutas e taxas líqudas De acordo com o sstema fscal vgete em Portugal, os juros auferdos em aplcações faceras são ormalmete sujetos a mposto sobre o redmeto. Devdo a este facto, a taxa de juro efectvamete auferda por um vestdor é ormalmete feror à taxa de juro aucada. Cosdere-se o segute exemplo: Um baco oferece para uma aplcação a 1 ao uma taxa de juro aual de 2%, vecedo-se os juros semestralmete. Se o valor cal da aplcação for , qual será o captal acumulado o fal da aplcação, sabedo que os juros estão sujetos a mposto sobre o redmeto à taxa de 20%? (2) 0,02 1/2 = = = 1% 2 2 J = ,01 = 100 IRS = 100 0,2 = 20 1º sem. C = (100 20) = º sem. J = ,01 = 100,8 IRS = 100,8 0,2 = 20,16 2º sem. C = (100,8 20,16) = ,64 2º sem. Cálculo e Istrumetos Faceros I Gestão de Empresas (2º Ao) Pag. 18

20 CAPITALIZAÇÃO A questão que se levata é: Qual a taxa de juro semestral efectvamete auferda aquela aplcação, sto é, a taxa de juro semestral líquda de mpostos? A resposta poderá ser obtda através da segute expressão: 1/2(líquda) (1 + ) = ,64 = 0,8% 1/2(líquda) Repare-se que a taxa ecotrada podera ser mas faclmete determada se a taxa 1/2 = 1% fosse cosderada líquda da taxa de mposto sobre o redmeto, sto é: 1/2(líquda) = 0,01*(1 0,2) = 0,8% Assm, se cosderarmos que: = taxa de juro aucada (bruta) B t = taxa de mposto sobre o redmeto = taxa de juro líquda de mposto sobre o redmeto L poder-se geeralzar a relação etre taxas brutas e líqudas: = (1 t) L B Do exemplo cosderado, poder-se-a ter determado de forma mas expedta o captal acumulado o fal da aplcação se fosse utlzada a taxa de juro líquda de mpostos e ão a bruta: C = (1 + 0, 008) = , 64 2º sem. 2 Cálculo e Istrumetos Faceros I Gestão de Empresas (2º Ao) Pag. 19

21 ACTUALIZAÇÃO 3. ACTUALIZAÇÃO 3.1. Cocetos geércos Ao cálculo do valor actual de um captal que se vece o futuro chama-se, como já se vu, actualzação. Assm, do poto de vsta facero, deverá ser dferete para o credor receber o seu crédto a data de vecmeto ou o seu valor actual em data atecpada. Aalogamete para o devedor terá de ser dferete pagar a sua dívda a data em que se vece ou o seu valor actual em data atecpada. Cosderado um captal C, cujo vecmeto será atecpado t períodos, etão o seu valor actual será dado por: C -t C 0 -t t C -t = C D Em que D é o descoto. O descoto é portato o preço pago pela dspobldade atecpada de um dado captal por um certo lapso de tempo: D = C C -t Tal como a captalzação, cosoate o regme de juros, smples ou composto, utlzado a determação do valor actual, teremos dferetes modaldades de descoto que passaremos de seguda a aalsar. Cálculo e Istrumetos Faceros I Gestão de Empresas (2º Ao) Pag. 20

22 ACTUALIZAÇÃO 3.2. Descoto em regme de juros smples Em regme de juros smples vamos abordar dos tpos de descoto: o descoto por detro, também cohecdo por descoto racoal e o descoto por fora também desgado por descoto comercal. Descoto por detro De acordo com esta modaldade de descoto, o cálculo do valor actual de um captal futuro é obtdo por aplcação do regme de captalzação dto smples. Cosderado um captal C, cujo vecmeto será atecpado t períodos à taxa de juro, etão o seu valor actual C -t, de acordo com o regme de descoto por detro, será dado por: C C =C -t *( 1+t* C -t = 1+t* ( ) Mas por defção de descoto: C 1 t* D=C -C -t =C - =C * 1- =C * ( 1+t* ( 1+t* ( 1+t* A este descoto chamar-se-á descoto por detro (DD). Etão: DD = C t ( 1+t O exemplo segute permte-os sstematzar o coceto de actualzação de acordo com o regme de descoto por detro. Exemplo 7 Cosdere que o Sr. Atóo Costa detém crédto de que se vece daqu a 4 meses. Por ecesstar de lqudez medata propôs ao credor a lqudação da dívda atecpadamete, tedo este acete. Sabedo que a referda dívda fo Cálculo e Istrumetos Faceros I Gestão de Empresas (2º Ao) Pag. 21

23 ACTUALIZAÇÃO descotada segudo as regras do regme de descoto por detro à taxa de juro aual de 5%, determe: a) O valor recebdo pelo Sr. Atóo Costa. b) O valor do descoto por detro. Resolução a) C 0 = = 9.836, *0,05 12 b) 4 0,05 DD = ,07 = = 163, *0, Descoto por fora De acordo com esta modaldade de descoto, o cálculo do valor actual de um captal futuro é obtdo também por aplcação do regme de captalzação dto smples. A dfereça, face ao regme de descoto por detro, resde o facto de que agora os juros são determados sobre o captal futuro e ão sobre o valor actual. No descoto por fora a taxa de descoto 1 é aplcada sucessva e cumulatvamete em repetdos descotos. Prmero descota-se o valor omal (valor fal) para o íco do últmo período, depos descota-se o valor omal para o íco do peúltmo período e assm sucessvamete até se chegar à data do mometo actual. 1 Costate de proporcoaldade que reflecte o descoto sofrdo por um captal utáro um tempo utáro. Cálculo e Istrumetos Faceros I Gestão de Empresas (2º Ao) Pag. 22

24 ACTUALIZAÇÃO Cosderado um captal C, cujo vecmeto será atecpado t períodos à taxa de descoto d, etão o seu valor actual C -t, de acordo com o regme de descoto por fora, será dado por: ( ) ( ) ( ) ( ) C =C -C *d=c 1-d C =C -C *d=c 1-2 d C =C -C *d=c 1-3 d... C -t =C * 1-t*d Por defção de descoto por fora teremos: -t ( ) DF=C -C =C -C 1-t d DF = C * t * d Como faclmete se coclu da dedução do descoto por fora este regme é puramete covecoal, ão havedo qualquer teora capaz de o legtmar. Este regme, sedo utlzado apeas para prazos muto curtos, tem grade aplcabldade a actvdade comercal sedo mesmo o mas aplcado a actvdade bacára. A sua cocepção é teorcamete fraca, havedo stuações em que a sua aplcação coduz a um valor actual absurdo. Repare-se que se 1 t etão C t 0, o que ão faz setdo. Por esta razão, a modaldade do d descoto por fora só é utlzada em operações de muto curto prazo. Vejamos etão um exemplo que permtrá sstematzar o coceto de actualzação de acordo com o descoto por fora. Exemplo 8 A empresa CFIN, SA. possu um crédto o valor de que se vece daqu a 2 aos. Necessdades de tesourara levam-a a propor ao seu devedor o descoto por fora medato, com vsta a torar dspoível o seu valor actual. Cálculo e Istrumetos Faceros I Gestão de Empresas (2º Ao) Pag. 23

25 ACTUALIZAÇÃO Sabedo que a referda dívda fo descotada à taxa de descoto aual de 10%, determe: a) O valor do descoto por fora. b) O valor recebdo pela empresa CFIN. Resolução a) DF = ,10 = b) C 0 = = (1-2 0,10) = Descoto em regme de juros composto De acordo com esta modaldade de descoto, o cálculo do valor actual de um captal futuro é obtdo por aplcação do regme de captalzação composta. Cosderado um captal C, cujo vecmeto será atecpado t períodos à taxa de juro, etão o seu valor actual C -t, de acordo com o regme de descoto composto, será dado por: -t t ( ) C =C *( 1+ ) C =C * 1+ Tedo em lha de cota a defção de descoto: -t -t t ( ) ( ) t D=C -C -t =C -C ( 1+ ) =C * 1- =C t * t ( A este descoto chamar-se-á descoto composto (DC). Etão: DC = C t ( 1+ ( 1+ 1 t O exemplo segute permte-os sstematzar o coceto de actualzação de acordo com o regme de descoto composto. Cálculo e Istrumetos Faceros I Gestão de Empresas (2º Ao) Pag. 24

26 ACTUALIZAÇÃO Exemplo 9 Cosdere que o Sr. José Morera detém crédto de que se vece daqu a 2 aos. Por ecesstar de lqudez medata propôs ao devedor a lqudação da dívda atecpadamete, tedo este acete. Sabedo que a referda dívda fo descotada segudo as regras do regme de descoto composto à taxa de juro semestral de 5%, determe: a) O valor recebdo pelo Sr. José Morera. b) O valor do descoto composto. Resolução a) b) C = (1+0,05) = , ( ) ( 1+ 0,05) 1+ 0,05 1 DC = ,12 = = 8864, Comparação das dversas modaldades de descoto A questão que se pode colocar é: qual dos três descotos estudados coduz a um meor valor actual? Para respoder à questão cosdere-se o segute exemplo: Exemplo 10 Cosdere-se um captal futuro (valor omal) de e uma taxa de juro (ou taxa de descoto) de 10% ao ao. Calcule o seu valor actual se faltarem 3 meses, 6 meses, 1 ao, 2 aos, 5 aos e 10 aos para o seu vecmeto. Cálculo e Istrumetos Faceros I Gestão de Empresas (2º Ao) Pag. 25

27 ACTUALIZAÇÃO Resolução Tempo até ao vecmeto Descoto por Detro Descoto por Fora Descoto Composto 3 meses 975,61 975,00 976,45 6 meses 952,38 950,00 953,46 1 ao 909,09 900,00 909,09 2 aos 833,33 800,00 826,45 5 aos 666,67 500,00 620,92 10 aos 500,00 0,00 385,54 A aálse do quadro apresetado permte trar as segutes prcpas coclusões: As três modaldades de descoto proporcoam valores actuas relatvamete aproxmados para fracções do ao; Qualquer que seja o prazo de atecpação do vecmeto de um captal, a modaldade de descoto que produz um valor actual mas baxo é a do descoto por fora; Para prazos de atecpação do vecmeto de um captal ferores ao ao, a modaldade de descoto que produz um valor actual mas alto é a do descoto composto; Para prazos de atecpação do vecmeto de um captal superores ao ao, a modaldade de descoto que produz um valor actual mas alto é a do descoto por detro; Para prazos de atecpação do vecmeto de um captal logos, a modaldade de descoto por fora produz, como já tíhamos vsto, um valor actual absurdo; Cálculo e Istrumetos Faceros I Gestão de Empresas (2º Ao) Pag. 26

28 ACTUALIZAÇÃO 3.6. Descoto bacáro Quado se defu o descoto por fora dsse-se que este tem grade aplcabldade a actvdade comercal sedo mesmo muto aplcado a actvdade bacára. Exste etão um tpo de descoto, a que chamaremos de descoto bacáro, de letras e outros títulos de crédto, que se calcula com base o coceto de descoto por fora. Cocetos geércos O descoto bacáro é, portato, o preço pago a uma sttução bacára para obter uma determada quata atecpadamete em relação ao seu vecmeto. Nas moderas ecoomas as etdades que forecem bes e/ou servços proporcoam determados prazos de pagameto. Isto é, o pagameto da veda ão acotece smultaeamete com a sua realzação. Mas, por vezes a etdade forecedora tem ecessdade de realzar o motate da veda por questões de fudo de maeo, vestmeto, efm para resolver problemas de lqudez ou, ada, por razões de seguraça, a medda em que a ttulação do crédto por um título executvo faclta uma posteror cobraça dfícl. Para tal emte um título de crédto. Nesse título fca regstado que o comprador deverá pagar uma certa quata ao fm de determado prazo. Mas a smples posse do título ão dá lqudez ao credor. Para que ele possa dspor medatamete do captal terá de propor a uma sttução bacára a egocação do título. Em caso de aprovação da operação, a sttução dará ao forecedor uma quata pelo título e ao fm do prazo estpulado o devedor lqudará o ttulo juto do baco que adatou o captal. Cálculo e Istrumetos Faceros I Gestão de Empresas (2º Ao) Pag. 27

29 ACTUALIZAÇÃO Na actvdade comercal o título mas usado é a letra. Pode-se etão defr a letra como um título de crédto pelo qual uma etdade (pessoa ou orgazação) dá ordem a outra para pagar determada quata, o fm de um certo período de tempo a quem possur o título. A etdade que ordea o pagameto deoma-se sacador, a etdade que tem de proceder ao pagameto é o sacado e o legítmo possudor do título (o portador) é o tomador ou edossado. Ao prazo estpulado chama-se vecmeto da letra. Sedo a letra um título emtdo pelo sacador, ão basta a sua emssão para que o sacado seja obrgado a pagar o título. Para que tal obrgação exsta de facto, em termos legas, tem de o sacado declarar que realmete deve aquela quata. Esta declaração de dívda chama-se acete da letra. Os prcpas terveetes uma letra são portato: Sacador, Sacado (Acetate) e o Tomador. No etato pode suceder que o sacado ão teha grade acetação juto do tomador e/ou do sacador ão oferecedo garata de crédto sufcetes para a emssão, edosso ou descoto da letra. Para tal o sacador exge que haja uma outra etdade (pessoa ou orgazação) que preste o seu aval ao sacado. Esta etdade, o caso de cumprmeto por parte do sacado, terá de substtulo as obrgações que assumu perate o sacador. Assm os terveetes duma letra podem ser além do sacador, do sacado e do tomador, o avalsta. Uma letra pode ser trasferda, tedo por sso a capacdade de poder ser usada como meo de pagameto. A esta trasferêca da letra chamaremos edosso. Pode ser edossada sucessvamete e em qualquer poto da cadea de edossos pode ser peddo pelo ovo tomador a prestação de um aval adcoal. Cálculo e Istrumetos Faceros I Gestão de Empresas (2º Ao) Pag. 28

30 ACTUALIZAÇÃO Assm os terveetes uma letra podem etão ser: Sacador 1º Tomador 1º Edossate 1º Tomador 1º Edossate Avalsta Sacado Avalsta No da do vecmeto o portador apreseta a letra ao sacado para lqudação. No caso de o sacado ão proceder ao pagameto do título, a letra deve ser apresetada a protesto pelo sacador. O protesto de uma letra, que deve ser feto em Cartóro Notaral, é uma fgura jurídca prevsta e legslada em artculação específca do Códgo Comercal. Negocação do descoto bacáro e produto líqudo do descoto A letra é, como já se vu, um título de crédto com capacdade para crcular etre dversas etdades. Em qualquer poto da crculação, a que chamamos cadea de edossos, pode o portador da letra tomar três attudes. 1. Guardar a letra até ao seu vecmeto, para que essa data lhe seja pago o valor omal; 2. Trasferr a letra, edossado-a a um credor, usado-a portato como meo de pagameto; 3. Edossar a letra a um baco, sto é, descotado o seu valor omal, realzado medatamete o valor do crédto que a letra represetava. O que os teressa agora aalsar é o processo que coduz a realzação medata do captal da letra, por descoto uma sttução bacára. A operação de descoto traz vatages para o portador e para o baco. Cálculo e Istrumetos Faceros I Gestão de Empresas (2º Ao) Pag. 29

31 ACTUALIZAÇÃO Para o possudor da letra a vatagem resde o facto de lhe permtr realzar medatamete um captal que só estara dspoível ao fm de algum tempo, sto é, possblta-lhe a atecpação de um vecmeto. O baco tem a possbldade de gahar a dfereça etre o captal que cede ao portador da letra e o que rá receber do sacado o seu vecmeto. Quado uma etdade ecessta de descotar uma letra ca-se um processo egocal etre o baco e o portador da letra. Assm o portador da letra deverá propor ao baco o descoto da letra preechedo para tal um mpresso própro e aexado o respectvo título de crédto. No caso do baco respoder afrmatvamete ao peddo de descoto solctado pelo portador da letra, ser-lhe-á credtado a sua cota o valor omal da letra deduzdo dos ecargos de descoto. Isto é, o portador suportará os custos da egocação da letra, que represetam o fudo o preço que ele paga para ter o motate da letra dspoível atecpadamete, relação ao vecmeto acordado. Os ecargos de descoto são costtuídos bascamete por: Juros (J) - motate de juros relatvos ao período de atecpação, que va desde a data de descoto até a data de vecmeto (como legalmete se cocedem dos das útes de tolerâca o pagameto de uma letra, para efetos de cálculos de juros somam-se dos das útes ao prazo de atecpação). A taxa de juro cde sobre o valor omal da letra, pos em descoto bacáro utlza-se o descoto por fora. VN Valor omal da letra. + 2 J = VN Taxa de juro aual omal acordada. 360 Nº de das de atecpação do vecmeto. Comssão (C) - remueração dos servços da sttução de crédto que egocea o descoto. Este valor é calculado com base uma taxa que cde Cálculo e Istrumetos Faceros I Gestão de Empresas (2º Ao) Pag. 30

32 ACTUALIZAÇÃO sobre o valor omal da letra e pode ser egocado com a sttução bacára. A taxa egocada depede dos locas de descoto e pagameto do título. Será superor se ão forem cocdetes. C = VN c c Taxa da comssão bacára. Imposto (I) - mposto com que o Estado trbuta estas operações de descoto. Icde sobre os juros e a comssão bacára. I = (J + C) t t Taxa de mposto de selo. s s Dversos (D) - despesas dversas cobradas pelos servços prestados pelo baco. Estas despesas podem eglobar rubrcas tas como portes, telefoes, telegramas,... O valor do descoto bacáro (DB) será etão a soma de todos os ecargos de descoto: DB = J + C + I + D DB= VN + VN c+ VN + VN c ts + D DB = VN + c ( 1 + ts ) + D 360 Etão o valor credtado a cota do portador da letra, a que chamaremos produto líqudo do descoto (PLD), será a dfereça etre o valor omal da letra e o descoto bacáro: PLD = VN DB + 2 PLD = VN VN + c ( 1 + ts ) D PLD = VN * 1 - * + c * ( 1+ ts ) - D 360 Cálculo e Istrumetos Faceros I Gestão de Empresas (2º Ao) Pag. 31

33 ACTUALIZAÇÃO Taxa aual efectva da operação de descoto bacáro Sedo o motate do descoto bacáro o preço pago pelo portador de um título de crédto pela atecpação de um vecmeto, deve-se etão calcular qual é a taxa efectvamete suportada a operação de descoto bacáro. Esta taxa será calculada com base o valor realmete recebdo, o produto líqudo do descoto, o valor omal da letra e o tempo de atecpação da realzação de fudos: VN = PLD (1 + ) 365 a 365 VN a = -1 PLD Exemplo 11 Um comercate, portador de uma letra de 2.000, por ecesstar de lqudez, propôs ao baco o seu descoto medato quado faltavam 90 das para o seu vecmeto. Sabedo que as codções egocadas com o baco foram: Taxa de juro aual omal: 8% Comssão bacára: 0,4% Taxa de mposto de selo: 4% Portes: 5 determe: a) O motate que o baco credtará a cota do comercate. b) A taxa aual efectva da operação de descoto. Cálculo e Istrumetos Faceros I Gestão de Empresas (2º Ao) Pag. 32

34 ACTUALIZAÇÃO Resolução PLD = , , , 04 5 = 1.944, a) ( ) b) a = - 1 = 12,03% 1.944,74 Cálculo e Istrumetos Faceros I Gestão de Empresas (2º Ao) Pag. 33

35 RENDAS 4. RENDAS 4.1. Cocetos geércos Reda é uma sucessão de captas (T k ) que se vecem perodcamete ao logo do tempo, sedo que, o espaço que medea o vecmeto de captas cosecutvos é costate. T 1 T 2 T 3 T 4 T -1 T Exemplo de uma reda: Um jovem casal, va comprar uma casa com um facameto bacáro de Euros, cotratado à taxa de 6%, a amortzar em 30 aos, medate o pagameto de prestações mesas. O egóco ateror cofgura uma stuação de reda pos as etregas são em datas cohecdas e com tervalos de tempos, etre elas todos guas. Ao tervalo de tempo etre cada vecmeto, sto é, o tempo que va de um vecmeto de captal até ao vecmeto medatamete a segur, chamamos período da reda. Cada um dos captas que vece perodcamete é o termo de reda Classfcação das Redas De acordo com as dferetes stuações em que se pode egocar uma reda, poderemos classfcar as redas segudo quatro crtéros: Varabldade dos seus termos: Reda de termos costates Reda de termos varáves se todos os termos são guas. se ao logo do tempo os termos forem dferetes. Cálculo e Istrumetos Faceros I Gestão de Empresas (2º Ao) Pag. 34

36 RENDAS Número de termos: Reda Temporára Reda Perpétua se o úmero de termos for fto. se o úmero de termos for lmtado. Período de referêca da taxa de juro: Reda Itera Reda Fraccoada Se o seu período cocde com o período de referêca da taxa de juro. Se o seu período ão cocde com o período de referêca da taxa de juro. Exstêca de período de dfermeto: Reda Imedata Quado ão exste um período de dfermeto. Reda Dferda Quado exste um período de dfermeto. Vecmeto dos termos: Reda Postcpada Reda Atecpada Os termos de reda vecem-se o fal de cada período de reda. Os termos de reda vecem-se o íco de cada período de reda. Faldade: Reda de Acumulação Reda de Redmeto Reda de Amortzação Se o objectvo da costtução da reda for obter um valor acumulado o futuro. Se o objectvo da costtução da reda for obter um redmeto peródco o futuro. Se o objectvo da costtução da reda for amortzar um valor actual o futuro. Cálculo e Istrumetos Faceros I Gestão de Empresas (2º Ao) Pag. 35

37 RENDAS 4.3. Redas temporáras teras Redas medatas de termos costates e postcpados Esquematcamete esta reda pode ser represetada por: T T T T T T Para determar o valor actual da reda (C 0 ) temos de actualzar todos os termos da reda para o mometo cal (mometo 0). C = T (1+ + T (1+ + T ( T ( C0 = T (1+ + (1+ + ( (1+ Soma de termos em progressão geométrca com razão = (1+ -1 C = T ( (1+ 1 (1 + 1 C 0 1 (1+ = T a C 0 = T a A expressão, a que atrbuímos a desgação a, permte calcular o valor actual de uma reda com termos guas, postcpados e utáros à taxa de juro. Exemplo 12 Qual o valor actual de uma reda de 20 termos auas e postcpados de 350 cada sabedo que o 1º termo vece-se daqu a um ao? Cosdere uma taxa de juro aual de 5%. Cálculo e Istrumetos Faceros I Gestão de Empresas (2º Ao) Pag. 36

38 RENDAS Resolução 1 (1+ 0,05) 0,05 20 C0 = T a = 350 a 20 5% = 350 = 4.361,77 Para determar o valor futuro da reda (C ) temos de captalzar todos os termos da reda para o mometo fal (mometo ) C = T (1+ + T (1+ + T ( T C = T (1+ + (1+ + ( Soma de termos em progressão geométrca com razão = (1+ -1 C T (1 1 = + 1 (1+ 1 (1+ 1 (1+ 1 (1+ = 1 C T (1 + 1 (1 + C = T (1+ 1 s C = T s A expressão, a que atrbuímos a desgação s, permte calcular o valor futuro de uma reda com termos guas, postcpados e utáros à taxa de juro. Exemplo 13 Qual o valor futuro de uma reda de 10 termos auas e postcpados de 250 cada sabedo que o 1º termo vece-se daqu a um ao? Cosdere uma taxa de juro aual de 5%. Cálculo e Istrumetos Faceros I Gestão de Empresas (2º Ao) Pag. 37

39 RENDAS Resolução 10 (1+ 0,05) 1 C10 = T s = 250 s 10 5% = 250 = 3.144,47 0, Redas medatas de termos costates e atecpados Esquematcamete esta reda pode ser represetada por: T T T T T T Para determar o valor actual da reda (C 0 ) temos de actualzar todos os termos da reda para o mometo cal (mometo 0) ( 1) C0 = T + T (1+ + T (1+ + T ( T ( ( 1) C = T 1 + (1+ + (1+ + ( (1+ Soma de termos em progressão geométrca com razão = ( (1+ C = T 1 ( (1+ C = T (1+ 0 a a C0 = T (1+ Exemplo 14 Qual o valor actual de uma reda de 20 termos auas e atecpados de 350 cada sabedo que o 1º termo vece-se hoje? Cosdere uma taxa de juro aual de 5%. Cálculo e Istrumetos Faceros I Gestão de Empresas (2º Ao) Pag. 38

40 RENDAS Resolução 1 (1+ 0,05) 0,05 20 C0 = T a (1+ = 350 a20 5% (1+ 5%) = 350 (1+ 0,05) = 4.579,86 Para determar o valor futuro da reda (C ) temos de captalzar todos os termos da reda para o mometo fal (mometo ). 1 2 C = T (1+ + T (1+ + T ( T ( C = T (1+ + (1+ + ( (1+ Soma de termos em progressão geométrca com razão = (1+ -1 C T (1 = + 1 ( 1+ 1 (1+ 1 (1+ 1 (1+ 1 C = T (1+ (1+ 1 (1+ (1+ 1 C = T (1+ s C = T s (1+ Exemplo 15 Qual o valor futuro de uma reda de 10 termos auas e atecpados de 250 cada sabedo que o 1º termo vece-se hoje? Cosdere uma taxa de juro aual de 5%. Resolução 10 (1+ 0,05) 1 C10 = T s (1+ = 250 s10 5% (1+ 5%) = 250 (1+ 0,05) = 3.301,70 0,05 Cálculo e Istrumetos Faceros I Gestão de Empresas (2º Ao) Pag. 39

41 RENDAS Redas dferdas de termos costates e postcpados Esquematcamete esta reda pode ser represetada por: T T T T 0 m m+1 m+2 m+-1 m+ Período de dfermeto Para determar o valor actual da reda (C 0 ) temos que captalzar C 0 para o mometo m e actualzar todos os termos da reda para o mometo m. C (1+ = T (1+ + T (1+ + T ( T (1+ 0 m C (1+ = T (1+ + (1+ + ( (1+ 0 m Soma de termos em progressão geométrca com razão = ( (1+ C (1+ = T (1+ 1 (1 + m (1+ + = a m C 0 (1 T = a + m C0 T (1 Exemplo 16 Qual o valor actual de uma reda de 20 termos auas e postcpados de 350 cada sabedo que o 1º termo vece-se daqu a 4 aos? Cosdere uma taxa de juro aual de 5%. Resolução Prazo de dfermeto m = 3 aos Cálculo e Istrumetos Faceros I Gestão de Empresas (2º Ao) Pag. 40

42 RENDAS C = T a (1+ = 350 a (1+ 5%) 0 m % 1 (1+ 0,05) 0, C0 = 350 (1+ 0,05) = 3.767,86 Para determar o valor futuro da reda (C ) temos de captalzar todos os termos da reda para o mometo fal (mometo ) C = T (1+ + T (1+ + T ( T C = T (1+ + (1+ + ( Soma de termos em progressão geométrca com razão = (1+ -1 C T (1 1 = + 1 (1+ 1 (1+ 1 (1+ 1 (1+ = 1 C T (1 + 1 (1 + C = T (1+ 1 s C = T s Exemplo 17 Qual o valor futuro de uma reda de 10 termos auas e postcpados de 250 cada sabedo que o 1º termo vece-se daqu a 4 aos? Cosdere uma taxa de juro aual de 10%. Resolução Prazo de dfermeto m = 3 aos Cálculo e Istrumetos Faceros I Gestão de Empresas (2º Ao) Pag. 41

43 RENDAS 10 (1+ 0,10) 1 C13 = T s = 250 s 10 10% = 250 = 3.984,36 0, Redas dferdas de termos costates e atecpados Esquematcamete esta reda pode ser represetada por: T T T T 0 m m+1 m+2 m+-1 m+ Período de dfermeto Para determar o valor actual da reda (C 0 ) temos que captalzar C 0 para o mometo m e actualzar todos os termos da reda para o mometo m. C (1+ = T + T (1+ + T ( T (1+ 0 m 1 2 C (1+ = T 1 + (1+ + ( (1+ 0 m 1 2 Soma de termos em progressão geométrca com razão = ( ( 1+ + = 1 (1+ m C 0 (1 T 1 1 (1+ m C 0 (1+ = T (1+ a = a + m+ 1 C0 T (1 Exemplo 18 Qual o valor actual de uma reda de 20 termos auas e atecpados de 500 cada sabedo que o 1º termo vece-se daqu a 5 aos? Cosdere uma taxa de juro aual de 10%. Cálculo e Istrumetos Faceros I Gestão de Empresas (2º Ao) Pag. 42

44 RENDAS Resolução Prazo de dfermeto m = 5 aos C = T a (1+ = 500 a (1+ 10%) 0 m % 1 (1+ 0,10) 0, C0 = 500 (1+ 0,10) = 2.907,44 Para determar o valor futuro da reda (C ) temos de captalzar todos os termos da reda para o mometo fal (mometo ). 1 2 C = T (1+ + T (1+ + T ( T ( C = T (1+ + (1+ + ( (1+ Soma de termos em progressão geométrca com razão = (1+ -1 C T (1 = + 1 ( 1+ 1 (1+ 1 (1+ 1 (1+ 1 C = T (1+ (1+ 1 (1+ (1+ 1 C = T (1+ s s C = T (1+ Exemplo 19 Qual o valor futuro de uma reda de 10 termos auas e atecpados de cada sabedo que o 1º termo vece-se daqu a 4 aos? Cosdere uma taxa de juro aual de 7%. Cálculo e Istrumetos Faceros I Gestão de Empresas (2º Ao) Pag. 43

45 RENDAS Resolução Prazo de dfermeto m = 4 aos 10 (1+ 0,07) 1 C14 = T s (1+ = s10 7% (1+ 7%) = (1+ 0,07) = ,60 0, Redas temporáras fraccoadas Uma das classfcações de redas desevolvda o poto 4.2. assetava a relação etre o período da taxa de juro e o período da reda. No caso desses dos períodos serem cocdetes tratava-se de uma reda tera. Por oposção podemos etão defr uma reda temporára fraccoada como uma sucessão de um úmero lmtado de captas que se vecem perodcamete ao logo do tempo em que o período da taxa de juro é dferete do período da reda. O período da taxa será portato gual a x períodos da reda. Para o caso partcular de x = 1 temos uma reda tera. Por exemplo se uma reda semestral for avalada a uma taxa aual teremos x = 2, sto é o período da taxa é gual a dos períodos da reda. A solução que será utlzada para resolver o asscrosmo etre o período da taxa de juro e o período da reda cosste em utlzar a taxa de juro equvalete referecada ao período da reda. Vejamos o segute exemplo: Exemplo 20 Determe o valor actual e futuro de uma reda de 10 termos trmestras e postcpados de cada sabedo que o 1º termo vece-se daqu a 1 ao? Cosdere uma taxa de juro aual de 10%. Cálculo e Istrumetos Faceros I Gestão de Empresas (2º Ao) Pag. 44

46 RENDAS Resolução Período da reda: trmestre Período da taxa de juro: ao Como a reda é trmestral temos que calcular a taxa de juro trmestral equvalete: (1+ = (1+ ) = (1+ 0,10) 1 = 2,411% 4 1/4 1/4 1/4 Etão, os valores actual e futuro da reda serão: 10 1 (1+ 0,02411) C0 = T a 1/4 = a10 2, 411% = = 8.792, 45 0, (1 0,02411) 1 + C10 = T s 1/4 = s10 2, 411% = = ,74 0,02411 Refra-se que a solução utlzada será válda para os város tpos de redas estudados Redas perpétuas De acordo com a classfcação das redas desevolvda o poto 4.2. uma reda perpétua é uma sucessão de captas em úmero fto. Uma reda perpétua pode ser postcpada ou atecpada, medata ou dferda, costate ou varável e ada tera ou fraccoada. Iremos somete estudar as redas perpétuas de termos costates, medatas, postcpadas ou atecpadas por serem aquelas que têm maor aplcabldade a actvdade comercal e facera. Cálculo e Istrumetos Faceros I Gestão de Empresas (2º Ao) Pag. 45

47 RENDAS Redas medatas de termos costates e postcpados Esquematcamete esta reda pode ser represetada por: T T T T Para determar o valor actual da reda (C 0 ) temos de actualzar todos os termos da reda para o mometo cal (mometo 0). 1 (1+ C0 = T lm a C 0 T = Exemplo 21 Determe o valor actual de uma reda perpétua de 10 termos auas e postcpados de cada sabedo que o 1º termo vece-se daqu a 1 ao? Cosdere uma taxa de juro aual de 10%. Resolução C0 = = ,10 Cálculo e Istrumetos Faceros I Gestão de Empresas (2º Ao) Pag. 46

48 RENDAS Redas medatas de termos costates e atecpados Esquematcamete esta reda pode ser represetada por: T T T T T Para determar o valor actual da reda (C 0 ) temos de actualzar todos os termos da reda para o mometo cal (mometo 0). 1 (1+ C0 = T lm (1+ a T C 0 = (1+ Uma últma ota para referr que o coceto de valor futuro ão tem aplcação, o caso das redas perpétuas, pos ão há um mometo futuro em que seja pago o últmo termo de reda. Cálculo e Istrumetos Faceros I Gestão de Empresas (2º Ao) Pag. 47

49 AMORTIZAÇÃO DE EMPRÉSTIMOS 5. AMORTIZAÇÃO DE EMPRÉSTIMOS 5.1. Noção e característcas dos empréstmos faceros Um Empréstmo é uma operação facera através da qual um dado dvíduo (mutuate) cede a outro (mutuáro) uma dada quata C 0, por um dado período de tempo, obrgado-se o segudo a devolver essa quata, de uma só vez ou em motates fraccoados, acrescda de juros à taxa covecoada. Dversos são os crtéros de classfcação dos empréstmos; o que mas teressa, porém, o cotexto do Cálculo Facero dz respeto ao processo de amortzação dos mesmos, ou seja, ao modo como esses empréstmos são lqudados. São múltplas as hpóteses este domío, sedo que, em qualquer dos casos, deve observar-se o deomado prcípo fudametal da amortzação de empréstmos, o qual estabelece que, à data do cotrato, o valor actual das obrgações do mutuate equvale ao valor actual das obrgações do mutuáro. Tal prcípo decorre do própro prcípo da equvalêca de captas que formalzámos aterormete, pelo que podemos afrmar que o captal ceddo pelo mutuate é equvalete, o mometo do cotrato, ao motate dos reembolsos a efectuar pelo mutuáro, à taxa de juro acordada etre ambos Sstemas de amortzação de empréstmos Os város sstemas de amortzação de empréstmos dstguem-se atededo, fudametalmete, a dos factores: ao modo de reembolso do captal; ao modo de pagameto dos juros. No presete cotexto, começaremos por tratar dos sstemas de reembolso úco em que o captal é reembolsado de uma só vez, sedo os juros pagos de acordo com uma das segutes hpóteses: pagameto peródco de juros ou pagameto de juros o fal. Cálculo e Istrumetos Faceros I Gestão de Empresas (2º Ao) Pag. 48

50 AMORTIZAÇÃO DE EMPRÉSTIMOS Também os sstemas reembolsos peródcos em que o captal é amortzado de modo escaloado ao logo do prazo do empréstmo serão alvo do osso teresse. Nos sstemas de amortzação com reembolsos peródcos, há sempre lugar à costtução de uma reda de amortzação, uma vez que os termos são etregues ao mutuate, reduzdo o motate do captal em dívda. Cada termo da reda (que otaremos por T k ) é composto por duas parcelas: uma parcela de juro (ou quota de juro), calculada sobre o valor do captal em dívda o íco de cada período, represetada por J k ; e uma parcela de reembolso (ou quota de captal), que amortza parte do captal em dívda e que desgaremos por M k. Deste modo, o termo geérco da reda de amortzação referete a um dado período k será dado por: T k = J k + M k No que cocere à evolução das parcelas que compõem o termo da reda, verfcaremos que, ao logo da vda de um dado empréstmo, a parcela J k será sempre decrescete, uma vez que o motate do captal em dívda se reduz. Quato ao modo de evolução de T k e de M k, este é fxado pelas partes, podedo obedecer a múltplas hpóteses, à semelhaça do que sucede com as redas de termos varáves. Porém, as stuações mas vulgares são aquelas em que: é costate o termo da reda de amortzação (T), ou é costate a quota de reembolso (M). No cotexto do osso estudo, trataremos do sstema de reembolsos progressvos ou sstema de prestações costates - também cohecdo por sstema fracês -, e do sstema de reembolsos costates ou sstema de prestações decrescetes, por vezes também desgado por sstema talao. Cálculo e Istrumetos Faceros I Gestão de Empresas (2º Ao) Pag. 49