Estatística I Finanças e Contabilidade

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1 ISCTE /68 Estatístca I Faças e Cotabldade

2 ISCTE /68 Itrodução Objectvos prcpas da Estatístca A teora estatístca procura respoder a 3 questões báscas: Como recolher dados para aalsar Como aalsar e sumarzar os dados recolhdos Qual a precsão dos resultados da aálse Nota sobre o SPSS O SPSS será utlzado para apoar o estudo de Estatístca I e vablzar a realzação de trabalhos aplcados. Em cada opção de Aálse o SPSS, a etrada Help permte esclarecer coteúdos geércos dos procedmetos de Aálse, assm como lustrar passo a passo, cada etrada específca da opção.

3 ISCTE /68 1 Estatístca Descrtva É o século XVII que a Estatístca se tora uma dscpla autóoma, tedo como objecto os assutos do estado (setdo etmológco da palavra). Nesta época surgem as prmeras aálses de dados umércos (omeadamete demográfcos). A Estatístca Descrtva mplata-se ates do cálculo das probabldades. 1.1 Cocetos Báscos População e Amostra População alvo: a totaldade dos elemetos de teresse acerca dos quas desejamos obter formação A recolha de formação pode cdr sobre: a População alvo Receseameto uma parte da população ou Amostra Amostragem

4 ISCTE /68 A decsão Receseameto ou Amostragem evolve múltplos factores: Dmesão da população, capacdade de cotrolo da qualdade das medções, atureza destrutva das medções, custos (tempo e dhero), Amostra observada Amostra de observações: x 1 x (desgado o 1º,º,..., -ésmo elemetos observados de uma amostra, respectvamete) Amostra ordeada de observações: x 1:, x :.x : (desgado o 1º,º,...-ésmo elemetos observados de uma amostra ordeada de modo crescete, respectvamete) Amostra com observações repetdas (dados agrupados): x 1 1 x x k k

5 ISCTE /68 Amostra com observações classfcadas: Níves de mesuração Classes de x Frequêca (L 1,L ] 1 (L,L 3 ] (L C,L C+1 ] C Os dados podem resultar de meddas: omas ordas tervalares de razão

6 ISCTE /68 1. Meddas de Localzação Dados omas Moda: x com frequêca máxma Dados ordas Moda: x com frequêca máxma Mímo: x 1: Máxmo: x : Percets: P k, 0<k<1 se k tero, P k= x k: se k ão tero, P k= x [k+1]: em que [x] dca o maor tero meor que x Nota: P 0,5 é a deomado medaa; P 0,5 e P 0,75 são quarts

7 ISCTE /68 Dados tervalares e de razão Méda: x = = 1 x Percets: P k, 0<k<1 se k tero, P k = (x k: + x k+1: ) / se k ão tero, P k = X [k+1]: 1.3 Meddas de dspersão Dados ordas Ampltude amostral: x : x 1: Ampltude ter-quarts : P 0,75 P 0,5

8 ISCTE /68 Extremos (Outlers): Extremo severo: x < P 0,5 3 (P 0,75 -P 0,5 ) ou x > P 0, (P 0,75 -P 0,5 ) Extremo moderado P 0,5 3 (P 0,75 -P 0,5 ) < x < P 0,5 1,5 (P 0,75 -P 0,5 ) P 0, (P 0,75 -P 0,5 ) > x > P 0,75 + 1,5 (P 0,75 -P 0,5 ) Dados tervalares e de razão Varâca: s x = = 1 (x x) = = 1 x x Varâca corrgda: s ' = s 1 (o SPSS)

9 ISCTE /68 Desvo padrão: s = s Coefcete de varação: Desvo médo: = 1 x x s / x 1.4 Algumas represetações tabulares e gráfcas Dados omas e ordas Tabela de frequêcas Gráfco de barras Gráfco crcular... Exemplo:

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11 ISCTE /68 Dados tervalares e de razão Gráfco de caxa e bgodes Hstograma e polígoo de frequêcas... Exemplo:

12 ISCTE /68 P 0,75 +1,5*H P 0,75 H P 0,5 P 0,5 P 0,5-1,5*H Nota: Neste tpo de represetação também é comum o uso dos valores mímo e máxmo como extremos.

13 ISCTE / Mas sobre Meddas descrtvas Amostra com observações repetdas x = k = 1 x s X = k = 1 (x x)

14 ISCTE /68 Amostra com observações classfcadas x s X K k= 1 K k= 1 k x k c k ( c x x) k c em que x k represeta o poto médo da classe k de observações.

15 ISCTE /68 Trasformações de orgem e escala Trasformação X Y=X+c X Y=cX Méda y = x + c y = cx Varâca e D. Padrão s Y = s X s Y = c s X Uma trasformação partcular (observações padrozadas): y y s = = (x x) s = 1 y X = = 1 (x s X x) (y y) y = 1 = 1 Y = = = Exercíco: Demostrar os resultados apresetados = 0 1

16 ISCTE / Assocação etre duas varáves Represetações gráfcas e tabulares Dados qualtatvos Uma forma smples de apresetar a assocação etre dados de meddas qualtatvas é através de uma represetação tabular cruzada. Exemplo: Ode pratca desporto? * Com que frequêca pratca desporto? Crosstabulato Ode pratca desporto? Total Clube desportvo Gáso partcular Org. carz socal Em casa Outro local Cout % wth Ode pratca desporto? % wth Com que frequêca pratca desporto? Cout % wth Ode pratca desporto? % wth Com que frequêca pratca desporto? Cout % wth Ode pratca desporto? % wth Com que frequêca pratca desporto? Cout % wth Ode pratca desporto? % wth Com que frequêca pratca desporto? Cout % wth Ode pratca desporto? % wth Com que frequêca pratca desporto? Cout % wth Ode pratca desporto? % wth Com que frequêca pratca desporto? Com que frequêca pratca desporto? 3 De vez em vezes/se vezes/se Todos os quado 1 vez/semaa maa maa das Total ,4% 7,7% 51,3% 3,1%,6% 100,0% 35,3% 10,7% 39,% 33,3% 10,0% 9,3% ,0% 9,1% 57,6% 7,3% 6,1% 100,0%,0% 10,7% 37,3% 33,3% 0,0% 4,8% ,1% 3,1% 15,4% 3,1% 15,4% 100,0% 17,6% 10,7% 3,9% 11,1% 0,0% 9,8% ,3%,0% 14,3% 4,9% 8,6% 100,0% 5,9%,0%,0% 11,1% 0,0% 5,3% ,1% 46,3%,0% 7,3% 7,3% 100,0% 41,% 67,9% 17,6% 11,1% 30,0% 30,8% ,8% 1,1% 38,3% 0,3% 7,5% 100,0% 100,0% 100,0% 100,0% 100,0% 100,0% 100,0%

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18 ISCTE /68 Dados qualtatvos vs quattatvos Exemplo:

19 ISCTE /68 Dados quattatvos Exemplo: (vedas de lojas em aos segudos)

20 ISCTE /68 Meddas de assocação Dados omas báros Sobre os dados de uma tabela cruzada de duas varáves báras (x=0,1; y=0,1) podem calcular-se as meddas Odd e Odd rato: x y a b 0 c d As meddas Odd a ODD = e b ODD = c d - lustram a relação etre a frequêca de ocorrêca de y=1 vs y=0 observada os grupos x=1 e x=0, respectvamete. A medda Odd rato a / b OR = - lustra a relação etre c / d os odds (de y=1 vs y=0) os dos grupos.

21 ISCTE /68 Dados tervalares ou de razão Medda de Covarâca: s XY = = 1 ( x x)( y y) = = 1 x y xy Coefcete de correlação lear ou de Bravas- Pearso: r XY r = XY s s X XY s Y Exercíco: Demostre que r XY é a covarâca etre x e y padrozadas

22 ISCTE / Regressão Lear Smples A exstêca de assocação lear etre x e y permte adoptar um modelo lear de regressão: ŷ = a + bx em que a e b resultam de mmzar os erros quadrátcos ( ŷ y ) = 1 pelo que se obtém a b = = y bx = r XY s s Y X = (x x y x x ( x ) (x x)(y y x) y)

23 ISCTE /68 Atededo a que a varação total (a pror) ( y ) y = 1 pode ser decomposta em varação explcada pelo modelo ŷ e em varação resdual, ( ŷ y ) = 1 o coefcete de determação R = 1 = 1 ( ŷ y ) ( y ) y = 1 pode ser vsto como uma medda de precsão do modelo, dcado a proporção de varação de y explcada pelo mesmo. (Note-se que este caso se tem R = r ).

24 ISCTE /68 Teora das Probabldades.1 Experêca aleatóra e acotecmetos Um processo capaz de produzr resultados observáves dz-se aleatóro quado está sujeto a factores aleatóros (ou casuas), produzdo resultados sobre os quas há certeza. Um processo aleatóro dz-se uma experêca aleatóra as codções segutes: - Replcabldade. - Exstêca de um cojuto Ω de resultados possíves (acotecmetos) que se desga por espaço de resultados. - Regulardade a ocorrêca dos resultados assocada à repetção da experêca. Sejam A Ω e B Ω. - A B: é subacotecmeto de B se a realzação de A mplca a de B.

25 ISCTE /68 - A c ou A : dz-se acotecmeto complemetar de A se cotém todos os elemtos de Ω que ão estão em A. - A B: é a uão de dos acotecmetos A e B (correspode à realzação de A ou B) - A B: a é tersecção de dos acotecmetos A e B (correspode à realzação de A e B) - A-B: defe a dfereça de A e B.e. A B c - A e B são compatíves se A B=φ. Coceto de Probabldade O coceto de probabldade permte aalsar a certeza assocada aos acotecmetos. Há, o etato, dferetes cocetos de probabldade. Por exemplo: Coceto clássco: NA P(A) = N N - úmero de resultados possíves (mutuamete exclusvos e equprováves) N A úmero de resultados favoráves à ocorrêca do acotecmeto A

26 ISCTE /68 Coceto frequecsta: NA lm P(A) = N + N Coceto axomátco: 0 P(A) 1 Se A fôr acotecmeto certo: P (A) = 1 Se A e B forem acotecmetos compatíves: P (A B) = P(A) + P(B).3 Teoremas fudametas Probabldades de acotecmetos Acotecmeto Impossível: P(A)=0 Acotecmeto Complemetar: P(A c )=1-P(A) Dfereça de Acotecmetos: P(B-A)=P(B A c )=P(B) P(A B) Uão de Acotecmetos: P(A U B) = P(A) + P(B) P (A B) P (A1 U A U A3) =

27 ISCTE /68 P(A1) + P(A) + P(A3) P(A1 A) P(A1 A3) - P(A A3) + P(A1 A A3) ( ) Subacotecmeto: Se A B etão P(A) P(B) Probabldade codcoada P(B A) = P(A B) P(A) em que P(A) > 0 Probabldades compostas P( I = 1 A ) = P(A1)P(A A1)...P(A A1... A 1 ) com I P( A = 1 ) > 0 Idepedêca de acotecmetos P(A B)=P(A)P(B)

28 ISCTE /68 P( I = 1 A ) = P(A1)P(A )...P(A ) Obs.:A depedêca também se defe para acotecmetos codcoados

29 ISCTE /68 Probabldade total Cosdere que A 1 A R defem uma partção de Ω e B Ω (v. exemplo a fgura segute) P(B) = pelo que P(B) = R r= 1 R r= 1 P(A r B) P(B Teorema de Bayes A r )P(A r ) Cosdere que A 1 A R defem uma partção de Ω e P(A r )>0 (r=1 R) e B Ω P(A B) = R r= 1 P(A P(A )P(B A r ) )P(B A r )

30 ISCTE /68 3 Varáves Aleatóras 3.1 Coceto de varável aleatóra (v.a.) Uma v.a. X - X(A)- é uma fução que faz correspoder a cada acotecmeto A, um valor real. A v.a. utlza-se para expressar o resultado de uma experêca aleatóra. Este coceto permte efectuar o cálculo de probabldades a partr dos valores reas que são mages dos acotecmetos. O coceto de v.a. udmesoal pode ser alargado: o resultado de uma experêca pode ser traduzdo por pares de valores reas (v.a. bdmesoal) ou, mas geralmete, -uplos de valores reas (v.a. multdmesoas). 3. Fução de dstrbução de v.a. X (f.d.) F X (x)=p(x x)

31 ISCTE /68 Para qualquer f.d. F X (x): 0 F X (x) 1 F X é moótoa ão decrescete FX ( + ) = lm FX (x) = 1 x + FX ( ) = lm FX (x) = x 0 P(x 1 < X x )= F X (x )-F X (x 1 ), x >x 1 Nota: O cohecmeto da f.d. de X permte calcular probabldades assocadas a város acotecmetos específcos.

32 ISCTE / Fução de dstrbução de vector aleatóro bdmesoal ou par aleatóro (X,Y) F X,Y (x,y)=p(x x, Y y ) Para qualquer f.d. F XY (x,y): 0 F X,Y (x,y) 1 FX,Y (x1, y1) FX,Y (x, y ), x >x 1, y >y 1 FX,Y ( +, + ) = lm FX, Y (x, y) = 1 x + x + FX,Y ( +, + ) = lm FX, Y (x, y) = x x 0 FX,Y (, y) = lm FX, Y (x, y) = x FX,Y (x, ) = lm FX, Y (x, y) = y 0 0

33 ISCTE / Varáves aleatóras dscretas Uma v.a. X dz-se dscreta quado X tem cotradomío D- fto ou fto umerável Fução (massa) de probabldade (f.p.) de v.a. X f X (x)= P(X=x) > 0 se x D 0 caso cotráro Qualquer f.p. verfca: f X (x) 0 X x D f (x ) = 1 P(x E) = X x E D f (x ) A f.d. de uma v.a. dscreta pode exprmr-se em fução da correspodete f.p.: F = X (x) fx (x ) x x

34 ISCTE /68 Méda ou Valor esperado da v.a. X E(X) = µ X = x.f X (x ) x D Cosderado uma v.a.y, fução da v.a. X Y=ν(X) tem-se que E(Y)=E(ν(X)), pelo que, E(Y) = ν(x ).f X (x ) x D Casos partculares: E(K); E(kX) Varâca da v.a. X [( ( )) ] X E X E(X ) - E (X) V(X) = σx = E = Casos partculares: V(K); V(kX) Desvo padrão da v.a. X σ X Percetl de ordem k (0 < k < 1) da v.a. X τ k é o meor valor de X que verfca F(τ k ) k

35 ISCTE / Par aleatóro dscreto Um par aleatóro (X,Y) dz-se dscreto quado tem cotradomío D- fto ou fto umerável Fução (massa) de probabldade cojuta de (X,Y) f X,Y (x,y)= P(X=x, Y=y) > 0 se (x,y) D verfcado: 0 caso cotráro f X,Y (x, y) 0 XY (x,y ) D f (x, y j ) = 1 A f.d. do par a. dscreto pode exprmr-se em fução da correspodete f.p.: F = X,Y (x, y) f X,Y (x, y ) x x,y y

36 ISCTE /68 Fuções de probabldade margal f f = X (x) fx,y (x, y ) y = Y (y) fx,y (x, y) x Idepedêca de duas v.a. X e Y x, y f X,Y (x,y)= f X, (x)f Y (y) Etre duas varáves depedetes ão há qualquer tpo de assocação. Covarâca de duas v.a. X e Y A medda de covarâca Cov(X,Y) - mede a exstêca de assocação lear etre X e Y (v.a. de atureza quattatva). Se a covarâca for ula ão há assocação lear. Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y), em que E(X,Y) = x.y jf XY (x, y j) (x,y ) D j

37 ISCTE / Algumas dstrbuções de v.a. dscretas Dstrbução Uforme (Dscreta): X U(1/N) X pode modelar, por exemplo, úmero scrto a face superor de um dado que fo laçado ao ar f (x) = 1/ N, x = 1,,...N =0, caso cotráro E(X)=(N+1)/ e V(X)=(N -1)/1

38 ISCTE /68 Dstrbução Beroull: X B(1,p) X pode modelar ocorrêca de sucesso ou sucesso uma prova bára (com probabldade de sucesso p) f (x) x 1 x = P(X = x) = p (1 p) se x=0,1 =0, caso cotráro E(X) = p e V(X) = p (1-p)

39 ISCTE /68 Dstrbução Bomal: X B(,p) X pode modelar úmero de sucessos em provas báras depedetes (probabldade de sucesso - p - matém-se costate as provas) f (x) = P(X x=0,1 = x) = C x x x p (1 p) E(X) = p e V(X) = p(1-p) Dstrbução de -X Sedo X B(,p) tem-se -X B(,1-p) Adtvdade da dstrbução Bomal Sejam X k (k=1...k) varáves depedetes e X k B( k,p) Etão, ΣX k B(Σ k,p)

40 ISCTE /68 Dstrbução de Posso: X P(λ) X pode modelar úmero de ocorrêcas por udade de tempo f(x) = P X [ = x] = e λ x! λ E [ X] = λ e Var [ X] = λ x, λ > 0 x = 0,1,, L Notas: 1. Cosderado udades de tempo ão sobrepostas os úmeros de ocorrêcas são depedetes Cosderado udades de tempo guas, observa-se dêtca probabldade assocada a um certo úmero de ocorrêcas Cosderado udades de tempo muto pequeas a probabldade de ou mas ocorrêcas é desprezável. A dstrbução de Posso pode ser vsta como uma forma lmte da dstrbução Bomal quado +, p 0 e p se matém costate (p=λ) 1 1 Um regra empírca proporcoado uma aproxmação acetável da bomal à Posso cosdera >0 e p<0,05

41 ISCTE /68 Adtvdade da dstrbução Posso Sejam X k (k=1...k) varáves depedetes e X k P(λ k ) Etão, ΣX k P(Σλ k )

42 ISCTE / Varáves aleatóras cotíuas Uma v.a. X dz-se cotíua quado tem cotradomío D- fto, ão umerável. Fução desdade de probabldade (f.d.p.) de v.a. X A f X (x) apresetada acma é a fução desdade de probabldade da v.a. X (f.d.p.). Esta fução verfca: f (x) 0 X + f X (x).dx = 1 A f.d. da v.a. cotíua pode exprmr-se em fução da correspodete f.d.p.: F X (x) = x f X (u) du Méda ou Valor esperado da v.a. X E(X) = µ X = + - x.f X (x) dx

43 ISCTE /68 Cosderado uma v.a.y, fução da v.a. X Y=ν(X) tem-se que E(Y)=E(ν(X)), pelo que, + E(Y) = ν(x).f (x) dx X A varâca e o desvo padrão defem-se, tal como para as v.a. dscretas, em fução de E(X). Percetl de ordem k (0 < k < 1) da v.a. X τ k é o valor de X que verfca F(τ k )=k

44 ISCTE / Par aleatóro cotíuo Um par aleatóro (X,Y) dz-se cotíuo quado tem cotradomío D- fto, ão umerável. Fução desdade de probabldade cojuta de (X,Y) P(X [x, x+dx[, Y [y, y+dy[)=f X,Y (x,y)dxdy A f X,Y (x,y) verfca: f X,Y + + (x, y) 0 f X,Y (x, y)dxdy = 1 A f.d. do par cotíuo pode exprmr-se em fução da correspodete f.d.p.: F X,Y (x, y) = x y f X,Y (u, v)dudv

45 ISCTE /68 Fuções desdade de probabldade margas f f X Y + (x) = f (x, v) dv + X, Y (y) = f (u, y) du X, Y Idepedêca de duas v.a. X e Y x, y f X,Y (x,y)= f X, (x)f Y (y) Etre duas varáves depedetes ão há qualquer tpo de assocação. Covarâca de duas v.a. X e Y A medda de covarâca Cov(X,Y) - mede a exstêca de assocação lear etre X e Y. Se a covarâca for ula ão há assocação lear. Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y), em que E(X,Y) + + = xyf (x, y)dxdy X, Y

46 ISCTE / Algumas dstrbuções de v.a. cotíuas Dstrbução Uforme: X U[a,b] f (x) = ( b a), x ( a, b) 1 0, cotráro E(X) = (a+b)/ e V(X) = (b-a) /1

47 ISCTE /68 Dstrbução Normal: X N(µ,σ) f(x) = 1 πσ 1 x µ e σ em que x (-, + ), µ (-, + ) e σ > 0 E(X) = µ e V(X) = σ Trasformação de v.a. X N(µ,σ) Se V = a + b X e X N(µ,σ) etão V N (a+ bµ, (b σ )) Em partcular: Z=(X - µ)/σ Z N(0,1) Nota: É habtual, o caso da dstrbução ormal padrozada - N(0,1) - desgar a fdp f(x) por φ e a fd F(x) por Φ.

48 ISCTE /68 Adtvdade da dstrbução Normal Sejam X k (k=1...k) varáves depedetes e X k N(µ k,σ k ) Etão, ΣX k N(Σµ k, Σσ k)

49 ISCTE /68 Dstrbução Qu-quadrado: X ~ χ () x 1 e x f(x) = Γ( ) em que > 0, x > 0 e Γ() = + 0 e x x 1 dx ( desga-se por úmero de graus de lberdade) E(X)= e V(X)= Adtvdade da dstrbução Qu-Quadrado Sejam X k (k=1...k) varáves depedetes e X k χ ( k ) Etão, ΣX k χ ( ) Σ k Trasformação de v.a. X N(µ,σ) Se a v.a. X ~ N(0,1) etão X ~ χ (1)

50 ISCTE /68 Dstrbução t-studet: X ~ t () + 1 Γ( ) + 1 x f(x) = (1+ ) πγ( ) x R ( desga-se por úmero de graus de lberdade) E(X) = 0 (para > 1) e V(X) = /(-) (para > ) Nota: Quado a f.d.p. da t-studet tede para a f.d.p. da N(0,1) Trasformação de v.a. X ~ N(0,1) e Y χ () Se a v.a. X ~ N(0,1) e Y χ () etão X Y ~ t ()

51 ISCTE /68 Dstrbução F-Sedcor: X ~ F (m,) Γ( + m ) m / (m ) / m x f (x) = (m+ ) / m Γ( ) Γ( ) em que,m > 0, x > 0 e 1 + m x (m + ) E(X)= /(-) e V(X)= m( ) ( 4) se >4 Trasformação de v.a. X F (m,) Se X ~ F (m,) etão 1/X ~ F (,m) Nota: Em cosequêca, o percetl de ordem k de uma varável com dstrbução F (m,) é gual ao percetl de ordem 1-k de uma varável com dstrbução F (,m).

52 ISCTE /68 Trasformação de v.a. X χ (m) e Y χ () Se X χ (m) e Y χ () etão Trasformação de v.a. X t () Se X ~ t () etão X ~ F (1,) X m Y ~ F (m,)

53 ISCTE /68 4 Amostragem e Dstrbuções Amostras 4.1 Qualdades de uma Amostra Uma Amostra deve ser Adequada Represetatva A dmesão da Amostra () está, em geral, drectamete relacoado com as qualdades da amostra. Erros a Amostra: Erros de amostragem Outros erros a recolha de dados (ex: a codução de quérto ou o processameto dos dados) 4. Tpos de Amostragem Amostragem Aleatóra (ou Probablístca ou Casual) permte determar a probabldade de clusão de cada elemeto a amostra

54 ISCTE /68 Smples Sstemátca Estratfcada Por grupos Por áreas Mult-fásca Amostragem Não Aleatóra Por coveêca Segudo juízo Por quotas Amostra aleatóra X k (k=1...) v.a. depedetes e dêtcamete dstrbuídas (..d.), todas com a mesma dstrbução da população X a que se referem, costtuem uma amostra aleatóra, ou casual, dessa população. Nota: A amostragem aleatóra correspode a extracções com reposção, a meos que se cosdere a população muto grade quado comparada com a dmesão da amostra; caso cotráro ão se verfcara X k..d..e. f X X...X (x x, x..., x ) = f (x1)f X (x )...f X (x ) 1 X1 e f (x) = f (x) =... f (x) X 1 X = X

55 ISCTE / Estatístcas e Parâmetros das Dstrbuções Teórcas Uma Estatístca é uma v.a. que é fução de uma amostra aleatóra (X 1,...,X ) e que ão evolve qualquer parâmetro descohecdo. As Estatístcas têm um partcular teresse para o estudo da Estatístca Idutva que se dedca a procurar traspôr resultados para a população X (ferr), partdo de característcas amostras. Em partcular, estas característcas deverão permtr fazer ferêca sobre parâmetros descohecdos, assocados à dstrbução da população X. Note-se que algumas Estatístcas são especalmete usadas para estmar ou para valdar valores de certos parâmetros, como se apreseta o quadro segute. No etato, só a partr do cohecmeto da dstrbução das Estatístcas amostras (dstrbuções dtas amostras ou por amostragem), se pode coclur sobre o bom comportameto de uma estatístca a população das amostras que justfca a sua escolha para a estmação de um certo parâmetro.

56 ISCTE /68 Méda Varâca Na População/ Parâmetros E[X] V[X] Desvo Padrão V[X] S Na Amostra/ Estatístcas X S = = = 1 X = 1 (X X) Aalsar o bom comportameto de uma estatístca a população das amostras é precsamete o que se pretede ao apresetar os resultados segutes.

57 ISCTE / Le dos grades úmeros Cosderado uma sucessão de v.a...d. { X k }, com méda E[X k ]=µ e varâca V[X k ]= σ (e correspodete sucessão de f.d. {F Xk (x)}, e S = X k k= 1 tem-se que S / coverge em probabldade para µ,.e. lm + P S µ < ε = 1 Esta le derva-se faclmete a partr da desgualdade de Chebyshev, referda a uma v.a. X com E[X]=µ e varâca fta V[X]= σ : P σ ε [ X µ ε]

58 ISCTE / Teorema do lmte cetral Cosderado uma sucessão de v.a...d. { X k }, com méda E[X k ]=µ e varâca (fta) V[X k ]= σ, tem-se ou S µ. σ ~ N(0, 1) em que S = X k k= 1 X µ. σ / ~ N(0, 1). Nota 1: ~ assala a covergêca para a dstrbução ormal.e. S µ lm P σ x = Φ ( x) Nota : Note-se que (X 1, X ) assm defdos costtuem uma amostra aleatóra

59 ISCTE / Dstrbuções amostras Os resultados segutes referem-se à amostragem aleatóra de populações ftas. A este propósto covém otar que se a população, apesar de fta, fôr comparada com a amostra, o erro cometdo ao cosderá-la fta pode ser desprezível. Amostragem de Populações Normas X N(µ X,σ X ) X 1 X, resultates de amostragem aleatóra smples (X d). Se X N(µ,σ) etão X µ σ / ~ N(0,1) atededo à propredade da adtvdade da Normal.

60 ISCTE /68 Amostragem de populações ão ormas A determação da dstrbução da soma (ou da méda) referda a populações ão ormas faz-se medate recurso ao Teorema do Lmte Cetral. Nos casos de aproxmação de dstrbuções dscretas à dstrbução (cotíua) Normal é coveete proceder a uma correcção de cotudade represetado um tero k pelo tervalo (k-0,5;k+0,5). Sedo assm cosdera-se: P(X=k) P(k-0,5 X k+0,5) P(a X b) P(a-0,5 X b+0,5) P(a < X < b) P(a+0,5 X b-0,5)

61 ISCTE /68 População Beroull X ~ B(1,p) X 1 X, amostra aleatóra (. e.d. com X) S p p(1 p) ~. N(0,1) atededo à propredade da adtvdade da Beroull (Bomal B(1,p)). Notas: Neste caso S é uma varável aleatóra B(,p) >0, p > 5 e (1-p) > 5 é uma regra empírca para cosderar acetável uma aproxmação de S à Normal Pode ser aplcada para uma aproxmação da Bomal à Normal, evetualmete facltado cálculos.

62 ISCTE /68 População Posso X ~ P(λ) X 1 X, amostra aleatóra (. e.d. com X) S λ λ ~. N(0,1) atededo à propredade da adtvdade da Posso. Notas: Neste caso S é uma varável aleatóra P(λ) Uma regra empírca para cosderar acetável uma aproxmação de S à Normal 3 é ter λ > 0 3 Pode ser aplcada para uma aproxmação à Normal de uma Posso com parâmetro >0, evetualmete facltado cálculos.

63 ISCTE /68 População Qu-Quadrado Se X ~ χ (1) e X 1 X, amostra aleatóra (. e.d. com X) etão S. ~ N(0,1) atededo à propredade da adtvdade do Qu- Quadrado. Notas: Neste caso S é uma varável aleatóra χ () >0 é uma regra empírca para cosderar acetável uma aproxmação à Normal 4 4 Pode ser aplcada para uma aproxmação à Normal de uma Qu-Quadrado com parâmetro >0, evetualmete facltado cálculos.

64 ISCTE /68 Nota Fal Na dscpla de Estatístca I fo possível abordar: A Estatístca Descrtva que se detém sobre os valores observados de uma amostra A Teora das Probabldades, em partcular o coceto de Varável Aleatóra e algumas das suas possíves Dstrbuções teórcas. As Dstrbuções (de Estatístcas) amostras. Na sequêca do estudo realzado acerca da amostragem e dstrbuções amostras será possível, futuramete, apresetar o processo de Iferêca Estatístca ou Estatístca Idutva, matéra de Estatístca II. Pressupodo, etão, a costtução de uma amostra aleatóra, a Iferêca Estatístca permtrá, a partr de resultados observados a amostra e da cosderação de modelos dstrbucoas, quatfcar a certeza que se assoca à trasposção de resultados para a população em geral.

65 ISCTE /68 Por fm ote-se que em sempre é possível dervar teorcamete certas dstrbuções amostras (por exemplo, o caso de amostras pequeas e/ou de estatístcas que sejam fuções complexas das v.a. cosderadas). Neste caso, a geração de amostras recorredo à técca de Mote Carlo permte dervar dstrbuções amostras empírcas que podem adcoar algum cohecmeto àquele que se derva, smplesmete, de uma amostra observada.

66 ISCTE /68 Ídce INTRODUÇÃO... OBJECTIVOS PRINCIPAIS DA ESTATÍSTICA... NOTA SOBRE O SPSS... 1 ESTATÍSTICA DESCRITIVA CONCEITOS BÁSICOS... 3 AMOSTRA OBSERVADA MEDIDAS DE LOCALIZAÇÃO... 6 DADOS NOMINAIS... 6 DADOS ORDINAIS... 6 DADOS INTERVALARES E DE RAZÃO MEDIDAS DE DISPERSÃO... 7 DADOS ORDINAIS... 7 DADOS INTERVALARES E DE RAZÃO ALGUMAS REPRESENTAÇÕES TABULARES E GRÁFICAS... 9 DADOS NOMINAIS E ORDINAIS... 9 DADOS INTERVALARES E DE RAZÃO MAIS SOBRE MEDIDAS DESCRITIVAS AMOSTRA COM OBSERVAÇÕES REPETIDAS AMOSTRA COM OBSERVAÇÕES CLASSIFICADAS TRANSFORMAÇÕES DE ORIGEM E ESCALA ASSOCIAÇÃO ENTRE DUAS VARIÁVEIS REPRESENTAÇÕES GRÁFICAS E TABULARES MEDIDAS DE ASSOCIAÇÃO REGRESSÃO LINEAR SIMPLES... TEORIA DAS PROBABILIDADES EXPERIÊNCIA ALEATÓRIA E ACONTECIMENTOS CONCEITO DE PROBABILIDADE TEOREMAS FUNDAMENTAIS... 6 PROBABILIDADES DE ACONTECIMENTOS... 6 PROBABILIDADE CONDICIONADA... 7 PROBABILIDADES COMPOSTAS... 7 INDEPENDÊNCIA DE ACONTECIMENTOS... 7 PROBABILIDADE TOTAL... 9 TEOREMA DE BAYES VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONCEITO DE VARIÁVEL ALEATÓRIA (V.A.) FUNÇÃO DE DISTRIBUIÇÃO DE V.A. X (F.D.)... 30

67 ISCTE / FUNÇÃO DE DISTRIBUIÇÃO DE VECTOR ALEATÓRIO BIDIMENSIONAL OU PAR ALEATÓRIO (X,Y) VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS FUNÇÃO (MASSA) DE PROBABILIDADE (F.P.) DE V.A. X MÉDIA OU VALOR ESPERADO DA V.A. X VARIÂNCIA DA V.A. X DESVIO PADRÃO DA V.A. X PERCENTIL DE ORDEM K (0 < K < 1) DA V.A. X PAR ALEATÓRIO DISCRETO FUNÇÃO (MASSA) DE PROBABILIDADE CONJUNTA DE (X,Y) FUNÇÕES DE PROBABILIDADE MARGINAL INDEPENDÊNCIA DE DUAS V.A. X E Y COVARIÂNCIA DE DUAS V.A. X E Y ALGUMAS DISTRIBUIÇÕES DE V.A. DISCRETAS DISTRIBUIÇÃO UNIFORME (DISCRETA): X U(1/N) DISTRIBUIÇÃO BERNOULLI: X B(1,P) DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL: X B(N,P) DISTRIBUIÇÃO DE POISSON: X P(λ) VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS... 4 FUNÇÃO DENSIDADE DE PROBABILIDADE (F.D.P.) DE V.A. X... 4 MÉDIA OU VALOR ESPERADO DA V.A. X... 4 PERCENTIL DE ORDEM K (0 < K < 1) DA V.A. X PAR ALEATÓRIO CONTÍNUO FUNÇÃO DENSIDADE DE PROBABILIDADE CONJUNTA DE (X,Y) FUNÇÕES DENSIDADE DE PROBABILIDADE MARGINAIS INDEPENDÊNCIA DE DUAS V.A. X E Y COVARIÂNCIA DE DUAS V.A. X E Y ALGUMAS DISTRIBUIÇÕES DE V.A. CONTÍNUAS DISTRIBUIÇÃO UNIFORME: X U[A,B] DISTRIBUIÇÃO NORMAL: X N(µ,σ) DISTRIBUIÇÃO QUI-QUADRADO: X ~ χ (N) DISTRIBUIÇÃO T-STUDENT: X ~ T (N) DISTRIBUIÇÃO F-SNEDCOR: X ~ F (M,N) AMOSTRAGEM E DISTRIBUIÇÕES AMOSTRAIS QUALIDADES DE UMA AMOSTRA TIPOS DE AMOSTRAGEM AMOSTRAGEM ALEATÓRIA (OU PROBABILÍSTICA OU CASUAL) AMOSTRAGEM NÃO ALEATÓRIA AMOSTRA ALEATÓRIA ESTATÍSTICAS E PARÂMETROS DAS DISTRIBUIÇÕES TEÓRICAS LEI DOS GRANDES NÚMEROS TEOREMA DO LIMITE CENTRAL DISTRIBUIÇÕES AMOSTRAIS AMOSTRAGEM DE POPULAÇÕES NORMAIS AMOSTRAGEM DE POPULAÇÕES NÃO NORMAIS NOTA FINAL... 64

68 ISCTE /68