Modelação e Estimação de Séries Financeiras através de Equações Diferenciais Estocásticas

Transcrição

1 Isttuto Superor de Ecooma e Gestão Uversdade Técca de Lsboa Modelação e Estmação de Séres Faceras através de Equações Dferecas Estocástcas João Carlos H. C. Ncolau Dssertação Apresetada para Obteção do Grau de Doutor em Matemátca Aplcada à Ecooma e à Gestão, Oretada pelo Professor Doutor Nuo José Cassola e Barata e Co-Oretada pelo Professor Doutor Carlos Alberto dos Satos Brauma Documeto Provsóro Juho 000

2 Modelação e Estmação de Séres Faceras através de Equações Dferecas Estocástcas João Carlos H. C. Ncolau

3 Agradecmetos Destaco, profudamete grato, a mprescdível cotrbução do Professor Doutor Carlos Alberto dos Satos Brauma, a letura crítca do trabalho, as sugestões e, sobretudo, os cohecmetos trasmtdos. Este trabalho tera sdo mpossível sem a sua co-oretação. Da mesma forma agradeço ao Professor Nuo José Dores Cassola e Barata. Os seus esclarecmetos a área da ecooma facera foram essecas este trabalho. Agradeço-lhe também o etusasmo com que me acolheu o Baco de Portugal ode grade parte dos modelos e dos temas ecoómcos foram dscutdos e, ode desevolv, com o seu apoo, as aplcações empírcas descrtas este trabalho. Evdetemete todos os erros e omssões devem-se exclusvamete ao autor.

4 Coteúdo I Itrodução 9 II Equações Dferecas Estocástcas 7 Aspectos Geras 9. Processo Estocástco Processo de Markov Processo de Dfusão Processo de Weer Itegral de Ito Itrodução De ção do Itegral de Ito Propredades do Itegral de Ito Equações Dferecas Estocástcas Exstêca e Ucdade das Soluções Fórmula de Ito Propredades das Soluções das Equações Dferecas Estocástcas Mometos das Soluções Solução como um Processo de Markov Solução como um Processo de Dfusão Solução como um Processo de Dfusão Homogéeo Processos de Dfusão Homogéeos 39. Operador I tesmal e Fucoas Class cação dos Potos Frotera

5 .. Exstêca e Ucdade das Soluções e Istates de Explosão Estacoardade, Ergodcdade e Desdade Estacoára. Mometos Estacoáros 49.3 Probabldades de Trasção e Mometos Codcoas Dscretzação de Equações Dferecas Estocástcas Algus Esquemas de Dscretzação Propredades dos Esquemas de Dscretzação Aproxmação a Certas Fucoas Resultados Lmtes Processos Dscretos Processos Cotíuos III Estmação de Equações Dferecas Estocástcas 76 3 Itrodução. Breves Cosderações sobre a Estmação de Equações Dferecas Estocástcas 78 4 Breve Sítese da Lteratura Estmação Baseada em Observações Cotíuas Estmação Baseada em Observações Dscretas Métodos Codcoas Métodos Margas Estmação Baseada em Smulações do Processo Estmação Não Paramétrca Estmação Pelo Método dos Mímos Quadrados Codcoados Itrodução Cosstêca e Dstrbução do Estmador E cêca do Estmador Geeralzações e D culdades Geeralzações D culdades Outros Estmadores Baseados em Mometos Codcoas 5 6. Pseudo Máxma Verosmlhaça Método dos Mometos Geeralzados

6 7 Estmadores Baseados em Aproxmações dos Mometos Codcoas Estmador Baseado uma Dscretzação de Ordem Itrodução Propredades do Estmador Dstrbução Asstótca Estmadores Alteratvos Método da Fução log-verosmlhaça Smulada (I) - Smulação pelo Método do Núcleo Itrodução Estmação Não paramétrca das Desdades de Trasção Smulação do Processo Cosstêca do Estmador das Desdades de Trasção Cosstêca e Dstrbução do Estmador Baseado a Fução log-verosmlhaça Smulada Obteção do Estmador (algortmo) Cosstêca e Dstrbução do Estmador Um Exercíco de Smulação. Cometáros Fas Método da Fução log-verosmlhaça Smulada (II) - Smulação por um Método Alteratvo Itrodução Estmação das Desdades de Trasção Estmador de Máxma Verosmlhaça Smulado Obteção do Estmador (algortmo) Cosstêca e Dstrbução do Estmador Um Exercíco de Smulação Nota Fal: Obteção da Desdade de Trasção Estmação Não Paramétrca Estmação do Coe cete de Dfusão Abordagem Grá ca Estmação do Coe cete de Dfusão: Extesões ao Estmador de Flores-Zmrou Estmação do Coe cete de Tedêca Estmação do Coe cete de Dfusão: Nova Abordagem Exemplos

7 IV Modelação de Séres Faceras Através de Equações Dferecas Estocástcas 04 Itrodução. Breves Cosderações sobre a Modelação de Séres Faceras 06 Breve Sítese da Lteratura 3 Modelos de Dfusão Homogéeos Uvarados 4 3. Modelos com Coe cete de Tedêca Nulo ou Lear e Volatldade Quadrátca Modelo M Modelo M Estmação dos Modelos Modelos com Coe cete de Tedêca Nulo ou Lear e Volatldade Expoecal Modelo M Modelo M Modelo M Estmação dos Modelos Modelos com Coe cete de Tedêca Não Lear e Volatldade Costate ou Expoecal Modelo M Modelo M Modelo M Estmação dos Modelos Certas Trasformações Homogeezates ou Estacoarzates Abordagem Baseada em Fuções Determístcas Abordagem Baseada em Fuções Estocástcas Modelo de Volatldade Quadrátca Estocástca Itrodução Propredades do Modelo Estmação do Modelo Aálse em Tempo Dscreto Dscretzação do Processo em Tempo Cotíuo Modelo de Volatldade Quadrátca em Tempo Dscreto Estmação

8 4.4.4 Exemplo (Aplcação) Covergêca do Processo de VQE(,,0) para a Solução de um Sstema de duas EDEs Modelos com Alterações Estocástcas de Regme Itrodução Hpótese de a Cadea de Markov Ser De da em Tempo Dscreto O Modelo Desdade de Trasção de X e Estmação Exemplo Processo com Saltos de Posso e o Modelo com Alterações Estocástcas de Regme Extesões Modelo Com efetos Determístcos Modelo com Quebra de Estrutura ou poto Swtchg V Aplcações 94 6 Aplcação à Taxa de Câmbo do Marco/Dólar Itrodução Dados. Idet cação do Modelo Estmação Aálse à Espec cação do Modelo: Testes Empírcos Badas Implíctas de Flutuação Porque Razão o Teste Dckey-Fuller Não Rejeta a Hpótese Nula de Raz Utára? Prevsão Coclusões Aplcação ao Ídce BVL Geral Itrodução Aálse do Modelo Dados Estmação Coclusões

9 VI Coclusões 330 VII Apêdces 334 A Estmador-M 336 A. Cosstêca e Teorema do Lmte Cetral - Abordagem A A. Cosstêca e Teorema do Lmte Cetral - Abordagem B B Procedmetos em GAUSS 34 B. Smulação de Processos Estocástcos B. Estmação de Processos Estocástcos B.3 Utlldades Bblogra a 4 6

10 Algumas Notações e Abrevações p! coverge em probabldade para quado! + m:q:! coverge em méda quadrátca para quado! + l..m. = coverge em méda quadrátca para quado! + q:c:! coverge quase certamete (ou com probabldade um) para quado! + P 0 p (x) dstrbução estacoára desdade estacoára L p P 0 f : R! R; R jfj p dp 0 < + C espaço das fuções cotuamete dferecáves de ordem := gual por de ção N ; dstrbução ormal de méda e varâca R espaço dos parâmetros cojuto dos úmeros reas U (a; b) dstrbução uforme o tervalo (a; b) A 0 m.q. q.c. v.a...d. p. pága cap. EDE EDP ARCH trasposta de A (covergêca estocástca em) méda quadrátca (covergêca estocástca) quase certamete varável aleatóra depedete e dêtcamete dstrbuído capítulo equação dferecal estocástca equação dferecal parcal autoregressve codtoal heteroscedastcty 7

11 pág. em braco 8

12 Parte I Itrodução 9

13 pág. em braco 0

14 A teora das equações dferecas estocástcas remota ao prmero quartel do século XX, a partr dos trabalhos de Bacheler, Este, Smoluchowsk, Lagev, Orste, Uhlebeck, Weer etre outros [ver Schuss (980), p. v] (o movmeto Browao fo calmete det cado pelo botâco R. Brow que, em 87, descreveu os movmetos errátcos de partículas suspesas em uídos). Etretato, um extraordáro progresso tem sdo realzado. Mutas áreas cetí cas têm bee cado da teora das equações dferecas estocástcas, como por exemplo, a físca atómca, molecular e cétca, a establdade das estruturas, a bologa (populações), a ecooma, etre mutas outras áreas [ver Schuss (980)]. Tem-se observado, pelo meos a área da ecooma, uma crescete utlzação das equações dferecas estocástcas como ferrameta de aálse. Com efeto, Melo (99) [ctado por Sawyer (993)] documeta que a percetagem de artgos cetí cos que utlzam equações dferecas estocástcas (EDEs) e são publcados em quatro das mas mportates revstas teracoas de aças aumetou de 0.8% em 970 para 7.% em 989. Certamete, esta percetagem é hoje superor. Mutos ecoomstas vêem hoje o estudo das EDEs como um vestmeto seguro a médo prazo. Tempo e certeza são os elemetos cetras que uecam o comportameto dos agetes ecoómcos. Por esta razão as EDEs têm sdo o strumeto prvlegado de aálse da teora ecoómca e acera avaçada. Uma das razões da utlzação das EDEs deve-se às potecaldades do cálculo estocástco de Ito. O tegral estocástco de Ito (este aspecto é desevolvdo o poto.5.) de e-se como o lmte (um certo modo de covergêca estocástca) de somas de termos compostas por fuções em escada ão atecpatvas (depedetes dos cremetos futuros do movmeto Browao). O tegral estocástco de Ito é apeas uma das váras possíves de ções (etre outras, como por exemplo, o cálculo estocástco de Stratoovch). No etato, o uso do tegral ão atecpatvo de Ito, re ecte a oção teórca de que os agetes ão podem atecpar o movmeto futuro dos preços e, por esta razão, é geralmete preferível em ecooma. O cálculo de Ito permte estabelecer resultados mportates o estudo da valorzação dos actvos aceros. Prmero, uma trasformação ão lear de um processo de Ito é, sob certas codções moderadas de regulardade, ada um processo de Ito. Por outro lado, a dâmca de um processo trasformado pode ser deduzda, faclmete, através do lema de Ito. Estes resultados são essecas a determação do preço das opções o modelo Balck-Scholes. Merto (990) dz, «[:::] the cotuous-tme formulato ofte provdes just eough addtoal spec cty to produce both more precse theoretcal solutos ad more re ed emprcal hypotheses tha ca otherwse be derved from ts dscrete-tme couterpart [:::]». As EDEs têm sdo utlzadas sobretudo a obteção de resultados teórcos a ível acero. Do poto de vsta empírco, para aalsar o comportameto probablístco de uma sére acera (ao logo do tempo), os emprstas tedem a favorecer os modelos a tempo dscreto, como por exemplo, os modelos ARCH [autoregressve codtoal heteroscedastcty, Egle (98)]. É evdete esta escolha: a

15 fução de verosmlhaça os modelos a tempo dscreto é ormalmete fácl de estabelecer, ao passo que, os modelos em tempo cotíuo, baseados em EDEs moderadamete ão leares, a fução de verosmlhaça, assocada a observações dscretas, é quase sempre descohecda. Na aplcação da teora acera teórca, com EDEs, ao mudo real, por exemplo, o cotexto da avalação das opções, ormalmete estpula-se uma EDE lear, relatvamete smples, para o comportameto do actvo subjacete. Para estas EDEs é fácl obter ão só estmatvas de máxma verosmlhaça (por exemplo, para a volatldade) como também soluções explíctas para o preço das opções. No etato, as séres aceras quase sempre exbem fortes efetos ão leares (sedo a volatldade o efeto mas mportate) que apeas podem ser captados por EDEs ão leares. Para estas equações ão exstem métodos de estmação expedtos. Quas as vatages em se modelar uma sére acera através de uma EDE, comparatvamete à modelação em tempo dscreto? Há, em prmero lugar, uma vatagem óbva: permte que os modelos aceros teórcos, a grade maora deduzdos a partr de EDEs, possam ser efectvamete aplcados ao mudo real. Exstem também vatages (e, certamete, desvatages) em termos puramete estatístcos. Nos modelos a tempo dscreto a espec cação dos dos prmeros mometos codcoas é medata; por exemplo, a espec ção do modelo a tempo dscreto, X t = t + t " t (para t = ; ; :::), ode " t tem uma certa dstrbução de méda zero e varâca um, a méda codcoal de X é t e a varâca codcoal de X é t. As probabldades de trasção, f (X t j X t ; :::) são fáces de estabelecer uma vez espec cada a dstrbução de " t. Nas EDEs esta dâmca codcoal (assocada às observações do processo) em sempre é fácl de obter (sedo sobretudo dfícl obter as probabldades de trasção assocadas às observações do processo). Não obstate, uma das vatages das EDEs é a de que permtem, para um úmero aprecável de casos ão leares, a obteção das dstrbuções estacoáras (quado exstam, obvamete) que são um elemeto chave para a compreesão do feómeo. Em geral, mutas expressões de teresse, como les de probabldade que goveram o processo de dfusão, são determadas, à parte certas codções frotera, apeas a partr da relação dos coe cetes tesmas. Na geeraldade dos casos, é possível estabelecer uma equação dferecal parcal (EDP) cuja solução determa a expressão de teresse. Também se obtém, em geral, uma dade de mometos estacoáros (quado exstam). No caso dscreto, de equações ão leares, (por exemplo, do tpo ARCH) é geralmete dfícl a obteção de resultados lmtes, quer em termos de mometos estacoáros, quer sobretudo em termos de dstrbuções estacoáras. Um exemplo destas d culdades é mostrada por Nelso (990a): para dervar certos resultados asstótcos dos processos ARCH, Nelso cosderou processos de dfusão como soluções lmtes de processos ARCH, quado o tervalo de tempo etre sucessvas realzações do processo tede para zero. Outra vatagem dos modelos em tempo cotíuo é a de Naturalmete, a dâmca tesmal é cohecda.

16 que é fácl estabelecer resultados para qualquer t pertecete a um tervalo. Nos modelos a tempo dscreto, se os dados são auas, os resultados apeas podem referr-se a states múltplos do ao. Neste modelos, supõe-se ada que o tervalo etre as observações é costate. Idepedetemete, das vatages ou desvatages dos modelos em tempo dscreto versus tempo cotíuo, a questão metodológca é: os dados ecoómcos devem ser modelados por modelos em tempo dscreto ou em tempo cotíuo? Para respodermos a esta questão é pertete terrogar se as varáves ecoómcas evoluem em tempo cotíuo ou em tempo dscreto e se as suas trajectóras são cotíuas ou dscretas. Idepedetemete da frequêca com que observamos o feómeo, parece-os pací co admtr que as varáves ecoómcas evoluem trsecamete em tempo cotíuo mesmo que as trajectóras possam exbr descotudades, pos os processos latetes geradores das varáves ecoómcas são cotíuos. Por exemplo, as decsões dos agetes, a formação, os gostos, a tecologa [ver Ross (989) ctado em Sawyer (993) e Cox et al. (985)] são quase certamete processos cotíuos o tempo. A ecooma ão pára, obvamete, etre duas observações do processo; da mesma forma, a ecooma ão evolu de acordo com as observações dspoíves do processo. Uma questão dferete é saber se as trajectóras dos processos ecoómcos são cotíuas. Em geral, parece-os que as séres ecoómcas do tpo PIB, cosumo, vestmeto, devem exbr trajectóras cotíuas o tempos pos, a evolução dessas varáves é determada por uma (quase) dade de agetes (heterogéeos) que, o seu cojuto, causam a evolução cotíua desses processos. Cotudo, algumas séres aceras têm provavelmete trajectóras descotíuas, sto é, evoluem através de saltos aleatóros o tempo (por exemplo, uma cotação de uma acção sujeta a reduzdas trasacções ão está cotuamete a alterar de valor). Mesmo estas crcustâcas, Bergstrom (993) susteta que o modelo em tempo cotíuo (com trajectóras cotíuas) poderá ser uma boa aproxmação ao feómeo em estudo. Certamete, é preferível ao modelo em tempo dscreto (com tervalos xos etre as observações). Covém este mometo delmtar o objecto de estudo desta tese. Esta tese ão trata de questões aceras lgadas à teora das EDEs, embora se apresetem pstas para uma evetual cursão a teora acera, como por exemplo, a determação do preço das opções a partr de certas equações desevolvdas este trabalho. Também esta tese ão trata de questões ecoómcas, embora a ossa aplcação das taxas de câmbo se sugra uma teora de badas cambas mplíctas para o Marco/Dólar. Esta tese trata sobretudo da questão da modelação de séres aceras através de EDEs, como uma alteratva à modelação em tempo dscreto, para a compreesão da dâmca do feómeo em estudo. Cocretamete, o objectvo deste trabalho cosste em apresetar ovos métodos de estmação dos parâmetros de EDEs e ovos modelos de EDEs para varáves aceras. A perspectva cetral do trabalho asseta, portato, a modelação e ferêca estatístca (quase exclusvamete, a óptca da estmação) de séres aceras através de modelos em tempo cotíuo (geralmete através de processos 3

17 de dfusão homogéeos). Embora, como se dsse, ão se trate de questões ecoómcas e aceras, houve a preocupação, a apresetação das EDEs, de focar aspectos essecas da teora ecoómca que sustetam as espec cações propostas. Do poto de vsta metodológco, a sesblzação e a abordagem dos temas é feta uma perspectva ecoométrca e ão matemátca o setdo tradcoal. Just quemos a abordagem dos temas propostos. Porquê ovas EDEs? Na ossa opão, as EDEs propostas a lteratura para a modelação de séres aceras são, em geral, de cetes para captarem a dâmca dos processos embora algum progresso teha sdo realzado, sobretudo com os processos (bvarados) de volatldade estocástca. Na esmagadora maora dos casos, as EDEs uvaradas são leares a méda ( tesmal) e ão leares a varâca ( tesmal). A espec cação da varâca ( tesmal) é, cotudo, quase sempre de cete para captar a dâmca da volatldade. Iremos sustetar, também, que exstem mportates efetos ão leares a méda. Porquê ovos métodos de estmação? A estmação de EDEs baseadas em observações dscretas ão pode, para os casos mas teressates, ser realzada pelo método da máxma verosmlhaça. Assm, e porque a lteratura, a este respeto, pouco estava estabelecdo, propusemo-os vestgar métodos de estmação cosstetes. Etretato, durate os ossos trabalhos, surgram a lteratura ovos métodos de estmação (os mas mportates estão sumarados este trabalho), algus deles com potos comus com os métodos desevolvdos este trabalho. Não obstate, são apresetados métodos que julgamos serem ovos. O trabalho está dvddo em quatro partes: a prmera faz-se uma trodução às EDEs, a seguda aborda-se o problema da estmação, a tercera aalsam-se modelos de EDEs para varáves aceras e, almete, a últma, cosderam-se váras aplcações empírcas dos modelos apresetados, utlzado- -se os métodos de estmação propostos. Num dos apêdces da tese apresetam-se as rotas realzadas o software GAUSS - cobrem pratcamete todos os métodos de estmação descrtos a tese (assm como outros métodos) e permtem ada smular trajectóras de uma qualquer EDE (com qualquer grau de precsão). Na prmera parte do trabalho procura-se apresetar os prcpas resultados da teora das EDEs que drecta ou drectamete são ecessáros os capítulos segutes. Esta prmera parte pode ser dspesada pelo letor (sempre que for ecessáro, vocaremos os resultados expostos esta prmera parte). Na seguda parte do trabalho focaremos o problema da estmação, começado por abordar, resumdamete, algus dos prcpas métodos de estmação dvulgados a lteratura mas recete (capítulo 4). Apresetam-se depos ovas cotrbuções para a estmação de EDEs. Bascamete, um cotexto de descohecmeto das probabldades de trasção (ão sedo permtda, portato, a aplcação do método da máxma verosmlhaça), vamos cosderar os segutes ceáros: ) os mometos codcoas do processo são cohecdos (capítulos, 5 e 6); ) apeas os coe cetes tesmas são cohecdos (capí- 4

18 tulos, 7, 8 e 9) e ) exste total descohecmeto sobre os coe cetes tesmas (estmação ão paramétrca - capítulo 0). Na tercera parte do trabalho propomos ovos modelos de EDEs. Procura-se de r modelos adequados (do poto de vsta estatístco) para modelarem as prcpas regulardades empírcas observadas as séres aceras. Na dscussão dos modelos, apotaremos possíves aplcações para algumas varáves aceras (como, por exemplo, taxa de juro, taxa de câmbo e cotação de acções). Falmete, a últma parte do trabalho, apresetamos duas aplcações que lustram algus modelos e métodos de estmação apresetados em capítulos aterores. Na prmera aplcação, a mas mportate, cosderamos a taxa de câmbo do Dólar/Marco e, a seguda, cosderamos um ídce bolssta. Termamos com algumas coclusões breves. 5

19 pág. em braco 6

20 Parte II Equações Dferecas Estocástcas 7

21 pág. em braco 8

22 Capítulo Aspectos Geras. Processo Estocástco Um processo estocástco é um modelo matemátco para descrever, em cada mometo, depos de um state cal, um feómeo aleatóro. Este feómeo é de do um espaço de probabldade (; F; P ), ode, é o cojuto de todos os estados da atureza (ou ceáros de mercado), F é uma álgebra- de subcojutos de e P é uma probabldade sobre F. Um processo estocástco é etão uma colecção de varáves aleatóras X = fx t (!) ; t [t 0 ; T ]g ; de das sobre um espaço de probabldade (; F; P ) ; cada uma das quas toma valores o espaço de estados (R; B (R)) : Este espaço de estados está equpado com a álgebra- dos cojutos de Borel (podedo-se, aturalmete, geeralzar para um espaço de estados de dmesão d). Para cada t; X t () é uma varável aleatóra,.e., para cada A B (R), tem-se f! : X t (!) Ag F. Para cada! xo, X (!) é uma trajectóra ou realzação do processo. A observação de um feómeo ao logo do tempo coduz ormalmete à observação de uma partcular trajectóra do processo (ou a um cojuto to de valores extraídos da trajectóra). O estudo dos processos estocástcos faz-se, usualmete, cludo o coceto de álgebra-: Por um lado, as probabldades são de das sobre álgebras- e as varáves aleatóras, assume-se, são mesuráves com respeto a essas álgebras-: Exste, o etato, uma razão ão técca para clur o estudo das álgebras- o estudo dos processos estocástcos [ver Karatzas e Shreve (99), p. 3]: os processos estocástcos, ao descreverem a evolução estocástca de um feómeo ao logo do tempo, sugerem que, em cada mometo t = 0, é possível falar de um passado, presete e futuro. Um observador do feómeo, pode falar da hstóra do processo, daqulo que observa o presete e daqulo que poderá observar o futuro. Com vsta, a caracterzar o quato se sabe sobre o processo, é usual, equpar o 9

23 espaço (; F) com uma ltração,.e., uma famíla ff t ; t = 0g de subálgebra- de F: F s F t F para 0 5 s < t < +: Dado um processo estocástco, a ltração mas smples que se pode escolher, é aquela que é gerada pelo própro processo: Ft X = (X s ; t 0 5 s 5 t). Esta álgebra- cotém toda a hstóra do processo X até ao mometo t,.e., é formado pelos acotecmetos que são determados por X até ao mometo t. Na lteratura acera e ecoométrca Ft X é, ormalmete, desgada por cojuto de formação dspoível até ao mometo t. Naturalmete a hstóra do processo ão é esquecda e toda a estrutura da formação é aumetada à medda que se alarga o cojuto de formação, daí que F s F t para 0 5 s < t < +. Falmete, cosderam-se as segutes de ções: X é um processo estrtamete estacoáro se as fuções de dstrbução tas são varates sob traslações o tempo,.e., se, para qualquer e para quasquer t ; t + s [t 0 ; T ] ( = ; :::; ) se tver F t+s;:::;t +s (x ; :::; x ) = F t;:::;t (x ; :::; x ) : Um processo X é estacoáro de a ordem se, E [jx t j] < + para todo o t, E [X t ] é costate e Cov [X ts ; X t ] = (s). Usamos a segute otação: X t L j (P ), j = ; ; :::; se R jx (!)j j dp (!) < + (por vezes escrevemos apeas X t L j ). Para smpl car as otações, um processo estocástco será desgado dferetemete por fx t (!) ; t [t 0 ; T ]g ; X t ou X e, admtr-se-á sempre (sem se explctar) que está de do o espaço de probabldade (; F; P ) e de que t [t 0 ; T ]. Em város casos assumr-se-á mplctamete t 0 = 0: Para avalar probabldades acerca de evetos do tpo X t B assumr-se-á sempre que B B (R) :. Processo de Markov Se X é um processo de Markov etão, para estabelecer, o mometo s; probabldades sobre a evolução futura do processo, toda a formação ateror a s é desecessára se o estado do processo o mometo s for cohecdo. Por outras palavras, «(:::) dado um processo de Markov, o passado e o futuro são estatstcamete depedetes quado o presete é cohecdo (:::)», Arold (974), p. 9. Cosdere-se, por exemplo, uma partícula suspesa um meo homogéeo. Se o mometo s, a posção e a velocdade da partícula forem cohecdas, tora-se desecessáro cosderar toda a trajectóra ateror da partícula com vsta a estabelecer a sua evolução provável a partr do mometo s. Formalmete, X é um processo de Markov se [Arold (974), p. 9]: Observe-se que ão basta cohecer só a posção ou só a velocdade. Por vezes sucede que determado processo ão é de Markov, mas esse processo jutamete com outro pode de r um processo de Markov. 0

24 P X t Bj Fs X = P [Xt Bj X s ] ; para t 0 5 s 5 t 5 T: Vale, também, P [X t Bj X t ; :::; X t ] = P [X t Bj X t ] para t 0 5 t < ::: < t 5 t 5 T. Seja P [X t Bj X s = x] = P [s; x; t; B] (s 5 t): P [s; x; t; B] é desgada por probabldade de trasção se a aplcação B! P [s; x; t; B] é uma probabldade em B (para s, t e x xos) e a aplcação x! P [s; x; t; B] é mesurável-b (para dado B B; s e t xos). Cocretamete, P [s; x; t; B] forece a probabldade de que o processo se ecotre o cojuto B o mometo t dado que, o mometo s 5 t o processo se ecotrava o estado x: Obvamete, o caso t = s, P [s; x; s; B] = se x B e P [s; x; s; B] = 0 se x = B (.e., o estado do processo ão se altera um tervalo de tempo de comprmeto zero). Ver ca-se ada a equação de Chapma-Kolmogorov, P [s; X s ; t; B] = R R P [u; y; t; B] P [s; X s; u; dy] : Caso exsta a desdade de trasção,.e., p (s; x; t; P [X t 5 yj X s = x] (este caso, ecessaramete, s < t), tem-se P [s; x; t; B] = R p (s; x; t; y) dy. A equação de Chapma-Kolmogorov é agora B p (s; x; t; y) = R p (s; x; u; z) p (u; z; t; y) dz: R Duas aplcações mportates o caso em que X é um processo de Markov: Dada a dstrbução cal de X t0, P t0 [A] = P [X t0 A], todas as dstrbuções tas de um processo de Markov podem ser obtdas a partr das probabldades de trasção e da dstrbução cal. Exemplos: Z P [X t B] = P [t 0 ; x; t; B] P t0 [dx] R Z Z P [X t B ; X t B ] = P [t ; x ; t ; B ] P [t 0 ; x 0 ; t ; dx ] P t0 [dx 0 ] : R B Seja p (Xt ;X t ;:::;X t ) (x t ; x t ; :::; x t ) = p t;:::t (x t ; x t ; :::; x t ) a desdade cojuta do vector (X t ; X t ; :::; X t ) ode t 0 5 t < ::: < t : Etão, p t;:::t (x t ; x t ; :::; x t ) = p tjt ;:::;t x t j x t ; x t ; :::; x t p t jt ;:::;t x t xt ; x t ; :::; x t :::pt (x t ) Também é usual escrever-se B-mesurável.

25 e, devdo à propredade de Markov, tem-se, p t;:::t (x t ; x t ; :::; x t ) = p tjt x t j x t p t jt x t xt :::pt (x t ) : Esta propredade tem aplcação drecta a costrução da fução de verosmlhaça. Um processo de Markov X dz-se homogéeo (em relação ao tempo) se [ver Arold (974), p. 33] P [s + u; x; t + u; B] = P [s; x; t; B] e, este caso, as probabldades de trasção depedem apeas de x, t s e B. Quer dzer, para avalar probabldades codcoadas acerca da posção do processo um dado mometo, apeas teressa saber o hato t s e ão os partculares valores t e s: Assm, pode-se escrever P [t s; x; B] = P [s; x; t; B] ; 0 5 t s 5 T t 0 : Um processo de Markov X t é estacoáro para t [t 0 ; T ] sse [ver Arold (974), pp ] ) X t é homogéeo, ) exste uma dstrbução varate P 0,.e., P 0 (B) = R R P (t; x; B) P 0 (dx) ; t [0; T t 0 ] e ) X t0 tem dstrbução P 0. Permtdo agora que T = +, se exstr uma dstrbução varate P 0, tem-se, para qualquer dstrbução cal, lm P [X t B] = P 0 (B) (.) t!+ para todos os B cujas froteras teham probabldade P 0 ula e P 0 é a dstrbução lmte, depedete da dstrbução cal. Quado tal dstrbução varate exste, para a aplcação de algus teoremas lmtes (quado T! +) podemos, com efeto, dspesar a dstrbução da codção cal. A codção ) pode ser colocada os termos segutes quado P 0 tem desdade p: exste uma desdade de probabldade p tal que Z p (y) = p (t; x; y) p (x) dx: (.).3 Processo de Dfusão R A prátca tem revelado que város feómeos físcos, bológcos, ecoómcos são bem modelados através de processos de dfusão. Processos de dfusão são processos de Markov com trajectóras cotíuas quase certamete (q.c.) ode as probabldades de trasção P (s; x; t; B) satsfazem, para cada s [t 0 ; T ], x R e " > 0; [ver Arold (974), pp. 39-4]

26 . lm t#s t s R jy xj>" P [s; x; t; dy] = 0;. exste uma fução a (s; x) tal que: lm t#s t s 3. exste uma fução b (s; x) tal que: lm R t#s t s jy xj5" R (y x) P [s; x; t; dy] = a (s; x) ; jy xj5" (y x) P [s; x; t; dy] = b (s; x) : De acordo com a codção a ocorrêca de saltos statâeos a trajectóra do processo é mprovável: P [jx t X s j > "j X s = x] = o (t s) : As codções e 3 estabelecem que o processo tem uma méda tesmal a (s; x) e uma varâca tesmal b (s; x). A méda tesmal (também desgada por coe cete de tedêca) forece uma medda da velocdade méda do movmeto descrto por X o mometo s dado que X s = x (ote-se, o caso de E [X t X s j X s = x] exstr: (t s) E [X t X s j X s = x] a (s; x)) e a varâca tesmal (também desgada por coe cete de dfusão) forece uma medda da magtude local das utuações de X t X s dado X s = x (ote-se, h o caso de E (X t X s ) h Xs = x exstr: (t s) E (X t X s ) Xs = x b (s; x)). Por outro lado, processos de dfusão têm trajectóras cotíuas q.c., sto é, o cojuto dos! para os quas X t (!) ão é fução cotíua de t tem probabldade zero. O crtéro de cotudade devdo a Kolmogorov - se para todo o s e t; E [jx t X s j a ] 5 c jt sj +b com a; b; c > 0; (.3) dá codções su cetes para a cotudade q.c. das trajectóras de um processo em tempo cotíuo.4 Processo de Weer O processo de dfusão mas smples é o processo de Weer (ou movmeto Browao) com coe cetes tesmas a = 0 e b costate. O processo de Weer padrão W = fw t ; t = 0g correspode ao caso a = 0 e b = e é de do da segute forma: W 0 = 0; W t W s N (0; jt sj) ; Os cremetos do processo são depedetes,.e., as varáves aleatóras W t ; W t W t ; :::; W t W t são depedetes: 3

27 Este processo fo proposto por Bacheler em 900 como modelo de cotações de acções e estudado também por Este cco aos depos, embora a desgação do processo seja atrbuída a Weer, que fo o prmero a de r rgorosamete o processo e a estudar mutas propredades do mesmo. Também é cohecdo por processo de Weer-Lèvy devdo às mportates cotrbuções de Lèvy. Bascamete, qualquer feómeo, ão determístco, que evolua cotuamete o tempo, está sujeto a uma dade de perturbações aleatóras ao logo do tempo. Parte dessas perturbações ão são explcáves e devem-se teramete ao acaso. Podemos admtr que estas perturbações ão explcáves têm méda zero (as perturbações de sal cotráro compesam-se, em méda), são umerosas e aproxmadamete depedetes. Etão, pelo teorema do lmte cetral, o efeto acumulado de todas estas perturbações deve ser aproxmadamete Gaussao de méda zero e varâca proporcoal ao tervalo decorrdo. Por exemplo, seja f" ; = g uma sucessão de varáves aleatóras com E [" ] = 0 e V ar [" ] = (" ; = represetam as perturbações). Etão, pelo teorema de Dosker [ver, por exemplo, Dacuha-Castelle e Du o (986), p. 33], S () P[t] d! t = = = " + (t [t]) " [t]+ W t quado! + (alteratvamete, S = P = " p, com = t=, coverge em dstrbução para Z N 0; t, quado! +, pelo teorema do lmte cetral). Vejam-se algumas das propredades báscas do processo de Weer. Dado que E W t j F W s = E [Wt j W s ] = W s ; o processo de Weer é uma martgala. O processo de Weer tem trajectóras cotíuas q.c.. Com efeto, como W t W s N (0; jt sj) ; h segue-se E jw t W s j 4 = 3 (t s) para todo o s e t e, portato, de acordo com o crtéro de cotudade de Kolmogorov, equação (.3), o processo W tem trajectóras cotíuas q.c. O processo de Weer é ão dferecável q.c., em toda a parte,.e., de do D + f (t) = lm h!0 + f (t + h) f (t) h e f (t + h) f (t) D + f (t) = lm ; h!0 h + o cojuto f! ; para cada t [0; +) tem-se D + W t (!) = + ou D + W t (!) = g cotém um acotecmeto F F com P [F ] = [ver Karatzas e Shreve (99), p. 0]. Utlzado a formação da le do logartmo terado [ver Arold (974), p. 48] é possível ver também que, para cada t xo, D + W t (!) = + ou D + W t (!) =. Note-se que, para cada t xo, a dstrbução de (W t+h W t ) =h N (0; = jhj) dverge quado h! 0, ou seja (W t+h W t ) =h ão pode covergr para ehuma varável aleatóra com probabldade. A ão dferecabldade do processo de Weer resulta da sua eorme utuação local. As varações quadrátcas de quasquer trajectóras o tervalo [s; t] covergem (por exemplo, em méda quadrátca) para t s,.e., dada a decomposção s = t () 0 < t () ::: < t() 4 = t e

28 = max t () k t () k ; tem-se (para smpl car, abreva-se t () para t ) P = W m:q: t W t! (t s) quado! 0 [ver Arold (974), pp ]. Este resultado legtma a otação bastate utlzada (dw t ) = dt: (.4) As trajectóras do processo de Weer têm varação lmtada um qualquer tervalo de tempo to. Cosderado a decomposção apresetada o poto ateror, por exemplo, de acordo com a regra t = s + (t s), = 0; ; :::;, tem-se X = X W t W t 5 max Wt W t Wt =;::; W t : = Como o lado esquerdo da expressão ateror coverge, atededo ao poto ateror, e como max Wt =;::; W t! 0 dado que as trajectóras são cotíuas q.c., etão (a úca escolha possível é) X Wt W t! + q.c. quado! + = [ver Arold (974), pp ]. Itutvamete este resultado revela que as rregulardades do processo de Weer matêm-se mas ou meos costates qualquer que seja a escala de observação do processo (observe-se o paralelsmo com os fractas de Madelbrot). Dado que o processo W ão é dferecável, ão faz setdo escrever dw t =dt (e, a verdade esta dervada ão é um processo estocástco) a meos que se terprete t = dw t =dt (ruído braco em tempo cotíuo) e W t como processos estocástcos geeralzados [Arold (974), p. 50]. Neste caso, E [ t ] = 0, E t t+h = (h) (ode (h) é a fução delta de Drac: (0) = +, (x) = 0 se x 6= 0). Este últmo resultado dca que o processo ruído braco é ão autocorrelacoado por mas pequeo que seja h o que só é possível devdo à extrema rregulardade do processo ruído braco. Um processo em tempo cotíuo com estas (estrahas) característcas d clmete se magará como tedo exstêca físca e a verdade t só pode coceber-se como um processo estocástco geeralzado. A desgação ruído braco provém do facto de que a desdade espectral é costate (daí a aaloga com a luz braca que também tem desdade espectral costate). Os ruídos aturas são possvelmete ruídos colordos (com autocovarâca ão ula) mas se admtrmos que as autocorrelações decaem rapdamete podemos aproxmá-los por ruídos bracos [ver Brauma (997)]. Note-se: por vezes escreve-se W t = R t 0 udu e dw t = t dt mas evtaremos estas expressões pos a teora das equações dferecas estocástcas pode apresetar-se sem o recurso a processos estocástcos geeralzados. 5

29 .5 Itegral de Ito.5. Itrodução Cosdere-se agora um processo de dfusão X caracterzado pelos coe cetes tesmas a e b: Como X evolu cotuamete o tempo, o processo X é susceptível de ser escrto através de uma equação dferecal (estocástca devdo ao facto de X depeder de!). Como escrevê-la? De uma forma ão rgorosa, partdo das de ções dos coe cetes tesmas E [X t+h X t j X t = x] a (t; x) h h E (X t+h X t ) Xt = x b (t; x) h vê-se que a equação X t+h X t a (t; x) h + b (t; x) (W t+h W h ) é compatível com as de ções dos coe cetes tesmas (com h pequeo). Fazedo agora h! 0 obtém-se a chamada equação dferecal estocástca (EDE): dx t = a (t; X t ) dt + b (t; X t ) dw t (.5) para t [0; T ] (para facltar t 0 = 0), com a codção cal X t0 (!) = X 0 (X 0 pode ser uma costate ou uma varável aleatóra e, este últmo caso, mpomos, X 0 L e X 0 é depedete do processo de Weer). Como uma equação dferecal é uma forma de escrever uma equação tegral, a equação (.5) é equvalete a X t = X 0 + Z t 0 a (u; X u ) du + Z t 0 b (u; X u ) dw u : Para! xo (X t = X t (!)), o prmero tegral pode ser terpretado como um tegral de Rema- -Steltjes mas o segudo ão. Com efeto, como as trajectóras do processo de Weer tem varação lmtada um qualquer tervalo de tempo to, o segudo tegral ão pode, em geral, ser terpretado como um tegral de Rema-Steltjes a meos que b seja uma fução su cetemete alsada - por exemplo, se b for uma fução (dferecável) que apeas depeda de t (ão estocástca). Neste caso cocreto, qualquer aproxmação do tpo, S = P = b ( ) W t W t para t0 5 t 5 ::: 5 t = t e t 5 5 t, coverge para o mesmo valor, quado = max (t t )! 0 (recorde-se que os states t são costruídos por forma a que, quado! + )! 0), e o tegral Rema-Steltjes está bem de do. Por exemplo, R t t 0 dw u = W t W t0 : Nestes casos, quado b = b (t) é dferecável é válda a fórmula habtual de tegração por partes: R t t 0 b (u) dw u = b (t) W t b (t 0 ) W t0 R t t 0 _ b (u) Wu du. A 6

30 stuação é bem dferete quado a fução b é tão rregular quato a varável de tegração. Por exemplo, pode-se provar que R t t 0 W u dw u ; terpretado como o lmte das somas S = P = W W t W t, em méda quadrátca (m.q.), depede da escolha dos potos termédos [ver Arold (974), pp ]. Escolhedo, = ( a) t + at ; 0 5 a 5 ; tem-se m:q: S! W t Wt 0 + a (t t 0 ) quado = max (t t )! 0 (! +). Em partcular, a escolha a = = (.e., = = (t + t )) coduz ao Itegral de Stratoovch e as regras de tegração usuas matêm-se váldas. A escolha a = 0 (.e., = t é uma martgala. ) coduz ao tegral de Ito, que é geralmete preferível, pos é ão atecpatvo e o tegral.5. De ção do Itegral de Ito Va vestgar-se em que crcustâcas o tegral de Ito R t 0 b (s;!) dw u está bem de do, cocretamete, va aalsar-se certo tpo de fuções b para as quas o tegral de Ito está bem de do como o lmte em méda quadrátca de certas somas. Seja ff t ; t = 0g (por coveêca cosdera-se t 0 = 0) uma famíla de subálgebras- de F completas com respeto à probabldade P tal que,. (W u ; 0 5 u 5 t) F t F;. s 5 t ) F s F t ; 3. F t é depedete de (W u W t ; u = t) : Nestas crcustâcas ff t ; t = 0g é desgada por famíla ão atecpatva (ote-se que os acotecmetos cluídos em F t ão atecpam a evolução posteror a t do processo de Weer, sto é, F t é depedete de (W u W t ; u = t)). É usual cosderar-se F t = (X 0 ; W u ; 0 5 u 5 t), ode () represeta a álgebra completva da álgebra gerada por () e X 0 é a codção cal. A famíla ão atecpatva permte agora de r fuções ão atecpatvas. A fução b (s;!) : [0; t]! R mesurável em (s;!) é desgada por ão atecpatva se b (s; ) é mesurável-f s para todo o s [0; t] : Por exemplo, b (s; ) = W s é ão atecpatva equato b (s; ) = W s+h para h > 0 é uma fução atecpatva pos ão é mesurável-f s. Seja H = H [0; t] o cojuto das fuções ão atecpatvas de das em [0; t] para as quas as trajectóras b (;!) ver cam Z t 0 Z b (s; ) dp ds = Z t 0 E b (s; ) ds < +: 7

31 Com a orma kbk = R t 0 E b (s; ) ds ; H é um espaço vectoral ormado completo (espaço de Baach) e mesmo um espaço de Hlbert (duas fuções são cosderadas guas se o cojuto de elemetos do domío em que elas dferem tver medda- P ula, ode é a medda de Lebesgue,.e., b é cosderada gual a b se kb b k = 0). A de ção do tegral de Ito faz-se agora em dos passos: começa-se por de r o tegral de Ito para fuções em escada (ode a de ção do tegral é drecta e óbva) e, em seguda, por passagem ao lmte, estede-se a de ção para fuções arbtráras do cojuto H. A fução b H (por vezes, escrevemos b (s;!) a forma b (s) ou smplesmete b) é desgada por fução em escada se exste uma decomposção 0 = t 0 < t < ::: < t = t tal que b (s) = b (t ) para todo o s [t ; t ) ode = ; :::; (portato, estas fuções são costates e guas a b (t ) o tervalo [t ; t )). Para estas fuções de escada o tegral de Ito de e-se da segute forma: I (b) = Z t 0 b (s;!) dw s = X b (t ) W t W t : = Note-se que o tegral é sesível à decomposção escolhda e, este caso, a escolha do poto termédo é rrelevate, pos b é costate em cada subtervalo da decomposção. Recorredo às propredades do processo W, tem-se que o tegral I (b) ver ca: e E [I (b)] = X E b (t ) W t W t = 0 = E I (b) = = = X = X + E hb (t ) W t W t X = j=+ E b (t ) b (t j ) W t W t Wtj W tj X E b (t ) (t t ) = Z t 0 E b (s) ds: (.6) A questão agora é de r o tegral de Ito para fuções arbtráras pertecetes ao cojuto H. Qualquer fução b de H (b pode ser cotíua em m.q. ou ão) pode ser aproxmada por uma sucessão de fuções em escada b H : Cocretamete, o cojuto das fuções em escada é deso em (H ; kk), 8

32 .e., lm!+ Z t lm!+ 0 kb (s) b (s)k = 0, ou h E jb (s) b (s)j ds = 0 (.7) Algumas escolhas são óbvas: se b (;!) é cotíua em m.q. (.e., E b (;!) é cotíua), pode-se escolher b (s) = b t para t 5 s < + t, e é óbvo que E hjb (s) b (s)j! 0 quado! +; o que mplca (.7) (pelo teorema da covergêca domada de Lebesgue 3 ). Ver Kloede e Plate (99), pp ou Arold (974), pp o caso em que b (;!) ão é cotíua em m.q. e respectvas demostrações. A stuação é, portato esta: para vestgarmos R t 0 b (s;!) dw u propomos que b seja aproxmada por b e, desta forma, a aálse, cde, um prmero passo sobre I (b ) = R t 0 b (s) dw s (cuja de ção está já estabelecda e se sabe calcular). Se I (b ) covergr (em m.q.) para uma varável aleatóra I quado! +, a de ção de R t 0 b (s;!) dw u é óbva: R t 0 b (s;!) dw u = l..m.!+ I (b ) ode l..m. desga lmte em m.q.. Para tal é precso provar, em prmero lugar, que I (b ) coverge em m.q.. Se h E ji (b ) I (b m )j! 0, quado ; m! +; etão I (b ) é uma sucessão de Cauchy o espaço L, pelo que tem lmte, dgamos, I (b) ; em m.q. Para provar este resultado, observe-se que h E ji (b ) I (b m )j = E I (b b m ) (atededo a I (f ) I (f ) = I (f f ) ) = 5 Z t 0 Z t 0 h E jb (s) b m (s)j ds [ver equação (.6)] h E jb (s) b m (s)j ds + Z t 0 h E jb (s)! 0 quado m;! + [ver equação (.7)]. b (s)j ds O tegral de Ito de e-se agora como a varável aleatóra I (b) tal que 3 Ver teorema..3 de Kloede e Plate (99), p. 57. Adaptado este teorema para o espaço ([0; T ] ; A; ) ; ode A é a álgebra de Borel em [0; T ] tem-se, lm f = f mplca lm R!+!+ [0;T ] fd = R [0;T ] fd (dado que as codções do teorema são váldas o caso presete). 9

33 Z t 0 b (s) dw s = l..m.!+ Z t 0 b (s) dw s = I (b) (.8) R h t ode b H é uma fução em escada que ver ca lm!+ 0 E jb (s) b (s)j ds = 0: O tegral de Ito tem outras de ções (baseadas outros modos de covergêca, mas o essecal, os gredetes são os mesmos: fuções ão atecpatvas, aproxmação de b através de uma sucessão de fuções em escada, etc.). Dada uma fução b H ; a escolha da sucessão aproxmadora em escada ão é úca; o etato, se b H é cotíua em m.q., a escolha mas smples é aquela que resulta da própra fução, a saber b (s) = X b (t ) I [t ;t ) (s) : Assm, para este tpo de fuções, podemos de r o tegral de Ito através de Z t 0 = bdw = l..m.!0 X b (t ) W t W t = ode 0 = t 0 < t < ::: < t = t e = max (t t ). Por exemplo, para calcular R t 0 W sdw s cosdera-se X = W t W t W t = W t X = W t W t (o somatóro é reordeado por forma a que os somatóros possam ser faclmete avalados em méda quadrátca). Como E " X = W t W t # = X = h E W t W t = X (t t ) = t = e V ar " X = W t W t # = = = X = X = h V ar W t W t h h 4 E W t W t E W t W t X (t t )! 0 (! 0) = tem-se R t 0 W P sdw s = l..m. = W W t W t W t = t!0 t : 30

34 .5.3 Propredades do Itegral de Ito Admta-se que b H e seja X t = R t bdw. Ver ca-se etão 0. X t é mesurável-f t ;. X t tem trajectóras cotíuas q.c.; 3. E [X t ] = 0; 4. X t é uma martgala com respeto a F t ; 5. E R Xt t = 0 E b ds; 6. E [X t X s ] = R m(t;s) 0 E b ds; 7. Se b ão depede de!; etão X t N 0; R t 0 b ds : A demostração destes resultados pode ver-se (por exemplo) em Arold (974), p. 8 e segutes e em Kloede e Plate (99), p. 87 e segutes. O resultado obtém-se a partr da de ção do tegral de Ito [ver equação (.8)] e do facto de as fuções em escada b serem mesuráves-f t. caso covém dstgur o tpo de fução b. No Em partcular, se b é uma fução em escada tem-se X t = P = b (t ) W t W t ; e a cotudade ver ca-se, tedo em cota que Wt é cotíuo q.c. O caso 4 ver ca-se se E [X t E [X t X s j F s ] = 0. Ora Z t X s j F s ] = E s bdw F s pos R t s bdw é depedete de F s, aplcado-se depos o resultado 3. Z t = E bdw = 0 s.6 Equações Dferecas Estocástcas Cosdere-se uma EDE a forma dx t = a (t; X t ) dt + b (t; X t ) dw t ; X t0 (!) = X 0 (.9) (por coveêca pomos t 0 = 0), ou equvaletemete, X t = X 0 + Z t a (s; X s ) ds + Z t 0 0 b (s; X s ) dw s : (.0) Assume-se que: X t é um processo estocástco em R; W é um processo de Weer de dmesão (as geeralzações são medatas), t 5 T < +, a e b são mesuráves em [0; t]r; F t = (X 0 ; W u ; u 5 t) e 3

35 X 0 é depedete de W t : Para (t; x) xo admte-se que a (t; x) e b (t; x) são depedetes de!,.e.,! aparece apeas drectamete os coe cetes a forma a (t; X t (!)) e b (t; X t (!)) : O caso a (t; X t ; W t ) e b (t; X t ; W t ) pode ser reduzdo ao caso em estudo, sedo apeas ecessáro, para o efeto, cosderar 0 um ovo processo estocástco Y t = X t W t [ver Arold (974), p. 0, sobre este caso e referêcas sobre outras geeralzações]..6. Exstêca e Ucdade das Soluções Um processo estocástco é desgado por solução da equação (.9) ou da equação (.0) o tervalo [0; T ] se,. X t é mesurável-f t ;. As fuções a (t;!) = a (t; X t (!)) e b (t;!) = b (t; X t (!)) pertecem a H (ver poto.5.); 3. A equação (.0) ver ca-se para cada t [0; T ] : A stuação é a segute [ver Arold (974), p. 0]: por um lado exstem os coe cetes a e b que determam o sstema; por outro lado, exstem dos elemetos aleatóros depedetes, X 0 (!) e W (!) : Para quase todas os valores de X 0 e para quase todas as trajectóras de W (!) obtém-se, através de a e b, o caso de exstr uma solução úca, a trajectóra de um ovo processo X (!) de do em [0; T ] que satsfaz (.9) e (.0). Quer dzer, exste, uma fução, dgamos, g, ucamete determada por a e b, tal que X t = g (X 0 ; W s ; s 5 t) : Em que crcustâcas exste uma úca solução do processo? Para o efeto, é su cete que se ver que o segute: exste uma costate k > 0 tal que, para todo o t [0; T ], x; y R (Codção de Lpschtz) ja (t; x) a (t; y)j + jb (t; x) b (t; y)j 5 k jx yj, e (.) (Restrção de Crescmeto) a (t; x) + b (t; x) 5 k + x : (.) Estas hpóteses permtem provar o segute: () dadas duas soluções X t e ~ X t ; costruídas a partr do mesmo valor cal, e do mesmo processo de Weer, P " sup 05t5T X t ~ Xt > 0 # = 0 3

36 ou seja, permtem provar a ucdade das soluções (ou equvalêca q.c. das soluções); () exstem soluções cotíuas para um dado processo de Weer. Para o efeto cosdera-se o método (clássco) das aproxmações sucessvas: X (0) t = X 0 e X () t = X 0 + R t 0 a ( ) s; X s ds + R t 0 b ( ) s; X s dw s e a dea cosste em provar que X () t! X t q.c. uformemete em [0; T ] [ver Arold (974) ou Kloede e Plate (99)]. A codção de Lpschtz é trvalmete satsfeta se as dervadas parcas de a e b com respeto a x forem cotíuas e lmtadas, para cada t [0; T ] (basta aplcar o teorema do valor médo do cálculo dferecal). Por outro lado, se a e b ão são cotíuas em x, a codção de Lpschtz falha. A codção de Lpschtz pode dar lugar a outras codções mas fracas [ver Arold (974), p. ]. A restrção de crescmeto evta que a solução possa explodr para algum t [0; T ]. Por exemplo, com b = 0 e a = x (que ão satsfaz a restrção de crescmeto), a solução é X t = c t para X0 = c > 0 (codção cal). O processo X t explode quado t = c e as trajectóras apeas estão de das o tervalo 0; c. Quado a codção de Lpschtz e a restrção de crescmeto se ver cam para qualquer tervalo to [0; T ] [0; +) etão X t tem uma solução úca, desgada solução global, o tervalo [0; +) : Para termar este poto, observe-se que a solução da equação (.0) satsfaz X t = X s + Z t s a (u; X u ) du + Z t s b (u; X u ) dw u (.3) ode 0 = t 0 5 s 5 t 5 T. Se X t (t 0 ; X 0 ) satsfaz a equação (.0) etão, à semelhaça das equações dferecas ordáras, ver ca-se a propredade de semgrupo : X t (t 0 ; X 0 ) = X t (s; X s (t 0 ; X 0 )) :.6. Fórmula de Ito Já vmos que o tegral de Ito coduz a resultados esperados, por exemplo, R t 0 W sdw s = = W t t e as regras usuas do calculo de tegração (= Wt =) ão são váldas. Neste exemplo, a equação tegral pode apresetar-se a forma dferecal d Wt = Wt dw t + dt e, observa-se que as regras usuas de dferecação (= W t dw t ) também ão são váldas. Estas regras serão explcadas, suctamete, através da fórmula (ou teorema) de Ito. Cocretamete, a fórmula de Ito permte passar de uma EDE dx t = a (t; X t ) dt + b (t; X t ) dw t para uma outra dy t = ~a (t; Y t ) dt + ~ b (t; Y t ) dw t (fução do mesmo processo W ) dada uma aplcação Y t = U (t; X t ), ode U ver ca certas propredades. A fórmula de Ito é, portato, uma regra de dferecação da fução U (t; X t ) o caso em que X satsfaz uma EDE. Nas codções do teorema de Ito, para o caso udmesoal, [ver Arold (974), pp. 90-9], seja U (t; x) uma fução real com dervada parcal U t cotíua em t e com seguda dervada parcal U xx cotíua em x. Etão, du = U t + U x a + U xxb dt + U x bdw: (.4) 33