Derivada de uma matriz em ordem a um escalar. Derivada de um escalar em ordem a uma matriz DERIVAÇÃO COM MATRIZES. Y = y m. X = x m X = y = = b.

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1 DEFINIÇÃO Dervada de uma matrz em ordem a um escalar [ ] Y = y m : ; y = f() z Y z = y : m z DEFINIÇÃO 2 Dervada de um escalar em ordem a uma matrz h = f( X ) ; [ ]: X = x m EXEMPLO [ y] h h m X = x : y = : m [ b] b = : m () h= f y = b y = y b= b y h y b b 2 = = b b m h [ b b b m ] y = = b 2 C

2 X = x m EXEMPLO 2 [ ]: ( ) h= f X = x = m X EXEMPLO 3 [ ]: h = [] : m = J m X X = x = ( X) = ( X) = h f tr x h X = I X = x EXEERCÍCIO [ ]: = ( X) = ( X X) = 2 h f tr x h X = C2

3 DEFINIÇÃO 3 Dervação de um vector em relação a outro y:m ; x: ; y = f () x y y y x x y = x : m = x y y x m x y y = x x EXEMPLO 4 y = A x y:m ; A:m ; x: a x a y x = x ( ) = a m x a m A = ; y = x a () y y = x x = A ; y = x A = a x () C3

4 DEFINIÇÃO 4 Dervada de um produto de matrzes U:m ; V: p U= f() z ; ; V=g() z ( ) U V = U V + V U z z z EXEMPLO 5 Regressão lear e estmação por mímos quadrados Modelo de regressão: y = X p+ e X:m ; p: ; y:m Equações ormas: X X p = X y Soma de quadrados relatva ao modelo: Q m = X p X p = p X X p ; X X=M ( ) ( ) m ( X p ) = ( X p ) + ( X p ) p p p ( X p ) C4

5 X p= x ( ) p = ( X p ) p ( X p ) p = x ( ) = x ( ), =,, m ( ) ( ) p = x X p + p X x ( ) ( ) escalar escalar ( X p) = 2x ( ) p Q m 2x = 2x ( ) ( X p ) x () = 2 ( ) X p ( X p ) x () ( ) = 2 X X p = 2 M p= 2 X y NOTAS: M = X Xé uma matyrz smétrca; uma matrz smétrca pode sempre escrever-se como produto de duas matrzes traspostas. TEOREMA M matrz smétrca Q = pm p p == 2 M p ; p == 2 p M C5

6 TEOREMA 2 A: ; p: ; q: Q = pap = p a p = forma quadrátca B= paq = p a q = forma blear p ( ) = A+ A p B p = A q EXEMPLO 6 ( pp ) p = ( p I p) = ( I + I) p=2p p EXEMPLO 7 Ídce de Selecção (Smth, 936; Hazel, 943) Valor geétco agregado: T = a g a = vector de pesos ecoómcos g = vector de valores geétcos y = vector de regstos feotípcos PROBLEMA: Costrur uma combação lear T = byde modo que a correlação etre T e T sea máxma. C6

7 Sea: E() g =µ ; E() y = X p cov() g = G (covarâca geotípca) cov() y = V (Covarâca feotípca) Tem-se ( ) = a E( g) = a µ ; E() T E() ET = b y = b X β cov( T ) = a G a ; cov() T = bvb ( ) ( ) ( ) cov TT, = cov a g,b y =a cov g,y b = a C b (, ) = f() corr TT a C b a G a b V b = b l f b a C b a G a b V b 2 2 () = l( ) ( ) ( ) () l f b b C a = a C b V b bvb C7

8 bvb Igualado a zero e fazedo k = obtém-se a equação a C b V b= C a b= V b= V k k k C a TEOREMA 3 Dervada de matrzes versas. M: matrz ão-sgular M = f () z ( M M) z ( M M) z I = = z [] 0 M M M M = + = z z [] 0, dode: ( M ) z M = M M z DEFINIÇÃO 5 Q = f() y ; y = g() x y:m ; x: = x x y m m ; x = y x m m C8

9 EXEMPLO 8 Estmação por mímos quadrados poderados y = X p+ e ; E() e = 0 ; cov() e = V ( y X p) V ( y X p) Q = ; V smétrca p = p y X p ( y X p) ( ) (v. Defção 5) ( X ) 2V ( y X p) = (v. Exemplo 4) (v. Teorema ) Mmzate de Q: p = 0 ; 2 Q X V X p p = p= X V X X V y ( ) ( ) C9

10 OUTROS RESULTADOS: X = X J X ; se os elemetos de X são dsttos x = X J X X ( J + J ) X,, = ; se X é smétrca X x = C ; se os elemetos de X são dsttos = C, = 2C, ; se X é smétrca ( ) tr XY X = Y ; se os elemetos de X são dsttos = Y +Y- ( Y) dag ; se X é smétrca tr X [ C ] X = ; C = cofactor de X ( ) = X X C0

11 EXERCÍCIO 2 X: p ; y: ( ) p= X X X y y = X p X X X X é dempotete ( ) [ I X X X X ] ( ) é dempotete ( ) y y y = 0 EXERCÍCIO 3 Q = x A x + x B y ; x = ; y = Q ( + ) = x A B x ; A = Q = ( x A y) V ( x A y) + x B y ; y = Q = ( A x B y) 2 ; X = ; Y = M () z = f ; X= g () z ; A=M X M A z = ; A z = C

12 Hessaos DEFINIÇÃO 6 Hessao. () h= f x ; x: p 2 h p x : ; H = h h h = x x x x EXEMPLO 9 Q = f() y = y y y = 2y H Q = y 2y=2 y y = 2 I Potos de Estacoaredade de Q = f() x : Calcular Q x Resolver o sstema Q x = 0 H Q = 2 Q > 0 h é o poto de mímo x x H Q = 2 Q < 0 h é o poto de máxmo x x C2

13 EXERCÍCIO 4 Sedo Q = ( a B x) ( a B x ), prove que: x = 2B B x 2 B a; [ ] Sedo Q = ( ) ( ) tr a B X a B X, prove que X = 2B B X 2 B A; Prove os resultados da pága C8; Mmze Q = ( a B x) ( a B x ), com as restrções C x = d, pelo método dos multplcadores de Lagrage; tr ( A B C ) B = AC tr ( B A B ) B = A B+A B = 2A B Q = tr( A X Σ X) A=A :q q; X: p q ; Σ: p p X = 2Σ X A C3

14 Jacobaos DEFINIÇÃO 7 Jacobao. Trasformação de matrzes: Y= f ( X) X, Y têm o mesmo úmero (r) de elemetos dsttos: A = y x ;, =,, r ( ) J Y X =abs A EXEMPLO 0 y = A x ; x: p ; y: p ( ) J y x =abs A Jacobaos de trasformações usuas Y = A X Y: p q ; A: p p ; X: p q J( ) Y X =abs A ; q Y = X B Y: p q ; B:q q ; X: p q J( ) Y X =abs B ; p C4

15 Y= A X B Y: p q ; A: p p ; B:q q ; X: p q J( ) Y X = abs A abs B ; q p Y = A X A Y: p q ; X: p p J( ) Y X = abs A p+ ; A 0 ; Y = α X(mudaça de escala) Y: p p ; X: p q J( Y X) pq =α ; Y = α X Y: p p ; X: p p ; Y =Y ; X = X J( Y X) p =α 2 ; [ ] J( X Y) J( Y X) = ; C5

16 EXERCÍCIO 5 X= A X = X ; A=A ; X: p p Provar que: J( ) X Y = abs X p+ Sugestões: d( ) d( ) A = A A A ; [ ] J( X Y) J( Y X) = C6

17 TRABALHO PRÁTICO 2 Cálculos Programação Cosdere o modelo lear de regressão: N = + S + = [ S] a a b ε + ε b N = a+ S b+ ε = X p = X p+ e, em que N e S são as coluas N e S da matrz CORK. Forme a matrz X por cocateação das coluas es; Calcule: ( ) p= X X X N; N = X p; e = N N ; e e (erro quadrátco médo); 2 Forme o quadro: S N e C7

18 C8