( ) ( ) ( ) ( ) 4.4- Forma de Newton-Gregory para o polinômio interpolador.

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Fernanda Aranha Barateiro
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1 44- Forma de Newto-Gregory para o poliômio iterpolador No caso em que os ós da iterpolação x 0, x,, x são igualmete espaçados, podemos usar a orma de Newto-Gregory para obter p (x Estudaremos iicialmete o operador de diereças ordiárias: Sejam x 0, x, x, potos que se sucedem com passo, isto é, x j x 0 + j Camamos operador de diereças ordiárias: x x + x ( ( ( ( x ( x + ( x ( x ( x + ( x e aturalmete 0 ( x ( x Da mesma maeira que com as diereças divididas, coecida (x ou coecidos seus valores em x 0, x,, x, podemos costruir uma tabela de diereças ordiárias: x (x ( x ( x x 0 (x 0 ( x 0 x (x ( ( x x 0 x (x ( x x 3 (x 3 ( x etc Exemplo 44: Seja (x tabelada abaixo: 79

2 x (x 5 0 A tabela de diereças ordiárias será: Teorema 44 x (x ( x ( x 3 ( x Se x j x 0 + j, j 0,,,, etão [x 0, x,, x ] Demostração (por idução Para [ x, x ] 0 ( x 0! ( x ( x0 ( x0 + ( x0 ( x0 x x (! 0 ( x Supodo que [x 0, x,, x ] ( 0 (, temos! x, x,, x [x 0, x,, x ] x x 0 ( ( x ( x0 (! (! [ x, x,, x ] [ 0 ] 80

3 ( x 0 + ( x0 (! ( x 0! 44- A Forma de Newto-Gregory i Cosidere a tabela: x x 0 x x (x (x0 (x (x ode os ós de iterpolação são tais que: xj + xj, j 0,,, ( Partido de orma de Newto para p (x e usado o teorema aterior, veriique que: ( x 0 ( x0 p(x (x0 + (x x0 + (x x0(x x + + ( x0 + (x x 0 (x x (x x! que é a orma de Newto-Gregory para o poliômio iterpolador ii Usado a orma de Newto-Gregory para p 3 (x obtea uma aproximação para (7, ode (x é uma ução tabelada a seguir: x (x iii A orma de Newto-Gregory para p (x pode ser simpliicada, se usarmos uma mudaça de variáveis: x x0 s x s x 0 daí, (x x j s + x 0 (x 0 + j (s j Usado essa troca de variáveis, escreva a orma geral para p(x 45- Aálise do erro a Iterpolação Poliomial Como já observamos, ao se aproximar uma ução (x por um poliômio iterpolador de grau, comete-se um erro, ou seja E (x (x p (x para todo x o itervalo [x 0, x ] O estudo do erro é importate para sabermos quão próximo (x está de p (x 8

4 Um mesmo poliômio iterpolador p (x pode iterpolar duas uções (x e (x em x 0 e x, de tal orma que o erro E (x (x p (x possa ser maior que E (x (x p (x, x (x 0, x Isto ocorre pois o erro, este caso, depede da cocavidade das curvas, ou seja, de (x e (x A seguir é posto um teorema que deie a expressão exata do erro quado aproximamos (x por p (x para qualquer Teorema 45 (Teorema do Resto de Lagrage Sejam x 0 < x < x < < x, ( + potos Seja (x com derivadas até ordem ( + para todo x pertecete ao itervalo [x 0, x] Seja p (x o poliômio iterpolador de (x os potos x 0, x,, x Etão, em qualquer poto x pertecete ao itervalo [x 0, x ], o erro é dado por ( + ( ξx E (x (x p (x (x x 0 (x x (x x (x x ( +! ode ξ x (x 0, x Demostração Seja G(x (x x 0 (x x (x x, x [x 0, x ] Etão para x x i temos ( xi p (x i, pois G(x i 0 E (x i 0, dode a órmula do erro está correta para x x i, i 0,, Para cada x (x 0, x, x x i, i 0,,, seja H(t uma ução auxiliar, deiida por H(t E (xg(t E (tg(x, t [x 0, x ] H(t possui derivadas até ordem +, pois: (t possui derivada até ordem + por ipótese e p (t possui derivadas até ordem + ; etão E(t (t p(t possui derivadas até ordem + G(t possui derivadas até ordem +, pois é poliômio de grau + Assim, E (xg(t E (tg(x H(t possui derivadas até ordem + Veriicaremos, a seguir, que H(t possui pelo meos ( + zeros o itervalo [x 0, x ] Para t xi, i 0,,, temos que E (t 0 e G(t 0, dode H(x i E (xg(x i E (x i G(x 0, i 0,,, e, para t x, H(x E (xg(x E (xg(x 0 Assim, x0, x,, x, x são zeros de H(t Cocluido, temos que a ução H(t: i está deiida o itervalo [x 0, x ]; ii possui derivadas até ordem + esse itervalo; iii possui pelo meos + zeros esse itervalo 8

5 Portato, podemos aplicar sucessivamete o teorema de Rolle a H(t, H (t,, H ( (t, a saber: H (t possui pelo meos + zeros em (x 0, x ; H (t possui pelo meos zeros em (x0, x; H ( + (t possui pelo meos um zero em (x 0, x Mas, H(t E (xg(t E(tG(x H ( + (t E (xg ( + (t ( ( t E + G(x Agora, ( + ( ( + ( ( + t t p ( t ( + ( t E (p (ttem grau G(t (t x 0 (t x (t x G ( + (t ( +! Assim, H ( + (t E (x( +! ( + (tg(x Sedo ξ x um zero de H( + (t, H ( + (ξ x ( +!E (x ( + (ξ x G(x 0 ( + ( ξ x E (x G(x ( +! ( + ( ξ x E (x (x x 0 (x x (x x, ξ ( x (x 0, x +! Observamos que, ao aproximarmos (x por um poliômio de iterpolação de grau, o erro cometido está relacioado com a derivada de ordem ( + de (x, o que coirma a observação eita o exemplo 5 Exemplo 45: Seja o problema de se obter l(37 por iterpolação liear, ode l(x está tabelada abaixo: x 3 4 l(x Como x 37 (3, 4, escoleremos x 0 3 e x 4 Pela orma de Newto, temos: p (x (x 0 + (x x 0 [x 0, x ] (x 3 ( p (x (x 3(0877 p (

6 Dado que, com quatro casas decimais l( , o erro cometido é E (37 l(37 p ( Queremos, este exemplo, mostrar que ξ x, que aparece a expressão do erro do teorema aterior é tal que, ξ x (3,4 (, 4 ( ξx E (x (x x 0 (x x, ξ x (x 0, x Para x 37, ( ξ x E (37 (37 3( Agora, (x x Etão, (07( e, como ξ x (3, 4, ξ x teremos ξ x Teorema 45 É atural que, se x 37, ξ x [x 0, x,, x, x] ( + ( ξx, x (x ( 0, x e ξ x (x 0, x +! Demostração vide Ruggiero p Expressão do Limitate para o erro A órmula para o erro, expressa por: ( + ( ξx E (x (x x 0 (x x (x x, ξ ( x (x 0, x +! tem uso limitado a prática, dado que serão raras as situações em que coeceremos ( + (x, e o poto ξ x uca é coecido A importâcia da órmula exata para E (x é teórica, uma vez que é usada a obteção de estimativas de erro para as órmulas de iterpolação, diereciação e itegração umérica Estudaremos a seguir dois corolários do Teorema, que relacioam o erro com um limitate de ( + (x Corolário 45 Sob as ipóteses do teorema, se ( + (x or cotíua em I [x 0, x ], podemos escrever a seguite relação: 84

7 ode M + ( x ( x p ( x ( x x ( x x ( x x 0 + ( +! máx ( + ( x M E x I Vide demostração Ruggiero p 34 Corolário Se além das ipóteses ateriores os potos orem igualmete espaçados, ou seja, etão x x 0 x x x x, ( x p ( x < + M + 4 ( + Exemplo 45: Observe que o majorate acima idepede do poto x cosiderado, x [x 0, x ] Seja (x e x + x tabelada abaixo Obter (07 por iterpolação liear e azer uma aálise do erro cometido x (x p (x (x 0 + (x x 0 [x 0, x ] x 07 (05,, etão x0 05 e x p (x (x (x p ( Neste caso, temos codição de calcular o erro exato, dado por E ( 07 p( ( 07 Os corolários e os orecem as seguites majorações para o erro: a Corolário (em x 07 M E ( 07 ( 07 05( 07 85

8 máx 05, ode M x [ ] ( x e 783 Etão, E ( (realmete, ( b Corolário : para todo x (05,, temos: E < 0085 E ( x ( 05 < M ( que também coirma o resultado obtido para o erro exato 453- Estimativa para o erro Se a ução (x é dada a orma de tabela, o valor absoluto do erro ( x E só pode ser estimado Isto porque, este caso, ão é possível calcular M+; mas, se costruirmos a tabela de diereças divididas até ordem +, podemos usar o maior valor M (em módulo destas diereças como uma aproximação para o itervalo [x ( 0, x ] ++! Neste caso, dizemos que E ( x ( x x 0 ( x x L ( x x (máx diereças divididas de ordem + Exemplo 453: Seja (x dada a orma: x (x a Obter (047 usado um poliômio de grau b Dar uma estimativa para o erro Tabela de diereças x Ordem 0 Ordem Ordem Ordem x x x

9 Deve-se escoler três potos de iterpolação Como 047 (04, 05, dois potos deverão ser 04 e 05 O outro tato pode ser 034 como 06 Escoleremos x 0 04, x 05 e x 06 p (x (x 0 + (x x 0 [x 0, x ] + (x x 0 (x x [x 0, x, x ] 07 + (x (x 04(x 05(045 a p ( (047 b E(047 (047 04(047 05(

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