Matemática. Prova: 05/08/12. Questão 1. Questão 2. Considere os seguintes conjuntos numéricos,,,, = e considere também os seguintes conjuntos:

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1 Prov: 05/08/ Mtemátic Questão Considere os seguintes conjuntos numéricos,,,, = e considere tmbém os seguintes conjuntos: A= ( ) ( ) B= ( ) D= ( ) ( ) Ds lterntivs bixo, que present elementos que pertencem os conjuntos A, B, e D, nest ordem, é : (A) 5 ; 0,5 e. (C) 0; 5 e. (B) 0; 0 e 5. (D) ; e,. Gbrito: Letr D A= ( ) ( ) = ( ) = B= ( ) = D= ( ) ( - ) = A; 0 B; e 5 B A; B;, D. Questão Considerndo os números compexos z e z, tis que: z é riz cúbic de 8i que tem fixo no segundo qudrnte; z é riz d equção x + x = 0 e lm(z ) > 0. Pode-se firmr que z + z é igul : (A). (B) +. (C) +. (D) +.

2 Gbrito AFA Gbrito: Letr A. π + kπ z = 8i = 8 cis π = cis, k = 0,,. 5π como z o Q: z = cis = + i (k = ) 6 x + x = 0 x = ou x = x = ± i ou x = ±, como Im(z ) > 0 : z = i z + z = + i = + 9 =. Questão 8 A sequênci x, 6, y, y + é tl, que os três primeiros termos formm um progressão ritmétic, e os três últimos formm um progressão geométric. Sendo ess sequênci crescente, som de seus termos é: (A) 9 (B) 89 (C) 86 (D) 8 Gbrito: Letr C , y, y + PG y = 6 y + y 6 y 6 = 0 y = 8 ou y = Como sequênci é crescente: y = 8 ( x, 6, y) = ( x, 6, 8) PA x = 8 86 Somndo: =

3 Prov: 05/08/ Questão As rízes d equção lgébric x x + bx + 5 = 0 formm um progressão geométric. Se, b, b 0, então é igul : b (A). (C). (B). (D). Gbrito: Letr D. r, r, rq rízes. q 5 Por Girrd: r = = 7. Como r é riz P (r) = 0 b r r + b r + 5 = 0 r =. Logo, r = Donde =. b Questão 5 Num cmpmento militr, serão instlds três brrcs: I, II, e III. Nels serão lojdos 0 solddos, dentre eles o solddo A e o solddo B, de tl mneir que fiquem solddos n brrc I, n brrc II e n brrc III. Se o solddo A deve ficr n brrc I e o solddo B NÃO deve ficr n brrc III, então o numero de mneirs distints de distribuí-los é igul : (A) 560. (C).680. (B).0. (D).0. Gbrito: Letr B Totl de csos ( B pode estr n brrc): 9! 6! C 9,. C 6,. C, =. =.680 6!!!! Csos em que B fic n brrc: 8! 5! C 8,. C 5,. C, =. = 560 5!!!! Assim os csos pedidos são: =.0.

4 Gbrito AFA Questão 6 Um ddo cúbico tem três de sus fces numerds com 0 dus com e um com. Um outro ddo, tetrédrico, tem dus fces numerds com 0, um com e um com. Sbe-se que os ddos não são vicidos. Se mbos são lnçdos simultnemente, probbiliddes de som do vlor ocorrido n fce superior do ddo cúbico com o vlor ocorrido n fce voltd pr bixo no tetrédrico ser igul é de: (A),5 % (C) 7,5 % (B) 6,6 % (D) 67,5 % Gbrito: Letr A Csos Fvoráveis ={ (,), (,),(,)} # Csos Possíveis = 6. = csos fvoráveis P = = =,5%. csos possíveis Questão 7 Considere s mtrizes A e B, inversíveis e de ordem n, bem como mtriz identidde I. Sbendo que det(a) = 5 e det (I. B. A) =, então o - - t det. (B. A ) é igul : (A) 5. n. (C) 5. n (B). (D) n. 5 Gbrito: Letr B. Pelo teorem de Binet, temos que det(a. B) = det(a), pr A e B mtrizes qudrds de ordem n. Por propriedde de determinntes, segue que det(ka) = k n det A, k. Além disso, temos que - det(a ) = det A, e que det(a T ) = det A. Com isso, escrevemos: det A = 5 det I. det( B ). det A = det( B ) =. det ( I B A) = 5 Logo: t n t n det [ ( B. A ) ] = det[( B. A ) ] = det( B. A ) = n n n = det( B ). det( A ) =.. =

5 Prov: 05/08/ Questão 8 Irão prticipr do EPEMM, Encontro Pedgógico do Ensino Médio Militr, um Congresso de Professores ds Escols Militres, 87 professores ds disciplins de Mtemátic, Físic e Químic. Sbe-se que cd professor lecion pens um desss três disciplins e que o número de professores de Físic é o triplo do número de professores de Químic. Pode-se firmr que: (A) se o número de professores de Químic for 6, os professores de Mtemátic serão metde dos de Físic. (B) o menor número possível de professores de Químic é igul. (C) o número de professores de Químic será no máximo. (D) o número de professores de Químic será mior do que o de Mtemátic, se o de Químic for em quntidde mior ou igul 7. Gbrito: Letr C. Escrevendo como x quntidde de professores de químic, então: químic físic mtemátic x x 87 x Anlisndo s opções: Se x = 6 x = 8 e 87 x =. Portnto, o número de professores de mtemátic não é metde do número de professores de físic. (fls) Tods s vriáveis devem ser miores ou iguis zero. Logo, menor quntidde de professores de químic é zero. (fls) Pr termos o mior vlor de x, devemos ter: x > 0 x < x Logo, o mior x é. (verddeir) Pr que tenhmos mis professores de químic do que de mtemátic, devemos ter: 87 x > 87 x 5x > 87 x > x 8. 5 Logo, devemos ter minimmente 8 professores de químic. (fls) Questão 9 Sejm e b dois números reis positivos. As rets r e s se intercetm no ponto (, b) b Se, 0 r e 0, s, então um equção pr ret t, que pss por (0,0) e tem tngente do ângulo gudo formdo entre r e s como coeficiente ngulr, é: (A) bx+( b )y = 0. (C) x ( + b )y = 0. (B) bx b( + b )y = 0. (D) bx ( + b )y = 0. 5

6 Gbrito AFA Gbrito: Letr D yb ya y O coeficiente ngulr de um ret r é ddo por µ r = = xb x A x em que A= (x,y ) e B = (x, y ) são A A B B pontos de r. Logo: ) Se r pss por (,b) e ( 0 b b,0) µ r = = b ) Se r pss por (,b) e (0, b b ) b µ s = = 0 Se é o ângulo entre r e s, então : tg µ µ b b b r s θ = = = + µ b b rµ s ( + b ) +. Sendo t ret que pss pel origem com coeficiente ngulr igul à tngente de, então: b ( + b ) t = y (tg θ) s y = x bx ( + b )y = 0 Questão 0 Sobre circunferênci de menor rio possível que circunscreve elipse de equção x + 9y 8x 5y + 88 = 0 é correto fimr que: (A) tem rio igul. (B) tngenci o eixo ds bscisss. (C) é secnte o eixo ds ordends. (D) intercept ret de equção. Gbrito: Letr B. x + 9y 8x 5y = 88 = 0 x 8x (y 6y + 9) 9 = 0 (x ) + 9 (y ) = 9 ( x ) 9 + ( y ) =. Dqui, = e b =. Temos um elipse de centro (,) e eixo mior = 6. A menor circunferênci que circunscreve elipse tem diâmetro = 6 e centro (,) Como circunferênci possui centro em (,) e rio, tl circunferênci tngenci o eixo ds bscisss. 6

7 Prov: 05/08/ Questão Dois corredores prtem de um ponto o mesmo tempo e se deslocm d seguinte form: o primeiro é tl, que su velocidde y é dd em função d distânci x por ele percorrid trvés de, se x 00 = + 8 x, se 00 n < x 00 ( n + ) 00 y n n n em que n vri no conjunto dos números nturis não nulos. O segundo é tl que su velocidde y é dd em função d distânci x por ele percorrid trvés de x y = Tis velociddes são mrcds em km/h, e s distâncis, em metros. Assim sendo, mbos estrão à mesm velocidde pós terem percorrido: (A) 800 m. (B) 900 m. (C).000 m. (D).00 m. Gbrito: Letr C. Temos, se x 00 = x + 8 e y x, se 00 n < x 00 ( n + ) = y n n n x Pr termos os dois corredores à mesm velocidde, podemos ter + = e x 00 x = 0. Nesse cso, nenhum dos dois corredores percorreu um distânci. 00 No outro cso, temos: x 8 00 ( ) + = n x n + n x = n n n Devemos ter ind 00n < x 00 (n + ). 00 n ( n + ) n + n Assim, 00n < 00 ( n + ) < e n < 5. n n n 00 5 ter n = e dí x = = 000 m. Como n *, devemos 7

8 Gbrito AFA Questão O gráfico o ldo descreve um função f: A B Anlise s proposições que seguem. I. A = * II. f é sobrejetor se B = [ e, e] III. Pr infinitos vlores de x A, tem-se f(x) = b IV. f( c) f(c) + f( b) + f(b) = b V. f é função pr. x VI. ( ) ( ) f x = e g x = log x São verddeirs pens s proposições: (A) I, III e IV. (C) III, IV e V. (B) I, II e VI. (D) I, II e IV. Gbrito: Letr A. I. Verddeir, pois função está definid em todos os reis, exceto no O. II. Fls, pois se B = [ e, e], todo elemento de B mior que b ou menor que b pertenceri o contr- -domínio, ms não à imgem. lém disso, f deixri de estr bem definid em x = e x =, pois f() e e f( ) = e. III. Verddeir, pois x b, f(x) = b. IV. Verddeir, pois f( c) = b, f(c) = b, f( b) = b e f(b) = b. Portnto, f( c) f(c) + f( b) + f(b) = b ( b) b + b = b. V. Fls, pois f() = e e f( ) = e. Portnto, f() f( ), já que e 0. N verdde, f é função ímpr. VI. Fls, pois pelo gráfico, x (, b) tl que f(x) = d. 8 Questão O gráfico de um função polinomil do segundo gru y = f(x), que tem como coordends do vértice (5, ) e pss pelo ponto (, ), tmbém pssrá pelo ponto de coordends (A) (, 8). (C) (6, ). (B) (0, 6). (D) (, 6). Gbrito: Letr A. Solução: b Sendo f(x) = x + bx + c, temos x v = 5 = 5 b = 0. Então, f(x) = x 0x + c. Como f(5) = e f() =, 5 + c = 5 + c = teremos ind: = e c = 7. + c = = Assim, f(x) = x 0x + 7. Temos f(0) = 7, f() = 8, f(6) = e f( ) = 8. Ds lterntivs, o único ponto pelo qul função pss é (, 8).

9 Prov: 05/08/ Solução: Vértice = (5, ) f(x) = (x 5) + Como f() =, temos =. ( ) + = f(x) = (x 5) + A únic opção que funcion é (, 8) já que f() = ( ) + = 8. Questão No plno crtesino, sej P(, b) o ponto de interseção entre s curvs dds pels funções reis f e g definids por ( ) ( ) x f x = e g x = log x É correto firmr que (A) log =. (C) = log log. log (B) = log (log ). (D) = log log. Gbrito: Letr A. Como P = (, b) é o ponto de interseção entre os gráficos de f(x) e g(x), temos: = log = log log = log log = log log = log log = log log Como log = log, temos : = log log Questão 5 Um piscin com onds rtificiis foi progrmd de modo que ltur d ond vrie com o tempo de π πx πx πx cordo com o modelo f( x) = sen + sen sen em que y = f(x) é ltur d ond, em metros, e x o tempo, em minutos. Dentre s lterntivs que seguem, ssinle únic cuj conclusão Não condiz com o modelo proposto. 9

10 Gbrito AFA (A) A ltur de um ond nunc tinge metros. (B) Entre o momento de detecção de um crist (ltur máxim de um ond) e o de outr seguinte, pssm-se minutos. (C) De zero minutos, podem ser observds mis de dus crists. (D) As lturs ds onds observds com 0, 90, 50,... segundos são sempre iguis. Gbrito: Letr C. π Sbemos que sen + cos e sen sen cos = = Com isso, πx πx πx πx πx f( x) =. cos. sen. sen sen. sen = πx f( x) = sen. (A) Podemos observr que o máximo d função ocorre qundo sen πx = f( x) =. proposição é verddeir. Logo, (B) Pr chrmos os instntes de tempo em que ond tinge s crists, devemos resolver equção: πx πx πx π sen sen k x k = = ± = + π = +, onde k. Os vlores de x formm um PA de rzão. Logo, proposição é verddeir. (D) Vmos clculr f(x) pr x = /, /, 5/,..., ou sej, x = / + k, onde k. (k + ). π Temos: { π /, π /, 5 π /, 7 π / }; k. (k + ). π Assim: sen =. Logo, proposição é verddeir. (C) Vemos no item b que x = + x, onde x, são os instntes onde ocorrem s crists d ond. Substituindo vlores de x, chmos que ocorrem somente dus crists té minutos (x = e x = ) e não mis do que dus. Logo, proposição é fls. 0

11 Prov: 05/08/ Questão 6 sen x cos x Sejm s funções reis f, g e h definids por f( x) =, g( x) cossec x + sec x = sec x e h(x) = cossec x, nos seus domínios mis mplos contidos no intervlo [0,π]. A(s) quntidde(s) de interseção(ões) dos gráficos de f e g; f e h; g e h é (são), respectivmente: (A) 0, 0 e. (C), e. (B), e. (D) 0, e. Gbrito: Letr A. Podemos simplificr f(x): sen x cos x f( x) = + = sen x + cos x = sen x cos x Porém, f(x) só está definid qundo sec x e cossec x tmbém estão, ou sej, qundo cos x 0 e sen 0. Ess condição fz com que não hj interseção de f(x) com g(x) nem h(x). Qundo sec x = ; cossec x não está definid pois sec x = sec x = ± cos x ± sen x = 0. O mesmo contece qundo cossec x =. Vmos gor clculr s interseções de g(x) e h(x): π kπ sec x = cossec x sec x = ± cossec x tg x = ± x = +. No intervlo [0,π], existem vlores: π π 5π 7π,,,. Questão 7 Um triângulo é tl que s medids de seus ângulos internos constituem um progressão ritmétic e s medids de seus ldos constituem um progressão geométric. Dess mneir, esse triângulo NÂO é: (A) cutângulo. (B) equilátero. (C) obtusângulo. (D) isósceles. Gbrito: Letr C. Considere um triângulo ABC tl que A^ B^ C^. Como os ângulos estão em PA, B^= A^ + C. Dí, B^ = 60º

12 Gbrito AFA x Escrevendo os ldos em Pg:, x, xq ( x é o ldo oposto 60º) q Usndo lei dos cossenos, teremos: x x x = + ( xq).. xq. cos 60º q q x = + x x q. x. q x = x + q, sendo 0 : x q = + q q q + = 0 q = q Sendo q > 0, teremos q =. Logo, os ldos são iguis, ou sej, o triângulo é cutângulo e tmbém isósceles. Portnto, não pode ser btusângulo. Questão 8 Um pirâmide regulr ABCV, de bse triângulr ABC, é tl que su rest lterl AV mede cm. Sendo 5 cm ltur de tl pirâmide, distânci, em cm, de A à fce BCV é igul (A) 0. (B) 7. (C) 6. (D). Gbrito: Letr A. Sej G projeção de V no plno ABC. Como pirâmidde é regulr, G é bricentro do ABC. Pitágors: VA = VG + AG = ( 5) + AG AG = cm. G = bricentro AG = AM AM = cm. ABC equilátero AM = AB AB = cm. = BC.

13 Prov: 05/08/ No VBC, VM é ltur. Como VB = VC = cm, temos por pitágors: VM = VB BM VM = 9 = 6 VM = 6 cm. Pel simetri d pirâmide, sbemos que distânci d pedid é ltur AH do VAM. Como VAM é 6 isósceles (VA = AM = cm), VH = HM = cm. Logo, por Pitágors, tem-se d = d = 9 6 d = 0 cm. Comentário: Tmbém é possível resolver clculndoo volume de dus mneirs: V ABCV = S. ABC 5 = S. d VBC e dificuldde é nálog. 6 Questão 9 Um cix cúbic, cuj rest mede 0, metros, está com águ té 7 8 de su ltur. Dos sólidos geométricos bixo, o que, totlmente imerso ness cix, NÃO provoc trnsbordmento de águ é: (A) um esfer de rio dm. (B) um pirâmide qudrngulr regulr, cujs rsts d bse e ltur meçm 0 cm. (C) um cone reto, cujo rio d bse meç dm e ltur dm. (D) um cilindro equilátero, cuj ltur sej 0 cm. Gbrito: Letr D. O volume totl do cubo é de (0, m) = ( dm) = 6L. Como 8 do cubo fic vzio, o volume vzio é igul 8L. Pr ver qul sólido NÃO provoc trnsboerdmento de águ. Precismos identificr quele que possui volume menor ou igul que 8L.

14 Gbrito AFA esfer de rio 8π dm V = π ( ) = L. com p >, temos V > 8L. pirâmide qudrngulr regulr com rests d bse iguis dm e h = dm. Volume = = 9L < 8L cilindro equilátero de h = dm R = R = dm V = p R h = p = pl 6,8 < 8L. Logo, este sólido stisfz! cone reto com R = dm e h = dm. V = π R h = π = π 9, > 8L. Respost: O cilindro equilátero. Questão 0 As seis questões de um prov erm tis, que s qutro primeirs vlim,5 ponto cd, e s dus últims vlim pontos cd. Cd questão, o ser corrigid, er considerd cert ou errd. No cso de cert, er tribuíd el o totl de pontos que vli e, no cso de errd, not 0 (zero). Ao finl d correção de tods s provs, foi divulgdo seguinte tbel: Percentul de N o d questão certos 0% 50% 0% 70% 5 5% 6 60% A médi ritmétic ds nots de todos os que relizrm tl prov é? (A),7 (B),85 (C) (D),5

15 Prov: 05/08/ Gbrito: Letr B. MA = M + M + M + M + M5 + M6,5. 0,5. 50,5. 0, MA = MA = 0,6 + 0,75 + 0,5 +,05 + 0, +, MA =,85. Professores Rodrigo Villrd Moyses Cohen Dniel Fdel Diego Alecyr Jordn Piv Mtheus Secco Sndro Dvidson Leo Nscimento 5

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