PROVA DE MATEMÁTICA DA UFBA VESTIBULAR a Fase RESOLUÇÃO: Profa. Maria Antônia Gouveia.

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1 PROVA DE MATEMÁTICA DA UFBA VESTIBULAR Fse Prof. Mri Atôi Gouvei. QUESTÕES DE A 8 Istrução: Assile s proposições vereirs, some os úmeros els ssocios e mrque o resulto Folh e Resposts. Questão. Um reservtório em form e ciliro circulr reto e rio bse r,8m e ltur H metros tem cpcie pr 98 litros e combustível e, pr echê-lo, são utilios álcool e gsoli proporção e um litro e álcool pr qutro litros e gsoli. O gráfico que h iic, em cm, ltur o ível e combustível cotio o reservtório escreve vrição esse ível urte um períoo e hors. Cosiero-se π, e que ão houve etr e sí simultâes e combustível o reservtório, poe-se firmr: () O reservtório, quo cheio, cotém 96,8 litros e álcool. () O reservtório estv cheio quo t 6. () Em t, hvi o reservtório 6 litros e combustível. (8) Em t, o combustível que hvi o reservtório ocupv meos mete e su cpcie. (6) No itervlo e tempo etre t 6 e t 9, houve um cosumo méio e combustível e 98, litros por hor. () No itervlo e tempo etre t e t 6, houve crescimeto o cosumo e combustível. () VERDADEIRA. g c ,8 () FALSA. Cálculo ltur o recipiete: 8, h 98 98h 98 h cm Quo t 6 hors, o ível o combustível er e cm, logo o recipiete ão estv cheio. () FALSA. Em t, hvi o tque: 8, 595cm 595,m 595,l.

2 (8) VERDADEIRA. Aliso o gráfico percebe-se que pr t, o ível o combustível está bio e 5cm. (6) VERDADEIRA. ( ) 8, 98 98cm 98,m 98,l. () FALSA. Pel álise o gráfico coclui-se que o itervlo e tempo etre t e t 6 houve etr e combustível. Questão. Cosiere-se sequêci uméric A {,,...,,...} ( ) e progressão ritmétic B {,..., 8} tl que, pr vlores iteiros positivos e,,. Sobre esss sequêcis, é correto firmr: () A sequêci A é um progressão geométric. () A sequêci B tem e termos. () Eistem pes três termos comus às sequêcis. (8) Os termos e progressão geométric crescete {,, b } (6) Os termos sequêci C ( c ), em que () Utilio-se lgrismos o subcojuto { }, 9 c,, são tis que 5., são quros perfeitos. sequêci A, poem-se formr úmeros turis primos, sem lgrismos repetios. (6) Eiste um pr e elemetos sequêci B que poe ser ecluío, sem lterr su méi ritmétic. () FALSA. Seo, Z 6 A {,, 6,,5,,... } que ão é um progressão geométric. ( ) *, lei e formção sequêci A {,,...,,...} () VERDADEIRA. Seo sequêci B {,..., 8} ( ) 8 ( ) ( ) 9, um progressão ritmétic,. () VERDADEIRA. Seo A {, 6,,5,, 8, 6,... } comus às us sequêcis são:, e 8. (8) VERDADEIRA., e B {,,,,6,9,, 5, 8} N progressão geométric {,, b } {, 6,, }, 9 Seo 5 5 e., etão,,, etão os úicos elemetos, 6. (6) VERDADEIRA. c, tl que c ; c 6 ;c 9; A sequêci C ( ) c {,, 9,6,... } c 6 6,... C. () FALSA. Com os lgrismos sequêci {,, } {,, 6} iferetes. poem-se formr pes! 6 úmeros turis

3 (6) VERDADEIRA. ( 8) S 5 A méi ritmétic os elemetos sequêci B é:,5. N coição eclusão e elemetos e méi ritmétic cotiur seo,5, som e toos os elemetos será 8,5 6. Com eclusão os ois elemetos som e toos os elemetos iiciis ficrá imiuí e que é sempre igul à som e ois elemetos eqüiisttes os etremos sequêci. Questão Desejo pgr um empréstimo e R$, em cico prestções mesis cosecutivs, um cliete e um istituição ficeir tem us opções istits. Opção C prestção é costituí por % o vlor totl o empréstimo crescio e 5% o slo eveor, etermio pel epressão D ( 6 ),,..., 5. Opção C prestção é costituí por 5% o slo eveor eceto últim, em que o slo eve ser pgo itegrlmete crescio e 5% e juros, clculos sobre esse slo eveor, etermio pel epressão S,,,..,5. OPÇÃO : p,v,5d p,v,5 6 p,v 6 p, ( ) ( ) ( 6 ) p ( 6 ) ( 6 ) p p 5 5 p p p 5 p 5 5 p.5 OPÇÃO : p,5s,5s, com S,,,..,5 p,5,5 p ,5,5 p 5 5 5,5,5 p 5 5 5,5,5 p 65 6,5 68, 5,5 5 p 5 65,5 656, 5 5 () VERDADEIRA. p.968,5

4 () FALSA. % p p p. reis. () VERDADEIRA ; ; ; 6,5 5 5 ;,5 5 (8) VERDADEIRA. 5 (6) VERDADEIRA. T 5 e T 968,5 T T >. () FALSA. M.., >.5 Questão 5 Cosierem-se s fuções e g : R, efiis por f() e 8 g(). Com bse o estuo e fuções reis, poe-se firmr: () VERDADEIRA. Seo g( ) ( ) ( ) ( ) f ( ) g( ) ( ) Q. f e 5 ( ) () VERDADEIRA. 5 Seo g : R, e g() ² o vlor míimo e g() é: 8 (b c) (9 ) 5 o cojuto imgem e g() é 8 8 seu cotr-omíio. I m 5, que é tmbém o 8

5 () FALSA. A fução g() ² tem vértice o poto 5,, etão fução h(), represet o lo, e 8 cujo gráfico é simétrico o gráfico e g() em relção o 5 eio O, tem vértice o poto,, logo s us 8 fuções têm o mesmo vlor míimo. (8) FALSA. f (6) VERDADEIRA g(f( ) g( ) g( ) ( ) que som s ríes e g(f( ) é igul () VERDADEIRA. h() 5. 6 ( ) 8 f () ( ) é um fução ecrescete porque < ( ) Pr etermir ivers e h(),fç-se h() : log log log log com >. Questão 5. Um ree cosiste e um úmero fiito e ós coectos por segmetos orietos, chmos rmos. O estuo o fluo trvés e um ree bsei-se o chmo pricípio coservção o fluo que firm: em c ó, o fluo e etr é igul o fluo e sí. A figur escreve fluos ão egtivos, meios em litros por miuto, trvés e prte e um ree e ecmeto em que ós estão represetos pelos potos A, B e C. Aplico-se o pricípio coservção o fluo, é possível obter-se um sistem e equções lieres <. S o qul c equção represet coservção o fluo em c ó cuj mtri os coeficietes é M. Com bse esss iformções e os cohecimetos sobre mtries e sistems lieres, é correto firmr:, 5

6 6 () O sistem s poe ser represeto pel equção mtricil D XT, em que ( ) X, ( ) D e T é trspost e M. () Se o tero oreo ( ) c b é solução o sistem S, etão b c. () seo k e, mtri ietie e orem, o etermite mtri M ki é igul. (8) A som os termos segu lih mtri ivers e M é igul. (6) É impossível iverter-se, prte ree, represet figur, pes orietção o fluo iico por. () O meor fluo trvés e um rmo prte e ree, represet figur, é e qutro litros por miuto. () VERDADEIRA. t t S : : S ( ) ( ) D XT M t t t t. () FALSA : S ( ) ( ) 8 c b 8 c b. () VERDADEIRA. ki M. (8) FALSA. i g i h i h g f f e f e c c b c b i h g f e c b ( ) ( ) L L ; L L ; f f e f e e f 6 e f f f e f e

7 (6) VERDADEIRA. No ó A o fluo e etr e o fluo e sí são iguis. No ó B o fluo e etr e o fluo e sí são iguis. Porém o ó C o fluo e etr pssou ser 8 e o e sí. Etão prte ree represet figur é impossível iverter-se, pes o fluo represeto por (8). () VERDADEIRA. Questão 6. Cosiero-se circuferêci C e ret r e equções ( ) ( ) 6 e, respectivmete, poe-se firmr: () Um equção e um ret prlel r e tgete C é. () A ret e equção pss pelo cetro e C perpeiculrmete r. () A ret r f com o eio O um âgulo θ tl que tg θ. (8) A ore e um poto P(, ), iterior `C, pertece o itervlo ], 6[. (6) Too quro iscrito em C tem áre igul u.. () Se circuferêci C tem rio u.c. e é cocêtric à circuferêci C, etão áre coro circulr etermi por C e C tem u.. (6) Um cubo e bse circuscrit C tem volume 5u.v. A circuferêci e equção ( ) ( ) 6 tem cetro o poto O (, ) e rio. () FALSA. 8 5 < é istâci ret o cetro circuferêci ( ) ( ) 6. E seo ess istâci meor que o rio, ret em questão é secte à circuferêci. () VERDADEIRA. Substituio equção, e pels ores o poto,, tem-se: 6, etão ret pss por C. O ( ) O coeficiete gulr ret r: é tgα e o ret é etão tgα tgβ, logo s rets são perpeiculres. tg β,

8 () FALSA. r: tg(8 α) tgα No triâgulo retâgulo ABC, AC e AB, com R Assim, e coro com figur o lo, tgθ (8) VERDADEIRA. Se um poto é iterior um circuferêci su istâci o cetro é meor que mei o rio., e Cosiero istâci etre os potos O ( ) P (, ) pertecete à ret : < < < < < 6 (6) VERDADEIRA. Too quro iscrito um circuferêci tem como igol um os iâmetro circuferêci. N figur o lo, igol AC o quro iscrito tem como mei é r 8, etão, ( ) 8 l 8l SABCD u.. () FALSA. A áre coro pit e ul é igul : S ( ) π ( 8 6) π π u.. 6) VERDADEIRA. A mei o lo o quro circuscrito é igul à mei o iâmetro, 8. Se este quro é bse e um cubo, etão o volume este cubo é 8 5 u.v. 8

9 Questão Com bse os cohecimetos e geometri pl, é correto firmr: () Se os los e um triâgulo meem 8cm, cm e cm, etão < < 9. () O cosseo o mior âgulo itero e um triâgulo cujos los meem 6cm, 8cm e cm é igul. () Se o poteiro os miutos e um relógio e pree mee cm, etão, em miutos, su etremie percorre mis que cm. (8) Se pertece o itervlo,, etão eiste um âgulo θ tl que seθ (6) Pr os âgulos α e β, iicos figur, ois quros cogruetes com um lo comum tem-se ( α β ) se 5 ()VERDADEIRA. Em too triâgulo mei e um e seus los é sempre mior que o móulo ifereç os outros ois los e meor que som esses los. Etão se os los e um triâgulo meem cm, 8cm e cm, 8 < < 8 < < 9. () VERDADEIRA. Aplico Lei os cosseos em relção o mior lo: ( ) cosα 8 96cosα 96cosα 8 cosα. () VERDADEIRA. O poteiro os miutos c hor complet um volt, etão: 6π 5,cm. 6 π π (8) VERDADEIRA. Se seθ 5, etão ,. 5 5 (6) FALSA. O triâgulo BCD (mete o quro) tem áre Os triâgulos ABD e FBE são semelhtes e AD AD, logo áre e ABD é EF.. ABC formo pel reuião os triâgulos ABD e BDC. Assim áre e ABC é S 9

10 BC (mei igol o quro e lo ) e AB S ABC 5 se(α β) se(α β). 5 Questão 8 Turm Homes Mulheres I 5 II 5 Um colégio prepr us turms pr um olimpí culturl e s vli, perioicmete, trvés e provs simuls, e esfios etre grupos competiores e e outros meios que estimulem evolução os estutes. Cosiero-se istribuição o úmero e estutes, por turm e gêero, tbel, poe-se firmr: () Trsferio-se homes Turm II pr Turm I, rão etre o úmero e homes e e mulheres será mesm s us turms. () É possível reistribuir os estutes s us turms e moo que c turm psse ter ttos homes quto mulheres. () Pr um ebte, c turm eve formr um equipe com qutro e seus compooetes, seo ois homes e us mulheres, portto Turm I poe formr, o máimo, 5 equipes istits, ssim costruís. (8) Seo 9, e 6,, respectivmete, mior e meor ot obtis pelos homes Turm I em um prov simul, méi s ots e toos os homes ess turm é mior que,5 (6) escolheo-se, o cso, um estute esss turms, probbilie e ser mulher ou Turm II é igul 9%. () Escolheo-se, o cso e simultemete, um compoete e c turm, probbilie e serem o mesmo gêero é igul. 9 () FALSA. Turm Homes Mulheres I 5 II () FALSA. Turm Homes Mulheres I II O totl e luos é, logo 5 que correspoe o totl e homes e o totl e mulheres s us turms. Etão pr que firmtiv questão puesse ocorrer o úmero totl e homes e e mulheres s us turms que estão seo preprs seri 5. O que ão correspoe à relie pois são o too homes e 55 mulheres. () VERDADEIRA. 9 5 C, C5, 5 5.

11 (8) FALSA. Fls, pois seo 6 meor ot e 9 mior, úic cois que poemos grtir é que méi será um úmero etre 6 e 9. N lém isso. Por eemplo se s outrs oito ots fossem iguis méi seri, que é meor que,5. (6) VERDADEIRA. Sej A o cojuto s mulheres s us turms e B o cojuto os luos Turm II, etão o úmero (A B) (A) (B) (A B) A probbilie pei é: 9 9%. () VERDADEIRA. H I H II M I M II Questão 9. Sobre s ies os migos X e Y, firm-se: Há cico os, ie e X er um úmero múltiplo e e, e hoje qutro os, será um úmero múltiplo e 5. Há qutro os, ie e Y er um úmero múltiplo e 5 e, e hoje cico os, será um úmero múltiplo e. Hoje esss ies vrim etre e 6 os. Seo ssim, etermie, em os, ifereç etre s ies tuis e X e Y. Sej ie e X e ie e Y, seo que, ], 6[. DETERMINAÇÃO DO VALOR DE. Se ( 5) é um múltiplo e, etão é um úmero ímpr. Se ( ) é múltiplo e 5, e sbeo que é ímpr, etão o lgrismo s uies é. Logo só poerá ser ou 5. Ocorre que ão é múltiplo e.portto ão é é múltiplo e e 5 é múltiplo e 5. Coclusão: DETERMINAÇÃO DO VALOR DE.

12 Se ( 5) é um múltiplo e, etão é um úmero ímpr. Se ( ) é múltiplo e 5, e sbeo que é ímpr, o lgrismo s uies só poe ser 9. Logo só poerá ser 9 ou 59. Ocorre que 9 5 é múltiplo e 5, ms, ão é múltiplo e é múltiplo e 5 e é múltiplo e. Coclusão: 59 RESPOSTA: A ifereç etre s ies os migos é 8 os. Questão. N figur, os triâgulos MNP e MNQ são retâgulos com hipoteus comum MN, o triâgulo MNP é isósceles, e seus ctetos meem cico uies e comprimeto. Cosiero tg α e áre e MNQ igul uies e áre, etermie o vlor e. Aplico o Teorem e Pitágors o triâgulo MNP: NQ No triâgulo MNQ, seo tgα NQ w e MQ w, w R. MQ Aplico o Teorem e Pitágors o triâgulo MNQ: 9w w 5 w 5 w 5 MQ 5 e NQ 5. Seo uies e áre mei áre e MNQ: RESPOSTA: A mei e é.