A utilização de séries de potências no cálculo de um valor aproximado para o número pi

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1 Uiversidde Federl de Mis Geris Istituto de Ciêcis Ets Deprtmeto de Mtemátic Progrm de Pós-Grdução em Mtemátic Especilizção em Mtemátic pr Professores / Cálculo A utilizção de séries de potêcis o cálculo de um vlor proimdo pr o úmero pi Ferdo Césr Crdoso Belo Horizote Ferdo Césr Crdoso

2 A utilizção de séries de potêcis o cálculo de um vlor proimdo pr o úmero pi Moogrfi presetd o Deprtmeto de Ciêcis Ets d Uiversidde Federl de Mis Geris como requisito pr oteção do Gru de Especilist em Mtemátic Orietdor: Prof Dr Edurdo Alfoso Chicro Egusquiz Belo Horizote

3 Uiversidde Federl de Mis Geris Istituto de Ciêcis Ets Deprtmeto de Mtemátic Progrm de Pós-Grdução em Mtemátic Especilizção em Mtemátic pr Professores / Cálculo Moogrfi itituld A utilizção de séries de potêcis o cálculo de um vlor proimdo pr o úmero pi, de utori do pós-grdudo Ferdo Césr Crdoso Memros compoetes d c emidor: Prof Dr Edurdo Alfoso Chicro Egusquiz Orietdor Prof Dr Pulo Atoio Fosec Mchdo Prof Dr Alerto Berly Srmieto Ver Prof Dr Pulo Atoio Fosec Mchdo Coordedor do Progrm de Pós-Grdução em Mtemátic pr Professores Belo Horizote

4 Pr Beedito Amâcio Mores Duc, meu mestre, mih referêci e meu ídolo

5 Agrdecimetos À Deus, por tudo que sou e possuo À mih fmíli pelo mor, pelo criho e por creditrem que o estudo é prioridde Ao Professor Edurdo Chicro, pelos esimetos, pel cofiç, dedicção e pciêci Ao migo Aldécio pel cooperção e o votde À Diel e os meus migos que, por quse dois os, me escutrm reclmr do csço e me derm forç pr cotiur Aos meus luos, por me fzerem creditr que vle pe estudr, preder e esir Recem meu mis sicero muito origdo

6 Resumo Este trlho preset um método pr clculr um vlor proimdo do úmero usdo séries de potêcis Seu pricipl propósito é trçr um pote etre Teori ds Séries de Potêcis do Cálculo Diferecil e Itegrl e estimtiv do vlor proimdo deste cohecido úmero Plvrs-chve: Séries; séries umérics; sequêcis; pi

7 Sumário Itrodução 9 Cpítulo - Um pouco d históri do úmero Cpítulo - Sequêcis Defiições sore sequêcis Proprieddes dos Limites - Teorems sore sequêcis 4 Cpítulo - Séries6 - Defiição de séries e de séries covergetes 6 Teorems sore séries covergetes 8 Covergêci solut 9 4 Teste d rzão Cpítulo 4 Séries de Potêcis 4 - Defiição de séries de potêcis 4 Teorems sore séries de potêcis 4 Diferecição termo termo 6 44 Itegrção termo termo 8 Cpítulo 5 Ecotrdo um vlor proimdo pr 5 Série de rc tg 5 Cálculo de com 4 css decimis

8 Cosiderções fiis4 Apêdice Teorem de Rolle5 Biliogrfi6

9 9 INTRODUÇÃO O úmero tem tido um ppel destcdo o desevolvimeto ds Mtemátics desde o iicio dest ciêci em que este prece o cálculo de áres té os episódios mis recetes em que o referido úmero prece freqüetemete Nest moogrfi presetmos um método pr clculr um vlor proimdo do úmero usdo séries de potêcis O pricipl propósito deste trlho é trçr um pote etre Teori ds Séries de Potêcis do Cálculo Diferecil e Itegrl e estimtiv do vlor proimdo deste cohecido úmero Est moogrfi é ultim etp d oss Especilizção em Cálculo o Deprtmeto de Mtemátic do Istituto de Ciêcis Ets d Uiversidde Federl de Mis Geris Nos cpítulos e desevolvemos de meir rigoros teori de séries de potêcis covergetes Eucimos e lgums vezes icluímos s demostrções dos pricipis teorems do Cálculo de séries como o Teste d Comprção, Teste d Covergêci Asolut, Teste d Série Alterd e Teste d Rzão No cpítulo provmos os teorems d derivção e d itegrção termo termo ds séries de potêcis No cpítulo 4 otemos represetção d fução rctg como série de potêcis e usmos pr oter um proimção de com 4 css decimis

10 CAPÍTULO : UM POUCO DA HÍSTÓRIA DO NÚMERO Neste cpítulo mostrremos s mis importtes descoerts histórics ssocids o cálculo do úmero, prtido de um dos prolems clássicos d geometri: qudrtur do círculo Este prolem cosiste em costruir um qudrdo cuj áre sej igul à áre de um círculo ddo Diretmete ligdo este prolem, está o úmero, rzão etre circuferêci de um círculo e seu diâmetro No Oriete tigo este úmero er tomdo como Os primeiros vestígios de um estimtiv de, provvelmete utilizd o prolem d qudrtur do círculo egípci é dd o ppiro Rhid e tomv-se = 4/ 4 =,64 A primeir tettiv cietífic de clculr pode ter sido de Arquimedes, em 4 c Sedo que o comprimeto d circuferêci está etre o perímetro de um polígoo regulr iscrito e o perímetro de um polígoo regulr circuscrito, ele limitou o vlor de chegdo coclusão de que ele estv etre /7 e /7 Este método ficou cohecido como método clássico de Arquimedes ou método dos polígoos Depois de Arquimedes, em 5 dc, primeir proimção otável de foi dd por Ptolomeu mior or de stroomi té etão já produzid Gréci tig: Sytis mthemtic Nest or o vlor de er 77/ N Chi, o o 48, o mecâico Tsu Ch ug-chih oteve, pr plicção o prolem d qudrtur do círculo, proimção 55/, corret té 6ª cs deciml

11 Em 49, Al-Kshi, ssistete do strôomo rel de Smrcd clculou, pelo método clássico dos polígoos o vlor de té 6ª cs deciml Quse dus décds depois, em 6, o holdês Ludolph clculou té 5ª cs deciml pelo método clássico usdo um polígoo de 6 ldos, registros dizem que pr isso ele gstou grde prte d su vid No o de 67, ocorreu o seri mior descoert pr o cálculo de um vlor proimdo pr o úmero O mtemático escocês Jmes Gregory oteve série 5 7 ifiit rc tg que ficou cohecid como série de 5 7 Gregory Pr ele, pssou desperceido que pr Leiiz, três os depois otih-se e que est série covergi letmete Quem oservou isso foi Em 699 Arhm Shrp ecotrou 7 css decimis pr usdo série de Gregory pr e em 76 Joh Mchi oteve css decimis utilizdo est mesm série com relção 4rc tg rc tg Joh Heirich Lmert provou em 767 que é irrciol e o desfio, prtir dí, pssou ser ecotrr o mior úmero possível de css decimis pr o úmero Assim, em 844 Zchris Dse oteve css decimis utilizdo série de Gregory com relção rc tg rc tg rc tg e em 98 dois mtemáticos jpoeses clculrm, em um computdor, 8 css decimis, gstdo 7, hors usdo relção rc tg 4 4rc tg 9 6rc tg 55

12 CAPÍTULO : SEQUÊNCIAS Neste cpítulo desevolvemos os coceitos de sequêcis e de limite de um sequêci e eucimos, miori ds vezes, sem provr, lgus teorems ásicos sore est mtéri que drão se este trlho As demostrções ecotrm-se s osss referêcis [Stewrt] e [Lim], [4] e [6] DEFINIÇÕES SOBRE SEQUÊNCIAS Defiição Um sequêci de úmeros reis é um fução : N R, que ssoci cd úmero turl um úmero rel, chmdo de -ésimo termo d sequêci Escreve-se sequêci cujo,,, ou, N ou simplesmete ésimo termo é pr idicr Defiição Um úmero C é deomido limitte iferior de um sequêci se C pr todo iteiro positivo, e é deomido limitte superior de um sequêci se C pr todo iteiro positivo Defiição Dizemos que um sequêci é crescete se pr todo, e dizemos que um sequêci é decrescete se pr todo Se um sequêci é decrescete ou se el é crescete, el é deomid moóto

13 Defiição 4 Um sequêci tem limite L, escrevedo-se, etão, Lim L se pr todo, eiste um úmero positivo tl que se, etão L Eemplo : Lim De fto: Ddo defiimos mi N : se Defiição 5 Dizemos que um sequêci que é covergete se eiste um úmero rel λ tl Lim Neste cso, dizemos que sequêci coverge pr λ PROPRIEDADES DOS LIMITES Proposição Proprieddes dos limites Se e respectivmete, temos que: são sequêcis covergetes e os seus limites são A e B Lim A B Lim A B c Lim A B se B este cso, B :, d A B Provremos qui o item, demostrção dos demis ites se ecotr em [LEITHOLD]

14 4 Provdo : Sej ddo N : A Temos: Lim A N : B Lim B Sej m, Se etão e Portto, efetudo som + otemos A B A B A B se Assim, tomdo m temos:, N : A B e pel defiição 4 podemos escrever Lim A B TEOREMAS SOBRE SEQUÊNCIAS Teorem Se é um sequêci crescete e C um limitte superior dess sequêci, etão é covergete e Lim C Teorem Se é um sequêci decrescete e C um limitte iferior dess sequêci, etão é covergete e Lim C

15 5 Eemplo : Lim r se r Solução Usremos desiguldde de Berouilli:, se R, e N A prov dest desiguldde é por idução e segudo [Lim], [5] E pg 4, óvio pr Pr todo úmero rel e todo, tem-se Supodo desiguldde válid pr, multiplicmos mos os memros pelo úmero e otemos Agor, provremos que Lim r, o cso em que r Neste cso temos r r r, é ssim um sequêci decrescete limitd iferiormete por e portto est sequêci coverge pelo Teorem Por outro ldo, r r, Etão, pel desiguldde de Berouilli, r Etão, utilizdo Proposição d, temos que Lim r No cso gerl, usdo o cso cim provdo, temos que r Lim r Lim r Dode, o cso gerl, Lim r

16 6 CAPÍTULO : SÉRIES Nest seção defiiremos séries umérics e critérios de covergêci pr ests séries Não demostrremos os teorems mis elemetres cuj prov está feit ou sugerid em vários livros de Cálculo, tis como [Stewrt] Provremos, porém, que tod série solutmete covergete é covergete DEFINIÇÃO DE SÉRIES E DEFINIÇÃO DE SÉRIES CONVERGENTES Defiição 5 Se tetrmos somr os termos de um sequêci ifiit, oteremos um epressão d form que é deomid série ifiit, ou pes série, e é deotd pelo símolo ou Chmmos de som prcil té o -ésimo termo de um série ifiit som dos primeiros termos dest série S N N N c Um série ifiit com sequêci de soms prciis S é covergete se igul Lim S S, série é divergete pr lgum úmero rel S Se tl limite ão eiste, ou é d Se é um série ifiit covergete e Lim S S, etão S é chmd de som d série, e escrevemos S Se série diverge, ão tem som

17 7 Eemplo : série geométric cr c r se r, c R Solução: Se-se que S c r r N e ssim, N c r c cr Lim S N Lim N N r r Aqui usmos que, pelo Eemplo, Lim r N se r N Teorem Proprieddes ásics ds séries Sej c um costte ão ul Se série covergete e su som é é covergete e su som é S, etão série c S c tmém é Se série é divergete, etão série c tmém é divergete Teorem 4 Se e respectivmete, etão: são séries ifiits covergetes cujs soms são S e R é um série covergete e su som é S R é um série covergete e su som é S R

18 8 Provdo : Supohmos que S Lim S e Lim R S R e R, ou sej, Efetudo som S R otemos S R T E dess form, pel Proposição, Lim T S R o que equivle S R TEOREMAS SOBRE SÉRIES CONVERGENTES Teorem 5 Um série ifiit de termos positivos é covergete se e somete se su sequêci de soms prciis tiver um limitte superior Teorem 6 Teste d comprção Sejm e séries de termos positivos, etão: Se coverge e pr todo iteiro positivo, etão coverge Se diverge e pr todo iteiro positivo, etão diverge

19 9 Teorem 7 Sejm,, úmeros lterdmete positivos e egtivos, como,,,, 4, 5, 6 Se pr todo iteiro e positivo, e Lim etão série lterd é covergete O erro o se proimr som ifiit dest série pel som prcil é N N i i CONVERGÊNCIA ABSOLUTA Defiição 6 Um série ifiit é solutmete covergete se série, otid tomdo-se o vlor soluto de cd termo, é covergete Note que se é um série de termos positivos, etão covergêci solut coicide com covergêci, pois

20 Teorem 8 Se série ifiit Prov: Tomemos três séries ifiits de soms prciis é solutmete covergete, el é covergete e s, t e, e com sequêcis r respectivmete Pr todo turl temos ou, gerdo desiguldde 4 Oserve que isto implic que r é crescete ddo que Como é covergete, el tem um som que deotremos por T A sequêci t é crescete com termos positivos e ssim, t T turl pr todo De 4 temos que r t T Assim, temos que sequêci crescete r tem T como limitte superior e pelo teorem 5 otemos que série é covergete e deotremos su som de R Como em 4, r é um sequêci crescete e pelo teorem podemos cocluir que R T Cd um ds séries e cocluímos que é covergete é covergete e pelo teorem 4

21 Sej S som d série temos S T T T, etão pelo teorem 4, T S R e como R T Como é covergete e tem som S, segue do teorem que covergete com som S Como T podemos sustituir é por em * ecotrdo S T Como S T e S T, temos S T Dess form, podemos escrever e cocluímos demostrção do teorem 4 TESTE DA RAZÃO Teorem 9 Sej um série ifiit de termos ão ulos Etão: Se Lim L, série é solutmete covergete Se Lim L ou Lim, série é divergete c Se Lim, d podemos cocluir sore su covergêci ou divergêci

22 CAPÍTULO 4: SÉRIES DE POTÊNCIAS Nest seção cosidermos séries de potêcis d vriável e defiimos o rio de covergêci dests séries Estudmos em detlhes derivção e itegrção termo termo de um série de potêcis e provmos que o rio de covergêci d série derivd e d itegrl é o mesmo d série origil 4 DEFINIÇÃO DE SÉRIES DE POTÊNCIAS Defiição 7 Deomi-se série de potêcis em tod série d form ode é um vriável e os ` s são costtes chmds coeficietes d série Se eiste um úmero positivo R tl que série de potêcis coverge se R e diverge se R etão R é deomido rio de covergêci d série de potêcis O itervlo de covergêci de um série de potêcis é quele que cosiste em todos os vlores de pr os quis série coverge

23 4 TEOREMAS SOBRE SÉRIES DE POTÊNCIAS Teorem Fórmul de Tylor com resto de Lgrge Sej f :, R vezes derivável o itervlo erto em, Etão eiste, tl que, com f cotíu f f f ` f! f! Podo h, isto quer dizer que dizer que eiste, com, tl que f! f h f f ` h h f h h! Prov: Sej :[, ] R defiid por f f f ` f! K, ode costte! K é escolhid de modo que Etão é cotíu em,, com K f Vê-se fcilmete que `! Pelo Teorem de Rolle, eiste, tl que ` Isto sigific que K f O teorem se otém fzedo defiição de e lemrdo que

24 4 Teorem Se é um série de potêcis com rio de covergêci R, etão série tmém tem R como rio de covergêci Prov: Sej um úmero do itervlo R, R, ssim R Tomemos um úmero tl que R Sedo R, série é covergete e Lim ; e pel defiição de limite, pr todo eiste turl tl que Se tomrmos, eiste um úmero N tl que Sej M o mior dos úmeros,,,,, Etão M 5 pr todo turl Fzedo 6 Sustituido 5 em 6 otemos M Aplicdo o teste d rzão Teorem 9 à série M 7 temos: u Lim u Lim Lim Assim, série 7 é solutmete covergete e trvés do teste d comprção, cocluímos que série 8 tmém é solutmete covergete e R é o rio de covergêci d série 8, etão R R Se R, R

25 5 Dess form, rest mostrr que ão podemos ter R R Supoh R R e tomemos um úmero tl que R R Sedo R temos que série é divergete 9 Como R, temos que série é solutmete covergete Ms, e é covergete Como é turl, e ssim temos que e plicdo o teste d comprção Teorem 6 cocluímos que diverge de cordo com 9 cotrdizedo firmção Logo, hipótese de que R R é fls, restdo R R Teorem Se o rio de covergêci d série de potêcis é R, etão R tmém é o rio de covergêci d série Prov: N demostrção do teorem, provmos que série de potêcis tem rio de covergêci R é série de potêcis covergete e tem rio de covergêci R R, tmém é

26 6 Etão, pr mostrr que série é covergete com rio de covergêci R, st plicr o teorem à série Assim fremos: Temos e, fzedo k otemos k k k e k k k k ecotrmos k k k k Tomdo k k k k e k k que pelo teorem 9 covergem e possuem mesmo rio de covergêci k k 4 DIFERENCIAÇÃO TERMO A TERMO Teorem Teorem d diferecição termo termo Sej um série de potêcis cujo rio de covergêci é R Etão, se f é um fução, defiid por f f eiste pr todo R, R e f Prov: Sejm e dois úmeros distitos pertecetes o itervlo R, R D fórmul de Tylor, pelo teorem podemos tomr, e escrever: f f f f!! Usdo est fórmul com f temos pr todo turl todo turl De temos que: ode está etre e pr

27 7 f f Como podemos dividir por e de cordo com otemos equção ] [ f f Assim, f f Como pertece o itervlo, R R segue do teorem que é solutmete covergete Como e estão o itervlo, R R eiste um úmero K tl que R K e R K Etão, pelo teorem, temos que K é solutmete covergete Sedo K 4 pr todo podemos cocluir, trvés do teste d comprção, que é solutmete covergete Segue de que f f 5 Utilizdo, em 5, o teorem 8: se série ifiit u é solutmete covergete, etão el é covergete e u u ; otemos f f 6

28 8 De 4 e de 6 otemos: f f K ode K R Como série do ldo direito é solutmete covergete, o limite do ldo direito, qudo tede pr, é zero e f f Lim o que equivle f e como pode ser qulquer úmero do itervlo R, R cocluímos demostrção do teorem 44 INTEGRAÇÃO TERMO A TERMO Teorem 4 Teorem d itegrção termo termo Sej um série de potêcis com rio de covergêci R Se f é um fução defiid por f etão f é itegrável em todo suitervlo fechdo de R, R e clculmos itegrl de f itegrdo série de potêcis termo termo Assim, se R, R etão como rio de covergêci f t dt e série resultte possui R Prov: Sej g um fução defiid por g Como os termos d série de potêcis que represet f são s derivds dos termos d série de potêcis que represet g, de cordo com o teorem, s dus séries tem o mesmo rio de covergêci e, pelo teorem, temos que g f pr todo R, R

29 9 Do teorem, segue que f g pr todo R, R Como f é difereciável em R, R, etão f é cotíu esse itervlo e, como coseqüêci, f é cotíu em todo suitervlo fechdo de R, R Se tomrmos R, R teremos f cotíu e itegrável o itervlo,, ou o itervlo, se se Assim, f t dt g g g o que equivle cocluido demostrção do teorem f t dt

30 CAPÍTULO 5: ENCONTRANDO UM VALOR APROXIMADO PARA Nest seção plicremos os resultdos sore teori de séries de potêcis demostrdos seção terior pr clculr um vlor proimdo do úmero, usdo soms prciis d série d fução rc tg 5 SÉRIE DE rc tg Utilizdo os teorems demostrdos teriormete, podemos ecotrr um série de potêcis que represete rc tg Um série de potêcis covergêci dest série defie um fução cujo domíio é o itervlo de Um série geométric c cr r coverge pr som c r se r e diverge se r Cosiderdo um série geométric com coverge pr som c e r f, e ssim,, temos que série se e est defie um fução f tl que se e sustituido por 4 6 ecotrmos se 5 Itegrdo termo termo otemos dt t 5 e ecotrmos série procurd: rc tg se

31 Vmos mostrr que o itervlo de covergêci d série de potêcis que represet tg rc é, de modo que tg rc se fzedo com que est represetção sej válid pr todo o itervlo, Assim fremos: Itegrdo o desevolvimeto fiito de ² otemos 5 5 r tg rc, ode dt t t r De fto, o cso em que rzão d série geométric é r t, temos iguldde ² 4 t t t t t S que é válid pr todo t Portto, dt S t S dt t rctg ² dt t t t dt t t t 4 ² ² ² 5 5 r, ode r é itegrl cim Pr todo, Temos dt t r, logo r Lim, portto vle iguldde tg rc pr todo, e podemos escrever tg rc 7 Como provmos que 7 vle pr, podemos gor tomr otedo rc tg 8

32 5 CÁLCULO DE COM 4 CASAS DECIMAIS Ecotrr o vlor umérico d som de termos d série 8 e multiplicá-lo por 4 id ão os dá um proimção rzoável pr o vlor de, pois el coverge letmete Etão, escreveremos como rc tg rc tg Ates, vmos 4 provr que rc tg rc tg 4 Prov: Sej rc tg e rc tg Temos que tg tg tg tg ssim, tg tg rc tg rc tg 4 Agor, sustituiremos e fórmul 7 e tomremos o úmero de termos ecessários pr oter um proimção de com 4 css decimis Pr temos: rc tg rc tg rc tg,5,46,65,,,4,, rctg,46648 S Pelo teorem 7, o erro o clculr 8 rc tg é meor que

33 Pr temos: rc tg rc tg rc tg,,5,8,7,, rctg,74 T6 Pelo teorem 7, o erro o clculr rc tg é meor que Etão,,46648,74, um proimção rzoável pr qutro css decimis e multiplicdo por 4 otemos, 456 O erro o proimr pel dição ds soms prciis S 8 e T 6 teriores é meor 4 que som dos erros, ou sej, meor que 6 : rc tg rc tg S 8 T6 rc tg S8 6 rc tg T rc tg S 8 rc tg T Dode, multiplicdo por 4, temos que o erro o clculr é meor que 6 e portto meor que 5 Portto ão há erro o clculr, dest meir, s qutro primeirs css decimis de

34 4 CONSIDERAÇÕES FINAIS Qudo ceitmos o desfio de ecotrr um vlor proimdo pr o úmero ão imgiávmos que pr se chegr um úmero tão cohecido pssrímos por defiições e teorems que se ligm formdo um lógic crescete que reflete elez d Mtemátic e, priciplmete, do Cálculo Diferecil Itegrl Hoje, cohece-se milhres de css decimis do úmero pi e pesr deste trlho chegr pes té su qurt cs, seu pricipl ojetivo, que er detlhr o cmiho ser seguido pr se chegr té el foi cumprido, citdo tods s defiições e teorems e demostrdo os mis relevtes

35 5 APÊNDICE TEOREMA DE ROLLE: Sej f :[, ] R cotíu, com f f Se f é derivável em, etão eiste, tl que f `

36 6 BIBLIOGRAFIA [ ] ÁVILA, GSS Cálculo II Diferecil e Itegrl, Rio de Jeiro, Livros técicos e Cietíficos, Brsíli, Editor Uiversidde Federl de Brsíli, 978 [ ] EVES, Howrd Itrodução à históri d mtemátic; trdução Hygio H Rodrigues; Cmpis - SP Editor UNICAMPI, 4 [ ] LEITOLD, Louis O Cálculo com Geometri Alític, volume ª ed São Pulo Editor Hrper & Row do Brsil Ltd 98 [ 4 ] LIMA, Elo Lges Aálise Rel, volume ª ed Rio de Jeiro: Istituto de Mtemátic Pur e Aplicd, CNPq, 99 p; Coleção Mtemátic Uiversitári [ 5 ] LIMA, Elo Lges Aálise o Espço R Brsíli, Ed uiversidde de Brsíli, 97 98p [ 6 ] LIMA, Elo Lges Curso de Aálise; v ed Rio de Jeiro: Associção Istituto Nciol de Mtemátic Pur e Aplicd, 9 4p; ilust; Projeto Euclides [ 7 ] SIMMONS, George F Cálculo com Geometri Alític, volume ; trdução Seiji Hriki; revisão técic Rodey Crlos Bssezi, Sílvio de Alecstro Pregoltto São Pulo: McGrw-Hill, 987 [ 8 ] STEWART, Jmes Cálculo volume, 6ª edição; trdução técic Atôio Crlos Moretti, Atôio Crlos Gilli Mrtis São Pulo: Cegge Lerig, [ 9 ] SWOKOWSKI, Erl Willi Cálculo com Geometri Alític; trdução Alfredo Alves de Fri; revisão técic Victor Hugo Teieir Rodrigues, Atôio Griel d Silv St Auy São Pulo: McGrw-Hill do Brsil, 98