INE 6006 Exercícios resolvidos - Resolução em itálico, observações em azul.

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1 INE 6006 Exercícios resolvidos - Resolução em itálico, observções em zul. 1) A resistêci iter à pressão (medid em psi) em grrfs de vidro usds pr bebids gseificds é um specto importte de qulidde. ert fábric de grrfs tem 3 lihs de produção: A, e. Periodicmete, mostrs de 5 grrfs de cd lih são retirds por sorteio, e ecmihds o fbricte de bebids pr álise. N últim vez que este procedimeto foi feito, os resultdos bixo form ecotrdos: Medids Lih A Lih Lih Totl Médi 178, ,14 176, ,933 Medi 180, ,3 179,81 Desvio pdrão 8,79 10,0553 8,5903 9,4095 V% 4,60% 5,46% 4,86% 5,3% Qi 174,07 176,17 169,94 174,655 Qs 184,5 189,85 183,13 186,53 Qs Md 3,53 5,85 5,83 6,7 Md Qi 6,65 7,83 7,36 5,155 Qi 1,5 (Qs-Qi) 158,8 155,65 150, ,845 Qs + 1,5 (Qs-Qi) 199,5 10,37 0,915 04,345 Míimo 159,13 161,4 161,97 159,13 Máximo 193,64 07,13 19,07 07,13 Assimetri -0,809 0,1300-0,0750 0,1351 urtose 0,6 0,4853-0,856 0,079 ) om bse pes s medids de sítese do TOTAL de grrfs d tbel cim, crcterize tedêci cetrl, dispersão, ssimetri, curtose e existêci de discreptes d resistêci à pressão. b) om bse pes s medids de sítese é possível cosiderr que resistêci preset distribuição orml s 3 lihs de produção? c) om bse pes s medids de sítese há evidêci de difereç resistêci em fução ds lihs de produção? RESOLUÇÃO ) Tedêci cetrl O vlor típico de pressão oscil etre 179,81 (medi 50% dos clietes bixo e 50% cim deste vlor) e 179,933 psi (médi). Dispersão A vrição totl d pressão é de 159,13 (míimo) 07,13 psi (máximo), com um desvio pdrão de 9,4095 psi, que represet 5,3% (V%) d médi (ão há como sber se é um dispersão grde ou ão, pois ão há pdrão de comprção). Assimetri A ssimetri vle 0,1351 (se igul zero sigific simetri), médi e medi são próxims (179,933 e 179,81 psi), e difereç etre qurtil superior e medi (6,7 psi) é semelhte à etre medi e qurtil iferior (5,155 psi). Tudo isso pot pr um distribuição simétric. urtose A distribuição deve ser mesocúrtic, pois o vlor de curtose (0,079) está próximo de zero. Se fosse leptocúrtic o vlor seri cosidervelmete mior do que 0, e se plticúrtic, meor. Existêci de discreptes Vlores meores do que 156,845 psi serim discreptes iferiores. omo o vlor míimo é 159,13 psi, ão há discreptes iferiores. Vlores miores do que 04,345 psi serim discreptes superiores. omo o vlor máximo é 07,13 psi, portto mior do que 04,345 psi, pode-se firmr

2 que há o míimo um vlor discrepte superior de pressão (o próprio vlor de máximo). b) Sim, pois ds codições ecessáris pr um distribuição de um vriável qutittiv poder ser cosiderd orml dus são stisfeits por tods s 3 lihs de produção: medid de ssimetri precis ser próxim de zero E medid de curtose tmbém. Isso ocorre s três lihs: lih A, ssimetri -0,809 e curtose 0,6; lih, ssimetri 0,1300 e curtose 0,4853; lih, ssimetri -0,0750 e curtose -0,856. lro que, em um situção rel usrímos outros meios pr cofirmr isso: gráfico de probbilidde orml, um teste de derêci, etc. c) omo s médis e medis são semelhtes s três lihs de produção podemos relizr álise comprdo medis e qurtis. Os qurtis e medi d lih são os miores ds três lihs (176,17, 189,95 e 184 psi, respectivmete), equto os d lih são os meores (169,94, 183,13 e 177,3 psi), e os d lih A estão em um ptmr itermediário (174,07, 184,5 e 180,7 psi). Este mesmo comportmeto ocorre s médis (184,14 psi, 176,6884 psi e 178,9664 psi A). oclui-se etão que há evidêci de difereçs etre s resistêcis, embor ão sej muito grde, pois mior ão pss de 7 psi (etre s medis ds lih e ) e meor de psi (etre s medis ds lihs A e ). Novmete, em um situção rel precisrímos de gráficos, e possivelmete relizr testes de hipóteses (pr comprr s médis ds resistêcis ds lihs, ou um álise de vriâci, pr vlir ser há difereçs sigifictivs etre s médis ds três lihs. Pelos vlores evolvidos, os testes poderim idicr que ão há difereç sigifictiv etre A e, ms que tlvez hj etre e, vej questão 5. ) O fbricte de bebids d questão 1 desej estimr médi de resistêci ds grrfs proveietes ds lihs de produção A, e. Exige cofiç de 99%. Sbe-se que s mostrs form retirds de lotes de 50 grrfs, e iformção recete prece idicr que s distribuições ds pressões s 3 lihs podem ser cosiderds proximdmete ormis. om bse s medids de sítese d questão 1, obteh os itervlos de cofiç pr s médis de resistêci e iterprete os resultdos. RESOLUÇÃO omo s distribuições ds resistêcis s 3 lihs de produção podem ser cosiderds proximdmete ormis, e s mostrs presetm pes 5 elemetos (meos de 30), e s vriâcis populciois ds resistêcis são descohecids (ão há ehum iformção respeito), devemos clculr os itervlos de cofiç usdo distribuição t de Studet: s ;99%) x t omo s três mostrs têm 5 elemetos, e o itervlo tem que ter 99% de cofiç, podemos ecotrr o vlor de t, t -1,crítico, pr expressão cim, e usá-lo pr determir os três itervlos: Procurdo tbel t de Studet, pr 4 grus de liberdde (gl = 1 = 5 1 = 4), pr um áre cud superior igul 0,005 (pois o itervlo de cofiç é simétrico, o que obrig dividir 1% em dois, resultdo 0,5%, 0,005 em vlores bsolutos), obtém-se t -1,crítico =,797

3 st gor substituir os vlores expressão, pr cd lih de produção: Lih de produção A: s 8,79 ;99%) A x t 178,9664, ,9664 4,607 psi 5 Lih de produção : s 10,0553 ;99%) x t 184,14, ,14 5,649psi 5 Lih de produção : s 8,5903 ;99%) x t 176,6884, ,6884 4,8054 psi 5 Ms como os tmhos ds três populções são cohecidos (N = 50), e N é meor do que 0, é preciso corrigir os vlores dos erros dos Is: Lih de produção A: s N 50 5 ;99%) A x t 178,9664 4, ,9664 4,3753 psi N Lih de produção : s N 50 5 ;99%) x t 184,14 5, ,14 5,3470 psi N Lih de produção : s N 50 5 ;99%) x t 176,6884 4, ,6884 4,5679 psi N E s iterpretções: N lih A, há 99% de probbilidde de que médi populciol d resistêci estej etre 174,5911 e 183,3417 psi. N lih, há 99% de probbilidde de que médi populciol d resistêci estej etre 178,795 e 189,489 psi. N lih, há 99% de probbilidde de que médi populciol d resistêci estej etre 17,105 e 181,563 psi. Observe que o itervlo d lih preset limites iferior e superior cim dos ds outrs lihs, e que lih preset os meores limites. otudo, existe superposição etre todos eles. 3) O fbricte de bebids d questão 1 ecessit que s grrfs presetem um resistêci médi à pressão de o míimo 175 psi. Sbe-se, pel questão, que s distribuições ds resistêcis s populções podem ser proximds pel orml. ) Aplicdo um teste esttístico proprido, usdo 1% de sigificâci e s medids d questão 1, respod se s 3 lihs de produção tedem o requisito. b) Se médi rel fosse de 177 psi, qul seri probbilidde do teste d letr detectr isso, supodo que os desvios pdrões mostris sejm bos estimtivs dos desvios pdrões populciois? c) Se desejássemos que o teste d letr detectsse que médi rel vle 177 psi com 90% de probbilidde, pr 1% de sigificâci, supodo que os desvios pdrões mostris sejm bos estimtivs dos desvios pdrões populciois, qul seri o tmho míimo de mostr ecessário pr cd lih de produção? RESOLUÇÃO ) Trt-se de um situção que exige tomd de decisão, obrigdo o uso de teste de hipóteses, lém disso, está explicitmete pedido o eucido pr plicr um teste de hipóteses.

4 Eucido s hipóteses: H 0 : μ = 175 psi H 1 : μ > 175 psi Está explicitmete dito pr testr médi (μ), e o vlor de teste é de 175 psi. Se s grrfs resistirem mis do que isso, serão provds. omo rejeitr H 0 é um declrção mis forte do que ceitá-l, usmos o mior do que 175 em H 1, pois pr rejeitr hipótese mostr idic que existem provs esttístics suficietes pr isso ( guilty o direito pel merico), equto que o ceitr hipótese ão ecotrmos provs suficietes pr rejeitá-l ( ot guilty ). Trt-se de um teste uilterl à direit, em cd lih s mostrs tem 5 elemetos (meos do que 30), s vriâcis populciois ds resistêcis s 3 lihs são descohecids (ão há iformções, ovmete, respeito), ms s distribuições ds resistêcis podem ser proximds por um orml: devemos usr distribuição t de Studet com 4 grus de liberdde (gl = 1 = 5 1 = 4): x 0 t 4 s / Lih de produção A: x 0 178, t 4,410 s / 8,79 / 5 Lih de produção : x 0 184, t4 4,546 s / 10,0553/ 5 Lih de produção : x 0 176, t4 0,983 s/ 8,5903/ 5 omo os testes são uilteris à direit é preciso clculr probbilidde de que t 4 sej mior do que os vlores clculdos, e comprr com 1% (0,01). Procurdo tbel d distribuição t de Studet pr 4 grus de liberdde. Lih A Áre cud superior 0,05? 0,01 Vlor de t 4,064,410,49 omo t 4 =,410, etre,064 e,49, sigific que: 0,01 < P(t 4 >,410) < 0,05, e, portto, MAIOR do que 0,01 (ível de sigificâci), idicdo que H 0 deve ser AEITA. Iterpretção: ão há prov esttístic suficiete de que resistêci médi ds grrfs d lih A sej mior do que 175 psi. Vej figur bixo pr mior esclrecimeto: A probbilidde de que t 4 sej mior do que,410 vle 0,01, portto mior do que o ível de sigificâci de 1% (0,01), levdo à ceitção de H 0. Note, porém, que é um cso de froteir, pois o vlor é pes um pouco mior do que 0,01.

5 Lih Áre cud superior 0,0005? Vlor de t 4 3,745 4,546 omo t 4 = 4,546, cim de 3,745, sigific que: P(t 4 > 4,546) < 0,0005, e, portto, MENOR do que 0,01 (ível de sigificâci), idicdo que H 0 deve ser REJEITADA. Iterpretção: há prov esttístic suficiete de que resistêci médi ds grrfs d lih sej mior do que 175 psi. Vej figur bixo pr mior esclrecimeto: A probbilidde de que t 4 sej mior do que 4,546 vle 0,0001, portto meor do que o ível de sigificâci de 1% (0,01), levdo à rejeição de H 0. E rejeit-se com bstte folg, pois probbilidde é mis de cem vezes meor do que 0,01. Lih Áre cud superior 0,5? 0,10 Vlor de t 4 0,685 0,983 1,318 omo t 4 = 0,983, etre 0,685 e 1,318, sigific que: 0,10 < P(t 4 > 0,983) < 0,5, e, portto, MAIOR do que 0,01 (ível de sigificâci), idicdo que H 0 deve ser AEITA. Iterpretção: ão há prov esttístic suficiete de que resistêci médi ds grrfs d lih sej mior do que 175 psi. Vej figur bixo pr mior esclrecimeto: A probbilidde de que t 4 sej mior do que 0,983 vle 0,1677, portto muito mior do que o ível de sigificâci de 1% (0,01), mis de dez vezes, levdo à ceitção de H 0. b) N prátic (LE-3) deverímos usr distribuição t de Studet ão cetrl, ms um proximção rzoável pr clculr o poder do teste pode ser feit pel t de Studet comum (cetrl). Pr s três lihs de produção s hipóteses, íveis de sigificâci e tmhos de mostr são os mesmos, muddo pes os desvios pdrões. E s hipóteses form: H 0 : μ = 175 psi H 1 : μ > 175 psi

6 Trt-se de um teste uilterl à direit, com vlor de teste μ 0 = 175. Etão os vlores de t c (vlor de t cim do qul rejeitrímos H0, pois é um teste uilterl À DIREITA) serão os mesmos pr s três lihs: procurdo tbel t de Studet, pr 4 grus de liberdde e áre cud superior igul 0,01, obtemos t c =,49. osiderdo os desvios pdrões mostris como bos estimdores dos desvios pdrões populciois, podemos ecotrr os vlores críticos de médis mostris, correspodetes t c : Lih de produção σ s Vlor crítico de médi mostrl A 8,79 sa 8,79 xca 0 tc 175,49 179, ,0553 s 10,0553 xc 0 tc 175,49 180,01 5 8,5903 s 8,5903 xc 0 tc 175,49 179,81 5 Agor precismos clculr o vlor de t, ou sej, o vlor correspodete à médi mostrl crític distribuição supost rel d resistêci, que preset médi igul 177 psi. O poder do teste será probbilidde de que t sej MAIOR do que t, pois é um teste UNILATERAL à direit com região de rejeição d hipótese H 0 à direit, portto cim d médi mostrl crític (correspodete t c ). Ms que precis ser clculdo distribuição que tem médi rel igul 177 psi. Lih de produção t A xca 179, t A 1,77 sa / 8,79 / 5 xc 180, t 1,498 s / 10,0553/ 5 xc 179,81177 t 1,38 s / 8,5903/ 5 omo t tem 4 grus de liberdde, e o teste é uilterl à direit, o poder do teste será P(t 4 > t ), procurdo tbel d t de Studet pr 4 grus de liberdde: Lih A Áre cud superior 0,5? 0,10 Vlor de t 0,685 1,77 1,318 omo t = 1,77, etre 0,685 e 1,318, sigific que: 0,10 < Poder do teste = P(t 4 > 1,77) < 0,5. Lih Áre cud superior 0,10? 0,05 Vlor de t 1,318 1,498 1,711 omo t = 1,498, etre 1,318 e 1,711, sigific que: 0,05 < Poder do teste = P(t 4 > 1,498) < 0,10. Lih Áre cud superior 0,10? 0,05 Vlor de t 1,318 1,38 1,711 omo t = 1,38, etre 1,318 e 1,711, sigific que: 0,05 < Poder do teste = P(t 4 > 1,38) < 0,10. Note que são vlores pequeos, idicdo provvelmete que mostr deveri ser mior pr difereç exigid ( psi cim de μ 0 ). Apes pr referêci, os vlores do poder do teste pr s três

7 lihs de produção pel distribuição t ão cetrl form 11,93%, 8,8% e 11%, respectivmete, e os obtidos pel proximção form 10,69%, 7,36% e 9,83%, respectivmete. c) Usdo expressão de cálculo de tmho de mostr pr testes de hipóteses uilteris, pr cso de vriâci populciol descohecid: t0 1; t0 1; 0 e 0 s Tods s mostrs piloto têm 5 elemetos, etão t terá 4 grus de liberdde (gl = 1 = 5 1 = 4). O ível de sigificâci () vle 0,01(1%), e o poder do teste vle 0,9 (90%) pr um médi rel de 177 psi. Procurdo tbel d distribuição t de Studet pr 4 grus de liberdde, pr áre cud superior igul 0,01 e 0,1 (1-0,9), ecotrmos: t 0-1; = t 4;0,01 =,49 e t 0-1; = t 4;0,1 = 1,318 Idepedete do tipo de teste é IMPERATIVO que os dois vlores tehm o mesmo sil pr que se somem expressão de cálculo do tmho de mostr. Os vlores de pr s lihs de produção: A 0,431 0, , 38 s A 8,79 s 10,0553 s 8,5903 Lih A: Lih : Lih : t0 1; t0 1;,49 1, , ,431 t0 1; t0 1;,49 1, , ,1989 t0 1; t0 1;,49 1, , ,38 omo cohecemos os tmhos ds populções (50 s três lihs), e dois tmhos de mostr são miores do que os ds populções, é preciso fzer correção: Lih A: N ,99 14 N Lih : N , N Lih : N , N Pr 177 psi, que está próxim d médi testd (175 psi), pr um sigificâci de 1% e poder do teste de 90% (90% de probbilidde de detectr que médi rel d resistêci NÃO é 175, ms sim 177 psi), precisrímos de mostrs bem miores do que s retirds origilmete (o míimo 4,96 vezes mis...).

8 4) Imgie que s grrfs d questão 1 são vlids qulittivmete como defeituoss ou ão defeituoss. Um mostr letóri de 50 grrfs foi retird de um lote de Form ecotrds 41 defeituoss mostr. ) Obteh o itervlo de 95% de cofiç pr proporção populciol de grrfs defeituoss. b) Pr um cofiç de 95% e precisão de 3% ecotre o tmho míimo ecessário de mostr, usdo proporção mostrl ecotrd e trvés d estimtiv exgerd. RESOLUÇÃO ) Está declrdo textulmete pr obter itervlo de cofiç de proporção. Ms o primeiro psso é vlir se é possível proximr distribuição d proporção mostrl de grrfs defeituoss por um orml. osiderdo sucesso grrf defeituos, ds quis há 41 mostr de 50, result que frcsso será grrf ão defeituos, ds quis há 09 mostr de 50. Etão: pˆ 0,164 e 1 pˆ 0, Verificdo s codições pr proximção pel orml: pˆ 50 0, (1 pˆ) 50 0, omo AMOS são miores ou iguis 5 é possível proximr distribuição d proporção mostrl por um orml, e usr expressão bixo: pˆ (1 pˆ) p;95%) pˆ Z omo mostr tem 50 elemetos, o itervlo tem que ter 95% de cofiç, podemos ecotrr o vlor de Z, Z,crítico, pr expressão cim, e usá-lo pr determir o itervlo: Por ser um itervlo de cofiç bilterl sigificâci, 5% (100% - 95% = 5%), 0,05 em vlor bsoluto, precis ser dividid igulmete em dus prtes: 0,05 cud superior e 0,05 iferior. Procurmos etão por Z crítico, tl que P(Z>Z crítico ) = 0,05. Pel tbel d distribuição orml pdrão ecotrmos Z crítico = 1,96. Substituido todos os vlores expressão do itervlo de cofiç: pˆ (1 pˆ) 0,164 0,836 p;95%) pˆ Z 0,164 1,96 0,164 0, Ms como o tmho d populção é cohecido (N = 4000), e N é meor do que 0, é preciso corrigir o vlor do erro do I: pˆ (1 pˆ) N 0,164 0, p;95%) pˆ Z 0,164 1,96 0,164 0,044 N Iterpretção: Há 95% de probbilidde de que proporção populciol de grrfs defeituoss estej etre 0,1 (1%) e 0,08 (0,8%).

9 b) Exige-se um cofiç de 95%, portto sigificâci de 5%, com precisão (erro máximo) de 3% (0,03 em vlor bsoluto) pr o itervlo de cofiç d proporção de grrfs defeituoss. O vlor de Z será o mesmo do item, pels mesms rzões. Usdo os ddos d mostr piloto: Zcrítico pˆ (1 pˆ) 1,96 0,164 0, ,1 586 E 0,03 0 omo o tmho d populção é cohecido: N ,11 51 N Usdo estimtiv exgerd, em que proporção mostrl é igul 0,5: Zcrítico pˆ (1 pˆ) 1,96 0,5 0, , E 0,03 0 omo o tmho d populção é cohecido: N , N Usdo os ddos d mostr piloto o míimo 51 elemetos pr 95% de cofiç e precisão de 3% pr estimr proporção populciol. Usdo estimtiv exgerd o tmho míimo de mostr sobe pr ) Aplicdo um teste esttístico proprido, usdo 1% de sigificâci e s medids d questão 1, há evidêci de difereç etre s médis de resistêci ds grrfs ds lihs e? E etre A e? Trt-se de um situção que exige tomd de decisão, obrigdo o uso de teste de hipóteses, lém disso, está explicitmete pedido o eucido pr plicr um teste de hipóteses, o cso teste de difereç etre médis. Primeiro mostrmos o procedimeto pr s lihs e Eucido s hipóteses pr s lihs e : H 0 : μ = μ H 1 : μ μ Está explicitmete dito pr testr s médis (μ). Trt-se de um teste bilterl, em cd lih s mostrs tem 5 elemetos (meos do que 30), s vriâcis populciois ds resistêcis s dus lihs são descohecids (ão há iformções, ovmete, respeito), ms s distribuições ds resistêcis podem ser proximds por um orml: devemos usr distribuição t de Studet com 48 grus de liberdde (gl = + = = 48), e como s mostrs têm o mesmo tmho: s s t 48 x x e s s Substituido os vlores s expressões: s s 10,0553 8,5903 s 87, t x x (184,14 176,6884) s 87,4511, omo o teste é bilterl é preciso clculr probbilidde de que t 48 sej mior do que os vlores clculdos, multiplicr est probbilidde por, e comprr com 1% (0,01). Procurdo

10 tbel d distribuição t de Studet pr 48 grus de liberdde (podemos proximr por 50 grus de liberdde). Áre cud superior 0,005? 0,005 Vlor de t 48,678,818,937 omo t 48 =,818, etre,678 e,937, sigific que: 0,005 < P(t 48 >,818) < 0,005, ou sej, 0,005 < < P(t 48 >,818) < 0,01, e, portto, MENOR do que 0,01 (ível de sigificâci), Idicdo que H 0 deve ser REJEITADA. Iterpretção: há prov esttístic suficiete de que s resistêcis médis ds grrfs ds lihs e sejm diferetes. Vej figur bixo pr mior esclrecimeto: A probbilidde de que t 48 sej mior do que,818 vle 0,0035, multiplicdo- por result 0,007, portto bixo do ível de sigificâci de 1% (0,01), levdo à rejeição de H 0. Eucido s hipóteses pr s lihs A e : H 0 : μ A = μ H 1 : μ A μ Está explicitmete dito pr testr s médis (μ). Trt-se de um teste bilterl, em cd lih s mostrs tem 5 elemetos (meos do que 30), s vriâcis populciois ds resistêcis s dus lihs são descohecids (ão há iformções, ovmete, respeito), ms s distribuições ds resistêcis podem ser proximds por um orml: devemos usr distribuição t de Studet com 48 grus de liberdde (gl = A + = = 48), e como s mostrs têm o mesmo tmho: sa s t48 xa x e s s Substituido os vlores s expressões: sa s 8,79 8,5903 s 70,746 5 t xa x (178, ,6884) s 70,746 0, omo o teste é bilterl é preciso clculr probbilidde de que t 48 sej mior do que os vlores clculdos, multiplicr est probbilidde por, e comprr com 1% (0,01). Procurdo tbel d distribuição t de Studet pr 48 grus de liberdde (podemos proximr por 50 grus de liberdde). Áre cud superior 0,5? 0,10 Vlor de t 48 0,679 0,958 1,99 omo t 48 = 0,958, etre 0,679 e 1,99, sigific que:

11 0,10 < P(t 48 > 0,958) < 0,5, ou sej, 0, < P(t 48 > 0,958) < 0,50, e, portto, MAIOR do que 0,01 (ível de sigificâci), idicdo que H 0 deve ser AEITA. Iterpretção: ão há prov esttístic suficiete de que s resistêcis médis ds grrfs ds lihs A e sejm diferetes. Vej figur bixo pr mior esclrecimeto: A probbilidde de que t 48 sej mior do que 0,958 vle 0,1714, multiplicdo- por result 0,348, portto bem mior do que o ível de sigificâci de 1% (0,01), levdo à ceitção de H 0. Observem que os testes corroborm s álises explortóris feits questão 1, letr c.

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