SIDNEY DIAS COUTO LOGARITMOS CONCEITOS E APLICAÇÃO

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1 SIDNEY DIAS COUTO LOGARITMOS CONCEITOS E APLICAÇÃO LAVRAS MG 203

2 SIDNEY DIAS COUTO LOGARITMOS CONCEITOS E APLICAÇÃO Trblho de Coclusão de Curso presetdo à Uiversidde Federl de Lvrs, como prte ds eigêcis do Progrm de Pós-Grdução Profissiol em Mtemátic, áre de cocetrção em Mtemátic, pr obteção do título de Mestre. Orietdor Dr. Ricrdo Edem Ferreir LAVRAS MG 203

3 Fich Ctlográfic Elbord pel Coordedori de Produtos e Serviços d Bibliotec Uiversitári d UFLA Couto, Sidey Dis. Logritmos : coceitos e plicções / Sidey Dis Couto. Lvrs : UFLA, p. : il. Dissertção (mestrdo) Uiversidde Federl de Lvrs, 203. Orietdor: Ricrdo Edem Ferreir. Mestrdo Profissiol em Mtemátic. Bibliogrfi.. Logritmo. 2. Aplicção. 3. Logritmo - Esio Médio - Softwre mtemático. 4. GeoGebr. I. Uiversidde Federl de Lvrs. II. Título. CDD

4 SIDNEY DIAS COUTO LOGARITMOS CONCEITOS E APLICAÇÃO Trblho de Coclusão de Curso presetdo à Uiversidde Federl de Lvrs, como prte ds eigêcis do Progrm de Pós-Grdução Profissiol em Mtemátic, áre de cocetrção em Mtemátic, pr obteção do título de Mestre. APROVADO em 09 de setembro de 203. Dr. A Cludi Pereir Dr. Ricrdo Meezes Slgdo UFLA UFLA Dr. Ricrdo Edem Ferreir Orietdor LAVRAS MG 203

5 RESUMO O cálculo de logritmos e sus proprieddes se presetrm como lgo iovdor e estiverm o pogeu por muito tempo, priciplmete, por ser um método que permitiu efetur multiplicções, divisões, potecições e etrções de rízes com cert prticidde, o etto, com o dveto d clculdor e dos recursos computciois, este e vários outros coceitos mtemáticos já ão são mis vistos como lgo iteresste e desfidor o Esio Médio. Por meio deste trblho, buscou-se, por um estudo histórico dos logritmos, dr teção especil à costrução formlizd de seus coceitos e sugerir um plicção o Esio Médio com utilizção de um softwre mtemático. O esio de logritmo é de grde vlor pr Mtemátic, fz-se muito presete em estudos sobre feômeos turis e, mtemátic ficeir, é um grde desfio tto pr quem esi quto pr quem prede. Plvrs-chve: Logritmo. Aplicção. Esio.

6 ABSTRACT The clcultio of logrithms d their properties is preseted s somethig iovtive d were t the pek for log time, mily becuse it is method tht llowed performig multiplictios, divisios, potetistios d etrctios of roots with some prcticlity, however, with the dvet of the clcultor d computig resources, this d severl other mthemticl cocepts re o loger see s somethig iterestig d chllegig i high school. Through this study, we sought through historicl study of logrithms to give specil ttetio to the costructio of formlized its cocepts d suggest pplictio i the High School with the use of mthemticl softwre. The techig of the logrithm is of gret vlue to mthemtics, it is very preset i the study of turl pheome d mthemticl fice d is gret chllege for those who tech how to ler. Keywords: Log. Applictio. Techig.

7 LISTA DE FIGURAS Figur Tel iicil do GeoGebr Figur 2 Eemplo prático de como etrr com s epressões o GeoGebr e visulizção gráfic dests epressões Figur 3 Visulizção prcil d tividde Figur 4 Visulizção prcil d tividde Figur 5 Gráfico d fução decrescete qudo 0, Figur 6 Gráfico ieistete d fução que se tor idefiid qudo Figur 7 Gráfico d fução crescete qudo Figur 8 Ajuste do icremeto dos potos A,B e C Figur 9 Ajuste do dos potos A,B e C Figur 0 Visulizção uméric e gráfic dos logritmos de 2 e de Figur Visulizção gráfic ds fuções f ( ) log, g ( ) e h( ) Figur 2 Visulizção gráfic d simetri etre fuções f ( ) log e g ( ) ) Figur 3 Visulizção gráfic d simetri etre fuções f e g com Figur 4 Visulizção gráfic d simetri etre fuções f e g com 0, Figur 5 Visulizção dos vlores idefiidos dos potos E e F qudo

8 SUMÁRIO INTRODUÇÃO HISTÓRIA LOGARITMOS UMA ABORDAGEM FORMAL O úmero e UMA PROPOSTA PARA O ENSINO DE LOGARITMOS NO ENSINO MÉDIO A Fução Epoecil LOGARITMOS Proprieddes Opertóris A Fução Logrítmic DESENVOLVIMENTO DE UMA SEQUÊNCIA DE ATIVIDADES DIDÁTICAS QUE EXPLORAM O USO DO GEOGEBRA PARA O ENSINO DE LOGARITMOS Cohecedo o GeoGebr e sus fuções Primeir tividde Segud tividde Aálise ds tividdes prátics e do uso de ovs tecologis pr o esio de Mtemátic APLICAÇÕES DE LOGARITMOS Desitegrção rdiotiv O método Crboo Resfrimeto de um corpo Aplicção de logritmo Mtemátic Ficeir Atividde I Atividde II CONCLUSÃO REFERÊNCIAS... 72

9 8 INTRODUÇÃO O iteresse de cohecer feômeos turis, desde muito tempo, vem comphdo humidde e o estudo de logritmos foi e id é muito útil pr tl filidde. Podemos, id, dizer que s proprieddes logrítmics, tmbém, são úteis simplificção de lgus cálculos mtemáticos, lém disso, este cohecimeto tem grde plicção em diverss áres do cohecimeto. Assim sedo, fremos este trblho um estudo histórico dos logrítmicos e, em seguid, dremos um teção costrução formlizd dos coceitos logrítmicos com crcterístic cdêmic. Depois do estudo formlizdo dos logrítmicos, propomos um álise mis ituitiv de tl coceito que será um sugestão pr o esio dos logritmos o Esio Médio. Esio este que é proposto por lgus utores de um form muito mecâic e empíric, levdo o luo pes ceitr os logritmos como um coceito sem eo com relidde. Pr um melhor predizgem e fição dos logritmos, propomos, tmbém, este trblho um ul que tem como ferrmet pricipl o softwre GeoGebr que é um softwre de mtemátic diâmic grtuito e multi-pltform pr todos os íveis de esio, que combi geometri, álgebr, tbels, gráficos, esttístic e cálculo em um úico sistem. A propost pr o esio dos logritmos presetd este teto, trz lgums plicções dos logritmos em estudos de feômeos turis e mtemátic ficeir e, ssim, espermos que tl esio sej mis iteresste e desperte o luo um curiosidde pr melhor eteder o mudo o seu redor.

10 9 2 HISTÓRIA Qudo se trt de cálculos ritméticos, lgum dificuldde é sempre ecotrd, priciplmete, qudo se fl em multiplicção, divisão, potecição e rdicição, por isso lgus mtemáticos dedicrm prte do tempo de seus estudos pr ecotrr lgus métodos mis práticos, meos tediosos e que fcilitssem própri vid e vid de outros estudiosos que utilizvm mtemátic como ferrmet pr eteder feômeos turis e geográficos. Com est preocupção, os mtemáticos, etão, trblhrm fim de trsformr os lboriosos cálculos ritméticos em cálculos mis simples os quis form divididos, etão, em um grupo de primeir espécie, represetdo pel dição e pel subtrção, em um grupo de segud espécie que são s multiplicções e s divisões e, por fim, um grupo de terceir espécie composto pel potecição e rdicição. Os logritmos têm um grde potecil de trsformr os grupos de terceir em segud espécie e os de segud em primeir espécie, o que fcilit eecução dos cálculos como potecição, multiplicção e divisão. No século XVII, o obre Jho Npier cotribuiu muito pr Mtemátic crido tábu de logritmos que trsformv multiplicções em dição (LIMA, 2009). A tábu, crid por Npier de meir mul, cosiste em um tbel de dus colus de úmeros. A colu d esquerd cosiste o úmero e colu d direit se refere o logritmo.

11 Qudro Relção etre um úmero e seu logritmo usdo potêci de bse 2 Pr efetur, por eemplo, multiplicção de 652 bst somr os úmeros à direit de 6 e 52, respectivmete, isto é, 4+9 =3 que correspode 892, etão temos que 652=892. Pr dividir dois úmeros, o processo é álogo, porém usmos subtrção o em vez d som dos correspodetes úmeros à direit. Em outrs plvrs, podemos ver que Jho Npier relcioou, tbel, um progressão geométric (PG) com um progressão ritmétic (PA) coforme tbel:

12 PG PA N Qudro 2 Relção etre PA e PG No mesmo mometo, porém distte de Npier, o mtemático Jost Biirgi ( ) procurv desevolver lgo sobre logritmos que, por coicidêci ou ão, criou um método de cálculo muito precido com o de Npier citdo teriormete. Como Npier possuí um relção muito forte com professores uiversitários, s sus publicções tiverm um destque mis cetudo (LIMA, 2009). Do mesmo modo que Npier e Biirgi estvm à procur de cohecimeto e de ovs tecologis, outros itelectuis tmbém estvm, dest form, com o pssr do tempo, o cálculo de logritmos e s tábus logrítmics pssrm ser cosiderdos por muitos, como ferrmets obsolets depois do surgimeto ds clculdors e de potetes computdores. No etto, ão se

13 2 pode dizer que os logritmos estão à beir d etição, pois cd vez mis ciêci tem mostrdo que lgus feômeos físicos, químicos e biológicos estão relciodos os logritmos (LIMA, 2009).

14 3 3 LOGARITMOS UMA ABORDAGEM FORMAL A seguir fremos um presetção dos logritmos tedo como fudmetção bibliogrfi LIMA, Elo Lges. Aálise rel. 6. ed. Rio de Jeiro: Associção Istituto Nciol de Mtemátic Pur e Aplicd, 2002.v.. Fremos, primeirmete, um presetção dos logritmos, por meio de itegrl e, em seguid, serão presetds s proprieddes ds fuções epoeciis. Defiimos fução log: R + R como log = dt, pr todo > 0. t Note que fução f = log é cotíu e log =, pelo Teorem Fudmetl do Cálculo (T.F.C.), dí f é crescete, pois > 0, > 0 e ssim coclui-se que log é ijetor. Podemos, id, dizer que log = 0. De fto, pelo T.F.C. se f é itegrável e F ( ) f ( ) d 0. Dest form temos que log dt. t ( ) f ( d, etão F ) D defiição de log = dt segue que: t ) log( y) log log y De fto, pr quisquer log y y dt t, y R, dt t y dt log t y dt. t

15 4 Cosiderdo itegrl y y t dt, podemos mostrr que log y = dt t pr cd y R + e pr cd R +, fzedo mudç de vriável t = s, derivdo t em relção s, temos que dt = ds pr cd R +. Note que t = s y etão s y dí itegrl em questão fic d seguite form: y dt y ds s t y ds s Pr y, isto é, y o rgumeto é álogo. Agor, por defiição, temos que y ds = log y. s y Portto, log y = y dt = log + dt = log + log y. Est t t propriedde é chmd de propriedde fudmetl. b) D propriedde fudmetl obtemos, log( r ) rlog, r Q, De fto, pr todo iteiro positivo por defiição temos log. = log = 0. Pel vlidde d propriedde fudmetl pode-se provr por idução que log =. log, isto é; Pr = temos que log( ). log. Supohmos gor que pr lgum N, log( ) log. Queremos mostrr que log( ) ( ) log, de fto, log( ) (log. ) log log log log ( )log, como queremos demostrr. defiição que Agor, sej um úmero turl e um úmero rel positivo temos por

16 5 0., N e Dest defiição decorre que de um modo gerl, pr p turl e mior que 2, temos que p é um produto de p ftores iguis, dí, de form ituitiv, temos; log( ) log( ) log log... log log, Tmbém, podemos ver que; 0 log(. ) log log( ) log log( ) Como o iverso ditivo de log é log, pr que iguldde log log( ) 0 sej válid, por cosequêci, teremos log( ) log segue que ( p / q q p ) log p / q Dí, provmos, tmbém, vlidde pr r Z. Agor, sej r Q, p r pr p e q iteiros e q ão ulo. Por defiição, q e pelo que foi provdo, p / q p ( q/ q)log (/ q)log ( p/ q)log. Por outro ldo, se tis que p r s temos que R, r R é irrciol pr quisquer rciois p e s p r s p r s p log log log log s log isto é, r log log slog

17 6 Assim, pr todo úmero rel r meor que, temos que log log r r log log e pr todo úmero rel r mior que temos que r s log log. Cocluímos que log log pr todo R. c) Outr crcterístic d fução log: R + R é que el é sobrejetiv. De fto, como t log dt pr todo 0, é um fução cotíu, etão, su imgem é um itervlo, podemos, etão, vlidr est firmção mostrdo que fução é ilimitd superior e iferiormete, lisdo, por eemplo, s igulddes log( 3 ) log 3 e log( 3 ) log 3 qudo. Como log é ijetiv e sobrejetiv el é bijetiv de R sobre R, cuj ivers defiiremos prtir de gor como fução ep : R R, dd por ep( ) y log y, isto é, log(ep(( )) e ep(log y) y. Como fução log é sobrejetor, eiste um úmero rel, cujo logritmo é, por equto vmos chmr este úmero de e, dí como ep é ivers de log temos etão que e ep( ). A fução ep( ) : R R é um bijeção crescete, pois se tomrmos 2 etão y ep( ) e y 2 ep( 2 ), stisfz y y. De fto, 2 log( y) e log( 2 ) 2 y, como e 2 log é crescete temos que y y. 2 D fução log( ) podemos obter s seguites proprieddes;

18 7 d) A derivd d fução ep é própri fução, ou sej, ep' ( ) ep( ). De fto, como ep( ) y, e log y tem-se, ep' ( ) y ep( ) (log)' ( y) e) ep + y = ep. ep y, pr, y R. Sejm ep( ) e b ep( y), dí log e log b y. Etão, log( b) b ep( ).ep( y) ep( y) ep(log log b) ep. log(ep( r)) log. Além disso, r ep( r) e, r Q. De fto, pel propriedde log( r ) r. log tem-se que r r r r. r log e log e, dode ep( r) e As igulddes r ep( r) e e ep( y) ep( ).ep( y), pel ijetividde de pr r Q e, y R, reforçm idei de que epoecil ep( ) se comport como potêci de bse e e epoete. Defiimos etão e ep( ) Dest otção ghm vlidde s seguites proprieddes; R. y e e e y, e 0, e e, y y e e, e ) log e y y, pr quisquer R e y 0 (LIMA, 2002). log(,

19 8 f) Podemos defiir potêci, > 0, e R, usdo fução logrítmic de form que iguldde sej válid. Dess form, usremos est iguldde como defiição, logo diremos que é o úico úmero rel cujo logritmo é igul. log, ou sej, = e log = e log. log( ). log A fução esperds e um dels é: f ( ) com f : R R, possui proprieddes opertóris Pr p / q com p, qz e q 0 tem-se que De fto, f p / q q p ( ). f ( ) e ( p / q)log e log q p q p As outrs são: y y., 0, ( ). Note y y e log que esss proprieddes seguem diretmete d defiição f ( ) e, 0. A derivd d fução f ( ) pode ser clculd como f '( ) d d d d d d log log e e, fzedo u log, como du log d, usdo regr d cdei temos que u log f '( ) e. u' e. log. Podemos dizer que derivd de f ( ) é positiv pr egtiv qudo 0, pode-se dizer que f é crescete qudo e e

20 9 decrescete qudo 0. Pr observ-se, id, que lim e lim 0, gor se 0 teremos lim 0 e lim, pr mis detlhes vej Lim (2002). Podemos observr que fução Dí defiimos, gor, fução bijetor f ( ). A otção f ( ) é um bijeção, qudo. log : R R como sedo ivers d fução log é lid como o logritmo de bse pr todo R. e temos: Assim, voltdo à defiição clássic, qudo y y log e se log l. 0 log log Logo, o logritmo que defiimos o começo tem bse e o chmmos de logritmo turl ou de logritmo eperio. e, pr todo log Note, tmbém, que e log, dí, log e e log.log log, isto é, log que pel propriedde logrítmic podemos log log. log escrever Dest propriedde resultm s proprieddes (log )'( )..log log ( y) log log y e 3. O úmero e

21 20 Ateriormete citmos que eiste um úico úmero rel cujo logritmo é. Como derivd d fução log é etão est derivd vle o poto em que vle. Em outrs plvrs; lim 0 Como log( ) lim, ou sej, 0.log( ) lim log ( 0 ( ) / = log ( ) / lim( ) 0 / ) ep, temos que / ep() e. Fzedo mudç de vriável y, temos que y lim ( ) e y y y O úmero e deomido de úmero de Euler é epresso trdiciolmete por lim( ) com turl. Sedo f ( ) e R, série de Mclurim de f é, 0! ! 4!! Portto, segue que, e e 0! 2 3!......, dí 4!! podemos ecotrr um vlor proimdo de e com lgums css decimis de proimção como segue o desevolvimeto ds soms prciis de 0! s 0 =

22 2 s 3 2! s 2 3! s = + = 2 2! 2 0,5 2,5 2,5 2,5 0, , s 4 2! 3! 4! 2, , s 5 2! 3! 4! 5! 2, , s 6 2!.. 5! 6! 2, , s 7 2!... 7! 2, , s 8 2!... 8! 2, , s 9 2!... 9! 2, , s 0 2! 3!... 0! 2, Assim, e é proimdmete igul 2, ,

23 22 4 UMA PROPOSTA PARA O ENSINO DE LOGARITMOS NO ENSINO MÉDIO Est prte do trblho está bsed em Mtemátic Ciêcis e Aplicções, Volume e em Logritmos, escrito por Elo Lges Nests bibliogrfis, os logritmos são muito bem presetdos e su bordgem está próim de um ligugem proprid os luos do esio médio. Ates de começr este ssuto, é bom que o professor fç um breve presetção históric dos ftos e dos estudos que levrm o estudo dos logritmos. Est prte históric poderá ser bsed o teto que é presetdo o iício do trblho que trz um breve presetção d históri dos logritmos e d su importâci. Após presetção históric e do cmpo de plicção dos logritmos, é importte mostrr os logritmos como ivers d fução epoecil, pois o uso de itegrl ão fz prte do currículo do Esio Médio, prtir dí recomedmos presetr tis coceitos d fução epoecil d seguite meir. Tedo >0, e m iteiro positivo, podemos dizer que úmero m é defiido como o produto de m ftores iguis o úmero e, de meir álog, é o produto de ftores iguis pr cd iteiro positivo, portto, o produto m. temos multiplicção de m ftores iguis o úmero, pelo produto de ftores iguis o úmero, dí se coclui que m m.. Não dotmos pertecete tod ret rel, pois se 0 e m 0 etão teremos um idetermição mtemátic e qudo for egtivo, teremos o resultdo de ou ímpr, respectivmete. m como um úmero positivo ou egtivo se m for pr

24 23 D propriedde cim, defiimos 0 =, pois; Como é um úmero iteiro positivo, podemos esteder plicção de epoetes iteiros egtivos como sedo, pois;. 0 Estededo propriedde fudmetl, vle firmr que: z p m z p m ou m m m m m m. ) (..... ( ftores iguis ) Pr epoetes rciois d form q p, com Z q p, e 0 q, defiimos potêci q p como um úmero rel positivo, tl que, q q p = q q p. = p Logo q p q p será um úmero rel positivo cuj q -ésim potêci é igul p.

25 24 Note que, pr q pr, p ímpr e 0 teremos um idetermição mtemátic. É bom que o professor fç um breve cometário sobre este ssuto, tlvez presetdo, por eemplo, se tivermos 4, p e q 2, o p q 2 úmero q p 4 ão é um úmero rel. 4. A Fução Epoecil Supohmos um úmero rel positivo sempre diferete de o qul dmos o ome de bse. A fução epoecil de bse, f : R R epress y f será defiid de modo que teh s seguites pel otção proprieddes: ). y y f y y Note que f f y. f y.. Se um fução : R R tem est propriedde, etão, el ão pode ssumir vlor igul zero, eceto se fução for ul. Como demostrção dotemos que eist um 0 R de tl form que f 0 0, etão teremos, f f f f 0. f logo, f será ideticmete ul. Se fução tiver est propriedde e ão é ideticmete ul, etão el relmete é positiv pr todo R. Vejmos,

26 25 f f f. f f 0 2 2) todo Se um fução possui s proprieddes e 2 podemos dizer que, pr N, f f... f. f.. f temos Usdo propriedde result que pr f r r q Cosequetemete, r r s f r f s f. pr todo r s Q p p r, com p qz q coforme mostrmos teriormete. f r é úic fução, e f., e q 0 f : Q R tl que 3) Por defiição, temos que fução f é crescete pr e decrescete qudo 0. Dest propriedde temos como defiir o vlor de f qudo for irrciol. Porém ão coselhmos que o professor presete est defiição o esio médio, sedo ssim, defiição de f, qudo é irrciol, tem vlor este trblho como objeto de estudo pr o professor. Vmos supor, etão r s, com r s Q tem s seguites proprieddes r s,.

27 26 Isto é, proimções por ecesso são é o úmero rel cujs proimções por flt são A e B com propriedde cim de modo que r e s s. Não podem eistir dois úmeros diferetes r s A B. Se eistisse o itervlo A, B etão eistiri um potêci com epoete rciol cotrrido desiguldde terior. A figur preset os gráficos ds fuções g qudo se 0. f com e Gráfico Gráfico ds fuções epoeciis crescetes e decrescetes. Ates de dr iício o ssuto sobre logritmos, é bom que o docete presete os luos lgus eercícios pr um melhor fição ds proprieddes epoeciis como vem seguir.

28 27 Atividde I ) Clcule s potêcis utilizdo s devids proprieddes epoeciis ) b) c) d) Soluções: ) b) c) d) ( 6) ( 2) ( 2) ( ) ( 4) ) Simplifique s epressões deido respost em form de potêci ) 2 2 y z 4 3

29 28 b) c) b d) 3 2 : + Solução ) z y z y z y z y z y b) 4 2) ( ( -) c) b b b d) (3-) : + + +

30 29 5 LOGARITMOS Tedo defiido lgums proprieddes epoeciis fic mis fácil gor crcterizr o que é logritmo. A idei é bem simples, podemos defiir logritmo usdo epoecil, isto é; b log b. De um meir bem simples, escrever log b é o mesmo que pergutr qul é o vlor umérico do epoete equção Ao escrever b. log b lê-se o logritmo de b bse é igul, ote que os úmeros reis e b devem ser úmeros positivos com. Cosequêcis d defiição: ) log 0 De fto, se log 0 0 = b) log De fto, se log = log b c) b Pr justificr tl propriedde temos que log b b. Logo, log b b d) log b log c b c

31 30 Se log b log c log b log c etão, b c. 5. Proprieddes Opertóris Agor vmos presetr qutro proprieddes opertóris dos logritmos que têm grde importâci este estudo, são els: ) Logritmo de um produto, log ( b. c) log b log c Pr provr vlidde de log ( b. c) log b log c bst observrmos que, usdo defiição, temos. log b b, log c y y c, log ( b. c) z z b. c Logo: z y bc z y, isto é, log ( b. c) log b log c b b) Logritmo de um quociete, log log b log c c Novmete, por defiição, vem; log b b, log c y y c, log z Logo: z y y. = y. = y b log log c b log b c z z y c b z c, isto é,

32 3 r c) Logritmo de um potêci log b r. log b com R r. Usdo defiição mis um vez temos; log b b, b r y r log y b, Portto, se r log b r. log b. y r y r r b ( ) r y, ou sej, d) Mudç de bse, log log b log c c b Est últim propriedde se chm mudç de bse, demostrção d su vlidde é cosequêci de propriedde fudmetl, y Sedo log b b, log b y c b, c log c z c z, dí segue que, z y b ( c ) c z y c c z y log log b log c c b. y z, ou sej, É usul escrever o logritmo de, 0, bse 0 como log, este logritmo dmos o ome de logritmo deciml e, como já flmos, o logritmo de bse e escrevemos log l e o deomimos logritmo eperio. e

33 A Fução Logrítmic Pr todo úmero rel positivo, temos que fução f, é um correspodêci biuívoc etre R e e pr 0 temos que f é decrescete. Segue que ivers d fução f de bse é dd por f : R R, R, crescete pr log : R R que ssoci cd úmero rel positivo o úmero rel deomido logritmo de bse. y log, Observção. Sedo um fução f : X Y bijetor, fução g : Y X será ivers de f se g( f ( )) e f ( g( y)) y pr quisquer X e y Y. Evidetemete, f é fução ivers de g, se e somete se, fução g é fução ivers de f. De fto, ddo qulquer X tl que f ( ) y, logo y Y eiste f ( g( y)) f ( g( f ( ))) f ( ) y Etão pel defiição de fução ivers, temos que log e log ( ).

34 33 Portto, o úmero, isto é, log é o epoete o qul se deve elevr bse pr obter y log y D relção u v uv., segue imeditmete que log ( y) log log y etão pr quisquer e y positivos. De fto, se u e v y, logo u log e v log y y u v uv., ou sej, log ( y) u v log log y Cosequetemete, tods s proprieddes opertóris logrítmics presetds seção terior, tmbém, têm vlidde pr s fuções logrítmics. A fução logrítmic log : R R é crescete qudo e como 0, segue que pr os úmeros compreedidos etre 0 e tem logritmo egtivo e pr os úmeros miores que o logritmo é positivo. Ao cotrário, pr 0 temos que fução é decrescete de modo que log é egtivo

35 34 qudo e positivo qudo 0. Como 0, temos que log 0, vle ressltr que somete os úmeros positivos possuem logritmo rel, pois fução ssume somete vlores positivos. A figur mostr os gráficos ds fuções g( ) log qudo 0. f ( ) log com e Gráfico 2 Gráfico ds fuções logrítmics crescetes e decrescetes Not: O crescimeto de um fução logrítmic é bstte leto e cotrst com o crescimeto d fução epoecil que é muito rápido. Estes gráficos estão ilustrdos pelos gráficos ds fuções segue bio. ( ) e g ) log 2 f 2 ( como

36 35 Gráfico 3 Gráfico ds fuções epoecil ( ) log. g 2 f 2 ( ) e logrítmic Dest represetção crtesi podemos dizer que o gráfico de um fução é simétrico o gráfico d su ivers em relção o gráfico d fução h( ) o plo Sej fução 2 R. d ivers, se tivermos o poto f ( ) log e su ivers g ( ), pel propriedde f ( c) d, isto equivle dizer que g( d) c, De fto, se f ( c) d etão, f ( c) log c d c d g(d)

37 36 Em resumo, iverter s coordeds de um poto o gráfico d fução f produz um poto o gráfico d fução g. Alogmete iverter s coordeds de um poto o gráfico d fução g produz um poto o gráfico d fução f. No etto, o efeito geométrico de iverter s coordeds de um poto é refletir quele poto sobre ret y.

38 37 6 DESENVOLVIMENTO DE UMA SEQUÊNCIA DE ATIVIDADES DIDÁTICAS QUE EXPLORAM O USO DO GEOGEBRA PARA O ENSINO DE LOGARITMOS Este cpítulo é um propost de ul que servirá como objeto de trblho pr o esio e predizdo dos logritmos, usdo o softwre GeoGebr, como ferrmet de esio. Este softwre é grtuito e comptível com os sistems operciois Widows e Liu, os quis, miori ds escols têm istldo em seus computdores. Além disso, propomos o uso desse softwre como prátic pr o esio dos logritmos, porque ele servirá como um ov ferrmet de esio itertiv e estrá juto uilido o professor costrução do sber, fil, ele combi geometri, álgebr, cálculo, gráficos e outros recursos e ão ecessit de um cohecimeto prévio de iformátic pr que sej dmiistrdo. 6. Cohecedo o GeoGebr e sus fuções Pr que melhor se poss usr esse softwre é importte fzermos um presetção ds sus fuções, bem como ds sus forms de iserção de comdos. O GeoGebr tem su iterfce dividid em dois cmpos chmdos de jels. A primeir jel (jel d esquerd) recebe o ome de Jel de Álgebr e outr jel é chmd de Jel de Visulizção. N jel de álgebr são presetdos os ddos de etrd ds equções e ds coordeds dos potos. Já jel de visulizção fz um esboço gráfico ds equções e dos potos presetdos um sistem de coordeds ortogois. A iterfce do Geogebr preset, id, brr de ferrmets e brr de meus e cmpo de etrd:

39 38 Figur Tel iicil do GeoGebr Fote: Softwre GeoGebr (Adptdo pelo utor) Podemos otr que s epressões digitds o cmpo de etrd vão ocorrer de form diferete jel de visulizção, coforme podemos verificr figur bio:

40 39 Figur 2 Eemplo prático de como etrr com s epressões o GeoGebr e visulizção gráfic dests epressões Fote: Softwre GeoGebr (Adptdo pelo utor) Nest figur, temos epressão e o respectivo gráfico gerdo pel fução defiido pel cor correspodete à mesm. Est cor é escolhid pelo usuário o clicr brr meus o cmpo editr e, posteriormete, em proprieddes ode será possível, pel jel cor, escolher colorção desejd. Segue bio um tbel com lgus comdos e seus respectivos ícoes que os uilirão prátic didátic.

41 40 Tbel Tbel istrutiv de lgus comdos do Geogebr dptd pelo utor Mover COMANDOS FIGURAS PROCEDIMENTOS Novo Poto Clique sobre o objeto costruído e o movimete áre de trblho Clique áre de trblho e o poto fic determido Poto médio ou cetro Ret defiid por dois potos Segmeto defiido por dois potos Segmeto com comprimeto cohecido Vetor defiido por dois potos Vetor prtir de um poto Polígoo Rets perpediculres Rets prlels Meditriz Bissetriz Tgetes Clique sobre dois potos e o poto médio fic determido Clique em dois potos d áre de trblho e ret é trçd Clique em dois potos d áre de trblho e o segmeto é trçdo Clique em um poto d áre de trblho e dê medid do segmeto Clique em dois potos d áre de trblho e o vetor fic determido Clique em três ou mis potos fzedo do primeiro, tmbém, o último poto. Fic determido o polígoo Selecioe um ret e um poto e ret perpediculr fic determid Selecioe um ret e um poto e ret prlel fic determid Selecioe um segmeto ou dois potos e meditriz fic determid Clique em três potos, o segudo poto determi bissetriz Selecioe ou costru um côic e um poto, s tgetes ficm determids

42 4 Tbel, cotiução COMANDOS FIGURAS PROCEDIMENTOS Círculo defiido pelo cetro e um de seus potos Círculo ddos cetro e rio Círculo defiido por três potos Clique em um poto e rrste pr determir o rio e o círculo Clique em um poto e iforme medid do rio, o círculo fic determido Clique em três potos, o círculo fic determido Âgulo Âgulo com mplitude fi Distâci Refleão com relção um poto Refleão com relção um ret Homoteti de um poto por um ftor Iserir teto Relção etre dois objetos Deslocr eios Amplir Clique em três potos e o âgulo fic determido Clique em dois potos e iforme bertur do âgulo Clique em cd objeto que se queir determir distâci Clique o poto ser refletido e o outro que servirá de bse pr refleão Clique o poto ser refletido e ret que servirá de bse pr refleão Selecioe o objeto, mrque o poto cetrl d homoteti e iforme o ftor Clique áre de trblho e isir o teto Clique em dois objetos e verifique iguldde, ou ão, desses objetos Arrste áre de trblho com o mouse Clique sobre o objeto que se desej mplir

43 42 Tbel, coclusão Reduzir COMANDOS FIGURAS PROCEDIMENTOS Eibir/escoder objeto Eibir/escoder rótulo Apgr objetos Cotrole Deslizte Clique sobre o objeto que se desej reduzir Clique sobre o objeto que se desej escoder/eibir Clique o rótulo do objeto pr eibi-lo ou escodê-lo Clique sobre o objeto que se desej pgr Clique jel de visulizção pr especificr posição do cotrole deslizte Fote: Borges Neto et l. (203) 6.2 Primeir tividde Depois de breve presetção do GeoGebr, vmos gor plicr um tividde que desevolv o luo hbilidde d iterpretção do gráfico de um fução logrítmic jutmete com plicção ds proprieddes. Est tividde foi ispird idei do trblho de coclusão de curso (TCC) do mestrdo Loureço (203). ) Logritmo de um produto, log ( b. c) log b log c b) Logritmo de um quociete, b log log b log c c

44 43 visulizção Selecioe o Cotrole Deslizte e clique jel de pr que um ov jel do cotrole deslizte preç. Nest jel, selecioe 2, itervlo má. igul 0 e icremeto igul 0,0 e selecioe plicr como se vê seguir. O icremeto é o créscimo que é ddo o vlor de lgum vriável ou objeto: Figur 3 Visulizção prcil d tividde Fote: Softwre GeoGebr (Adptdo pelo utor) Em seguid, digite o cmpo de etrd fução f()=log(,) e perte eter. Depois dest etp, teremos respectiv fução epress Jel de Álgebr e o gráfico dess fução logrítmic será esboçdo Jel de Visulizção coforme figur bio:

45 44 Figur 4 Visulizção prcil d tividde Fote: Softwre GeoGebr (Adptdo pelo utor) Podemos perceber que fução presetd gerou um gráfico de outr fução crescete em rzão do prâmetro ser mior que, Como este prâmetro represet bse do logritmo, veremos que este gráfico ssumirá form de um fução decrescete se 0 e fução será ieistete pr. Pelo progrm, podemos, id, verificr s mudçs o gráfico, qudo oscilmos o vlor do prâmetro clicdo ele e pertdo s sets direciois (direit ou esquerd) do tecldo do computdor, fzedo com que os vlores de umetem ou dimium, mostrdo, ssim, o crescimeto ou decrescimeto d fução. Vle lembrr que defiimos est oscilção etre -5 e 0. Vejmos o que cotece pr lgus vlores de coforme s figurs:

46 45 Figur 5 Gráfico d fução decrescete qudo 0, 85 Fote: Softwre GeoGebr (Adptdo pelo utor)

47 46 Figur 6 Gráfico ieistete d fução que se tor idefiid qudo 0 Fote: Softwre GeoGebr (Adptdo pelo utor)

48 47 Figur 7 Gráfico d fução crescete qudo Fote: Softwre GeoGebr (Adptdo pelo utor) Nests figurs podemos perceber o que cotece grficmete com fução f ( ) log qudo vrimos o vlor d bse. Com ituito de proveitr o que foi costruído o softwre, vmos gor mrcr três potos: A, B e C sobre curv d fução e mudr o vlor do pr 0. Após mrcrmos os três potos, deveremos ir o meu Editr e selecior o cmpo proprieddes. Logo pós, ir à b Álgebr e selecior cd poto que está à direit d mesm e justr o icremeto pr 0,0. Isso será feito pr rredodr o vlor ds bscisss, objetivdo, ssim, um melhor desempeho didático.

49 48 Figur 8 Ajuste do icremeto dos potos A,B e C Fote: Softwre GeoGebr (Adptdo pelo utor) Feito tis dequções, fechremos jel Preferêcis e justremos s bscisss dos potos A, B e C pr 2, 5 e 0, respectivmete:

50 49 Figur 9 Ajuste do dos potos A,B e C Fote: Softwre GeoGebr (Adptdo pelo utor) Depois desss mudçs, poderemos observr log 0 2 0, 3, log 0 5 0, 7 e log 0 0, vlores esses que têm proimção de um cs deciml. De posse desses vlores, coseguiremos verificr vercidde ds proprieddes seguites: ) Logritmo de um produto, log ( b. c) log b log c, isto é, log 0 0 log 0(2.5) log 0 2 log 0 5 0,3 0,7 b) Logritmo de um quociete, b log log b log c, ou sej, c

51 50 0 log 0 5 log 0 log 0 0 log 0 2 0,3 0,7 2 É relevte esclrecer que esses são eemplos pr um fmilirizção do luo com o progrm relciodo com plicção ds proprieddes logrítmics. É deid bert propost pr que o professor dê mis eemplos de multiplicção ou divisão uméric, vrido ou ão, o vlor d bse e gerdo ovos potos pertecetes o gráfico d fução logrítmic. Pr plicção d propriedde Logritmo de um potêci dd por r log b r. log b com r R, recomedremos que se use dois potos cuj bsciss de um é um potêci d bsciss do outro. Por eemplo, vmos usr os potos A e B de bscisss 2 e 6, respectivmete. Coforme figur bio, seus respectivos logritmos com proimção de um cs deciml são 0,3 e,2:

52 5 Figur 0 Visulizção uméric e gráfic dos logritmos de 2 e de 6 Fote: Softwre GeoGebr (Adptdo pelo utor) De posse dos vlores de log 0 2 0, 3 e de log 0 6, 2, é possível cocluir, pel propriedde do Logritmo de um potêci, que: 4 log 06 log log ,3,2 ou etão que: log 06 log 0( ) log 0 2 log 0 2 log 0 2 log 0 2 0,3 0,3 0,3 0,3,2

53 52 Esss tividdes têm como fim orter plicção ds proprieddes logrítmics, por isso, fic livre pr o professor presetção e crição de outrs tividdes que bordem o ssuto em questão. 6.3 Segud tividde Est tividde vem uilir visulizção e iterpretção de dus fuções iverss etre si que tem gráficos simétricos em relção à digol dd pel equção y. Como o osso foco de estudo é fução logrítmic f ( ) log com e positivos e, temos, etão, su ivers, que será fução g ( ) com positivo e, tmbém, diferete de. A pricípio, selecioremos o Cotrole Deslizte e clicremos jel de visulizção pr que um ov jel do cotrole deslizte preç. Ness jel, selecioremos 2, itervlo má. igul 0 e icremeto igul 0,0 e selecioremos plicr. Em seguid, digitremos três fuções, um de cd vez, seguido os comdos. N ci de etrd digitremos epressão log(,) e pertremos eter, logo pós, digitremos ^ e pressioremos eter. Por fim, digitremos ci de etrd e pertremos eter ovmete. Feito isso, teremos um imgem projetd semelhte à imgem bio.

54 53 Figur Visulizção gráfic ds fuções h( ) Fote: Softwre GeoGebr (Adptdo pelo utor) f ( ) log, g ( ) e Em seguid, colocremos cd fução represetd por um cor. Ao usr o tlho Ctrl+E, podemos defiir s cores correspodetes pr cd gráfico. Feito isto, vmos crir um ret coicidete com ret de equção y. Pr tl, criremos um ret defiid por dois potos clicdo em e mrcdo dois potos (A e B) quisquer sobre digol. Preferecilmete, mrque estes potos o terceiro qudrte. Sobre ov ret criremos outr ret perpediculr à ret suporte do seguimeto AB clicdo em e, em

55 54 seguid, clicdo um poto d ret AB que sej pertecete o primeiro qudrte. Pr filizr, mrcremos dois outros potos sobre s itersecções dest ret com s fuções f e g. Precismos gor defiir distâci etre s itersecções e ret AB. Por ssim ser, clicremos em e, em seguid, clicremos itersecção dest com fução logrítmic, e itersecção ds dus rets, pós est operção, clicremos sobre itersecção d ret com fução epoecil e ovmete sobre itersecção ds dus rets. Notmos que o progrm gor pss eibir o comprimeto de dois seguimetos de mesm medid. Vej figur formd bio. Figur 2 Visulizção gráfic d simetri etre fuções g( ) f ( ) log e

56 55 Fote: Softwre GeoGebr (Adptdo pelo utor) Nest figur o professor poderá rgumetr sobre s crcterístics de fuções iverss e presetr, de um meir geométric, que tis fuções são simétrics em relção à ret h (digol pertecete o primeiro qudrte) e mostrr que, mesmo lterdo o vlor d bse ds fuções f e g, medid dos seguimetos ED e DF presetdos s figurs bio cotium iguis etre si. Figur 3 Visulizção gráfic d simetri etre fuções f e g com 0 Fote: Softwre GeoGebr (Adptdo pelo utor)

57 56 Figur 4 Visulizção gráfic d simetri etre fuções f e g com 0, 65 Fote: Softwre GeoGebr (Adptdo pelo utor) Notmos figur seguir que, por ão serem defiids s fuções pr 0, os potos de itersecção E e F e os segmetos DE e EF pssm, tmbém, serem idefiidos. N figur veremos, tmbém, que s fuções f e g ão possuem mis represetção gráfic pelo fto de serem idefiids pr 0.

58 57 Figur 5 Visulizção dos vlores idefiidos dos potos E e F qudo 0 Fote: Softwre GeoGebr (Adptdo pelo utor) 6.4 Aálise ds tividdes prátics e do uso de ovs tecologis pr o esio de Mtemátic Apresetremos, seguir, um tbel que os proporcio um visão d ceitção do uso do Geogebr como um bo ferrmet pr o esio dos logritmos. Est tbel foi obtid por meio de um questioário com sete perguts, plicdo o fil d relizção ds dus tividdes presetds teriormete. As tividdes form plicds pr um grupo de vite luos do esio médio, divididos em dupls, de modo que cd luo tivesse tempo e codições de prticipr efetivmete ds tividdes.

59 58 obtido. Vej como form s perguts presetes o questioário e o resultdo Questioário de vlição d prátic de esio dos logritmos utilizdo o softwre Geogebr ) Você cosider que o uso do computdor e de outrs tecologis são eceletes ferrmets relção esio-predizgem? ( ) Muito Pouco ( ) Pouco ( ) Regulr ( ) Bom ( ) Ecelete 2) Em que medid você cosider que o esio dos logritmos ssocido o uso do computdor reforçm su predizgem? ( ) Muito Pouco ( ) Pouco ( ) Regulr ( ) Bom ( ) Ecelete 3) Em relção o softwre Geogebr, em que medid ele fcilitou su predizgem e compreesão ds proprieddes opertóris dos logritmos? ( ) Muito Pouco ( ) Pouco ( ) Regulr ( ) Bom ( ) Ecelete 4) As tividdes relizds com o Geogebr form iteresstes? ( ) Muito Pouco ( ) Pouco ( ) Regulr ( ) Bom ( ) Ecelete 5) O Geogebr judou compreeder melhor fução epoecil e logrítmic? ( ) Muito Pouco ( ) Pouco ( ) Regulr ( ) Bom ( ) Ecelete 6) Aid em relção o softwre Geogebr, em que medid ele fcilitou su predizgem e compreesão álise dos gráficos d fução logrítmic e epoecil. ( ) Muito Pouco ( ) Pouco ( ) Regulr ( ) Bom ( ) Ecelete 7) Em gerl, em que medid você cosider que o uso do Geogebr represet um gho em su predizgem o fzer s prátics ssocids com o esio trdiciol (qudro e giz)? ( ) Muito Pouco ( ) Pouco ( ) Regulr ( ) Bom ( ) Ecelete Qudro 3 Questioário de vlição d prátic de esio dos logritmos utilizdo o softwre Geogebr

60 59 Tbel 2 Distribuição de frequêcis ds resposts obtids o questioário de vlição d prátic de esio dos logritmos utilizdo o softwre Geogebr que vlirm percepção de predizdo dos 20 luos prticiptes Perguts Percepção do predizdo () Pouco ou Regulr (2) Bom Ecelete Totl Totl () ão sigifictivo 5% de probbilidde pelo teste do Qui-Qudrdo de homogeeidde (p = 0,07). (2) grupmeto efetudo pel usêci de resposts opção muito pouco e d bi frequêci de respodetes opção pouco. Os resultdos obtidos, presetdos Tbel 2, mostrm que ão houve vrição sigifictiv etre percepção de predizdo e s perguts referetes à plicção ds prátics. Not-se que pr tods s questões vlids, percepção de predizdo prece ser homogêe. Esse resultdo mostr que, em gerl, s percepções dos luos se cocetrrm em su mior prte etre s opções Bom e Ecelete sem distição d pergut e um proporção semelhte, sugerido que o método empregdo teve desempeho stisftório.

61 60 7 APLICAÇÕES DE LOGARITMOS Observ-se que s fuções logrítmics e epoeciis podem ser ssocids os feômeos turis, cálculos ficeiros ou usds pr ecotrr soluções de problems com fis didáticos. Est prte do trblho efoc, priciplmete, presetção dos logritmos o estudo de feômeos d turez. 7. Desitegrção rdiotiv Segudo Lim (2009), os átomos de substâcis rdiotivs como, por eemplo, o urâio e o rádio tedem turlmete se desitegrrem emitido prtículs trsformdo-se em um substâci ão rdiotiv. Dest form, medid em que o tempo pss, qutidde de mteril eistete este corpo se desitegr de meir proporciol à mss d substâci origil. A costte de proporciolidde α que, tmbém, é chmd de costte ou t de desitegrção é determid eperimetlmete, e cd substâci rdiotiv possui su própri costte de desitegrção. Sej M 0 mss de um corpo, formdo por um substâci rdiotiv com t d desitegrção α. Se fosse processd isttemete desitegrção desse mteril o fim de cd segudo e mss M 0 deste corpo o tempo t = 0, decorrido segudo t =, perd d substâci rdiotiv seri igul αm 0 uiddes de mss, restdo mss M = M 0 αm 0 = M 0 α. Decorridos dois segudos, ov mss seri M 2 = M αm = M α = M 0 α. α = M 0 α 2. Pssdos s segudos, mss M s seri dd por M s α s. Procurdo um proimção melhor pr tl feômeo e por sber que desitegrção se process cotiumete (e ão o fim de cd segudo), fie

62 6 um iteiro > 0 e imgie que desitegrção se dá cd itervlo de segudo. Após primeir frção de mss do corpo pssri ser M M M Isto represet que, depois de um segudo, terim ocorridos desitegrções isttâes, ou sej, restri do corpo mss M 0 α se fossem efetuds s reduções. Pr o cálculo d mss o fil de t segudos, deve-se dividir o itervlo [0,] em prcels iguis, de modo que em cd itervlo perd de mss será M 0. αt, o repetir o processo cim sucessivmete, ov mss do corpo será dd por M(t)=M 0. e αt. Vle ressltr que uidde de tempo dotd pode vrir desde que costte α sej, proporciolmete, lterd. A costte α é, prátic, determid prtir de um úmero básico chmdo mei-vid d substâci que é o tempo ecessário pr metde d mss de um corpo formdo por ess substâci se desitegre. A mei-vid de um substâci é represetd por um úmero, por eemplo, os isótopos de rádio têm mei vid idicd bio: Rádio 226: mei vid Rádio 228: mei vid Rádio 223: mei vid Rádio 224: mei vid 620 os 6,7 os,68 dis 3,64 dis Todo elemeto rdiotivo, cuj mei-vid é igul t 0 uiddes de tempo, tem su mss reduzid à metde d mss iicil o tempo t 0. Logo

63 62 costte α deste elemeto pode ser determid por: 2 M t = M t e αt 2 = e αt. Aplicdo s proprieddes logrítmics, tem-se: l 2 = αt 0 l2 = αt 0 α = l2 t 0, com t 0 igul o tempo pr que determid substâci rdiotiv teh metde d su mss desitegrd. Determi-se t de desitegrção α = l2 t 0, cohecedo mei-vid t 0 e, cosequetemete, mei-vid pode ser dd por t 0 = l2, desde que se coheç t de desitegrção. α 7.2 O método Crboo-4 Este método é empregdo frequetemete pr determir idde de um fóssil ou de um objeto bem tigo feito de mdeir. Pr isto é utilizdo um isótopo rdiotivo do crboo que é deomido crboo-4 idicdo por C 4, ele tem formção tmosfer em fução do bombrdeio de rios cósmicos que terr sofre. A qutidde de C 4 tmosfer tem se mtido costte porque su produção é cotrblced pel desitegrção. A qutidde de crboo- 4, tmbém, se mtém costte em cd ser vivo em virtude d bsorção de limetos ou pel fotossítese ds plts. A prtir do mometo em que o ser morre, bsorção de C 4 cess e o processo de desitegrção (perd d mss de C 4 ) se tor o úico processo tivo. De um meir mis precis, segue que costte α do crboo-4 cuj mei-vid é dd por t 0 = 5570 os é dd por α = l = 0, =0, Eemplo. Há muito tempo persiste dúvid se um velh mes de mdeir que eisti um cstelo iglês podi ser Távol Redod do rei Artur, que viveu o século V.

64 63 Pr decidir se mes foi feit este tempo, o método do cálculo de idde do crboo-4 foi imprescidível, pois, por meio de um cotdor Geiger (istrumeto usdo pr medir rdiotividde), descobriu-se que mss M = M(t) de C 4 presete mes é 0, 894 vezes mss M(t) de C 4 que eiste em um pedço de mdeir viv com o mesmo peso d mes. Se M 0 é mss de C 4 que eisti mes t os trás qudo el foi feit, etão, pr verificr idde d mes, tomemos equção M(t)=M 0. e αt ode α = 0, Como M(t)=0,894. M 0, isto é 0,894. M 0,000244t t 0 M 0. e 0,894 e 0, Aplicdo s proprieddes logrítmics, log( 0,894) log( 0,894) t os. 0, t log e 0, Dí podemos cocluir que mes em questão ão é Távol Redod que hoje teri mis de 500 os (LIMA, 2009). 7.3 Resfrimeto de um corpo O resfrimeto de um corpo cosiste em colocr um objeto quecido em um meio mis frio cuj mss sej suficietemete grde de modo que su tempertur ão se ltere em rzão d tempertur do objeto quecido, ou sej, tempertur do meio permecerá costte idepedetemete do objeto ter sido colocdo este meio ou ão. De meir semelhte o processo d desitegrção rdiotiv, o resfrimeto de um corpo obedecerá à Lei de resfrimeto de Newto, que

65 64 stisfeits às codições cim, difereç de tempertur D, etre o objeto e o meio que o cotém decresce respeitdo um t proporciol difereç etre s temperturs. De modo semelhte o estuddo pr lei de desitegrção rdiotiv, podemos mostrr que lei de resfrimeto se epress por D t t ( ) D0. e, sedo 0 D difereç de tempertur o istte t = 0, D(t) difereç de tempertur um istte t qulquer e costte vrido de cordo com o mteril que costitui superfície do objeto. Resslt-se, tmbém, que Lei de resfrimeto de Newto tem vlidde pr epoetes positivos, isto é, pr quecimeto de um corpo colocdo em um meio mis quete (LIMA, 2009). 7.4 Aplicção de logritmo Mtemátic Ficeir Pr filizr o esio dos logritmos, queremos gor propor dus tividdes que eemplificm o uso dos logritmos e sus proprieddes plicdos mtemátic ficeir Atividde I Por cus de um processo de ssédio morl, um juiz determiou o pgmeto de um ideizção o réu té determid dt. Decidiu, tmbém, que, cso o pgmeto ão sej feito, será cobrd um mult d empres cusdor, de R$ 2,00 que dobr cd di de trso. Pergut-se: ) Qul será o vlor d dívid depois de 2 dis de trso?

66 65 b) Depois de qutos dis de trso mult será superior R$ ,00? Obs. Pr ess resolução, é bom permitir que os luos fçm cojecturs. Cso ocorr que os luos ecotrem os resultdos por outros cmihos, ão descosiderr tis soluções, fil o importte é se chegr o resultdo. Porém deve se presetr eles solução forml como segue; Solução: Item - Vej tbel Dis de trso ésimo di Vlor pgo em reis 2,00 4,00 8,00 6, = 2 + Item b - A mult determid pelo juiz pode precer peque, se o trso o pgmeto for de poucos dis. Ms el cresce com um rpidez muito grde. Cosiderdo o úmero de dis de trso o pgmeto, o vlor d dívid D() será. D() = 2 + Pr clculr em que di mult tige milhão de reis, devemos resolver equção: D() = 2+ = Ess equção será resolvid clculdo o logritmo e plicdo propriedde dos logritmos que estão bse 0 como segue:

67 66 log 2+ = log log 2+ = log 06 Cosiderdo propriedde do logritmo d potêci: (+). log 2 = 6.log 0 Como log 0 = e log 2 = 0, 30 (vej clculdor), temos: 6 (+)0, 30 = 6. 0, 30 9,93 8,93 reis. Cocluímos que o 9º di de trso mult terá pssdo de milhão de Atividde II O regime de juros compostos é o mis comum o sistem ficeiro e, portto, o mis útil pr cálculos de problems do di di. Os juros gerdos cd período são icorpordos o pricipl pr o cálculo dos juros do período seguite. Chmmos de cpitlizção o mometo em que os juros J são icorpordos o pricipl P. Depois de três meses de cpitlizção, o motte M será:

68 67 seri M M M 0 im 0 i M 0( ), decorridos dois meses, o ovo motte 2 2 M i. M M( i) M 0( i).( i) M 0( i) meses, o motte M s seri dd por M 0 + i t.. Pssdos s ) º mês: M M 0 im 0 M 0 ( i) b) 2º mês: o pricipl é igul o motte do mês terior: M 2 2 M i. M M( i) M 0( i).( i) M 0( i) c) 3º mês: o pricipl é igul o motte do mês terior: M M 2 i. M 2 M 2( i) M 0( i).( i) M 0( i) Simplificdo, obtemos fórmul: M M ( i) 0 Importte: t i tem que ser epress mesm medid de tempo de, ou sej, t de juros o mês pr meses. De cordo com tl coceito temos, por eemplo, seguite situção: Dispodo de R$ 0.000,00 um pequeo comercite ecessit de R$ ,00 pr fzer um empreedimeto. Por este motivo el irá plicr quti que tem em um fudo de cpitlizção que rede 20%.. (o o). Nesss codições determie: ) A quti que o comercite terá depois de 3 os

69 68 b) tempo ecessário que o comercite deve esperr pr que seu cpitl supere R$ ,00 SOLUÇÃO: Item Sedo M 0 = R$ 0.000,00, i = 20%.. e = 3 os temos pel relção M ) M 0 ( i que: M ( 20%) 0000.( 0,2) 0000.(,2) 0000.(,728) 7280,00 Etão depois de 3 os o comercite terá R$ 7.280,00. Item b De posse dos ddos do problem que são M ,00, M 0 =R$ 0.000,00 e i = 20%=0,20 podemos, etão, observr pel fórmul M M ( i) 0 que: ( 0,2) (,2) 2,5 (,2) Aplicdo s proprieddes de logritmos temos. 2,5 log(,2) log log 2,5.log(,2 ) log 2,5 log(,2)

70 69 Agor, usdo clculdor cietífic, teremos que 2,5 0, 398 log(,2) 0,079 dí: log e, 0,398 5,038 0,079. Portto, depois de 5, 038 os ele terá o diheiro que precis, como o problem t de juros é o o, etão ele terá que esperr 6 os pr ter um quti superior R$ ,00.

71 70 8 CONCLUSÃO Em vist dos rgumetos presetdos, com certez, o estudo dos logritmos é de grde vlor pr Mtemátic e pr comuidde que fz uso ds ciêcis plicds. Not-se que o uso e plicção dos logritmos se distcirm em muito do propósito iicil presetdos por Npier e Briggs que buscvm trsformr multiplicções e divisões em som e subtrção (LIMA, 2009). Neste trblho mostrmos que os logritmos e s epoeciis possuem lgums proprieddes que podem ser ssocids feômeos turis ou pes pr fis didáticos ou de profudmeto em coceitos ligdos à Mtemátic pur e plicd. É curioso e, o mesmo tempo fscite, que com o surgimeto d fução logrítmic, prlelmete despotou o úmero de Euler que, o que lhe diz respeito, está ssocido diverss situções como, por eemplo, mtemátic ficeir qudo se trt de juros cotíuos (LIMA, 2009). Percebemos que o estudo dos logritmos criou um ferrmet tão precios, fuciol e fscite que té hoje su plicção se fz muito presete em estudos que dizem respeito feômeos turis e mtemátic ficeir, tem este que está mis presete vid do luo qudo este é cosiderdo um cosumidor em potecil. Assim como os logritmos, o vço d iformátic ou ds clculdors começou d ecessidde de trsformr os lboriosos cálculos mtemáticos em lgo meos tedioso. Deve-se eteder que tecologi está í pr melhorr ou pr fcilitr oss vid. É estrho, ms podemos firmr que o estudo dos logritmos já ão é hoje mis um tem de destque s escols, porém vle lembrr os luos d su importâci e s sus plicções, vlorizdo o

72 7 desevolvimeto d tecologi e ddo teção coceitos mtemáticos que são e form esseciis pr o vço tecológico d humidde.

73 72 REFERÊNCIAS BORGES NETO, H. et l. Mul de geogebr. Dispoível em: < Acesso em: 5 go IEZZI, G. et l. Mtemátic: ciêcis e plicções. São Pulo: Atul, v., 432 p. LIMA, E. L. Aálise rel. 6. ed. Rio de Jeiro: Associção Istituto Nciol de Mtemátic Pur e Aplicd, v., 206 p. LIMA, E. L. Logritmos. 4. ed. Rio de Jeiro: SBM, p. LIMA, E. L. et l. A mtemátic do esio médio. Rio de Jeiro: Sociedde Brsileir de Mtemátic. v.. (Coleção do Professor de Mtemátic). 2006, 237 p. LOURENÇO, E. G. Bibliotec digitl do PROFMAT p. Moogrfi (Pós Grdução em Mtemátic) - Uiversidde Federl do Semi-Árido, Mossoró, RN. 203.

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