Capítulo 7 - Estimação por intervalos 258

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1 Cpítulo 7 - Estimção por itervlos Noções básics Pr lém dum estimtiv potul de um prâmetro é, em muits situções, importte dispôr de lgum form de itervlo que idique cofiç que se pode depositr estimtiv potul. Um itervlo de cofiç (I.C.) pr um prâmetro descohecido θ é um desiguldde do tipo l θ u ode l e u depedem do vlor observdo ˆθ (estimtiv potul), e d distribuição por mostrgem d esttístic ˆΘ, usd pr estimr θ. Not: um itervlo de cofiç do tipo l θ u é chmdo bilterl (em lgus csos pode ser desejável cosiderr um itervlo uilterl, superior ou iferior). PE-MEEC 1S 09/ Itervlos de cofiç pr médi de um populção orml Cosidere-se um populção X tl que: E(X) = µ V (X) = σ (descohecido) (cohecid) Sej (X 1,...,X ) um.. de X com dimesão e ˆµ = X o estimdor potul de µ. Sbemos já que Z = X µ σ/ N(0, 1), se X N(µ, σ ) N(0, 1), se X qulquer e elevdo PE-MEEC 1S 09/10 60 A situção cosiderd é irrelist ms é útil do poto de vist pedgógico pr itroduzir técic. 10

2 7. (cot.) Um vez que distribuição de Z é completmete cohecid (é N(0, 1), exctmete ou proximdmete), é possível determir vlores e b tis que ( P b X ) µ σ/ = 1 α = γ ode γ 1 (α 0). Notr que b é míim qudo b = : f Z (z) f Z (z) γ γ b z b = z PE-MEEC 1S 09/ (cot.) Fzedo b = tem-se ( P X ) µ σ/ = γ P ( σ X µ σ ) = γ ( P X σ µ X + σ ) = γ P ( [ µ X σ ; X + σ ]) = γ Determição de : 1 γ f Z (z) γ 1 γ z Φ() = 1 1 γ = Φ 1 ( 1 + γ = 1 + γ PE-MEEC 1S 09/10 6 ) 11

3 7. (cot.) [ X σ ; X + σ ] é um itervlo de cofiç letório (ICA γ 100% (µ)) Qudo se substitui X por x (vlor observdo d médi de um mostr letóri) pssmos ter um itervlo cocreto chmdo itervlo de cofiç: IC γ 100% (µ) = [ x σ ; x + σ ] Not: foi possível obter este itervlo porque prtimos d vriável letóri Z com s seguites crcterístics: depede pes do prâmetro descohecido (já que ssumimos que σ é cohecido) e d mostr letóri (trvés de X) tem distribuição cohecid (N(0, 1)) Um v.. ests codições chm-se vriável letóri fulcrl. PE-MEEC 1S 09/ (cot.) Exemplo: Supoh-se que o vlor de um cert costte c pode ser obtido experimetlmete ms com um erro de medição que se sbe ter distribuição orml de médi zero e desvio pdrão 1. Form relizds 10 medições idepedetes (s mesms codições experimetis) tedo-se obtido mostr: 8.7, 9.1, 10.0, 11.9, 11.7, 8.9, 10.4, 11., 10., 8.9 () Determir um itervlo de cofiç 95% pr c Sej X v.. que represet o resultdo d medição. Tem-se X = c + E, ode E N(0, 1) represet o erro de medição. Logo X N(c,1). x = 10 i=1 x i/10 = 10.1 = Φ 1 (0.975) = 1.96 (tbel ou clculdor) IC 95% (c) = [ ; ] = [9.48; 10.7] PE-MEEC 1S 09/

4 7. (cot.) (b) Determir qul meor dimesão d mostr,, que permite grtir com 95% de cofiç que x c 0.5 IC γ 100% (c) = [ x σ ; x + σ ] x c σ podemos determir tl que com = 1.96 e σ = 1, obtém-se = σ = 0.5 = ( σ ) 0.5 A respost é = 6 (pois σ/ é um fução decrescete de ). PE-MEEC 1S 09/ (cot.) Observções: O itervlo de cofiç (umérico) obtido pode ou ão coter o verddeiro vlor do prâmetro µ. O que se pode grtir é que pr um úmero muito grde de itervlos de cofiç costruídos pr um ddo ível de cofiç, γ 100%, se esper que proximdmete um proporção γ coteh o verddeiro vlor de µ (que cotiurá o etto ser descohecido). Quto meor for o comprimeto do itervlo de cofiç mior será precisão d médi (estimtiv potul de µ). Se umetrmos o gru de cofiç (γ), com e σ fixos, umet e cosequetemete o comprimeto do itervlo. Não fz setido escolher γ = 1 pois obtém-se = +. Qudo umet, mtedo fixos γ e σ, o comprimeto do itervlo dimiui. PE-MEEC 1S 09/

5 7. (cot.) O que fzer qudo σ é descohecido? (situção mis relist). Não se pode usr v.. fulcrl ( X µ)/(σ/ ) porque σ é descohecido. Um procedimeto lógico é substituir σ por S (desvio pdrão mostrl), ou sej, usr v.. fulcrl X µ S/ Ms qul será o efeito produzido por est modificção? Não é mesm vriável letóri (ão tem mesm distribuição)! Se for grde ( 30) pode mostrr-se (Teor. de Slutsky) que o efeito é pequeo e tem-se Z = X µ S/ N(0, 1) quer pr X N(µ, σ ), quer pr X qulquer (com E(X) = µ e V (X) = σ ). Ou sej, o I.C. (proximdo) clcul-se exctmete como o terior, substituido σ por s (desvio pdrão d mostr cocret). PE-MEEC 1S 09/ (cot.) Se < 30 o problem ão é solúvel o cso gerl (isto é, descohecedo o tipo de distribuição d populção). Se X N(µ, σ ) o teorem seguite forece o resultdo que se pretede. Teorem: Dd um.. (X 1,...,X ) de um populção X N(µ, σ ), vriável letóri T = X µ S/ tem distribuição t-studet com 1 grus de liberdde, T t 1. PE-MEEC 1S 09/

6 7. (cot.) Algums ots sobre distribuição t 1. Um v.. com distribuição t com k grus de liberdde tem fução de desidde de probbilidde dd por f(x) = ( ) (k+1)/ Γ [(k + 1)/] 1 + x, x R πkγ(k/) k (k > 0 é o prâmetro d distribuição). Pode mostrr-se que se T t k etão E(T) = 0 (k > 1) e V (T) = k k. Γ( ) represet fução gm defiid por Γ(x) = + 0 (k > ) x r 1 e x dx, r > 0 (se r iteiro Γ(r) = (r 1)!) Notr que frcção que prece em f(x) é pes costte ecessári pr que + f(x)dx = 1. PE-MEEC 1S 09/ (cot.) Algums ots sobre distribuição t 3. f(x) k = k = 100 k = 30 k = 5 k = 3 k = x 4. É fácil provr que lim f(x) = 1 e x / (f.d.p. d N(0, 1)) π 5. Os percetis d distribuição t ecotrm-se tbeldos (tmbém podem ser obtidos por clculdor ou softwre de cálculo cietífico) PE-MEEC 1S 09/

7 7. (cot.) Voltdo à costrução do I.C. e procededo d form hbitul: ( P X ) ( µ S/ = γ P X S µ X + S ) = γ [ logo ICA γ 100% (µ) = X S ; X + S ( ) 1 + γ ], ode = F 1 t 1. Dd um mostr cocret (x 1,...,x ) obtém-se etão o I.C. pr médi de um populção orml com vriâci descohecid IC γ 100% (µ) = [ x s ; x + s ] i=1 ode x = x i e s i=1 = (x i x) i=1 = x i x 1 1 PE-MEEC 1S 09/ (cot.) Observções: 1. A iterpretção é semelhte à que foi feit teriormete pr o cso σ cohecido.. Se γ umetr, com fixo, o comprimeto do itervlo umet. 3. Se umetr, com γ fixo, esper-se que o comprimeto do itervlo dimiu, ms ão se pode grtir que isso coteç sempre, pois s vri de mostr pr mostr. PE-MEEC 1S 09/ (cot.) 4. Determição de pr um ddo erro máximo E (com γ fixo). Tl como o último exemplo (b) é fácil ver que ( s ) x µ E E Dificulddes: ( ) 1 + γ i) tmbém depede de, pois = F t 1 ; 1 Solução: resolução por tettiv-erro ou itertivmete (ver exemplo seguir). ii) s é descohecido tes de se ter mostr; Solução: obter um mostr prelimir pr ter um idei do vlor que s pode vir ter. Se ecessário proceder itertivmete. PE-MEEC 1S 09/

8 7. (cot.) O exemplo terior, supodo σ descohecido (como é gerlmete o cso): Exemplo: O vlor de um cert costte c pode ser obtido experimetlmete ms com um erro de medição que se sbe ter distribuição orml de médi zero e desvio pdrão σ. Dds s seguites 10 medições idepedetes: 8.7, 9.1, 10.0, 11.9, 11.7, 8.9, 10.4, 11., 10., 8.9 () Determir um itervlo de cofiç 95% pr c Como se viu trás X N(c, σ ) e x = 10.1 s = 10 i=1 x i = = Ft 1 9 (0.975) =.6 (tbel ou clculdor) [ IC 95% (c) = ; ] = [9.4; 10.96] PE-MEEC 1S 09/ (cot.) (b) Determir qul meor dimesão d mostr,, que permite grtir com 95% de cofiç que x c 0.5 Começmos por determir tl que Admitido s = 1. (é o úico dispoível) com =.6 obtém-se = s ( s ) = 0.5 = 0.5 com = 118 vem = Reclculdo obtém-se = 90.4 com = 91 vem = Reclculdo obtém-se = 90.9 Logo solução é = 91. Vlores obtidos o softwre R com qt(0.975,-1) PE-MEEC 1S 09/

9 7.3 Itervlos de cofiç pr difereç de dus médis de populções ormis Cosider-se gor situção em que se pretedem comprr dus populções (métodos, experiêcis, mteriis, etc.) e pr isso costrói-se um itervlo de cofiç pr difereç etre os vlores esperdos ds dus populções. Notção: X 1 represet populção 1, com E(X) = µ 1 e V (X) = σ 1 X represet populção, com E(X) = µ e V (X) = σ (X 11, X 1,...X 11 ) é um mostr letóri d populção 1, com médi X 1 = 1 i=1 X 1i 1 (X 1, X,...X ) é um mostr letóri d populção, com médi X = i=1 X i PE-MEEC 1S 09/ (cot.) O estimdor potul mis turl de µ 1 µ é X 1 X. Por outro ldo já sbemos que Se X 1 N(µ 1, σ 1 ) e X N(µ, σ ) etão X 1 N ( ) µ 1, σ 1 1 e X N ( ) µ, σ Se X 1 e X tiverem outr qulquer distribuição etão, pelo T.L.C. tem-se ) ( ) X 1 N (µ 1, σ 1 e X N µ, σ 1 (cosider-se que se obtém um proximção rzoável pr 1 30 e 30) PE-MEEC 1S 09/

10 7.3 (cot.) Se s mostrs forem idepedetes etão X 1 e X são v.. idepedetes cd um dels com distribuição orml (ou proximdmete) pelo que X 1 X N ( ) µ 1 µ, σ 1 + σ 1 (ou ) o que é equivlete Z = ( X 1 X ) (µ 1 µ ) σ σ N (0, 1) (ou ) Se σ1 e σ forem mbs cohecids est v.. pode ser directmete usd como ( ) v.. fulcrl. Procededo d form hbitul (determição de ICA) obtém-se, com = Φ 1 1+γ, (se etão é em vez de =) σ1 IC γ 100% (µ 1 µ )= ( x 1 x ) + σ σ1 ; ( x 1 x ) + + σ 1 1 PE-MEEC 1S 09/ (cot.) Observções: Mtêm-se s observções feits secção 7. propósito do I.C. pr µ com σ cohecido, e reltivs à iterpretção do itervlo e à vrição do comprimeto do itervlo (slide 66). Quto à determição d dimesão d mostr tl que, com cofiç γ 100% ( x 1 x ) (µ 1 µ ) E ão existe um solução úic pr 1 e geris, ms se quisermos 1 = = obtém-se ( ) (σ E 1 + σ) PE-MEEC 1S 09/

11 7.3 (cot.) Se σ1 e σ forem mbs descohecids (o que é o mis comum) v.. terior já ão pode ser directmete usd como v.. fulcrl. Procede-se etão de form semelhte o que foi feito secção 7., qudo se pretedi um I.C. pr médi de um úic populção. Se 1 30 e 30 pode usr-se, sej qul for distribuição de X 1 e X (orml ou outr), o seguite resultdo, justificdo pelo T.L.C. e pelo Teorem de Slutsky ( ) Obtém-se etão, com = Φ 1 1+γ, Z = ( X 1 X ) (µ 1 µ ) S S s IC γ 100% (µ 1 µ ) ( x 1 1 x ) + s s 1 ; ( x 1 x ) + + s 1 1 (ão esquecer que se cotiu ssumir mostrs idepedetes) N (0, 1) PE-MEEC 1S 09/ (cot.) Se σ 1 e σ forem mbs descohecids e 1 < 30 ou < 30 o problem só tem solução o cso em que X 1 N(µ 1, σ 1 ) e X N(µ, σ ) e mesmo ssim pr se obter um v.. fulcrl com distribuição exct é ecessário supor que, embor mbs s vriâcis sejm descohecids, se verific σ 1 = σ = σ (est suposição é rzoável em muits situções reis, e lém disso pode ser testd). Notr que X 1 X cotiu ser o estimdor potul de µ 1 µ e, ddo que σ1 = σ = σ, result ( V ( X 1 X ) = σ 1 + σ 1 = σ + 1 ) 1 1 PE-MEEC 1S 09/

12 7.3 (cot.) De qulquer modo é ecessário estimr σ. Um estimdor turl (cetrdo) obtém-se combido s vriâcis mostris ˆσ = S p = ( 1 1)S 1 + ( 1)S 1 + Note-se que qudo 1 = result ˆσ = (S 1 + S )/. Sbemos já que ( X 1 X ) (µ 1 µ ) σ N (0, 1) Pode mostrr-se que substituido σ pelo seu estimdor S p se obtém T = ( X 1 X ) (µ 1 µ ) S p t 1 + PE-MEEC 1S 09/ (cot.) Filmete obtém-se (cotiudo ssumir mostrs idepedetes): ] IC γ 100% (µ 1 µ )= [( x 1 x ) s p ;( x 1 x ) + s p com s p = ( 1 1)s 1 + ( 1)s 1 + ( ) 1 + γ e = Ft 1 1 Observções: 1. A determição d dimesão d mostr é mis complicd (há dus dimesões determir, 1 e, s vriâcis são descohecids e depede de 1 e por ser distribuição t).. E se ão for rzoável dmitir que σ 1 = σ = σ? Este problem, cohecido por problem de Behres-Fisher, ão tem solução exct. Há soluções proximds, ver bibliogrfi, p.ex. Motgomery e Ruger (003) (ão fz prte do progrm). PE-MEEC 1S 09/

13 7.3 (cot.) Exemplo: Um mesmo tipo de mteril pode ser dquirido dois fbrictes. As vriáveis de iteresse são resistêci mecâic do mteril (em uiddes coveietes) pr cd fbricte. Pr comprr os seus vlores médios obteve-se (por mostrgem letóri) um mostr de cd: Fbricte 1 Fbricte 1 = 15 = 18 x 1 = 8.73 x = 8.68 s 1 = 0.35 s = 0.40 Com o objectivo de judr decidir qul dos dois fbrictes é melhor (ou sej, forece mteril com mior resistêci médi) pretede-se clculr um itervlo de cofiç 95% pr difereç etre os vlores médios ds resitêcis dos mteriis. PE-MEEC 1S 09/ (cot.) Sejm: X 1 v.. que represet resistêci do mteril produzido pelo fbricte 1 X v.. que represet resistêci do mteril produzido pelo fbricte Admitimos que (hipóteses de trblho): X 1 N(µ 1, σ1 ) e X N(µ, σ ) s dus mostrs são idepedetes σ 1 = σ = σ (prece rzoável porque s 1 e s são d mesm ordem de grdez) PE-MEEC 1S 09/

14 7.3 (cot.) A estimtiv de σ é s p = = Pr γ = 0.95, vem = F 1 t 31 (0.975) =.04 IC 95% (µ 1 µ ) = ( 1 + = 31) e [ ; ; = [ 0.39; 0.49] ] Podemos etão firmr (com 95% de cofiç) que ão existe grde difereç etre resistêci médi do mteril produzido pelos dois fbrictes (ou, ão há evidêci de que um sej superior o outro). PE-MEEC 1S 09/ Itervlo de cofiç pr vriâci de um populção orml Cosidere-se um populção X N(µ, σ ) e um mostr letóri dess populção, (X 1,...,X ). Pretede-se determir um I.C. 100 γ% de cofiç pr σ. O estimdor potul de σ é S. A v.. fulcrl obtém-se do teorem seguite. Teorem: Dd um.. (X 1,...,X ) de um populção X N(µ, σ ), vriável letóri ( 1)S Q = σ tem distribuição do qui-qudrdo com 1 grus de liberdde, Q χ 1. PE-MEEC 1S 09/

15 7.4 (cot.) Algums ots sobre distribuição do qui-qudrdo 1. Um v.. com distribuição χ com k grus de liberdde tem fução de desidde de probbilidde dd por f(x) = 1 k/ Γ(k/) xk/ 1 e x/, x > 0 (k > 0 é o prâmetro d distribuição). Pode mostrr-se que se Q χ k etão E(Q) = k e V (Q) = k. Γ( ) represet fução gm defiid teriormete (slide 69). Mis um vez frcção que prece em f(x), [ k/ Γ(k/) ] + 1, é pes costte ecessári pr que f(x)dx = 1. PE-MEEC 1S 09/ (cot.) Algums ots sobre distribuição do qui-qudrdo 3. f(x) k = k = 4 k = x 4. Os percetis d distribuição χ ecotrm-se tbeldos (tmbém podem ser obtidos por clculdor ou softwre de cálculo cietífico) PE-MEEC 1S 09/

16 7.4 (cot.) Pr costruir um I.C. 100 γ% pr σ prte-se de P ( Q b) = γ Como foi dito teriormete existem ifiitos pres de vlores (, b) que verificm est codição. Um vez que distribuição ão é simétric (e é só positiv) ão há um form gráfic simples de obter um relção etre e b, tl que b sej míim. Tmbém ão há um solução lític explícit. Us-se etão, por logi, f Q (q) 1 γ γ b 1 γ q : P(Q < ) = 1 γ = F 1 χ 1 b : P(Q > b) = 1 γ b = F 1 χ 1 ( 1 γ ) ( 1+γ ) PE-MEEC 1S 09/ (cot.) Filmete e tem-se id P ( ( 1)S σ ) ( [ ( 1)S b = γ P σ ; b [ ( 1)s IC γ 100% (σ ) = ; b ] ( 1)s [ ] ( 1)s ( 1)s IC γ 100% (σ) = ; b ]) ( 1)S = γ PE-MEEC 1S 09/

17 7.4 (cot.) Exemplo: (ver slide 74) X N(c, σ ). 10 medições idepedetes: 8.7, 9.1, 10.0, 11.9, 11.7, 8.9, 10.4, 11., 10., 8.9 Determir um itervlo de cofiç 99% pr σ 10 Como se viu x = 10.1 e s i=1 = x i D tbel (ou clculdor): = F 1 (0.005) = χ 9 b = F 1 (0.995) = 3.59 χ = b = 1.44 Obtém-se etão: [ 1.96 IC 99% (σ ) = 3.59 ; 1.96 ] = [0.549; 7.47] e IC % (σ) = [0.74;.73] PE-MEEC 1S 09/ Itervlos de cofiç pr prâmetros de populções ão ormis uiprmétrics Nest situção podemos em pricípio (se se trtr de um prâmetro relciodo com o vlor esperdo) usr v.. fulcrl bsed o Teorem do Limite Cetrl Z = X µ σ/ em que µ e σ depedem do prâmetro em cus. N(0, 1) Cosiderm-se de seguid dois csos prticulres Itervlo de cofiç pr um proporção (prâmetro p d distribuição de Beroulli). Itervlo de cofiç pr o prâmetro d distribuição expoecil. PE-MEEC 1S 09/

18 7.5 Cso I: itervlo de cofiç pr um proporção Cosidere-se um populção muito grde ou ifiit. Sej p proporção (descohecid) de idivíduos/objectos dess populção que pertecem um dd ctegori de iteresse. Exemplos: Populção Peçs Eleitores Hbittes Ctegori ser defeituos vot o prtido ABC tem doeç XYZ O modelo pr est situção é X Ber(p), ode X tom o vlor 1 (pertece à ctegori de iteresse) com probbilidde p e o vlor 0 (ão pertece à ctegori de iteresse) com probbilidde 1 p. PE-MEEC 1S 09/ Cso I: itervlo de cofiç pr um proporção Dd um mostr letóri d vriável X, (X 1,...,X ), sbemos já que (ver Cpítulo 6) o estimdor potul de p é i=1 ˆP = X i = Y = X ode Y = i=1 X i é o úmero de sucessos mostr letóri Ddo que E(X) = µ = p e V (X) = σ = p(1 p) (vlor esperdo e vriâci d distribuição de Beroulli, ver Cpítulo 3), coclui-se etão que Z = X µ σ/ = ˆP p p(1 p) N(0, 1) Not: est mesm v.. fulcrl podi ser obtid prtir de Y Bi(, p) e usdo em seguid proximção d biomil pel orml. PE-MEEC 1S 09/

19 7.5 Cso I: itervlo de cofiç pr um proporção Procededo d form hbitul, prte-se de P ˆP p p(1 p) γ, ( ) 1 + γ com = Φ 1 pr chegr um desiguldde com p isoldo. Depois de lgus cálculos evolvedo equções do. o gru, obtém-se ( [ ˆp + P p + 4ˆp(1 ˆp) ( + ; ˆp + + ]) + 4ˆp(1 ˆp) ) ( + γ ) Est expressão ão é que é trdiciolmete utilizd pr obter um IC 100 γ% (p) proximdo. É o etto que é usd o softwre R (comdo prop.test) e é tmbém que se deveri usr pr vlores de ão muito elevdos ( < 100). PE-MEEC 1S 09/ Cso I: itervlo de cofiç pr um proporção A vriável letóri fulcrl usul é seguite Z = ˆP p ˆP(1 ˆP) N(0, 1) qul result d plicção do Teorem de Slutsky à vriável terior. Dest vriável obtém-se etão P ˆP p ˆP(1 ˆP) γ P ˆP(1 ˆP ˆP) p ˆP + ˆP(1 ˆP) γ PE-MEEC 1S 09/

20 7.5 Cso I: itervlo de cofiç pr um proporção Logo o itervlo letório é IC γ 100% (p) ˆP(1 ˆP ˆP) ; ˆP ˆP(1 + ˆP) e o itervlo de cofiç pr um mostr cocret [ ] ˆp(1 ˆp) ˆp(1 ˆp) IC γ 100% (p) ˆp ; ˆp + PE-MEEC 1S 09/ Cso I: itervlo de cofiç pr um proporção Exemplo: Populção de eleitores portugueses. Sodgem (letóri) 100 eleitores revelou que 683 teciom votr o prtido ABC. Determir e.m.v. de p (proporção de eleitores populção que teciom votr o prtido ABC) e um I.C. proximdo 95% pr p. ˆp = 683/100 = (ver Cpítulo 6) γ = 0.95 = Φ 1 (0.975) = 1.96 [ 0.569( ) IC 95% (p) ; ( ) 100 ] = = [0.541; 0.597] Not: Est iformção pode ler-se d form que é usulmete presetd s fichs técics ds sodges divulgds os meios de comuicção socil: o erro máximo pr 0.569( ) um ível de cofiç de 95% é.8% (= %). 100 PE-MEEC 1S 09/

21 7.5 Cso I: itervlo de cofiç pr um proporção Observções: Se em vez dest v.. fulcrl tivéssemos usdo primeir, o itervlo obtido só se distigui deste prtir d 4. cs deciml: slide terior: IC 95% (p) [ ; ] pel fórmul do slide 96: IC 95% (p) [ ; ] Verificr o resultdo meciodo o Cpítulo 1 (slide 13), pr um problem similr este: 575 sucessos em 1000, IC 99.9% (p) [0.54; 0.66]. Porque é que este cso o erro máximo é 5.1%? PE-MEEC 1S 09/ Cso I: itervlo de cofiç pr um proporção Dimesão d mostr: Pretede-se, como foi feito outros csos teriormete, determir o meor vlor de que grte um cert precisão com um ddo ível de cofiç ms p descohecido! Soluções: ( ) ˆp p E p(1 p) E usr um estimtiv prelimir de p, obtid p.ex. um mostr reduzid usr o vlor de mis desfvorável que é p = 1/, correspodete p que mximiz fução p(1 p). Este vlor grte o resultdo pr qulquer p ms pode ser demsido elevdo (gstdo ssim recursos desecessários) se o verddeiro p ão estiver próximo de 0.5. PE-MEEC 1S 09/

22 7.5 Cso II: Itervlo de cofiç pr o prâmetro d distribuição expoecil Exercício 7.1: Cosidere um populção X com distribuição expoecil com vlor esperdo α 1, α > 0. Observd um mostr de dimesão 100 obteve-se x =.5. Deduz, com bse est mostr, um itervlo de cofiç 95% pr o prâmetro α. Ddo que E(X) = µ = α 1 e V (X) = α σ = α 1 tem-se Z = X µ σ/ = X α 1 α 1 = ( α X 1 ) N(0, 1) γ = 0.95 = Φ 1 (0.975) = 1.96 ( / P( 1.96 Z 1.96) 0.95 P α / ) 0.95 X X ] Cocretizdo: IC 95% (α) = [0.316; ] [ / ; / PE-MEEC 1S 09/