AULA 10 CONDUÇÃO DE CALOR EM REGIME PERMANENTE BIDIMENSIONAL

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1 Nots de ul de PME 336 Processos de Trsferêci de lor 73 AUA 0 ONDUÇÃO DE AOR EM REGIME PERMANENTE BIDIMENSIONA odução Bidiesiol Até presete ul, todos os csos estuddos referi-se à codução de clor uidiesiol e reie perete, ou sej, ão se cosiderv distriuição espcil d tepertur pr lé de u diesão. Té for estuddos os csos trsitórios e u diesão. Evideteete, uitos proles reis são i ou tridiesiois. Soluções lítics eiste pr u úero liitdo de proles de codições de cotoro e eoetris siples. Os csos is relists deve ser resolvidos de for uéric. Etretto, este curso itrodutório é iportte que o estudte teh u visão ds soluções lítics eistetes e, pr isso, é resolvido u prole clássico que é o étodo d seprção ds vriáveis pr u plc retulr idiesiol. O Método d Seprção de Vriáveis Sej u plc retulr, suetid às codições de cotoro ilustrdos, isto é, todos os ldos estão à es tepertur T, eceto o ldo superior que está à T. T T T(, T T Plc retulr co s codições de cotoro idicds, procur-se T (, Equção d codução de clor Hipóteses: q''' T T k t ( Reie perete ( Se erção iter de clor (3 Bidiesiol - José R. Siões Moreir tulizção Aosto/06

2 Nots de ul de PME 336 Processos de Trsferêci de lor 74 T T As hipóteses result e: T 0 ou 0 odições de cotoro teperturs dos qutro ldos ( T(0, = T ( T(, = T (3 T(,0 = T (4 T(, = T É coveiete relizr u udç de vriáveis T T T T odições de cotoro ov vriável θ são: ( θ(0, = 0 ( θ(, = 0 (3 θ(,0 = 0 (4 θ(, = A vrição eleetr de tep. é dt T T d Etão, 0 Est é equção d codução ov vriável θ. A técic de seprção ds vriáveis supõe que distriuição de teperturs θ(, sej o produto de dus outrs fuções X e Y s quis, por su vez, são fuções eclusivs pes ds vriáveis do prole e, isto é: (, X - José R. Siões Moreir tulizção Aosto/06 Y Assi, derivd prcil e relção à dess ov fução são: Prieir derivd: Y dx d d X Seud derivd: Y d Aloete e relção à : d Y Seud derivd: X d

3 Nots de ul de PME 336 Processos de Trsferêci de lor 75 oo, sustituido esss derivds seuds prciis equção diferecil d codução, ve: Y d X d d Y X d 0 ou, dividido-se pelo produto XY, ve: d Y Y d X d X d É dio de ot que equção ci o ldo esquerdo é u fução eclusiv de e o ldo direito, u fução eclusiv de. No etto, os dois ldos d equção são sepre iuis. Isto iplic dizer que cd ldo d equção ão pode ser e fução de, e de, já que de outr for ão seri possível ter iuldde sepre válid. De for que iuldde deve ser u costte que, por coveiêci teátic, se us o síolo. Dess for, te se: X d X d e Y d Y d Note que equção diferecil prcil oriil deu orie à dus outrs equções difereciis cous ou ordiáris. As soluções desss dus ovs equções são e cohecids (lere-se do poliôio crcterístico e são: X cos se, e Y e José R. Siões Moreir tulizção Aosto/06 e 4 De for que, voltdo à vriável oriil, (, X Y, solução lol é:, cos se e e. 3 4 A oteção ds costtes depede ds codições de cotoro iposts. Assi: D odição de cotoro: θ(0, = 0, cos.0 se.0. e e De ode se coclui que úic possiilidde é que 0

4 Nots de ul de PME 336 Processos de Trsferêci de lor 76 Aor, d 3ª codição de cotoro: θ(,0 = 0 se de ode se oté que D ª codição de cotoro: θ(, = 0 se. ( e e 0 4 s, coo siulteete s dus costtes ão pode ser uls, isto é: e 0, loo, deduz-se que se( 0 4 Os possíveis λ que stisfze ess codição são: ou, sej =,,3,... ot: λ = 0, result solução trivil e ão foi cosiderd. λ são os utovlores. Portto, distriuição de teperturs té o presete é:, e e 4 se ou, sej, se( seh( seh( Pr cd =,,3,... Eiste u solução prticulr θ. Dí té ter jutdo s costtes e 4 u ov úic costte que depede do vlor de. Etão solução erl deve ser coição lier de tods s possíveis soluções., se seh deve ser otido d últi codição de cotoro: θ(, =, isto é: se seh - José R. Siões Moreir tulizção Aosto/06

5 Nots de ul de PME 336 Processos de Trsferêci de lor 77 A últi e is difícil tref é de ecotrr os coeficietes d série ci pr oter distriuição fil de teperturs. Ess tref é relizd usdo teori ds fuções ortoois, revist io. REVISÃO DO ONEITO DE FUNÇÕES ORTOGONAIS U cojuto ifiito de fuções (, (, é dito ortool o doíio, se ( ( d 0 p / (dic: ote que se prece co produto esclr de vetores: o produto esclr de dois vetores ortoois é ulo Muits fuções eie propriedde de ortoolidde, icluido ( 0 se e cos( e Verific-se té, que qulquer fução f( pode ser epress u série ifiit de fuções ortoois, ou sej: f ( A Pr se oter os coeficietes A ; procede-se d seuite for: ( Multiplic-se por (, os os ldos d iuldde: ( ( f ( ( A ( ( Iter-se o itervlo de iteresse: ( f ( d A ( ( d Usdo propriedde de ortoolidde, ou sej: ( ( d 0 se Pode-se eliir sotóri, etão: ( f ( d A ( d Filete, s costtes d série A pode ser otids: A ( f ( d ( d - José R. Siões Moreir tulizção Aosto/06

6 Nots de ul de PME 336 Processos de Trsferêci de lor José R. Siões Moreir tulizção Aosto/06 Voltdo o prole, te-se: seh se (A oprdo co o cso ci, veos que f( = e que,,... ; ( se fucãoortool oo, epdido fução f( =, ve se A Assi, pode ser otidos os coeficietes d série, coo visto revisão ci: d se d se A ( 0 0 Etão, ( se (B oprdo (A co (B, ve: ( se seh se Etão, d iuldde ds séries:,...,,3 ; ( seh De for que solução fil do prole é:

7 Nots de ul de PME 336 Processos de Trsferêci de lor 79 (, ( seh se seh É iteresste ver o ráfico dest fução lcule o fluo de clor. Nesse cso, você precis clculr q e q. Note que o fluo de clor, esse cso, será ddo de for vetoril, isto é: T T q k i e q k j. Sedo que o fluo totl de clor será q q q e o q q q e W/ ódulo do fluo de clor será Fç os Eercícios 4. e 4.3 do Icroper e Witt Método Gráfico O étodo ráfico é epredo pr proles idiesiois evolvedo codições de cotoro diátics ou isotérics. Eie pciêci, sedo que o ojetivo é costruir u lh ford por isotérics e lihs de fluo de clor costte. o filidde de ilustrr o étodo, cosidere u seção qudrd, cuj superfície iter é tid T e eter T. T T ( O prieiro psso é idetificr tods s possíveis lihs de sietri do prole tis lihs são deterids pel eoetri e codição siétrics. - José R. Siões Moreir tulizção Aosto/06

8 Nots de ul de PME 336 Processos de Trsferêci de lor 80 SIMETRIA T T SIMETRIA ( As lihs de sietri são diátics, ou sej, ão há fluo de clor direção perpediculr els. Portto, pode ser trtdos coo lihs de fluo de clor costte. PAREDES ADIBATIAS T T (3 Trçs lus lihs de tepertur costte. ere-se que els são perpediculres às lihs de fluo costte. T T (4 As lihs de fluo costte deve ser desehds crido qudrdos curvilíeos. Isto é feito fzedo coo que s lihs de fluo cruze s lihs de tepertur costtes e âulo reto e ipodo que todos os qudrdos teh proidete, o eso coprieto. INHAS DE FUXO TE. (ADIABÁTIO q X D (OU QUADRADO URVIÍNEO (5 Qudo houver u cto isotérico, lih de fluo cte. Deve issectr o âulo fordo pels dus superfícies T T INHA DE FUXO TE. O fluo de clor, por uidde de espessur de teril, que trvess o qudro curvilíeo ilustrdo é: - José R. Siões Moreir tulizção Aosto/06

9 Nots de ul de PME 336 Processos de Trsferêci de lor 8 DT q i kdl ( Dl q i D D O fluo de clor ci é o eso que trvess qulquer reião que estej liitd pels ess lihs de fluo costtes desde T té T. Etão, pode-se escrever que. T T D T ( N T T Ode N é o uero de icreetos de tepertur etre T e T. (o eeplo N = 5. Assi, de ( ( T T q i k (3 N O fluo de clor totl, q, é so de todos os M Fis fords por dus lihs djcetes de fluo de clor (o eercício M = 5 M q qi i M N k( T T Defie-se rzão M/N coo o ftor de for do siste, ssi: q 5 k( T T - José R. Siões Moreir tulizção Aosto/06