UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL LICENCIATURA EM MATEMÁTICA. Juliana Zys Magro USO DA CALCULADORA NA SALA DE AULA: ENSINO DAS POTÊNCIAS REAIS

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL LICENCIATURA EM MATEMÁTICA Juli Zys Mgro USO DA CALCULADORA NA SALA DE AULA: ENSINO DAS POTÊNCIAS REAIS Porto Alegre 009

2 JULIANA ZYS MAGRO USO DA CALCULADORA NA SALA DE AULA: ENSINO DAS POTÊNCIAS REAIS Trblho de coclusão de curso presetdo o curso de Licecitur em Mtemátic como requisito prcil pr obteção do gru de Licecido em Mtemátic pel Uiversidde Federl do Rio Grde do Sul. Orietdor: Profª Ver Clotilde Vzetto Grci Porto Alegre 009

3 RESUMO Este trblho prte d questão: por que fução rel de um vriável rel y =, só é defiid se > 0 e? Pr respodê-l lis e questio resultdos obtidos clculdor. O teto trt do uso d clculdor escol e do esio d operção de potecição. Trz o estudo respeito do potecil d clculdor como recurso didático e do esio d operção de potecição, como é desevolvido escol, prtir dos livros didáticos, desde o ível fudmetl té o médio, prtido dos úmeros turis té chegr à fução epoecil rel de vriável rel y =, com > 0 e. São lisdos eemplos ão ddos, que poderim ser eplordos com uílio d clculdor e lógic dest máqui o cálculo de vlores de potêcis reis. Por fim, o teto resume mtemátic d fução epoecil, em ível superior. O trblho tmbém iclui tividde desevolvid em sl de ul, o ível médio, com utilizção d clculdor.

4 SUMÁRIO APRESENTAÇÃO... 4 O USO DA CALCULADORA EM SALA DE AULA... 5 O ENSINO DA POTENCIAÇÃO, DA RADICIAÇÃO E DA FUNÇÃO EXPONENCIAL NOS LIVROS DIDÁTICOS UMA EXPERIÊNCIA ENVOLVENDO USO DA CALCULADORA TEORIA MATEMÁTICA DA POTENCIAÇÃO... 6 CONSIDERAÇÕES FINAIS...4 REFERENCIAS ANEXO... 45

5 4 APRESENTAÇÃO Num ul de Aálise Rel II, surgiu pergut: porque fução rel de um vriável rel y =, só é defiid se > 0 e? Pr tetr respodê-l recorremos à clculdor e observmos lgus resultdos iteresstes: ) ( ) 0,, ( ) 0,, ( ) 5 e ( ) 5 ão estão defiidos, ms ( ) 0, =, ( ) 5 = e 5 / 5 = ( ) = ( ) / 5 = -, ms 0 ( ) = ) ( 8) =, ms se tomrmos qulquer proimção deciml pr /, potêci ão é defiid, como, por eemplo, 0,... ( 8). ) ( ) preset-se com vlores diferetes em clculdors diferetes. Surgiu, etão, curiosidde sobre como esss questões vêm sedo trblhds s escols tulmete. Neste trblho, teho como objetivos básicos: Descrever como fução epoecil é esid s escols; trvés d álise de livros didáticos. Questior o uso d clculdor como ferrmet uilir o estudo ds potêcis. Estudr defiição d fução epoecil mtemátic superior. Cotribuir pr mplir o cohecimeto do professor ecessário pr esir fução epoecil. Este trblho pretede se desevolver estes tems, pr cotribuir com formção do professor. Se eistem diretrizes e sugestões, áre d educção, pr que o professor utilize clculdor como recurso didático, su prátic docete, este professor precis estr pto pr iterpretr os resultdos li obtidos. No primeiro cpítulo cito o que os utores vêm escrevedo sobre o uso d clculdor escol. No cpítulo é feit um álise sobre o estudo d potecição e d rdicição em um coleção de livros de Esio Fudmetl e sobre o estudo d fução epoecil em um livro de Esio Médio. No terceiro cpítulo é presetd um tividde com o uso d clculdor bem como s observções feits durte plicção dest tividde com um grupo de luos d primeir série do Esio Médio.

6 5 No qurto cpítulo são colocds s teoris mtemátics que eplicm os coteúdos borddos este teto. Por fim, s cosiderções fiis coloco lgums observções sobre como o trblho cotribuiu pr respoder às questões proposts.

7 6 O USO DA CALCULADORA EM SALA DE AULA O uso d clculdor em sl de ul tem sido lrgmete poido por diversos meios de educção escolr, porém este recurso tecológico cotiu sedo igordo s escols. Por que isso cotece? Um dos pricipis rgumetos desfvoráveis su utilizção diz respeito à relção de depedêci que seri crid do luo em relção à máqui, já que eles ão prederim fzer cots se utilizssem em sl de ul. Tl rgumeto já ão é mis suficiete pr justificr o desuso d clculdor, já que preder mtemátic ão se restrige fzer cots. Se lisrmos o cohecimeto mtemático que é eigido hoje em di o comum dos idivíduos, rpidmete chegmos à coclusão que o setido do úmero ecessário um ple itegrção sociedde ão se limit à cpcidde de fzer cálculos escritos. Sber fzer estimtivs, vlir correção d cot do resturte, determir promoção mis coveiete o supermercdo são, com certez, de grde utilidde pr todos ós. (Albergri, 008, p.) Além disso, dispesr o uso de um tecologi tão brt ão fz setido, já que sociedde está cd vez mis depedete desss tecologis. Se o luo ão preder mipulr clculdor escol, cbrá por fzê-lo em outro lugr, tedo grdes chces de ão utilizr seus recursos mis vçdos. Segudo Guither (009),...o uso sesto ds clculdors cotribui pr formção de idivíduos ptos itervirem um sociedde em que tecologi ocup espço cd vez mior, um vez que esse ceário ghm espço idivíduos com formção pr diversidde, preprdos pr efretr problems ovos, com cpcidde de simulr, fzer relções comples, rticulr vriáveis, elborr modelos, ivestigr, codificr e decodificr, se comuicr, tomr decisões, preder por si. (p. ) O tempo dispesdo pelo luo pr efetur cálculos poderi ser utilizdo pr que outrs hbiliddes fossem desevolvids. Sbedo de tods s hbiliddes que podem ser desevolvids com o uso d clculdor em sl de ul, é possível cocluir que el só ão é utilizd por queles professores que por lgum motivo, ão se setem votde com el. Pr que um ov tecologi sej utilizd escol é preciso que o professor estej seguro e preprdo pr isso. Os recursos tecológicos, pr servirem como propulsores d melhori d prátic pedgógic ecessitm que sejm cohecidos e domidos pelos professores, e mis, sejm proveitdos como ferrmet uilir pr promover predizgem. (Guither, 009, p.) A clculdor é bsed em regrs fis logo, depededo do ssuto ser trblhdo, pode presetr resultdos que ão são coeretes com o que é estuddo. Não

8 7 bst simplesmete sber utilizr clculdor, temos que ter seso crítico pr dizer se respost presetd pel mqui é verddeir. No cpítulo deste trblho, mostro um tividde ode o professor deve estr preprdo pr um dests icoerêcis. O cráter eperimetl d mtemátic foi removido do esio e isso pode ser recohecido como um dos ftores que mis cotribuírm pr o mu redimeto escolr (D Ambrosio, 996, p.95) Muitos professores focm sus uls resolução dos eercícios, e qudo o resultdo é ecotrdo, miori ds vezes, ão é criticdo. Dest form, o luo cri o hábito de simplesmete ceitr s resposts ecotrds, sem se preocupr se são relmete stisftóris. A clculdor permite verificção de resultdos rpidmete, logo ão seri preciso muito mis tempo em sl de ul pr que o hábito de utilizá-l se torsse mis freqüete. O estudo dos úmeros reis escol, por eemplo, se tor etremmete rtificil, pois os luos ão trblhm com úmeros irrciois de form compreederem seu verddeiro setido. Ao formulr eercícios, ormlmete são escolhidos úmeros que fcilitem os cálculos, em coseqüêci disso, o se deprr com problems reis, o luo se ch icpz de resolvê-los.... s dificulddes de implemetção do uso de clculdors e computdores s escols esbrrm com isistêci de se querer mter os coteúdos e os objetivos trdiciois: hbilidde em operções e resolução de problems-tipo. Clculdors e computdores devem ser comphdos por um reformulção de coteúdos, deido de ldo coiss que só se justificm por estr o progrm há muito tempo, e pssdo pr coiss moders, que ão poderim ser bordds sem ess tecologi. (D Ambrosio, 996, p.69) Sedo ssim, ão bst simplesmete levr clculdor pr sl de ul, é ecessário que s tividdes serem relizds com el sejm bem formulds e tehm seus objetivos bem trçdos. Defiitivmete, ão é proibido o uso ds clculdors em sl de ul que teremos sucesso formção dos luos ds gerções futurs.

9 8 O ENSINO DA POTENCIAÇÃO, DA RADICIAÇÃO E DA FUNÇÃO EXPONENCIAL NOS LIVROS DIDÁTICOS Este cpítulo tem por filidde descrever e criticr presetção d potecição, d rdicição e d fução epoecil em dus coleções de livros didáticos, um de esio fudmetl e outr de esio médio. As flhs ecotrds estes livros podem ser ecotrds em outros do mesmo gêero. Não eiste ehum motivo especil que me teh feito optr pelos que qui se ecotrm. Livro de Esio Fudmetl: GIOVANNI, José Ruy. A Coquist d Mtemátic: + ov. São Pulo: FTD, 00 Coleção coquist d mtemátic 6ª série Potêci de um úmero rciol (Cpítulo ) Após eplorr um eemplo prático d plicção d potecição o livro preset seguite defiição: Ddo um úmero rciol e um úmero turl, com >, epressão chmse potêci e represet um multiplicção de ftores iguis o úmero. = K. ftores São ddos eemplos evolvedo úmeros rciois e são ressltdos os csos em que = 0 e =. Proprieddes d Potecição (Cpítulo ) Nest etp são presetds 4 proprieddes, tods itroduzids com um eemplo umérico. Os eucidos ds proprieddes estão descritos bio: ª propriedde Um produto de potêcis de mesm bse pode ser escrito form de um úic potêci: coservmos bse e diciomos os epoetes. m m+ =, sedo 0

10 9 ª propriedde Um quociete de potêcis de mesm bse, ode o epoete do dividedo é mior ou igul o epoete do divisor, pode ser escrito form de um úic potêci: coservmos bse e subtrímos os epoetes. m m : =, com 0 e m ª propriedde Um potêci de um potêci pode ser escrit form de um úic potêci: coservmos bse e multiplicmos os epoetes. m m ( ) =, com 0 4ª propriedde Pr elevr um produto de dois ou mis úmeros rciois um epoete, elevmos cd ftor esse epoete. ( b) = b Após 4ª propriedde é feit seguite observção: Ess propriedde tmbém pode ser plicd qudo temos um quociete. Ao fil deste cpítulo o livro sugere um eercício com o uso d clculdor, esido quis tecls devem ser utilizds pr o cálculo de potêcis. Vej bio:

11 0 Números qudrdos perfeitos (Cpítulo ) Neste cpítulo é citd pel primeir vez riz qudrd et de um úmero rciol. A defiição presetd é seguite: Se um úmero represet um produto de dois ftores positivos e iguis, etão cd ftor é chmdo riz qudrd do úmero. Potecição de úmeros iteiros (Cpítulo ) São borddos pes os csos em que bse é iteir e o epoete é turl. Qudo o epoete é um úmero pr, potêci é sempre um úmero iteiro positivo. Qudo o epoete é um úmero ímpr, potêci tem sempre o mesmo sil d bse. Pr todo úmero iteiro, defiimos =. Pr todo úmero iteiro, com 0 defiimos 0 =. Proprieddes d potecição em Z São ddos eemplos utilizdo s mesms proprieddes vists pr úmeros rciois. É ressltd difereç etre ( ) e. Riz qudrd et de úmeros iteiros (Cpítulo 4) Riz qudrd et de um úmero iteiro é tmbém um úmero iteiro que, elevdo o qudrdo, dá o úmero iicil. A ão-eistêci d riz qudrd em Z Cosidere s seguites situções: ª Qul é o úmero iteiro que represet riz qudrd de 0? Observmos que o úmero iteiro 0 ão é qudrdo de ehum úmero iteiro, pois 4 =6 e 5 =5.

12 Como ão há ehum úmero iteiro etre 4 e 5, podemos cocluir que ão é possível obter 0 o cojuto Z. ª Qul é o úmero iteiro que elevdo o qudrdo dá -5? Sbemos que o qudrdo de um úmero iteiro uc é egtivo. Portto, os úmeros egtivos ão podem represetr qudrdos de ehum úmero iteiro. Isso sigific que os úmeros iteiros egtivos ão têm riz qudrd em Z, ou sej, 5 ão eiste o cojuto Z. Potecição de úmeros rciois (Cpítulo ) O livro relembr s defiições que form vists pr úmeros iteiros e cit como proprieddes válids pr o cojuto Q s primeirs proprieddes estudds o segudo cpítulo. Epoete iteiro egtivo Vmos cosiderr os seguites quocietes: 0 :0 e Ambos represetm quocietes de potêcis de mesm bse, com o epoete do dividedo meor que o epoete do divisor. Observe gor: Se plicrmos propriedde ds potêcis, teremos: 0 :0 = 0 0 :0 5 = 0 Se cosiderrmos o quociete form de um frção, teremos: 0 0 Se comprrmos os resultdos, temos que 0 0 = = = Pr todo úmero rciol, com 0 temos que 0 0, ou sej: =. OBSERVAÇÃO: A propriedde utilizd qui foi dd o Cpítulo : Um quociete de potêcis de mesm bse, ode o epoete do dividedo é mior ou igul o epoete do divisor,

13 pode ser escrito form de um úic potêci: coservmos bse e subtrímos os epoetes. Foi Slietdo m m : =, com 0 e m m e gor, est restrição é igord. Com tis titudes, pode precer o luo, que s restrições imposts os domíios ds vriáveis evolvids operção ão são importtes. É ecessário que o utor sliete que, este mometo, estmos pretededo esteder s proprieddes válids pr epoetes turis pr um cojuto de úmeros mior, que icluem iteiros egtivos. Vmos supor que est propriedde sej válid qudo o epoete do dividedo é meor do que o epoete do divisor. Qul coseqüêci dest hipótese? Coseguimos um série de defiições e proprieddes válids pr bse rciol e epoete iteiro, positivo e egtivo. 5 Após fzer o mesmo pr o eemplo 0 :0, é colocd seguite defiição: Pr todo úmero rciol, com 0 temos que = =. Riz qudrd et de úmeros rciois (Cpítulo ) Se um úmero represet um produto de dois ftores iguis, etão cd ftor é chmdo riz qudrd et do úmero. N 7ª série, o ssuto ão é trtdo. 8ª série Neste volume, s defiições bordm o cojuto dos úmeros reis e os eercícios evolvem álgebr. Potêci de um úmero rel com epoete turl (Cpítulo ) As defiições presetds são muito similres às do livro visto teriormete. Apesr de o título do cpítulo mecior os úmeros reis, os eemplos e eercícios propostos bordm muito pouco o cojuto dos úmeros irrciois que é meciodo pes em um eercício o qul é solicitdo que se clcule o vlor de.

14 O livro itroduz outr meir de utilizr clculdor pr cálculo de poteciis. Vej seguir: Proprieddes d potecição Ddo um úmero rel, ão ulo, e sedo m e dois úmeros turis, etão m m+ =.

15 4 Ddo um úmero rel, ão ulo, e sedo m e dois úmeros turis, etão m m : =. Ddo um úmero rel, ão ulo, e sedo m e dois úmeros turis, etão m m ( ) =. Dd potêci ( b) ou ( b) : úmero turl diferete de 0, temos:, sedo e b dois úmeros reis ão ulos e um ( b) = b ou ( : b) = : b Potêci de um úmero rel com epoete iteiro egtivo (Cpítulo ) Mesm bordgem feit o livro de 6ª série. Livro de Esio Médio: PAIVA, Moel. Mtemátic, volume úico. São Pulo: Moder, 005. Potecição e Rdicição em R Potêci de epoete iteiro Defiição Sedo um úmero rel e um úmero iteiro, tem-se que: = 44 K4, se >. ftores = 0 = =, se 0 Proprieddes I. II. m = m+ (coserv-se bse e diciom-se os epoetes) m : = m (coserv-se bse e subtrem-se os epoetes)

16 5 m m III. ( ) = (coserv-se bse e multiplicm-se os epoetes) b m = b m m IV. ( ) (distributiv d potecição em relção à multiplicção) V. b m = b m m (distributiv d potecição em relção à divisão) Rdicição º cso Sedo um úmero iteiro positivo, dizemos que riz -ésim de um úmero rel ão-egtivo é o úmero rel ão-egtivo b se, e somete se, b =. Em símbolos temos: Se é o úmero rel ão-egtivo, etão = b b, com b R+ = Se o rdicl o ídice for pr e o rdicdo for positivo, etão eistem dois úmeros opostos b e b tis que b = e ( b) =. Por coveção, dot-se pes o úmero positivo como vlor de. OBSERVAÇÃO: Com o teto cim, o utor iduz o luo cocluir que só eistem dus rízes com ídice pr, de um úmero iteiro positivo. Est coclusão terá refleos o esio dos úmeros compleos e dos poliômios. Como ceitr, mis trde, que todo poliômio de gru tem rízes? º cso Sedo um úmero iteiro positivo ímpr, dizemos que riz -ésim de um úmero rel egtivo é o úmero rel egtivo b se, e somete se, b =.

17 6 Se é o úmero rel egtivo, etão = b b, com = b R * Eemplos: ) 8 =, pois ( ) = 8, pois ( ) 5 = 5 b) = c) 9 =? (Qul é o úmero rel cujo qudrdo é igul -9? Não eiste tl úmero. Perceb que ão eiste em R rdicl de ídice pr e rdicdo egtivo. É importte observr que, sedo um úmero rel e um úmero turl ímpr, tem-se: = Eemplo: 8 = 8 Proprieddes As proprieddes seguir só podem ser plicds pr rdicis com rdicdos ãoegtivos. Obedecids s codições de eistêci, tem-se: I. b = b II. III. = b b p kp = k k IV. ( ) k = V. k = k Eemplos: ) 5 = 0 b) = 5 8 = 5 4

18 7 c) 5 = d) 8 = ( 8) = = 5 e) 6 7 = 7 = 7 OBSERVAÇÃO: Com s eplicções presetds o livro o luo ão poderi clculr, por eemplo, 4 = 8 =, já que é dito que s proprieddes só podem ser plicds pr rdicis com rdicdos ão-egtivos. Logo, fltou esclrecer que s proprieddes tmbém são válids pr reis egtivos se o ídice d riz é ímpr. É iteresste otr que utilizção d clculdor ão foi meciod pr o cálculo de rízes. Seri proveitos utilizção d mesm, à medid que mostrri importâci d utilizção ds proprieddes. Clculdo seprdmete 4 e chegrímos resultdos bem próimos de -. Com tl eemplo é possível pr os luos visulizr rízes iets. Se eecutrmos o seguite procedimeto:. Clculr 4 =, e colocr memóri d clculdor.. Clculr =, Efetur multiplicção. Obteremos como resultdo -. Potêci de epoete rciol º cso Sedo um úmero rel positivo e k e úmeros iteiros, com, defie-se: Eemplos k = k ) 4 7 = 7 4 0,5 b) 9 = 9 = 9 = c) 0, = 6 = 6 = 4 6 =

19 8 º cso Sedo k e úmeros iteiros positivos, defie-se: Eemplo k 0 = 0 k = = 0 4 = 0 = 0 OBSERVAÇÃO: Neste mometo, o utor deveri slietr que ão é possível plicr tl regr qudo < 0, ddo cotr-eemplos: ( ) 6 4 ) 4 = = e ( 4) = ( 4) = 4, logo ( ) ( ) 4 4 ( 8) = 64 = 4 b) e ( ) 8 ão é defiido. A clculdor idic Mth Error. Por que isso ocorre? Cometários sobre o uso d clculdor escol Muitos outros eemplos podem ser ddos com o uílio d clculdor. Os luos deverim ter oportuidde de ecotrr esss icoerêcis sl de ul e poder discuti-ls com o professor, que deveri estr preprdo pr respoder. Por serem questões difíceis, os livros didáticos omitem estes eemplos. 0,... Usdo clculdor, o professor deveri dr eemplos como: 8 e 8 slietdo que são úmeros precidos, ms ão iguis, pois clculdor ão trblh com úmeros form deciml ifiit, pes com proimções com úmero fiito de css. E, lém disso, esclrecer que primeir potêci é clculd como sedo. Por outro ldo, ( ) 0, = correspode Mth Error, ou sej, ão é um úmero que se poss clculr. Por quê? Num primeiro mometo, pode-se pesr que clculdor, o ecotrr um úmero do tipo, com rel ão ulo e diferete de, e rciol, vi, QUASE SEMPRE, tetr trsformr um frção e verificr o ídice d riz correspodete. Se o ídice é pr e bse é egtiv, o cálculo ão é feito , ( 8) = ( 8) = ( 8) 000

20 9 Est riz ão eiste, pois bse é egtiv e o ídice é pr. Ms 0, ( 8) e 00 ( 8) correspodem Mth Error, clculdor, equto 00 ( 8) pode ser clculdo. Logo NÃO é est lógic d clculdor. Buscdo outros eemplos, vemos que: ( ) 0,, ( ) 0,, ( ) 5 e ( ) 5 ão estão defiidos, correspodem Mth, 0 Error. Ms ( ) =, ( ) 5 = ( ) 0 =. Por quê? ( ) 0, e ( ) 0, e 5 / 5 / 5 = ( ) = ( ) =, ms são trtds como rízes de úmeros egtivos com ídice 0, que é pr: 0, = e 0, = 0 0 Ms, como dissemos teriormete, est lógic em sempre fucio. Qudo clculdor se depr com rízes ímpres de úmeros iteiros egtivos, el ge pr efetur o cálculo, como foi progrmd. ( ) 0, =, ( ) 5 = e ( ) / 5 = Tods ests potêcis são trsformds em 5. Ms observem 0, 0 ( ) = ( ) =, pois em primeiro lugr, clculdor fz ( ) e obtém um úmero positivo, pr, etão, clculr riz décim. Est prete icoerêci é um bom eemplo pr mostrr que propriedde de trsformção de potêcis em rízes ão é sempre válid pr bses egtivs. As epressões ( ) 5 e ( ) 5 correspodem Mth Error, pois ão são trsformds em rízes ímpres. Estes csos são mis difíceis de eplicr, pois, trsformdo ests potêcis em rízes, 5 5 terímos: ( ) 5 = ( ) = 4 e ( ) 5 = ( ) = 8 Porque clculdor ão dá estes resultdos? Novmete temos um bom eemplo pr mostrr que propriedde de trsformção de potêcis em rízes ão é sempre válid pr bses egtivs. Ests discussões precism ser colocds sl de ul, cso cotrário, os luos ão sberão gir qudo cofrotdos com um problem rel, em que o cálculo ds rízes evolve ídices form deciml. Nos problems reis, os úmeros, em gerl, se presetm form deciml.

21 0 Vmos procurr justificr lógic d clculdor utilizd est pesquis com o uílio d tbel. Os espços em brco correspodem Mth Error mostrdo pel clculdor. Bse Epoetes decimis 0, 0, 0,5 0,... 0,4 0,5 0,6... 0,7 0,04 0,9 0, , -,05 -,0-8 -,5 -,08 -,06 Bse Epoetes frcioários irredutíveis /0 /5 /4 / /5 / / /7 /5 /9 /5-4 -, -,59 -, -,05 -,7 -,0-8 -,5 - -,5 -,08 -,6 -,06 Bse Epoetes frcioários /0 4/ / 5/45-4 -, -,59 -, -,7-8 -,5 - -,5 -,6 Os cálculos form feitos com um clculdor Csio, f-8ms, cietífic, escolr. Apretemete, ess clculdor foi progrmd pr clculr potêcis com bse egtiv pes qudo os epoetes podem ser reduzidos um frção do tipo (/umero ímpr), como,,,,, etc. Nest lógic, são ceitos epoetes frcioários com múltiplos tis como, 5, 7, etc. Do mesmo modo, um epoete form deciml é ceito se é um represetção deciml fiit de um frção do tipo (/ ímpr), como 0, = ; 5 0,04 = ; 0,008 = ; etc. 5 5 Tods s demis potêcis com bse egtiv e epoetes rciois ão são clculds.

22 Voltdo o livro.de esio médio Potêci de epoete irrciol Como poderímos defiir potêci? Sbemos que =,4456Ké um úmero irrciol. Pr defiirmos, cosideremos s seguites tbels: Vlores de Vlores t de proimdos por flt proimdos por ecesso Com um cs deciml,4,5 Com dus css decimis,4,4 Com três css decimis,44,45 Com qutro css decimis,44,44 M M M Vlores em que é vlor Vlores t em que t é vlor de, proimdo por flt de, proimdo por ecesso, 4 = 4,655567, 5 = 5, 9654, 4 = 4, , 4 = 4, , 44 = 4, , 45 = 4, 78979, 44 = 4,7879, 44 = 4, M M Os vlores s colus que dão Esse úmero é defiido como percebemos: e t covergem pr um mesmo úmero.. Observe que, té ode fomos s tbels 4,7879 < < 4,79546, com De meir álog, defie-se qulquer potêci de epoete irrciol e bse * R +. t Sedo t um úmero irrciol positivo, tem-se: 0 = 0

23 As cico proprieddes eucids pr potêcis de epoetes iteiros, cotium válids pr potêcis de epoetes irrciois. Vejmos lgus eemplos. ) b) = 5 = : = = 5 5π π 5π π 4π 5 c) ( ) = = = 9 5 =, com d) ( ) e) = Eemplos que fltm escol e que podem ser eplicdos com clculdor: Cálculo ds potêcis pr úmeros d form deciml ifiit periódic ou ão. π ou. ) ( ), ( ) (,4) = (,4) (,4) (,4) =, 80 ( ) (,44) = (,44) (,44) (,44) =, π (,4) = (,4) (,4) (,4) = 0, π (,4) = (,4) (,4) (,4) = 0, , = 0, , = 0, , = 0, = 0, Qudo colocmos clculdor cietífic obtemos:

24 ( ),88475 π, , ) Estmos iteressdos em defiir potêcis cujo epoete é irrciol, como, por eemplo,. Pr isso, é preciso lembrr que é o limite de um sequêci de úmeros rciois:,4;,4;,44;,44;...,4, Defie-se,4,,44, como o limite d sequêci de potêcis com epoetes rciois:,44,... Este úmero é irrciol e só pode ser epresso como um proimção por rciois. Podemos clculr, por eemplo: 4,4 = = ,4 Logo, 4, = = = 00 4 É um úmero irrciol, rel, positivo e só podemos ter um proimção deciml, usdo clculdor:, 4, 65. Aplic-se o mesmo processo pr. Logo, podemos obter resultdos tão próimos d relidde quto queirmos. Com o uso d clculdor o estudo dos úmeros irrciois, bem como o ds potêcis que evolvem esse cojuto umérico, poderi ser estuddo trquilmete, já que desculp usul dos professores pr ão trblhr com úmeros dest form é dificuldde pr efetur os cálculos. Os professores devem estr cietes de que igordo o cojuto dos úmeros irrciois, estrão privdo o luo de ter o completo etedimeto sobre importâci que etesão dos cojutos uméricos represet mtemátic.

25 4 Voltdo o livro de esio médio Fução Epoecil Chm-se de fução epoecil tod fução f R R * : +, tl que f = ( ), com * R + e. Proprieddes y E. Sedo > 0 e, tem-se: = = y. E. A fução epoecil f = ( ) é crescete em todo o seu domíio se, e somete se, >. Tem-se etão: > >,, com R e > E. A fução epoecil f = ( ) é decrescete em todo o seu domíio se, e somete se, 0 < <. Tem-se etão: > <,, com R e 0 < <

26 5 OBSERVAÇÃO Este utor defie fução epoecil com muit turlidde, geerlizdo operção de potecição pr bse rel positiv. Neste mometo, é válido pergutr por que só são defiids s fuções epoeciis com bse rel positiv. Este é o mometo de propor fzer o trçdo de um fução como ( ) y = pr questior o que cotece; como fzemos seguir.

27 6 4 UMA EXPERIÊNCIA ENVOLVENDO O USO DA CALCULADORA Ess tividde foi plicd em um grupo de cico luos d primeir série do Esio Médio de um colégio estdul d cidde de Porto Alegre. Teve como objetivo pricipl observr spectos relciodos o uso d clculdor e à compreesão do coceito de fução pelos luos. ATIVIDADE Coteúdos Aborddos: Potecição e Fução e Equção Epoecil. De cordo com s fuções de domíio e imgem rel dds bio, complete s tbels com o uílio de um clculdor e utilize os sistems de eios coordedos ddos pr desehr cd gráfico: (Utilize pes um cs pós vírgul.). y = TABELA y TABELA y 0 0,5 0,5 0,75

28 7 Olhdo pr o gráfico, respod:. Pr qul vlor de temos y =?. Pr qul vlor de temos y =?. Pr qul vlor de temos y = 4? 4. Mostre lgebricmete cd um dos resultdos ds letrs,b e c, utilizdo o seu cohecimeto sobre equções epoeciis. 5. Usdo clculdor e o gráfico tete ecotrr pr quis vlores de temos: y = 0, 75 y =, 5 b. y = ( ) TABELA y TABELA y 0 0,5 0,5 0,75

29 8 Roteiro do Professor: Etregr folh de tividdes e clculdor. Pergutr os luos se eles sbem como fzer operção de potecição clculdor. Em cso egtivo, esiá-los. Deir que os luos completem s tbels e mrquem os potos o gráfico. Ao trblhrmos com fução ( ) mesgem de erro. Eplicr o procedimeto d clculdor: y = com rciol, clculdor drá ( 0,5 ) = ( ) = R, pois é riz qudrd de úmero egtivo. Por 0,5 4 isso mesgem de erro. O mesmo cotece com ( ) = ( ) = e 4 0,75 4 com ( ) = ( ) = , 5 ( ) = ( ) = R. Eplicr os luos que clculdor busc fzer o cálculo trsformdo o epoete deciml em frção e buscdo riz, qudo: ) O epoete correspode um frção (/úmero ímpr); ) Est frção result um úmero deciml fiito. Observr que se o epoete é /7 ou /9, o resultdo é MthError. Por isso, tem-se o cuiddo de defiir est propriedde pes pr úmeros positivos. Observr se os luos irão ligr os potos mrcdos o gráfico (b). Eplicr que ão é possível fzê-lo, pois pr diversos vlores de ão ecotrmos o vlor correspodete de y. Sedo ssim fução dd ão é um fução rel. Aspectos serem observdos: Os luos sbem clculr potêcis com epoete iteiro usdo clculdors? Os luos tetrão pssr de gráficos de fução com domíio Z pr domíio R, pes jutdo os potos do primeiro gráfico, um lih cotíu?

30 9 Os luos sbem clculr potêcis com epoete frcioário ou deciml usdo clculdors? Os luos têm idéi dos diferetes úmeros que estão represetdos ret rel e de como clculr com eles? A clculdor uiliou os luos compreesão d operção de potecição com reis? A clculdor uiliou os luos compreesão d fução epoecil e de seu gráfico? OBSERVAÇÕES: Primeirmete, form etregues folh de tividdes e s clculdors. Ao iicir o preechimeto d tbel, lgus luos ão utilizrm clculdor, preferido plicr s proprieddes d potecição vists em ul. Além disso, pós mrcrem todos os potos dest tbel o gráfico, ligrm os potos trçdo curv d fução epoecil. Não foi possível observr qul seri o comportmeto dos luos cso fução epoecil uc tivesse lhes sido presetd, já que esse coteúdo já hvi sido trblhdo em ul. Isso mostr que pr os luos já se torou hbitul uir os potos pes clculdo-os pr vlores iteiros de. Além disso, lgus luos prm o gráfico d fução os etremos clculdos s tbels, o que mostr que eles ão etedem o setido de o domíio ser todo o cojuto dos reis. Ao terem que preecher tbel, foi possível observr que os estudtes uc hvim efetudo um operção de potecição utilizdo clculdor. Ao tetr efetur 0,5 primeir tettiv foi trsformr o epoete deciml em epoete

31 0 frcioário, pr etão pesr em utilizr clculdor. Porém os luos tmbém ão sbim como utilizr máqui pr efetur 4, já que estvm hbitudos operr somete em clculdors simples (que possuem pes tecl ). A primeir pergut feit por eles foi como utilizr clculdor cietífic pr efetur tis cálculos. Mostrei-lhes, como eemplo, o cálculo com epoetes iteiros. Eles etão coseguirm efetur o cálculo com o epoete deciml. Porém, o se deprrem com o resultdo obtido, lgus luos chvm que respost estv errd, pois ão er um úmero iteiro. Esse fto sugere que os luos ão têm o hábito de trblhr com úmeros irrciois em sl de ul. Epliquei que, esses csos, utilizmos proimções. Algus luos preecherm tbel rredoddo pr mis, outros pr meos. O que mostr que de lgum form já hvim se deprdo com situções em que o rredodmeto er ecessário. Ao termirem o preechimeto d segud tbel, mrcrm com etrem dificuldde os potos o gráfico. Vlores que deverim ser simples de serem iterpretdos por luos que freqüetm o esio médio, como, por eemplo, 0,5, despertvm muit isegurç os luos. Em relção às questões colocds pós o primeiro gráfico, foi possível otr que eisti um dificuldde muito grde iterpretção tto dos gráficos quto pergut que er feit. Clculr o vlor de prtir de proimções observds o gráfico er um eercício que uc hvi sido colocdo pr eles. N questão (5), foi possível, pr os luos, perceber que questões dquele tipo só poderim ser resolvids com o uso d clculdor, já que o precisr clculr o vlor y prtir dos vlores ddos pr, são ecotrdos vlores ão iteiros (e té mesmo irrciois) pr os epoetes. Ao preecher s tbels d questão (b), ehum dos luos sbi eplicr por que clculdor presetv mesgem de erro. Ao termir o preechimeto d tbel, os potos form mrcdos e etão lgus luos descofirm que os potos ão pudessem ser ligdos, porém ão sbim como justificr tl fto. Um luo ligou pes os potos que se ecotrvm cim do eio e um lu ligou todos os potos do gráfico. Tl fto sugere que em mesmo o coceito de fução é bem etedido por esses luos. Vej bio os gráficos desehdos pelos luos:

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33 5 TEORIA MATEMÁTICA DA POTENCIAÇÃO Até o século XIX, os úmeros turis erm vistos como coleções de uiddes; frções erm rzões etre qutiddes; úmeros reis erm comprimetos de segmetos e úmeros compleos erm potos do plo. Ms os mtemáticos ão estvm stisfeitos com os resultdos bsedos ests oções ituitivs. Ness perspectiv, foi formuldo um pricípio gerl pr direcior qulquer geerlizção do coceito de úmero: o pricipio d permêci ds leis do cálculo. Pr costruir um ovo sistem umérico, como etesão de um sistem ddo, s operções devem ser defiids de tl modo que s leis eistetes permeçm (Crç, 998). Seguido este pricípio, defie-se: ) Potêci de bse rel e epoete iteiro ão ulo. 0, > 0 = 44 K. vezes = ( ) = Justifictiv pr =. Pelo pricípio de permêci, o mplirmos o domíio umérico, dos turis pr os iteiros, s proprieddes d operção, válids pr os domíios teriores devem permecer válids. Assim, podemos utilizr propriedde d multiplicção de potêcis de mesm bse. + ( ) 0 Vemos que: = = =. Ms sbemos que =, logo =. Igulmete vlem, pr iteiro e rel. 0 = 0 0 =

34 Proprieddes válids pr bse rel e epoete iteiro, ão ulos. I) b m II) b III) IV ) b m m ( b ) ( b) V ) b b = b = b = b ) Potêci de bse rel ão ul e epoete frcioário ão ulo. Neste mometo é imprescidível que fçmos relção d potecição com rdicição. m+ = b m = m b. Bse rel positiv rel e iteiro. > 0 e > 0: = y y = rel e m rciol. m > 0 e > 0 : m m = e m = m ) Potêci de bse rel ão ul e epoete rel ão ulo.. Bse positiv e y reis e positivo. Potêci y, > 0 e y 0. Se e y são rciois, m y =, já visto. Se ou y é irrciol, defie-se potêci y como limite de sequêcis de úmeros rciois. Tods s proprieddes cim permecem válids.

35 4. Bse egtiv Proprieddes que ão são válids qudo bse é egtiv: = b b = k = k Como já vimos, eistem resultdos que ão permitem um defiição gerl. Eistem símbolos formdos com úmeros reis, utilizdo s operções de potecição, rdicição e logritmção que ão correspodem úmeros reis. Os úmeros reis são isuficietes pr dr setido símbolos como estes: ( ) ( ), 5 ( ) log 0 ( ) Estes símbolos terão sigificdo o cmpo dos úmeros compleos. Defiição d Fução Epoecil mtemátic superior Em ível superior, diferetemete do que é feito o esio médio, é usul defiir fução epoecil prtir d defiição de logritmo. Ecotrmos mesm idéi o livro Logritmos de Elo Lges Lim (Lim, 008) e o site Mtemátic Essecil, dispoível em Deste site, seleciomos lgus trechos. Defiição de Logritmo O logritmo turl (ou eperio) de u, muits vezes, deotdo por l ( u), pode ser defiido do poto de vist geométrico, como áre d região pl loclizd sob o gráfico d curv y =, cim do eio y = 0, etre s rets = e = u, que está o deseho colorido de vermelho.

36 5 A áre em vermelho represet o logritmo turl de u, deotdo por L(u). Em fução do gráfico, em eo, usremos defiição: l ( u ) = áre(, u) Se u >, região possuirá um áre bem defiid, ms tomdo u =, região se reduzirá um lih verticl (que ão possui áre, ou sej, possui áre ul) e este cso tomremos l( ) áre(, ) =. Assim: l( ) = 0 Qudo umetmos os vlores de u, est fução tmbém umet os seus vlores, o que sigific que est fução é crescete pr vlores de u > 0. Proprieddes geris dos logritmos Com o uso deste coceito fudmetl d Mtemátic, é possível demostrr váris proprieddes dos Logritmos turis (o que ão será feito qui), pr úmeros reis positivos e y e pr qulquer úmero rel k, desde que tehm setido s epressões mtemátics: Proprieddes básics dos logritmos turis. l( ) = 0. l ( y) = l( ) + l( y). l( k ) = k l( ) y 4. l = l( ) l( y)

37 6 Em ecotrmos: A Costte e de Euler Eiste um importtíssim costte mtemátic defiid por e = ep() O úmero e é um úmero irrciol e positivo e em fução d defiição d fução epoecil, temos que: l ( e ) = Este úmero é deotdo por e em homegem o mtemático suíço Leohrd Euler (707-78), um dos primeiros estudr s proprieddes desse úmero. O vlor deste úmero epresso com 40 dígitos decimis é: e =, Coeão etre o úmero e e fução epoecil Se é um úmero rel, fução epoecil ep(.) pode ser escrit como potêci de bse e com epoete, isto é: e = ep ( ) Sigificdo geométrico de e Tomdo um poto v do eio OX, com v > tl que áre d região do primeiro qudrte loclizd sob curv uitári, etão o vlor de v será igul e. y = e etre s rets = e = v sej

38 7 Proprieddes básics d fução epoecil Se e y são úmeros reis e k é um úmero rciol, etão:. y = ep( ) se, e somete se, l( y). [ l( y )] = y ep pr todo y > 0.. [ ep( )] = l pr todo rel. 4. ep( + y) = ep( ) ep( y) ep ep = ep 5. ( y) ( ) ( y) 6. ep ( k) = [ ep( ) ] k =. A fução epoecil A fução epoecil turl é fução ep : R R+, defiid como ivers d fução logritmo turl, isto é: l [ ep( )] = e ep [ l( )] = O gráfico d fução epoecil é obtido pel refleão do gráfico d fução Logritmo turl em relção à idetidde dd pel ret y =. Como o domíio d fução Logritmo turl é o cojuto dos úmeros reis positivos, etão imgem d fução ep é o cojuto dos úmeros reis positivos e como imgem de l é o cojuto R de todos os úmeros reis, etão o domíio de ep tmbém é o cojuto R de todos os úmeros reis.

39 8 Observção: Atrvés do gráfico de f ( ) ep( ). ep ( ) > 0 se é rel. 0 ep( ) > < se < 0. ep ( ) = 4. ep ( ) > se = 0 se > 0 =, observmos que: Outrs fuções epoeciis Podemos defiir outrs fuções epoeciis como ( ) úmero rel positivo diferete de e de 0. g = ode é um Por defiição de logritmo, l ( ) é sempre positivo. Ms pr que sej bse de um fução epoecil, teremos = ep( l( ) ). E fução tor-se: = ep( l( ) ), ms ( l( ) ) prtir do logritmo). ep é ecessrimete positivo (pel defiição cim, Logo é ecessrimete positivo. Se = 0 Se =, teremos fução ul ( ) = 0 g., teremos fução costte ( ) = g. Por isso cosidermos positivo, diferete de 0 e. Est defiição pode levr outrs epressões pr s fuções potêci de. Em prticulr: y =, com rel e turl ímpr, poderi ser represetd por ( l( ) ) y = ep. Ms y = tmbém pode ser represetd por y =, o cso de ser ímpr.

40 9 Ests dus opções pr represetção ifluecim o domíio d fução.. Domíio de y =, pr ímpr, é o cojuto dos reis.. Domíio de y =. Domíio de y ep l( ), pr ímpr, é o cojuto dos reis. ( ) = pr ímpr, é o cojuto dos reis positivos. Podemos citr qui o trblho de Guimrães (00, pg.59). Seus luos form solicitdos trçr e observr os gráficos d fução y = com o softwre Derive E com o softwre Grphmtic:

41 40 Um dos gráficos reduz o domíio d fução os reis positivos, equto que o outro utiliz todo o cojuto dos reis. Os luos cocluírm que em lgus mbietes fução é computd como y = ep( l( ) ) e ( ) l ão está defiido pr < 0. Logo, somete metde do gráfico é produzid. Ou sej, os softwres trblhm com lógics diferetes, costrução deste gráfico. Refletido sobre cmpos de vlidde d fução, decidirm que o gráfico com domíio mis mplo é o correto, visto que ão há vlores egtivos de que ivlidm eistêci d fução. Pr o professor que pretede utilizr tecologi sl de ul, é importte sber lisr s diferetes lógics dos recursos que vi usr e torr resultdos que são pretemete cotrditórios um fote de refleão e álise sobre o coceito. A fução epoecil o domíio dos úmeros compleos Relção de Euler Se estedermos o domíio d fução pr úmeros compleos, podemos defiir fução epoecil com bse qulquer, positiv ou egtiv. Pr isto, usmos relção de Euler: Se i é uidde imgiári e é um úmero rel, etão vle relção: ( i) = ( ) ise( ) e i = ep cos + comple: Se z é um umero compleo z = + ib, defiimos fução epoecil e + ib = ep ( + ib) = e ( cos( b) + ise( b) ) e i = + ise π =. π Com est relção, sbemos que cos( π ) ( ) Assim, se k é um úmero rel positivo, k = k e πi Pr um úmero rel qulquer, temos :

42 4 πi πi ( k ) = ( k e ) = k e = k cos ( π) + ise( π) ( ) Dest form, o cmpo dos compleos é possível clculr os eemplos vistos o cpítulo : 8 = 8 π cos + π = = +. ( ) ise i i = + ( )i π 5 π ( ) 5 = cos + ise ( 0,09 + i 0,95) = 4( 0,09 + i 0,95) Tis eplicções o Esio Médio podem ser complicds, ms terim o objetivo de mostrr um plicção iteresste dos úmeros compleos e tmbém de judr evitr que os luos cometessem erros o plicr s proprieddes d potecição qudo bse for egtiv. Além disso, um luo de ível médio deve ter cosciêci sobre importâci desse cojuto umérico mtemátic. O professor deve slietr que muits outrs questões que o cojuto dos úmeros reis ão é suficiete pr eplicr são respodids grçs os úmeros compleos. Primeiro Teorem Fil d Aritmétic: Do poto de vist ritmético ão é preciso mplir o cmpo dos úmeros compleos, pois ele é suficiete pr dr setido tods s operções ritmétics rciois, lgébrics irrciois e s operções trscedetis. (RIPOLL, 006, p.70)

43 4 6 CONSIDERAÇÕES FINAIS Ao lisr como operção de potecição é defiid escol, desde o ível fudmetl, prtir dos livros didáticos, verificmos que o esio deste coteúdo iici-se set série. A defiição d potecição como um operção que cd pr de úmeros reis (, b) ssoci outro úmero rel idicdo pelo símbolo b refere-se à bse rciol e epoete turl, e mpli-se oitv té bse e o epoete torremse úmeros reis. Nest pssgem, eistem omissões dos livros didáticos:. À medid que os cojutos mplim-se, s proprieddes são estedids, sem que o utor eplicite o pricípio d permêci, que justific est etesão;. São eftizds restrições própris dos úmeros reis, sem cometários sobre eistêci de um cojuto mis mplo, os compleos, o que pode vir prejudicr compreesão o futuro. Por eemplo, o livro eftiz que, se o rdicl o ídice for pr e o rdicdo for positivo, etão eistem dois úmeros opostos b e b tis que b = e ( b) =. Por coveção, dot-se pes o úmero positivo como vlor de. Isto ão é verdde o domíio dos compleos.. Livros tuis sugerem o uso d clculdor, ms o restrige eemplos bem comportdos, impedido o uso crítico mis mplo. Iclusive evit álise do Mth Error d clculdor, que poderi ser fote de ivestigção. No ível médio, é defiid fução rel de vriável rel y =, com > 0 e. O livro dotdo defie fução epoecil percorredo um cmiho que prece turl: ds potêcis com bse e epoete iteiros pr s potêcis com bse e epoetes reis, restrigido bse pr úmeros positivos, sem justificr tl restrição. A justifictiv cosiste em dizer que s proprieddes d potêci ão são válids se bse for egtiv ou ul. Cbe pergutr, por que ão é possível defiir fução, pes porque s proprieddes ão são válids. Um bo justifictiv poderi ser dd pel clculdor, mostrdo os iúmeros csos de Mth Error, ms isto ão é feito. Mesmo se fosse est eplicção, id rest pergutr: porque eistem lgus vlores de potêci com bse egtiv que clculdor preset e outros ão? Ao estudrmos mtemátic d fução epoecil, verificmos que el é defiid prtir d defiição de logritmo turl e do úmero e, que represet um áre e, portto, é positivo. Este cmiho elucid questão d ecessidde de ssumir bse positiv.

44 4 O trblho iclui sugestões pr os professores o setido de desevolver os luos hbiliddes pr utilizção d clculdor, como fcilitdor o etedimeto de coceitos bstrtos d mtemátic, como por eemplo, oção de úmero irrciol. Vários utores sugerem su importâci, ms é preciso que o professor sib utilizá-l pr ivestigção e ão somete como ferrmet de cálculo. Com tividde propost o cpítulo sobre fução epoecil foi possível perceber erros comus os luos como tetr fzer o gráfico d fução epoecil rel de bse (-), uido potos obtidos pr y positivo e igordo queles vlores em que y ssumi vlores egtivos que podem ser tedidos com o uso d clculdor. Tmbém procurmos eplicr lógic dest máqui o cálculo de vlores de potêcis reis, mostrdo dois tipos de trtmeto ddo às potêcis de bse egtiv com epoete deciml. A clculdor preset vlores, se o epoete for um úmero form deciml fiit que represet um úmero frcioário d form (/ímpr), como (/5) ou (/5), ms ão o fz pr úmeros que são proimções de decimis ifiits, represettes de (/7) ou (/9), por eemplo. Etretto, se o epoete for frcioário, frção equivlete, (/ímpr), como (/7) ou (/), o cálculo é feito. A lógic pr bses egtivs e epoetes frcioários ou decimis prece ser: fzer os cálculos que coicidem com rízes ímpres de úmeros egtivos e ão fzer qulquer outro cálculo em csos diferetes. Não estudmos lógic de clculdors diferetes, porém ecotrmos um trblho que sliet est difereç os softwres gráficos, permitido pesr que o mesmo pode ocorrer s clculdors. Cocluímos que o uso d clculdor sl de ul de mtemátic pode proporcior tividdes de simulção e de ivestigção que didátic usul ão iclui. Se o professor souber de tods s hbiliddes que podem ser desevolvids com o uso d clculdor em sl de ul, é possível que ele psse icluí-l em seu plejmeto. Este trblho tem pretesão de ser útil pr estes professores.

45 44 REFERÊNCIAS D AMBROSIO, U. Educção mtemátic: d teori à prátic. Cmpis, SP: Ppirus, 996. PAIVA, M. Mtemátic, volume úico. São Pulo: Moder, 005. GIOVANNI, J. R. A coquist d Mtemátic: + ov, vol.. São Pulo: FTD, 00. GIOVANNI, J. R. A coquist d Mtemátic: + ov, vol.4. São Pulo: FTD, 00. LIMA, E.L.; Logritmos. Lisbo: Sociedde Portugues de Mtemátic, 008. PONTE, J. P.; ALBERGARIA, I. Cálculo metl e clculdor. Dispoível em: Pote%0_EIEM.pdf. Acesso em: mrço de 009. CARAÇA, B. J. Coceitos Fudmetis de Mtemátic. Lisbo: Grdiv, 998, págis 5 45, trecho do cpítulo : A costrução do cmpo rciol. GUINTHER, A. O Uso ds Clculdors s Auls de Mtemátic: cocepções de professores, luos e mães de luos. Mestrdo Profissiol em Esio de Mtemátic d PUC-SP. Dispoível em: Acesso em: mio de 009. GUIMARÃES, O. Cálculo diferecil e itegrl, um mudç de foco: do lgebrismo às represetções múltipls trvés de mbietes iformtizdos. Dissertção de Mestrdo em Egehri de Produção Uiversidde Federl de St Ctri, UFSC, Brsil, 00. Dispoível em Acesso em juho 009. RIPOLL, J. B. Números rciois, reis e compleos. Porto Alegre: Editor d UFRGS, 006.