PG apostila (Pucrs 2015) O resultado da adição indicada 0,001 0, , é. a) 1 9. b) c) 99. d) 100. e) 999

Transcrição

1 PG apostila. (Fuvest 05) Um alfabeto miimalista é costituído por apeas dois símbolos, represetados por * e #. Uma palavra de comprimeto,, é formada por escolhas sucessivas de um desses dois símbolos. Por exemplo, # é uma palavra de comprimeto e #* * # é uma palavra de comprimeto 4. Usado esse alfabeto miimalista, a) quatas palavras de comprimeto meor do que 6 podem ser formadas? b) qual é o meor valor de N para o qual é possível formar de palavras de tamaho meor ou igual a N?. (Ufrgs 05) Para fazer a aposta míima a Megassea uma pessoa deve escolher 6 úmeros diferetes em um cartão de apostas que cotém os úmeros de a 60. Uma pessoa escolheu os úmeros de sua aposta, formado uma progressão geométrica de razão iteira. Com esse critério, é correto afirmar que a) essa pessoa apostou o úmero. b) a razão da PG é maior do que. c) essa pessoa apostou o úmero 60. d) a razão da PG é. e) essa pessoa apostou somete em úmeros ímpares.. (Udesc 05) Os úmeros reais a, b e c são tais que a progressão geométrica S {5a b, b, 48, } e a progressão aritmética S {c, a b, 6a c, } possuem razões opostas. Etão, o valor de é a b c igual a: a) b) 0 c) d) 5 e) 0 4. (Pucrs 05) O resultado da adição idicada 0,00 0, , é a) 9 b) 0 c) 99 d) 00 e) Págia de 4

2 5. (Espcex (Ama) 05) Na figura abaixo temos uma espiral formada pela uião de ifiitos semicírculos cujos cetros pertecem ao eixo das abscissas. Se o raio do primeiro semicírculo (o maior) é igual a e o raio de cada semicírculo é igual à metade do semicírculo aterior, o comprimeto da espiral é igual a a) π. b) π. c) π. d) 4 π. e) 5 π. 6. (Uesp 05) Para cada atural, seja o úmero vezes K vezes Se, para que valor se aproxima K? 7. (Uemg 05) Gastos com cartão movimetaram R$455 bilhões o º semestre. Valor represeta alta de 6,% em relação ao mesmo período de 0 As trasações feitas com cartões de débito e crédito o primeiro semestre de 04 somaram R$ 455 bilhões, segudo dados divulgados esta terça-feira (9) pela Associação Brasileira das Empresas de Cartões de Crédito e Serviços (Abecs)... Acesso em 0/8/04 Aalisado a reportagem acima e cosiderado costate a alta dos gastos, em bilhões de reais, com a movimetação do cartão (crédito e débito), etre 0 e 04, os próximos aos, podemos supor que, em 00, o mesmo período, serão movimetados com cartão aproximadamete a) 7, 0 bilhões de reais. b) c) d) 7,75 0 bilhões de reais. 9,0 0 bilhões de reais. 8,8 0 bilhões de reais. Págia de 4

3 8. (Ufrgs 05) Cosidere o padrão de costrução represetado pelo deseho abaixo. O disco A tem raio medido. O disco B é tagete ao disco A o poto P e passa pelo cetro do disco A. O disco C é tagete ao disco B o poto P e passa pelo cetro do disco B. O disco D é tagete ao disco C o poto P e passa pelo cetro do disco C. O processo de costrução dos discos é repetido ifiitamete. Cosiderado a sucessão ifiita de discos, a soma das áreas dos discos é π a). 4 π b). c) π. d) π. e) 4 π. 9. (Uem-pas 05) Sejam (a,a,a,...) e (b,b,b,...), com, a i,bi respectivamete, uma progressão aritmética (PA) e uma progressão geométrica (PG) ifiitas. Nessas codições, assiale o que for correto. 0) Se a a a e aa, etão a razão da PA é. 0) Se b e a razão da PG é, e se, etão a soma dos primeiros termos dessa PG é zero. 04) Se todos os a i forem positivos, etão a PA é crescete. 08) Se a razão da PG for egativa, etão a PG é decrescete ) Se a4 6 0 e a 0, etão a Págia de 4

4 TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO: Leia o texto para respoder à(s) questão(ões). Pesquisas mostram difereças uméricas sigificativas etre as várias regiões do Brasil o que diz respeito ao úmero de fiéis distribuídos pelos diversos grupos religiosos. Os católicos, por exemplo, tem uma maior participação o total da população as regiões Nordeste e Sul, ultrapassado 80% da população o Nordeste cotra uma média acioal de 74%. Por outro lado, Rio de Jaeiro e Rodôia são os estados com meor população de católicos. Cosidere que os aos seguites a publicação dos dados costates o quadro abaixo, o úmero de fiéis das religiões orietais cresceu 0% ao ao em progressão geométrica equato que o úmero de fiéis afro-brasileiros cresceu 5% ao ao em progressão aritmética. Números de fiéis por grupos religiosos o Brasil REGIÃO NORTE Nº. DE FIÉIS Católicos Evagélicos Afro-Brasileiro Orietais Espiritualista Outras Religiões Sem Religião TOTAL Fote: Texto adaptado Revista de Geografia da UFC, (Uepa 05) Sedo log(,) 0,08 e log(,076) 0,, o tempo ecessário para que o úmero de fiéis das religiões orietais seja 6.04 a mais do que o valor costate o quadro acima é: a) 7 meses b) 60 meses c) 48 meses d) 40 meses e) 6 meses. (Ufg 04) Devido às codições geográficas de uma cidade, um motorista, em seu veículo, desloca-se pelas ruas somete as direções orte-sul e leste-oeste, alterado o deslocameto etre essas direções. Cada um desses deslocametos foi medido em itervalos iguais de tempo, as duas direções e com o mesmo úmero de medições em ambas, obtedose os seguites dados: - direção orte-sul: x - direção leste-oeste: y km, x km, y km e x km e y 5 km; 4 km. Sabedo que o motorista iicia seu deslocameto a direção orte-sul, que este padrão de deslocameto mateve-se ao logo de todo o percurso e que a soma das distâcias percorridas o setido orte-sul foi de 6 km, determie a soma dos deslocametos do motorista, em km, o setido leste-oeste. Págia 4 de 4

5 . (Uem 04) Uma sequêcia ifiita de quadrados é costruída da seguite forma: dado um quadrado Q, i costrói-se outro quadrado Qi, cujos vértices estão sobre os lados de Q i e de tal forma que a distâcia de qualquer vértice de Qi ao vértice de Q i mais próximo dele é igual a / do lado de Q. i Sobre essa sequêcia de quadrados, assiale o que for correto. 0) O lado do quadrado Qi é igual a 5/9 do lado do quadrado Q. i 0) A área do terceiro quadrado costruído é meor do que a metade da área do primeiro quadrado. 04) A sequêcia formada pelas áreas dos quadrados costruídos dessa forma é uma progressão geométrica de razão 5/9. 08) A sequêcia formada pelos lados dos quadrados costruídos é uma progressão aritmética de razão 5 /. 6) As diagoais de todos os quadrados costruídos se itersectam o mesmo poto.. (Uepa 04) Os museus são uma das formas de comuicar as produções cietíficas etre as gerações. Um exemplo dessa diâmica é a comuicação da ideia de que ada que é humao é etero, sugerida por um sistema composto por um motor e egreages exposto um museu de São Fracisco, os EUA. Supoha que esse sistema é composto por um motor elétrico que está ligado a um eixo que o faz girar a 0 rotações por miuto (rpm), e este, por meio de um parafuso sem fim, gira uma egreagem a uma velocidade 0 vezes meor que a velocidade do próprio eixo e assim sucessivamete. Texto Adaptado: Revista Cálculo, Agosto 0. Um sistema similar ao sistema descrito acima cotém egreages, todas ligadas umas às outras por meio de eixos e parafusos sem fim, que fazem cada uma das egreages girar 0 vezes mais letamete do que a egreagem aterior. Nestas codições, o úmero de egreages ecessárias para que a velocidade da última egreagem seja igual a 0, 05 rpm é: a). b) 4. c) 5. d) 6. e) (Pucrj 04) Vamos empilhar 5 caixas em ordem crescete de altura. A primeira caixa tem m de altura, cada caixa seguite tem o triplo da altura da aterior. A altura da ossa pilha de caixas será: a) m b) 8 m c) m d) m e) 5 m Págia 5 de 4

6 5. (Uema 04) Numa platação tomada por uma praga de gafahotos, foi costatada a existêcia de gafahotos. Para dizimar esta praga, foi utilizado um produto químico em uma técica, cujo resultado foi de 5 gafahotos ifectados, que morreram logo o º dia. Ao morrerem, já haviam ifectado outros gafahotos. Dessa forma, o º dia, morreram 5 gafahotos; o º dia, morreram mais 0; o º dia, mais 0 e assim sucessivamete. Verificado o úmero de mortes acumulado, determie em quatos dias a praga de gafahotos foi dizimada. 6. (Eem PPL 04) Pesquisas idicam que o úmero de bactérias X é duplicado a cada quarto de hora. Um aluo resolveu fazer uma observação para verificar a veracidade dessa 5 afirmação. Ele usou uma população iicial de 0 bactérias X e ecerrou a observação ao fial de uma hora. Supoha que a observação do aluo teha cofirmado que o úmero de bactérias X se duplica a cada quarto de hora. Após uma hora do iício do período de observação desse aluo, o úmero de bactérias X foi de 5 a) 0 5 b) 0 5 c) 0 5 d) e) 0 7. (Fgv 04) a) Um sábio da Atiguidade propôs o seguite problema aos seus discípulos: Uma rã parte da borda de uma lagoa circular de 7,5 metros de raio e se movimeta saltado em liha reta até o cetro. Em cada salto, avaça a metade do que avaçou o salto aterior. No primeiro salto avaça 4 metros. Em quatos saltos chega ao cetro? b) O mesmo sábio faz a seguite afirmação em relação à situação do tem A: Se o primeiro salto da rã é de metros, ela ão chega ao cetro. Justifique a afirmação. 8. (Ufrgs 04) Cosidere o padrão de costrução represetado pelos desehos abaixo. Na etapa, há um úico quadrado com lado. Na etapa, esse quadrado foi dividido em ove quadrados cogruetes, sedo quatro deles retirados, como idica a figura. Na etapa e as seguites, o mesmo processo é repetido em cada um dos quadrados da etapa aterior. Nessas codições, a área restate, a etapa 5, é a) b) c) d) e) (Pucrj 04) A Copa do Mudo, dividida em cico fases, é disputada por times. Em cada fase, só metade dos times se matém a disputa pelo título fial. Com o mesmo critério em vigor, uma competição com 64 times iria ecessitar de quatas fases? a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9 Págia 6 de 4

7 0. (Uerj 04) Um feirate vede ovos bracos e vermelhos. Em jaeiro de um determiado ao, do total de vedas realizadas, 50% foram de ovos bracos e os outros 50% de ovos vermelhos. Nos meses seguites, o feirate costatou que, a cada mês, as vedas de ovos bracos reduziram-se 0% e as de ovos vermelhos aumetaram 0%, sempre em relação ao mês aterior. Ao fial do mês de março desse mesmo ao, o percetual de vedas de ovos vermelhos, em relação ao úmero total de ovos vedidos em março, foi igual a: a) 64% b) 68% c) 7% d) 75%. (Uema 04) Cosidere a seguite situação sobre taxas de juros o mercado fiaceiro, em que o cálculo é efetuado por uma composição de juros determiado pelo coeficiete i, sedo i a taxa de juros e o período (tempo). Este coeficiete é multiplicado ou dividido, de acordo com a atureza da operação, do empréstimo ou da aplicação. O Sr. Borilo Peteado tomou um empréstimo de a R$800,00 juros de 5% ao mês. Dois meses depois, pagou R$400,00 e, um mês após o último pagameto, liquidou o débito. O valor do último pagameto, em reais, é de a).8,00. b) 96,0. c) 88,00 d) 56,0. e) 506,0. TEXTO PARA AS PRÓXIMAS QUESTÕES: A sequêcia de figuras acima ilustra três passos da costrução de um fractal, utilizado-se como poto de partida um trimió: o ível I é costituído de uma peça formada por três quadrados de cm de lado cada, justapostos em forma de L. No segudo passo, substitui-se cada quadrado do fractal de ível I por um trimió, que tem os comprimetos dos lados de seus quadrados adequadamete ajustados à situação, de forma a se obter o fractal de ível II, coforme ilustrado acima. No terceiro passo, obtém-se, a partir do fractal de ível II, também substituido-se cada um de seus quadrados por um trimió com os lados de seus quadrados ajustados, o fractal de ível III. O processo cotiua dessa forma, sucessiva e idefiidamete, obtedo-se os fractais de íveis I, II, III,..... (Upf 04) Com base essas iformações, a partir de que ível a área da figura se tora meor que cm? a) Nível. b) Nível 4. c) Nível 5. d) Nível 6. e) Nível 7.. (Upf 04) Uma vez que represeta o ível do fractal, a área do fractal de ível é: a) b) c) 4 d) 4 ( ) e) Págia 7 de 4

8 Gabarito: Resposta da questão : a) palavras com uma letra: palavras com duas letras: palavras com três letras: E assim sucessivamete. Portato, o úmero de palavras de comprimeto meor do que 6 será dado por: b) Utilizado a fórmula da soma dos primeiros termos de uma P.G, temos: N 6 0 N 6 0 N 6 0 N Logo, N 0 N 9. Resposta da questão : [A] A úica PG que obedece às codições da questão é (,, 4, 8, 6, ). Portato, com certeza esta pessoa apostou o úmero. Resposta da questão : [E] Sejam q e r, respectivamete as razões de S e S. De S, vem (a b) c ( 6a c) b 4a. Logo, tem-se que S {a, 4a, 48, } e, portato, 4a q 4. Em cosequêcia, dado que q e a r são opostas, ecotramos r 4 e 48 4, o que implica em a. Daí, temos b 4a e c 5, pois b 4a e a b c 4. Por coseguite, o valor de a b c é 0. Págia 8 de 4

9 Resposta da questão 4: [E] Lembrado que o limite da soma dos termos de uma progressão geométrica de primeiro termo a a e razão q é dado por, temos q 6 9 0,00 0, , Resposta da questão 5: [B] Comprimeto de uma semicircuferêcia de raio Logo, a soma pedida será dada por: S π π π 4 π 8... S π ( ) S π S π Resposta da questão 6: Tem-se que πr r : π r K 4 4. Se, etão 0 e, portato, segue que K. Resposta da questão 7: Sem resposta. Gabarito Oficial: [D] Gabarito SuperPro : Sem resposta. Supodo uma taxa de crescimeto costate de 0,6, tem-se que o resultado pedido é dado por (,6), 0 bilhões de reais Págia 9 de 4

10 Resposta da questão 8: [E] Área do círculo maior: A π π O raio do segudo círculo é do raio do primeiro, portato a seguda área será π A π. 4 A sequêcia das ifiitas áreas é uma P.G. de razão q. 4 Daí, a soma dos ifiitos termos desta sequêcia será dada por: π 4π S 4 Resposta da questão 9: = 7. [0] Verdadeira. a r a a r a a a Logo, a razão da P.A. será dada por r. [0] Falsa, pois S for ímpar. ( ) que é igual a zero se for par e igual a e se [04] Falsa. A P.A. poderia ser costate, como o exemplo (5, 5, 5, 5, ). [08] Falsa. A P.G. será alterate. [6] Verdadeira, pois a a4 8 r r r a0 a 89 r a a0 0 ( 89) a Págia 0 de 4

11 Resposta da questão 0: [C] O úmero de fiéis das religiões orietais após aos é dado por sedo um úmero atural. a 5000 (,), com Queremos calcular de modo que a Logo, segue que (,) (,),076 log(,) log,076 log(,) log,076 log,076 log(,) 0, 0,08 4. Portato, a resposta é 4 48 meses. Resposta da questão : Norte Sul: P.A. (,, 5,...) a ( ) a Como a soma do termo é 6, temos: 6 6 Leste- Oeste ( = 6) P.G. (,, 4, 8,...) 6 S6 6km Resposta da questão : =. a a AD a 5 AD Págia de 4

12 [0] Falsa. O lado do quadrado Qi é igual a 5 do lado do quadrado Q. i [0] Verdadeira, pois 5a 5a 9 8 e 5a a. 8 4 [04] Verdadeira, pois a [08] Falsa, pois é uma P.G de razão 5. [6] Verdadeira. Na figura acima os triâgulos PAF, PDG, PCH e PBE são cogruetes pelo caso LAL, portato, o poto P é equidistate dos potos A, B, C, e D. Portato, P é cetro do quadrado ABCD. Resposta da questão : [A] De acordo com as iformações, obtemos 0 0, Observação: rpm é uma uidade de frequêcia, que é o úmero de revoluções por uidade de tempo. Resposta da questão 4: [A] A altura da pilha é igual a m. Resposta da questão 5: O úmero total de gafahotos mortos após dias costitui a progressão geométrica (5,5, 45,, 5, ). Daí, temos Portato, a resposta é dias. Págia de 4

13 Resposta da questão 6: [E] Uma hora correspode a 4 4 de hora. Logo, ao fim de uma hora, o úmero de bactérias X foi de Resposta da questão 7: a) As distâcias percorridas pela rã costituem uma progressão geométrica de primeiro termo igual a 4 e razão. alcace o cetro, etão Logo, se é o úmero de saltos ecessários para que a rã 7,5 4 7, b) Supodo que a rã pudesse dar tatos saltos quato quisesse, teríamos lim S 6. Portato, como 6 7,5, cocluímos que a rã ão chegaria ao cetro. Resposta da questão 8: [E] A sequêcia é uma P.G. de razão ,,,,, O quito termo é Resposta da questão 9: [B] O úmero de times em cada fase correspode aos termos da progressão geométrica (64,,, ). Logo, sedo o úmero de fases pedido, temos: Págia de 4

14 Resposta da questão 0: [A] Seja q a quatidade total de ovos vedidos em jaeiro. Assim, o resultado pedido é dado por (,) q,44 00% 00% (,) q (0,9) q,5 Resposta da questão : [E] 64%. O motate da dívida após meses é 800 ( 0,05) R$ 88,00. Pagado R$ 400,00, o saldo devedor fica em R$ 48,00. Portato, o valor do último pagameto é igual a 48 ( 0,05) R$ 506,0. Resposta da questão : [C] De acordo com o texto as áreas formam uma P.G. de razão /4, represetada pela sequêcia abaixo: 9 7,,, 4 6 8, 64 4, Como 4 < 56 cocluímos que a partir do ível 5 a área da figura se tora meor que. Resposta da questão : [D] De acordo com o texto as áreas formam uma P.G. de razão /4, represetada pela sequêcia abaixo: 9 7,,, 4 6 8, 64 4, Apresetado a fórmula do termo geral da P.G., temos: a, 4 ode /4 é a razão da P.G. Págia 4 de 4