Propriedades magnéticas do modelo de Hubbard com saltos eletrônicos de longo alcance

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1 SCINTIA PLNA VOL., NUM Propriedades magéticas do modelo de Hubbard com saltos eletrôicos de logo alcace Paulo C. L. Satos, Flavio dos Satos, Adre M. C. Souza Departameto de Física, Uiversidade Federal de Sergipe, , São Cristóvão-S, Brasil psatos@fisica.ufs.br (Recebido em de agosto de 005; aceito em 6 de agosto de 005) O estudo de sistemas magéticos de elétros itierates com saltos de logo alcace é um importate campo de pesquisa pois pode determiar a ifluêa do alcace do salto sobre o comportameto das fases magéticas. Nesse trabalho utilizamos o modelo de Hubbard. Recorremos ao método das fuções de Gree empregado as aproximações Hartree-Foc e de fase aleatória com o obetivo de estudar o comportameto das badas de eergia e o diagrama de fases magéticas em fução do alcace dos saltos eletrôicos e do poteal coulombiao. Nossos resultados revelam que o aumeto do alcace promove um aumeto da região de parâmetros do modelo e da temperatura crítica em que ocorre a fase ferromagética. Palavras-chave: modelo de Hubbard; fuçaõ de Gree; propriedades magéticas. The study of systems of spis with electroic log-rage umps is a importat field of research i solid state physics. It may determie the ifluece of the reach of the iteractio o the magetic critical behavior. I this wor we use the Hubbard model with electroic log-rage umps. We apply the Gree fuctios method usig Hartree-Foc ad radom phase approximatios to study the behavior of the eergy bads ad magetic phases diagram as a fuctio of the umps ad coulombia potetial. We also obtai the critical magetic temperature. Keywords: Hubbard model; Gree fuctio; magetic properties.. INTRODUÇÃO Atualmete o magetismo é um dos campos de estudo mais ativos da Física da Matéria Codesada. sse iteresse é falmete explicado pois vários feômeos magéticos servem de base para o desevolvimeto de ovas tecologias, como sistemas de geração e distribuição de eergia (hidroelétricas), sistemas de coversão eletromecâica (automóveis), equipametos eletrôicos, e em diversas áreas como telecomuicações, iformática, automação idustrial e até a media. Nesse cotexto, o estudo das propriedades magéticas dos metais de trasição 3d revela a preseça de fortes correlações eletrôicas e a ifluêa dessas correlações têm sido obetos de grade iteresse a pesquisa do magetismo. Sabe-se que os elétros 3d possuem tato um caráter localizado como também um certo grau de itierâa e, portato, existe uma cocorrêa etre o modelo do tipo localizado (modelo de Heito-Lodo) e o modelo do tipo bada (modelo de Bloch). m coseqüêa, ecessitamos de um modelo que cosidere de forma balaceada as cotribuições dos modelos de Heito-Lodo e Bloch. Para cotemplar o caráter localizado e itierate desses elétros, o modelo de Hubbard foi proposto em 963 em três trabalhos idepedetes, Hubbard [], Gutzwiller [] e Kaamori [3] e com esse modelo podia-se descrever de forma satisfatória os dois comportametos. Desde etão o modelo de Hubdard tem sido muito utilizado ão só o estudo de metais de trasição, mas em diversos outros materiais que apresetam correlações etre elétros em badas estreitas. O modelo de Hubbard apreseta uma forma simples, baseada em duas partes, uma que descreve o movimeto dos elétros etre sítios de uma rede e a outra que represeta a iteração coulombiaa etre elétros um mesmo sítio. O hamiltoiao do modelo pode ser escrito como H = T c I i i. () i 0

2 P. C. L. Satos, F. dos Satos, A. M. C. Souza,Setia Plea (5): 0-6, 005. CORRLAÇÕS M BANDAS STRITAS SISTMAS D SPINS COM INTRAÇÔS D LONGO ALCANC O método de cálculo do presete trabalho é baseado a téca de fuções de Gree * desevolvida por Zubarev em 960. Sea G ( ) =<< c ; c >> a fução de Gree que permite calcular a ocupação média por sitio. xprimimos a desidade de estados como i ρ ( ) =...[ ( i ) ( i )] N G ε G ε. () lim 0 ε Uma fução de Gree qualquer << A; B>> satisfaz a equação de movimeto << A; B >> = [ A, B] [ A, H ]; B. (3) π em que H é o hamiltoiao do sistema. No caso do modelo de Hubbard, a equação de movimeto para T 0 é dada por G ( ) = δ T i G ( ) IΓ ( ) (4) π δ é a fução delta de Kroeer e Γ () um couto de ovas fuções de Gree (ver q. 5) que satisfazem ovas equações de movimeto. A complexidade destas ovas fuções está o fato delas darem origem a ovas fuções de movimeto, e por coseqüêa, ovas fução de Gree. A quebra dessa seqüêa pode ser feita desevolvedo aproximações para os três ovos termos da equação. << i cc ; c >> < i > G( ) << c ; c >> < c c > G ( ) (5) << c ; c >> < c G ( ) > As aproximações ama são as mais simples que podemos fazer compatíveis com o limite atômico, para cortar a cadeia de fuções de Gree. É importate ressaltar que essas aproximações resultam em uma subestimação do efeito das correlações. Após algus cálculos, a desidade de estados do problema é dada por ρ ( ) = P[ g(, )] (6) em que I ( ) g (, ) = I (7) T I( ) 0 Observa-se que o limite I 0 a fução g (, ) reduz-se a e portato, obtém-se a desidade de estados ão perturbada P(). Nesse trabalho buscamos estudar o modelo de Hubbard uidimesioal em que o termo de saltos eletrôicos é defiido por T = tr, (8) com r = R i R. (9)

3 P. C. L. Satos, F. dos Satos, A. M. C. Souza,Setia Plea (5): 0-6, 005 Isso sigifica dizer que os elétros podem saltar para um poto qualquer da rede. O valor de defie o alcace do sistema, pois revela o grau de cotribuição do termo de saltos eletrôicos ( T ). screvemos para eergia de saltos ε = T exp( i ( Ri R ) N exp( i ( Ri R ) ε = t N R R Admitido que a distâa etre átomos vizihos é, isto é, trabalhado a escala de uidades de comprimeto atômico, N t exp( i) exp( i) ε = ( ) N = i cos( ) cos cos ε = t ( ) = t[ = cos3...] 3 (0) e a desidade de estados é dada pela por cos( ) P ( ) =. δ ( t N ( )). () = Observamos que se etão ε = t[cos ]. Isto é, quado tede para ifiito o sistema de logo alcace se reduz ao sistema de primeiros vizihos. 0.7 P() Figura : Desidade de estados de eergia P() em fução da eergia para um sistema de logo alcace com = e =0.

4 P. C. L. Satos, F. dos Satos, A. M. C. Souza,Setia Plea (5): 0-6, P() BANDA INFRIOR BANDA SUPRIOR P() bada iferior bada superior (a) (b) Figura : Desidade de estados de eergia em fução da eergia para um sistema de logo alcace com = e (a) = e (b) =. 3. RSULTADOS DISCUSSÕS A figura mostra a desidade de estados em fução da eergia para um sistema com = e =0. As figuras (a) e (b) mostram resultados para diferete de zero. A bada de eergia sem iteração é dividida em duas badas de eergia. A figura 3 mostra para = (de maeira semelhate ao que acotece para todos os estudados) o gap de eergia em fução do poteal coulobiao. O gap apreseta um comportameto aproximadamete liear para grades valores de, além do seu surgimeto ocorrer sempre para 0. Observamos aida que os casos para 0<< podem ser tratados idepedetemete de se cosideramos que o termo de salto eletrôico sea reormalizado tal que t'=t/n(), ode N()=(N - -)/(- ), em que N é o úmero de sítios da rede. Para esta situação todas as desidades de estados ficam idêticas ao caso =0 quado N, aálogo ao que foi observado para o modelo de Isig por Caas e Tamarit[4]. Sem esta reormalização a bada de eergia para 0<< fica ilimitada e o limite termodiâmico fica idefiido. sta reormalização restabelece o limite termodiâmico do sistema. 6 4 = 0 8 GAP Figura 3: Gap de eergia em fução do poteal, para um sistema de logo alcace com =.

5 P. C. L. Satos, F. dos Satos, A. M. C. Souza,Setia Plea (5): 0-6, limite de ferromagetismo limite de ferromagetismo saturado ferrom agetismo saturado Fase ferrom agética Fase Param agética Figura 4: Diagrama de fases magéticas para =0. studamos o diagrama de fases para algus sistemas de logo alcace espeficamete para =,, 3 e 0 em fução da desidade de elétros (= ). A codição de ferromagetismo da aproximação obtida as equações (6) e (7) ão foi atigida para ehum dos casos estudados. ste fato tem sido observado a literatura para outros sistemas. O próprio Hubbard observou que este tipo de aproximação restrige bastate a ordem magética[]. Cosiderado este fato, usamos a aproximação Hartree-Foc para estabelecer o diagrama de fases do osso problema. Neste caso g (, ) = I. () Os resultados são mostrados as figuras 4, 5, 6 e 7. Notamos que existe uma evolução do diagrama de fases quado decrescemos o valor de e esse diagrama está itimamete ligado ao gráfico da desidade de estados em relação à eergia pois verificamos que o diagrama de fases para deixa de ser simétrico para a bada meio-cheia (=). O comportameto da magetização em fução da temperatura é apresetado as figuras 8 e Limite ferromagético Limite ferromagético saturada ferromagetismo saturado fase ferromagética fase paramagética Figura 5: Diagrama de fases para =3.

6 P. C. L. Satos, F. dos Satos, A. M. C. Souza,Setia Plea (5): 0-6, ferrom agetism o saturado lim ite fe rro m a g e tico lim ite fe rro m a g e tico sa tu ra d o fase ferrom agetica fase paramagética Figura 6: Diagrama de fases para =. lim ite ferrom agético lim ite ferrom agético saturado ferrom agetism o saturado fase ferrom agética 4 3 fase param agética Figura 7: Diagrama de fases para =. = 0, = e =5 M B T/t Figura 8: Magetização em fução da temperatura para =0, = e =5.

7 P. C. L. Satos, F. dos Satos, A. M. C. Souza,Setia Plea (5): 0-6, =0, =.0, =6.0 =5, =.0, =6.0 =, =.0, =6.0 M B T/t Figura 9: Magetização em fução da temperatura para =.0 e =6.0 em que =; 5 e CONCLUSÕS Verificamos que quado há iteração coulombiaa (I>0) etre elétros, o espectro de eergia cosiste sempre de duas sub-badas separadas por um gap. A bada iferior sofre um pequeo deslocameto equato que a bada superior sofre um deslocameto mais sigificativo, pripalmete quado I é grade, caso em que a bada se desloca proporoal a I. O efeito das correlações proporoa o surgimeto de fase ferromagética. Qato maior o alcace (meor ), mais rápido o material se magetiza com a ifluêa das iterações. Aida observamos que o aumeto do alcace promove um aumeto da temperatura crítica em que acaba a fase ferromagética, matido costate a iteração coulombiaa e úmero de elétros. 5. AGRADCIMNTOS A. M. C. Souza agradece ao CNPq pelo apoio fiaceiro.. HUBBARD, J. lectro Correlatios i Narrow Bads II: The Degeerate Bad Case. Proc. Roy. Soc.of Lodo, A77, pp.37-57, GUTZWILLR, M. C. ffect of correlatio o the ferromagetism of trasitio metals. Phys. Rev. Lett.,v.0,.5, pp.59-63, KANAMORI, J. lectro correlatio ad ferromagetism of the trasitio metals. Prog. Theor. Phys., V.30,.3, pp.75-05, CANNAS, S.; TAMARIT, F. A. Log Rage iteratios ad oextesivity i ferromagetisc spi models, Phys. Rev. B, v.54,.8, pp. R66, NAKANO. H.; TAKAHASHI, M. Magetic properties of quatum Heiseberg ferromagets with log-rage iteractios. Physical Review B,.v 5, pp , SANTOS, P. C. L. Propriedades Magéticas do Modelo de Hubbard com Saltos letrôicos de Logo Alcace. Dissertação de Mestrado em Física da Matéria Codesada. U.F.S. 004.