TP010 ENGENHARIA DA QUALIDADE 1. VARIÁVEIS, DESCRIÇÃO E DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE.

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1 TP010 ENGENHARIA DA QUALIDADE 1. VARIÁVEIS, DESCRIÇÃO E DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE TIPOS DE VARIÁVEIS A característica populacioal de iteresse é em geral classificada de qualitativa e quatitativa, e tratada como uma variável. Assim, a variável que represeta uma determiada característica populacioal é chamada de variável qualitativa quado resultar de uma classificação por tipos ou atributos. Exemplos: a) População: cosumidores da cerveja A. Característica de iteresse: reda (baixa, média e alta). b) População: peças produzidas por uma máquia. Característica de iteresse: qualidade (perfeita ou defeituosa). Já uma variável que represeta uma determiada característica populacioal é deomiada de variável quatitativa quado assumir resultados uméricos. Exemplos: a) População: aéis de pistão produzidos em certo processo. Característica de iteresse: diâmetro itero (mm). b) População: compoete eletrôico da idústria B. Característica de iteresse: tempo de vida (até falhar). Outras características de iteresse: c) ph da água i atura e tratada. d) Cloro residual da água tratada (mg/ ). e) Dimesões de um bloco cerâmico de costrução. VARIÁVEL QUANTITATIVA: DISCRETA E CONTÍNUA As variáveis quatitativas podem ser classificadas em discretas ou em cotíuas. Uma variável quatitativa discreta é aquela cujo cotradomíio é um cojuto fiito ou ifiito eumerável. E, uma variável quatitativa cotíua é, etão, aquela cujo cotradomíio é um cojuto ifiito.

2 Exemplos: a) Variável quatitativa discreta: úmero de semicodutores defeituosos idetificados em uma amostra de tamaho. Cotradomíio: 0, 1,,...,. OBS. Como o cotradomíio é um cojuto fiito a variável é discreta (ela também seria discreta com um cojuto ifiito eumerável como cotradomíio). b) Variável quatitativa cotíua: Diâmetro itero do ael do pistão. Cotradomíio: 73,965 ;... ; 73,970 ;... ; 73,9701 ;... OBS. Como o cotradomíio é um cojuto ifiito a variável é cotíua. c) Variável quatitativa discreta: Número de carros que passam em certa esquia durate determiado istate. Cotradomíio: 0, 1,, 3,... OBS. Como o cotradomíio é um cojuto ifiito, mas eumerável, a variável é discreta. Exercícios: 1) A idade de uma pessoa, em aos iteiros, é uma variável quatitativa cotíua ou discreta? Por quê? R: ) O custo de produção mesal com valor aproximado para cetavos de real é uma variável quatitativa cotíua ou discreta? Por quê? R: 3) O úmero de ites ão-coformes presetes em uma amostra extraída da produção de uma máquia é uma variável quatitativa cotíua ou discreta? Por quê? R: 4) O úmero de ites produzidos por hora, em uma máquia, é uma variável quatitativa cotíua ou discreta? Por quê? R: 1.- DESCRIÇÃO DAS VARIÁVEIS As variáveis qualitativas são descritas, em geral, por meio de gráficos dos tipos: Diagrama em barras 400 Evolução das Vedas da Empresa X - R$ 1000 faturameto ao

3 MINITAB>Graph/BarChart/Values from table/simple/graph Variables (vedas)/ Categorical v. (ao)/labels Bars represet: values From tables Ao Vedas Diagrama em setores circulares MINITAB/Graph/Pie Chart/Chart values from table/categorical v. (tipo)/summary v. (faturameto)/labels Tipo de Faturameto da Empresa X % 17.54% 6.3% 35.09% Tipo de Faturametto 90 dias 60 dias 30 dias à vista FAT TIPO 90 dias 60 dias 30 dias à vista Diagrama de liha MINITAB/Graph/Scatterplot/With coect lie/y vs. (cpk)/ X vs. (aos)/labels Evolução da Capacidade Média a Característica X Ao C pk ,90 capacidade ,11 1,15 1, ao Já as variáveis quatitativas podem ser descritas graficamete (histograma, diagrama de dispersão, etc.) ou umericamete (média, mediaa, míimo, máximo, desvio padrão, etc.). A seguir tem-se uma tabela com as pricipais estatísticas descritivas de um cojuto de dados e um histograma.

4 MINITAB/Stat/Basic Statistics/Display Descriptive Statistics/Variables (X 1, X, X 3)/Statistics (escolher) Variável: X1 X X Tamaho da amostra () Média ( x ) Mediaa (ˆ ) Moda (m o) Variâcia (s ) Desvio padrão (s) Erro padrão (s/ ) Míimo (x (1)) Máximo (x ()) Amplitude (a) Quartil iferior (Q1) Quartil superior (Q3) Coef.de variação (s/ x ) Histograma das Medidas da Característica X freqüêcia X MINITAB/Graph/Histogram/With fit/graph vs. (ormal)/labels X1 X X3 90,0 90,5 91,0 90,8 91,0 9,0 91,0 91,5 100,0 101,0 100,5 10,0 100,5 100,0 99,5 100,0 105,0 107,0 106,5 107,5 107,0 106,9 107,0 105,5

5 1.3- VARIÁVEL ALEATÓRIA DEF.:- Uma v.a. X em um espaço de probabilidade (, A, P), ode é o espaço amostral de um experimeto, A é a sigma-álgebra de e P é a medida de probabilidade, é uma fução real defiida em, tal que o eveto [X x] é um eveto aleatório x, isto é a fução X: é v.a. se o eveto [X x] A, x A. Exemplo 1: Seja uma amostra aleatória com tamaho = de determiado produto. Sabe-se que o item produzido pode ser perfeito (P) ou defeituoso (D). a) Descreva o espaço amostral b) Uma associação etre cada situação (eveto aleatório) e um úmero real pode ser feita por meio de uma fução. Deotado-se a fução por X e cada eveto por, e aida se o iteresse está o úmero de ites defeituosos presete a amostra. Descreva os evetos possíveis. c) Quais os valores possíveis para o cotradomíio? VARIÁVEL ALEATÓRIA DISCRETA Uma v.a. é chamada de discreta quado o seu cotradomíio é um cojuto fiito ou ifiito eumerável. Exemplo Seja X a v.a. que associa 1 ou 0 a codição de um artigo ser perfeito ou defeituoso, respectivamete. Sabe-se que a proporção de artigos bos produzidos por determiada maquia é cosequetemete a proporção de artigos defeituosos é (1- ). Codição do artigo P(X = x) Perfeito x = 1 P(X = 1) = Defeituoso x = 0 P(X = 0) = (1 - ) Uma v.a. desse tipo é chamada de Beroulli e represetada pela otação, X ~ b(1, ), X tem distribuição Beroulli 1,. O cojuto de valores P(X = x) é chamado de distribuição de probabilidade da v.a. X e o caso da v.a. ser discreta a fução associada a estes valores chama-se fução de probabilidade (f.p.). A fução de probabilidade de uma v.a. Beroulli, b(1, ), é dada por: x ( 1x) P( X x) ( 1 ), x 0, 1; 0 1

6 Exemplo : Seja Y uma v.a. que cota o úmero de ites perfeitos em uma amostra composta por artigos. Sabe-se que cada item é perfeito com probabilidade e defeituoso com probabilidade (1 - ). Y x i, Y é a soma de v.a s Beroulli i1 Y = y P(Y =y) 0 p(0) 1 p(1) p() p() Y é deomiada v.a. biomial e represetada pela otação, Y ~ b(, ) e sigifica: Y tem distribuição biomial,. O cojuto de valores de P(Y = y) é a distribuição de probabilidades da v.a. Y e os valores P(Y = y) são associados ao valor específico da v.a., Y, pela f.p. cuja expressão é: y y P( Y y) p( y) (1 ), y 0,1,,..., ;0 1 y ou! y y P( Y y) p( y) (1 ), y 0,1,,..., ;0 1 y! y! Se = 0,7 e = 10, tem-se b(10; 0,7), preecha a tabela: Y = y P(Y = y) Soma

7 Exemplo 3: Seja a situação do exemplo com a probabilidade do artigo ser perfeito = 0,8 e o tamaho da amostra =. Seja a v.a. Y que cota o umero de ites perfeitos a amostra. Preecha a tabela. eveto Y() = y P(Y =y) (dist. prob. de y) (D 1, D ) 0 (D 1, P ) ou (P 1,D ) 1 (P 1, P ) VARIÁVEL ALEATÓRIA CONTÍNUA Uma v.a. é chamada de cotíua quado o seu cotradomíio é um cojuto ifiito. O exemplo clássico de v.a. cotíua é a v.a. Normal (Gaussiaa), este modelo de probabilidade é muito usado em várias aplicações estatísticas. Se X é uma v.a. N(; ), ou seja, uma v.a. Gaussiaa com parâmetros e, o cotradomíio de X é o cojuto dos reais R, ou seja, varia de - a + e os seus parâmetros têm espaço paramétrico respectivamete de R (reais) para e R + (reais positivos) para. Fução Desidade de Probabilidade Distribuição Normal =0 e = X Uma v.a. cotíua ão tem uma f.p. que associe diretamete probabilidades a valores do seu cotradomíio. As probabilidades são calculadas para itervalos de valores do cotradomíio. A fução desidade de probabilidade (f.d.p.) associa aos valores de X uma certa ordeada de modo que a área sob a curva mede 1. A probabilidade de ocorrêcia de um valor etre x- e x+ pode ser obtida usado-se a f.d.p. (com > 0 tão pequeo, quato se queira). No caso da v.a. X ~ N(; ) a f.d.p tem expressão: 1 f ( x) e 1 x ( ), x, e 0 P ( a X b) f ( x) dx f ( x) dx 1 b a

8 FUNÇÃO DISTRIBUIÇÃO Fução distribuição ou fução distribuição acumulada (f.d.) de uma v.a. X é defiida como: F(x) = P(X x) ESPERANÇA E VARIÂNCIA DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS A esperaça matemática (média) de uma v.a. aleatória é defiida como segue os casos discreto e cotíuo: E(X) xp(x x), x caso v.a. discreta; E(X) xf(x)dx, caso v.a. cotiua. (a esperaça é um parâmetro de cetralidade, caracteriza o cetro da distribuição da v.a.), já a variâcia de uma v.a. X é defiida a seguir e este parâmetro populacioal idica o grau de dispersão dos valores da v.a. Uma grade variâcia para uma estatística (v.a.) idica um grade desvio padrão ( var iâcia ) e, cosequetemete itervalos de cofiaça de maior amplitude para os parâmetros. V( X) E( X ) ( x ) P( X x), caso v. a. discreta; x V( X) E( X ) ( x ) f( x) dx, caso v. a. cotiua. PROPRIEDADES DA ESPERANÇA E DA VARIÂNCIA A esperaça matemática (uma média) tem as seguites propriedades: 1ª) Se X = k, isto é X() = k, etão. E(X) = k ode k ão é v.a. ª) Liearidade E(aX + b) = a.e(x) + b a,b R, ode a e b ão são v.a's A liearidade pode ser estedida a situações mais gerais, 3ª) a) Sejam X e Y v.a's o espaço (, -A, P), etão: E(aX + by) = a.e(x) + b.e(y) a, b R

9 b) Sejam X 1, X,...,X v.a's o espaço (, A, P), etão: E( a. X ) a E( X ), a i1 i i i i i i1 4ª) Se as v.a's X 1, X,..., X são idepedetes e itegráveis etão o produto X 1. X.... X é itegrável e tem-se: E(X1.X.....X ) = E(X 1).E(X ).....E(X ) Ates de se abordar as propriedades da variâcia é importate itroduzir os coceitos de covariâcia e de correlação. COVARIÂNCIA e CORRELAÇÃO Se as v.a's X e Y ão são idepedetes, ou seja, a ocorrêcia de certos valores para uma altera a probabilidade da ocorrêcia de determiados valores para a outra, tem-se que existe uma difereça etre E(X.Y) e E(X).E(Y). Esta difereça é chamada de covariâcia e defiida por: xy = cov(x,y) = E(XY) - E(X).E(Y) Se cov(x,y) = 0 tem-se que as v.a's X e Y ão são correlacioadas. A correlação é a covariâcia para as variáveis aleatórias X e Y padroizadas, ou seja, com média 0 e variâcia 1, xy x y x y corr( X, Y) cov(, ) x y ode x é o desvio padrão da v.a. X, y é o desvio padrão da v.a Y, x é a média da v.a. X e y é a média da v.a. Y. O chamado coeficiete de correlação xy pode ser expresso em uma forma mais simples: xy xy x y A variação de xy é 1 xy 1 e quado xy = 1 o relacioameto etre X e Y é perfeito com uma variação direta, se xy = -1 o relacioameto também é perfeito, mas iverso e quado xy = 0 a correlação etre as v.a's ão existe. A variâcia tem as seguites propriedades: 1ª) Se X = k, isto é X() = k, etão, V(X) = E(X - ) = E(k - k) = 0 ª) Se X e Y são v.a's do espaço de probabilidade (, A, P) etão, V(aX + b) = a V(X), a,b R

10 3ª) Se X 1, X,...,X são v.a's ão-correlacioadas e itegráveis do espaço de probabilidade (, A, P), etão: V(x 1+x x ) = V( i1 x i ) = i1 V( x i ) 4ª) Se X e Y são v.a's do espaço de probabilidade (, A, P) etão, V(XY) = V(X) + V(Y) cov(x,y) 1.4- POPULAÇÃO, AMOSTRA E DESCRIÇÃO NUMÉRICA DE VARIÁVEIS POPULAÇÃO Deomia-se população alvo a totalidade de elemetos que estão sob discussão e dos quais se deseja iformação. AMOSTRA ALEATÓRIA Sejam as v.a's [X 1, X,..., X ] que têm a fução desidade cojuta f(x 1, x,..., x ) que fatora o produto das desidades margiais f(x 1, x,..., x ) = f(x 1).f(x ).....f(x ) com f(.) sedo a desidade comum a todas as variáveis x i, etão [X 1, X,..., X ] é defiida como amostra aleatória de tamaho da população que tem desidade (distribuição) f(.). POPULAÇÃO AMOSTRADA Seja [X 1, X,..., X ] uma amostra aleatória (a.a.) da população com distribuição f(x), etão esta população é chamada população amostrada. Quado se deseja iformações sobre os parâmetros de uma população (em estatística quado se fala em população associa-se imediatamete uma f.p. ou f.d.p. à característica populacioal de iteresse) toma-se uma a.a. da população. A amostra, sedo represetativa da população, carrega iformações sobre os parâmetros. Os resultados uméricos oriudos da a.a. são chamados de estatísticas e são variáveis aleatórias, pois coforme a amostra que se tome eles assumem valores distitos, embora próximos. ESTATÍSTICA Estatística é uma fução das variáveis observáveis e é por si própria uma v.a. observável que ão cotém qualquer parâmetro descohecido. Exemplo Seja a a.a. [X 1, X,..., X ] de uma característica populacioal com f.d.p. N(, ). A média amostral e a variâcia amostral s são estatísticas. São fuções de variáveis aleatórias observáveis e ão depedem de qualquer parâmetro descohecido. x A descrição umérica de dados (em geral amostras) [X 1, X,..., X ] é feita usado-se as estatísticas seguites (pricipais):

11 MEDIDAS DE CENTRALIDADE (MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL) 1 média amostral x x i i1 (a média amostral x estima a verdadeira média populacioal ). Exemplo 1: Duas máquias produzem peças que estão especificadas com valor omial = mm e tolerâcia = 0. mm. Foi tomada da 1 a. máquia uma amostra com tamaho = 5 peças que foreceram as seguites observações: 1,98,01,0 1,99 e. Já a a. máquia foreceu uma amostra do mesmo tamaho com as observações:,01,01 1,98,0. Você diria, com base as amostras, que as duas máquias estão cetradas o alvo das especificações? Tome a sua decisão calculado as médias amostrais. Exemplo : Calcule a média amostral de cada uma das amostras aleatórias seguites: a) b) 1,5,0 1,0,5,5 c) d) X i f i mediaa = m e x 1 (separa os dados ordeados em duas partes com igual úmero de termos) P( X m ) P( X m ) 0, 50 e Exemplo 3: Calcule a mediaa amostral de cada uma das amostras aleatórias seguites: a) b) 1,5,0 1,0,5 3,0 c) X i Moda m o é o valor que possui mais alta frequêcia. (a moda pode ão ser úica) f i e Exemplo 4: Qual o valor da moda a amostra do item c do exemplo aterior?

12 EXERCÍCIOS 1) A mediaa é uma separatriz, além de uma medida de cetralidade. Etão, o que faz a separatriz? ) Os quartis são medidas de posição (ordem), ou aida, separatrizes. Quatos são os quartis e o qual a sua fução? 3) A aálise de uma amostra foreceu os seguites quartis: Q 1 = 7, Q = 10 e Q 3 = 13. Iterprete o sigificado de cada um dos quartis quato à população de ode vieram os dados. 4) Os percetís são medidas de posição (ordem), ou aida, separatrizes. Qual a sua fução? 5) O cálculo do percetil P i deve partir da orgaização dos valores dos dados em ordem crescete, X (1), X (),...,X (i), X (s),... X (), com i =1,, e s =,3,...,. A expressão de cálculo do percetil P i é: ode, ( posi Fai ) P i = X i + ( X s X i ) Fa Fa X i é o limite iferior do itervalo de valor que cotém o percetil P i; s i X s é o limite superior do itervalo de valor que cotém o percetil P i; Fa i é a frequêcia acumulada imediatamete iferior a posição, pos i, do percetil P i; Fa s é a frequêcia acumulada imediatamete superior a posição, pos i, do percetil P i; Pos i é a posição do percetil a ordem da frequêcia acumulada dada por pos i = in 100 ode N é o total de valores. Calcule o percetil P 5 o cojuto de dados: 5, 4, 5, 4, 6, 3,, 4, 5, 6, 6, 7, 3, 4, 5, 6, 7, 4, 3, 5, 5, 8, 3,, 8, 7, 5, 5, 9, 5. 6) A amostra do exercício 3 foreceu P 5 = 5,5 ; P 50 = 10 e P 95 = 15,. Iterprete o sigificado de cada um dos percetís quato à população de ode vieram os dados. Qual o valor da mediaa? 7) A amostra do exercício 3 foreceu P,5 = 5 ; P 50 = 10 e P 97,5 = 15,5. Iterprete o sigificado de cada um dos percetís quato à população de ode vieram os dados. Qual o valor da mediaa? MEDIDAS DE DISPERSÃO (VARIABILIDADE DOS DADOS) 1 1 variâcia amostral s xi x i1 (a variâcia amostral s estima a verdadeira variâcia populacioal e mede quato os dados estão dispersos em toro da média, assim ela é uma estimativa da medida de variabilidade dos dados). desvio padrão s s

13 (o desvio padrão s estima o verdadeiro desvio padrão populacioal, e tem a vatagem de estar a mesma uidade de medida dos dados, e ão elevado ao quadrado como é o caso da variâcia, mede a dispersão dos dados em toro de um valor médio). Erro padrão da média é o desvio padrão da estatística X amplitude a = R x x 1 (a amplitude é uma medida de dispersão, correspode a difereça etre o maior valor observado x [] e o meor valor observado x [1]). coeficiete de variação C v s x (o coeficiete de variação é uma medida relativa de dispersão e mede a variabilidade dos dados em termos de uidades da média). Exemplo 1: Duas máquias produzem peças que estão especificadas com valor omial = mm e tolerâcia = 0. mm. Foi tomada da 1 a. máquia uma amostra com tamaho = 5 peças que foreceram as seguites observações: 1,98,01,0 1,99 e. Já a a. máquia foreceu uma amostra do mesmo tamaho com as observações:,01,01 1,98,0. Você diria, com base as amostras, que as duas máquias estão com a mesma dispersão? a) Tome a sua decisão calculado as variâcias amostrais das observações das máquias. b) Tome a sua decisão calculado os desvios padrões das observações das máquias. c) Tome a sua decisão calculado os coeficietes de variação amostrais das observações das máquias. d) Tome a sua decisão calculado a amplitude de cada amostra. e) Qual o erro padrão da média de cada máquia? Exemplo : Calcule a variâcia amostral, o desvio padrão, o erro padrão, o coeficiete de variação e a amplitude de variação de cada uma das amostras aleatórias seguites: a) b) 1,5,0 1,0,5,5 c) d) X i f i

14 Exemplo 3: Uma máquia está produzido determiado item com um valor médio igual a 5,0 e um desvio padrão igual a 1,0. Outra máquia está produzido o mesmo tipo de item, porém está com uma média de 3,0 e um desvio padrão de 0,8. O valor omial (alvo) especificado para a dimesão do item é 4,0. Portato, ambos os processos estão descetrados e, é lógico, deverão ser colocados o cetro. A perguta que se faz agora é: qual máquia apreseta maior variabilidade (dispersão)? Exemplo 4 Os dados abaixo correspodem a uma amostra aleatória do diâmetro do furo (em mm) para fixação de certo equipameto aeroáutico. Descreva os dados umericamete e graficamete. 10,5 10,9 10,3 11,3 10,4 10, 10,1 10,5 10,7 11,1 10,9 10,8 10,3 10, 10,3 10,4 10,5 10, 10,8 10,9 10,5 10,6 10,4 10,7 10,5 10,6 10,5 10,7 10,6 10,5 LISTA DE EXERCÍCIOS N o 1 1) Os diâmetros de oito macais selecioados ao acaso são os seguites (em mm): 50,001 50,00 49,998 50,006 50,005 49,996 50,003 50,004 a) Calcule a média amostral. b) Calcule o desvio padrão amostral. c) Calcule o erro padrão amostral. d) Calcule a amplitude da amostra. ) O tempo de vida até falhar em horas de um compoete eletrôico sujeito a um teste de durabilidade acelerado é mostrado abaixo para uma amostra com tamaho = 40. Para acelerar a falha o teste, as uidades experimetais são testadas sob uma temperatura elevada a) Calcule a media amostral. b) Calcule o desvio padrão amostral. c) Costrua o histograma. d) Calcule o P 95. e) Calcule a mediaa e os quartis. f) Qual a fialidade das estatísticas que você calculou os ites ateriores. 3) Os dados abaixo são leituras do redimeto de um processo químico em dias sucessivos (leia da esquerda para a direita). Faça o histograma dos dados, comete o aspecto do histograma e verifique se o histograma lembra alguma distribuição de probabilidade cohecida.

15 94,1 87,3 94,1 9,4 84,6 85,4 93, 84,1 9,1 90,6 83,6 86,6 90,6 90,1 96,4 89,1 85,4 91,7 91,4 95, 88, 88,8 89,7 87,5 88, 86,1 86,4 86,4 87,6 84, 86,1 94,3 85,0 85,1 85,1 85,1 95,1 93, 84,9 84,0 89,6 90,5 90,0 86,7 87,3 93,7 90,0 95,6 9,4 83,0 89,6 87,7 90,1 88,3 87,3 95,3 90,3 90,6 94,3 84,1 86,6 94,1 93,1 89,4 97,3 83,7 91, 97,8 94,6 88,6 96,8 8,9 86,1 93,1 96,3 84,1 94,4 87,3 90,4 86,4 94,7 8,6 96,1 86,4 89,1 87,6 91,1 83,1 98,0 84,5 4) Cosidere o redimeto do processo químico do exercício aterior. Calcule a média amostral, o desvio padrão amostral e a amplitude amostral. 5) Supoha que dois dados ão-viciados são laçados e uma variável aleatória observada, digamos X, que correspode à soma das duas faces superiores. Descreva o espaço amostral do experimeto e determie a fução de probabilidade da v.a. X. 6) Calculadoras eletrôicas são classificadas ao fial de um trabalho de ispeção. Três tipos de ão-coformidade podem ocorrer as calculadoras: crítica, maior e meor. A experiêcia tem idicado que os defeitos ocorrem da maeira seguite: calculadoras com defeitos percetual críticos 0,5% maiores 1,0% meores,0% ambos crítico e maior 1,% ambos crítico e meor 0,8% ambos maior e meor 0,5% os três defeitos 0,1% a) Qual a porcetagem da produção que estão de acordo com as especificações de projeto? b) Calculadoras que tem defeito crítico ou defeito crítico e outro tipo de defeito devem ser jogadas fora. Qual a porcetagem da produção jogada fora? c) Calculadoras com defeito maior ou meor ou ambos devem ser cosertadas. Qual a porcetagem da produção sujeita a retrabalho? 7) A distribuição de probabilidade da v.a. cotíua X tem a seguite fução desidade de x probabilidade f ( x) k e, 0 x. Ache a valor da costate k e também a média e a variâcia de X. X 8) A v.a. X assume os valores 1,, ou 3 com probabilidades (1+3k)/3, (1+k)/3 e (0,5+5k)/3, respectivamete. a) Determie o valor adequado de k. b) Determie a média e a variâcia de X. c) Determie a fução distribuição acumulada de X.

16 x 9) A distribuição de probabilidade de uma v.a. discreta é: p ( x) k r, 0 r 1. Ache o valor adequado de k sabedo-se que o cotradomíio de x é 0, 1,,... 10) Uma fábrica de calculadoras eletrôicas oferece garatia de um ao. Se a calculadora falha por qualquer razão este período, ela é substituída. O tempo de falha é modelado pela seguite 0, 15x distribuição de probabilidade f ( x) 0, 15 e, x 0. X a) Qual a porcetagem de calculadoras que falham o período da garatia? X 1.5- DISTRIBUIÇÕES DISCRETAS DE PROBABILIDADE a) A distribuição Beroulli Uma v.a. X tem distribuição Beroulli quado assume apeas um de dois valores 1 ou 0, sedo que assume o valor 1 com probabilidade e 0 com probabilidade 1 -, ou seja, P(X=1) = e P(X=0) = 1 -. A fução de probabilidade (f.p.) dessa v.a. X é: P ( X x ) p ( x X ) x (1 x) x = 0, 1 e 0 < < 1 (1 ) Os parâmetros média e variâcia são dados por: E(X) = = e V(X) = = (1-) Esta distribuição é usada a idicação de peça perfeita (0) ou defeituosa (1), se o "sucesso" de iteresse é peça defeituosa. b) A distribuição Biomial Uma v.a. Y tem distribuição Biomial quado cota o úmero de sucessos em provas idepedetes tipo Beroulli, ou seja, provas que coduzem a um de dois resultados: sucesso ou fracasso, perfeito ou defeituoso, masculio ou femiio, etc. A fução de probabilidade (f.p.) dessa v.a. Y é:. P( Y y) py ( y) (1 ) y ou y y y = 0, 1,,..., 0 < < 1! y y P( Y y) p( y) (1 ), y 0,1,,..., ;0 1 y! y! Os parâmetros média e variâcia dessa v.a. são dados por: E( Y) e V ( Y) (1 ) A distribuição Biomial é usada frequetemete em Cotrole de Qualidade e é o modelo de probabilidade idicado quado se amostra uma população que possui a fração de defeituosos. Assim se o tamaho da amostra é, tem-se pela expressão acima a probabilidade de se obter

17 y ites defeituosos a amostra de tamaho. Uma estatística muito importate em Cotrole Estatístico da Qualidade é a variável aleatória: ˆ x y, ode y ~ b(, ) Esta estatística estima à verdadeira proporção de ites ão-coformes a população (probabilidade de um item defeituoso) e é cohecida como fração amostral de defeituosos. A esperaça e a variâcia dessa estatística são: E( ) e V( ( 1 ) ) Esses parâmetros são estimados pelas estatísticas: xi ˆ i1 y x e V(X) ˆ ˆ = X x ( 1 x) c) Distribuição de Poisso Uma v.a. X tem distribuição de Poisso quado a sua f.p. é dada por: x e P( X x) px ( x), x 0,1,,... e... x! Os parâmetros: média () e variâcia ( ) dessa v.a. são dados por: E (X ) e V(X) = = Uma aplicação importate desta distribuição de probabilidade, ecotrada em Cotrole Estatístico de Qualidade, está em utilizá-la como um modelo para o úmero de defeitos que podem ocorrer por uidade do produto. A uidade do produto pode ser etedida como uidade de comprimeto, uidade de área, uidade de volume, uidade de tempo, etc. De uma maeira geral, uma v.a. do tipo Poisso cota o úmero de ocorrêcias de um feômeo em um itervalo de tempo, de comprimeto de área, de volume, etc. d) Distribuição Hipergeométrica Uma v.a. X tem distribuição hipergeométrica quado a sua f.p. tem a expressão: D N D x 0, 1,,..., mi(, D) x x D 0, 1,,..., N P( X x), N 1,, 3,..., N N 1,, 3,... Os parâmetros: média e variâcia dessa v.a. são dados por:

18 E( X ) D N D D N V ( X ) 1 N N N 1 A situação do modelo hipergeométrico é aquela ode existe uma população fiita composta por N ites. Uma parte da população é formada por ites com alguma característica especial ou ãocoformes, D ( D N). Uma amostra aleatória com tamaho é selecioada da população, sem reposição. O úmero de ites com aquela característica especial é observado, X. Neste caso a v.a. X tem distribuição hipergeométrica e a sua f.p. é dada pela expressão acima. Este modelo de probabilidade é idicado quado se está selecioado uma a.a. com ites, sem reposição, de um lote com um total de N, sedo que do total D são defeituosos. Assim a v.a. X represeta o úmero de ites defeituosos ou fora de especificação presetes a amostra. e) Distribuição de Pascal A distribuição de Pascal, da mesma forma que a Biomial, é baseada as chamadas "provas de Beroulli". Seja uma sequêcia de provas idepedetes, cada uma com a probabilidade de sucesso e supoha que X deota a prova a qual ocorreu o r-ésimo sucesso. Etão X é uma v.a. com Distribuição de Pascal e tem a seguite f.p.: x 1 P( X r 1 r xr x) p X ( x) (1 ) x r, r 1, r,..., e r 1 (it eiro) Os parâmetros: média e variâcia dessa v.a. são dados por: r E( x) e V( x) r( 1 ) A Distribuição de Pascal é iteressate em dois casos especiais: 1 º ) Quado r > 1 obtêm-se a forma da distribuição de Pascal uma v.a. com distribuição Biomial Negativa. Na distribuição Biomial Negativa se fixa o úmero de sucessos, r, e se observa o tamaho da amostra, X, ecessário para que aquele úmero de sucessos seja obtido. 0. )- Quado r = 1 tem-se uma v.a. com a chamada distribuição geométrica que cota o umero de provas Beroulli até que ocorra o primeiro sucesso, a f.p. adquire a forma: x1 P( X x) ( 1 ) x = 1,,... = E(X) = e = V(x) = (1-)

19 ( x 1)! resultado para ( r 1)!( x 1 r 1)! com r = 1 o seguite ( x 1)! ( 1 1)!( x 1)! ( x 1)! 1 ( x 1)! 1.6- DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS DE PROBABILIDADE a) Distribuição Normal Uma v.a. X tem distribuição ormal ou distribuição Gaussiaa quado a sua f.d.p. tem a forma: 1 f ( x) e 1 x, x, e 0 Na distribuição Gaussiaa a probabilidade da v.a. X assumir um valor etre a e b (a < b) é dado por: P( a X b) fx ( x) dx A média e a variâcia da v.a. X são dadas por: a b E(X ) e V(X) = Na prática é mais fácil trabalhar-se com a chamada distribuição Normal Padrão, correspodete a v.a. Z, que tem média 0 e variâcia 1, A v.a. Z tem f.d.p. dada por: x Z ~ N(0, 1) f 1 1 z Z ( z) e, z A média e a variâcia dessa v.a. são: E ( Z) 0 e V(Z) = 1 a X b E, veja que a P( a X b) P P( z1 Z z ) b) Distribuição Expoecial Uma v.a. X tem distribuição Expoecial quato a sua f.d.p é dada pela expressão, f x X( x) e x > 0 e > 0 A média e a variâcia dessa v.a. são:

20 1 1 E ( X ) e V ( X ) A distribuição Expoecial é muito usada em Cofiabilidade como modelo da v.a. tempo de falha de um compoete de um sistema. sistema e a média 1 Assim, o parâmetro é chamado de taxa de falha do é deomiada tempo médio até falhar. A taxa de falha do sistema,, é cosiderada costate o tempo e devido isto a distribuição Expoecial é cosiderada uma distribuição "sem memória", pois ão leva em cota o evelhecimeto do equipameto. Uma proposta mais realista é a de que a taxa de falhas aumeta com o evelhecimeto, o que ão é cosiderado a distribuição Expoecial. É importate defiir-se aqui o que se etede por taxa de falhas ou fução risco: ode f x(t) é a f.d.p. da v.a. T e F X(t) é a f.d. ( t) 1 fx ( t) F ( t) No caso da distribuição expoecial tem-se esta taxa costate, c) Distribuição Gama t ( t) e t ( e ) 1 1 Uma v.a X tem distribuição chamada de Gama quado a sua f.d.p tem a seguite expressão, ode é a fução matemática gama igual a 1 x fx ( x) x e, x 0, 0 e 0 ( ) ( m ) x m 1 e dx ( m 1 ) m( m) m! (fórmula de recorrêcia) 0 X ax 1 A média e a variâcia da v.a. X com distribuição Gama são dadas por, E(X) e V(X)

21 Algumas distribuições importates são derivadas da Gama, ou seja, são Gama com valores específicos para os parâmetros, tais como: c1) Distribuição Expoecial Quado = 1 a distribuição Gama tora-se uma Expoecial com parâmetro. c) Distribuição Qui-quadrado Quado e 1 a distribuição Gama tora-se uma distribuição com graus de liberdade) cuja f.d.p é dada por: 1 x fx ( x) x 1 1 e, x 0 e N A esperaça e a variâcia da v.a. X são dadas por, E(X) e V(X) * (qui-quadrado d) Distribuição Weibull Uma v.a. X tem distribuição Weibull quado a sua f.d.p. é defiida por: 1 x f ( x) x e, x,, X Se = 1 a distribuição Weibull tora-se uma expoecial com parâmetro. A média e a variâcia da v.a. X com distribuição Weibull são respectivamete: E(X) 1 e V(X) 1 1 A pricipal característica da distribuição de Weibull é a de que possui a taxa de falhas variado o tempo, ( ). 1 x x, x 0 Sedo que quado o parâmetro > 1 a taxa de falhas, (x), aumeta e passa a dimiuir quado < 1, ficado costate para = 1, como se pode observar a fução acima.

22 OBS: é comum ecotrar-se a literatura a f.d.p. da v.a. Weibull escrita em uma forma diferete da clássica, que é a defiida ateriormete. Esta forma alterativa ocorre quato se faz = a e 1 b a, obtedo-se f X a x a1 b a x e ( x), x 0, a 0, b 0 a b O pacote estatístico MINITAB trabalha com esta forma. e) Distribuição "t" de Studet Sejam as v.a's Z ~ N(0, 1) e U ~ o úmero de graus de liberdade. A estatística t =, etão a v.a. T x s Z U, ode tem distribuição t, ode é x ~ N(, ) tem distribuição t com um úmero de graus de liberdade (G.L's) igual ao deomiador de s (estimador de ). A esperaça e a variâcia da v.a. T são dadas por: E( T) 0 e V( T) A difereça básica etre a distribuição t de Studet e a distribuição Normal Padrão é que a variâcia da t é um pouco maior, como se pode observar a expressão da variâcia de T O TEOREMA CENTRAL DO LIMITE E APROXIMAÇÕES IMPORTANTES Como já se afirmou ateriormete a distribuição de probabilidade Gaussiaa é o modelo mais frequetemete adotado para uma v.a. Mas acotece algumas vezes desse modelo ão se ajustar adequadamete aos dados. O Teorema Cetral do Limite pode ser útil este caso, pois ele garate que se, X 1, X, X 3,..., X são v.a.'s idepedetes com médias i e variâcias i e S E( S) se S = X 1 + X X, etão a distribuição da estatística tem distribuição Normal V ( S) Padrão quado ou seja: S i1 i1 i i N( 0, 1).

23 APROXIMAÇÃO DA BINOMIAL PARA HIPERGEOMÉTRICA Quado a distribuição Hipergeométrica a fração de amostragem for muito baixa ou seja N 0, 1 a distribuição Biomial com parâmetros D e é uma boa aproximação para N esta distribuição APROXIMAÇÃO DA POISSON PARA A BINOMIAL A distribuição de Poisso pode ser tratada como a distribuição limite da distribuição Biomial quado se tem próximo de zero e tededo para o ifiito com costate. Desta forma a distribuição de Poisso com parâmetro pode ser usada para aproximar a Biomial. A aproximação é boa quado é grade e < 0,1. O Teorema Cetral do Limite pode ser usado para garatir a aproximação Normal para a distribuição Biomial. A v.a. Y com distribuição Biomial pode ser cosiderada como uma soma de v.a's idepedetes Beroulli, cada uma com probabilidade de sucesso. Assim, se é grade pelo Teorema Cetral do Limite tem-se que, Y ( 1 ) N( 0, 1 ) Esta aproximação é aceitável quado está em toro de 0,5 e é maior que 10. LISTA DE EXERCÍCIOS N.º 1) A variabilidade do volume egarrafado de uma bebida está sedo aalisada. Uma amostra com tamaho = 10 foi tomada do processo. Os volumes medidos e os resultados são os seguites, a uidade adequada: 10,05 10,03 10,0 10,04 10,05 10,01 10,0 10,0 10,03 10,01 Descreva a amostra. ) Seja a v.a. X que represeta o úmero de ites defeituosos presetes em uma amostra de tamaho = 10, tomada de um lote que possui 100 ites, iclusive 5 defeituosos. A amostra é tomada sem reposição. Calcule a probabilidade de aparecer a amostra o máximo 1 dos defeituosos. 3) Em um processo de produção de tecido aparecem determiado defeito com uma média de 4 defeitos por uidade de comprimeto. Calcule probabilidade de em uma uidade de comprimeto selecioada ao caso ocorrer o máximo defeitos. 4) A resistêcia à tração é uma característica muito importate do papel usada para fazer sacolas para carregar matimetos. Supodo que a v.a. X represete esta força e que ela tem uma distribuição N(40, 4) para determiado tipo de papel e que a alça dessa sacola requer que a força

24 de resistêcia seja de pelo meos 35 uidades, calcule a probabilidade de que uma sacola produzida com este papel atija ou exceda a especificação. 5) O diâmetro do pio de metal usado em uma uidade de "disk-drive", é ormalmete distribuído com média de 0,508 e desvio padrão de 0,0005 uidades. A especificação de projeto do pio estabeleceu que o diâmetro deve ficar etre 0,500 0,0015 uidades. Determie a fração de defeituosos produzidos de acordo com a especificação.