RESUMO DE CONTEÚDO DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL Prof. Rodrigo Neves

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1 RESUMO DE CONTEÚDO DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL Prof. Rodrigo Neves Coceitos Prelimiares: Subcojutos Reais Os subcojutos mais comus da reta real são os itervalos. Por exemplo, o itervalo aberto (a, b) ou ]a, b[ = {x R / a < x < b}. Neste caso, os extremos a e b do itervalo ão estão cotidos o mesmo. Logo ele é cosiderado um itervalo aberto. Itervalos que icluem seus dois extremos são deomiados de itervalos fechados. Tipo de Itervalos Notação de Itervalo Notação de Cojutos Notação Gráfica Aberto (a, b) ou ]a, b[ {x R / a < x < b} Fechado [a, b] {x R / a x b} Semi-Aberto ou Semi-Fechados [a, b) {x R / a x < b} (a, b] {x R / a < x b} Ifiitos Fechados (, b] {x R / x b} [a, ) {x R / x a} Ifiitos Abertos (, b) {x R / x < b} (a, ) {x R / x > a} Abertos e Fechados R = (, ) {x R } Poteciação: Defiição: Poteciação sigifica multiplicar um úmero real a, chamado de base, por ele mesmo vezes, ode é deotado expoete da potêcia. Simbolicamete, a = a a a a vezes que se lê: a elevado a -ésima potêcia. Nos casos particulares de ser 2 ou 3, lê-se a ao quadrado, e a ao cubo, respectivamete. 1

2 Propriedades de Poteciação: Sejam a e b bases reais, e e m expoetes reais. Etão as seguites propriedades sobre poteciação são válidas: 1) a 1 = a; 2) a 0 = 1, desde que a 0; 3) a a m = a +m (Produto de potêcias de mesma base: repete a base e soma os expoetes); 4) a = a m a m (Divisão de potêcias de mesma base: repete a base e subtrai os expoetes); 5) (a ) m = a m (Potêcia de potêcia: repete a base e multiplica os expoetes); 6) a = 1 a ; 7) a b = (a b) (Produto de potêcias de expoete: multiplica as bases e repete o expoete); 8) a b = a b (Divisão de potêcias de mesmo expoete: divide as bases e repete o expoete); Fique Alerta! (a m ) a (m ) Por exemplo: (2 2 ) 3 = = 2 6 = 64 2 (23) = 2 8 = 256 Fique Alerta! (a + b) a + b Por exemplo: = (5) 3 = = = 35 Radiciação: Defiição: A radiciação é a operação iversa da poteciação e, por isso, ela pode ser defiida através da seguite relação: a = b se, e somete se, b = a ode é o símbolo que idica a operação radiciação, deotado radical; a é um úmero real chamado radicado; é um úmero atural diferete de zero, chamado ídice da raiz. O resultado da operação é um úmero real b, chamado raiz -ésima. Não existe raiz de radicado egativo se o ídice for par. Para facilitar as a maipulação das raízes, existe um meio de trasformar uma raiz em uma potêcia. Desta forma fica muito mais fácil eteder e aplicar as propriedades de radiciação, pois podemos utilizar as mesmas propriedades de poteciação. Simbolicamete, a = a 1 2

3 Propriedades de Radiciação: Sejam a e b radicados reais, e, m, x e y úmeros reais. Etão as seguites propriedades sobre a radiciação são válidas: 1) 0 2) 1 1 3) a = 0; = 1; = a; 4) a 5) a m = a, (isto porque a = a m ; = a 1 = a 1 = a = a 1 = a); 6) a m x a y = a m +y x, (isto porque a m x a y = a m a y x = a m +y x ); 7) a m 8) a b = ab, (isto porque m = a, (isto porque a m a b = a 1 m = a 1 b 1 = (a b) 1 = ab ); 1 = a 1 m = a 1 m 1 = a 1 m m = a); Fique Alerta! a + b Por exemplo: a + b = 25 = = = 7 2 (23) = 2 8 = 256 Números Racioais e Frações Defiição: Pode-se dizer que uma fração de um úmero, represetada de modo geérico como a b, desiga o úmero a dividido em b partes iguais. Neste caso, a correspode ao umerador, equato b correspode ao deomiador, que ão pode ser igual a zero. a b Numerador Deomiador Logo, a fração desiga o quociete de a por b. A divis~o é, ote-se, a operação iversa da multiplicação. Os úmeros expressos em frações são chamados de úmeros racioais. O cojuto dos racioais é represetado por Q. Tipos de Frações: 1º) Própria: o umerador é meor que o deomiador. Detre os úmeros reais, se ecotram detro do itervalo (-1, 1). Exemplo: 1 3 ; 2º Imprópria: o umerador é maior que o deomiador. Em sua distribuição o cojuto dos úmeros reais se ecotram foram do itervalo [-1, 1]. Exemplo: 7 3 ; 3º Mista: costituída por uma parte iteira e uma fracioária. Pode ser trasformada facilmete em uma fração imprópria. Exemplo: ; 3

4 4º Aparete: é quado o umerador é múltiplo ao deomiador. Podem ser iterpretadas como umeros iteiros disfarçados de frações. Exemplo: 10 5 ; 5º Equivaletes: aquelas que matêm a mesma proporção de outra fração. Nota: N~o existe uma fração equivalete, mas sim um par de frações equivaletes. Exemplo: 4 8 = 2 4 ; 6º Irredutível: o umerador e o deomiador são primos etre si ão possuido fatores primos comus em suas respectivas fatorações, ão permitido simplificação. Exemplo: 7 9 ; 7º Uitária: o umerador é igual a 1 e o deomiador é um iteiro positivo. Exemplo: 1 3 ; 8º Decimal: o deomiador é uma potêcia de 10. Podem ser reescrita a forma decimal apeas com deslocametos de vírgula. Exemplo: ; 9º Composta: fração cujo umerador e deomiador são frações. Exemplo: ; Operações com Frações: Sejam a e c duas frações arbitrárias. São válidas as seguites operações: b d 1) Soma: a b + c d 2) Subtração: a b c d = ad +cb bd ; 3) Produto: a b c d = a c b d ; = ad cb bd ; 4) Divisão: a b c d ou a b d c = a b d c = a d b c (Repete a primeira e multiplica pela iversa de seguda). Observação: Caso as frações operadas possuam o mesmo deomiador, a soma e a subtração, basta repetir o deomiador e operar os umeradores, somado ou subtraido. Sedo os deomiadores das duas frações diferetes, é possível utilizar frações equivaletes à ambas para operar. Neste caso, deve-se trabalhar com o mmc dos deomiadores para ecotrar as equivaletes às origiais de mesmo deomiador. Racioalização de Frações: Existe uma propriedade matemática para represetações de úmeros, que impede a preseça de raízes iexatas o deomiador de uma fração. Para mudarmos isso utilizamos uma técica chamada de racioalização de frações. Cosidere a fração: a b ode seu deomiador b é um úmero irracioal. Vamos agora multiplicar o umerador e o deomiador desta fração por equivalete: ab b b = a b b = a b 2 b b, obtedo uma fração Observe que a fração equivalete possui um deomiador racioal. A essa trasformação, também damos o ome de racioalização de deomiadores. 4

5 A racioalização de deomiadores cosiste, portato, a obteção de uma fração com deomiador racioal, equivalete a uma aterior, que possuía um ou mais radicais em seu deomiador. Para racioalizar o deomiador de uma fração devemos multiplicar os termos desta fração por uma expressão com radical, deomiado fator racioalizate. Pricipais Casos de Racioalização: 1º Caso: O deomiador é um radical de ídice 2 (raiz quadrada), como por exemplo, a b : b é o fator racioalizate de b, pois b b = b. 2º Caso: O deomiador é um radical de ídice diferete de 2, como por exemplo, a : b b 1 é o fator racioalizate de b, pois b b 1 = b b 1 = b = b. 3º Caso: Soma ou subtração de irracioais com irracioais ou racioais: a b é o fator racioalizate de a + b; a + b é o fator racioalizate de a b; a + b é o fator racioalizate de a b; a b é o fator racioalizate de a + b. Limites: Coceito de Limite: O coceito de limite está profudamete ligado a propriedade da desidade dos úmeros reais. Esta propriedade afirma que, etre dois úmeros reais diferetes, sempre existirá uma quatidade ifiita de outros úmeros reais: tato racioais, quato irracioais; ão importado o quão próximo eles estejam um do outro sobre a reta. Isto implica que podemos aalisar características desejadas do comportameto de uma fução quado ela se aproxima de um poto, sem ecessitar descobrir o que acotece exatamete ele, mas apeas aalisado o que ocorre a sua volta, em outros potos muito próximos: tão próximos quato ós desejarmos ou quato for ecessário para obter precisão. Defiição Iformal de Limite: Se f(x) se aproxima de um úico úmero L a imagem, à medida que x se próxima de um úmero c o domíio, tato pela esquerda quato pela direita a reta real, diz-se que o limite de f(x) quado x tede a c é L, e se escreve: lim x c f x = L No que se referir a limites de fuções reais, sempre que se escrever a defiição simbólica de limite, serão assumidas como verdade duas afirmações: primeiro o limite existe; e segudo ele é L. Em outras palavras, pode até ão existir o limite de uma fução quado ela tede a um úmero, mas se existir, ele é úico. Em muitos casos é possível se estimar o valor de um limite usado uma calculadora, como o caso dos exemplos a seguir. Obs1: O limite pode ser calculado para qualquer poto de uma fução, sedo ele poto de iterrupção ou ão. Caso a fução seja bem comportada e o poto esteja defiido em seu domíio, o limite quado x 5

6 c será a própria f(c), ou seja, a imagem de c por f(x). Porém a técica de limite é muito mais útil o trata-meto dos potos que são exceção a regra. Obs2: A existêcia ou ão-existêcia do limite de f(x) quado x tede a c, ão tem ada a ver com a existêcia ou ão da f(c), isto é, se c está ou ão está o domíio de f(x). Propriedades de Limites: Cosiderado que freqüetemete uma fução é costruída a partir de fuções mais simples, vale a pea apreder algumas propriedades de limites, com o objetivo de trasformar limites, aparetemete um pouco mais complexos, em combiações de outros mais simples. Sejam u(x) e v(x) fuções reais, de forma que lim u(x) L x a e lim v(x) M, x a e seja C uma costate real. Etão, são válidas as seguites propriedades sobre limites: 1) lim C C ; x a 2) lim x a x a 3) limu(x) v(x) lim u(x) lim v(x) L M 4) limc u(x) C lim u(x) C L 5) limu(x) v(x) lim u(x) lim v(x) L M u(x) lim u(x) L 6) lim, desde que M 0 ; v(x) lim v(x) M ) lim, desde que M 0 ; v(x) lim v(x) M m ; x a x a m m 8) limu(x) lim u(x) L ; ; ; m 9) lim m u(x) m lim u(x) L ; 10) limlog u(x) log lim u(x) log L a a lim v(x) v(x) M 11) limu(x) lim u(x) x a L. a ; Substituição Direta: Como afirmado ateriormete, o limite de f(x) quado x tede a c ão depede do valor de f(x) o poto c. Etretato, se o limite é precisamete f(c), diz-se que o limite pode ser calculado por substituição direta, isto é, basta substituir x por c a fução. Simbolicamete, lim f x = f(c) x c 6

7 Estas fuções bem comportadas em c são ditas serem fuções cotíuas o poto c. O coceito de cotiuidade será trabalhado com profudidade mais adiate em outra lista. Obs3: Sempre que a substituição direta produzir um valor real como resposta, ou seja, um valor umérico real qualquer, sedo positivo, egativo ou zero; esta será a resposta do problema. Limites Idetermiados de Fuções Algébricas: Uma fução algébrica é uma fução que pode ser obtida através de um úmero fiito de operações algébricas (adição, multiplicação, subtração, divisão e radiciação). Como exemplos, ecotramos as fuções poliomiais, racioais e radicais, ou suas combiações. As fuções restates, ou seja, as que ão são algébricas, são deomiadas fuções trascedetes. Por exemplo, são trascedetes as fuções trigoométricas, expoeciais, logarítmicas e hiperbólicas. Técica do Cacelameto (Fuções Racioais): Defiição: Uma fução poliomial, ou poliômio com coeficietes reais a variável x, é uma fução matemática p:r R defiida por: p(x) = a 0 + a 1x + a 2x 2 + a 3x a x, ode a 0, a 1, a 2,..., a são úmeros reais deomiados coeficietes do poliômio. O coeficiete a 0 é o termo costate. Se a 0, et~o é dito que o poliômio possui grau e x é chamado de termo domiate. Caso os coeficietes sejam úmeros iteiros, o poliômio é deomiado poliômio iteiro em x. Observe aida que, se p(a) = 0, o úmero a é chamado raiz ou zero de p(x). O valor umérico de um poliômio p = p(x) em x = a é obtido pela substituição da icógita x pelo úmero real a, para obter p(a). Uma das fuções poliomiais mais importates é f: R R defiida por f(x) = ax 2 + bx + c, cujo gráfico é a curva deomiada parábola, que possui características muito utilizadas em estudos de Ciemática, radares, ateas parabólicas e faróis de carros. Suas raízes r 1 e r 2 são dadas pela fórmula de Bhaskara: r 1,2 = b ± b2 4ac 2a Notas: 1º) O poliômio do p(x) = 0 é deotado poliômio ulo, e ão possui grau, uma vez que ão tem um termo domiate. Em estudos mais avaçados, defie-se o grau de um poliômio ulo. 2º) Se o coeficiete do termo domiate for igual a 1, o poliômio será chamado Môico. 3º) Um poliômio pode ser ordeado segudo as suas potêcias tato em ordem crescete quato em ordem decrescete. 4º) Quado existir um ou mais coeficietes ulos, o poliômio será dito icompleto. Um poliômio será completo quado possuir todas as potêcias desde o grau mais alto até o termo costate. 5º) Se o grau de um poliômio completo for, o úmero de termos deste poliômio será exatamete +1. No etato, se o grau de um poliômio icompleto for, o úmero de termos deste poliômio será meor do que +1. Divisão de Poliômios: Efetuar a divisão de um poliômio p(x), por outro poliômio d(x) ão ulo, sigifica determiar um úico par de poliômios q(x) e r(x) que satisfazem às codições: 1) p(x) = d(x). q(x) + r(x). (Aalogia ao Algoritmo da Divisão Euclidiaa) 2) Vale que grau r(x) < grau d(x). 7

8 Notas: 1º) Se r(x) = 0, etão dizemos que p(x) é divisível por d(x). 2º) Se grau p(x) > grau d(x) etão grau q(x) = grau p(x) grau d(x). 3º) Se grau p(x) < grau d(x) etão q(x) = 0 e r(x) = p(x). 4º) Não esquecer que o grau do resto é sempre meor que o grau do divisor. Teorema de D`Alembert ou da Fatoração em Álgebra: Seja p(x) um poliômio qualquer. Se p(a) = 0, etão p(x) é divisível por x a. Em outras palavras, se a é raiz de um poliômio p(x), etão existe outro poliômio q(x) de tal maeira que, p(x) = q(x) (x a). Também vale a afirmação que (x a) é fator do poliômio p(x). Defiição: A fução f R R defiida pela equação f(x) = p(x)/q(x), ode p(x) e q(x) são fuções poliomiais e q(x) ão é uma fução costate ula, é deomiada fução racioal. Para a represetação da fução racioal, ão é ecessário efetuar a divisão de p(x) por q(x). Obs1: As fuções poliomiais são casos particulares de fuções racioais, ode q(x) = 1. Logo, toda fução poliomial é racioal. Limite de Fuções Racioais: Seja f(x) uma fução racioal dada por f(x) = p(x)/q(x). Se lim x c p x = k 1 e lim x c q x = k 2, o-de k 1 e k 2 são costates reais, etão temos que lim x c f x é igual a: i) k 1 k 2, se k 1 0 e k 2 0; ii) 0 se k 1 = 0 e k 2 0; iii se k 1 0 e k 2 = 0 e iv) Idetermiado se k 1 = 0 e k 2 = 0. (Neste caso deve ser usada alguma técica de limite) Técica do Cacelameto: Quado o limite de uma fução racioal é uma costate real, zero ou tede a ifiito (este caso o limite ão existe), o problema já está resolvido. A úica dificuldade é quado o limite gera uma idetermiação, ou seja, zero dividido por zero. Porém, vale observar que, se uma fução racioal f(x) = p(x)/q(x) gera uma idetermiação quado x tede a c, temos que p(c) = 0 e q(c) = 0. Isto implica que c é raiz tato do poliômio p(x) do umerador, quato do poliômio q(x) do deomiador. Logo, pelo teorema da fatoração em álgebra, (x c) é fator de p(x) e de q(x). A técica do cacelameto é baseada esta idéia, de buscar cacelar os fatores iguais ates de calcular o limite, aplicado o limite em uma fução igual a origial: 1) Se lim x c p(x) q x = 0 0 ; 2) Pelo teorema de D`Ambert, p(x) = p 1(x) (x c) e q(x) = q 1(x) (x c), ode p 1(x) e q 1(x) são os quocietes da divisão de p(x) e q(x) por (x c), respectivamete. p(x) 3) Logo, podemos escrever lim x c = lim p 1 x (x c) q x x c = lim p 1 x q 1 x (x c) x c q 1 x Obs2: Caso as raízes dos poliômios p(x) e q(x) sejam cohecidas, ão é ecessário efetuar a divisão de poliômios pelo fator comum, bastado usar a regra de decomposição de poliômios em fatores (gerados pelas raízes). 8

9 Técica da Racioalização (Fuções com Radicais): Uma outra forma de se determiar um limite de uma fução, para qual a substituição direta leva a uma forma idetermiada 0/0, é usar a técica de racioalização. Esta técica pode ser usada tato o umerador, quato o deomiador da fução. Como o objetivo aqui é trabalhar com radicais, a forma mais simples de desfazer uma raiz quadrada é aplicado sua operação iversa, ou seja, elevado ao quadrado. Por isto esta técica é baseada a propriedade de produtos otáveis, dada por: (a + b)(a b) = a 2 b 2 Note que se algum dos termos a ou b for uma raiz quadrada, a 2 ou b 2 ão o será mais. Para tal basta multiplicar a expressão pelo fator com sial trocado, mas sem se esquecer de dividir a expressão fial pelo mesmo fator para ão alterar o resultado iicial: a b = a b 1 = a b a + b a + b = (a b) a + b a + b = a2 b 2 a + b Logo a técica de racioalização se baseia a multiplicação por 1, reescrito de forma coveiete para forçar aparecer um produto otável, 1 = (a+b ) (a+b ). Obs1: Algumas vezes, é ecessário racioalizar uma fução duas vezes, uma racioalização para o umerador e outra para o deomiador, como a letra (d) do exercício 6. Limites Laterais: Nesta lista iremos os aprofudar mais um pouco o coceito de limite, trazedo para estudo os coceitos de limites laterais. Estes coceitos servem para tratar da aálise de assítotas de uma fução. Comportametos Diferetes à Direita e à Esquerda: Fazedo com que x se aproxime de um úmero c pela direita (simbolizado como c - ) e pela esquerda (simbolizado por c + ) deve-se observar que limites por laterais diferetes podem apresetar valores diferetes. Logicamete, esta aproximaç~o se refere { reta real. Neste caso, também dizemos que o limite ão existe. Notação: Direita = valores maiores que c a reta, isto é, x c + ; Esquerda = valores meores que c a reta, isto é, x c - ; Obs1: Este tipo de ão-existêcia de limite é muito comum em fuções defiidas por várias seteças aquelas defiidas usado chaves e v rios se`s, os potos em que a equaç~o muda. Porém ~o é uma situação que sempre deve acotecer ou é obrigatório que acoteça. O fato da fução ser defiida por partes ou seteças ão implica que o limite uca vai existir os potos de permutação da lei de correspodêcia. Defiição de Limites Laterais: Quado x tede o domíio ao úmero real c pela esquerda, isto é, por valores meores que c, vale que f(x) tede ao úmero L 1 a imagem, etão dizemos que existe o limite lateral à esquerda e ele é igual a L 1. Matematicamete este fato é idicado por: lim f (x) L x c 1 9

10 Quado x tede o domíio ao úmero real c pela direita, isto é, por valores maiores que c, vale que f(x) tede ao úmero L 2 a imagem, etão dizemos que existe o limite lateral à direita e ele é L 2. Matematicamete este fato é idicado por: lim f (x) L x c 2 Os úmeros L 1 e L 2, são chamados, respectivamete, de limite à esquerda de f(x) em c e limite à direita de f(x) em c, e referidos como limites laterais de f(x) em c. O resultado abaixo faz uma ligação etre a existêcia do limite usual, do qual estamos acostumados a trabalhar, e a existêcia dos limites laterais. Teorema: O limite da fuç~o f x quado x c existe se, e somete se, os limites laterais { direita e { esquerda existem e são iguais, ou seja: i) Se lim f (x) lim f (x) L, etão lim f (x) L x c x c x c ii) Se lim f (x) L L lim f (x), etão lim f (x) 1 2 x c x c x c Obs2: Sobre limites de fuções defiidas por partes: Quado o limite pedido estiver exatamete a froteira etre as partes, deve-se calcular o limite à direita e o limite à esquerda, mas como já visto, o limite a froteira só existirá caso os limites laterais sejam iguais. Limites Ifiitos e Assítotas Verticais: Ifiito como Tedêcia: Em cálculo usa-se o termo "ifiito" sempre que for preciso lidar com "úmeros gigatescos" ou úmeros suficietemete grades para que ós j ~o cosigamos mais imagi -los). Neste caso, usa-se como otação simbólica operacioal, os coceitos de operações básicas defiidas sobre o cojuto dos reais para defiir o setido (+ para idicar crescimeto positivo sobre a reta real e para crescimeto egativo sobre a reta reta real) da tedêcia. Sedo k uma costate real, vale que: a) b) k k, se k ( ), se, se k ( ), se k 0 k 0 k 0 k 0 k c) 0, iclusive para k 0 d) ( ) e) k 0, se, se ( ) k 0 k 0 f) ( ) ( ) ( ) ( ) se é par se é ímpar 10

11 Você já pergutou a alguém o que é o ifiito? Certamete lhe deram uma resposta poética a respeito como, o ifiito é algo fasciate ou É algo muito além da comprees~o humaa. Agora, imagie um úmero tão alto quato é possível de se coceber... Pois bem, por maior que seja o úmero escolhido, ele ão é ifiito. Ifiito é uma tedêcia, uma forma de represetar algo que cresce tato em valor ab-soluto, que jamais poderíamos atigir. Porém, ão cofuda ifiito com um úmero real. O símbolo represeta um ete matemático. Isto porque o ifiito ~o é um lugar para se chegar, mas sim um camiho sem fim para se trilhar. Errado:... o valor é ifiito. Correto:... o valor est ido para ifiito. Formas Idetermiadas: As sete formas clássicas de idetermiação são: 0, 0,, 0, 0 0, 1 e 0 Uma idetermiação sigifica que qualquer úmero real pode satisfazer o limite, e sedo assim, ada podemos afirmar sobre seu valor. Logo, a resposta desejada aida ão foi ecotrada. Aparecedo uma destas formas o cálculo de um limite, devem-se adotar técicas com o iteto de ecotrar uma expressão equivalete à forma origial, a fim de, substituí-la e evitar tal situação, como por exemplo, as técicas do cacelameto ou da racioalização. Obs3: Resolver um limite e ecotrar uma idetermiação ão sigifica que se pode afirmar se o limite existe ou que ~o existe. Simplesmete ~o se sabe, aida, a resposta. Desta forma, uca deixe uma idetermiação como a resposta fial para um problema ou exercício: ela estará icompleta. Comportameto Ilimitado (Não-Existêcia do Limite) Dado que o limite de uma fução f(x), quado x c, assume um comportameto ilimitado, ou seja, cresce sem restrições em valor absoluto, dizemos que este limite ão existe. Caso em um determiado problema de limite a resposta for + ou, dizemos que a fução possui um limite ifiito. Neste caso o problema já está resolvido, só que ão existe o limite. Obs4: Quado calculamos um limite de uma fução f(x), com x tededo c, e ecotramos um comportameto ilimitado, podemos afirmar, com toda a certeza, que o poto c ão faz parte do domíio de f(x). Coseqüetemete, ão existe f(c), isto é, a fução f ão produz imagem do poto c.. Comportameto Ilimitado à Direita e à Esquerda Afirmar que uma fução possui um comportameto ilimitado em toro de um determiado poto do domíio é afirmar que quato mais os aproximamos dele o domíio, mais a imagem da fução se afasta do eixo x, crescedo ou decrescedo. Porém sobre uma reta podemos os aproximar de um poto por dois camihos diferetes, à direita e à esquerda do poto. Por outro lado, ada impede que o comportameto ilimitado seja de crescimeto por um lado e de decrescimeto pelo outro, ou vice-versa. Por isto temos que fazer um estudo através de limitas laterais para aalisar o comportameto da fução em volta do poto desejado. Observe os gráficos abaixo: 11

12 Idepedete dos comportametos laterais serem iguais ou diferetes, quado um poto x apreseta uma ilimitação ele é chamado de assítota vertical. Geralmete as assítotas verticais podem ocorrer em potos para os quais o deomiador de uma fução se aula, pois a imagem da fução se aproxima de uma divisão por zero. Por isto dizemos que as raízes do deomiador de uma fução são cadidatas a assítota. Cotiuidade: Iformalmete, o que sigifica uma fução ser cotíua? Como se faz para recohecer, a partir do gráfico, se uma fução é cotíua ou ão? Resposta: o gráfico ão pode ter saltos, quebras e em furos, ele deve ser iterrupto. Numericamete, uma fução é cotíua se valores da variável idepedete próximos etre si, Geram valores da fução que estão tão próximo um do outro quato desejarmos. Supoha que f(x) seja uma fução cotíua de x, em algum itervalo, e que x = a esteja esse iter-valo. Etão, se x está próximo de a, sabemos que f(x) está próximo de f(a). De fato, quato mais x se aproxima de x, mais f(x) se aproxima de f(a). Assim, quado x a, o limite de f(x) deve ser f(a). Os matemáticos usam esta idéia e a otação de limites para dar uma defiição formal de cotiuidade. Defiição: Diz-se que uma fução f(x) é cotíua em um poto de abscissa a, quado se tem lim f x = f(a) x a Observemos que esta defiição tem implícitas três codições: 1) A fução está defiida em a. É o mesmo que dizer que existe f(a), ou a está o domíio. 12

13 2) Existe o limite de f(x) quado x a (Existem os limites laterais e são iguais). 3) O limite aterior coicide com o valor da fução. Portato, uma fução pode deixar de ser cotíua em um poto, por ão cumprir alguma destas codições descritas graficamete: f ão está defiida em x 0 f ão tem limite em x 0 (Não-Removível) lim xx0 f x f x (Removível) Outro tipo comum de ão cotiuidade são as assítotas verticais. Quado a fução ão é cotíua em um poto, dizemos que ela é descotíua ele. A defiição de cotiuidade possui um caráter local ou potual. Caso a fução seja cotíua em um todos os potos do domíio, a fução é dita ser simplesmete cotíua ou ão possuir potos de descotiuidade. Obs1: A maioria das fuções que cohecemos é cotíua em todo seu domíio, como por exemplo os poliômios, retas, parábolas, seos, cosseos, logaritmos, expoeciais e etc... Obs2: As fuções que possuem pré-disposição para possuir potos de descotiuidade são aquelas em forma de fração (e justamete os potos ode o deomiador se aula) e àquelas defiidas por várias seteças, usado chaves o começo e diversos se s. Derivada: Acréscimos de Variáveis: Em uma fução que possui a lei de correspodêcia dada por y = f(x), temos que y é chamado de variável depedete da fução e x de variável idepedete. Quado a variável idepedete x assume os valores x = x 1 e x = x 2, o acréscimo de x é obtido pela expressão x = x 2 x 1. Da mesma forma, quado a variável depedete y, assume valores y = y 1 e y = y 2, cujo acréscimo de y é calculado por y = y 2 y 1, ode y é chamado de acréscimo da variável depedete ou taxa de variação da fução. Taxa de Variação da Fução: Cosiderado x variado o itervalo [x 1, x 2], a taxa média de variação da fução ou razão icremetal de uma fução y = f(x) defiida e cotíua esse itervalo é dada pelo quociete y/x. Obs3: Se o lugar de y, tivermos f(x), etão, y = y 2 y 1 pode ser dado por f(x) ou simplesmete por f = f(x 2) f(x 1), e o lugar de y x, escreveríamos: 13

14 f x = f (x 2 x ) f (x 2 x 1 1 ) Obs4: Se x é dado por x = x 2 x 1, etão x 2 = x 1 + x. Desta forma podemos reescrever f(x) = f(x 2) f(x 1) como f(x) = f(x 1 + x) f(x 1) e taxa de variação média pode ser dada como: f (x1 x) f (x1) x Defiição Iformal de Derivada: Deomia-se derivada de uma fução y = f(x) um poto de abscissa x 1, o limite, se existir e for fiito, da razão y x quado x tede a zero. Notamos que à medida que x dimiui, a taxa y x dá iformações cada vez mais precisa sobre a variação do valor de y próximo do valor de x. Este limite forece a taxa istatâea de variação da gradeza y em relação a gradeza x. Defiição de Derivada: Dada uma fução y = f(x) a fução derivada da variável y em relação a x, deotada por dy/dx, é a fução que forece a taxa de variação istatâea de y (imagem) em relação a x (domíio), sedo obtida por meio do seguite limite: y f (x x) f (x) lim lim x0 x x0 x Coceitos: A Derivada de uma fução y = f(x) é uma outra fução real que possui as seguites iterpretações: a) Física: É a relação istatâea etre a taxa de variação da imagem e do domíio da fução f(x), ou o impacto proporcioal que um pequea variaç~o o domíio vari vel x ter a imagem vari vel y. Geralmete a otação é dy/dx. Criada por Isaac Newto. b) Geométrica: É a icliação da reta que tagecia a fução f(x), em toro de cada poto estudado, chamada de reta tagete. Geralmete a otaç~o pode ser f x ou y. Criada por Leibitz. Equação da Reta Tagete: Seja a fução y = f(x), e sua derivada f x. Dado um poto P = x 0, y 0) pertecete ao gráfico de f(x), ou seja, y 0 = f(x 0), a equação da reta tagete ao gráfico de f(x) em x = x 0 será dada por: (y y 0 = f x 0) (x x 0) Crescimeto da Fução: Seja a fução y = f(x), e sua derivada f x. Logo, para o poto x = x 0 temos que f x 0) pode ser tato a taxa de variação istatâea de f(x) em x 0, quato coeficiete agular da reta tagete à f(x) em x 0. Se f x 0) > 0, dizemos que em x 0 a fução f(x) possui taxa de variação positiva e, graficamete, sabemos que a fução f(x) está crescedo quado passa por x 0. Se f x 0) < 0, dizemos que em x 0 a fução f(x) possui taxa de variação egativa e, graficamete, sabemos que a fução f(x) está decrescedo quado passa por x 0. 14

15 Propriedades de Derivada ou Derivação: i) Se f x = c, etão f x = 0; (Derivada da Costate é Zero) ii) Se f x = x, etão f x = x 1 ; iii) Se f x = 1 x, fazemos f x = x, e etão f x = ( ) x +1 ; iv) Se f x = x, fazemos f x = x 1, e etão f x = 1 x 1 1 ; v) [f x + g(x)] = f (x) + g (x); (Regra da Soma ou Adição) vi) [f x g(x)] = f (x) g(x) + f(x) g (x); (Regra do Produto ou Multiplicação) vii) f x g x = f x g x f(x) g (x) ; (Regra da Divisão ou Quociete) g 2 (x) viii) fog x = [f(g x )] = f (g(x)) g (x); (Regra da Cadeia ou Composição) Derivadas de Ordem Superior: Seja a fuç~o y = f x, e sua derivada f x. Derivar mais uma vez a fuç~o f x, sigifica determiar sua derivada seguda ou derivada de seguda ordem, deotada f x, que ada mais é do que derivar ova-mete f x. Matematicamete, f x = f x = f x. Este coceito se estede a derivadas de ordes superiores. Notação: Derivada Primeira Derivada Seguda Derivada Terceira Derivada Eésima f x f x f x f () (x) Difereciabilidade: Seja a fuç~o y = f x, e sua derivada f x. Dizemos que f x é defereci vel em x = x 0, se x 0 está o domíio de f x, isto é, se é possível determiar ou calcular f x 0). Caso seja possível se calcular a derivada de todos os potos da fução f(x), dizemos que f é difereciável. A difereciabilidade, bem como a cotiuidade, é um coceito local. Máximos e Míimos: Seja a fução y = f(x) defiida em uma itervalo [a, b] cotedo o úmero real c, etão: dy dx d 2 y dx 2 d 3 y dx 3 i) F(c) é o míimo absoluto de f em [a, b] se f(c) f(x), para todo elemeto x em [a, b]. ii) F(c) é o máximo absoluto de f em [a, b] se f(c) f(x), para todo elemeto x em [a, b]. Os valores de máximo e míimo de uma fução podem ser chamados também de extremos ou valores extremos. Podem ocorrer o iterior ou a froteira do itervalo [a, b], e aida existir mais de um de cada simultaeamete. Se existe um itervalo aberto ao redor de c, ode f(c) atige um máximo (ou míimo), etão f(c) é um máximo relativo (ou míimo relativo). Todo extremo absoluto é relativo, mas em todo extremo relativo é absoluto. Existido f(c), etão c será um poto crítico de f se uma das duas codições forem satisfeitas: f c = 0 a taxa de variaç~o istat}ea de f x em zero é ula ou f x ~o est defiida para c isto é, f c ). Nem todo poto crítico é ecessariamete um poto de máximo ou míimo relativo, mas um d y dx 15

16 extremos relativo só pode ocorrer em um poto crítico. Por isto dizemos que os potos críticos são os cadidatos em po-tecial para extremos relativos e eles que devem ser aalisados. Regra para Determiação de Extremos Absolutos: 1) Derive a fução e determie seus potos críticos. 2) Calcule a imagem deles ou a f(x) deles. 3) Caso o domíio da fução seja um itervalo [a, b], calcule f(a) e f(b). 4) O meor detre todas as images calculadas os ites 2 e 3 será o míimo absoluto e o maior, o máximo absoluto. Teste da Taxa de Crescimeto: Seja f(x) uma fução difereciável o itervalo ]a, b[: i) Se f x > 0, para todo x em a, b, f é crescete este itervalo. ii) Se f (x) < 0, para todo x em ]a, b[, f é decrescete este itervalo. iii) Se f x = 0, para todo x em a, b, f é costate este itervalo. Teste da Primeira Derivada: 1) Derive a fução f(x) e determie seus potos críticos. 2) Determie aida todos os potos de descotiuidade da fução origial f(x). 3) Mote uma tabela de aálise cotedo todos os itervalos compreedidos etre os potos obti-dos os ites 1 e 2. 4) Para cada itervalo, escolha um poto qualquer em seu iterior e calcule sua derivada. 5) Etre um itervalo e seu cosecutivo, se o sial da derivada a. Muda de egativo para positivo; o extremo é um míimo relativo. b. Muda de positivo para egativo; o extremo é um máximo relativo. c. Não muda de sial; etão ão é ada. Dizemos que o gráfico de uma fução f(x) é covexo se sua cocavidade é voltada para cima (), e dizemos que ele é côcavo se sua cocavidade é voltada para baixo (). Um úmero real c o domíio de f(x) é um poto de iflexão se o gráfico da fução muda de cocavidade ele. Se f c = 0 ou f c, etão c é um cadidato em potecial para ser um poto de iflexão. Teste da Cocavidade: Seja f(x) uma fução duas vezes difereciável o itervalo ]a, b[: i) Se f x > 0, para todo x em a, b, et~o o gr fico de f é covexo este itervalo. ii) Se f x < 0, para todo x em a, b, et~o o gr fico de f é côcavo este itervalo. Teste da Seguda Derivada: 1) Derive a fuç~o f x e determie seus potos críticos c, do tipo f c = 0. 2) Calcule a derivada seguda de f(x), ou seja, f x. a. Se f c > 0, a fuç~o f x é covexa em c e ele ser um poto de míimo relativo. b. Se f c < 0, a fuç~o f x é côcava em c e ele ser um poto de m ximo relativo. c. Se f c = 0, ada podemos afirmar. Traçado de Gráficos: Regra para o Esboço de Gráficos: 1) Faça um esboço prelimiar do plao cartesiao. 2) Determie o domíio de f(x). 3) Calcule e marque o plao as iterseções com os eixos y (fazedo x = 0) e x (marcado as raízes da fução f(x), isto é, valores de x para o qual f(x) = 0). 4) Ecotre todos os potos de descotiuidade de f(x). 5) Determie e marque as assítotas verticais (usado limites laterais). 16

17 6) Determie e marque as assítotas horizotais (usado limites o ifiito, ± ). 7) Derive f x e ecotre os potos ode f c) ode se formam os bicos. 8) Determie os potos críticos e extremos relativos (Teste da Primeira Derivada). 9) Faça a seguda derivada e estude a cocavidade da fução f(x). 10) Determie os potos de iflexão. 11) Trace o esboço fial do gráfico. Itegral: Noções de Itegral Idefiida Dada uma fução f(x), defiida um itervalo I, uma primitiva de f(x) ou atiderivada de f(x) este itervalo I é uma fução F(x), tal que F`(x) = f(x), para todo x em I. Dessa maeira, observamos que o processo de primitivação é o iverso do processo de derivação. Se duas fuções cotíuas têm derivadas iguais em I, etão elas diferem apeas por uma costate. Por outro lado, se F(x) é uma primitiva de f(x) um itervalo I, etão F`(x) = f(x), para todo x em I e, portato, para cada C costate real, a fução dada por F(x) + C também é uma primitiva de f. Devido à relação existete etre ati-derivadas e itegrais, garatida pelo Teorema Fudametal do Cálculo, utiliza-se a otação: F(x) C f (x)dx C para represetar o cojuto de todas as primitivas ou ati-derivadas de f. O símbolo é deomiado itegral idefiida de f e, para cada C real forece uma fuç~o cuja derivada é a fução itegrado f. Neste caso depedemos de saber ecotrar ati-derivadas. Dessa maeira, poderemos elaborar uma tabela ode, em cada liha teremos, a colua à esquerda, uma dada fução e a colua à direita, sua itegral idefiida, isto é, o cojuto de suas primitivas. A fução itegrado e suas primitivas para Noções de Itegral Defiida: O objetivo aqui é chegar a uma defiição precisa da itegral defiida. Seja iicialmete f(x) uma fução cotíua um itervalo [a,b] e tal que f(x) ão é egativa em ehum poto do itervalo [a, b]. Como por exemplo, a fução do gráfico abaixo: 17

18 Vamos calcular a área da região compreedida etre o gráfico de f e o eixo x, para x variado em [a, b]. Para tato, vamos dividir o itervalo [a, b] em subitervalos, cada um deles de mesmo tamaho, que chamaremos de x. Aproximaremos a área colorida da seguite forma: somado a área de cada retâgulo formado * tomado como base x (tamaho de cada subitervalo) e como altura a imagem f(xi ) de algum poto x * i de cada um dos subitervalos. Desta forma, temos que a área aproximada da figura é a soma das áreas dos retâgulos, dada pela seguite fórmula: Quado fazemos crescer idefiidamete ou crescer o tato quato for ecessário o úmero de subitervalos, isto é, fazemos ; tedemos a obter uma área cada vez mais próxima da área origial. Assim, a itegral defiida da fução f, sedo f x 0 o itervalo [a, b], é igual ao limite da soma das áreas dos retâgulos, quado o úmero desses retâgulos tede a ifiito. Nesse caso a itegral forece a área da região compreedida etre o eixo horizotal e o gráfico da fução f, para x o itervalo [a, b]. Defiição de Itegral: A partir do coceito de área, foi possível colocar e resolver o seguite problema: Se f é uma fução cotíua em [a,b] e tal que f x 0 o itervalo [a, b], etão a área da região compreedida etre o eixo x e o gráfico de f, para x variado em [a,b], é dada por: 18

19 Etretato, a defiição de itegral defiida de uma fução cotíua um itervalo pode ser aturalmete estedida, sem a codição a respeito do sial da fução o itervalo dado. Propriedades de Itegral: Propriedade 1: Se f e g são fuções itegráveis o itervalo [a,b], etão a fução f+g também será e Propriedade 2: Se k é uma costate e f é uma fução itegrável o itervalo [a,b], etão a fução k.f é itegrável em [a,b] e Propriedade 3: Se f é uma fução itegrável o itervalo [a,b] e f x 0 em [a,b] etão Propriedade 4: Se f é uma fução itegrável o itervalo [a,b] e c um úmero em [a,b], etão Propriedade 5: Se f e g são fuções itegráveis o itervalo [a,b] e f x g x em [a,b] Teorema Fudametal do Cálculo: O Teorema Fudametal do Cálculo estabelece a importate coexão etre o Cálculo Diferecial e o Cálculo Itegral. Seja f(x) uma fução cotíua o itervalo [a,b], ode G(x) é uma qualquer primitiva de f(x), isto é, tal que G'(x) = f(x). Etão, podemos calcular Obs1: Não se deve cofudir itegral defiida com itegral idefiida. Uma itegral defiida A a b f (x) dx é um úmero, pois represeta uma área A, equato uma itegral idefiida f (x)dx C é uma família de fuções. 19