AMOSTRAS BIVARIADAS. RETA DE MÍNIMOS QUADRADOS

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1 UNIDADE 8 AMOSTRAS BIVARIADAS. RETA DE MÍNIMOS QUADRADOS TAREFAS E AVALIAR CONHECIMENTOS Relativamete às situações apresetadas em seguida, idetifique se eiste alguma relação estatística e, caso essa resposta seja afirmativa, justifique a sua tedêcia. a) Cosumo de combustível de uma viatura e distâcia percorrida. b) Temperatura de um determiado local e o úmero de aimais de estimação. c) Notas de um aluo as disciplias de Matemática A e de Física e Química A. d) Cosumo de sal de uma pessoa e a sua pressão arterial. a) Sim, pois à medida que a distâcia percorrida aumeta, há um maior cosumo de combustível. b) Não há relação estatística. c) Sim, pois, a geeralidade dos aluos, verifica-se uma associação etre as classificações a disciplia de Física e Química A e as classificações a disciplia de Matemática A. Por eemplo, quado a classificação de uma tede a ser mais alta, a outra é igualmete alta; e quado uma é mais baia, a outra tede a ser baia. d) Sim, pois o aumeto da pressão arterial está associado a um aumeto do cosumo de sal. Represetado, um referecial o.., os potos cujas coordeadas são os elemetos da amostra (, ), deduza em qual das alíeas seguites + eiste uma correlação positiva etre as variáveis e. a) ((, ), (5, 9), (, 6), (6, 8)) b) ((, 8), (6, 8), (0, 9), (, 6)) c) ((0, ), (50, ), (60, ), (70, )) 5

2 AMOSTRAS BIVARIADAS. RETA DOS MÍNIMOS QUADRADOS a) Há uma correlação positiva. b) Não há uma correlação positiva. c) Não há uma correlação positiva. As despesas mesais com alimetação, obviamete, depedem de vários fatores, tais como a dimesão do agregado familiar, os gastos dos elemetos do agregado, além do redimeto. Recolheu-se iformação sobre oito famílias, tedo-se obtido os resultados seguites. 5 Redimeto () Despesas () Represete os dados um referecial ortoormado e deduza se se trata ou ão de uma correlação positiva.. Qual das duas variáveis é a variável resposta e qual é a variável eplicativa? Justifique.

3 Domíio 5 ESTATÍSTICA UNIDADE 8. Calcule a média e o desvio-padrão de cada variável e compare a dispersão das duas.. Despesas Redimeto Pode-se deduzir que há uma correlação positiva etre as duas variáveis.. A variável eplicativa é o redimeto, e a variável resposta são as despesas, uma vez que quato maior for o redimeto familiar maior será, aturalmete, o valor das despesas associadas, pois a família terá maior poder de compra e assim comprará mais serviços ou produtos , i i - ( i - ) 700 -,5 5 76,6 50 8, , , , , , ,5 95 5,6 00-5,5 8 6, ,75 7 6, ,75 6,6 i i - ( i - ) Etão: á e S á á 856, e S á 60,80 7 A dispersão do redimeto familiar é superior à dispersão das despesas. 55

4 AMOSTRAS BIVARIADAS. RETA DOS MÍNIMOS QUADRADOS Cosidere os potos A(;,), B(, ) e C(6; 7,6) e a reta s de equação: 0,8 +,5. Determie o desvio vertical de cada um dos potos em relação à reta s.. Determie a soma dos: a) desvios. b) quadrados dos desvios.. Mostre que o valor médio das abcissas dos três potos apresetados é e, tedo por base a propriedade apresetada ao lado, deduza o valor da média das ordeadas dos três potos.. e A A - a A - b, - 0,8 -,5-0, e B B - a B - b - 0,8 -,5-0, e C C - a C - b 7,6-0,8 6 -,5 0, O desvio vertical de cada um dos potos em relação à reta s é, respetivamete, -0,, -0, e 0,.. a) e A + e B + e C -0, + (-0,) + 0, 0 b) e A + e B + e C (-0,) + (-0,) + (0,) 0, i i a + b 0,8 +,5,9 5 Cosidere a amostra (, ) defiida por: + ^(, 5), (8, 0), (5, ), (, 5)h Represete os dados da amostra um referecial ortogoal e deduza a equação reduzida da reta que miimiza a soma dos quadrados dos desvios verticais e tal que a soma dos desvios verticais em relação à reta seja zero

5 Domíio 5 ESTATÍSTICA UNIDADE Como 5 e, etão, a fução que permite calcular a soma dos quadrados dos desvios em fução de a é: f(a) ^5 - - a( - 5)h + ^0 - - a(8-5)h + + ^ - - a(5-5)h + ^5 - - a( - 5)h ( + a) + (- - a) + (-) + ( + a) + 8a + a a + 9a a + a a + 0a + 8 Como a fução f é quadrática e o coeficiete do termo de maior grau é positivo, sabe-se que tem um míimo absoluto e, porque f é difereciável, esse míimo é atigido o poto a tal que f'(a) 0. 5 Como f'(a) 8a + 0, tem-se f'(a) 0 + a -. Etão, a soma dos quadrados dos desvios verticais é míima quado 5 a Assim, como b - 5a, tem-se b - 5 d-. Portato, a equação reduzida da reta que miimiza a soma dos quadrados dos desvios verticais e tal que a soma dos desvios verticais em relação à reta seja zero é: Tarefa Justifique que a epressão da derivada da fução real de variável real defiida por é f(a) ` --a ( - ) j i i i fl(a) - e `( -)( -) j -a ( -) o i Coclua que f atige um míimo absoluto em a i i i i i i, i i i e - i i i-, em que: i 57

6 AMOSTRAS BIVARIADAS. RETA DOS MÍNIMOS QUADRADOS ' f'(a) e ` --a ( - ) j o i i 6-^ i - - a( i - )h( i - )@ i 6-^( i - )( i - ) - a( i - ) h@ i -f 6( i - )( i - )@ - a ( i - ) p i f'(a) 0 + a i i i i i i i i i i 7( i -)( i -) A ( - ) 8 i i- i - i + B _ - i i i- - + _ - i i i i i - a é um miimizate, pois f'(a) < 0 em -, H >. i i - em i, + H - i i i > e f'(a) > 0 6 Utilizado os dados do eercício, da págia 5, deduza a equação reduzida da reta de míimos quadrados dos desvios verticais. Para estimar os parâmetros da reta de míimos quadrados ajustada à uvem de potos que represeta a amostra de dados bivariados relativa ao redimeto familiar e às despesas com alimetação, pode-se costruir a seguite tabela: 58

7 Domíio 5 ESTATÍSTICA i i i i i i UNIDADE Obtém-se, etão: a 8 i 8 8 i 8 i i i i i , i i # 9, 5 # 5 á 0, # 9, 5 b á 5-0,8 9,5 77,75 Portato, a equação reduzida da reta de míimos quadrados é: 0,8 + 77,75 7 Um psicólogo escolar pergutou a cico aluos, aleatoriamete, quato tempo tiham dormido a oite aterior a fazerem um teste de perceção de 0 difereças etre duas figuras aparetemete iguais. Tempo de dormida (em horas) Número de difereças detetadas

8 AMOSTRAS BIVARIADAS. RETA DOS MÍNIMOS QUADRADOS Cosiderado o úmero de difereças detetadas como variável resposta, resolva as questões seguites. a) Obteha a equação reduzida da reta de míimos quadrados. Utilize valores aproimados às milésimas. b) Qual deverá ser o úmero de difereças detetadas para um aluo que durma 7 horas? c) Justifique que o modelo obtido a alíea a) ão pode ser utilizado para predizer o úmero de difereças detetadas por um aluo que durma horas. a) Tem-se o úmero de difereças detetadas como variável resposta, etão, obtém-se a seguite amostra: (, ) ^(5, 5), (9, 0), (6, 7), (8, 8), (8, 9)h + Assim: i i a i i i i- i # # # d # 7, 8# 7, á, # 58, b á 7,8 -,96 7, á -0, Pelo que a equação reduzida da reta de míimos quadrados, utilizado valores aproimados às milésimas, é,0-0,. b),0 7-0, 7,577 á 8 difereças c) O ajustameto da reta foi feito tedo como base valores da variável eplicativa pertecetes ao itervalo [5, 8]. Para valores fora deste itervalo ão há evidêcia de que a relação etre as variáveis seja liear. É, portato, arriscado utilizar a equação da reta de míimos quadrados da alíea a) para predizer o úmero de difereças detetadas por um aluo que durma horas (pois este valor está fora deste itervalo). 8 Numa zoa agrícola com um determiado declive foi realizado um estudo acerca da ifluêcia da taa do fluo das águas (Ls) a erosão do solos através da quatidade de massa de solo trasportado (kg). 550

9 Domíio 5 ESTATÍSTICA UNIDADE 8 Foram feitas cico medições das quais resultaram os dados da tabela ao lado. 8. Represete a uvem de potos um referecial ortoormado. Taa de fluo 0, 0,85,6 Solo erodido 0,8,95,8 8. Utilizado uma calculadora,7,0 gráfica e cosiderado a taa,75 6,07 de fluo como variável resposta: a) determie a equação reduzida da reta de míimos quadrados que se ajusta a esta uvem de potos. b) estime, utilizado o modelo deduzido a alíea 8.. a), um valor possível para a taa de fluo, sabedo que o solo erodido é de,5 kg. Apresete os resultados aproimados às cetésimas. Adaptado do Cadero de Apoio do.º ao 8. Solo erodido Taa de fluo 8. a) Recorredo à calculadora gráfica, obtém-se 0,67-0,6 NOTA: Na itrodução de dados, deve-se colocar a lista (List ) os valores do solo erodido e a lista (List ) a taa de fluo. b) 0,67,5-0,6 á,86 9 Cosidere as classificações obtidas por quatro aluos as disciplias de Matemática e de Físico e Química, o fial do.º período. Utilizado a calculadora gráfica, determie, com aproimação às cetésimas, o coeficiete de correlação liear. Classificação obtida a Matemática Classificação obtida a Física e Química

10 AMOSTRAS BIVARIADAS. RETA DOS MÍNIMOS QUADRADOS Itrodução de dados Escolher o meu STAT e a lista (List ) itroduzir os valores de i (Classificação Mat.) e os de i (Classificação F. Q.) a lista (List ). Estimar o coeficiete de correlação Pressioar CALC, seguida de LiReg(a+b). Se ão obtiver o valor de r, deve proceder do seguite modo: Pressioar a tecla ND, seguida da tecla 0 (acede ao catálogo); deslocar o cursor para baio até selecioar DiagostiicO e, por fim, pressioar ENTER duas vezes. Repetido agora os procedimetos para obter os parâmetros da equação. Assim, recorredo à calculadora gráfica, obtém-se o seguite valor para o coeficiete de regressão liear: r 0,85898 á 0,86. NOTA: Neste eercício apreseta-se a resolução com recurso a apeas um modelo de calculadora, a título de eemplo. 0 Justifique que o coeficiete de correlação liear de uma amostra de dados quatitativos (, ) é dada pela fórmula + v r a v, em que v e v são os desvios-padrão das amostras e. + + NOTA: Dada uma amostra de dimesão! IN, + v - Tem-se: a Assim: r a i i i i- + i i - a ( i -)( i -) v a v i a - v a - v a Numa determiada amostra bivariada (, ) + e 5 0,8 e 0, a 0,7 sabe-se que: 55

11 Domíio 5 ESTATÍSTICA a) Determie a equação reduzida da reta de míimos quadrados. UNIDADE 8 b) Determie o coeficiete de correlação liear e justifique se a associação liear etre as variáveis é forte ou fraca. a) Pelo euciado, a 0,7, etão, b - a 5-0,7,59. Assim, a equação reduzida da reta de míimos quadrados é: 0,7 +,59 08, b) r a 0,7 0,9 0, A associação liear etre as variáveis é forte, pois o coeficiete de correlação está próimo de. Será que as alturas etre os dois elemetos de um mesmo casal são semelhates? Cosidere a tabela ao lado, que mostra as alturas, em cetímetros, de mulheres e homes de seis casais diferetes, escolhidos, aleatoriamete, de etre casais da cidade de Satarém.. Represete os dados um referecial ortoormado e refira se é razoável a eistêcia de uma relação liear etre estas duas variáveis.. Determie, recorredo à calculadora gráfica, o coeficiete de correlação liear aproimado às cetésimas.. Se todas as mulheres escolhessem um homem Mulher Homem mais alto do que elas 5 cm, qual seria o coeficiete de correlação liear?. Altura homem Altura mulher Embora ão seja muito forte, é razoável a eistêcia de uma relação liear etre estas duas variáveis.. Recorredo à calculadora gráfica, obtém-se o seguite valor para o coeficiete de regressão liear: r á 0, á 0,67 55

12 AMOSTRAS BIVARIADAS. RETA DOS MÍNIMOS QUADRADOS. Seja a variável associada aos homes, e a variável associada às mulheres. Etão, i - i - e. Daqui coclui-se que: r 6 i ( i-)( i-) Assim, se todas as mulheres escolhessem um homem mais alto do que elas 5 cm, o coeficiete de correlação liear seria igual a. AVALIAÇÃO GLOBAL DE CONHECIMENTOS ESCOLHA MÚLTIPLA Para cada uma das questões desta secção, selecioe a opção correta de etre as alterativas que lhe são apresetadas. Uma amostra de dados bivariados (, ), em que e, tem + coeficiete de correlação r -0,9. Qual das equações seguites pode defiir a reta de míimos quadrados? (A) - + (B) - (C) + (D) + b - a + b - a e r < 0 ; logo, a < 0. Na opção (C), tem-se a - < 0 e b - (-). A opção correta é a (C). Na figura seguite estão represetadas duas uves de potos, A e B. Cosidere as seguites afirmações: I. As uves A e B correspodem a correlações lieares do mesmo tipo. II. A correlação é mais forte em A do que em B. 55 A O B O

13 Domíio 5 ESTATÍSTICA Pode-se, etão, afirmar que: (A) As afirmações I e II são verdadeiras. (B) A afirmação I é verdadeira e a II é falsa. (C) As afirmações I e II são falsas. (D) A afirmaão II é verdadeira e a I é falsa. UNIDADE 8 A uvem A correspode a uma correlação liear egativa, e a uvem B, a uma correlação positiva. A opção correta é a (C). Uma amostra de dados bivariados (, ) + é tal que 8 e Y 777,69. Sabedo que a reta de míimos quadrados é defiida pela equação, ,70, idique o valor aproimado do coeficiete de correlação liear. (A) -0,7 (B) 0,56 (C) 0,507 (D) 0,987 r a,857 A opção correta é a (D) , 69 á 0,987 Relativamete à uvem de potos represetada, qual dos úmeros seguites pode ser o coeficiete de correlação liear das duas variáveis? O (A) -0, (B) -0,9 (C) 0,6 (D) 0,95 A opção correta é a (C). 555

14 Avaliação global de cohecimetos RESPOSTA ABERTA Nas questões desta secção, apresete o seu raciocíio de forma clara, idicado todos os cálculos que tiver de efetuar e as justificações ecessárias. 5 Os coeficietes de correlação liear correspodetes a cada uma das distribuições represetadas são -0,0, -0,86 e 0,89. I II III Faça correspoder a cada uvem de potos o seu coeficiete de correlação. Justifique a sua resposta. O coeficiete de correlação -0,0 correspode à distribuição represetada em (II), uma vez que ão tem uma correlação aparete e, por isso, o seu coeficiete está muito próimo de 0. O coeficiete de correlação -0,86 correspode à distribuição represetada em (III), uma vez que há claramete uma correlação egativa etre as variáveis. O coeficiete de correlação 0,89 correspode à distribuição represetada em (I), uma vez que há claramete uma correlação positiva etre as variáveis. 6 Na tabela seguite ecotram-se algus dados sobre o campeoato da Primeira Liga de Futebol a época Os dados apresetados dizem respeito à potuação obtida ( P ), aos golos marcados ( GM ) e aos golos sofridos ( GS ) por cada equipa. Equipa P GM GS Equipa P GM GS Equipa P GM GS Befica Nacioal Boavista 7 50 FC Porto 8 7 Paços Ferreira V. Setúbal 9 56 Sportig Marítimo 6 5 Académica SC Braga Rio Ave 8 Arouca V. Guimarães Moreirese Gil Vicete 5 60 Beleeses 8 5 Estoril Praia Peafiel

15 Domíio 5 ESTATÍSTICA 6. Nas figuras seguites estão represetadas duas uves, I e II, relativas aos dados da tabela. Ambas têm como variável eplicativa P ; uma a variável resposta é GM ; a outra, GS. Idique, justificado, a variável resposta em cada uma das uves dadas. I 80 II O O Determie com o auílio da calculadora gráfica o coeficiete de correlação liear para cada uma das amostras ( PGM, ) + e ( PGS, + ). 6. A variável resposta a figura I é GS, uma vez que quato maior for a potuação meor é o úmero de golos sofridos. A variável resposta a figura II é GM, uma vez que quato maior for a potuação maior é o úmero de golos marcados. 6. Na amostra ( PGS, ) tem-se r á -0,9 e a amostra (, ) + PGM + tem-se r á 0, O Sr. Silva aquece a sua casa com gás atural. A quatidade de gás utilizada depede da temperatura eterior e o Sr. Silva pretede fazer um estudo dos gastos durate os 9 meses em que se observam meores temperaturas e estabelecer, assim, uma previsão para os gastos em fução da temperatura eterior. Na tabela seguite estão registadas as temperaturas médias observadas em cada um dos meses (em graus Celsius) e o respetivo volume de gás despedido pelo Sr. Silva (em metros cúbicos). Mês Out. Nov. Dez. Ja. Fev. Mar. Abr. Mai. Ju. Temperatura ( C) 6,, 0, 8,9 0,,8, 5,9 6, Volume do gás (m ) 0,0 0,0 0, 0,6 0,9 0,09 0,05 0,0 0,0 7. Qual deve ser a variável eplicativa e a variável resposta? 557

16 Avaliação global de cohecimetos 7. Utilize uma folha de cálculo ou uma calculadora gráfica para respoder às seguites questões: 7.. Represete os dados um referecial ortoormado e diga se é razoável a eistêcia de uma relação liear etre estas duas variáveis. 7.. Determie a média dos valores de cada uma das amostras represetadas. Apresete os resultados com arredodameto às cetésimas. 7.. Determie o declive da reta de míimos quadrados que se ajusta a esta uvem de potos. Apresete o resultado com arredodameto às cetésimas. 7.. Determie a equação reduzida da reta de míimos quadrados, arredodado os parâmetros às cetésimas Utilizado a equação obtida em 7.., determie qual o cosumo esperado para um mês em que a temperatura média seja de 0 ºC. Adaptado do Cadero de Apoio do.º ao 7. A variável eplicativa é a temperatura eterior e a variável resposta é o volume do gás utilizado, uma vez que se pretede estudar o volume de gás gasto em fução da temperatura As duas variáveis parecem ter uma relação liear egativa. 7.. Seja a variável temperatura e, a variável volume de gás:,9 e. 0, 7.. a -0, ,0 + 0, , ,5 0, O cosumo esperado será de 0, m de gás atural. 558

17 Domíio 5 ESTATÍSTICA 8 Um professor de Matemática pergutou a 0 aluos quato tempo estudaram para um determiado teste e estabeleceu uma correspodêcia etre o úmero de horas de estudo e as classificações, em percetagem, obtidas o referido teste. Os dados ecotram-se resumidos a tabela apresetada. N.º de horas de estudo Classificação (%) , 5,0 8, 56,6 6,9 59,8 80, 75, 60,5 9,6 8. Determie sem recorrer à calculadora, eceto para evetuais cálculos uméricos, a equação reduzida da reta de míimos quadrados para esta amostra e o coeficiete de correlação liear. Utilize valores aproimados às milésimas. 8. Qual deverá ser a classificação esperada para um aluo que teha estudado horas? 8. Seja a variável que represeta o úmero de horas estudadas e, a variável que represeta a classificação obtida. Tem-se: ,6 0 5, , + 56, 6+ 69, + 59, 8+ 80, + 75, + 605, + 9, 6 0 6,5 i i - ( i - ) i i - ( i - ) i i 6 -,6,96 5, -8,,6976 7,8 7 -,6 6,76 5,0 -,5, ,6 6,76 8, -5, 8,96 6,7 8 -,6,56 56,6-6,9 8,66 5,8 9-0,6 0,6 6,9,6,896 58, 0 0, 0,6 59,8 -,7, , 0,6 80, 6,76 80, , 5,76 75,,76 8,976 90,6, 5,76 60,5 -,0 9, , 9,6 9,6 9,06 8,86 89 Assim, 70, e 0,8. 559

18 Avaliação global de cohecimetos Logo: a i i i # 96, # 6, 5 á,676 70, b - a á 6,5 -,6756 9,6 á 8,65 Assim, a equação da reta de míimos quadrados é, ,65 e r a 70,,676 á 0,868 0, 8 8., ,65 á 79, A classificação esperada é de 79, %. 9 Para realizar um trabalho, o Diogo cosultou os registos referetes à esperaça média de vida à asceça para homes e mulheres de algus países da Uião Europeia. Orgaizou esses registos uma tabela a qual desiga o úmero médio de aos de vida esperados à asceça para as mulheres e desiga o úmero médio de aos de vida esperados à asceça para os homes. 9. O Diogo ão registou a tabela os valores referetes a algus países da Uião Europeia, como, por eemplo, a Áustria. Esperaça média de vida à asceça para homes e mulheres Países Mulheres Homes () () Portugal 8,7 75,5 Espaha 85,0 78,9 Fraça 8, 77,5 Irlada 8,6 76,8 Reio Uido 8,7 77,6 Bélgica 8,5 77,5 Holada 8, 78, Alemaha 8, 77, Itália 8, 78,8 Admita que os valores Fotes: INE e Eurostat da esperaça média de vida à asceça para homes e mulheres referetes à Áustria seguem o modelo de regressão liear obtido a partir dos dados da tabela. Estime, utilizado as capacidades gráficas da calculadora, o valor da esperaça média de vida à asceça de um homem austríaco, sabedo que a esperaça média de vida à asceça de uma mulher austríaca é 8,0 aos. Apresete os valores dos parâmetros da equação da reta de míimos quadrados com, pelo meos, seis casas decimais. Apresete o resultado fial arredodado às décimas. 560

19 Domíio 5 ESTATÍSTICA 9. Ao saber que a esperaça média de vida à asceça de um homem grego é 77,5 aos, o Diogo, usado a equação obtida a alíea aterior, cocluiu que a esperaça média de vida de uma mulher grega à asceça seria, aproimadamete, 8,8 aos. No etato, a professora disse-lhe que o seu raciocíio ão estava correto. Determie o valor correto eplicado como procedeu. Adaptado do Eame Nacioal de Matemática B, A equação da reta de míimos quadrados é 0, ,9570 ; logo: 0, ,0 +,9570 á 77,6 Assim, espera-se que um homem austríaco viva, em média, 77,6 aos. 9. Ao trocar a variável eplicativa com a variável resposta, tem de se determiar uma ova reta de míimos quadrados. Assim, obtém-se 0, ,66767 Logo: 0, ,5 + 8,66767 á 8,9 A resposta correta seria 8,9 aos. 0 Realizou-se uma eperiêcia para aalisar a associação etre o ídice de octao da gasolia e a adição de um ovo aditivo. Para isso, foram realizados esaios com diferetes valores percetuais de aditivos, obtedo-se a equação 0, ,7 para a reta de míimos quadrados, em que a variável eplicativa é a percetagem de aditivo e a variável resposta, o ídice de octao. Admita que após o cálculo do declive e ordeada a origem da reta de míimos quadrados se perdeu um dos valores do ídice de octao, ficado-se com a seguite amostra: (, ) ^(; 80,5), (; 8,6), (; 8,), (;?), (5; 8,9), (6; 85,0)h + 0. Estime o valor perdido. 0. Determie o valor perdido. 56

20 Avaliação global de cohecimetos 0. 0, ,7 á 8, ,5 6 b - a + 79,7-0,886,5 + 8, , 5+ 86, + 8, , , , 96,806 + á 8,7 Efetuou-se um estudo sobre a fluidez de tráfego um túel rodoviário. Foram feitas dez observações para recolher dados sobre o úmero de veículos por quilómetro, variável, e a velocidade de circulação dos veículos em kmh, variável. Na figura ao lado, estão represetados os dados obtidos e a reta de míimos quadrados cuja equação reduzida é -0, ,7.. À etrada do túel eiste iformação sobre o úmero de veículos por quilómetro. O Fracisco, ao etrar o túel, reparou que eistiam 5 veículos por quilómetro. Sabedo que o túel tem, km de comprimeto, faça uma previsão do tempo, em miutos, que o Fracisco demorará a atravessar o túel.. Determie o coeficiete de correlação liear sabedo que S 9,05 e S 8,6. Apresete o resultado arredodado às cetésimas. Sempre que os cálculos itermédios proceder a arredodametos coserve quatro casas decimais.. -0, ,7 8,075 kmh Assim,, á 0,0599 h á,59 mi. 8, 075. r a 9 S a a S 9 S 9, 05 a -0,887 á -0,95 S 86,

21 Domíio 5 ESTATÍSTICA O diagrama da figura mostra uma forte associação egativa etre o úmero de sócios do Grupo Desportivo de Altivo (GDA) o fial de algus aos e o úmero de lugares por veder os jogos de futebol. Número de lugares por veder Número de sócios do GDA Relativamete à figura, apeas uma das opções seguites está correta. Opção I Opção II Opção III r -0,987 a,7 b 0 5, r -0,987 a -0,558 b 65 6,5 r -0,087 a -,7 b 65 6,5 Em cada uma das opções, r represeta o coeficiete de correlação liear e a e b represetam os parâmetros da reta de regressão liear a + b.. Idetifique a opção correta e apresete uma razão para rejeitar cada uma das restates opções.. Estime o úmero de lugares para veder os jogos de futebol quado o úmero de sócios atigiu os Adaptado do Eame Nacioal de MACS, 05. A opção correta é a II. A opção I ão é a correta porque o coeficiete de correlação liear e o parâmetro a têm sempre o mesmo sial; e a opção III ão está correta porque r -0,087 é represetativo de uma correlação fraca e a que se tem a figura é forte.. -0, ,5 á 7 6 Ficarão por veder, aproimadamete, 7 6 lugares. 56

22 PREPARAÇÃO PARA O TESTE I PREPARAÇÃO PARA O TESTE Para cada uma das questões deste grupo, selecioe a opção correta de etre as alterativas que lhe são apresetadas. Num referecial o.. Oz, cosidere o poto P de abcissa e cota -. Cosidere também o vetor u de coordeadas ^,, h. Sabe-se que o âgulo etre os vetores OP e u é de 60. Qual é a ordeada do poto P? (A) 0 (B) (C) (D) OP $ u OP u cos (,, -) $ _,, i & + + A opção correta é a (C). As medidas do lado, do perímetro e da área de um quadrado são termos cosecutivos de uma progressão geométrica. Etão, a área do quadrado é igual a: (A) 6 (B) 6 (C) (D) 56 l l ; logo, a razão é. Assim, l l A opção correta é a (D). + l 6. De uma fução h de domíio IR - sabe-se que a reta de equação - é uma assítota ao seu gráfico. + h() Qual é o valor de lim "-? (A) - (B) - (C) (D) + h() lim "- lim - A opção correta é a (D). 56 " h () + + 0

23 Domíio 5 ESTATÍSTICA Cosidere a fução f real de variável real defiida aaliticamete por f() + e a reta tagete ao gráfico de f paralela à reta de equação + 0 As coordeadas do poto de tagêcia são: (A) (, 6) (B) (, ) O declive da reta tagete é - ; logo: A opção correta é a (D). (C) (0, 0) (D) (-, 0) f'() A atiguidade ( ) de seis automóveis, em aos, e o úmero de quilómetros ( ), em milhares, estão resumidos a tabela seguite: Cosiderado a variável como variável resposta, o coeficiete de correlação liear etre as variáveis e é, aproimadamete, de: (A) 0,99 (C) 0,95 (B) 0,97 (D) 0,9 A opção correta é a (A) II Nas questões seguites, apresete o seu raciocíio de forma clara, idicado todos os cálculos que tiver de efetuar e as justificações ecessárias. Na figura estão represetados, em referecial o.. Oz, um prisma quadragular e uma pirâmide com a mesma base e com altura igual a metade de BE. A base dos sólidos [ABCO] pertece ao plao O e o volume da pirâmide é igual a 6 cm.. Cosidere BE cm... Determie a equação cartesiaa do plao ABV. D A z G E V O B F C 565

24 PREPARAÇÃO PARA O TESTE.. Determie um sistema de equações paramétricas da reta perpedicular ao plao ABV e que passa pela origem do referecial.. Seja a abcissa do poto B... Prove que a área total do prisma é dada, em fução de, por: 86 A() +, > 0.. Determie aaliticamete o valor de para o qual a área total do prisma é míima.... Seja a a medida da aresta da base e h, a altura da pirâmide. V pirâmide a # a # h a # a 9 & a Assim, A(, 0, 0), B(,, 0) e V(,5;,5; ). Logo, AV(-,5;,5; ) e AB(0; ; 0). Seja (,, z) um vetor ormal ao plao ABV. Etão: (- 5, ; 5, ; ) $ (,, z) 0-5, + 5, + z 0 * + * + (, 00, ) $ (,, z) 0 0 z + * 5, + 8 * z 0 0 Para z, obtém-se o vetor (8, 0, ), etão, a equação cartesiaa do plao é do tipo: 8 + z + d 0 Substituido as coordeadas de A, obtém-se: + d 0 + d - Portato, a equação cartesiaa do plao ABV é 8 + z t.. * 0, t! IR z t... V pirâmide a # a # h # h h 6 h prisma h 566 A total prisma A b + A l A'() - 86 A'() ! 0 + 6! 0 86, > 0

25 Domíio 5 ESTATÍSTICA Assim: A'().d A.d. Mí. A área do prisma é míima para 6. Cosidere a fução f defiida por f() -.. Idique o domíio de f e determie equações das assítotas ao seu gráfico.. Resolva, em IR, f() G -.. Recorredo à defiição de derivada, mostre que fl(0).. Seja a a icliação da reta tagete ao gráfico de f em 0. r Determie o valor eato de cosc - am.. D IR\{} Assítotas verticais: lim f() lim " - " Logo, a reta de equação é a úica assítota vertical ao gráfico de f. Assítotas ão verticais: f () lim " + lim " + - lim " + - lim " + - f () 0 lim "- lim " + lim "- f() lim " f() lim " - lim " Logo, a reta de equação - é a úica assítota horizotal ao gráfico de f.. f() G G G 0 + G

26 PREPARAÇÃO PARA O TESTE e Assim: f() d. - C.S. ]-, -], ], +[ f ()-f() f'(0) lim lim " 0-0 " 0 lim " 0 -. O declive da reta tagete em 0 é ; logo, ta a. Tem-se que: r cosc - am -si a Assim: cos a + si a + ta a + si a si a + si a 5 Como a! [0, r[, si a 5 5, ou seja, -si a A tabela seguite mostra as temperaturas médias registadas uma cidade durate um semestre: Mês Ja. Fev. Mar. Abr. Maio Ju. Temperatura máima ºC () Temperatura ºC () Represete os dados um referecial ortoormado e diga se eiste uma relação liear etre estas duas variáveis.. Cosiderado a temperatura míima como variável resposta e utilizado a calculadora gráfica, determie a equação reduzida da reta de míimos quadrados e estime um valor para a temperatura míima se a temperatura máima for de 0 ºC. 568

27 Domíio 5 ESTATÍSTICA Verifica-se a eistêcia de uma relação liear positiva etre as variáveis.. A equação da reta de míimos quadrados é,6 -,950. Para 0, tem-se:,6 0 -,950,97 Assim, o valor previsto para a temperatura míima seria de,97 C. I PREPARAÇÃO PARA O TESTE Para cada uma das questões deste grupo, selecioe a opção correta de etre as alterativas que lhe são apresetadas. No referecial o.. O da figura estão represetados a circuferêcia defiida pela equação +, dois potos A e B da circuferêcia e o âgulo AOB de amplitude a. A O a B r Sabe-se que a! E, r; e si a 0,6. Idique o valor de OA OB. (A) -,8 (B) -, (C), (D),8 cos a + si a + cos a + 0,6 + cos a 0,6 r Como a! E, r;, cos a -0,8. OA $ OB OA OB cos a -0,8 -, A opção correta é a (B). 569

28 PREPARAÇÃO PARA O TESTE Qual é o valor da epressão ta arcsic- m + arccos( - ) G? (A) - (B) - (C) (D) r r ta arcsic- m + arccos( - ) G tac- +rm tac- m A opção correta é a (B). A reta de equação + é tagete ao gráfico de uma fução f, o poto de abcissa -. Qual é o valor do limite lim f()? "- (A) (B) - (C) (D) 0 lim "- f() f(-) Como o poto de tagêcia pertece à reta e a f : A opção correta é a (C). f(-) (-) + Na figura ao lado está represetada parte do gráfico de uma fução racioal f de domíio IR\{}. A reta r, de equação +, é assítota oblíqua bilateral ao gráfico de f. Seja g a fução defiida por g() f () Qual é o valor de lim g()? "- (A) - (C) (B) - (D) + O lim " f () - lim - lim "- f () "- f () A opção correta é a (B). - -

29 Domíio 5 ESTATÍSTICA 5 Aalisaram-se vários modelos de automóvel o que diz respeito à velocidade máima em kmh ( ) e ao cosumo médio em litros por 00 km ( ). Sabe-se que o cetro de gravidade desta amostra, (, ), é (8,5; 8,05) e que a ordeada a origem da reta de míimos quadrados é b,07. Qual é o cosumo médio estimado, arredodado às décimas, de um automóvel cuja velocidade máima é de 95 kmh? (A) 0,7 (B) 8,5 (C) 6, (D) 5,5 a + b + 8,05 a 8,5 +,07 + a á 0,08 0, ,07 á 8,5 A opção correta é a (B). II Nas questões seguites, apresete o seu raciocíio de forma clara, idicado todos os cálculos que tiver de efetuar e as justificações ecessárias. Fiado um referecial o.. Oz o espaço, cosidere os potos A(,, ), B(, 0, -) e C(0,, -5).. Determie um sistema de equações paramétricas da reta AC.. Prove que os potos A, B e C são ão colieares e determie uma equação cartesiaa do plao b por estes defiido.. Tem-se que AC C - A tem coordeadas (-, 0, -7). Uma equação vetorial da reta AC : (,, z) (,, ) + k(-, 0, -7), k! IR Logo, um sistema de equações paramétricas da reta AC é: -k *, k! IR z -7k. Verifique-se que o poto B ão pertece à reta AC. -k * k * k k

30 PREPARAÇÃO PARA O TESTE Como!, etão, os potos A, B e C são três potos ão 7 colieares do plao b. Etão, um vetor u perpedicular a AB(-, -, -) e AC(-, 0, -7) é ormal ao plao. Assim, o vetor u é tal que u $ AB 0 u $ AC 0. Seja u(a, b, c), etão: (, abc, ) $ (-,-,- ) 0 -a-b- c 0 * + ) + (, abc, ) $ (-0,,- 7) 0 -a- 7c 0 8 b - a+ a 7 + * + c - a 7 * b c - Fazedo a, tem-se b c - ; logo, u c,, - m. 7 7 Assim, uma equação cartesiaa do plao b é z + d 0. Como B pertece ao plao, tem-se - (-) + d 0 + d Portato, uma equação do plao é dada por: + - z z a a Cosidere as sucessões (u ) e (v ) defiidas por: v - 5 u e + * v + v, 6! IN. Mostre que (u ) é uma sucessão crescete.. Justifique que (v ) é uma progressão geométrica e, dado p! IN, determie uma epressão algébrica para a soma S p dos p primeiros termos de (v ).. Calcule os seguites limites: a) lim u b) lim S p p " + c) lim^v cos h e justifique. 57

31 Domíio 5 ESTATÍSTICA. u + - u ( + ) ( + ) > 0, 6! IN + 5+ Logo, (u ) é uma sucessão crescete. v +. Como v + v, v, pelo que (v ) é uma progressão geométrica. p - r Tem-se que S p v. - r Como r e v, tem-se: 5 p - c m S p e p - c m o a) lim u lim lim + b) lim S p p lim > # e - c m oh p " + p " c) A sucessão (v ) é decrescete e é limitada, 0 G v G ; logo, 5 é covergete. Etão: lim v + lim v + lim v lim v + + lim v 0 + lim v 0 Como cos é limitada, lim^v cos h 0. Na figura estão represetadas parte do gráfico - da fução f defiida por f() - f r 5 e a reta r, de equação -, tagete ao gráfico de f o poto A. Recorredo a processos eclusivamete aalíticos, determie: O a) as equações das assítotas ao gráfico de f, caso eistam. b) as coordeadas do poto A. A 57

32 PREPARAÇÃO PARA O TESTE a) D f IR\{} Assítotas verticais: lim f() lim " - " - lim f() lim " + " Logo, a reta de equação é a úica assítota vertical ao gráfico de f. Assítotas ão verticais: f () - lim " + lim " + lim - lim ^f() - h lim d " + lim " + " + - lim - " + " lim " Logo, a reta de equação + é assítota oblíqua ao gráfico de f. f () lim "- lim " + lim ^f() - h lim "- "- Etão, ão eistem outras assítotas ão verticais. ( -)'( -) - ( -)( - ) ' b) f'() ( - ) ( -) - ( - ) ( - ) ( - ) ( - ) f'() + + ( -) 0 + ( -) ! + ( - ) + -! + # - + ( 0 -)! -!! +! + - Por observação do gráfico, A tem abcissa positiva; logo, Portato, A c, m. 57

33 Domíio 5 ESTATÍSTICA De uma distribuição de dados bivariados (, ) sabe-se que: + ; ; v ; v e r 0,8 Determie a equação reduzida da reta de míimos quadrados que se ajusta à represetação gráfica desta amostra. r a v a v + 0,8 a + a 0, b - a + b - 0, + b, Logo, a equação reduzida da reta de míimos quadrados é 0, +,. 575

34 O Projeto Dimesões de Matemática A destiado ao. o ao de escolaridade, do Esio Secudário, é uma obra coletiva, cocebida e criada pelo Departameto de Ivestigações e Edições Educativas da Satillaa, sob a direção de Sílvia Vascocelos. EQUIPA TÉCNICA Chefe de Equipa Técica: Patrícia Boleto Modelo Gráfico e Capa: Carla Julião Ilustrações: Aa Mesquita e Jorge Macedo@I Folio Desig Pagiação: Célia Neves, Leoor Ferreira e Tiago Boleto Documetalista: Paulo Ferreira Revisão: Aa Abraches EDITORA Dúia Potes A autoria dos euciados de todos os eercícios pertece à equipa de autores do maual «Dimesões» do. o ao: Cristia Negra, Emauel Martiho e Helder Martis. CONSULTORES CIENTÍFICOS Pedro J. Freitas Professor Auiliar do Departameto de Matemática da Faculdade de Ciêcias da Uiversidade de Lisboa. Doutorado em Matemática pela Uiversidade de Illiois. Para além do trabalho de regêcia de cadeiras e ivestigação em Matemática, fudametalmete em áreas de álgebra, dedica-se também a assutos de divulgação e esio. Hugo Tavares Ivestigador Auiliar o CAMGSD, Istituto Superior Técico. Doutorado em Matemática pela Uiversidade de Lisboa, com título de doutorameto europeu após estágio a Uiversidade de Milão-Bicocca. Lecioou várias uidades curriculares a diversos ciclos de esio a Faculdade de Ciêcias da Uiversidade de Lisboa, a Faculdade de Ciêcias e Tecologia da Uiversidade Nova de Lisboa e o Politécico de Milão. Recebeu em 007 o prémio Gulbekia «Estímulo à Ivestigação». 06 Rua Mário Castelhao, 0 Queluz de Baio 7-50 Barcarea, Portugal APOIO AO PROFEOR Tel.: 6 90 apoioaoprofessor@satillaa.com APOIO AO LIVREIRO Tel.: apoioaolivreiro@satillaa.com Iteret: Impressão e Acabameto: DPS Digital Pritig Services ISBN: C. Produto: a Edição. a Tiragem Depósito Legal: 856 A cópia ilegal viola os direitos dos autores. Os prejudicados somos todos ós.