[ Elaborado por Rosário Laureano ] Análise Matemática II

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1 [ Elaborado por ] Análise Matemática II

2 Considere a função f(x,y)=x^3+y^3-3*x-3*y. Designamos por z as imagens por f de cada par (x,y), ou seja, z=f(x,y). Na figura à esquerda são visíveis o gráfico de f e planos horizontais de equação z=k, para alguns valores reais k. Para cada número real k, a intersecção do plano z=k com o gráfico de f determina uma curva no espaço (figura à direita). Diz-se a curva de contorno de f para z=k (ou traço horizontal do gráfico de f no plano z=k).

3 A projeção de cada curva de contorno sobre o plano xoy resulta numa curva no plano (xoy) designada por curva de nível. Para cada número real k, a curva de nível de f para z=k contém todos os pontos do domínio de f para os quais o gráfico (de f) está à altura k, ou seja, mostra onde o gráfico de f tem altura k. Ao esboçarmos cada curva de nível no plano xoy, devemos associar-lhe o seu correspondente valor de k. Representações como na fig. acima são designadas por mapas de contorno. No entanto, contêm as curvas de nível da função f e não as curvas de contorno!.

4 Além do gráfico, as curvas de nível constituem uma outra representação da função. Embora sejam apenas cortes do gráfico de f no plano z=k (as curvas de contorno) projetadas sobre o plano xoy, as curvas de nível informam sobre a estrutura da superfície do gráfico de f. Em particular, sabemos que a superfície do gráfico de f é: - mais inclinada onde as curvas de nível estiverem mais próximas entre si - mais achatada onde as curvas de nível estiverem mais distantes entre si Um exemplo comum de curvas de nível ocorre em mapas topográficos de regiões montanhosas (e não só ). São as curvas em que a elevação relativamente ao nível do mar é constante: quem andar sobre uma das curvas contorno, não sobe nem desce (cuidado que, nesse contexto, curvas de nível são frequentemente designadas por curvas de contorno, não sendo feita a devida distinção!). Outro exemplo comum são as curvas de nível da função Temperatura num dado local de coordenadas (x,y). Nesse contexto elas são designadas por curvas isotérmicas: ligam localidades que estão à mesma temperatura. Podemos ainda referir o exemplo comum das curvas de nível em mapas de pressão atmosférica, onde tomam o nome de curvas isobáricas.

5 Através do mapa de contorno (representação das curvas de nível) de uma dada função f (da qual pode não ser conhecida a expressão analítica), é possível obter estimativas do valor de certas imagens. EXEMPLO: Determine estimativas de f(5,5), f(2,1), f(1,3) para a função f cujo mapa de contorno é a figura ao lado. Localizando cada um destes pontos no sistema de eixos coordenados xoy e tendo em conta as curvas de nível na sua proximidade, podemos concluir que: f(5,5) 50 f(2,1) 65 f(1,3) 73

6 Considere a função f(x,y) = x^2-y^2. Esta função apresenta no ponto (0,0) um ponto de sela, caraterizado por decrescimento numas direções e crescimento noutras. Tal é visível pelas curvas de nível em torno de (0,0). Parabolóide hiperbólico de equação z = x^2 y^2 onde estão traçadas algumas curvas de contorno. As respetivas curvas de nível de f de equação x^2 y^2=k. Em torno do ponto (0,0) existe uma curva de nível de valor elevado (k=20) e outra de valor reduzido (k=-20).

7 Considere a função f(x,y) = 2x^2+y^2. Esta função apresenta no ponto (0,0) um mínimo (absoluto). Tal é visível pelas curvas de nível em torno de (0,0). Parabolóide elíptico de equação z = 2x^2+y^2 onde estão traçadas algumas curvas de contorno. As respetivas curvas de nível de f de equação 2x^2 y^2=k. À medida que as curvas de nível se afastam do ponto (0,0), elas correspondem a valores de k cada vez maiores.

8 Considere a função f(x,y) = 2x+3y+3. O gráfico desta função é um plano. Trata-se de uma função afim. Uma função como g(x,y) = 2x+3y, cujo gráfico é um plano que passa no ponto (0,0), diz-se uma função linear. Plano oblíquo de equação z = 2x+3y+3. Algumas curvas de nível de f, de equação 2x+3y+3=k.