TEXTO DE APOIO - MATEMÁTICAS GERAIS

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1 TEXTO DE APOIO - MATEMÁTICAS GERAIS Matemática A - 10.º Ano Geometria I e Funções I de Maria Augusta Ferreira Neves, Luís Guerreiro, António Leite, Armando Neves Editora: Porto Editora ISBN-13: Última Edição: Julho de 2007 Matemática A - 11.º Ano (1.ª, 2.ª E 3.ª Partes) Geometria II, Funções II e Sucessões de Maria Augusta Ferreira Neves, Luís Guerreiro, Ana Moura Editora: Porto Editora ISBN-13: Última Edição: Fevereiro de 2007 Matemática A - 12.º Ano Funções III e Trigonometria de Maria Augusta Ferreira Neves, Luís Guerreiro, Ana Moura Editora: Porto Editora ISBN-13: Última Edição: Maio de 2007

2 Sendo necessário ter em conta que esta disciplina tem um carácter propedêutico, servindo fundamentalmente para fornecer uma preparação matemática de base a estudantes cuja formação prévia seja considerada insuficiente e dado o carácter elementar e introdutório desta disciplina, não existem pré-requisitos. O objectivo desta disciplina é garantir um domínio das noções de função real de variável real e suas propriedades (continuidade e diferenciabilidade, em particular), limites, sucessões e geometria euclidiana. Os manuais adoptados correspondem à versão corrente dos livros escolares dos 10º, 11º e 12º de Matemática A da Porto Editora. No essencial qualquer edição desde meados dos anos 90 pode ser utilizada. Para esse efeito indicamos seguidamente os índices dos vários volumes da última edição. Do 10º utilizaremos apenas os volumes intitulados Geometria I e Funções I. Do 11º utilizaremos os 3 volumes, Geometria II, Funções II e Sucessões; o último capítulo de Geometria II, sobre programação linear, não faz parte do programa. Do 12º utilizaremos apenas os volumes intitulados Funções III e Trigonometria; os 2 últimos capítulos de Trigonometria, sobre variável complexa, não fazem parte do programa. Visto que o material de estudo está disperso por 7 livros aconselha-se vivamente o estudante a entrar em contacto com o docente da disciplina antes de começar o estudo desta disciplina, por ou por via telefónica. Parafraseando o Prof. João Araújo: Todos os alunos devem saber que o segredo do sucesso na Universidade Aberta está num estudo consciencioso, esforçado, regular, e recorrendo frequentemente ao professor, quer através do telefone, quer por , carta, fax, etc. A regra geral (empírica!) é esta: passa quem contacta o professor. Para os estudantes que possuem edições anteriores anexa-se de seguida o índice dos 7 volumes pela seguinte ordem: Geometria I, Funções I, Geometria II, Funções II, Sucessões, Funções III e Trigonometria.

3 índice CAPÍTULOS MÓDULO INICIAL Depois do estudo deste capítulo deve ser capaz de Introdução: a matemática no quotidiano Cálculos com números Expressões algébricas e problemas Resolução de problemas 28 Questões de escolha múltipla 34...resolver...aplicar...investigar RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS DE GEOMETRIA NO PLANO E NO ESPAÇO Depois do estudo deste capítulo deve ser capaz de Nota histórica 40 Introdução Pavimentação Perímetros e áreas Rectângulo Triângulo Paralelogramo Trapézio Circunferência e círculo Volumes Cubos e paralelepípedos Prismas Cilindros Pirâmides e cones Esfera Planificação da superfície de sólidos. Perspectiva cavaleira Problemas geométricos que fazem parte da História A duplicação do cubo Os sólidos platónicos Visualização no espaço Triângulos Quadriláteros Pentágonos e hexágonos 69 Questões de escolha múltipla 72...resolver...aplicar...investigar REFERENCIAIS NO PLANO E NO ESPAÇO. CONDIÇÕES NO PLANO E NO ESPAÇO Depois do estudo deste capítulo deve ser capaz de Introdução ao estudo da geometria analítica Pontos no plano Condições no plano. Recta horizontal e vertical Condições no plano. Semiplano fechado e semiplano aberto Condições no plano: negação, conjunção e disjunção de condições em R Condições no plano: primeiras leis de De Morgan Simetrias no plano Coordenadas no espaço Planos coordenados. Planos perpendiculares aos eixos Pontos e rectas no espaço Simetrias no espaço 103 Questões de escolha múltipla resolver...aplicar...investigar

4 3DISTÂNCIA ENTRE DOIS PON- TOS. LUGARES GEOMÉTRICOS NO PLANO E NO ESPAÇO Depois do estudo deste capítulo deve ser capaz de Introdução Distância entre dois pontos no plano Distância entre dois pontos no espaço Circunferência e círculo Superfície esférica e esfera Mediatriz e plano mediador de um segmento de recta Elipse 130 Questões de escolha múltipla resolver...aplicar...investigar VECTORES LIVRES NO PLANO E NO ESPAÇO Depois do estudo deste capítulo deve ser capaz de Introdução Vectores no plano Direcção e sentido Segmento de recta orientado Vector no plano Regra do paralelogramo. Vector soma de dois vectores Coordenadas e componentes de um vector no plano. Representação de um vector no plano Coordenadas do vector no plano Componentes de um vector Coordenadas e componentes de um vector no espaço Vectores e operações com vectores Igualdade de dois vectores Vector como diferença de dois pontos Soma de dois vectores Produto de um número real por um vector Diferença de dois vectores Norma de um vector Vectores colineares Ponto médio de um segmento de recta no plano e no espaço Resolução de problemas usando a geometria vectorial 166 Questões de escolha múltipla resolver...aplicar...investigar RECTAS NO PLANO Depois do estudo deste capítulo deve ser capaz de Introdução Declive de uma recta Equação de uma recta dados um ponto e o declive Equação de uma recta dados dois dos seus pontos Equação reduzida de uma recta Rectas horizontais, rectas verticais e bissectrizes dos quadrantes Rectas paralelas e rectas concorrentes Aplicação do estudo da recta Domínios planos Equação vectorial da recta 194 Questões de escolha múltipla resolver...aplicar...investigar

5 índice CAPÍTULOS 1FUNÇÕES E GRÁFICOS Depois do estudo deste capítulo deve ser capaz de... 8 Introdução ao estudo das funções Conceito de função Noção intuitiva de função Conjuntos numa função Definição de função Função real de variável real Modos de representação de uma função Gráfico e representação gráfica de uma função Gráfico e representação gráfica Teste da recta vertical Gráficos e calculadoras gráficas Pontos notáveis do gráfico de uma função Intersecção do gráfico com os eixos coordenados Extremos de uma função Monotonia de uma função Tabela de variação de uma função Conceito intuitivo de continuidade. Comportamento de função para valores extremos da variável independente Função afim 38 Questões de escolha múltipla 46...resolver...aplicar...investigar Depois do estudo deste capítulo deve ser capaz de Introdução ao estudo das transformações de funções Deslocação do gráfico de uma função Translacção vertical Translação horizontal Translação horizontal e vertical: generalização 62 2TRANSFORMAÇÕES E SIMETRIAS DO GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO 2. Expansão e contracção do gráfico de uma função na vertical Expansão na vertical: c > Contracção na vertical: 0 < c < Expansão e contracção do gráfico de uma função na horizontal Expansão na horizontal: 0 < c < Contracção na horizontal: c > Expansão e contracção do gráfico de uma função: generalização Expansão e contracção na vertical Expansão e contracção na horizontal Simetrias do gráfico de uma função. Função par e função ímpar Simetria em relação ao eixo dos yy. Função par Simetria em relação ao eixo dos xx Simetria em relação à origem do referencial. Função ímpar 72 Questões de escolha múltipla 74...resolver...aplicar...investigar

6 Depois do estudo deste capítulo deve ser capaz de Introdução ao estudo da função quadrática Função quadrática. Domínio e gráfico Concavidade do gráfico de uma função quadrática 83 3FUNÇÕES QUADRÁTICAS 3. Intersecção do gráfico de uma função quadrática com os eixos coordenados Intersecção da parábola com o eixo dos yy Intersecção da parábola com o eixo dos xx Aplicação do conhecimento dos pontos de intersecção de uma função quadrática com o eixo dos xx Outras propriedades da função quadrática. Contradomínio, vértice e eixo de simetria da parábola A função quadrática em contexto real Parábolas 110 Questões de escolha múltipla resolver...aplicar...investigar Depois do estudo deste capítulo deve ser capaz de Introdução ao estudo da função módulo 124 4FUNÇÃO MÓDULO 1. Função módulo. Gráfico e propriedades Função módulo Representação gráfica Gráfico da função y = f(x) Funções com módulos Condições envolvendo módulos Funções definidas por ramos Conjuntos e condições no plano 134 Questões de escolha múltipla resolver...aplicar...investigar FUNÇÕES POLINOMIAIS Depois do estudo deste capítulo deve ser capaz de Introdução ao estudo das funções polinomiais Polinómios. Terminologia e operações Terminologia Adição, subtracção e multiplicação de polinómios Funções polinomiais e respectivos gráficos Definição de função polinomial Gráficos de funções polinomiais Propriedades das funções polinomiais Contradomínio das funções polinomiais Zeros de uma função polinomial Zeros de um polinómio Divisão inteira de polinómios Regra de Ruffini Teorema do Resto Factorização de um polinómio Resolução de inequações de grau superior ao segundo 175 Questões de escolha múltipla resolver...aplicar...investigar

7 índice 8 CAPÍTULOS 1RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS ENVOLVENDO TRIÂNGULOS Trigonometria. Nota histórica e curiosidades 10 Depois do estudo deste capítulo deve ser capaz de Razões trigonométricas de um ângulo agudo. Uso da calculadora Razões trigonométricas de 30º, 45º e 60º Resolução de problemas usando as razões trigonométricas Fórmulas trigonométricas 26 Problemas resolvidos (complementares) 31 Problemas propostos 34 2ÂNGULO E ARCO GENERALIZADO. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS. RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS Depois do estudo deste capítulo deve ser capaz de Medidas de ângulos. O radiano Razões trigonométricas de um ângulo qualquer Relação entre as razões trigonométricas de ângulos diferentes Funções trigonométricas Equações trigonométricas 64 Problemas resolvidos (complementares) 72 Problemas propostos 78 Depois do estudo deste capítulo deve ser capaz de Vectores no plano e no espaço (revisão) 86 3PRODUTO ESCALAR NO PLANO E NO ESPAÇO 2. Produto escalar no plano Propriedades do produto escalar Expressão analítica do produto escalar Aplicações do produto escalar na trigonometria Aplicações do produto escalar na geometria Produto escalar no espaço 102 Problemas resolvidos (complementares) 104 Problemas propostos 106

8 9 Depois do estudo deste capítulo deve ser capaz de COMPLEMENTOS DE GEOME- TRIA ANALÍTICA NO PLANO 1. Declive de uma recta. Equação de uma recta dados um ponto e o declive Equação vectorial de uma recta Ângulo de duas rectas. Rectas perpendiculares Posição relativa de duas rectas no plano Problemas de distâncias no plano 129 Problemas resolvidos (complementares) 132 Problemas propostos 134 Depois do estudo deste capítulo deve ser capaz de Plano e recta no espaço (revisão) Equação de uma recta no espaço 139 5COMPLEMENTOS DE GEOME- TRIA ANALÍTICA NO ESPAÇO 3. Ângulo de duas rectas no espaço Equação cartesiana de um plano Paralelismo e perpendicularidade no espaço Intersecção de dois planos. Ângulos de dois planos Intersecção de uma recta com um plano. Ângulo de uma recta com um plano Distâncias no espaço Posição relativa de três planos. Resolução de sistemas de três equações com três incógnitas 156 Problemas resolvidos (complementares) 161 Problemas propostos 170 6INTRODUÇÃO AO ESTUDO DA PROGRAMAÇÃO LINEAR Depois do estudo deste capítulo deve ser capaz de Introdução. Nota histórica Sistemas de inequações e programação linear Aplicações da programação linear 180 Problemas resolvidos (complementares) 191 Problemas propostos 192

9 índice CAPÍTULOS 5 1FUNÇÕES RACIONAIS Depois do estudo deste capítulo deve ser capaz de Funções racionais. Definição, domínio e gráfico de uma função racional Assimptotas do gráfico de uma função racional Gráfico de uma função racional Funções racionais com uma assimptota oblíqua Aplicações das funções racionais na resolução de problemas em contexto real Complementos sobre cálculo com expressões racionais Hipérbole 41 Problemas resolvidos 46 Problemas propostos 49 2FUNÇÕES IRRACIONAIS. RADICAIS Depois do estudo deste capítulo deve ser capaz de Introdução Radicais Funções irracionais. Gráfico de uma função irracional Equações e inequações irracionais Aplicação de funções irracionais na resolução de problemas geométricos em contexto real 76 Problemas resolvidos 79 Problemas propostos 82 3OPERAÇÕES COM FUNÇÕES. RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS ENVOLVENDO FUNÇÕES Depois do estudo deste capítulo deve ser capaz de Igualdade de duas funções Soma, diferença, produto e quociente de funções Função composta de duas funções Função injectiva. Função inversa de uma função injectiva Restrição de uma função a um intervalo 111 Problemas resolvidos 113 Problemas propostos 114 4TAXA MÉDIA DE VARIAÇÃO E TAXA DE VARIAÇÃO DE UMA FUNÇÃO. CÁLCULO DA DERIVADA DE ALGUMAS FUNÇÕES Depois do estudo deste capítulo deve ser capaz de Nota histórica Taxa de variação de uma função e taxa média de variação de uma função Taxa de variação instantânea (ou taxa de variação) de uma função. Derivada de uma função num ponto A calculadora gráfica na determinação da derivada de uma função num ponto Derivada de algumas funções racionais e irracionais Significado geométrico da derivada de uma função num ponto Sentido da variação de uma função e derivada Extremos de uma função e derivada 138 Problemas resolvidos 143 Problemas propostos 148

10 CAPÍTULOS índice 1SUCESSÕES. SUCESSÕES MONÓTONAS. SUCESSÕES LIMITADAS Notas históricas e curiosidades 6 Depois do estudo deste capítulo deve ser capaz de Sucessões. Definições Sucessões monótonas Sucessões limitadas 20 Problemas resolvidos (complementares) 24 Problemas propostos PROGRESSÕES ARITMÉTICAS E PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS Depois do estudo deste capítulo deve ser capaz de Progressões aritméticas Progressões geométricas 47 Problemas resolvidos 56 Problemas propostos 60 3LIMITES DE SUCESSÕES Depois do estudo deste capítulo deve ser capaz de Noção intuitiva de limite de uma sucessão Limites infinitos Classificação das sucessões quanto à existência e natureza do limite Subsucessão de uma sucessão Teoremas e propriedades sobre sucessões Teoremas sobre sucessões convergentes Operações com sucessões convergentes Operações com limites infinitos Indeterminações Estudo da sucessão (a n ), a år Soma dos termos de uma progressão geométrica O número de Neper Indução matemática 101 Problemas resolvidos 104 Problemas propostos 108

11 6 índice CAPÍTULOS 1.1 Introdução ao estudo das funções exponenciais. Definição de função exponencial Propriedades das funções exponenciais Equações exponenciais Transformações do gráfico de uma função exponencial Aplicação das funções exponenciais na modelação de situações reais Função exponencial de base e Definição de função logarítmica Logaritmos com bases especiais Propriedades das funções logarítmicas Transformações do gráfico de funções logarítmicas Propriedades operatórias dos logaritmos 27 1 FUNÇÕES EXPONENCIAIS E FUNÇÕES LOGARÍTMICAS 1.12 Equações exponenciais e logarítmicas Resolução de inequações com exponenciais ou logaritmos Inversa de uma função exponencial ou de uma função logarítmica Aplicação das funções exponenciais e logarítmicas na modelação de situações reais 36 Problemas Propostos 40 Avaliação Noção intuitiva de limite Limites laterais Definição de limite segundo Heine 58 2 LIMITES. CÁLCULO DE LIMITES DE FUNÇÕES E DE SUCESSÕES 2.4 Regras operatórias com limites Limites e infinitos. Cálculo de limites Indeterminações Limites de funções envolvendo exponenciais e logaritmos Limites de sucessões (revisão) 79 Problemas Propostos 82 Avaliação Continuidade de uma função num ponto Continuidade lateral 99 3 CONTINUIDADE DE UMA FUNÇÃO 3.3 Continuidade de uma função num intervalo Operações com funções contínuas Teorema de Bolzano-Cauchy Determinação das assimptotas do gráfico de uma função 110 Problemas Propostos 116 Avaliação 126

12 7 4.1 Introdução ao conceito de derivada. Definição de derivada. Significado geométrico de derivada Derivadas laterais Referências a pontos nos quais a função não é derivável Derivabilidade e continuidade Função derivada Derivada de uma função constante Derivada de uma função afim Derivada do produto de uma constante por uma função Derivada da soma e da diferença de duas funções Derivada de uma potência Derivada de funções polinomiais Derivada de um produto de funções 153 4DERIVADAS 4.13 Derivada de um quociente de funções Derivada de funções compostas Derivada de funções exponenciais e logarítmicas Função segunda derivada 161 Problemas Propostos 164 Avaliação Função estritamente crescente e função estritamente decrescente (revisão) Extremos de uma função (revisão) Intervalos de monotonia e primeira derivada de uma função (revisão) Máximos e mínimos absolutos e primeira derivada da função Extremos relativos e primeira derivada de uma função Concavidade e segunda derivada de uma função APLICAÇÕES DAS DERIVADAS 5.7 Teste da segunda derivada Estudo de funções Problemas de optimização 207 Problemas Propostos 216 Avaliação 226 Calculadoras gráficas 228 Soluções 237

13 6 índice CAPÍTULOS 1INTRODUÇÃO AO ESTUDO DA TRIGONOMETRIA. RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NO TRIÂNGULO RECTÂNGULO (Revisão) 1.1 Medidas de ângulos: o grau e o radiano As razões trigonométricas num triângulo rectângulo As razões trigonométricas de ângulos especiais A calculadora gráfica e as razões trigonométricas Resolução de problemas envolvendo as razões trigonométricas 20 Problemas propostos 26 Avaliação 34 2GENERALIZAÇÃO DA NOÇÃO DE ÂNGULO. RAZÕES TRIGONO- MÉTRICAS DE UM ÂNGULO QUALQUER (Revisão) 2.1 Ângulo orientado Ângulo num referencial Generalização da noção de ângulo Definição das razões trigonométricas de um ângulo qualquer Linhas trigonométricas Sinal das razões trigonométricas Razões trigonométricas dos ângulos 0º (0), 90º 1 } 2 π }2, 180º (π) e 270º 1 }3 2 π } Redução ao 1. quadrante 45 Problemas propostos 50 Avaliação 54 3FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS COMO FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL. UTILIZAÇÃO DAS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS NA MODELAÇÃO DE SITUAÇÕES REAIS 3.1 Funções trigonométricas como funções reais de variável real Gráficos de funções trigonométricas Estudo intuitivo das funções trigonométricas Transformações dos gráficos das funções trigonométricas Aplicação das funções trigonométricas na modelação de situações reais Utilização da calculadora na modelação de funções cujo gráfico é uma sinusóide 70 Problemas propostos 71 Avaliação 80

14 7 4EQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS. FÓRMULAS TRIGONOMÉTRICAS 4.1 Equações trigonométricas Fórmula fundamental da trigonometria Fórmulas trigonométricas do seno, co-seno e tangente da soma e da diferença de dois ângulos Razões trigonométricas do ângulo duplo 96 Problemas propostos 98 Avaliação 102 5DERIVADA DAS FUNÇÕES TRIGO- NOMÉTRICAS 5.1 Estudo intuitivo do lim x } x " 0 x Derivada das funções trigonométricas Resolução de problemas envolvendo a derivada de funções trigonométricas 112 Problemas propostos 122 Avaliação 130 6NÚMEROS COMPLEXOS. FORMA ALGÉBRICA E FORMA TRIGONO- MÉTRICA 6.1 Evolução do conceito de número. O conjunto dos números complexos Representação geométrica de um número complexo. Complexos conjugados e complexos simétricos Operações com números complexos O número i como operador da rotação de Raízes complexas de uma equação do 2. grau Módulo e argumento de um número complexo Forma trigonométrica de um número complexo Operações com números complexos na forma trigonométrica Construção geométrica das raízes de uma equação em C Translação e rotação no plano de Argand 160 Problemas propostos 162 Avaliação DOMÍNIOS PLANOS E CONDIÇÕES EM VARIÁVEL COMPLEXA 7.1 Operações com condições e com conjuntos (Revisão) Conjuntos definidos por condições envolvendo números complexos 175 Problemas propostos 182 Avaliação 184 Calculadoras gráficas 186 Soluções 194 Bibliografia 207

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