Matemática. Complexos, polinômios e equações algébricas

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1 Matemática Complexos, polinômios e equações algébricas

2 SISTEMA COC DE ENSINO Direção-Geral: Sandro Bonás Direção Pedagógica: Zelci C. de Oliveira Direção Editorial: Roger Trimer Gerência Editorial: Osvaldo Govone Gerência Operacional: Danilo Maurin Gerência de Relacionamento: Danilo Lippi Ouvidoria: Regina Gimenes Conselho Editorial: José Tadeu B. Terra, Luiz Fernando Duarte, Osvaldo Govone e Zelci C. de Oliveira PRODUÇÃO EDITORIAL Autoria: Clayton Furukawa Editoria: José F. Rufato, Marina A. Barreto e Paulo S. Adami Coordenação editorial: Luzia H. Fávero F. López Assistente editorial: George R. Baldim Projeto gráfico e direção de arte: Matheus C. Sisdeli Preparação de originais: Marisa A. dos Santos e Silva e Sebastião S. Rodrigues Neto Iconografia e licenciamento de texto: Cristian N. Zaramella, Marcela Pelizaro e Paula de Oliveira Quirino Diagramação: BFS bureau digital Ilustração: BFS bureau digital Revisão: Flávia P. Cruz, Flávio R. Santos, José S. Lara, Leda G. de Almeida e Maria Cecília R. D. B. Ribeiro Capa: LABCOM comunicação total Conferência e Fechamento: BFS bureau digital Rua General Celso de Mello Rezende, 0 Tel.: (6) CEP Lagoinha Ribeirão Preto-SP

3 Sumário CAPÍTULO 0 NÚMEROS COMPLEXOS 7. A unidade imaginária 7. de algumas equações 7. Conjunto dos números complexos 7. Igualdade de números complexos 8 5. Operações com números complexos 8 6. Potências de i 0 7. O plano de Gauss 8. Módulo de um número complexo 9. Argumento de um número complexo 0. Forma trigonométrica de um número complexo 5. Operações na forma trigonométrica 7 CAPÍTULO 0 POLINÔMIOS. Introdução. Polinômios definição. Polinômios operações CAPÍTULO 0 EQUAÇÕES ALGÉBRICAS. Introdução. Equações algébricas ou equações polinomiais. Raiz ou solução de uma equação algébrica. Teoremas fundamentais 7 5. Teorema das raízes complexas 6. Pesquisa de raízes racionais EXERCÍCIOS PROPOSTOS Capítulo 0 5 Capítulo 0 6 Capítulo 0 67 GABARITO 79

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5 Teoria

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7 Complexos, polinômios e equações algébricas Matemática CAPÍTULO 0 NÚMEROS COMPLEXOS PV--. A unidade imaginária No século XVI, o matemático italiano Giro lamo Cardano, com o auxílio de seu compatriota Tartáglia, descobriu uma fórmula para resolver equações cúbicas do tipo x + px = q. A fórmula era: q q p q q p x = De posse dessa fórmula, Rafael Bombelli, matemático italiano e da mesma época de Tartáglia e Cardano, ao resolver a equação: x 5x = encontrou: x = + +, o que mostrava que x não deveria ser um número real, pois. No entanto, Bombelli percebeu que o número real x = era raiz da equação, pois 5 =, e isso o intrigou bastante. Continuando suas pesquisas, Bombelli descobriu que: + = + e = Portanto, o valor encontrado com o uso da fórmula passava a ser: x = + + =, um valor coerente com as expectativas. A partir desse momento, começou-se a trabalhar com raízes quadradas de números negativos e, mais tarde, já no século XVIII, o matemático suíço Leonhard Euler passou a representar - por i, convenção que utilizamos até os dias atuais. Assim: = i, que passamos a denominar unidade imaginária. Normalmente, utilizamos a igualdade: i =. de algumas equações A partir da criação da unidade imaginária i, vamos resolver algumas equações cuja solução era impossível no conjunto universo dos número reais. ª) Resolver a equação: x + 9 = 0 Como essa é uma equação de segundo grau incompleta, não há necessidade de utilizarmos a fórmula de Bhaskara. x + 9 = 0 x = 9 x = 9 ( ) Como i =, temos: x = 9i x = ± i { } S = ± i ª) Resolva a equação: x 6x + = 0 = b ac = ( 6) = 6 = 6i x = b ± 6 = ± 6i 6 = ± i a Assim: x = + i ou x = i { } S = + i, i. Conjunto dos números complexos Com a criação da unidade imaginária i, surgiu um novo conjunto numérico, o conjunto dos números complexos, que engloba o conjunto dos números reais. Assim, por meio de um diagrama Euler-Venn, temos: O surgimento desse novo conjunto numérico foi de grande utilidade para a superação de alguns obstáculos na matemática e, por conseguinte, nas aplicações diretamente ligadas a ela. 7

8 Matemática Complexos, polinômios e equações algébricas Definições Chamamos de número complexo na forma algébrica, todo número na forma a + bi, em que a e b são números reais e i é unidade imaginária (i = ). Da mesma forma que, quando nos referimos a um número natural, usamos a letra n para representá-lo, a letra z será usada para representarmos um número complexo. Assim, no número complexo z = a + bi, dizemos que a é a parte real de z, e b é a parte imaginária de z. Representamos: a = Re (z) b = Im (z) Em particular, temos: º) Se Im (z) = 0, dizemos que z é um número real. Exemplos: 5 = 5 + 0i; = + 0i º) Se Re (z) = 0 e Im (z) 0, dizemos que z é um imaginário puro. Exemplos: i = 0 + i; i = 0 + i. Igualdade de números complexos Dois números complexos, na forma algébrica, são iguais quando suas partes reais e imaginárias forem respectivamente iguais. Assim, sendo z = a + b i e z = a + b i, com a, b, a e b reais, dizemos: z = z a = a e b = b Exemplo Calcular a e b de modo que: (a b) + i = + ( a + b)i a b = Devemos ter: = a + b Resolvendo o sistema, temos: a b = a + b = a = Substituindo a = na equação a + b =, temos: + b = b = Assim: a = e b = 5. Operações com números complexos A. Adição Dados os complexos z = a + bi e z = c + di, com a, b, c e d reais, a soma z + z será um complexo tal que: z + z = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i Exemplo Sendo z = + i e z = i, calcular z + z. z + z = ( + i) + ( i) = ( + ) + ( )i Assim: z + z = + i B. Subtração Dados os complexos z = a + bi e z = c + di, com a, b, c e d reais, a diferença z z será um complexo, tal que: z z = (a + bi) (c + di) = (a c) + (b d)i Exemplo Sendo z = 5 + i e z = + i, calcular z z. z z = (5 + i) ( + i) = (5 ) + ( )i Assim: z z = + i C. Multiplicação Dados os complexos z = a + bi e z = c + di, com a, b, c e d reais, o produto z z será um complexo, tal que: z z = (a + bi) (c + di) = (ac bd) + (ad + bc)i De fato, usando a propriedade distributi va, temos: (a + bi) (c + di) = ac + adi + bci bdi PV-- 8

9 Complexos, polinômios e equações algébricas Matemática PV-- Como i =, temos: (a + bi) (c + di) = ac + adi + bci bd Agrupando a parte real e a parte imaginária, temos: z z = (ac bd) + (ad + bc)i Exemplo Sendo z = + i e z = + i, calcule z z. z z = ( + i) ( + i) z z = + i + i + i i z z = 6 + i + i + 8i z z = 6 + i + i 8 z z = + 6i Observação As propriedades da adição, subtração e multiplicação válidas para os nú meros reais continuam válidas para os números complexos. D. Conjugado de um número complexo Chamamos de conjugado do número complexo z = a + bi, com a e b reais, o número complexo z = a bi. Exemplos º) z = i z = + i º) z = i z = + i º) z = i z = i º) z = z = Propriedade O produto de um número complexo pelo seu conjugado é sempre um número real. z z Demonstração Sendo z = a + bi e z = a bi (a e b ) temos: z z = ( a + bi) ( a bi) z z = a abi + abi b i z z = a + b Como a e b são reais, z z. E. Divisão Dados dois números complexos, z e z, com z 0, efetuar a divisão de z por z é encontrar um terceiro número complexo z tal que z = z z, ou seja: z = z z Exemplo Efetuar a divisão de z = i por z = + i. Devemos encontrar um número complexo z = = a + bi tal que z = z. Assim, z i = a + bi + i i = ( a + bi) ( + i) i = a + ai + bi + bi i = a + ai + bi b i = ( a b) + ( a + b) i a b = a + b =... x a b = + a + b = 6 5a = a = 5 Substituindo em a b =, temos: = = = b b b 5 Assim: 7 a = e b = 5 5 Então: i 7 = i + i 5 5 Regra prática Dados os complexos z = a + bi e z = c + di, a, b, c e d reais e z 0, para efetuarmos a divisão de z por z, basta multiplicarmos o numerador e o denominador da fração z pelo conjugado z do denominador ( z ). 9

10 Matemática Complexos, polinômios e equações algébricas Assim, temos: a + bi ( a + bi)( c di) = c + di ( c + di)( c di) a + bi ac adi + bci bdi = c + di c cdi + dic di a + bi ( ac + bd) + ( bc ad) i = c + di c + d Dessa forma: a + bi ac + bd bc ad = i c + di c + d + c + d Exemplo Efetuar a divisão de z = i por z = + i. i ( i)( i) = + i ( + i)( i) i 6 = i i + i + i i i 7 = i + i + i 7 = i + i Potências de i Calculemos algumas potências de i com expoente natural: i 0 = i = i i = i = i i = ( ) i = i i = i i = ( ) ( ) = i 5 = i i = i = i i 6 = i i = ( ) = i 7 = i i = ( i) = i Notamos que, a partir de i, as potências de i vão repetindo os quatro primeiros resultados; assim, de um modo mais geral, com n, podemos afirmar que: i n = (i ) n = n = i n + = i n i = i = i i n + = i n i = ( ) = i n + = i n i = ( i) = i Esta conclusão sugere-nos o seguinte: Propriedade Se m e r é o resto da divisão de m por, então i m = i r. Demonstração m m = q + r com r { 0,,, } r q Assim: i m = i q + r = i q i r = (i ) q i r i m = q i r i m = i r Observação notamos que r {0,,, }, então, com m, a potência i m é sempre igual a i 0 ou i ou i ou i, ou seja,, i,, i, respectivamente. Exemplos º) Calcular i i59 = i = i 9 89 º) Calcular i 0 0 i0 = i = 0 PV-- 0

11 Complexos, polinômios e equações algébricas Matemática EXERCÍCIOS RESOLVIDOS PV-- 0. Resolva a equação: x = 0 x = 0 (x + ) (x ) = 0 x + = 0 x = x = i x = ±i ou x = 0 x = x = ± Resposta S = { + i, +,, i} 0. Resolva a equação: x x + 0 = 0 ( ) = = 0 6 = ± = ± 6i x x = ± i ( ) = = = 6 = i Resposta S = { i, + i} 0. Se Z = + i e W = 5i, então, calcular: a. Z + W b. Z W c. Z W Z + W = ( + i) + ( 5i) = + i + 5i = 7 i Z W = ( + i) ( 5i) = + i + 5i = + 7i Z W = ( + i) ( 5i) = 0i + 6i 0i = Resposta i + 0 = i a. 7 i; b. + 7i; c. i. 0. FCC-BA O número complexo i é raiz da equação x + + kx + t = 0 (k, t ) se, e somente se: a. k = t = b. k = t = c. k = e t = d. k = e t = e. k + t = Se ( i) é raiz, temos: ( i) + k( i) + t = 0 i + k ki + t = 0 (k + t) + ( k)i = 0 + 0i Logo: k + t = 0 t = k = 0 k = Resposta C 05. UCMG O número complexo z, tal que 5z + z = + 6i, é igual a: a. + i d. + i b. i e. + i c. + i Fazendo z = a + bi e z = a bi, temos: 5z + z = + 6i 5(a + bi) + a bi = + 6i Logo: z = + i Resposta D 06. 5a + 5bi + a bi = + 6i 6a + bi = + 6i 6a = a = b = 6 b = Determine o inverso do número complexo z = i. O inverso de z será z, tal que z z =, ou seja, z = z. Assim: z ( + i) + i i = = = = + i ( i)( + i) 9 i 9 + Assim, z = + i Resposta z = + i

12 Matemática Complexos, polinômios e equações algébricas 07. i Determinar m para que z = + + mi seja um imaginário puro. i i mi z = + ( + )( ) = + mi ( + mi)( mi) i mi i mi z = + = mi mi 6 = + i ( + m) ( m) z = + + mi + m + m i Para que z seja imaginário puro, devemos ter: Re (z) = 0 Assim: + m = 0 + m = 0 m = + m Resposta m = 08. Calcular: i i 9 + i i + i = + i = + i i Resposta + i 09. Calcular i n. in i n n in ( ) = = = = i Resposta 7. O plano de Gauss Já sabemos que cada número real pode ser associado a um ponto de uma reta e que cada ponto da reta é imagem de um único número real. Para representarmos geometricamente os números complexos (entre os quais se encontram todos os números reais), utilizaremos um plano. Assim sendo, considere um plano no qual se fixou um sistema de coordenadas retangulares. Representaremos cada número complexo z = a + bi pelo ponto do plano de coordenadas (a, b). Dessa forma, o número complexo z = + i, por exemplo, será representado pelo ponto P (, ). y P (, ) PV-- 0 x Quem pela primeira vez fez essa interpretação geométrica foi Wessel, num artigo publicado em 798, mas sua obra ficou quase desconhecida; por isso, este plano onde representamos os números complexos é conhecido, até hoje, como plano de Gauss, embora este tenha publicado a mesma ideia cerca de trinta anos depois. No plano de Gauss, os números reais são representados por pontos que pertencem ao eixo Ox e, por isso, esse eixo será chamado de eixo real, enquanto o eixo Oy será chamado de eixo imaginário. O ponto P(a, b), que representa o número complexo z = a + bi, será chamado de afixo ou imagem deste número complexo.

13 Complexos, polinômios e equações algébricas Matemática PV-- 8. Módulo de um número complexo Dado um número complexo z = a + bi, com a e b reais, chamamos de módulo de z e indicamos z ou ρ à distância entre a origem O do plano de Gauss e o afixo de z. y b O Sendo O (0, 0) e P (a, b) z a P (afixo de z) d = ( a 0) + ( OP b 0) = a + b Assim: z = = a + b ρ Observação a definição de módulo no conjunto dos números complexos é coerente com a definição dada em, ou seja: Se z = x e x, então z = x De fato: x e z = x z = x + 0 i z Assim, z = x, ou seja, z = x Exemplos x = x + 0 º) z = + i z = + = º) z = + i z = ( ) + = 0 º) z = i z = 0 + = º) z = z = ( ) + 0 = Propriedades Sendo z = a + bi e z = c + di dois números complexos quaisquer, então: ª) z = z Demonstração z = a + bi z = a + b z = a bi z = a + ( b) = a + b Assim: z = z ª) z z = z z z z = ( a + bi)( c + di) = ( ac bd) + ( bc + ad) i z z = ( ac bd) + ( bc + ad) z z = a c abcd + b d + b c + abcd + a d z z = c( a + b) + d ( a + b) z z = ( a + b)( c + d ) z z = a + b c + d Assim: z z = z z z z ª) = = ( z 0) z z Demonstração z z 0 z = z z z z z = z z = z z z Assim: z z z = z Observação Existem outras propriedades que são válidas para os números complexos e que serão demonstradas posteriormente. ª) zn = z n 5ª) z + z z + z Importante Todos os números complexos com módulo r têm os seus afixos em uma circunferência de centro na origem e raio r. Im O r Real

14 Matemática Complexos, polinômios e equações algébricas 9. Argumento de um número complexo Sendo z = a + bi um número complexo não nulo e P o afixo de z no plano de Gauss de origem O, chamamos argumento do número complexo z a medida θ do arco com centro em O tomado a partir do semieixo real positivo até a semirreta OP no sentido anti-horário. Assim: Im O ρ θ 0 < θ < 90 P P ρ Im O P Real θ 90 < θ < 80 Im ρ θ O 80 < θ < 70 Im θ Real Real O ρ Real 70 < θ < 60 Da trigonometria concluímos que: a b cos θ = e sen θ = ρ ρ em que ρ é o módulo de z. P Em particular quando: θ se a a e b = = 0, > θ = 80, se a < 0 θ se b a = 0 e b 0 = 90, > 0 θ = 70, se b < 0 Exemplos º) Calcular o argumento do número complexo z = i. ρ = z = + ( ) = 8 = θ = = θ = cos e sen = Assim, θ = 5 º) Calcular o argumento de z = + i. ρ = z = ( ) + ( ) = = cos θ = e sen θ = Assim, θ = 0 º) Calcular o argumento de z = i. ρ = z = 0 + ( ) = 0 θ = = e sen θ = cos 0 = Assim, θ = 70 º) Calcular o argumento de z =. ρ = z = ( ) 0 = θ = 0 cos = e sen θ = = 0 Assim, θ = 80 Importante Todos os números complexos com mesmo argumento θ têm os seus afixos em uma semirreta de origem O. Im P O θ Real PV--

15 Complexos, polinômios e equações algébricas Matemática 0. Forma trigonométrica de um número complexo Podemos determinar um número complexo de dois modos: º) Conhecendo a = Re (z) e b = Im (z) e temos: z = a + bi, que é a forma algébrica de z. º) Conhecendo ρ = z e o θ = argumento de z, temos: a cos θ = a = ρ cos θ e ρ b sen θ = b = ρ sen θ ρ Assim: z = a + bi = ρ cos θ + ρ sen θi Então: z = ρ(cosq + isenq), que é a forma trigonométrica de z. Exemplos º) Colocar o número complexo z = + i na forma trigonométrica. z = + i z = + = cosθ = = e senθ = = Então: θ = 5 Logo: z = (cos 5 + i sen5 ) º) Escreva na forma trigonométrica z = i. z = i z = 0 + ( ) = 0 = = e sen = cosθ 0 θ = Então: θ = 70 Logo: z = (cos 70 + i sen70 ) º) Escreva na forma trigonométrica z =. z = z = = 0 cosθ = e senθ = = 0 Assim: θ = 80 Logo: z = (cos 80 + i sen80 ) EXERCÍCIOS RESOLVIDOS PV-- 0. Sendo z = + i e z = i, verificar a veracidade das sentenças abaixo. a. z = z a. z = + i = + = z = i = + ( ) = z = z b. z z = z z z z c. = z z d. z = z e. z + z z + z b. z z = ( + i)( i) z z = i + i 6i ) z z = 8 i = 6 + = 65 z z z = + i i z = = 5 = 65 z z = z z 5

16 Matemática Complexos, polinômios e equações algébricas c. z z z z z z + i = i ( + i)( + i) = ( i)( + i) 7i = + = 5 5 z + i = = z i z z = z z = = = d. z = ( + i) z = + i + 9i z = 5 + i = 5 + = z ( ) = + = + i z z = e. z + z = + i + i ( ) = ( ) = z + z = + i = 9 + = 0 z + z = + i + i z z + z = z = < + 5 z + z z + z Obter o argumento dos complexos: a. z = 5 + 5i b. z = i 5 Im a. tgθ = = 5 5 Z b. tgθ = = Im O Re ( quadrante) Z 5 π 6 π Portanto, θ = 6 rad y π 6 0. Escrever o número z = i na forma trignométrica. ρ = ( ) + ( ) = θ = tg = Z Im O y π Re x ( quadrante) x PV-- O π Portanto, θ = 5 = rad 5 ( quadrante) Re π Logo, z = ρ(cos θ + i sen θ) π z = cos + i sen π 6

17 Complexos, polinômios e equações algébricas Matemática PV--. Operações na forma trigonométrica A. Adição Sejam os números complexos z e z na forma trigonométrica: z = ρ (cos θ + i sen θ ) z = ρ (cos θ + i sen θ ) Vamos efetuar a adição de z e z : z + z = ρ (cos θ + i sen θ ) + ρ (cos θ + i sen θ ) z + z = (ρ cos θ + ρ cos θ ) + i (ρ sen θ + + ρ sen θ ) O módulo de z + z será: z + z = ( ρ co s θ + ρ c os θ ) + ( ρ sen θ + ρ sen θ ) Simplificando, encontramos: z ( ( )) + z = ρ + ρ + ρ ρ cos θ θ Este último resultado mostra-nos que o módulo de soma é o maior possível quando cos (θ θ ) for máximo, o que se dará para cos (θ θ ) =, e neste caso teremos: z + z = ρ + ρ + ρ ρ ou seja: z + z = ρ + ρ Assim, podemos afirmar que: z + z z + z B. Representação geométrica da adição Consideremos dois números complexos, z e z, na forma algébrica: z = a + b i z = a + b i Vamos construir as imagens respectivas de z e z que representamos por M e M. Com os pontos O, M, M e M vamos construir o paralelogramo OM MM, cuja diagonal é OM. Q Q Q M M O P P P A partir da figura, podemos concluir que: OP = OP + P P OP OP OP P P = OP = + Como OP = a e OP = a, temos que: OP = a + a Analogamente, provamos que: OQ = OQ + OQ = b + b Dessa forma, concluímos que o ponto M é o afixo do número complexo (a + a ) + (b + b ) i, que é a soma z + z. Assim, concluímos que: a soma de dois números complexos é representada geometricamente pela diagonal do paralelogramo construído sobre os vetores correspondentes aos dois complexos dados. Escrevemos que: OM = OM + OM C. Multiplicação Consideremos os números complexos não nulos: z = ρ (cos θ + i sen θ ) z = ρ (cos θ + i sen θ ) A multiplicação de z por z ficará: z z = ρ ρ (cos θ cos θ + i cos θ sen θ + i cos θ sen θ + i sen θ sen θ ) Agrupando convenientemente, temos: cos( θ + θ ) z z = ρ ρ (cosθ cos θ senθ senθ) i ( senθ cosθ senθ cos θ ) sen( θ + θ) M x 7

18 Matemática Complexos, polinômios e equações algébricas Assim: z z = ρ ρ [cos (θ + θ ) + i sen (θ + θ )] Podemos observar que: º) o módulo de z z é igual ao produto dos módulos de z e z ; º) o argumento de z z é igual à soma dos argumentos de z e z. Exemplo Calcular o produto dos números complexos z = (cos 50 + i sen 50 ) e w = (cos 0 + i sen 0 ). z w = [cos ( ) + i sen ( )] Assim: z w = 6 (cos 70 + i sen 70 ) Importante Se tivermos n fatores, poderemos verificar que: Exemplo Calcular o produto dos números complexos: π π z = + i sen cos 6 6 π π z = + i sen cos π π z = 5 cos + i sen z z z = 5 cos + + π π π 6 + π π π + i sen Assim: z z z = 0 [cos π + i sen π] z z... z n = ρ ρ... ρ n [cos (θ + θ θ n ) + i sen (θ + θ θ n )] D. Divisão Consideremos os números complexos não nulos: z = ρ (cos θ + i sen θ ) z = ρ (cos θ + i sen θ ) A divisão de z por z ficará: z ρ(cos θ + i sen θ) ρ(cos θ i sen θ) = z ρ(cos θ + i sen θ) ρ(cos θ i sen θ) z ρρ (cos θ cos θ i sen θ cos θ + i sen θ cos θ i sen θ sen θ) = z ρ (cos θ + sen θ ) z ρρ (cos θ cos θ + sen θ sen θ + i( sen θ cos θ sen θ cos θ) = z ρ(cos θ + sen θ ) Logo: z z ρ [ ) ] ρ = cos( θ θ ) + i sen ( θ θ Podemos observar que: º) o módulo de z é igual ao quociente z dos módulos de z e z ; º) o argumento de z é igual à diferença z dos argumentos de z e z. Exemplo Calcular o quociente dos números complexos z = 6 (cos 70 + i sen 70 ) e w = (cos 0 i sen 0 ). z 6 = [ cos ( 70 0 ) + i sen ( 70 0 )] w Assim: z = (cos 50 + i sen 50 ) w PV-- 8

19 Complexos, polinômios e equações algébricas Matemática E. Potenciação Sendo z = ρ (cos θ + i sen θ) e n um número natural não nulo, temos: zn = z z z... z n fatores z n = ρ ρ... ρ [cos (θ + θ θ) + + i sen (θ + θ θ)] Assim, z n = ρ n [cos(n θ) + i sen (n θ)] é conhecida como a ª fórmula de Moivre. Podemos observar que: º) o módulo de z n é igual ao módulo de z elevado ao expoente n; º) o argumento de z n é igual ao argumento de z multiplicado por n. Exemplos º) Dado z = + i, calcular z6. ρ = + = + = a cos θ = = = ρ b sen θ = = = ρ π θ = rad Assim: π π z = + i sen cos π π z6 = 6 + i sen cos 6 6 z 6 = (cos π + i sen π) z 6 = ( + i 0) z 6 = EXERCÍCIOS RESOLVIDOS PV-- 0. Dados os números complexos z = 8 (cos i sen 75 ) e w = (cos 5 + i sen 5 ), podese dizer que: a. z w = 6 z b. = + i w z c. = ( sen 60 + i cos 60 ) w d. z w = 6i z 8 = (cos( 75 5 ) + i sen( 75 5 ) w = 60 + i sen 60 = (cos ) + i = [ ] = = ( + i) = + i Resposta B 0. Dado z = cos π π + i sen, calcular z. 6 Sabendo que z n = ρ n (cos n θ + i sen n θ) z z z z z π π = cos i sen = cos ( π) + ( ) 6 i sen π = ( cos 0 + i sen 0) 6 = ( + i ) 6 0 = Resposta z 6 = 6 9

20 Matemática Complexos, polinômios e equações algébricas 0. Determinar o menor valor de n *, tal que ( i) n seja real. Sendo z = i ρ = ( ) + ( ) = = a cos θ = = ρ b sen = = θ = θ ρ Assim: 7π z = + i sen cos π 7 7π 7π zn = n cos n i sen n + π 7 Para que z n seja real, devemos ter: Im (z n ) = 0 Assim: sen n 7π n = kπ Então: n 7 π = 0 7 = k, k Se n é natural, devemos ter que n seja múltiplo de. Então, o menor valor de n é: n = 0. Sendo z = cos θ + i sen θ, obtenha as fórmulas de sen (θ) e cos (θ) utilizando a fórmula de Moivre. Sabemos que: (cos θ + i sen θ) n = (cos(nθ) + isen(nθ)) Fazendo n =, temos: (cos θ + i sen θ) = (cos θ + i sen θ) (cos θ + i sen θ) = = cos θ + cos θ i sen θ + i sen θ (cos θ + i sen θ ) = = (cos θ sen θ) + i sen θ cos θ Então: (cos θ + i sen θ) = = (cos θ sen θ) + i sen θ cos θ Igualando as partes reais e imaginárias, obtemos: cos θ = cos θ sen θ e sen (θ) = sen θ cos θ PV-- 0

21 Complexos, polinômios e equações algébricas Matemática CAPÍTULO 0 POLINÔMIOS. Introdução Vimos, anteriormente, as funções do º grau (f(x) = ax + b) e as funções do º grau (f(x) = ax + bx + c). Tais funções possuem relativa facilidade ao serem manipuladas e estudadas. Em uma tentativa de se generalizarem funções que tivessem características semelhantes às funções do º e do º grau, desenvolveu-se uma classe de funções especiais denominadas polinômios.. Polinômios definição A. Monômios Toda expressão da forma ax n, com a (complexos), x e n, recebe o nome de monômio. Nomenclatura a é denominado coeficiente. x é denominado variável. n é denominado grau, quando a 0. polinômio da forma a k x k é também chamado de termo polinômio. Quando a n é não nulo, dizemos que o polinômio tem grau n e indicamos por G(P(x)) = n. Exemplos a. Toda função constante, não nula, é um polinômio de grau 0. b. Toda função afim e não constante é um polinômio de grau. c. Toda função quadrática é um polinômio de grau. C. Valor numérico de um polinômio Dizemos que o resultado das operações a n α n + a n α n + a n α n a α + a α + a α + a 0, que indicamos por P(α), é o valor numérico do polinômio P(x) = a n x n + a n x n + a n x n a x + a x + a x + a 0, para x = α. PV-- Ao atribuirmos um valor α à variável x e efetuarmos as operações matemáticas, teremos um resultado denominado valor numérico do monômio para x = α. Por exemplo: considere o monômio x. Se substituirmos 5 no lugar da variável x, teremos as seguintes operações: 5, cujo resultado é 50. Dizemos então que 50 é o valor numérico do monômio x quando x = 5. B. Polinômios Quando conseguirmos organizar um ou mais monômios na forma: P(x) = a n x n + a n x n + a n x n a x + a x + a x + a 0, formamos um polinômio ou função polinomial, ou função racional inteira. Os números complexos a n, a n, a n,..., a, a, a, e a 0 são denominados coeficientes do polinômio e a 0 é também chamado de coeficiente independente ou termo independente. O complexo x é a variável ou incógnita. Cada Exemplo Considere o polinômio P(x) = x + x 5x 7. Calcular os seguintes valores numéricos: a. P(0) b. P() I. P(0) = = = = 7 II. P() = = = = 8 Analisando esse exemplo, podemos enunciar duas importantes propriedades: I. P(0) fornece o termo independente do polinômio. II. P() fornece a soma dos coeficientes do polinômio. Observação A princípio, são óbvias essas propriedades, mas, se encontrarmos polinômios na forma fatorada, tais propriedades podem se tornar bastante úteis.

22 Matemática Complexos, polinômios e equações algébricas D. Raiz ou zero de um polinômio Dizemos que α é uma raiz ou zero de um polinômio quando seu valor numérico é igual a zero, isto é, quando P(α) = 0. Exemplo Considere o polinômio P(x) = x x. Calcule P(). P() = = 6 = 0 Como P() é igual a zero, dizemos que é uma raiz do polinômio. Observação Métodos para encontrar raízes de polinômios serão estudados posteriormentes, porém é importante se acostumar com esse conceito desde as primeiras definições. E. Polinômio identicamente nulo Um polinômio P(x) é denominado polinômio nulo quando P(x) = 0 para todo valor da variável. Indicamos o polinômio nulo por P(x) 0. Na prática, dizemos que um polinômio é nulo quando todos os seus coeficientes são iguais a zero. Observação Não se define grau de polinômio nulo. Exemplo P(x) = 0x + 0x + 0 é identicamente nulo. F. Polinômios idênticos Dois polinômios, P(x) e Q(x), são chamados de polinômios idênticos se P(x) = Q(x), para todos os valores de x. Quando dois polinômios são idênticos, usamos a notação P(x) Q(x), leia-se P(x) idêntico a Q(x). Na prática, tal definição não é eficaz, então é preferível utilizar a seguinte propriedade: P(x) Q(x) se, e somente se, G(P(x)) = G(Q(x)) e todos os coeficientes correspondentes são iguais. Observação dizemos que dois coeficientes são correspondentes quando são coeficientes de variáveis que possuem expoentes iguais. Por exemplo, o coeficiente do termo que possui x em P(x) é correspondente ao coeficiente do termo que possui x em Q(x). Exemplo Calcular a, b e c para que os polinômios sejam idênticos: P(x) = ax + (b + )x + (c )x 5 M(x) = x + x 5 Devemos ter: ax + (b + )x + 0x + (c )x 5 0x + x + + 0x + x 5 para x. Assim: a = 0; b + = e c = ou seja: a = 0; b = e c = 6 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 0. Se P(x) = x + ax + b, P() = e P( ) = 8, então P() é: a. b. c. d. e. 5 P( ) = + a + b = a + b =... ( ) P( ) = ( ) + a ( ) + b = 8 a + b =... ( ) De () e (), temos a = 7 e b = 0. Assim, P(x) = x 7x + 0. Portanto, P() = = 5 Resposta E PV--

23 Complexos, polinômios e equações algébricas Matemática PV-- 0. UFRGS-RS Se P(x) é um polinômio de grau 5, então o grau de [P(x)] + [P(x)] + P(x) é: a. b. 8 c. 5 d. 0 e. 0 gr(p(x)) = 5 gr[p(x)] = 5 = 5 gr[p(x)] = 5 = 0 gr[p(x)] = 5 Temos então três polinômios de graus diferentes. Logo, para gr{[p(x)] + [P(x)] + P(x)}, o grau será o do polinômio de maior grau, ou seja, 5. Resposta C 0. UFPA Dos polinômios abaixo, qual o único que pode ser identicamente nulo? a. a x + (a )x (7 b)x b. (a + )x + (b )x + (a ) c. (a + )x (a )x d. (a )x (b + )x + (a ) e. a x ( + b)x 5x a. Não, pois a e a não podem ser, simultaneamente, iguais a zero. b. Não, pois a + e a não podem ser, simultaneamente, iguais a zero. c. Não, pois a + e a não podem ser, simultaneamente nulos. e. Não, pois o termo do º grau tem coeficiente não nulo. O polinômio do item d será nulo quando a = e b =. Resposta D 0. Unifor-CE Sejam os polinômios f(x) = x + px + q e g(x) = (x p) (x + q), com p e q reais não nulos. Se f(x) é idêntico a g(x), então o valor de p + q é igual a: a. b. c. d. 0 e. p e q * f(x) g(x) x + px + q (x p) (x + q) x + px + q x + (q p)x pq p + ( q) = p p e q p q = q = ( ) = p + q = = Resposta A 05. PUC-SP O número de raízes reais do polinômio P(x) = (x + )(x )(x + ) é: a. 0 b. c. d. e. P(x) = (x + ) (x ) (x + ) Raízes de P(x) P(x) = 0 x + = 0 raízes complexas não reais ou x = 0 x = ou x + = 0 x = Há duas raízes Resposta C

24 Matemática Complexos, polinômios e equações algébricas. Polinômios Operações A. Adição (subtração) de polinômios Para somar ou subtrair dois polinômios, basta somar (subtrair) os termos que possuem variável com mesmo expoente. Assim, dados dois polinômios: A(x) = a n x n + a n x n a x + a x + a 0 e B(x) = b n x n + b n x n b x + b x + b 0, chamamos de soma de A e B o único polinômio S, tal que S(x) = A(x) + B(x). Esse polinômio é: S(x) = (a n + b n )x n + (a n + b n )x n (a + + b )x + (a + b )x + (a 0 + b 0 ) Exemplo Dados os polinômios A(x) = x x + e B(x) = x x + x +, obter o polinômio S(x), tal que S(x) = A(x) + B(x). Observemos que: A(x) = 0x + x x + e B(x) = x x + x + S(x) = (0 + )x + ( )x + ( + )x + ( + ) Assim: S(x) = x x + x + A.. Propriedades Sendo A, B e C três polinômios quaisquer, são válidas as seguintes propriedades: ª A + B B + A (comutativa) ª A + (B + C) (A + B) + C (associativa) ª A + 0 A (elemento neutro) 0 indica o polinômio nulo. ª A + ( A) 0 (elemento oposto) Observação A partir da quarta propriedade, podemos definir a diferença entre dois polinômios A B como sendo a adição de A com o oposto de B. Exemplo A(x) B(x) A(x) + [ B(x)] Dados os polinômios P (x) = x x e P (x) = x + x + x + 5, obter P (x) P (x). P (x) P (x) = (x x ) (x + x +x + 5) Assim: P (x) P (x) = x + x x 5x 6 A.. Considerações sobre o grau Sendo A e B dois polinômios quaisquer, temos: º Se G A G B, o grau de A + B ou de A B ou de B A é o maior grau entre os dois polinômios A e B. Exemplo Sendo A(x) = x + x + e B(x) = x + x, temos: A(x) + B(x) = x + x + x G A = e G B = G A + B = º Se G A = G B, o polinômio A + B pode ser identicamente nulo (grau não definido) ou apresentar grau menor ou igual ao grau dos polinômios A e B (o mesmo pode ser afirmado de A B e B A). Exemplo Sendo A (x) = x + x x + e B(x) = x + x + x A(x) + B(x) = x + 6x + x G A + B = A(x) B(x) = x + G A B = B. Multiplicação de polinômios B.. Definição Dados dois polinômios: A(x) = a n x n + a n x n a x + a x + a 0 e B(x) = b m x m + b m x m b x + b x + b 0, chamamos de produto de A e B o único polinômio P, tal que P(x) A(x) B(x). Este polinômio é obtido multiplicando-se cada termo de A por todos os termos de B, isto é: P(x) = (a n b m )x n+m + (a n b m + a n b m )x n+m (a b 0 + a 0 b )x + (a 0 b 0 ) Observação Na multiplicação, deve-se ficar atento à propriedade distributiva. PV--

25 Complexos, polinômios e equações algébricas Matemática PV-- Exemplo Dados os polinômios A(x) = x x + e B(x) = x x +, obter o polinômio P(x), tal que P(x) A(x) B(x). P(x) = x (x x + ) x(x x + ) + + (x x + ) P(x) = x 5 x + x x + 9x 9x + x 6x + 6 P(x) = x 5 6x + x x 9x + 6 B.. Propriedades Sendo A, B e C três polinômios quaisquer, são válidas as seguintes propriedades: ª A B B A (comutativa) ª A (B C) (A B) C (associativa) ª A (B + C) A B + A C (distributiva) B.. Considerações sobre o grau Sendo A e B dois polinômios não nulos, o grau do produto A B é a soma dos graus dos polinômios A e B. G A B = G A + G B No caso de um dos polinômios A ou B ser identicamente nulo, o produto A B é identicamente nulo (o grau não é definido). Exemplo G A = 5 e G B = G A B = 8 C. Divisão de polinômios A divisão de polinômios tem sua principal ideia na divisão de números inteiros. Considere a divisão inteira: Na divisão acima, o número 7 é chamado dividendo, o número 6 é chamado de divisor, 7 é o quociente e 5 é o resto. A divisão dos inteiros é efetuada corretamente se for válido o algoritmo da divisão: dividendo = (divisor) (quociente) + resto, em que o resto é o número não negativo menor que o divisor. Na divisão anterior, de fato temos: 7 = e 5 < 6. C.. Divisão de polinômios Para dividir um polinômio P(x) por um polinômio D(x), devemos encontrar dois polinômios Q(x) e R(x), satisfazendo o algoritmo da divisão. Dividendo Divisor Resto Quociente P( x) D( x) R( x) Q( x) P(x) = D(x) Q(x) + R(x), com G(R(x)) < G(D(x)) ou R(x) 0. Nesta última situação, dizemos que P(x) é divisível por D(x) ou D(x) é um divisor de P(x). C.. Divisão pelo método das chaves É um método bastante prático que envolve alguns passos. º passo: divide-se o termo de maior grau do dividendo pelo termo de maior grau do divisor para achar o termo de maior grau do quociente. º passo: multiplicamos o termo encontrado no primeiro passo por todos os termos do divisor, levando os resultados, com sinais trocados, abaixo do dividendo, tomando o cuidado de colocar o termo de mesmo grau abaixo de termo de mesmo grau, para trabalhar de forma organizada e evitar, ou pelo menos minimizar, possíveis erros. Efetue a soma e aparecerá um polinômio que será candidato ao resto. º passo: se o grau do polinômio candidato ao resto for menor que o grau do divisor, a divisão terminou. Caso contrário, deverá ser efetuada nova divisão, de modo semelhante aos passos anteriores. A divisão termina quando o resto tiver menor grau que o divisor ou ele for o polinômio identicamente nulo. Exemplo Dividir o polinômio P(x) = 6x + 8x 6x + pelo polinômio D(x) = x x +, usando o método das chaves. 5

26 Matemática Complexos, polinômios e equações algébricas ª etapa: dividir o termo de maior grau do dividendo pelo termo de maior grau do divisor, isto é, dividir 6x por x. O resultado dessa divisão é 6x. 6x + 8x 6x + x x + 6x ª etapa: multiplicar todos os termos de D(x) por 6x e levar os resultados obtidos, com sinais trocados, abaixo do dividendo, de forma organizada, e efetuar a soma dos termos correspondentes, não sendo necessário escrever os resultados nulos. Simplesmente abaixe os termos do dividendo que aparentemente não têm correspondente, como se estivesse somando tais termos com termos nulos. 6x + 8x 6x + x x + 6x x + 6x 6x x + ª etapa: o candidato ao resto é o polinômio x +, que possui grau igual ao grau do divisor, portanto a divisão deve continuar. Dividir o termo x, termo de maior grau do candidato ao resto, por x, termo de maior grau do divisor. O resultado é, que é o próximo termo do quociente. 6x + 8x 6x + x x + 6x x + 6x 6x x + ª etapa: repetir a ª etapa para a nova situação. 6x + 8x 6x + x x + 6x x + 6x 6x x + x 8x + 8x + 8 Nessa etapa, o último polinômio encontrado ( 8x + 8) possui grau menor que o divisor e, portanto, a divisão está encerrada. Dividendo: P(x) = 6x + 8x 6x + Divisor: D(x) = x x + Quociente: Q(x) = 6x Resto: R(x) = 8x + 8 C.. Considerações sobre o grau Sendo A e B dois polinômios não nulos, o grau do quociente Q(x) é a diferença entre os graus dos polinômios A e B, e o resto, se não for nulo, terá grau menor que o grau de B(x). C.. O método de Descartes Vamos dividir, por exemplo, o polinômio A(x) = x 8x + 7x 5 por B(x) = x x + pelo método de Descartes, também conhecido como método dos coeficientes a determinar. ª etapa Estimamos quem serão o quociente Q(x) e o resto R(x) da divisão, lembrando que: G Q = G A G B =, e, se o resto não for nulo, G R < G B. Assim: Q(x) = ax + b e R(x) = cx + d ª etapa Como A(x) B(x) Q(x) + R(x), temos: x 8x + 7x 5 (x x + ) (ax + b) + cx + d x 8x + 7x 5 ax + ( a + b)x + (a b)x + + b + cx + d, ou seja: x 8x + 7x 5 ax + ( a + b)x + (a b + + c)x + (b + d) ª etapa Estabelecemos a igualdade dos coeficientes dos termos correspondentes. ª etapa a = a + b = 8 a b + c = 7 b + d = 5 Resolvemos o sistema e encontramos: a = ; b = ; c = 7 e d = 7. Então, Q(x) = x e R(x) = 7x + 7 PV-- 6

27 Complexos, polinômios e equações algébricas Matemática EXERCÍCIOS RESOLVIDOS PV-- 0. UEA-AM Qual é o resto da divisão do polinômio x + por x +? a. x d. b. e. x c. 0 x + 0x + 0x + 0x + x 0x + x x x x + 0x + x Q( x) = x e Resto =. Resposta D 0. UFG-GO + + Na divisão do polinômio P(x) = ax + bx + cx + d pelo polinômio D(x) = x + encontra-se para quociente o polinômio Q(x) = x e para resto o polinômio R(x) = x +. Então, P(x) é o polinômio: a. x x + x + b. x x + c. x x + d. x x + x ax + bx + cx + d x + x + x ax + bx + cx + d = (x )(x + ) + ( x + ) ax + bx + cx + d = x + x x x + ax + bx + cx + d = x x + x Portanto, P(x) = x x + x Resposta D 0. Dados os polinômios P(x) = x 5 x + x 0x + 0 e D(x) = x + x, efetuar a operação P(x) D(x). x5 x + x 0x + 0 x + x x5 8x + 6x x 8x + 6x 5 8x 6x + x 0x + 0 8x + x x 6x + 9x 0x + 6x x + 8x 0. ITA-SP 0 5x x + 0 5x + 0x 5 x + 5 resto quociente Os valores de α, β e γ que formam o polinômio P(x) = x 5 + x x + αx + βx + γ divisível por Q(x) = x + x x + satisfazem as desigualdades: a. α > β > γ b. α > γ > β c. β > α > γ d. β > γ > α e. γ > α > β x5 + x x + αx + βx + γ x + x x + x5 x + x x x + x + ( α ) x + βx + γ x x + x ( α ) x + ( β + ) x + ( γ ) Como P(x) deve ser divisível por Q(x), temos: ( α ) x + ( β + ) x + ( γ ) = 0 α = 0 α = β + = 0 β = γ = 0 γ = Assim, α > γ > β Resposta B 7

28 Matemática Complexos, polinômios e equações algébricas C.5. Dispositivo prático de Briot-Ruffini Quando, em uma divisão de polinômios, o divisor for do primeiro grau na forma (x a), há um método bastante eficiente denominado dispositivo prático de Briot-Ruffini. Exemplo de aplicação de Briot-Ruffini Dividir o polinômio P(x) = 5x x + x 70 pelo polinômio do primeiro grau D(x) = x +. º passo: em uma linha horizontal, escrever a raiz do divisor e, em seguida, todos os coeficientes do dividendo, inclusive os coeficientes nulos, caso existam. Usar um pequeno segmento vertical para separar a raiz dos coeficientes. Raiz do divisor 5 70 º passo: repetir o primeiro coeficiente de P(x) em uma segunda linha abaixo da primeira, conservando seu posicionamento. Este será o primeiro coeficiente do quociente Q(x) º coeficiente º passo: multiplicar o º coeficiente da ª linha pela raiz do divisor e somar o produto com o próximo coeficiente, colocando o resultado na ª linha, à direita do coeficiente anterior. Este será o segundo coeficiente de Q(x) x ( ) + ( ) = 8 º passo: repetir o passo anterior com este coeficiente e com os demais que surgirão º passo: quando o processo terminar, o último número da ª linha é o resto da divisão e os números anteriores serão os coeficientes do quociente em ordem decrescente de expoente Resto Assim, temos: Dividendo: P(x) = 5x x + x 70 Divisor: D(x) = x + Quociente: Q(x) = 5x 8x + 0 Resto: R(x) = 80 C.6. Briot-Ruffini para o binômio ax + b (a 0, b 0 e a ) P( x) = ( ax + b) Q( x) + r b P( x) = a x + Q( x) r a + b P( x) = x + a a Q( x) + r Fazendo Q (x) = a Q(x), temos: b P( x) = x + Q ( x) r a + Assim, aplicando o dispositivo de Briot-Ruffini para x + b a, obtemos Q (x) e r, em que r também é o resto na divisão por (ax + b) e a Q ( x ) é o quociente na divisão por (ax + b) Exemplo Dividir P(x) = x x + 6x por (x ) Q ( x) R( x) Assim: Q( x) = Q ( x) = x x Q( x) = x x + e R( x) = PV-- 8

29 Complexos, polinômios e equações algébricas Matemática EXERCÍCIOS RESOLVIDOS PV-- 0. Efetuar, utilizando o dispositivo prático de Briot-Ruffini, a divisão do polinômio P(x) = x + + x 7x + por D(x) = (x ). Assim, temos: Quociente: Q(x) = x + 6x x Resto: R(x) = 0. Unifor-CE modificado Dividindo-se o polinômio P(x) = x x + x pelo polinômio D(x) = x, encontra-se o quociente q e o resto r. Dividindo-se q por D(x), encontra-se: a. quociente x +. b. resto 0. c. quociente x. d. resto. e. quociente x. Para dividir P(x) por D(x), vamos usar o dispositivo prático de Briot-Ruffini. C.7. Teorema do resto q = x x + e r = Para dividir q por D(x), usamos novamente Briot-Ruffini. 0 O novo quociente é q (x) = x + 0 = x e o resto é r =. Resposta E 0. Obter o quociente e o resto da divisão de P(x) = x 5 x x + 6 por (x + ) Assim, temos: 7 Quociente: Q(x) = x x + 7x x + Resto: R(x) = Considere um polinômio do primeiro grau d(x), em que α é sua raiz, isto é, d(α) = 0. O resto da divisão de um polinômio P(x) por d(x) é igual a P(α). De fato: P( x) d( x) R Q( x) P(x) = d(x) Q(x) + R, observar que R é nulo ou tem grau zero, de qualquer forma será uma constante. P(α) = d(α) Q(α) + R P(α) = 0 Q(α) + R P(α) = R Calcular o resto da divisão de P(x) = x + x + + x 6 por x +. x + = x ( ) Então: r = P( ) r = ( ) + ( ) + ( ) 6 r = 6 9

30 Matemática Complexos, polinômios e equações algébricas C.8. Teorema de D'Alembert Observação Se o resto for nulo, dizemos que P(x) é indivisível por d(x) ou d(x) é um divisor de P(x). Teorema de D'Alembert: P(x) é divisível por d(x) se e somente se P(α) = 0. Exemplo Determine k para que o polinômio P(x) = kx + x + x seja divisível por (x + ). Devemos ter: P( ) = 0 Assim: k ( ) + ( ) + ( ) = 0 Então, k = 7. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 0. Qual o resto da divisão de P(x) = x 0 x por (x )? R = P() = 0 = Resposta R = 0. PUC-MG O polinômio P(x) = x kx +5x + 5x + k é divisível por x. Então, o valor de k é: a. b. - d. 9 P(x) = x kx +5x + 5x + k P(x) divisível por (x ) P() = 0 k k = 0 k k = 0 k = Resposta A 0. FEI-SP c. 5 Se P(x) = x x x x 5 x 6 : a. P(x) é divisível por (x ). b. P(x) é divisível por (x + ). c. o resto da divisão de P(x) por (x + ) é. d. o resto da divisão de P(x) por (x ) é. e. o grau de P(x) é zero. P( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) 5 ( ) 6 = 0 P( ) = 0 P(x) é divisível por (x + ). Resposta B 0. Fuvest-SP Dividindo-se o polinômio P(x) por x x +, obtêm-se quociente x + e resto x +. Nessas condições, o resto da divisão de P(x) por x é: a. b. c. 0 d. e. P( x) x x + x + x + P( x) = ( x x + ) ( x + ) + ( x + ) P( x) ( x ) R = P( ) R= ( + ) ( + ) + ( + ) = Resposta B PV-- 0

31 Complexos, polinômios e equações algébricas Matemática PV-- C.9. Divisibilidade por (x a) (x b) P(x) é um polinômio divisível por (x a) e por (x b), com a b, se e somente se P(x) for divisível por (x a) (x b). Observação Esta propriedade pode ser generalizada para um divisor do tipo d(x) = (x x ) (x x )... (x x n ), porém é preciso que se garantam os elementos x, x,..., x n distintos dois a dois. Consideremos um polinômio P(x) com grau maior ou igual a dois, que, dividido por (x a) e por (x b) apresenta restos iguais a r e r, respectivamente. Vamos calcular o resto na divisão de P(x) por (x a) (x b). Como os restos na divisão de P(x) por (x a) e por (x b) são r e r, respectivamente, temos: P(a) = r e P(b) = r. O resto na divisão de P(x) por (x a) (x b) é um polinômio R(x) = mx + n de grau no máximo igual a, já que o divisor tem grau. Assim: P(x) = (x a) (x b) Q(x) + mx + n Como P(a) = r e P(b) = r, temos: P(a) = (a a) (a b) Q(a) + m a + n = r ma + n = r P(b) = (b a) (b b) Q(b) + m b + n = r Resolvendo o sistema: m a + n = r m b + n = r, encontramos: m = r r a b Assim: m b + n = r ar br e n = a b x R ( x ) = r r ar a b + br a b Observações ª Se P(x) for divisível por (x a) e por (x b), temos: P(a) = 0 r = 0 P(b) = 0 r = Então, R x a b x a 0 b 0 ( ) = + a b, ou seja: R(x) = 0. Assim, P(x) é divisível por (x a) (x b). ª Do mesmo modo, podemos provar que, se P(x) é divisível por n fatores distintos (x a ), (x a ),..., (x a n ), então P(x) é divisível pelo produto (x a ) (x a )... (x a n ). Exemplos º Verificar se o polinômio P(x) = x x + + x é divisível por B(x) = x. Sabemos que B(x) = x = (x + )(x ); para que P(x) seja divisível por B(x) é necessário que P(x) seja divisível por (x + ) e por (x ); então devemos ter P() = 0 e P( ) = 0. P() = + = 0 P(x) divisível por (x ) P( ) = ( ) ( ) + ( ) P( ) = 0 P(x) não é divisível por (x + ). Logo, P(x) não é divisível por B(x). º Calcule a e b para que P(x) = x + x + + ax + b seja divisível por (x ) (x ). P(x) deve ser divisível por (x ) e por (x ). Então: P() = + + a + b = 0 a + b = P() = + + a + b = 0 a + b = 6 Resolvendo o sistema: a + b = a + b = 6 encontramos a = e b = 0. º Se um polinômio P(x) dividido por (x ) dá resto e dividido por (x ) dá resto, qual é o resto na divisão de P(x) pelo produto (x ) (x )? P() = e P() = O resto na divisão de P(x) por (x ) (x ) é um polinômio R(x) = ax + b, pois se o divisor tem grau, o resto, no máximo, terá grau.

32 Matemática Complexos, polinômios e equações algébricas Assim: P(x) = (x ) (x ) Q(x) + ax + b P() = ( ) ( ) Q() + a + b = a + b = P() = ( ) ( ) Q() + a + b = a + b = Resolvendo o sistema: a + b = a + b = encontramos a = e b =. Assim: R(x) = x +. C.0. Divisões sucessivas Consideremos um polinômio P(x) divisível por B(x) = (x a) (x b), e que o quociente na divisão de P(x) por B(x) é um polinômio Q(x). Assim: Q ( x) P( x) = ( x a)( x b) Q( x) P(x) é divisível por (x a) e o quociente na divisão de P(x) por (x a) é Q (x) = (x b) Q(x). Então, Q (x) é divisível por (x b) e o quociente na divisão de Q (x) por (x b) é Q(x). Portanto, Q(x) é o quociente na divisão de P(x) por (x a) (x b). Esquematicamente: P (x) (x a) (x b) 0 Q (x) Reciprocamente, temos: P (x) x a 0 Q (x) e Q (x) x b 0 Q(x) Se P(x) é divisível por (x a) e o quociente Q (x), da divisão de P(x) por (x a), é divisível por (x b), então concluímos que P(x) é divisível pelo produto (x a) (x b). Além disso, o quociente na divisão de P(x) por (x a) (x b) é igual ao quociente na divisão de Q (x) por (x b). P (x) x a 0 Q (x) e Q (x) x b 0 Q(x) P (x) (x a) (x b) 0 Q (x) Observações ª Podemos efetuar essas divisões sucessivas com auxílio do dispositivo de Briot-Ruffini. Exemplo Verificar se P(x) = x + x x + 0 é divisível por (x ) (x ). Dividimos sucessivamente P(x) por (x ) e o quociente encontrado por (x ). 0 Como P(x) é divisível por (x ) e o quociente nesta divisão é divisível por (x ), concluímos que P(x) é divisível por (x ) (x ). º No caso particular, se b = a, as divisões sucessivas permitem verificar se P(x) é divisível por (x a), (x a) etc. Exemplo Calcular a e b para que P(x) = x + x + ax + b seja divisível por (x ). Dividimos P(x) por (x ), e o quociente encontrado também dividimos por (x ). Os restos nas duas divisões devem ser nulos. 0 a b a + a + 6 a + + b Devemos ter: a + 6 = 0 a + + b = 0 Resolvendo o sistema, encontramos: a = 6 e b = PV--

33 Complexos, polinômios e equações algébricas Matemática EXERCÍCIOS RESOLVIDOS PV-- 0. ITA-SP modificado Um polinômio P(x) dividido por x + dá resto 0 e por x também dá resto 0. Qual será o resto da divisão de P(x) por (x + ) (x )? P(x) dividido por (x + ) tem resto 0 P( ) = 0 P(x) dividido por (x ) tem resto 0 P() = 0 P( x) ( x + ) ( x ) R( x) = ax + b Q( x) P(x) = (x + ) (x ) Q(x) + (a x + b) P( ) = ( + ) ( ) Q( ) + (a ( ) + b) = 0 P( ) = (0) ( + ) Q( ) + (a ( ) + b) = 0 a + b = 0 (I) P() = ( + ) ( ) Q() + (a () + b) = 0 P() = ( + ) (0) Q() + (a () + b) = 0 a + b = 0 (I) e (II): (II) a + b = 0 a + b = 0 Somando termo a termo, encontramos b = 0, e substituindo em (I), temos a = 0. Assim, o resto é um polinômio nulo. Resposta R(x) 0 0. Determine a e b de modo que o polinômio P(x) = x + ax + b seja divisível por (x ). 0 a b a + a + b + a + a + b + = 0 a + = 0 a = e b = 0. UFSC Um polinômio P(x) dividido por (x + ) dá resto e por (x ) dá resto 6. O resto da divisão de P(x) pelo produto (x + ) (x ) é da forma ax + b, com a, b. Obter o valor numérico da expressão a + b. P(x) (x + ) r = P( ) P( ) = P(x) (x ) r = P() P() = 6 P( x) ( x + )( x ) Q( x) R(x) = ax + b P(x) = (x + )(x ) Q(x) + ax + b P( ) = a + b = P() = 6 a + b = 6 a = e b = a + b = 5

34 Matemática Complexos, polinômios e equações algébricas CAPÍTULO 0 EQUAÇÕES ALGÉBRICAS. Introdução Achar as soluções de equações polinomiais foi um dos grandes desafios da Álgebra Clássica. As primeiras contribuições vieram com o matemático árabe AL-Khowarizmi, no século IX, com importantes conclusões sobre a resolução de equações de º e º graus. Em seus trabalhos, Al-Khowarizmi usou pela primeira vez o termo álgebra, que significa trocar de membro um termo de uma equação. Porém, apenas no século XVI, no Renascimento, é que os matemáticos italianos Girolano Cardano (50-576), Niccolo Tartaglia, ( ) e Ludovico Ferrari (5-565) começaram a propor fórmulas para resolver equações de º e º graus. No entanto, a resolução de equações de grau superior ao º ainda continua sendo um grande desafio. Em 798, em sua tese de doutoramento, o matemático alemão Carl Friedrich Gauss ( ) demonstrou que toda equação de grau n (n *) admite pelo menos uma raiz complexa, o que ficou conhecido como o Teorema Fundamental da Álgebra. Em 8, o matemático norueguês Niels Henrik Abel (80-89) demonstrou que uma equação do 5º grau não poderia ser resolvida através de fórmulas envolvendo radicais. Em 89, o jovem matemático francês Évariste Galois (8-8) demonstrou que a impossibilidade, descoberta por Abel, estendia-se a todas as equações polinomiais de grau maior que o º. As descobertas de Abel e Galois não significam, no entanto, que nunca poderemos conhecer as raízes de uma equação de grau maior que o º. Existem teoremas gerais que, associados a condições particulares, permitem que descubramos soluções de equações deste tipo.. Equações algébricas ou equações polinomiais Chamamos de equação algébrica (ou equação polinomial) toda equação que pode ser escrita na forma P(x) = 0, em que P(x) é um polinômio. Representação genérica da equação algébrica: a. P(x) = 0 ou b. a n x n + a n x n a x + a x + + a x + a 0 = 0, em que P(x) = a n x n + + a n x n +... a x + a x + a x + a 0 é um polinômio de coeficientes complexos e variável complexa. Observação 0. O grau de uma equação algébrica é o grau do polinômio P(x). 0. Não confundir a equação algébrica P(x) = 0 com o polinômio nulo P(x) 0, quando P(x) é nulo para todos os valores de x.. Raiz ou solução de uma equação algébrica O número complexo α é uma raiz da equação P(x) = 0 se e somente se a igualdade P(α) = 0 for verdadeira. Exemplo Na equação x 5 + x + x + x + x 5 = 0, o número (um) é uma raiz, pois = 0 é verdadeiro. A. de equação algébrica Resolver uma equação algébrica P(x) = 0 é encontrar o seu conjunto solução, isto é, o conjunto constituído de todas as raízes da equação. Exemplos º Resolver a equação x x + x = 0 x x + x = 0 x (x x + ) = 0 Então: x = 0 ou x x + = 0 x = ou x = PV--

35 Complexos, polinômios e equações algébricas Matemática PV-- Assim: S = {0,, } (conjunto solução). º Resolver a equação x + x x = 0 x (x + ) (x + ) = 0 (x + )(x ) = 0 x + = 0 x = ou x = 0 x = x = ± Assim: S = {, +, } (conjunto solução) º Resolver a equação x +x +x = 0 em. x + x + x = 0 x(x + x + ) = 0 x(x + x + ) = 0 x = 0 ou x + x + = 0 De x + x + = 0, vem: = 8 = = i = ± i x x = + i ou x = i Portanto: x + x + x = 0 x = 0 ou x = + i ou x = i Ou seja, o conjunto solução da equação é S = {0, + i, i} Observação Dizemos que duas equações são equivalentes em U quando os seus conjuntos soluções em U são iguais. B. Multiplicidade de uma raiz Quando P(x) = S(x) (x r) k e S(r) 0, dizemos que r é uma raiz de P(x) = 0 de multiplicidade k. Exemplo Quando uma equação do segundo grau tem discriminante ( ) igual a zero, dizemos que a equação tem duas raízes reais iguais ou que a raiz tem multiplicidade dois. Quando α é raiz de multiplicidade em uma equação P(x) = 0, dizemos que α é uma raiz simples de P(x) = 0. Exemplo Verificar qual a multiplicidade da raiz na equação x x + 6x 6 = 0. Resolver a equação. Dividindo P(x) = x x + 6x 6 por (x ), temos: Assim: P(x) = (x ) (x x x + 8) Dividindo Q (x) = x x x + 8 por (x ), temos: 8 0 Assim: P(x) = (x ) (x ) (x ) Como x = (x + ) (x ), temos: P(x) = (x ) (x + ) Então, é raiz tripla (multiplicidade ) da equação P(x) = 0. O conjunto solução da equação é: S = {, } C. Quando é raiz? Sabemos que, em um polinômio P(x), o valor de P() é igual à soma dos coeficientes de P(x), o que nos permite concluir: Numa equação P(x) = 0, se a soma dos coeficientes de P(x) for nula, é raiz da equação. Exemplo Resolver a equação: x x + x = 0 + = 0 é raiz da equação. Dividindo P(x) = x x + x por (x ), temos: 0 Assim: P(x) = (x ) (x x + ) 0 0 5