Prof Alexandre Assis

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1 1 1. Um bloco retangular (isto é, um paralelepípedo reto-retângulo) de base quadrada de lado 4 cm e altura 20Ë3 cm, com 2/3 de seu volume cheio de água, está inclinado sobre uma das arestas da base, formando um ângulo de 30 com o solo (ver seção lateral a seguir). Determine a altura h do nível da água em relação ao solo. Calcule a razão entre o volume do sólido CDMNPQ resultante desse segundo corte (ilustrado na figura 3) e o volume da barra de sabão original. 4. A figura abaixo corresponde à planificação de um prisma regular hexagonal de altura 2a e perímetro da base igual a 3a. 2. Um cubo de aresta 10 cm tem os quatro vértices A, B, C e D de uma de suas faces, F, sobre a superfície de uma esfera S de raio r. Sabendo que a face oposta a F é tangente à esfera S no ponto P, calcule o raio r. Justifique. Determine a distância entre os pontos P e Q no prisma. 5. Na figura a seguir, que representa um cubo, o perímetro do quadrilátero ABCD mede 8(1 + Ë2) cm. Calcule o volume do cubo em cm. 3. Uma barra de sabão ABCDEFGH, com a forma de um paralelepípedo retângulo, foi cortada pelo plano que contém os pontos C, D, F e G, como mostrado na figura 1. O sólido ABCDFG obtido foi cortado, mais uma vez, pelo plano que contém os pontos M, N, P e Q que são, respectivamente, os pontos médios das arestas AD, BC, CG e DF, como ilustrado na figura Na figura abaixo, à esquerda, representa-se um reservatório de altura h e base retangular de 2 m de largura e 3 m de comprimento e, à direita, representa-se uma das paredes frontais desse reservatório. As paredes laterais (BDEF e ACGH) são inclinadas em 45 com relação ao plano da base e as paredes frontais são perpendiculares à base do reservatório. Calcule, em decímetros, o valor da altura h necessária para que a capacidade do reservatório seja de L. Despreze a parte fracionária de seu resultado, caso exista

2 2 9. Observe as figuras a seguir. 7. Empilham-se cubos A para formar um cubo maior B, parte do qual está representada na figura a seguir. Duas pessoas querem calcular o volume de B tomando o volume de A como unidade. Uma delas procede corretamente. A outra conta com o número maior de quadrados que aparecem em cada uma das faces de B e diz que o volume é a soma dos números que obteve. Sabe-se que ambas acharam o mesmo resultado. Qual é a relação dos volumes dos cubos A e B? 8. Sendo ABCDA'B'C'D' um cubo, calcular o seno do ângulo. A figura I mostra a forma do toldo de uma barrada, e a figura II, sua respectiva planificação, composta por dois trapézios isósceles congruentes e dois triângulos. Calcule: a) a distância h da aresta åæ ao plano CDEF; b) o volume do sólido de vértices A, B, C, D, E e F, mostrado na figura I, em função de h. 10. Noticiou o Suplemento Agrícola do jornal "O Estado de São Paulo", em 6/9/95, que a Secretaria da Agricultura e Abastecimento determinou que os produtores de tomates enviem a mercadoria ao CEAGESP usando caixas, padronizadas do tipo K, cujas dimensões internas são: 495 mm de comprimento, 355 mm de altura e 220 mm de largura. Cada medida tem uma tolerância, para mais ou menos, de 3 mm. A diferença entre o volume máximo e o volume mínimo de cada caixa (em mm ) a) b) c) d) e) A diagonal da base de um paralelepípedo reto retângulo mede 8 cm e forma um ângulo de 60 com o lado menor da base. Se o volume deste paralelepípedo é 144 cm, então a sua altura mede, em centímetros:

3 3 a) 5Ë3 b) 4Ë3 c) 3Ë3 d) 2Ë3 e) Ë3 12. Na figura a seguir I e J são os centros das faces BCGF e EFGH do cubo ABCDEFGH de aresta a. Os comprimentos dos segmentos AI e IJ são respectivamente: a) aë6/2, aë2 b) aë6/2, aë2/2 c) aë6, aë2/2 d) aë6, aë2 e) 2a, a/2 O volume interno dessa caixa, em metros cúbicos, é a) 0,015 b) 0,0156 c) 0,15 d) 0,156 e) 1,5 15. O sólido representado na figura a seguir é formado por um cubo de aresta de medida x/2 que se apóia sobre um cubo de aresta de medida x. 13. Um tanque de uso industrial tem a forma de um prisma cuja base é um trapézio isósceles. Na figura a seguir, são dadas as dimensões, em metros, do prisma: O volume desse tanque, em metros cúbicos, é a) 50 b) 60 c) 80 d) 100 e) 120 O volume de sólido representado é dado por a) 9x /8 b) x /8 c) 3x d) 3x /2 e) 7x 16. Um engenheiro deseja projetar um bloco vazado cujo orifício sirva para encaixar um pilar. O bloco, por motivos estruturais, deve ter a forma de um cubo de lado igual a 80 cm e o orifício deve ter a forma de um prisma reto de base quadrada e altura igual a 80 cm, conforme as figuras seguintes. É exigido que o volume do bloco deva ser igual ao volume do orifício. 14. Uma caixa sem tampa é feita com placas de madeira de 0,5 cm de espessura. Depois de pronta, observa-se que as medidas da caixa, pela parte externa, são 51 cm 26 cm 12,5 cm, conforme mostra a figura abaixo.

4 4 É correto afirmar que o valor "L" do lado da base quadrada do prisma reto corresponde a: a) 20Ë2 cm b) 40Ë2 cm c) 50Ë2 cm d) 60Ë2 cm e) 80Ë2 cm 17. Observe a figura. Essa figura representa uma piscina retangular com 10 m de comprimento e 7 m de largura. As laterais AEJD e BGHC são retângulos, situados em planos perpendiculares ao plano que contém o retângulo ABCD. O fundo da piscina tem uma área total de 77 m e é formado por dois retângulos, FGHI e EFIJ. O primeiro desses retângulos corresponde à parte da piscina onde a profundidade é de 4 m e o segundo, à parte da piscina onde a profundidade varia entre 1 m e 4 m. A piscina, inicialmente vazia, recebe água à taxa de litros por hora. Assim sendo, o tempo necessário para encher totalmente a piscina é de a) 29 h e 30 min b) 30 h e 15 min c) 29 h e 45 min d) 30 h e 25 min 19. Nesta figura, estão representados o cubo ABCDEFGH e o prisma ACRPQO: Um prisma reto de base pentagonal foi desdobrado obtendo-se essa figura, na qual as linhas pontilhadas indicam as dobras. O volume desse prisma é: a) 6 + (9Ë3)/4 b) (45Ë3)/4 c) 30 + (9Ë3)/4 d) 30 + (45Ë3)/4 18. Observe a figura. Sabe-se que - P, Q e R são, respectivamente, os pontos médios das arestas AE, CG e CD; - o ponto O é o centro da face CDHG; e - o volume do prisma ACRPQO é 24 cm. Então, é CORRETO afirmar que o comprimento de cada aresta desse cubo é a) 4. Ë2 cm. b) 2. Ë3 cm. c) 4. Ë3 cm. d) 2. Ë2 cm.

5 5 20. De um paralelepípedo reto-retângulo com dimensões x, 3x e 6x, são removidos dois cubos de aresta x, como indicado na figura. Qual o comprimento da aresta do cubo cujo volume é igual ao do sólido resultante? 22. Observe o bloco retangular da figura 1, de vidro totalmente fechado com água dentro. Virando-o, como mostra a figura 2, podemos afirmar que o valor de x é a) 4 Ë(2x) b) 3 Ë(2x) c) 4x d) 3 Ë(2x) e) 2 Ë(3x) 21. As embalagens abaixo, com a forma de prismas hexagonais regulares, têm a mesma capacidade de armazenamento. a) 12 cm. b) 11 cm. c) 10 cm. d) 5 cm. e) 6 cm. 23. A figura a seguir representa a planificação de um sólido. O volume deste sólido é a) 20Ë3 b) 75 c) 50Ë3 d) 100 e) 100Ë3 Sendo h = 4Ë3 cm, a = 2Ë3 cm e h = 3Ë3 cm, com relação à aresta a e à quantidade de material empregado na confecção das embalagens, abertas nas bases superiores, podemos afirmar que a) a = 4Ë3 cm e a embalagem 2 é menos econômica, pela quantidade de material empregado na sua confecção. b) a = 4 cm e a embalagem 2 é mais econômica, pela quantidade de material empregado na sua confecção. c) a = 4 cm e a embalagem 1 é mais econômica, pela quantidade de material empregado na sua confecção. d) a = 4Ë3 cm e é gasta a mesma quantidade de material, na confecção de cada embalagem. e) a = 4 cm e é gasta a mesma quantidade de material, na confecção de cada embalagem. 24. Na figura abaixo está representada a planificação de um prisma hexagonal regular de altura igual à aresta da base.

6 6 Se a altura do prisma é 2, seu volume é a) 4Ë3. b) 6Ë3. c) 8Ë3. d) 10Ë3. e) 12Ë Uma caixa de sapatos (com tampa) é confeccionada com papelão e tem as medidas, em centímetros, conforme a figura. c) o volume da pilha A é menor do que o volume da pilha B que é menor do que o volume da pilha C. d) os volumes das três pilhas são iguais. e) não existem dados suficientes no problema para decidir sobre os volumes e compará-los. 27. As arestas do cubo ABCDEFGH, representado pela figura, medem 1 cm. Sabendo-se que à área total da caixa são acrescentados 2% para fazer as dobras de fixação, o total de papelão empregado na confecção da caixa, em cm, é a) 2406 b) 2744 c) 2856 d) 2800 e) Se M, N, P e Q são os pontos médios das arestas a que pertencem, então o volume do prisma DMNCHPQG é a) 0,625 cm. b) 0,725 cm. c) 0,745 cm. d) 0,825 cm. e) 0,845 cm. 28. Considere o sólido resultante de um paralelepípedo retângulo de arestas medindo x, x e 2x, do qual um prisma de base quadrada de lado 1 e altura x foi retirado. O sólido está representado pela parte escura da figura. Três crianças estavam brincando na biblioteca da escola e resolveram fazer pilhas de mesma altura, com livros, conforme a figura. A mais organizada fez a pilha A, e as outras duas fizeram as pilhas B e C. Considerando-se que todos os livros têm a mesma área de capa e que as pilhas têm a mesma altura, pode-se afirmar que a) o volume da pilha A é maior do que o volume da pilha C. b) os volumes das pilhas B e C são iguais e maiores do que o volume da pilha A. O volume desse sólido, em função de x, é dado pela expressão: a) 2x - x. b) 4x - x. c) 2x - x. d) 2x - 2x. e) 2x - 2x.

7 7 29. segue do Teorema de Pitágoras que r = x Como r + x = 10, temos r = (10 - r) + 50 = r + r Portanto, 20r = 150 e r = 7, 5 cm. 3. 1/8 4. aë Na fabricação da peça acima, feita de um único material que custa R$ 5,00 o cm, deve-se gastar a quantia de: a) R$ 400,00 b) R$ 380,00 c) R$ 360,00 d) R$ 340,00 e) R$ 320, Um paralelepípedo reto-retângulo tem arestas medindo 5, Ë3 e 1, como mostra a figura abaixo. Os pontos P e Q são os centros das faces EFGH e CDHG, respectivamente dm 7. 1/ d = Ë6/3 9. a) h = 0,8 m b) V = 8h 10. [C] 11. [C] 12. [B] 13. [D] 14. [A] Se AQ = x, AP = y e PQ = z, então a) x + y + z = 8 b) x + y + z < 9 c) x + y + z > 12 d) z < y < x e) x < y < z GABARITO cm 2. Seja O o centro da esfera. Então AO = OP = r. Seja P' a projeção do segmento OP sobre a face F. Se denotarmos por x o comprimento do segmento OP', 15. [A] 16. [B] 17. [D] 18. [C] 19. [C] 20. [A] 21. [B] 22. [A] 23. [B]

8 8 24. [E] 25. [C] 26. [D] 27. [A] 28. [C] 29. [B] 30. [D]

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