Universidade Nove de Julho UNINOVE

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1 Universidade Nove de Julho UNINOVE Material de apoio Material elaborado por: Professora Marcia Terezinha dos Reis Santos Professora Nadya Aparecida de Ávila Professor Paulo Sergio Pereira da Silva Professor Sérgio Rollo dos Santos Professora Simone Santana São Paulo, 011

2 APRESENTAÇÃO Caro aluno, Ao longo de nossa vida acadêmica, são grandes as novidades e os desafios que se colocam diante de nós. As relações entre professores e alunos são mediadas por linguagens e regras específicas, diferentes daquelas que aprendemos a decifrar e a empregar em nossa vida escolar e profissional. Esse universo desconhecido desperta, a um só tempo, curiosidade e temor. A final será que conseguiremos dominar todas essa novidades e sobreviver a eles? Esse material foi elaborado com o intuito de lhe apresentar algumas dessas normas e linguagens e, assim, ajudá-lo a desvendar parte desse universo desconhecido. Espero, com as dicas que seguem, oferecer-lhe algumas ferramentas úteis para o seu desenvolvimento profissional e a acadêmico. Não pretendo fazer com que você domine todo esse instrumental logo de saída, longe disso. Você só aprenderá tudo o que aqui está contido à medida que for empregando cada uma das ferramentas. No início lhe parecerão complexas, com o passar do tempo você aprenderá a decodificá-las e a utilizá-las corretamente, de modo que elas passarão a fazer parte tanto do seu vocabulário quanto de seu repertório de práticas. O objetivo deste material é preparar o discente para a vida acadêmica, despertando-lhe o desejo de aprimorar seus conhecimentos, de conhecer, pesquisar e investigar os mais diferentes aspectos da realidade em que vive ou que venha a participar socialmente. Este material tem como objetivo principal mostrar, de forma clara, por meio de exemplos práticos, os conceito de matemática financeira e suas aplicações, e utiliza para isso uma metodologia objetiva e de fácil compreensão. Vele salientar que este material faz parte de um conjunto de textos, baseados em livros, e apostilas, que foram e continuam sendo aprimorados com o tempo, pelo autor. Este material serve como complemento para o aluno a fim de facilitar a sua compreensão, dessa forma, não substitui, em hipótese alguma, a pesquisa em livros específicos. Os autores, Todos os direitos reservado e protegidos pela Lei de 19/0/98. Nenhuma parte desta apostila, sem autorização prévia por escrito dos autores, poderá ser reproduzida ou transmitida sejam quais forem os meios empregados: eletrônicos, mecânicos, fotográficos, gravação ou quaisquer outros.

3 EXPRESSÕES NUMÉRICAS 3 As expressões numéricas são expressões matemáticas que envolvem números. Devemos lembrar de que existe uma ordem para resolvermos qualquer expressão numérica. Resumidamente: 1) Parênteses ( ) ) Colchetes [ ] 3) Chaves { } 4) Potência ou Radiciação 5) Multiplicação 6) Soma ou Subtração Veja o exemplo abaixo: [6 + (9 / 3). ( ) (40 : 8-3)] / (5 3) [ (4 + 16) - 1. (5-3)] / [ (0) - 1. ] / [ ] / 64 / 3 EXPRESSÕES ALGÉBRICAS São expressões matemáticas que apresentam letras e podem conter números. São também denominadas expressões literais. Exemplos A = a + 7b B = (3c + 4) 5 C = 3c + 4 As letras nas expressões são chamadas variáveis o que significa que o valor de cada letra pode ser substituída por um valor numérico. Prioridade das operações numa expressão algébrica Nas operações em uma expressão algébrica, devemos obedecer a seguinte ordem: Potenciação ou Radiciação Multiplicação ou Divisão Adição ou subtração 3

4 Observações: Marcia Terezinha dos R. Santos, Nadya Aparecida de Ávila, Paulo Sergio P. da Silva, Sérgio R. dos Santos e Simone Santana - 4 Antes de cada uma das três operações citadas anteriormente, deve-se realizar a operação que estiver dentro dos parênteses, colchetes ou chaves. A multiplicação pode ser indicada por x ou por um ponto (. ) ou às vezes sem sinal, desde que fique clara a intenção da expressão. Muitas vezes devemos utilizar parênteses quando substituímos variáveis por valores negativos. Consideremos P = A+10 e tomemos A = 5. Assim P = (5) + 10 P = P = 0 Aqui A é a variável da expressão, 5 é o valor numérico da variável e 0 é o valor numérico da expressão indicada por P. Observe que ao mudar o valor de A para 9, teremos: A = (9) + 10 A = A = 8 Quando A = 9, o valor numérico de P = A+10 é igual a 8. Seja X = 4A + + B - 7 e tomemos A = 5 e B = 7. Desse modo: X = 4(5) X = X = Quando A = 5 e B = 7, o valor numérico de X = 4A + + B - 7, é igual a 8. Seja Y = 18 - C D + 8C, onde C = - e D = 1. Então : Y = 18 -(-) (-) Y = Y = Y = 14 Se C = - e D = 1, o valor numérico de Y = 18 C D + 8C, é 14. Operações Algébricas Adição e Subtração Podemos subtrair ou adicionar termos que sejam semelhantes. Ex: 7xy xy + 5xy. Os termos xy são semelhantes, portanto basta adicionar ou subtrair a parte numérica e conservar a parte literal. Solução: (7-1+5).xy = 11xy. OBS: Quando a expressão algébrica tiver sinais de associação e for precedido por um sinal negativo, devemos trocar todos os sinais de dentro dos parênteses, colchetes ou chaves. Ex: a) 8x + ( -5x) = 8x 5x = 3x b) 7x ( 4x 5) = 7x 4x + 5 = 3x + 5 4

5 E X E R C I C I O S 5 1) Calcule o valor das expressões numéricas; a) (-3) 4 (-1) + 5 = b) 15 + (-4). (+3) 10 = c) [(+0) : (-4) + 3] = d) 5 + (-3) + 1 = e) 10 + (-) 3 4 = f) 18 - (+7) + 3 = g) (-) 3 + ( 3) 5 = h) (-3). (+5) + = i) = j) 40:[(-1) 9 + (-) 3 11] = k) 10 [5 + (-) + (-1)] = l) {3 + [4 (1 -) + 3] -4} = m) 50:{-5 + [-1 (-) 5 + (-) + 3]} = n) 7 [6 (-1) 5 ] = ) Resolva as expressões algébricas: a) 5ab ab + ab = b) 3y + (-y) = c) 4xy + (-3xy) + 5xy = d) 5y + 4y 3 = e) 6a + ab + (-3a) = f) 19x 3 34x 3 + (-y) = g) 5x x 9 = h) 4x 5 y 6 6 x 5 y 6 = i) (6x 3 + x 3x + 1) + (x 3-4x + x - ) = j) (x 5-3x + ) - (4x 5 + x 3-4x + ) = Respostas: 1a)31 1h) 47 b) -7 i) 14 c)30 j) - d)15 k) 8 e) - l) -5 f) 0 m) 50/7 g)) -4 n) 46 a) 4ab f) -15x 3 y b) y g) 17x 9 c) 6xy h) -x 5 y 6 d) 9y 3 i)8x 3 x x - 1 e) 3a + ab j) -3x 5 x 3 + x 3a) A=0 b) A =-17 c) a=3 d)a = -13 3) Para as expressões a seguir se, x = e y = -3, encontre o valor de A. a) A = 3x + y b) A = -4x + 3y c) A = y + 3x d) A = -5x + y 5

6 OPERAÇÕES COM FRAÇÕES 6 * Adição e subtração com denominadores iguais Para se efetuar o cálculo com frações com denominadores iguais, siga os exemplos abaixo: 4/0 + 5/0 + 6/0 Neste caso, soma-se ou subtrai-se os numeradores e conserva-se os denominadores: Resultado da fração acima: 15/0 * Adição e subtração com denominadores diferentes Neste caso efetua-se a substituição das frações dadas por outra equivalentes, fazendo uso do cálculo do MMC dos denominadores. 1/4 + 1/ + /3 MMC (4,,3) = 1 Assim: 3/1 + 6/1 + 8/1 = 17/1 * Multiplicação de frações Os passos para se efetuar uma multiplicação de frações são simples: 1) Multiplicar o numerador, dando origem a outro númerador ) Multiplicar o denominador, dando origem a outro denominador a) /5 x 3/ =6/10 b) 4/3 x 1/5 x 1/4 =4/60 (Neste caso podemos simplificar por 4) =1/15 * Divisão de frações Para dividir uma fração deve-se multiplicar o primeiro número pelo inverso do segundo número da equação dada, ou seja, o dividendo pelo inverso do divisor. a) 3/5 /7 = 3/5 x 7/ =1/10 b) /3 1/6 = /3 x 6/1 = 1/3 (Neste caso podemos simplificar) =4 6

7 E X E R C I C I O S 7 1. Calcule os resultados das expressões a)11 + (1/ + /5) R.11 9/10 b) /3 x 4/5 R. 8/15 c)7/3 x 3/4 R. 7/4 d ) 1/ (1 +3/4) R. /7 - Quanto vale 3/4 de 480? R.360 Problemas com frações: 01 Coriolano faz um cinto com 3/5 de um metro de couro. Quantos cintos poderão ser feitos com 18 metros de couro? R. 30 cintos 0 Qual é o número cujos 4/5 equivalem a 108? R Para ladrilhar /3 de um pátio empregaram-se ladrilhos. Para ladrilhar 5/8 do mesmo pátio, quantos ladrilhos seriam necessários? R Dona Solange pagou R$ 5.960,00 por 4/7 de um terreno. Quanto pagaria por 4/5 desse terreno? R. R$ 8.344,00 05 A terça parte de um número adicionado a seus 3/5 é igual a 8. Calcule a metade desse número? R Carolina tinha R$ 175,00. Gastou 1/7 de 1/5 dessa importância. Quanto sobrou? R. R$ 170,00 07 Se dos /3 de um número subtrairmos seus 3/7, ficaremos com 45. Qual é o número? R Qual é o número que se da metade subtrairmos 8 unidades ficaremos com 1/3 dele mesmo? R Da terça parte de um número subtraindo-se 1, fica-se com 1/6 do mesmo número. Que número é esse? R.7 10 Qual é o número que retirando 48 unidades de sua metade, encontramos a sua oitava parte? R Seu Áureo tendo gasto 4/7 do dinheiro que possuía, ficou com 1/3 dessa quantia mais R$ 164,00. Quanto tinha o velho Áureo? R. R$ 1.7,00 1 A nona parte do que tenho aumentada de R$ 17,00 é igual a R$ 3,50. Quanto possuo? R. R$ 139,50 13 Argemiro tinha R$ 375,00. Despendeu /5, menos R$ 6,00; depois a terça parte do resto, mais R$ 18,00. Quanto sobrou? R. R$ 136,00 7

8 POTENCIAÇÃO 8 Expoente inteiro maior do que 1 a n = a. a. a... a n fatores 3 =.. = 8 (- 7) = (- 7). (- 7) = 49 (0,1) 3 = (0,1). (0,1). (0,1) = 0, =... = Observação: Quando a base é negativa, o sinal da potência pode ser: - Positivo, se o expoente for par; - negativo, se o expoente for ímpar. (- 3) = (- 3). (- 3) = 9 (-) 3 = (-). (- ). (-) = - 8 Expoente inteiro negativo a -n = 1. a n Sendo a um número real não-nulo e n um número inteiro. = 1 = 1 4 ( - 3) 4 = 1 = 1_ (- 3) = 3 Expoente Zero a 0 = 1 = 1 9 = Sendo a um número real não-nulo. (0,65) 0 = 1 ( - 11,6) 0 = 1 (0,333...) 0 = = 1 4 8

9 Expoente 1 Marcia Terezinha dos R. Santos, Nadya Aparecida de Ávila, Paulo Sergio P. da Silva, Sérgio R. dos Santos e Simone Santana - 9 a 1 = a (0,5) 1 = 0,5 (- 1,6) 1 = - 1, = 8 8 (0,666...) 1 = 0, PROPRIEDADES DA POTENCIAÇÃO Produto de potências de mesma base a m. a n = a m+n (0,15). (0,15) 3 = (0,15) + 3 = (0,15) 5 (0,777...) -1. (0,777...) 5 = (0,777...) -1+5 = (0,777...) 4 (-3) 7.(-3) -5 = (-3) 7+(-5) = (-3) 7-5 = (-3) Divisão de potências de mesma base ( a 0 ) a m : a n = a m n (0,19) 6 : (0,19) = (0,19) 6 = (0,19) 4 (0,333...) 7 : (0,333...) -3 = (0,333...) 7 ( - 3) = (0,333...) 7+3 = (0,333...) 10 Potência de potência [(0,3) 3 ] = (0,3) 3. = (0,3) = = 5 15 (a m ) n = a m. n Distributiva da potenciação em relação à multiplicação (. 5 ) 3 = = ( a. b ) m = a m. b m 9

10 Distributiva da potenciação em relação à divisão (b 0 ) 10 ( a : b ) m = a m : b m ( 8 : 3 ) = 8 : : = : E X E R C Í C I O S 1. Calcule as potências dos números abaixo: 3 1 a) 4 b) (-4) 3 c) (10) 3 d) e) 10 3 f). Calcule o valor de: a) 3x 3 x x + 5, para x = -1 b) c) (-1) 8 3 (-1) 5 + (-1) Utilizando as propriedades das potências, calcule: a) b) 6 4 : 6 c) 7 15 : 7 10 d) (. 3 ) 3 4. Usando as propriedades das potências, calcule o valor de: a) b) (7 5 : 7 3 ). 7 c) 3 1 d) (7. 4) 5. Sendo A = : 3, B = (8 3. 8) : 8 e C = (5 3. 5): 5 5 Determine o valor de 3A + 4B + C 6. Transforme numa só potência de base π : a) 3 π. 7 π b) 6 π : 5 4 π c) ( ) 7. Verifique se as sentenças são falsas ou verdadeiras: π d) ( π 3 4. π ) 5 a) (. 5) 3 = b) ( + 5 ) 3 = c) (17 1) = 17-1 d) 8. Calcular: a) 3 = b) (-) 3 = c) - 3 = d) (0,) 4 = e) (0,1) 3 = f) -3 = g) (-) -3 = h) - -3 = 3 1 = 3 10

11 11 i) 5 0 = -3 j) 3 = k) (0,34) 1 = l) = m) = n) = o) 5 5 = 5 p)( 3 ) 4 = q) (:5) = r) 1 = 4 s) 1 3 = 3 9. Calcule o valor da expressão para x = a) 4x 3x + 4 5x b) x + 3x + 4x 1 c) x 3 (-x 3 ) + 8x - x RESPOSTAS 1. a) 16 b)-64 c) 1/1000 d)8 e) 1000 f) 4/9. a)1 b)43 c)5 3. a) b)36 c)16807 d)16 4. a) 64 b) 401 c) 1/64 d) a) ⁴ 10 b)⁴ 11 c) ⁴ 8 d) ⁴ a)v b)f c)f d)f a) 8 l)56 a) -6 b) -8 m) ,00 b) 17 c) -8 n) ,00 c) 38 d) 0,0016 o)15 e) 0,001 p) 4096 f) 0,15 q) 0,16 g) -0,15 r) 16 h) -0,15 s) -0,037 i) 1 t) - j) 3,375 k) 0,34 11

12 PRODUTOS NOTÁVEIS 1 Os produtos notáveis são produtos de expressões algébricas utilizados com freqüência e que têm regras definidas que facilitam a sua determinação. (a + b) Quadrado da soma de dois termos. (a b) Quadrado da diferença de dois termos. (a + b).(a b) Produto da soma pela diferença de dois termos. Quadrado da soma de dois termos O quadrado da soma de dois termos a e b é indicado por (a + b). Desenvolvendo esse produto, obtemos: (a + b) = a + ab + b Ou seja: O quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo, mais duas vezes o produto do primeiro pelo segundo, mais o quadrado do segundo termo. (x + y) = x + xy + y a + 3b ) a = 5 5 a +.. 3b + (3b) a 6ab = + + 9b ( m + n ) = ( m ) +. m. n + ( n ) = m + mn + n Quadrado da diferença de dois termos O quadrado da diferença de dois termos a e b é indicado por (a - b). Desenvolvendo esse produto, obtemos: (a - b) = a - ab + b Ou seja: O quadrado da diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo, menos duas vezes o produto do primeiro pelo segundo, mais o quadrado do segundo termo. ( c d ) = c cd + d a - b ) a = 3 3 a -.. b + (b ) a = 3 9-4ab 3 ( m - 1) = ( m ). m = m - m b 4 Produto da soma pela diferença de dois termos O produto da soma pela diferença de dois termos a e b é indicado por (a + b). (a b). Desenvolvendo esse produto, obtemos: Ou seja: ( a + b). ( a b) = a b 1

13 O produto da soma pela diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo menos o quadrado do segundo termo. 13 (x + y). (x y) = x y (bx + 5). (bx 5) = (bx) 5 = b x 5 k 3 k + 1 ). 3 k - 1 ) = k = 9-1 1) Calcule os produtos notáveis: a) (a+)(a-) b) (xy+3z)(xy-3z) c) (x²-4y)(x²+4y) d) (x+3)² E X E R C Í C I O S e) f) (a - 5)² g) (xy + 4)² h) i) (3 + x) ((x - 4) ) ) Simplifique as expressões algébricas: a) x(6x - ) + x( 4x) b)(z + 4). (z 4) ((z+ 4) ) 3) Desenvolva os produtos notáveis: x+ a) x+ 3 b) x x RESPOSTAS 1a) a 4 b)x y 9z c)x 4 16y d) x + 6x + 9 e) 4x - 9y f) 4a 0a + 5 g) 4x y x xy y + 16xy + 16 h) a) x b) -8z 3 3a) x + 4x + 4 b) x 4 + x + 1 x + 6x + 9 x 10x i) 14x

14 F A T O R A Ç Ã O 14 Fatorar uma expressão algébrica significa escrevê-la como uma multiplicação de duas ou mais expressões algébricas, quando for possível. Vamos considerar três situações envolvendo fatoração de termos algébricos. No entanto é importante observar que esses procedimentos representam o caminho inverso da obtenção do produto de expressões algébricas. As situações Fator comum em evidência Agrupamentos sucessivos Produtos notáveis Fator comum em evidência 1).(a b) =. a. b = a b ) x 3. ( + 5x + x ) = x 3. + x 3. 5x + x 3. x = x 3 + 5x 4 + x 5 3) 6a. (ab b ) = 6a. ab - 6a a. 5b = 1a b 4a + 30ab Tomando os mesmos exemplos, vamos percorrer o caminho inverso; ou seja, a partir das adições algébricas, obtemos as formas fatoradas: 1) a b =. a. b =. (a b) a : = a b : = b é o fator comum ) x 3 + 5x 4 + x 5 = x 3. + x 3. 5x + x 3. x = x 3. ( + 5x + x ) (x 3. ) : x 3 = (x 3. 5x) : x 3 = 5x (x 3. x ) : x 3 = x x 3 é o fator comum 3) 1a b 4a + 30ab = 6a. ab - 6a a. 5b = 6a. (ab b ) (6a. ab) : 6a = ab (6a. 7 ) : 6a = 7 (6a. 5b) : 6a = 5b 6a é o fator comum 14

15 Agrupamentos Sucessivos 15 A partir das multiplicações entre expressões algébricas, observe as fatorações que podem ser efetuadas por agrupamentos: 1) (m + n). (a + b) = m. (a + b) + n. (a + b)= ma + mb + na + nb ) (x + ). (x + 5) = x. (x + 5) +. (x + 5) = x 3 + 5x + x ) (x 3 - y). ( + x) = x 3. ( + x) - y. ( + x) = x 3 + x 4 y - yx Usando o caminho inverso nas operações efetuadas, chegamos à forma fatorada das expressões algébricas: 1) ma + mb + na + nb = m(a + b) + n(a + b) ma + mb + na + nb = m(a + b) + n (a + b) (1 a fatoração) Fatorar é Transformar em produto. ma + mb + na + nb = (a + b). (m + n) ( a fatoração) )x 3 + 5x + x + 10 = x. (x + 5) +. (x + 5) (1 a fatoração) x 3 + 5x + x + 10 = x. (x + 5) +. (x + 5) x 3 + 5x + x + 10 = (x + 5). (x + ) ( a fatoração) 15

16 16 3)x 3 + x 4 - y + yx = x 3. ( + x) - y. ( + x) (1 a fatoração) x 3 + x 4 - y + yx = x 3. ( + x) - y. ( + x) x 3 + x 4 - y + yx = ( + x). (x 3 - y) ( a fatoração) As fatorações sucessivas, quando possível, são conhecidas também por fatorações por agrupamentos. Essas fatorações são efetuadas formando grupos que tenham fator(es) comum(uns). Produtos notáveis Lembrando-se dos produtos notáveis estudados, é possível transformar determinadas expressões algébricas na forma fatorada. - trinômio quadrado perfeito: a + ab + b = (a + b) a - ab + b = (a - b) - diferença de dois quadrados: a - b = (a + b). ( a b) 1) 4y + 1y + 9 = (y + 3) (y). (y). 3 3 ) 49-14y + y = (7 - y) y y E X E R C I C I O S 1) Fatore as expressões: a) ax+a = b) a²-b² = c)a² - 4ab + 4b² = d) x²- = (x²-1) = e) 3ax-7ay = f) a²b² - ab³ = g) a² + ab + ac + bc = h) x² - b² = i) x²-5 = j) 4a² - 4 = ) Fatore as expressões por agrupamentos sucessivos: a) ax + ay + bx + by = b) x 3x + ax 3a = c) b + ab + c 3 + ac 3 = 16

17 3) Utilizando os produtos notáveis, escreva as expressões algébricas na forma fatorada: 17 a)x - 9 = b)a b = c)16a 1 = d)1 16x = e)16x 8x +1 = RESPOSTAS 1a) a(x +) b) (a+b)(a b) c) (a -b) d) (x+1)(x-1) e) a(3x-7y) f) ab(ab-b ) g) (a+b)(a+c) h) (x+b)(x-b) i) (x+5)(x-5) j) (a+)(a-) a) (x+y)(a+b) b) (x-3)(x + a) c) ( + a)(b + c 3 ) 3a) (x+3)(x-3) b) (a+b)(a-b) c) (4a + 1)(4a -1) d) (1 + 4x)(1-4x) e) (4x 1) 17

18 REGRA DE TRÊS SIMPLES 18 Utilizamos o conceito para o estudo de grandezas que se relacionam através de uma proporção. Quando duas grandezas aumentam ou diminuem temos grandezas diretamente proporcionais. Quando, entre duas grandezas, uma das grandezas aumenta e a outra diminui, temos grandezas inversamente proporcionais. Problemas de aplicação Grandezas diretamente proporcionais 1. Uma máquina, trabalhando durante 4 horas, produz 600 peças. Quantas peças iguais serão produzidas por essa máquina se ela trabalhar durante 9 horas? horas peças x Resolução: = 4 x= x= 5400 x= x= peças 9 x 4 Grandezas inversamente proporcionais. Para realizar um certo serviço 6 máquinas gastam 4 dias. Em quantos dias 8 máquinas iguais as primeiras fariam o mesmo serviço? máquinas dias x Resolução: = 8x= 4.6 8x= 144 x= x= 18 x 6 8 dias Exercícios Propostos 1. Se 1 m de certo tecido custam R$ 600,00, qual é o preço de 0 m do mesmo tecido?. Com 5 kg de farinha de trigo são fabricados 00 pães. Quantos pães iguais aos primeiros serão fabricados com 8 kg de farinha de trigo? 3. Uma torneira despeja 40 litros de água em 8 minutos. Quanto tempo levará para encher totalmente um recipiente cuja capacidade é 600 litros? 4. Um automóvel com velocidade média de 60 km/h percorre certa distância em 45 minutos. Se a velocidade média fosse de 75 km/h em quantos minutos o automóvel faria a mesma distância? 5. Numa marcenaria 10 operários produzem certo número de peças em 8 dias. Quantos operários seriam necessários para produzirem o mesmo número de peças em 5 dias? 6. No transporte de cimento para a construção de um edifício foram utilizados 1 caminhões de 6 m 3 cada um. Quantos caminhões de 9 m 3 cada um seriam necessários para fazer o mesmo transporte? 7. Pra pintar uma parede de 30 m foram gastos 15 litros de tinta. Quantos litros da mesma tinta serão gastos para pintar uma parede de 18 m? 8. Um relógio atrasa 4 minutos em cada 4 horas. Quantos minutos atrasará em 60 horas? 9. 4 operários levam 60 dias para construir uma loja. Em quantos dias 30 operários farão o mesmo serviço? 10. Um livro possui 180 páginas, cada uma com 50 linhas. Se houvesse 30 linhas em cada página, quantas páginas teria o mesmo livro? 18

19 Problemas de aplicação para porcentagem 1. Sobre um salário de R$ 9.000,00, é descontado 8% de INSS. Qual o valor do desconto? 19 % R$ x Resolução: 100x = x= x= x= R$70, Qual é a taxa trimestral proporcional à taxa de,5% ao mês? Mês % 1,5 3 x Resolução: 1 x =,5.3 x= 7,5% ao trimestre Problemas de porcentagem 1. Na compra de uma bicicleta cujo preço é R$ 900,00, dá-se um desconto de R$ 135,00. Determinar a taxa de desconto dada nesta bicicleta candidatos inscreveram-se para o vestibular da PUC de São Paulo. Foram aprovados candidatos. Qual a taxa de aprovação? 3. Uma prova de Matemática tem 50 questões. Um aluno acertou 40 dessas questões. Qual foi a sua taxa de acerto? 4. Numa empresa de.500 funcionários, 800 tem curso superior, tem o ensino médio e o restante concluiu o ensino fundamental. a) Qual a porcentagem de funcionários que tem o ensino superior? b) Qual é a porcentagem de funcionários que tem o ensino médio? c) Qual é a porcentagem de funcionários que concluiu o ensino fundamental? 5. Numa classe, 0% dos alunos são meninas. Quantos alunos existem na classe, sabendo-se que o número de meninas é igual a a) Qual é a taxa mensal proporcional à taxa de 1% ao trimestre? b) Qual é a taxa anual proporcional à taxa de 6% ao bimestre? c) Qual é a taxa diária proporcional à taxa de 15% ao mês? d) Qual é a taxa semestral proporcional à taxa de 36% ao ano? Respostas 1. R$ 1.000,00 Porcentagem:. 30 pães % minutos. 64 % minutos % operários 4. a) 3% b) 40% c) 8% 6. 8 caminhões alunos 7. 9 litros 6. a) 4% a.m. b) 36% a.a. c) 0,5% a.d. d) 18% a.s minutos dias páginas 19

20 EQUAÇÕES 0 Equações são sentenças matemáticas abertas que apresentam o sinal de igualdade. a) x -3 = 1 a variável (ou incógnita) é x. b) 3y + 7 = 15 a variável (ou incógnita) é y. A expressão à esquerda do sinal = chama-se 1º membro. A expressão à direita do sinal = chama-se º membro. c) x 1 = x + 7 x -1, é o 1º membro x + 7, é o º membro Resolução de uma equação do 1º grau Resolver uma equação é determinar o seu conjunto verdade. a solução de uma equação é chamada de raiz da equação. Obs.: Para passar um termo de uma equação de um membro para outro, troca-se o sinal desse termo. Importante: Veja a equação x = 5 Interessa-nos o valor de x e não o valor de x. Então, devemos multiplicar os dois membros da equação por -1. Observe: -x = 5 (-1) x = -5 a) x + 1 = 8 b) 3x -1 = 14 c) x = 6x x = 8-1 3x = = 6x x x = 7 3x = 15 7 = 5x x = 15/3 7/5 = x ou x = 7/5 x = 5 E X E R C I C I O S 1) Dada a equação 7x 3 = x + 5 x, responda: a) qual é o 1º membro? b) qual é o º membro? c) qual o valor de x? ) O número que, colocado no lugar de x, torna verdadeira a sentença x -7 = 10 é: a) 3 b) 4 c) -3 d)17 3) Resolva: a) x - 3 = 5 g) + x = 4 m) 6x - 4 = x + 8 b) x + = 7 h) 0 = x + 1 n) 17x = x x x c) = i) -3 = x + 10 o) 4x 10 = x + d) x -7 = -7 j) y/4 = 3 p) 5x + 6x 16 = 3x + x -4 e) x 109 = 5 k) x/5 = q) 5(x -4) = 7(x + 1) - 3 f) 15 = x +1 l) 3x = 1 r) 4(x + 3) = 1 Respostas: 1 a)7x -3 b) x+ 5 x c)1 d)0 ) letra d 3 a)8 3 f) 14 3 l) 4 b) 5 g) 8/3 m) 3 c) 18 h) -1 n) /3 d) 0 i)-13 o) 6 e) 114 j) 1 p) k) 10 q) 8 r)

21 FUNÇÃO DO 1 0 GRAU 1 Chamamos de função do 1 o grau ou afim a qualquer função IR em IR definida por f(x) = ax + b, onde a e b são números reais e a é não nulo. Definição: f: IR IR definida por f(x) = ax + b, a IR* e b IR OBS.: a) O gráfico da função do 1 o grau é uma reta. b) O conjunto imagem da função do 1 o grau é IR. c) A função do 1 o grau com b = 0, ou seja f(x) = ax é chamada linear. Exemplo Construa o gráfico e dê o conjunto imagem das seguintes funções de IR em IR. Considerar x = 0 e 1. a) f(x) = x + x f(x) = x = = 3 3 f(x) Im = IR 1 b) f(x) = 5x x f(x) = 5x = = x f(x) 5 Im = IR Observe que a função f(x) = 5x, é uma função linear, e é uma reta que passa pela origem (0, 0), pois para x = 0 temos f(x) = 0, para construirmos o gráfico basta obter apenas mais um ponto. Raiz ou zero da função do 1 o grau Dada a função do 1 o grau f(x) = ax + b, chama-se raiz ou zero da função, o valor de x para qual ax + b = 0, ou seja o valor de x que anula a função. Então, para determinarmos a raiz ou zero da função, fazemos f(x) = 0 e resolvemos a equação. Exemplo Determine a raiz das seguintes equações: a) f(x) = 3x - 6 Resolução: 3x 6 = 0 3x = 6 x = 6/3 x = b) f(x) = 8x Resolução: -8x = 0. ( 1) x = 0/8 x = 0 1 x Observe que em f(x) = 3x 6, f(x) = 0 e x =, calculado anteriormente, o ponto (, 0) é a intersecção da reta com o eixo x. 1

22 E X E R C I C I O S 1) Um vendedor recebe mensalmente um salário composto de duas partes: uma parte fixa, no valor de R$ 300,00, e uma parte variável, que corresponde a uma comissão de 8% do total de vendas que ele fez durante o mês. a) Expressar a função que representa seu salário mensal. R. f(x) = 0,08x b) Calcular o salário do vendedor sabendo que durante um mês ele vendeu R$ ,00 em produtos. R. R$ 1.100,00 ) Dada a função f(x) = ax +, determine o valor de a para que se tenha f(4) =. R. a = 5 3) Construir o gráfico das seguintes funções para x = 0 e x = 1 e ache suas raízes: a) f(x) = 3x + 4 b) f(x) = 3 1 x + 6 c) f(x) = -4x + 8 4) A empresa KCK comprou um equipamento por R$ ,00 e o mesmo apresenta uma expectativa de se valorizar à razão constante de R$.000,00 por ano. Determine a equação que representa o valor previsto do bem. R. f(x) = 000x ) Conforme a equação representada no exercício anterior, qual será o valor do bem daqui a anos? R. R$= ,00 6) A venda de certos produtos fabricados pela empresa KCK é representada lei: p = -x + 34, onde x representa a quantidade em milhões de demanda e p o preço por unidade em reais. Determine a quantidade de demanda quando o preço for R$ 9,00. X = unidades 7) Sabendo-se que a função que representa a oferta do produto fabricado pela KCK é qo = 80p Para uma oferta igual a 180 unidades, qual será o preço? R. R$ 7,00 8) Um vendedor de livros ganha salário mínimo fixo mensal, mais uma comissão de R$,00 por livro vendido. Sendo x o número de livros vendidos por mês, expresse o salário(s) do vendedor como função de x. S(x) = R$,00x + 415,00 9) Baseado no exercício anterior, se o vendedor vender 10 livros em um determinado mês, quanto será seu salário? R. R$ 835,00

23 SISTEMA DE EQUAÇÕES DO 1º GRAU duas variáveis 3 Um sistema de equações do primeiro grau em duas incógnitas x e y, é um conjunto formado por duas equações do primeiro grau nessas duas incógnitas. Exemplo: Seja x + 3 y = 38 3 x - y = 18 Resolver este sistema de equações é o mesmo que obter os valores de x e de y que satisfazem simultaneamente a ambas as equações. Podemos observar que x = 10 e y = 6 são as soluções deste sistema e denotamos esta resposta como um par ordenado de números reais: S = { (10, 6) } Método da Adição: este método consiste na eliminação de uma das incógnitas, adicionando-se membro a membro as duas equações. Ë necessário que os coeficientes da incógnita que se deseja eliminar sejam simétricos. Seja os sistemas: a) x + y = 5 x y = 1 b) 4x y = 3x + y = 7 Resolução: (a) Somando-se membro a membro as duas equações: x + y = 5 x y = 1 x = 6 x = 6/ x = 3 substituindo-se esse valor de x em uma das equações dadas: x + y = y = 5 y = 5 3 y = Logo: V = {(3, )} Resolução: (b) Nesse caso não temos coeficiente simétricos. Vamos, então, multiplicar todos os termos da primeira equação por : 8x y = 4 3x + y = 7 11x = 11 x = 11/11 x = 1 Vamos substituir este valor de x em uma das equações dadas: 3x + y = y = y = 7 y = 7 3 y = 4 y = 4 / y = E X E R C I C I O S sistemas 1) Resolva os sistemas a seguir: a) x y = 3 x + 4y = 6 3

24 b) 4x + y = x 3y = 9 c) x + y = 4 x y = -1 d) x + y = 10 4x 6y = 6 e) x + 3y = 3 Respostas.: 5x + 6 y = 1 a) S = {3; 0} b) S = {3; } c) S = {1; } d) S = {36/7; 17/7} e) S = {6; -3} ) A Companhia KDT produz e vende mouse a um preço único igual a R$ 8,00 a unidade. Sabe-se que a esse preço a demanda mensal é igual a unidades. Ao oferecer um desconto de 5% no preço do mouse, a demanda aumenta para unidades mensais. Determine uma função linear que representa a demanda mensal dos mouses da empresa KDT. R qd = -1000p ) A empresa MIT S produz e distribui à várias perfumarias braceletes pelo preço de R$ 4,50. A esse preço, a procura pelo produto atinge 150 unidades por semana. Verificou-se que, quando o preço sofre um desconto de R$ 0,50, a procura pelos braceletes aumenta em 30 %. De acordo com a situação descrita acima, a equação de 1º grau que representa a demanda semanal dos braceletes é igual : a) qd = 45p b) qd = - 45p c) qd = - 90p d) qd = 90p 555 e) qd = - 90p R (c) 4) Quando o preço unitário de um produto é R$ 10,00, 5000 unidades são colocadas no mercado por mês; se o preço for R$ 1,00, 5500 unidades estarão disponíveis. Admitindo que a função ofertada seja do 1º grau e linear afim, obtenha suas equações e determine a função que representa a lei da oferta. R qo = 50p

25 EQUAÇÃO DO O GRAU (quadrática) 5 As funções do segundo grau, utilizando-se os mesmos critérios de equivalência das funções do primeiro grau, reduzem-se à seguinte expressão: f(x) = ax + bx + c Esta maneira de apresentar a equação de segundo grau recebe o nome de forma ou fórmula geral. Temos três coeficientes: onde a, b e c são números reais, com a 0, e x é a incógnita. Os números a, b e c são os coeficientes da função. a) f(x) = 5x + 3x a = 5 b = 3 c = - b) f(x) = -x + 4x a = -1 b = 4 c = 0 c) f(x) = x 5 a = 1 b = 0 c = -5 Observe que o coeficiente de a, nunca será zero, pois se isto ocorrer não teremos mais uma função do o grau e sim uma função do 1 o grau. Cálculo das raízes da função do o grau A existência e o número de soluções da função f(x)= ax + bx + c = 0 dependem do número b - 4ac, a que chamaremos discriminante e representaremos pela letra grega (delta maiúscula). Sempre terá duas raízes, elas até podem ser iguais. Portanto, = b 4ac No entanto, utilizaremos a fórmula de Báskara: Logo, 5

26 6 Resolver as seguintes equações: a) x 8x + 1 = 0 a = 1, b = - 8 e c = 1 (primeiro vamos calcular o valor de delta) (substituímos a por 1, b por 8 e c por 1) (Delta positivo) (fórmula de Baskara) x = -(-8) + 16 (substituímos b por 8, delta por 16 e a por 1) (1) x = x = 1 / = 6 x = 4 / = S = {6 ; } b) x 1x + 36 = 0 a = 1, b = - 1 e c = 36 (Delta igual a zero) S = {6} 6

27 7 c) x 4x + 3 = 0 a =, b = - 4 e c = 3 (Delta negativo) S = { }, não existe raiz de número real negativo REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DA FUNÇÃO DO O GRAU O gráfico desta função é uma curva plana denominada parábola, o domínio :Dom(f)=R e a imagem: Im(f)=R. O coeficiente "a" desempenha no gráfico a propriedade de concavidade da parábola. Significa que se o "a" for positivo (a>0), a parábola terá concavidade para cima (boca sorridente), como no exemplo: Se este for negativo (a<0), a parábola teria concavidade para baixo (boca triste). Veja o exemplo: Calma, isso quer dizer que devemos calcular quais os valores de x que a parábola "corta" o eixo dos X. Veja no exemplo o que é "raiz" graficamente: 7

28 8 Exemplo: Faça o esboço gráfico da seguinte função : Resolução: Vamos primeiro calcular as raízes usando BÁSKARA. Os coeficientes são: A=1, B=-1 e C=-. Colocando na fórmula, temos: As duas raízes são e 1, então já sabemos os pontos por onde a parábola corta o eixo X. No gráfico, fica: Agora fazemos o estudo dos coeficientes. Vamos primeiro olhar para o c. Ele vale, então o gráfico da parábola com certeza corta o eixo Y no ponto. Vamos marcá-lo: 8

29 9 Pelo coeficiente a sabemos que ela tem a concavidade para cima, e pelo b sabemos que logo após o ponto de corte com Y ela tem que descer. Traçando o esboço, temos o seguinte: Estudo do Vértice O que é vértice de uma parábola? - É o ponto em que a parábola atinge seu valor máximo ou mínimo. Veja os exemplos abaixo: O vértice de todas as parábolas tem uma característica própria, ele sempre se encontra "eqüidistante" de ambas as raízes, ou seja, a coordenada "x" do vértice fica exatamente no meio das coordenadas das duas raízes. A coordenada "x" do vértice é a média aritmética das coordenadas "x" das raízes, isto é, a soma das duas dividido por dois. Esta é a fórmula para encontrarmos o Xv. 9

30 30 Agora que já sabemos o Xv, devemos descobrir o Yv ("y" do vértice). Portanto a fórmula para o cálculo de Yv é: Observando os gráficos que representam a função quadrática f(x) = ax + bx + c: Se a > 0, a função assume um valor de mínimo: Y v = - 4a Se a < 0, a função assume um valor de máximo: Y v = - 4a Exemplo : Determinar os vértices (Xv e Yv) da função y = x - x + 3, escreva se a função admite um máximo ou um mínimo e determine esse máximo ou esse mínimo. Resolução: Vértices Xv = -(-)/(1) = b - 4ac Yv = -(-8)/4(1) Xv = / = (-) - 4 (1)(3) Yv = 8/4 Xv = 1 = 4-1 = -8 Yv = a > 0, a função assume um valor mínimo Y v = - = -(-8) = 4a 4(1) S = (1, ) E X E R C I C I O S 1) Determine as raízes e calcule as coordenadas do vértice das parábolas que representam as seguintes funções: a) f(x) = x 6x + 5 R. x = 5 e x =1 Xv = 3 e Yv = -4 b) f(x) = -x + x - R. não existe raís Xv= 1 e Yv= -1 ) Escreva se a função admite máximo ou mínimo e determine esse máximo ou esse mínimo: a) f(x) = 5x 3x R. a > 0, assume um valor mínimo -49/0 b) f(x) = -x + 3x R. a < 0, assume um valor máximo 0,5 c) 30

31 1) Dada a função f(x) = x x 3, determine: 31 a) as raízes da função; R. x = 3 e x = -1 b) vértices da parábola; R. Xv = 1 e Yv= -4 c) identifique se a função assume ponto de máximo ou mínimo; R. a > 0, assume um ponto de mínimo d) o gráfico da função para x = -3; -; -1; 0; 1; e 3. 4) O vértice da parábola que corresponde à função y=(x-) + é: (A)(-, -) (B)(-, 0) (C) (-, ) ( D) (, -) (E) (, ) R. (e) 5) Determine as raízes das funções, se houver: a) f(x) = 6x + 5x - 4 Resp. x = ½ e x = - 4/3 b) f(x) = - x - x - 1 Resp. x = x = -1 c) f(x) = 6x + 3x + 7 Resp. < 0, ou seja = -159 portanto, S = { } 6) Determinar as coordenadas do vértice das funções abaixo e dizer se assumem ponto de máximo ou de mínimo. a) y = x x Resp. Mínimo: Xv = ½ Yv = -9/4 b) y = -x x + 4 Resp. Máximo: Xv = -1/ Yv = 4,5 c) y = -x x Resp. Máximo: Xv = -1 Yv = 1 d) y = 3x + x + 3 Resp. Minimo: Xv = -1/3 Yv = 8/3 7) O gestor de uma empresa percebeu que alguns resultados não condiziam com o previsto no planejado, ocasionando assim um valor negativo em sua produção que pode ser representado através de uma das raízes da função: f(x) = x + 10x 600. Assinale a alternativa que condiz com esse resultado. a) Sua área de produção apresentou o resultado de -30; b) A área de produção apresentou o resultado 0 atingindo assim a área como um todo; c) A empresa detectou um resultado de -0 na área de produção; d) Sua área de produção apresentou um resultado de 30; e) A área de produção apresentou o resultado 15, atingindo assim a área como um todo. R. (a) 8) Represente graficamente as funções a seguir. Para x = -3; -; -1; 0; 1; e 3. a) f(x) = x + 4x + 1 b) f(x) = - x + c) f(x) = x + 1 d) f(x) = - x + 3x - 4 REFERNCIAS BIBLIOGRAFICAS Dowling,E.T. Elementos da Matemática Aplicada a Economia e Administração Rio de Janeiro Editora Mac Graw Hill. Iezzi, G.E Outros Fundamentos da Matemática Elementar Vols 1 e Atual Editora, Medeiros e Outros Matemática para os cursos de Administração, Economia e Ciências Contábeis. Volume 1 - Editora Atlas 5ª edição SP. Nery, Chico E Totta, Fernando Matemática Curso Completo Editora Moderna,1994 SP. 31