UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS INSTITUTO DE MATEMÁTICA, ESTATÍSTICA E COMPUTAÇÃO CIENTÍFICA Matemática Licenciatura. (Números Complexos)

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1 UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS INSTITUTO DE MATEMÁTICA, ESTATÍSTICA E COMPUTAÇÃO CIENTÍFICA Matemática Licenciatura (Números Complexos) Jéssica Roldão de Oliveira Assis RA Campinas

2 HISTÓRIA A Matemática foi se desenvolvendo durante dois mil anos sem se importar que as raízes quadradas de números negativos não poderiam ser calculadas. A impossibilidade de resolver a equação x² + a = 0 quando a é positivo era conhecida há séculos, mas as tentativas de superar as dificuldades demoraram a acontecer. Por volta do ano 275 dc, Diophanto ( aprox.) ao resolver um problema deparou-se com a equação 24x 2-172x = 0 Como concluiu que não tinha soluções reais, não viu necessidade de dar sentido à raiz Na Índia, por volta do ano 850, Mahavira ( aprox.) escrevia: "(...) como na natureza das coisas um negativo não é um quadrado, ele não tem, portanto, raia quadrada." (citado em Ou seja, negou a existência de números negativos cuja raiz quadrada devolve um outro número. Gerônimo Cardano ( ) considerava que se aparecesse raízes quadradas negativas na solução de problemas, não havia soluções para esses problemas. Porém foi o próprio Cardano que, em 1545, mencionou pela primeira vez os números complexos. Em sua obra Ars Magna, havia o seguinte problema: "Determinar dois números cuja soma seja 10 e o produto seja 40", para a solução, considerou as expressões e Cardano chamou estas expressões de raízes sofísticas, pois para ele elas eram tão sutis quanto inúteis. Porém Cardano teve o mérito de ter sido o primeiro a considerar as raízes negativas, até porque nesta época os números negativos eram evitados. Após cerca de 25 anos RaffaelleBombelli ( ) voltou a considerar o tema em sua obra de nome Algebra, e determinou algumas regras de operações para trabalhar com : Sobre a adição, enunciou a soma de dois números complexos: 2

3 Bombelli moderna): ao resolver a equação x 3 = 15x + 4, obteve a seguinte solução (em notação x = 3 ( ) + 3 ( ) Analisando o resultado, ele percebeu que conhecia as raízes da equação entre as quais x =4. Assim, teve a idéia de procurar a e b positivos tais que: a + b -1 = 3 ( ) a - b -1 = 3 ( ) Com manipulação algébrica, usando as mesmas regras que usava para os números reais, mais a propriedade ( -1) 2 = -1, chegou ao resultado a = 2 e b = 1, donde sai x = 4. Mesmo depois disso, Bombelli não estava seguro do que havia criado. Em 1629, Albert Girard ( ) utiliza, efetivamente, o símbolo -1 quando enuncia as relações entre raízes e coeficientes de uma equação. A representação visual, foi um dos grandes passos no estudo dos números complexos. Em 1797, o dinamarquês CasparWessel ( ) representou, pela primeira vez, geometricamente os números complexos, estabelecendo uma correspondência bijetiva entre estes e os pontos do plano. Este trabalho foi publicado em dinamarquês, e esquecido por cerca de 9 anos. Em de 1806 o francês Jean Argand ( ) publicou novamente em francês e ganhou o devido respeito. Por este motivo, esta representação ficou, indevidamente, ligada ao nome de Argand. O matemático suíço Leonard Euler definiu símbolo i, para a representação de Ö-1, ou seja, i = -1. Só a partir daí números até então supostamente inexistentes, tornaram-se um objeto matemático, onde o seu uso por Gauss ( ) em 1801, é que foi o aceite. Gauss introduziu em 1832 a expressão número complexo. É pois possível dizer que, apesar da sua história ser recente, os números complexos envolveram o trabalho de vários matemáticos, e existem ainda hoje muitas questões em aberto. REPRESENTAÇÃO ALGÉBRICA DO NUMERO COMPLEXO Um número complexo representa-se por z = a + bi com a, b R. a é a parte real de z, Re(z) = a; b é a parte imaginária de z, Im (z) = b. O complexo z é um número real se e só se Im(z) = 0, isto é: z = a + 0i = a. 3

4 O complexo z é um imaginário puro se e só se Re (z) = 0 e Im (z) 0, isto é z = 0 + bi = bi. O complexo z é nulo se e só se Re (z) = Im (z) = 0. Os números complexos apareceram como uma extensão dos números reais. O seu conjunto representa-se por C e define-se como sendo C = {z = a+ bi: a, b R e i² = -1} R representa o conjunto dos números reais. A representação geométrica do complexo Os números complexos podem ser identificados com pares ordenados de números reais, e a representação gráfica consiste em identificar cada par ordenado (a, b) com um ponto do plano, cujas coordenadas retangulares são dadas por a e b. Assim, a unidade imaginária i é simplesmente o par ordenado (0,1). Essa visualização foi fundamental para o progresso da teoria dos números complexos, do mesmo modo que, ocorreu com os números negativos, que só tornaram-se objetos de estudo quando num eixo orientado, assinalaram-se, para eles, representações gráficas à esquerda da origem. 4

5 A cada complexo z = a + bi, corresponde o ponto do plano P(a, b), que se designa por afixo de z. Pode-se, também, considerar o complexo z como o vetor OP, sendo O a origem do referencial. Ao referencial com estas características dá-se o nome de Plano Complexo ou Plano de Argand-Gauss. Igualdade de Números Complexos Dados dois complexos z = a + bi e w = c + di tem-se: z = w se e só se a = c e b = d Módulo de um Número Complexo Dado um complexo z = a + bi, o módulo de z é a distância do ponto P(a,b), correspondente a z, no plano complexo, à origem do plano. O módulo de z, cujo símbolo é z, é obtido a partir da aplicação do Teorema de Pitágoras, sobre o triângulo retângulo cujos catetos medem a e b. O módulo de z é a medida da hipotenusa deste triângulo. 5

6 Simétrico de um Número Complexo O simétrico do número complexo z = a + bi é o número -z = -(a + bi), ou seja, -z = (-a) + i(-b). Conjugado de um Número Complexo O conjugado do complexo z = a + bi é denotado por = a - bi. Exemplos: z = 1+2i tem conjugado = 1-2i z = 0,5 + i tem conjugado = 0,5 - i 6

7 Operações com complexos Consideremos os números complexos =a+bi e = c+ di Adição Algebricamente, a soma é na forma: + = a + c + (b + d)i (a + bi) + ( c + di) = a + c + bi + di = (a + c) + ( b + d ) i Subtração A subtração de por não é mais que a soma de com o simétrico de, ou seja, - = + (- ). Multiplicação O produto de por é o número complexo. = (ac - bd) + (ad + cb)i 7

8 Potências de i = : As potências de i se repetem de 4 em 4. para n inteiro não negativo e para k = 1,2,3,... Divisão Inverso de um Número Complexo Sendo z = a + bi com a e b não nulos, o seu inverso é 8

9 Justificativa Partimos de z = a+bi. Por extensão das propriedades dos números reais, podemos representar como mm m Precisamos então transformá-lo na expressão padrão para complexos: Re(1/z) + i Im(1/z). Para descobrir a parte real e a parte imaginária, recorremos ao que sabemos sobre produtos notáveis: (a + bi)(a - bi) = (a² + b²) (Verifique!) Isto é: z. = z ² Multiplicando e dividindo o novo número desconhecido no numerador e no denominador, obtemos um número complexo na forma algébrica padrão: Exemplos: O quociente entre e é o produto de pelo inverso de, ou seja, 9

10 Tomemos dois complexos da forma = a + bi e = c + di Vejamos que para obter, basta multiplicar por 1/ Exemplos (2+3i) / (1-2i) = (2+3i). 1/(1-2i) = (2+3i). (1 + 2i)/ 5 = (-4 + 7i) / 5 Todas as propriedades válidas para os números reais permanecem válidas no conjunto dos complexos. Desta forma, os complexos também constituem uma estrutura, com as operações de + e x. 10

11 Bibliografia: ção%20trigonométrica

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