GLOSSÁRIO: UM DICIONÁRIO PARA ÁLGEBRA LINEAR

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1 GLOSSÁRIO: UM DICIONÁRIO PARA ÁLGEBRA LINEAR Matriz de adjacência de um grafo. Matriz quadrada com a ij = 1 quando existe uma arestado nodo i para o nodo j; caso contrário a ij = 0. A = A T para um grafo não direcionado. Transformação Afim T(v) = Av + v o = transformação linear mais desvio. Lei Associativa (AB)C = A(BC). Os parênteses podem ser removidos para ler ABC. Matriz aumentada [ A b ]. Ax = b é passível de solução quando b está no espaço de coluna de A; então [ A b ] tem o mesmo posto de A. A eliminação em [ A b ] mantém as equações corretas. Retrosubstituição. Sistemas triangulares superiores são resolvidos em ordem reversa de x n até x 1. Base para V. Vetores independentes v 1,..., v d cujas combinações lineares geram qualquer v em V. Um espaço de vetor tem muitas bases! Grande fórmula para determinantes n por n. Det(A) é a soma de n! termos, um termo para cada permutação P das colunas. Cada termo é o produto abaixo da diagonal da matriz reordenada vezes det(p) = ± 1. Matriz de bloco. Uma matriz de blocos pode ser dividida em blocos matriciais por cortes entre as linhas e/ou entre as colunas. A multiplicação de bloco de AB é permitida se as formas dos blocos assim o permitirem (as colunas de A e as linhas de B devem constituir blocos coincidentes). Teorema de Cayley-Hamilton. matriz zero. Matriz M de Mudança de base. Os antigos vetores de base v j são combinações dos novos vetores de base. As coordenadas de estão relacionadas por d = M c. (Para ). Equação Característica. As n raízes são os autovalores de A. Fatoração de Cholesky para A positivo definida. Matriz circulante C. Diagonais constantes se envolvem como em um desvio S cíclico. Cada circulante é. Cx = convolução c * x. Autovetores em F. Co-fator C ij. Remover a linha i e a coluna j; multiplicar o determinante por. Foto coluna de Ax = b. O vetor b se torna uma combinação das colunas de A. O sistema é passível de resolução somente quando b estiver no espaço coluna C(A). Espaço coluna C (A) = espaço de todas as combinações das colunas de A. Matrizes que comutam AB = BA. Se diagonalizáveis, elas compartilham n autovetores. Matriz companheira. Coloque c 1,..., c n na linha n e coloque n 1 1 s ao longo da diagonal 1. A seguir. Solução completa x = x p + x n para Ax = b. (x p particular) + (x n no espaço nulo). Complexo conjugado para qualquer número z = a + ib complexo. Então. 1

2 2 Glossário Número de condição. Em Ax = b, a mudança relativa é menor que cond (A) vezes a mudança relativa. Os números de condição medem a sensibilidade do resultado para alterações na entrada. Método de Gradiente Conjugado. A seqüência de passos (final do Capítulo 9) para resolver Ax = b positivo definida minimizando-se sobre subespaços crescentes de Krylov. Matriz de Covariância S. Quando variáveis aleatórias x i possuem mediana = valor médio = 0, suas covariâncias Σ i j são as médias de x i x j. Com médias a matriz Σ = média de é positiva (semi)definida; ela será diagonal se x i forem independentes. Regra de Cramer para Ax = b. B j tem b substituindo a coluna j de A e x j = B j / A. Produto vetorial u x v em R 3. O vetor perpendicular a u e v, extensão paralelogramo, computada como o determinante de [i j k; u 1 u 2 u 3 ; v 1 v 2 v 3 ]. = área do Desvio cíclico S. Permutação com s 21 = 1, s 32 = 1,..., finalmente = 1. Seus autovalores são raízes n-ésimas de 1; autovetores são colunas da matriz F de Fourier. Determinante A = det(a). Definida por det I = 1, sinal contrário para troca de linha e linearidade em cada linha. Então A = 0 quando A for singular. Também AB = A B e. A grande fórmula para det (A) tem uma soma de n! termos, a fórmula do co-fator usa determinantes de tamanho n 1, volume da caixa = det(a). Matriz diagonal D. d i j = 0 se i j. Diagonal de bloco: zero fora de blocos quadrados D i i. Matriz diagonalizável A. Deve ter n autovetores independentes (nas colunas de S; automático com n. autovalores diferentes). Então matriz de autovalor. Diagonalização matriz de autovalor e S matriz de autovetor. A deve ter n autovetores independentes para tornar S não inversível. Para todo inteiro k, temos A k = SΛ k S -1. Dimensão do espaço vetorial dim (V) = número de vetores em qualquer base de V. Lei Distributiva A(B + C) = AB + AC. Adicionar e multiplicar, ou multiplicar e adicionar. Produto escalar. O produto escalar complexo é. Vetores perpendiculares possuem produto escalar zero. (AB) ij = (linha i de A) (coluna j de B). Matriz escalonada U. A primeira entrada diferente de zero (o pivô) em cada linha vem depois do pivô na linha anterior. Todas as linhas zero vêm por último. Autovalor? e autovetor x. Ax =?x com x 0 de modo que det(a -?I) = 0. Eighshow. Autovalores gráficos 2 por 2 e valores únicos (MATLAB ou Java). Eliminação. Uma seqüência de operações de linha que reduz A a uma triangular superior U ou a uma forma R reduzida = rref (A). Então A = LU com multiplicadores em L, ou PA = LU com trocas de linha em P, ou EA = R com um E inversível. Matriz de eliminação = Matriz elementar E i j. A matriz de identidade com um (i j). Então E i j A subtrai vezes a linha j de A da linha i. na entrada i, j Elipse (ou elipsóide) x T Ax = 1. A deve ser positivo definida; os eixos da elipse são autovetores de A, de comprimento. (Para x = 1 os vetores y = Ax ficam na elipse exibidas pelo eigshow; comprimentos de eixo ). Exponencial tem derivada resolve u = Au.

3 Glossário 3 Fatoração A = LU. Se a eliminação levar A até U sem troca de linhas, então a triangular inferior L com multiplicadores (e ) trará U de volta para A. Transformação Rápida de Fourier (FFT). A fatoração da matriz F n de Fourier em matrizes S i vezes uma permutação. Cada S i precisa somente n/2 multiplicações, de modo que e podem ser calculadas com multiplicações. Revolucionária. Números de Fibonacci 0, 1, 1, 2, 3, 5,... satisfazem. Taxa de crescimento é o maior autovalor da matriz de Fibonacci. Quatro Subespaços fundamentais de A = C (A), N (A), C (A T ), N (A T ). Matriz de Fourier F. As entradas dão colunas ortogonais. Então y = Fc é a Transformada Discreta de Fourier (inversa). Colunas livres de A. Colunas sem pivôs; combinações de colunas precedentes. Variável livre x i. A coluna i não tem pivô na eliminação. Podemos dar quaisquer valores àsn - r variáveis livres, então Ax = b determina as r variáveis pivô (se solúvel!). Posto coluna completo r = n. Colunas independentes, N (A) = {0}, sem variáveis livres. Posto linha completo r = m. Linhas independentes, pelo menos uma solução para Ax = b, espaço coluna é todo de R m. Posto completo significa posto coluna completo ou posto linha completo. Teorema Fundamental. O espaço nulo N (A) e o espaço de linha C (A T ) são complementos ortogonais (subespaços perpendiculares de R m com dimensões r e n r) a partir de Ax = 0. Aplicado a A T, o espaço coluna C(A) é o complemento ortogonal de N (A T ). Método de Gauss-Jordan. Inverter A por operações de linha em [A I] para atingir [I A -1 ]. Ortogonalização de Gram-Schmidt A = QR. Colunas independentes em A, colunas ortonormais em Q. Cada coluna q j de Q é uma combinação das primeiras colunas j de A (e reciprocamente, R é triangular superior). Convenção: diag (R) > 0. Grafo G. Conjunto de n nodos (ou vértices) conectados aos pares por m arestas. Um grafo completo tem todas as n(n-1)/2 arestas entre os nodos. Uma árvore tem somente n 1 arestas e não tem ciclos. Um grafo dirigido tem a seta de direção especificada em cada aresta. Matriz de Hankel H. Constante ao longo de cada diagonal; h i j depende de i + j. Matriz de Hermit. Complexo análogo de uma matriz simétrica:. Matriz de Hessenberg H. Matriz triangular com uma diagonal extra adjacente diferente de zero. Matriz de Hilbert hilb (n). Entradas. Positivo Definida, mas extremamente pequena? min e número de condição grande. Matriz de Hipercubos. A linha n + 1 conta cantos, bordas, faces,... de um cubo em R n. Matriz identidade I (ou I n ). Entradas diagonais = 1, entradas fora de diagonais = 0. Matriz de incidência de um grafo dirigido. A matriz m por n de incidência aresta-vértice tem uma linha para cada aresta (nodo i até nodo j), com entradas 1 e 1 nas colunas i e j. Matriz indefinida. Matriz simétrica com autovalores de ambos os sinais (+ e -). Vetores independentes v 1,...v k. Sem combinação c 1 v c k v k = vetor zero a menos que todos c i = 0. Se os v são as colunas de A, a única solução para Ax = 0 será x = 0.

4 4 Glossário Matriz inversa A -1. Matriz quadrada com A -1 A = I e AA -1 = I. Sem inversão se det A = 0 e posto (A) < n e AX = 0 para um vetor x diferente de zero. Os inversos de AB e A T são B -1 A -1 e (A -1 ) T. Fórmula de co-fator (A -1 ) i j = C j i / det A. Método iterativo. Uma seqüência de passos visando aproximar a solução desejada. Forma de Jordan J = M -1 AM. Se A tem s autovetores independentes, sua matriz de autovetores generalizados M dá J = diag(j 1,..., J s ). O bloco J k é? k I k + N k onde N k tem 1 na diagonal 1. Cada bloco tem um autovalor? k e um autovetor (1, 0,..., 0). Leis de Kirchhoff. Lei da Corrente: a corrente líquida (o que entra menos o que sai) é zero em cada nodo. Lei da Voltagem: As diferenças de potencial (quedas de voltagem) somam a zero ao redor de cada ciclo. Produto de Kronecker (produto tensorial) A B. Blocos a i i B, autovalores? p (A)? q (B). Subespaço de Krylov K j (A,b). O subespaço gerado por b, Ab,...,A j-1 b. Métodos numéricos aproximam A -1 b por x j com resíduo b Ax j l nesse subespaço. Uma boa base para K j exige somente multiplicação por A em cada passo. Solução com mínimos quadrados. O vetor que minimiza o erro resolve. Então é ortogonal a todas as colunas de A. Inversa esquerda A +.. Se A tem uma posto completo coluna, então A + = (A T A) -1 A T tem A + A = I n. Espaço Nulo à esquerda N (A T ). O espaço nulo de A T = espaço nulo à esquerda de A porque y T A = 0 T. comprimento Combinação linear. Raiz quadrada de x T x (Pitágoras em n dimensões).. Adição de vetor e multiplicação escalar. Transformação linear T. Cada vetor v no espaço domínio transforma-se em T(v) no espaço imagem, e a linearidade exige. Exemplos: Multiplicação de matriz Av, diferenciação em espaços de função. v 1,...v n linearmente dependentes. Combinação linear com nem todos c i =0 que resulta em. Números de Lucas L n = 2,1,3,4,... satisfazem com autovalores da matriz de Fibonacci. Compare L 0 = 2 com Fibonacci. Matriz de Markov M. Todas as e cada soma de coluna é 1. O maior autovalor. Se, as colunas de M k aproximan o autovetor em estado estacionário M s = s > 0. Multiplicação de Matriz AB. A entrada i, j de AB é (linha i de A) (coluna j de B) =. Por colunas: Coluna j de AB = A vezes coluna j de B. Por linhas: linha i de A multiplica B. Colunas vezes linhas: AB = soma de (coluna k) (linha k). Todas essas definições equivalentes resultam da regra de que AB vezes x é igual a A vezes Bx. Polinômio mínimo de A. O polinômio de grau mais baixo com m(a) = matriz zero. As raízes de m são autovalores, e m(?) divide det (A?I). Multiplicação Ax = x 1 (coluna 1) x n (coluna n) = combinação de colunas. Multiplicidades AM e GM. A multiplicidade algébrica AM de um autovalor? é o número de vezes em que? aparece como raiz de det (A?I) = 0. A multiplicidade geométrica GM é o número de autovetores independentes (= dimensão do autoespaço para?).

5 Glossário 5 Multiplicador. A linha pivô j é multiplicada por e subtraída da linha i para eliminar a entrada i,j,: = (entrada a eliminar) / (pivô j). Rede. Um gráfico dirigido com constantes c 1,..., c m associadas com as arestas. Matriz Nilpotente N. Alguma potência de N é a matriz zero, N k = 0. O único autovalor é? = 0 (repetido n vezes). Exemplos: matrizes triangulares com diagonal zero. Norma de uma matriz. A é a proporção máxima. Então e e. Norma de Frobenius ; normas e são as maiores somas de colunas e linhas de. Equação normal. Fornece a solução de mínimos quadrados para Ax = b se A possuir posto completo n. A equação diz que (colunas de A) = 0. Matriz normal N. NN T = N T N, leva a autovetores ortonormais (complexos). Espaço nulo N (A) = Soluções de Ax = 0. Dimensão n r = (n. de colunas) posto. Matriz de espaço nulo N. (As colunas de N são as n r soluções especiais para As = 0. Matriz ortogonal Q. Matriz quadrada com colunas ortonormais, de modo que Q T Q = I implica Q T = Q -1. Preserva extensão e ângulos,. Todos os, com autovetores ortogonais. Exemplos: Rotação, reflexão, permutação. Subespaços ortogonais. Cada v em V é ortogonal a cada w em W. Vetores ortonormais q 1,...q n. Produtos escalares são se e. A matriz Q com essas colunas ortonormais tem Q T Q = I. Se m = n então Q T = Q -1 e q 1,..., q n é uma base ortonormal para R n : cada. Produto vetorial uv T = coluna vezes linha = matriz de posto um. Pivotamento parcial Na eliminação, o j-ésimopivô é escolhido como a maior entrada disponível (em valor absoluto) na coluna j. Então, todos os multiplicadores possuem. O erro de arredondamento é controlado (dependendo do número de condição de A). Solução particular x p. Qualquer solução para Ax=b; freqüentemente x p tem variáveis livres = 0. Matriz de Pascal P S = pascal(n). Matriz simétrica com entradas binomiais (formula). Todos os P S = P L P U contêm o triângulo de Pascal com det = 1 (veja índice para mais propriedades). Matriz de permutação P. Existem n! ordens de 1,...,n; os n! P têm as linhas de I nessas ordens. PA coloca as linhas de A nessa mesma ordem. P é produto de trocas P i j de linha; P é par ou ímpar (detp = 1 ou 1) com base no número de trocas. Colunas pivô de A. Colunas que contêm pivôs depois da redução por linhas; não são combinações de colunas anteriores. As colunas de pivôs são a base para o espaço coluna. Pivô d. A entrada da diagonal (primeira diferente de zero) quando uma linha é usada na eliminação. Plano (ou hiperplano) em R n. Soluções para a T x = 0 dão o plano (dimensão n 1) perpendicular a a 0. Decomposição polar A = QH. Q ortogonal, positiva (semi)definida H. Matriz A positivo definida. Matriz simétrica com autovalores positivos e pivôs positivos. Definição: x T Ax > 0 a menos que x = 0.

6 6 Glossário Projeção p = a(a T b / a T a) na linha através de a. P = aa T / a T a tem posto 1. Matriz de projeção P sobre o subespaço S. Projeção p = Pb é o ponto mais próximo a b em S, erro e = b Pb é perpendicular a S. P 2 = P = P T, autovalores são 1 ou 0, autovetores estão em S ou S^. Se as colunas de A = base para S então P = A (A T A) -1 AT. Pseudoinversa A + (Inversa de Moore-Penrose). A matriz n por m que inverte A de espaço coluna de volta para espaço linha, com N (A + ) = N (A T ). A + A e AA + são as matrizes de projeção no espaço linha e no espaço coluna. Posto (A + ) = Posto (A). Matriz aleatória rand (n) ou randn (n). O Programa MATLAB cria uma matriz com entradas aleatórias, uniformemente distribuídas em [0 1] para rand e com distribuição padronizada normal para randn. Matriz de posto um A = uv T 0. Espaços linha e coluna = linhas cu e cv. Posto r (A) = número de pivôs = dimensão do espaço coluna = dimensão do espaço linha. Quociente de Rayleigh q(x) = x T Ax/x T x para A simétrico:. Esses extremos são atingidos nos autovetores x para. Forma escalonada reduzida por linha R = rref(a). Pivôs = 1; zeros acima e abaixo dos pivôs; r linhas diferentes de zero de R fornecem uma base para o espaço linha de A. Matriz de reflexão Q = I - 2uu T. O vetor unitário v é refletido para Qu = -u. Todos os vetores x no espelho plano x T x = 0 permanecem inalterados porque Qx = x. A Matriz de Householder tem Q T = Q -1 =Q. Inversa direita A +. Se A tem posto completo m de linha, então A + = A T (AA T ) -1 tem AA T = I m. Matriz de rotação R = gira o plano por e R -1 = R T gira de volta por. Matriz ortogonal, autovalores e, autovetores (1, ±i). Aparência linha de Ax = b. Cada equação fornece um plano em R n ; os planos se intersectam em x. Espaço linha C (A T ) = todas as combinações de linhas de A. Vetores coluna por convenção. Ponto de sela de f (x 1,..., x n ). Um ponto no qual as primeiras derivadas de f são zero e a segunda matriz derivada ( = matriz Hessiana) é indefinida. Complemento de Schur S = D = CA -1 B. Aparece em eliminação de bloco em (formula). Desigualdade de Schwarz. Então se A = C T C. Matriz semidefinida A. Semidefinida (positiva) significa simétrica com vetores x. Então, todos os autovalores ; não há pivôs negativos. Matrizes similares A e B. Toda B = M -1 AM tem os mesmos autovalores de A. para todos os Método simplex de programação linear. O vetor de custo mínimo x* é encontrado movendo-se do canto para o canto de custo menor ao longo das arestas do conjunto viável (onde as restrições Ax= b e x 0 são satisfeitas). Custo mínimo no canto! Matriz singular A. Uma matriz quadrada que não tem inversa: det(a) = 0. Decomposição de Valor Único (SVD) (U ortogonal) vezes (S diagonal) vezes (V T ortogonal). Primeiras r colunas de U e de V são bases ortonormais de C(A) e de C(A T ) com e valor único. As últimas colunas de u e de V são bases ortonormais dos espaços nulos de A T e de A.

7 Glossário 7 Matriz skew simétrica K. A transposta é K, uma vez que K i j = -K j.i. Autovalores são imaginário puro, autovetores são ortogonais, é uma matriz ortogonal. Sistema solúvel Ax = b. O lado direito b está no espaço de coluna de A. Conjunto gerador v 1,...,v m para V. Todos os vetores em V são uma combinação de v 1,...,v m. Soluções especiais para As = 0. Uma variável livre é s i = 1, outras variáveis livres = 0. Teorema espectral A = Q?Q T. A simétrico real tem? i real e q i ortonormal com mecânica, o q i fornece os eixos principais. Espectro de A = o conjunto de autovalores {? 1,...,? n }. Raio espectral =. Base padrão para R n. Colunas da matriz identidade n por n (escrito i, j, k em R 3 ). Matriz de rigidez K. Se x fornecer os movimentos dos nodos em uma estrutura discreta, Kx fornecerá as forças internas. Com freqüência K = A T CA onde C contém constantes de mola da Lei de Hooke e Ax = deslocamentos (tensões) dos movimentos x. Subespaço S de V. Qualquer espaço vetorial dentro de V, incluindo V e Z = {vetor zero}. Soma V + W de subespaços. Espaço de todos (v em V) + (w em W). Soma direta: dim (V + W) = dim V + dim W quando V e W compartilham somente o vetor zero. Fatorações simétricas A = LDL T e A = Q?Q T.. O número de pivôs positivos em D e os autovalores positivos em? é o mesmo. Matriz simétrica A. A transposta é A T = A, e a i j = a i j. A -1 também é simétrica. Todas as matrizes da formação R T R e LDL T e Q?Q T são simétricas. Matrizes simétricas possuem autovalores reais em? e autovetores ortonormais em Q. Matriz de Toeplitz T. Matriz com diagonal constante, de modo que t i j depende somente de j i. Matrizes de Toeplitz representam filtros lineares invariantes no tempo em processamento de sinais. Traço de A = soma das entradas da diagonal = soma de autovalores de A. Tr AB = Tr BA. Matriz transposta A T. Entradas (formula). A T é n por m, A T A é quadrada, simétrica, positivo semidefinida. As transpostas de AB e A -1 são B T A T e (A T ) -1. Desigualdade triangular. Para normas matriciais:. Matriz tridiagonal T: t i j = 0 se i - j > 1. T -1 tem posto 1 acima e abaixo diagonal. Matriz unitária. Colunas ortonormais (análogo complexo de Q). Matriz de VandermondeV. Vc = b fornece o polinômio em n pontos. e det V = produto de. Vetor v em R n. Seqüência de n números reais v = (v 1,..., v n ) = ponto em R n. Adição de vetor. v + w = (v 1 + w 1,..., v n + w n ) = diagonal do paralelogramo. Espaço vetorial V. Conjunto de vetores tal que todas as combinações cv + dw permanecem em V. As oito regras exigidas são fornecidas na Seção 3.1 para cv + dw. Volume da caixa. As linhas (ou colunas) de A geram uma caixa com volume det(a). Ondaletas (Ondas pequenas: wavelets) w j k (t) ou vetores w j k. Estendem e desviam o eixo de tempo para criar. Vetores de w 00 = (1, 1, -1, -1) seriam (1, -1, 0,0) e (0,0,1, - 1).. Em com

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