Exercícios de Matemática Matrizes

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1 Exercícios de Matemática Matrizes ) (Unicamp-999) Considere as matrizes: cos sen x sen cos y M=, X = z e Y = a) Calcule o determinante de M e a matriz inversa de M. b) Resolva o sistema MX = Y. ) (ITA-6) Sejam as matrizes A = 5 5 e B = 5 Determine o elemento c 4 da matriz C = (A + B) -. ) (ESPM-6) A toda matriz não nula [x y], corresponde um ponto P(x; y) no plano cartesiano, diferente da origem. Ao se multiplicar essa matriz pela matriz, o ponto P: a) Sofre uma rotação anti-horária de 9º em torno da origem. b) É projetado ortogonalmente no eixo das abscissas. c) Sofre uma reflexão em torno do eixo das abscissas. d) Sofre uma reflexão em torno do eixo das ordenadas. e) Sofre uma rotação horária de 9º em torno da origem. 4) (IBMEC-5) Uma matriz quadrada M é chamada de idempotente se M = M M = M. a) Determine [-, ] para que a matriz, sen( ) cos( ) cos( ) sen( ) seja idempotente., b) Determine, e sen( ) sen( ) cos( ) sen( ) seja idempotente. 5) (UFC-5) para que a matriz 5, Se e satisfaz a identidade matricial 5 cos sen sen cos =, então, o valor correto de tg é igual a : a) b) c) d) e) 6) (ITA-5) Sejam A e B matrizes x tais que AB = BA e que satisfazem à equação matricial A + AB - B =. Se B é inversível, mostre que: a) AB - = B - A e que b) A é inversível. 7) (FGV-5) O montante aplicado de R$5., foi dividido em duas partes, x e y, uma tendo rendido % em um mês, e a outra % no mesmo período. O total dos rendimentos dessa aplicação foi de R$4.,. Sendo M, P x 5, e Q as matrizes M = y, P = 4 e Q =,, a matriz M pode ser obtida pelo produto a).(p t.q) - b) P t.q. c) Q -.P. d).(q t ) -.P e) (Q - ) t.p. 8) (UFC-4) A matriz quadrada M, de ordem n >, satisfaz a equação M = M - I, onde I é a matriz identidade de ordem n >. Determine, em termos de M e I, a matriz M. 9) (FGV-4) Uma matriz X tem elementos cuja soma vale. Seja X t a transposta da matriz X. Sabendo que X..X t = [], podemos afirmar que o produto dos elementos de X vale: a) b),5 Projeto Medicina

2 c),6 d) - e) -6 ) (Vunesp-996) Considere as matrizes reais x do tipo cosx senx A(x) = senx cosx a) Calcule o produto A(x).A(x). b) Determine todos os valores de x[, ] para os quais A(x).A(x)=A(x). 4) (UFSCar-9) Considere a transformação de coordenadas cartesianas (x, y), dos pontos que compõem a figura a seguir, em coordenadas (x, y ), através da operação matricial indicada ao lado da figura. ) (ITA-995) Dizemos que duas matrizes nxn A e B são semelhantes se existe uma matriz nxn inversível P tal que B=P - AP. Se A e B são matrizes semelhantes quaisquer, então: a) B é sempre inversível. b) se A é simétrica, então B também é simétrica. c) B é semelhante a A. d) se C é semelhante a A, então BC é semelhante a A. e) det(i-b)=det(i-a), onde é um real qualquer. x ` = y` x 6. x y Com essa transformação, a figura que se obtém no plano (x, y ) é a) a b ) (UFSCar-) Seja A = c d uma matriz x cujos coeficientes são números reais. Vamos chamar de a c transposta de A à matriz A t = b d. Dizemos que uma matriz A é simétrica se A = A t e dizemos que A é antisimétrica se A = - A t. b) a) Dada uma matriz A qualquer, verifique que B = (A + A t ) é uma matriz simétrica e que C = (A - A t ) é uma matriz anti-simétrica. c) b) Mostre que toda matriz x é a soma de uma matriz simétrica com uma matriz anti-simétrica. ) (Fuvest-994) a) Dada a matriz A, calcule a sua inversa A -. b) A relação especial que você deve ter observado entre A e A -, seria também encontrada se calculássemos as matrizes inversas de B, C e D. Generalize e demonstre o resultado observado. A = B= ; C= 4 5 ; D= d) Projeto Medicina

3 e) 5) (Mack-7) Considere a matriz e uma matriz A = [ - ] e uma matriz B = [b ij ]. Se A.B.A = A, então, é correto afirmar que, na matriz B, a) b = b b) b = - + b c) b = + b d) b = + b e) b = b 6) (Mack-8) A tabela mostra as quantidades de grãos dos tipos G e G produzidos, em milhões de toneladas por ano, pelas regiões agrícolas A e B. A tabela indica o preço de venda desses grãos. tabela tabela Região A Região B G 4 5 G 6 Sendo x o total arrecadado com a venda dos grãos produzidos pela região A e y pela região B, a matriz x y é a) 4 6 b) 6 68 c) d) 6 4 e) ) (UFSCar-8) Admita que a matriz cuja inversa seja formada apenas por elementos inteiros pares receba o nome de EVEN. Seja M uma matriz, com elementos reais, tal que M = x x x. Admita que M seja EVEN, e que sua inversa tenha o elemento da primeira linha e primeira coluna igual a. a) Determine o valor de x nas condições dadas. b) Determine a inversa de M nas condições dadas. 8) (VUNESP-7) Uma fábrica produz dois tipos de peças, P e P. Essas peças são vendidas a duas empresas, E e E. O lucro obtido pela fábrica com a venda de cada peça P é R$, e de cada peça P é R$,. A matriz abaixo fornece a quantidade de peças P e P vendidas a cada uma das empresas E e E no mês de novembro. A matriz, onde x e y representam os lucros, em reais, G G Preço por tonelada 8 obtidos pela fábrica, no referido mês, com a venda das peças às empresas E e E, respectivamente, é: 9 b) c) d) 6 8 e) 7 5 a) 9) (UERJ-6) Três barracas de frutas, B, B e B, são propriedade de uma mesma empresa. Suas vendas são controladas por meio de uma matriz, na qual cada elemento b ij representa a soma dos valores arrecadados pelas barracas B i e B j, em milhares de reais, ao final de um determinado dia de feira. B = x a d,8 y c,, z Projeto Medicina

4 Calcule, para esse dia, o valor, em reais: a) arrecadado a mais pela barraca B em relação à barraca B b) arrecadado em conjunto pelas três barracas. ) (UFC-6) As matrizes A e B são quadradas de ordem 4 e tais que AB = BA. 9 ) (Vunesp-6) Sejam A = x y x y. Determine a matriz, B = e C = matrizes reais. a) Calcule o determinante de A, det(a), em função de x e y, e represente no plano cartesiano os pares ordenados (x, y) que satisfazem a inequação det(a) det(b). b) Determine x e y reais, de modo que A + B = C. ) (Mack-6) Dadas as matrizes A =, se A.B = B.A, então a) x.y = x b) y c) log y x = d) x + y = 8 e) x = y x y e B = 4) (UFV-5) Sejam as matrizes A = 6 e M = x y, onde x e y são números reais e M é a matriz inversa de A. Então o produto x y é: a) b) c) d) 4 e) 4 5) (Vunesp-6) Numa pequena cidade realizou-se uma pesquisa com certo número de indivíduos do sexo masculino, na qual procurou-se obter uma correlação entre a estatura de pais e filhos. Classificaram-se as estaturas em grupos: alta (A), média (M) e baixa (B). Os dados obtidos na pesquisa foram sintetizados, em termos de probabilidades, na matriz ) (Mack-4) Se o produto de matrizes a) b) c) - d) e) -. x y é a matriz nula, x + y é igual a:. O elemento da primeira linha e segunda coluna da matriz, que é 4, significa que a probabilidade de um filho de pai alto ter estatura média é 4. Os demais elementos interpretam-se similarmente. Admitindo-se que essas probabilidades continuem válidas por algumas gerações, a probabilidade de um neto de um homem com estatura média ter estatura alta é: a) 4 Projeto Medicina

5 9 b) 64 c) 4 5 d) 64 e) 6 6) (IBMEC-5) Uma agência de propaganda utiliza nas campanhas publicitárias que elabora para seus clientes três tipos de material para divulgação em papel: impresso tipo PB, em preto e branco no papel simples, impresso tipo CK, colorido no papel simples, impresso tipo CKX, colorido no papel mais grosso. Para fazer este tipo de trabalho, a agência contrata normalmente três gráficas, que cobram preços unitários diferentes para cada tipo de impressão conforme tabela abaixo. Tabela Tipo PB CK CKX Gráfica A R$, R$, R$4, Gráfica B R$, R$, R$4, Gráfica C R$, R$, R$6, a) Determine a gráfica que, para fazer impressões do tipo PB, 5 do tipo CK e do tipo CKX apresentaria o menor custo. b) No último ano, a agência fez 5% dos seus impressos com a gráfica A, 45% com a gráfica B e o restante com a gráfica C. Supondo que, em cada campanha deste último ano, a agência sempre fez os três tipos de impressão com a mesma gráfica e que os preços unitários foram os valores dados na Tabela, determine o custo unitário médio que a agência teve com cada tipo de impressão. cada um dos jogos. Em relação às regras do torneio e à matriz A, sabe-se que: - as equipes jogaram entre si uma única vez no torneio; - em cada jogo, cada equipe ganhou pontos por vitória, por empate ou por derrota; - foi considerada campeã a equipe que totalizou o maior número de pontos; - as equipes foram numeradas de a ; - a ij representa os pontos ganhos pela equipe i no jogo contra a equipe j, sendo que para i = j adota-se a ij = ; - cada uma das equipes empatou ao menos um jogo. Sabendo-se que a equipe número 5 foi a campeã do torneio, com um total de 48 pontos, é correto afirmar que igual a a) 6. b) 9. c). d). e) 5. a i 5 i 9) (Santa Casa-98) Se uma matriz quadrada A é tal que A t = -A, ela é chamada matriz anti-simétrica. Sabe-se que M é anti-simétrica e 4 a a b... M = b c c 8 Obs. M: Matriz quadrada de ordem. Os termos a, a e a da matriz M valem, respectivamente: a) -4, - e 4 b) 4, e -4 c) 4, - e -4 d), -4 e e) n.d.a. é x 7) (Vunesp-5) Considere as matrizes A = y z, B = 4 5 e C = 6 45,com x, y, z números reais. Se AB = C, a soma dos elementos da matriz A é: a) 9. b) 4. c) 4. d) 5. e) 8. 8) (FMTM-5) A matriz A= (a ij ) x indica a pontuação das equipes que disputaram um torneio de futebol por ) (Santana-98) Se a matriz então x -y é igual a: a) 9 b) 8 c) d) 8 e) 9 y x x é simétrica, 5 Projeto Medicina

6 x ) (UFRS-98) Se a matriz então x + y + z é: a) 7 b) 9 c) d) e) ) (Mack-996) Sejam as matrizes a seguir j A a ij,aij i 4x i B b ij,b x4 ij j Se C = A.B, então c vale: a) b) 4 c) 9 d) 84 e) 5 4 z y 5 6 for simétrica, c) d) e) 5) (Mack-5) Considere as matrizes A e B, tais que A = e A.B =. A soma dos elementos da primeira coluna da matriz B é igual a: a) b) c) d) 4 e) 5 ) (FEI-996) Considere as matrizes A e B a seguir : a a b b A = a e B = b Se a inversa da matriz A é a matriz B então: a) a = ou b = b) ab = c) ab = d) a = e b = e) a + b = 4) (FEI-994) Se as matrizes A= (a ij ) e B= (b ij ) estão assim definidas: aij se i j aij se i j bij se i j 4 bij se i j 4 onde i, j, então a matriz A + B é: a) b) 6) (UFC-4) O valor de a para que a igualdade matricial. a = seja verdadeira é: a) b) c) d) - e) - 7) (FGV-4) É dada a matriz A = 6 4 a) Se B = A t - A,onde A t a matriz transposta de A e B = y 5x 7y x 5 x 7 y y x 7y x determine o número real w, tal que w = x. y b) Considere a matriz C, tal que C = - A t. Encontre o valor do número real p, sendo p o determinante da matriz C. A -, isto é, p = det (C. A - ) e A - matriz inversa da matriz A. 6 Projeto Medicina

7 A 8) (FGV-4) Com relação à matriz, a opção correta é: 4 a) A I, sendo I a matriz identidade de ordem. b) A I, sendo I a matriz identidade de ordem. c) A A d) A A e) A A mx y 4 x my 6 k b) Dadas as matrizes A = m e B = para que valores de k e m, a matriz A é a inversa de B? 4) (UFPR-995) Considere a matriz A[a ij ], de ordem 4x4, cujos elementos são mostrado a seguir., se i j a ij =, se i j 9) (FGV-4) Seja a matriz A = elementos da matriz A é a). b) 8. c) 5. d) 75. e).. A soma dos É correto afirmar que:. Na matriz A, o elemento a é igual ao elemento a.. Os elementos da diagonal principal da matriz A são todos nulos. 4. O determinante da matriz A é igual a Se a matriz B é [ - -], então o produto B.A é a matriz -B. 6. Sendo I a matriz identidade de ordem 4, a matriz A+I possui todos os elementos iguais a. 4 4) (UFSCar-4) A matriz M = está sendo usada para representar as coordenadas dos vértices A(, ),B(, ) e C(4, ) de um triângulo ABC. Multiplicando-se M por uma constante k >, a matriz resultante da operação indicará os vértices do triângulo A B C, de acordo com o mesmo padrão anterior de representação. Em tais condições, a área do triângulo A B C será igual a a) k b) 6k c) k d) k e) 6k 4) (Fatec-) Seja a matriz 9 8 A 9. É verdade que a + b é igual a a) b) c) 9 d) - e) -9 A a b tal que 4) (FGV-) a) Discuta, em função de m, o sistema nas incógnitas x e y: Marque como resposta a soma dos itens corretos. 44) (UEL-) Uma nutricionista recomendou aos atletas de um time de futebol a ingestão de uma quantidade mínima de certos alimentos (fruta, leite e cereais) necessária para uma alimentação sadia. A matriz D fornece a quantidade diária mínima (em gramas) daqueles alimentos. A matriz M fornece a quantidade (em gramas) de proteínas, gorduras e carboidratos fornecida por cada grama ingerida dos alimentos citados. fruta D leite 6 cereais fruta leite cereais,6 M,,84,,5,5,8 proteínas,8 gorduras,6 carboidratos A matriz que mostra a quantidade diária mínima (em gramas) de proteínas, gorduras e carboidratos fornecida pela ingestão daqueles alimentos é: 8, 9,7 48, 6, 6, 6, a) 454, b) 46, c) 4,4 d) 5,9 75,9 48,,5 45,6 e) 4, 7 Projeto Medicina

8 45) (UFSCar-) Sejam as matrizes: log, A = log, 5 e B = 4 Calcule: a) o determinante da matriz (B - A). b) a matriz inversa da matriz (B - A). 46) (Mauá-) Para acessar suas contas correntes via Internet, os clientes de um banco devem informar x: número do banco; y: número da agência; r: número da conta corrente; s: senha de acesso. Para garantir a segurança desses dados, que trafegam pela Internet, a matriz de x y informação I = r s é pré-multiplicada por A = 5. Assim, a informação que trafega pela rede é I.A. Se um cliente digitar x=; y=57; r=89 e s=46, qual será a informação que trafegará pela Internet? d) M - = 5) (Vunesp-999) Seja A =. a) Justifique, através do cálculo do determinante, que A é inversível. b) Mostre que A - =A t 5) (FGV-998) Considere a matriz A = as matrizes: a) A + A. Obtenha 47) (ESPM-995) Considere as matrizes: I. A = (a ij ), x6, definida por a ij = i-j II. B = (b ij ), 6x8, definida por b ij = i III. C = (c ij ), C = A.B b) l A l O elemento c 4 é: a) -64 b) - c) -9 d) e) Não existe 48) (AFA-999) Se os elementos da matriz A x4 são definidos por a ij = i - j, então, o elemento b da matriz B = - A.A t é a). b) 7. c). d). 49) (UFRN-) Dada a matriz M = afirmar que: a) M 5 = M.M.M...M = M 5 vezes b) DET (M) = c) M.X = M = podemos 5) (Vunesp-994) Determine os valores de x, y e z na igualdade a seguir, envolvendo matrizes reais x: x. x x y x z 4 z y z 5) (UFPR-995) Considere a matriz A[aij], de ordem 4x4, cujos elementos são mostrado a seguir.,se i j Aij =,se i j É correto afirmar que:. Na matriz A, o elemento a é igual ao elemento a.. Os elementos da diagonal principal da matriz A são todos nulos. 4. O determinante da matriz A é igual a Se a matriz B é [ - -], então o produto B.A é a matriz -B. 6. Sendo I a matriz identidade de ordem 4, a matriz A+I possui todos os elementos iguais a. Marque como resposta a soma dos ítens corretos. 54) (UECE-996) Sejam as matrizes M e M a seguir e considere a operação entre estas matrizes: 8 Projeto Medicina

9 M = p, M = Nessas condições p + q é igual a: a) 5 b) 6 c) 7 d) 8. q e M.M - M.M = - 55) (UECE-) A solução da equação matricial x. y é: a) b) c) d) ) (UFSCar-) Seja a matriz M = (m ij ) x, tal que m ij = j - i. a) Escreva M na forma matricial. b) Sendo M t a matriz transposta de M, calcule o produto M M t. 57) (UFPR-) Para cada número x, considere as x - x matrizes: A = - x - e B =. Então, é correto afirmar: - Se x =, então A + B =. - Se x =, então AB = -. - Existe número real x tal que det A = det B. - Existe número real x tal que A é inversa de B. - O número complexo +i é raiz da equação det A =. - (det A)(det B) é um polinômio cujas raízes têm soma igual a. L P P 5 P L 9 6 L 8 Analisando a matriz, podemos afirmar que a) a quantidade de produtos do tipo P vendidos pela loja L é. b) a quantidade de produtos do tipo P vendidos pela loja L é. c) a soma das quantidades de produtos do tipo P vendidos pelas três lojas é 4. d) a soma das quantidades de produtos do tipo P i vendidos pelas lojas L i, i =,,, é 5. e) a soma das quantidades dos produtos dos tipos P e P vendidos pela loja L é 45. a b 59) (Fuvest-999) Se as matrizes A = c d e B = são tais que AB = BA, pode-se afirmar que a) A é inversível b) det A = c) b = d) c = e) a = d = 6) (Fuvest-4) Uma matriz real A é ortogonal se A.A t = I, onde I indica a matriz identidade e A t indica a transposta x de A. Se A = é ortogonal, então x + y é igual a: y z a) 4 b) 4 c) d) e) 58) (Vunesp-) Considere três lojas, L, L e L, e três tipos de produtos, P, P e P. A matriz a seguir descreve a quantidade de cada produto vendido por cada loja na primeira semana de dezembro. Cada elemento a ij da matriz indica a quantidade do produto P i vendido pela loja L j,i, j =,,. 6) (Unifesp-) Uma indústria farmacêutica produz, diariamente, p unidades do medicamento X e q unidades do medicamento Y, ao custo unitário de r e s reais, respectivamente. Considere as matrizes M, x, e N, x: r M = [p q] e N = s A matriz produto M.N representa o custo da produção de a) dia. b) dias. 9 Projeto Medicina

10 c) dias. d) 4 dias. e) 5 dias. 6) (Mack-5) O traço de uma matriz quadrada é a soma dos elementos de sua diagonal principal. O traço da matriz A = (a ij ) x, tal que a ij = i j, é: a). b) 5. c) 5. d) 4. e) 6. 6) (ESPM-5) Uma matriz quadrada de ordem é tal que o elemento situado na linha x e coluna y vale x - y. Com relação à inversa dessa matriz, pode-se afirmar que: a) O elemento situado na linha x e coluna y vale x - y b) O elemento situado na linha x e coluna y vale x + y c) O elemento situado na linha x e coluna y vale y - x d) O elemento situado na linha x e coluna y vale y - x e) Essa matriz não tem inversa 64) (UFRS-984) A matriz A = (a ij ), de segunda ordem, é definida por a ij = i - j. Então, A - A t é: a) b) c) d) e) 65) (UFSE-984) São dadas as matrizes A = e B =. A matriz X = A t + B, onde A t é a matriz transposta de A, é igual a: 4 a) 5 b) c) 4 4 d) 4 4 e) 66) (Vunesp-) Sejam A e B duas matrizes quadradas de mesma ordem. Em que condição pode-se afirmar que (A + B) = A + AB + B? a) Sempre, pois é uma expansão binomial. b) Se e somente se uma delas for a matriz identidade. c) Sempre, pois o produto de matrizes é associativo. d) Quando o produto AB for comutativo com BA. e) Se e somente se A = B. 67) (FGV-) Sejam A, B e C matrizes quadradas de ordem e a matriz nula também de ordem. Assinale a alternativa correta: a) Se AB = então A = ou B = b) det(a) = det(a) c) Se AB = AC então B = C d) A(BC) = (AB)C e) det(a + B) = det(a) + det(b) 68) (UEL-) Sendo A uma matriz mn e B uma matriz pq, é correto afirmar que a) (A t ) t = A e (B t ) t = B b) Sempre é possível efetuar (A + B) c) Se n = p, então A.B = B.A d) Sempre é possível efetuar o produto A.B e) Se n = p, então A.B t = B t.a 69) (FGV-) A, B e C são matrizes quadradas de ordem, e I é a matriz identidade de mesma ordem. Assinale a alternativa correta: a) (A + B) = A + AB + B b) B.C = C.B c) (A + B).(A - B) = A - B d) C.I = C e) I.A = I x 5 7) (FAZU-) Se a matriz x invertível, então o valor de x é: a) 5 b) c) -5 d) - e) x 5 não é 7) (Vunesp-999) Se A, B e C forem matrizes quadradas quaisquer de ordem n, assinale a única alternativa verdadeira: Projeto Medicina

11 a) AB = BA. b) Se AB = AC, então B = C. c) Se A = O n (matriz nula), então A = O n. d) (AB)C = A(BC). e) (A + B) = A + AB + B. 7) (UFRJ-999) Antônio, Bernardo e Cláudio saíram para tomar chope, de bar em bar, tanto no sábado quanto no domingo. As matrizes a seguir resumem quantos chopes cada um consumiu e como a despesa foi dividida: S = 5 e D = S refere-se às despesas de sábado e D às de domingo. Cada elemento a ij nos dá o número de chopes que i pagou para j, sendo Antônio o número, Bernardo o número e Cláudio o número (a ij representa o elemento da linha i, coluna j de cada matriz). Assim, no sábado Antônio pagou 4 chopes que ele próprio bebeu, chope de Bernardo e 4 de Cláudio ( primeira linha da matriz S). a) Quem bebeu mais chope no fim de semana? b) Quantos chopes Cláudio ficou devendo para Antônio? 7) (UniAra-) Sobre as sentenças: I. O produto de matrizes A 4x.B x é uma matriz 4x II. A soma de matrizes A x +B x é uma matriz x III. A soma de matrizes A x +B x é uma matriz x É verdade que: a) somente a II é falsa b) somente a I é falsa c) I, II e III, são falsas d) I e III são falsas e) somente a III é falsa 74) (UEL-995) Sejam as matrizes A e B, respectivamente, x4 e pxq. Se a matriz A.B é x5, então é verdade que: a) p = 5 e q = 5 b) p = 4 e q = 5 c) p = e q = 5 d) p = e q = 4 e) p = e q = Projeto Medicina

12 Gabarito cos -sen sen cos ) a) det M = e M - = x cos y sen b) z = x = cos; y = sen e z=. ) Resposta : Para obter um elemento específico da matriz inversa, o ideal é usar o método de obter a matriz inversa via matriz adjunta. ) Alternativa: A 4) a) b) = 6., = 5 ou = ) Alternativa: E a b a c ) a) Seja A = c d e A t = b d temos B = (A + a b c a b c b c A t ) = b c d d = a b c b c Como B t = d = B então B é matriz simétrica. a b a c Seja A = c d e A t = b d temos C = (A - A t ) = b c b c c b c b = c b b c Como C t = = -C então C é matriz antisimétrica. 5) Alternativa: B 6) Resposta a) Se AB = BA, então B - AB = B - BA = B - AB B - = B - BA B - = B - A.I = I.A.B - = B - A = A.B -, ou seja, AB - = B - ª b) A + AB - B = (A + AB - B).B - =.B - A.(AB - ) + A - I = A.[AB - + I ] = I Assim, det(a.[ab - + I ]) = det I deta det(ab - + I) = Assim, concluímos que deta, portanto A é inversível. b) Se A, B e C são matrizes x, B é matriz simétrica dada por B = (A + A t ) e C é anti-simétrica dada por C = (A - A t ) temos que B + C = A + A t + A - A t = A + A = A. Logo, podemos dizer que qualquer matriz A do tipo x é a soma uma matriz simétrica com uma anti-simétrica devidamente escolhidas. 7) Alternativa: D e E Ambas representam a mesma matriz, pois.(q t ) -.P = (Q - ) t.p. 8) M = I - M (obtenha as potências de M e perceba que elas formam uma seqüência de período 6, portanto M = M 5 ) 9) Alternativa: A Dica: perceba que a matriz X precisa ser do tipo (x). ) a) A(x).A(x) = senx b) x {, } senx ) a) A - = a b b) Isso acontece com matrizes do tipo c a com determinante -, pois: a b a b Se A = A - = c a e A. A - = I, então c a a b a bc c a = a bc = a +bc = - a -bc = - det = - Projeto Medicina

13 4) Alternativa: C 5) Alternativa: B 6) Alternativa: B 7) a) x = b) 6 8 ) Alternativa: C 4) Alternativa: A 5) Alternativa: A 6) a) Resposta: Gráfica C b) Resposta: Os custos unitários médios, em reais, são,5,,7 e 4,6, respectivamente, para os tipos de impressão PB, CK e CKX. 8) Alternativa: C b b,8 9) a) b b, (b + b ) -(b + b ) = b - b =, -,8, milhares de reais. reais b b,8 b b, b) b b, (b + b ) + (b + b ) + (b + b ),8 +, +, b + b + b = 6,8 b + b + b =,4 milhares de reais.4 reais ) B.A = ) a) deta = - 4x + y; gráfico. 7) Alternativa: B 8) Alternativa: A 9) Alternativa: B ) Alternativa: B ) Alternativa: C ) Alternativa: D ) Alternativa: C 4) Alternativa: D 5) Alternativa: C 6) Alternativa: B 7) a) 7 b) p = 8 8) Alternativa: A 9) Alternativa: A 4) Alternativa: D 4) Alternativa: B 4) a) SPD: m SI: m = b) x = e y =. ) Alternativa: C b) k = e m = - 6 4) V V F V V = = 7 44) Alternativa: E Projeto Medicina

14 5 45) B-A = 5 8 a) det (B-A) = 4+ = b) (B-A) - = 46) Resposta: trafegará a matriz IA = 68 47) Alternativa: E 48) Alternativa: D 49) Alternativa: A ) a) Aplicando a regra de Sarrus, obtemos o determinante da matriz como sendo det A =. Assim, a matriz é inversível, pois det A. b) Se mostrarmos que A.A t = I (identidade) então estaremos mostrando que A t = A - (pela definição de Matriz Inversa). De fato, multiplicando a matriz A pela sua transposta obtemos a identidade de ordem. 5) a) b) ) x =, y =, z = 4. 5) V V F V V = = 7 54) Alternativa: C 6) e) Multiplique a matriz A pela sua transposta e iguale à identidade. Resolva o sistema mantendo as incógnitas x, y e z ao quadrado. 6) Alternativa: B 6) Alternativa: B 6) Alternativa: E 64) Alternativa: B 65) Alternativa: D 66) Alternativa: D 67) Alternativa: D 68) Alternativa: A 69) Alternativa: D as alternativas A, B e C são falsas pois a multiplicação de matrizes não possui a propriedade comutativa. E como a matriz identidade é o elemento neutro da multiplicação, C. I = C. 7) Alternativa: C 7) Alternativa: D 7) a) Cláudio bebeu mais (5 chopes) b) chopes. 7) Alternativa: D 74) Alternativa: B 55) Alternativa: B 56) a) M = b) M.M t = ) V F V F V F 58) Alternativa: E 59) Alternativa: D 4 Projeto Medicina