Álgebra Matricial(MAT110) - Notas de Aulas I Sistemas Lineares, Matrizes e Determinantes. Prof Carlos Alberto Santana Soares

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1 Álgebra Matricial(MAT110 - Notas de Aulas I Sistemas Lineares, Matrizes e Determinantes 1 Prof Carlos Alberto Santana Soares 2019

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3 3 Sumário Sumário 3 1 Introdução 5 11 Equaçoes Lineares a Uma Incógnita 5 12 Equações Lineares a Duas Incógnitas 6 13 O Caso Geral 7 14 Sistemas Lineares de Duas Equações a Duas Incógnitas 8 15 Exercícios Resolvidos Exercícios Propostos 16 2 Matrizes Apresentação Conceito e exemplos Exercícios Propostos Operações com Matrizes Soma e Multiplicação por Escalar Exercícios Propostos Multiplicação de Matrizes Exercícios Resolvidos Exercícios Propostos Matriz Inversa Exercícios Propostos Operaçoes Elementares sobre Linhas e Matrizes Linha Reduzidas Matrizes linha Equivalentes Matriz Inversa e Linha Equivalência Exercícios Propostos 46

4 4 SUMÁRIO 3 Sistemas Lineares e Determinantes Sistemas Lineares Exercícios Propostos Determinantes Determinantes de ordem 2 e Determinante de uma matriz de ordem n Obtenção da Matriz Inversa via Determinantes A Regra de Cramer(Solução de Sistemas via Determinantes Exercícios Propostos 66 4 Respostas dos Exercícios Seção 16, página Subseção 212, página Subseção 222, página Subseção 225, página Subseção 231, página Subseção 243, página Subseção 311, página Subseção 325, página Referências Bibliográficas 81

5 5 Capítulo 1 Introdução Neste capitulo estaremos interessados em estudar os sistemas de equações lineares ou, simplesmente, os sistemas lineares Iniciemos recordando soluções de algumas equações lineares que nos darão uma ideia do que acontece no caso geral 11 Equaçoes Lineares a Uma Incógnita Com certeza, as equações lineares mais simples são aquelas a uma incógnita Vejamos alguns exemplos Exemplo 11 Resolver a equação 3x 2 Neste exemplo é claro que a equação possui solução única, qual seja, x 2/3 e, portanto, temos S {2/3} Observamos que estaremos sempre buscando as soluções em R, isto é, números reais e que sempre teremos o conjunto solução ainda que este conjunto seja Exemplo 12 Resolver a equação 0x 0 É simples observar que qualquer número real é solução desta equação e, portanto, temos S R Exemplo 13 Resoler a equação 0x 3 É óbvio que este sistema não possui solução e, daí, S

6 6 CAPÍTULO 1 INTRODUÇÃO No caso geral, isto é, uma equação do tipo ax b com a, b números reais, teremos: S {b/a}, solução única se, a 0 S R, infinitas soluções se, a b 0 S, nenhuma solução se, a 0 e b 0 12 Equações Lineares a Duas Incógnitas Vejamos alguns exemplos de equações lineares do tipo ax + by c com a, b e c números reais fixados, isto é, as chamadas equações lineares a duas incógnitas Exemplo 14 Resolver a equação linear Isolando y, poderíamos também optar por isolar x, teremos, e, portanto, segue 2x + 3y 1 (11 y 1 2x 3 S {(x, 1 2x, x R} 3 Note que, como a equação é de duas incógnitas, cada solução, se existir, será dada por um par ordenado (x, y Neste caso, a equação possui infinitas soluções, isto é, para cada x escolhido, obtemos y 1 2x tal que (x, y seja solução da equação Se fizermos, por exemplo, x 1, 3 obtemos y 1/3 e, daí, o par (1, 1/3 que é uma solução da equação Note que o par ( 1/3, 1 não é uma solução para a equação (11! Atenção: Resolver uma equação é determinar todas as suas soluções, isto é, seu conjunto solução e não somente algumas soluções Exemplo 15 Resolver a equação 0x + 0y 1 É claro que não temos solução para esta equação e, portanto, teremos S No caso geral, para uma equação linear a duas incógnitas, isto é, equações do tipo ax + by c (12

7 13 O CASO GERAL 7 teremos: Se a 0 o conjunto solução será S {( c by, y; y R} (infinitas soluções a Se b 0 o conjunto solução será S {(x, c ax ; x R} (infinitas soluções b Se a b c 0, teremos que qualquer par (x, y é solução, isto é, S R 2 (infinitas soluções Se a b 0 e c 0, teremos S ( nenhuma solução Note que uma equação a duas incógnitas nunca terá solução única! Observação 16 Na equação (12 quando a e b são não nulos, isto é, a e b são diferentes de zero, isolando x ou y, teremos o conjunto solução dado, respectivamente, por S {( c by a, y; y R} ou S {(x, c ax ; x R} b Aparentemente os dois conjuntos são diferentes mas eles só diferem pela forma como explicitamos seus elementos No primeiro conjunto ao escolhermos y determinamos o correspondente valor de x, isto é, escolhemos y para variável livre No segundo conjunto ao escolhermos x determinamos o correspondente valor de y, ou seja, escolhemos x para variável livre, mas ao percorremos todo o conjunto dos números reais, escolhendo y no primeiro ou x no segundo teremos a igualdade entre os dois conjuntos O conceito de varável livre ficará mais claro nas próximas seções 13 O Caso Geral Partindo dos exemplos acima introduzimos o conceito de equação linear a n incógnitas, ou seja: Definição 17 Chamamos equação linear a n incógnitas qualquer equação do tipo ax 1 + ax 2 + ax ax n b (13 Na equação (13 os números a 1, a 2,, a n são números reais conhecidos chamados os coeficientes da equação O número conhecido b é chamado termo independente ou termo constante da equação Como nos exemplos acima, para equações a duas incógnitas x 1 e x 2, geralmente, são substitídos por x e y O mesmo vale para equações a três incógnitas, onde x 1, x 2 e x 3 são substituídos, respectivamente, por x, y e z Para equações a mais de três incógnitas, a fim de evitar ambiguidade, é mais simples indexarmos as incógnitas, isto é, escrever a equação na forma (13 Uma solução para a equação (13 será qualquer ênupla (x 1, x 2,, x n satisfazendo ax 1 + ax 2 + ax ax n b Salientamos que uma ênupla é considerada sempre ordenada, isto é, por exemplo, (1, 2, 4, 3 (2, 1, 4, 3 Vejamos alguns exemplos Exemplo 18 (1, 2, 1, 0 é uma solução para a equação x 1 x 2 x 3 + x 4 0?

8 8 CAPÍTULO 1 INTRODUÇÃO Como temos que (1, 2, 1, 0 não é uma solução da equação proposta Exemplo 19 (2, 1, 1, 0 é uma solução para a equação x 1 x 2 x 3 + x 4 0? Como temos que (2, 1, 1, 0 é uma solução da equação proposta Exemplo 110 Resolver a equação x 2y + z 1 Como em exemplos anteriores, isolando x, temos Logo, vem x 1 + 2y z S {(1 + 2y z, y, z; y, z R} Note que escolhemos y e z para variáveis livres Uma solução pode ser explicitada tomando y z 1 e obtendo, daí, x 2 Logo, temos que (2, 1, 1 é uma solução da equação proposta Ainda que já tenhamos mencionado, voltamos a enfatizar que resolver uma equação significa determinar todas as suas soluções, isto é, seu conjunto solução e não somente uma ou algumas soluções particulares Exemplo 111 Resolver a equação x 2y + z + 0w 1 Note que esta equação, diferentemente da anterior, possui 4 incógnitas e, portanto, qualquer solução, se existir, deverá ter 4 números Ao isolarmos x teremos O conjunto solução será, então, x 1 + 2y z 0w 1 + 2y z S {(1 + 2y z, y, z, w; y, z, w R} Note que no exemplo anterior poderíamos optar por isolar y ou z mas não poderíamos isolar w, isto é, w será sempre uma varável livre! 14 Sistemas Lineares de Duas Equações a Duas Incógnitas Vejamos, agora, sistemas de duas equações e duas incógnitas ou sistemas 2 2, sistemas estes já trabalhados no ensino médio

9 14 SISTEMAS LINEARES DE DUAS EQUAÇÕES A DUAS INCÓGNITAS 9 Exemplo 112 Resolver o sistema { 3x + y 5 x + 2y 5 Comumente, temos dois métodos para resolver tais sistemas, quais sejam, substituição e eliminação Usando substituição, teremos, isolando y na primeira equação e substituindo na segunda y 5 3x x + 2(5 3x 5 x x 5 5x 5 x 1 Retornando a y 5 3x obtemos y 2 Logo, o conjunto solução será S {(1, 2}( Solução única O método de eliminação consiste em eliminar uma equação Por exemplo, multiplicando a segunda equação por 3, obtemos o sistema { 3x + y 5 3x 6y 15 Note que este sistema é equivalente ao sistema inicial, isto é, ambos possuem o mesmo conjunto solução Somando as duas equações deste sistema, obtemos a equação 5y 10, a qual nos leva a y 2 e, consequentemente, x 1 Finalmente, temos Exemplo 113 Resolver o sistema S {(1, 2} (Solução única! { 3x + y 5 x y 5 3 Usando substituição, tal como fizemos no exemplo anterior, teremos y 5 3x x (5 3x 5 3x + 5 3x 5 0x 0 3 Cientes de que qualquer número real é solução da equação 0x 0 somos levados a concluir que x pode ser qualquer valor, desde que y 5 3x e, portanto, o conjunto solução será Abordemos, ainda, um terceiro exemplo Exemplo 114 Resolver o sistema S {(x, 5 3x; x R} (Infinitas soluções! { 3x + y 5 x + 1y Novamente, usando substituição, teremos, y 5 3x x + 1(5 3x 4 3x + 5 3x 4 0x 1 Logo, não existe valor de 3 3 x que satisfaça o sistema e, portanto, teremos S

10 10 CAPÍTULO 1 INTRODUÇÃO Por razões que se tornarão óbvias mais tarde, introduziremos uma outra forma de escrever o sistema estudado no exemplo (112, qual seja, a notação matricial Ao longo do nosso curso, quase sempre, estaremos escrevendo o sistema (112 na forma matricial, qual seja, ( ( x y Tratemos, agora, o caso geral de um sistema 2 2, isto é, um sistema de 2 equações e 2 variáveis Para tanto, consideremos o sistema { ax + by c (14 ex + fy d ( 5 5 onde supomos a, b, c, d, e, f números reais fixados com a 0 Em notação matricial, teríamos ( a b e f ( x y ( c d (15 Usando substituição e lembrando que a 0, teremos e, daí, vem e( c by a teremos, o que nos leva a x c by a + fy d ec eby + afy ad (af eby ad ec Supondo af eb 0, x c b( ad ec af eb a y ad ec af eb, caf ceb bad + bec a(af eb cf bd af eb Note que tanto y quanto x possuem para ( denominadores o número af eb, número este que a b será denominado determinante da matriz e indicado por e f ( a b det ou e f a b e f Note que, desta forma, teremos, ( a c ad ec det e d ( c b e cf bd det d f Doravante, um sistema de duas equações a duas incógnitas, sistema 2 2, no caso geral, será sempre escrito na forma { a11 x 1 + a 12 x 2 b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 b 2 (16

11 14 SISTEMAS LINEARES DE DUAS EQUAÇÕES A DUAS INCÓGNITAS 11 onde a 11, a 12, a 21, a 22, b 1, b 2 são números reais fixos e x 1, x 2 são as incógnitas Em notação matricial teremos ( ( ( a11 a 12 x1 b1 (17 a 21 a 22 x 2 b 2 ( a11 a Um arranjo retangular de quatro números do tipo 12 será dito a matriz principal a 21 a 22 do sistema (16, ou matriz dos coeficientes e a matriz ( a11 a 12 b 1 (18 a 21 a 22 b 2 será dita matriz ampliada ou aumentada do sistema (16 A matriz principal é uma matriz 2 2, duas linhas e duas colunas A matriz ampliada é uma matriz 2 3, duas linhas e três colunas Usando a notação matricial e supondo o determinante da matriz principal não nulo, a solução do sistema (16 será dada por b 1 a 12 b 2 a 22 x 1 a 11 a 12 b 1a 22 a 12 b 2 (19 a 11 a 22 a 12 a 21 a 21 a 22 e x 2 a 11 b 1 a 21 b 2 a 11 a 12 a 21 a 22 b 2a 11 a 21 b 1 a 11 a 22 a 12 a 21 (110 Nosso objetivo, a seguir, será desenvolver os conceitos acima para sistemas lineares gerais CONCLUSÃO: Se um sistema 2 2 tem o determinante da matriz principal diferente de zero, ele possui solução única que pode ser obtida através de (19 e (110 ATENÇÃO: Esta soluçao via determinantes só é aplicável se o determinante da matriz principal é diferente de zero! Exemplo 115 Escrever cada sistema abaixo na notação matricial e resolvê-lo usando determinantes { { 3x + y 8 3x + 5y 0 (a (b x + y 15 7x + 6y 20 (a Usando (16 e (17, em notação matricial, teremos ( ( x y ( 8 15 Determinamos, agora, o determinante da matriz principal, qual seja ( 3 1 det 31 (

12 12 CAPÍTULO 1 INTRODUÇÃO A solução é finalizada usando (19 e (110, isto é, temos e Logo, vem y ( 8 1 det 15 1 x 4 ( 3 8 det ( ( 15 8( 1 4 S {(23/4, 37/4} e Logo (b De maneira análoga ao item anterior, teremos, em notação matricial ( ( x y O determinante da matriz principal é dado por ( 3 5 det 7 6 ( Novamente, usando (19 e (110, finalizamos a solução fazendo x y ( 0 5 det ( 3 0 det S {(100/17, 60/17} Observação 116 Observamos que, tal como nos exemplos acima, um sistema linear sempre terá: (a Solução única, quando será dito possível e determinado ou, simplesmente, determinado ou (b Infinitas soluções, quando será dito possível e indeterminado ou, simplesmente, indeterminado ou (c Nenhuma solução, quando será dito impossível Discutir um sistema linear significa classificá-lo quanto a determinado, indeterminado ou impossível sem, necessariamente, determinar seu conjunto solução

13 15 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Exercícios Resolvidos Exercício Resolvido 1 Discutir o sistema { ax 3 3x a Solução Observe que, independente do valor de a, a segunda equação terá solução única dada por x a 3 Logo, o sistema terá solução, que será única, se a/3 é também solução da primeira equação, isto é, se a a 3 3 ou, ainda, a 2 9 Logo, o sistema será possível e determinado, isto é, terá solução única se a ±3 e será impossivel, isto é, não terá solução se a 3 e a 3 Note que não existe valor para a que torne o sistema indeterminado! Exercício Resolvido 2 Usando determinantes, resolva o sistema { 3x + 2y 5 7x y 3 Solução Usando (19 teremos ( 5 2 det 3 1 x ( Usando, agora, (110, teremos 5( ( y ( 3 5 det 7 3 ( ( Logo, vem S {(11/17, 26/17} Exercício Resolvido 3 Discutir o sistema { x my 7 mx + y 3

14 14 CAPÍTULO 1 INTRODUÇÃO Solução Inicialmente determinemos o determinante da matriz principal, qual seja, ( 1 m det 11 m( m 1 + m 2 m 1 Como, independente do valor de m, o determinante da matriz principal é não nulo, somos levados a concluir que o sistema possui solução única para qualquer valor de m Exercício Resolvido 4 Discutir o sistema { x + my 7 mx + y 3 Solução Inicialmente, novamente, determinemos o determinante da matriz principal, isto é, ( 1 m det 11 m(m 1 m 2 m 1 Note que o determinante da matriz principal é não nulo se 1 m 2 0, isto é, m 1 e m 1 O que dizer nos casos de m 1 ou m 1? O mais simples é verificar o sistema em cada um destes casos Se m 1, o sistema será { x + y 7 x + y 3 que claramente não possui solução Se m 1 o sistema será { x y 7 x y 3 ou, ainda, { x y 7 x + y 3 que não possui solução Logo, temos: Para m ±1 o sistema será impossível Para m 1 e m 1 o sistema será possível e determinado Exercício Resolvido 5 Discutir o sistema { x + my 7 mx + y 7 Solução Mais uma vez determinemos o determinante da matriz principal, qual seja, ( 1 m det 11 m(m 1 m 2 m 1 Tal como no item anterior o determinante da matriz principal é não nulo se 1 m 2 0, isto é, m 1 e m 1 Agora, o que dizer nos casos de m 1 ou m 1? Se m 1, o sistema será { x + y 7 x + y 7

15 15 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 15 que claramente não possui solução Se m 1 o sistema será { x y 7 x + y 7 Note que a segunda equação é simplesmente a primeira multiplicada por 1 e, portanto, o sistema se reduz à primeira equação que possui infinitas soluções Logo, temos: Para m 1 o sistema será impossível Para m 1 o sistema será indeterminado Para m 1 e m 1 o sistema será possível e determinado Exercício Resolvido 6 Usando substituição, resolva o sistema 2x + 3y z 1 x + 2y z 4 2x y + z 3 Solução Neste caso temos que isolar uma das incógnitas em uma equação e substituir este valor nas outras duas, obtendo assim um sistema de duas equações a duas incógnitas Escolhendo isolar x na segunda equação, teremos x 4 2y + z Substituindo este valor na primeira equação vem 2(4 2y + z + 3y z 1 7y 3z 9 Substituindo o mesmo valor de x na terceira equação teremos 2(4 2y + z y + z 3 3y z 5 Passamos, então, ao seguinte sistema { 7y 3z 9 3y z 5 Isolando z na segunda equação teremos e, substitutindo na primeira, vem z 3y 5 7y 3(3y 5 9 2y 6 y 3 Retornando, teremos z e x Logo, vem S {(2, 3, 4}

16 16 CAPÍTULO 1 INTRODUÇÃO 16 Exercícios Propostos 1 Considere a equação linear x 1 + 2x 2 4x 2 + x 4 3 (a (3, 2, 1, 0 é uma solução da equação? (b (4, 2, 1, 3 é uma solução da equação? (c Determine k para que (4, 2, 1, k seja solução da equação 2 Usando substituição, resolva os sistemas: x 3y z 6 x + 2y + z 2 (a x + 4y + 7z 17 (b 3x + 6y z 3 x + 6y + 6z 19 5x y z 0 (c x + 2y + 2z 2 2x 4y + 3z 2 3x + 8y 2z 1 3 Use determinantes para resolver os sistemas: { { x + y 6 2x + y 5 (a (b 3x + 4y 22 3x + 2y 9 { 3x + 4y 16 (c 2x + 3y 11 4 Use determinantes para resolver o sistema: Sugestão: Faça 1 x r e 1 y s (a x y 2 x + 9 y Use determinantes para resolver o sistema: sendo m R x my 7 mx + y 3 6 Para quais valores de m o sistema { (m 1x + 4y 2m (m + 1x 2y 1 + 3m possui solução única? Justifique! Qual a solução para estes valores de m? 7 Discutir, segundo os valores de a, o sistema: ax + 3ay 0 2x + ay 4

17 16 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 17 8 Discutir, segundo os valores de a, o sistema: x y 2 2x + ay b 9 Discutir, segundo os valores de a ou m, os sistemas { { x + y 3 2x + ay a (a (b 2x + my 6 6x 3y 2 { { x 2y ax ax y 1 (c (d 2x + ay y (a 1x + 2ay 4 10 Discutir, segundo os valores de m, o sistema: { mx + y 1 m x + my 0 11 Discutir, segundo os valores de a e b, o sistema: { x + 2y 1 3x + ay b 12 Discutir, segundo os valores de a e b e, quando possível, resolver o sistema: { 2ax + 3y 1 x + 2y b 13 Discutir, segundo os valores de m e, quando possível, resolver o sistema: mx + y 1 x + y 2 x y m 14 Determine, justificando, os valores de a e b para que o sistema abaixo seja indeterminado { 6x + ay 12 4x + 4y b

18 18 CAPÍTULO 1 INTRODUÇÃO

19 19 Capítulo 2 Matrizes 21 Apresentação 211 Conceito e exemplos No que se segue, o termo matriz mxn estará representando um arranjo retangular de m linhas horizontais e n colunas verticais do tipo a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn onde a ij são números reais para i 1, 2,, m e j 1, 2,, n Frequentemente, escreveremos A (a ij, onde a ij indica o elemento da matriz A situado na i-ésima linha e j-ésima coluna Salientamos que as linhas de uma matriz serão orientadas da esquerda para direita(primeira, segunda e asssim sucessivamente e as colunas de cima para baixo Se uma matriz A possui m linhas e n colunas, ela será dita uma matriz de ordem m n(m por n e indicaremos, neste caso, A m n Exemplo 21 Escrever a matriz A 3 3 (a ij onde a ij i 2 j 2 Sendo a matriz 3 3 será do tipo Logo,teremos a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 a a a a a a a a a

20 20 CAPÍTULO 2 MATRIZES e, portanto, A Observação 22 1 Uma matriz A será dita quadrada de ordem n, se possui n linhas e n colunas sendo indicada por A n, isto é, a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A n a n1 a n2 a nn Neste caso, a diagonal principal de A é formada pelos números a 11, a 22,, a nn Já a diagonal secundária será formada pelos números a 1n, a 2(n 1 a 3(n 2,, a n1 2 Uma matriz será dita dita matriz nula se todos seus elementos são iguais a zero A matriz nula de ordem m n será indicada por 0 m n Já a matriz quadrada nula de ordem n será indicada por 0 n 3 Chamaremos matriz identidade de ordem n a matriz quadrada I n (a ij tal que a ij { 1, i j 0 i j, isto é, os elementos da diagonal principal são iguais a 1 e os elementos fora dela são nulos 4 Matrizes 1 n ou n 1 serão chamadas matriz linha e matriz coluna de ordem n, respectivamente 5 Duas matrizes A e B de ordem m n serão ditas iguais se a ij b ij 1 i m, 1 j n Exemplo 23 (a Escrever a matriz nula de ordem 3 2 (b Escrever a matriz identidade de ordem 4 Teremos I Definição 24 Uma matriz quadrada A (a ij tal que todos os elementos da diagonal principal são iguais a um número c e todos os elementos fora desta são iguais a zero é dita uma matriz escalar, isto é, A (a ij é uma matriz escalar a ij 0 se i j e a ij c se i j

21 21 APRESENTAÇÃO 21 Veja a seguir c c 0 0 A c 212 Exercícios Propostos 1 Sejam A (a a 12, a 22, a 23 (b b 11, b 31 (c c 13, c 31, c 33 ( , B e C Determine : 2 Escreva a matriz A 3 3 (a ij tal que a ij i Escreva a matriz A 4 4 (a ij tal que a ij i + j, se i < j 1, se i j 0, se i > j 4 Quais as possíveis ordens de uma matriz com 6 elementos? 5 Exiba um exemplo de uma matriz escalar de ordem 5 6 Se determine a, b, c e d ( a + 2b 2a b 2c + d c 2d ( Determine x, y, a, b se ( x + y a + b x y a b (

22 22 CAPÍTULO 2 MATRIZES 22 Operações com Matrizes 221 Soma e Multiplicação por Escalar a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n Definição 25 Sejam as matrizes A e B a m1 a m2 a mn Definimos a soma A + B como a matriz C dada por a 11 + b 11 a 12 + b 12 a 1n + b 1n a 21 + b 21 a 22 b 22 a 2n + b 2n C, a m1 + b m1 a m2 + b m2 a mn + b mn b 11 b 12 b 1n b 21 b 22 b 2n b m1 b m2 b mn isto é, a soma de duas matrizes é obtida somando os elementos correspondentes Se λ é um número real definiremos, ainda, o produto de λ por A ou A por λ, como sendo a matriz λa 11 λa 12 λa 1n λa 21 λa 22 λa 2n D λa Aλ, λa m1 λa m2 λa mn isto é, o produto de um número por uma matriz é obtido multiplicando todos seus elementos por este número Definimos, ainda, A B A + ( B e, consequentemente, A λb A + ( λb A + λ( B Exemplo 26 (a Determine uma matriz X tal que X Uma primeira solução sria observar que a matriz X deve ser uma matriz quadrada de ordem 3, isto é, X é uma matriz do tipo a 11 a 12 a 13 X a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 Portanto, devemos ter a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a ,

23 22 OPERAÇÕES COM MATRIZES 23 isto é, o que nos leva aos sistemas 2 + 3a a a 13 3a a a a a a a a a 13 3 Terminaríamos, agora, resolvendo os sistemas 3a a a 23 8 Um segundo solução, bem mais simples seria fazer X X X X a a a X /3 1/3 1 2/ /3 4/ Portanto, teremos, Observação 27 É simples verificar que a soma de matrizes e o produto de matrizes por um número real verificam as seguintes propriedades: 1 A + B B + A 2 (A + B + C A + (B + C 3 A matriz nula 0( a ij 0 i, j é tal que A A A 4 Dada uma matriz A existe a matriz A tal que A + ( A 0 5 λ(a + B λa + λb 6 (λ 1 + λ 2 A λ 1 A + λ 2 A 7 (λ 1 λ 2 A λ 1 (λ 2 A 8 1A A Exemplo 28 Resolver o sistema matricial, isto é, determine matrizes X, Y tais que ( 2 3 3X + 4Y ( X 6Y 2 1 Multiplicando a primeira equação por 3 e a segunda por 2 somos levados ao seguinte sistema

24 24 CAPÍTULO 2 MATRIZES 9X + 12Y 10X 12Y ( 6 9 ( Note que o dois sistemas possuem as mesmas soluções! (Simples ver? Continuando, somamos as duas equações, obtendo ( X 4 5 Obtemos, agora, tal como no exemplo anterior X 1 ( ( 6/19 11/19 4/19 5/19 Retornando à pimeira equação do sistema inicial, teremos 4Y ( X Y 1 (( ( 6/19 11/19 4 4/19 5/19 ( 7/38 13/76 4/19 1/76 Definição 29 Dada uma matriz A (a ij, chamamos transposta de A a matriz A T A (a ji, isto é, as linhas de A T são as colunas de A e vice-versa Exemplo 210 (a Determine a matriz A T sendo ( A Pela definição anterior é simples ver que 2 2 A T (b Sendo A ( 1/ b1 (A + B T b2 A T + B T (b1 Teremos (( 1/ e B ( 1 3, determine: 5 7 ( T ( T ( 1 3 1/2 4 1/ (b2 Temos ( 1/2 1 A T +B T 0 1 T ( T ( / ( ( 1/

25 22 OPERAÇÕES COM MATRIZES 25 Observação 211 É simples ver que 1 (A + B T A T + B T 2 (λa T λa T 3 (A T T A 222 Exercícios Propostos 1 Determine os números reais x, y, z, w tais que ( ( x y + 8 z 1 w 0 ( 2x Sendo J 1 1 1, determine a matriz X tal que 4(X I 2 X + J Determine as matrizes X e Y tais que X + Y X Y ( ( Sendo A (a A + B (bb A e B , determine: 5 Determine os números reais x, y sabendo-se que ( ( x 2 x 0 x + y y y 0 I 2 6 Considerando as matrizes A (a Determine A 6B 2C (b Resolva a equação matricial , B (X + A 3(X + (2X + B + C 2 e C

26 26 CAPÍTULO 2 MATRIZES 7 Determine matrizes X e Y tais que ( 1 2 X + Y 3 4 e X Y ( Considerando as matrizes I 3 e 0 3 as matrizes identidade e nula de ordem 3, respectivamente, determine matrizes X e Y tais que { X + 2Y I3 9 Existem números reais λ 1, λ 2 tais que ( λ 1 ( X Y λ 2 ( ? Justif ique! 10 Determine a soma da matrizes de ordem 3 A (a ij e B (b ij satisfazendo a ij i 2 +j 2 e b ij 2ij 11 Determine números reais x, y tais que 12 Se A ( 1 7, B 2 6 ( ( y 3 3x y x 2 y 2 + 4x 2y x 2 + ( 2 1 e C 4 3 ( ( ( 0 2, determine X em cada equação abaixo 2 0 (a 2X + A 3B + C (c 3X + A B X (b X + A 1/2(B C (d 1/2(X A B 1/3(X C 13 Resolver o sistema { X + Y 3A X Y 2B ( ( sendo A ; e B Resolver o sistema { X + Y A X Y B sendo A ( e B ( Resolver o sistema { 2X + 3Y A + B 1 2 sendo A 3 e B X + 4Y A B

27 22 OPERAÇÕES COM MATRIZES Multiplicação de Matrizes Definição 212 Considere A ( a 11 a 12 a 1n e B de ordem n, repectivamente Definimos o produto AB como a matriz quadrada D AB de ordem 1 dada por b 11 b 21 b n1 matrizes linha e coluna D AB (a 11 b 11 + a 12 b a 1n b n1 Exemplo 213 Sendo A ( /3 e B 0, determine: 2 (a AB (bb T A T (a AB ( /3 0 2 (b B T A T ( 1/3 0 2 (1/ ( No caso geral, temos a definição: Definição 214 Sejam as matrizes A m p B p n matriz b 11 b 12 b 1n b 21 b 22 b 2n b p1 b p2 b pn D de ordem m n dada por (1/ (0 a 11 a 12 a 1p a 21 a 22 a 2p a m1 a m2 a mp L 1 L 2 L m e ( C 1 C 2 C n Definimos o produto AB como a D AB L 1 C 1 L 1 C 2 L 1 C n L 2 C 1 L 2 C 2 L 2 C n L m C 1 L m C 2 L m C n, isto é, D (d ij, onde d ij L i C j a i1 b 1j + a i2 b 2j + + a ip b pj

28 28 CAPÍTULO 2 MATRIZES Note que o produto de matrizes só é possível se o número de colunas da primeira é igual ao número de linhas da segunda! Ao multiplicarmos uma matriz de ordem m p por outra de ordem p n obtemos uma matriz de ordem m n, isto é, A m p B p n D m n Exemplo 215 Observe os exemplos abaixo: ( ( ( ( (a ( ( ( ( (b ( (c ( ( Não nos preocuparemos em demonstrar, mas é possível verificar que, podendo efetuar as operações, as seguintes propriedades são verdadeiras: 1 (ABC A(BC 2 A(B + C AB + AC e (B + CA BA + CA 3 (AB t B t A t 4 A n n I n I n A n n A n n 5 A m p 0 p n 0 m n Observação ( 216 ( 1 Note que nem sempre AB BA! Verifique para as matrizes A e B Note ainda o exemplo anterior, itens (a e (b 2 Se o produto de duas matrizes é a matriz nula, ( não podemos comcluir ( que uma delas é a matriz nula Verifique para as matrizes A e B Para produto de matrizes não vale a lei do cancelamento, isto é, da igualdade AB AC não podemos comchuir que B C Verifique que AB AC, sendo A 1 1 0, B e C Sendo A uma matriz n n e p um número natural, definimos, A 0 I n e A p AA A(p vezes

29 22 OPERAÇÕES COM MATRIZES 29 5 Diremos que duas matrizes A e B comutam se AB BA 6 Se p(x a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 é um polinômio com coeficientes reais e A é uma matriz quadrada, definimos, p(a a n A n + a n 1 A n a 1 A + a 0 I onde I é a matriz identidade da mesma ordem de A Se p(a é a matriz nula dizemos que A é um zero do polinômio p(x ( 1 1 Exemplo 217 Sendo f(x 3x 2 + 5x + 2 e A, determine f(a 0 2 Teremos ( 2 ( ( f(a ( ( ( ( ( 1 2 Exemplo 218 Sendo A e g(x x x 10, teremos ( 2 ( ( g(a A 2 + 3A 10I ( ( ( ( ( 1 2 Temos, então, que a matriz é um zero do polinômio g(x x x Exercícios Resolvidos Exercício Resolvido 7 Verifique que para quaisquer números reais a, bc e d as matrizes comutam ( a b A b a ( c d e B d c Solução Temos ( ( ( a b c d ac bd ad + bc AB e b a d c bc ad bd + ac ( ( ( c d a b ca db cb + da BA d c b a da cb db + ca Como AB BA as matrizes comutam ( 1 1 Exercício Resolvido 8 Sendo A, determine A 1 2 2, A 3 e A 4

30 30 CAPÍTULO 2 MATRIZES Solução Teremos ( 1 1 A ( ( ( (11 1( 1 + ( ; ( ( ( ( ( ( 31 0( 1 + ( A 3 A 2 A ( ( ( ( ( 61 3( 1 + ( 62 A 4 A 3 A ( Exercício Resolvido 9 Determine todas as matrizes do tipo polinômio p(x x 3 + x ( 0 a b 0 Solução Teremos ( ( ( ( 0 a 0 a 00 + a0 0a + a0 ab 0 A 2 AA e b 0 b 0 b0 + 0b ba ab ( ( ( ab 0 0 a ab0 + 0b aba + 00 A 3 A 2 A 0 ab b abb 0a + ab0 ( ( ( 0 a A 3 + A 2 b 0 a 0 a ab b + a 0 b 0 ab 2 0 { a 2 b + a 0 ab 2 + b 0 ( 0 a 2 b ab 2 0 ; ( que sejam zero do Logo, vem Como devemos ter A 3 + A 0, vem Observe que no sistema acima se a 0 teremos b 0 e vice-versa Portanto, temos uma solução, qual seja, a b 0 Sendo a 0 teremos ab + 1 0, isto é, b 1/a e, daí, as outras soluções Logo as matrizes procuradas são A ( ou A Exercício Resolvido 10 Determine ABC, sendo Solução AB A ( ( 1 2, B 5 1 ( Para terminar, fazemos ( ABC ( 0 a ; a R {0} 1/a 0 ( e C ( ( ( ( ( ( Observe que o produto deve ser efetuado na ordem, isto é, ABC

31 22 OPERAÇÕES COM MATRIZES 31 Exercício Resolvido 11 Resolver a equação matricial ( ( ( a b c d Solução Como ( ( ( a b 3 1 3a 2b a + 2b, c d 2 2 3c 2d c + 2d somos levados a ( 3a 2b a + 2b 3c 2d c + 2d ( e, daí, vem { 3a 2b 5 a + 2b 7 a 3; b 2 e { 3c 2d 5 c + 2d 9 c 1; d 4 Portanto, a resposta será ( Exercício Resolvido 12 Determine todas as matrizes B que comutam com A ( Solução ( Como B e A comutem, B deve ser uma matriz de quadrada de ordem 2, isto é, a b B e,além disso, AB BA, isto é, c d ( ( ( ( 1 1 a b a b c d c d 3 0 Logo, vem ( a c b d 3a 3b Somos levados à resolução do sistema ou, ainda, Usando as equações (1 e (3 temos ( a + 3b a c + 3d c a c a + 3b b d a 3a c + 3d 3b c 3b + c 0 a + b d 0 3a c 3d 0 3b + c 0 c 3b e d a + b sendo a e b variáveis livres Portanto, temos ( a b B 3b a + b com a, b R

32 32 CAPÍTULO 2 MATRIZES Exercício Resolvido 13 Determine todas as matrizes X de ordem 2, tais que X 2 0 ( a b Solução Mais uma vez, supomos X e teremos c d ( ( ( a b a b 0 0 c d c d 0 0 ou, ainda, ( a + bc ab + bd ca + dc cb + d 2 Novamente, temos um sistema, qual seja a 2 + bc 0 b(a + d 0 c(a + d 0 bc + d 2 0 Note que o sistema não é linear mas é simples resolvê-lo ( Usando a segunda equação, teremos b 0 ou a + d 0 Se b 0, usando a primeira e quarta equações, teremos que a 0 e d 0 e c pode ser qualquer número real Se b 0 devemos ter a + d 0, isto é, d a Usando, agora, a tarceira equação seremos levados bc a 2 ou, ainda, c a 2 /b Portanto, as matrizes que resolvem o exercício são X ( 0 0 c 0 ( a b com c R ou a 2 com; a, b R /b a ( Exercício Resolvido 14 Determine AA T e A T A sendo A Solução Lembramos que A T é a transposta de A, isto é, a matriz obtida tomando como suas linhas as colunas de A, isto é, 1 3 A T Logo, temos ( 1 3 ( ( AA T ( ( ( 1( ( A T A Observe que não só temos AA T A T A como também as ordens de AA T e A T A são diferentes ( 1 2 Exercício Resolvido 15 Sendo A, determine A 4 3, A 3 e f(a com f(x 2x 3 4x + 5

33 22 OPERAÇÕES COM MATRIZES 33 Solução Temos ( ( ( ( A ( ( ( ( A 3 AA ( ( ( f(a 2A 3 4A + 5I ( ( ( ( Exercícios Propostos 1 Resolva a equação matricial 3X + ( ( ( ( Determinex R tal que x 14x 7x x 4x 2x I 3 3 Se as matrizes ( ( a b e c d comutam, qual a relação entre a, b, c e d? Justifique! 4 Verifique que I 3 5 Sendo A 6 Sendo A 7 Sejam A ( ( , verifique que A 2 4A 5I 0, determine uma matriz B tal que AB 0 e B ( Verifique que AB BA

34 34 CAPÍTULO 2 MATRIZES 8 Calcule os seguintes produtos: ( ( (a ( ( ( ( (b Resolver as equações: ( ( ( 1 3 a b 5 7 (a 2 2 c d 5 9 a b c (b d e f g h i ( Sendo A 0 2 ( ( ( B, C,, D , qual das matrizes abaixo comutam com A? ( Determine, em cada item, as matrizes que comutam com A ( ( (a A (b A (c A Determine todas as matrizes X,quadradas de ordem 2, tais que X 2 I 2 13 Determine todas as matrizes X,quadradas de ordem 2, tais que X 2 X ( Seja A Determine g(a, sendo g(x x x 8 ( Considere A Determine todas os números k para os quais A é raíz do polinômio 0 k (a f(x x 2 7x + 10 (b g(x x 2 25 (c h(x x 2 4 ( Sendo B, determine uma matriz A tal que A B 23 Matriz Inversa Dada uma matriz quadrada A de ordem n, em muitas situações, será importante decidir se existe uma matriz quadrada B de ordem n tal que Temos, então, a definição AB BA I n

35 23 MATRIZ INVERSA 35 Definição 219 Uma matriz quadrada A n será dita invertível, ou não singular, se existe uma matriz B n tal que A n B n B n A n I n Uma matriz B satisfazendo AB BA I será dita uma inversa para A Se não existe uma matriz B tal que AB BA I, a matriz A será dita não invertível ou singular ( ( /2 Exemplo 220 Sendo A, verifique que B é uma inversa para A Basta notar que AB BA I 2, Exemplo 221 Determine uma inversa, se possível, para a matriz A ( x y Devemos encontrar uma matriz tal que z w ( ( ( ( 1 2 x y x y z w z w 3 4 Mas ( ( x y z w Como devemos ter ( x + 2z y + 2w 3x + 4z 3y + 4w { x + 2z 1 3x + 4z 0 ( x + 2z y + 2w 3x + 4z 3y + 4w e ( , vem { y + 2w 0 3y + 4w 1 ( ( Resolvendo os sistemas encontramos x 2, y 1, z 3/2 e w 1/2 Note que ( ( ( ( ( /2 1/2 3/2 1/ Logo a matriz é uma inversa para A B ( 2 1 3/2 1/2 Exemplo 222 Determine uma inversa, se possível, para a matriz A ( x y Devemos encontrar uma matriz tal que z w ( ( ( ( 1 2 x y x y z w z w 2 4 ( (

36 36 CAPÍTULO 2 MATRIZES Mas ( ( x y z w ( x + 2z y + 2w 2x + 4z 2y + 4w Como devemos ter ( x + 2z y + 2w 2x + 4z 2y + 4w ( , vem { x + 2z 1 2x + 4z 0 e { y + 2w 0 2y + 4w 1 É simples perceber que os sistemas não possuem solução, isto é, são impossíveis Logo, neste caso, a matriz A não possui inversa! Nas próximas seções desenvolveremos alguns métodos mais eficazes para se obter a inversa de uma matriz Observação É possível mostrar que se duas matrizes quadradas A, B de mesma ordem são tais que AB I, então BA I Logo, se queremos determinar uma inversa para uma matriz A basta buscar uma matriz B de mesma ordem tal que AB I e, se tal matriz existir, já será verdade que BA I 2 Temos que se uma matriz A possui uma inversa esta é única e, portanto, se uma matriz A é invertível sua inversa será denotada por A 1 Bem entendido, dada uma matriz A invertível, A 1 é a única matriz tal que AA 1 A 1 A I 3 Não é dificíl verificar que o produto de duas matrizes invertíveis A e B é ainda uma matriz invertível e (AB 1 B 1 A 1 Atente para a inversão na ordem da multiplicação É simples ver também que, sendo A uma matriz invertível, a matriz A é invertível e temos ( A 1 (A 1 4 Salietamos que a soma de duas matrizes invertíveis não é necessariamente uma matriz invertível! 5 É sempre bom ter em mente as seguintes propriedades: (a (A 1 1 A (b (A T 1 (A 1 T Exemplo 224 Determine, se existir, A 1 sendo A (

37 23 MATRIZ INVERSA 37 Notado que ( pelo item (b da última observação, teremos ( ( 1 ( T 1 ( ( Exemplo 225 Sendo A ( e B ( T ( BX A isto é, determine uma matriz X tal que BX A T ( 2 1 3/2 1/2 T ( 2 3/2 1 1/2, resolva a equação matricial Como sabemos que a matriz B possui inversa, multiplicando ambos os lados da equação por B 1, teremos ( ( ( B 1 BX B 1 A X B 1 A 3/2 1/ / Exercícios Propostos 1 A matriz A ( é singular? Justifique! 2 Para cada matriz abaixo, determine sua inversa, se existir ( (a L (b (c ( Se A Se D , determine A, determine D 1 5 Resolva a equação AX B, sendo ( 2 3 A e B Sendo A ( Determine A se A 1, verifique que A A ( ( 5 3

38 38 CAPÍTULO 2 MATRIZES 8 Para cada matriz abaixo, determine A 1, se existir (aa (ba (ca Determine todas as matrizes que comutam com a matriz A ( Dizemos que duas matrizes quadradas de mesma ordem não nulas são divisores de zero se AB 0 Mostre que as matrizes são divisores de zero A 11 Resolva o sistema matricial ( ( e B ( 1 2 X ( 2 3 X Determine a inversa de cada matriz abaixoa ( ( 3 2 Y 7 0 ( 2 1 Y ( 5 6, B 4 5 ( 2 5, C 1 3 ( 1 0, D Resolva a equação matricial ( 3 4 X 2 3 ( Resolver as equações matriciais abaixo ( ( ( ( (a X (b X Resolver as equações matriciais abaixo (a X 7 (b X Sendo A e B matrizes invertíveis de ordem n,isole X em cada equação abaixo (a AX B (d BAX (b AXB I n (e (AX (c (AX 1 B (f (A +

39 24 OPERAÇOES ELEMENTARES SOBRE LINHAS E MATRIZES LINHA REDUZIDAS39 17 Determine X tal que: ( ( ( (a X ( ( ( (b + X Operaçoes Elementares sobre Linhas e Matrizes Linha Reduzidas 241 Matrizes linha Equivalentes Definição 226 Dada uma matriz A, aplicar uma operação ele- mentar sobre A significa: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn 1 Permutarmos duas linhas L i e L j de A, indicado por L i L j, ou 2 Multiplicarmos(ou dividirmos uma linha L i de A por um número real k diferente de 0, indicado por L i kl i, ou 3 Substituirmos uma linha L i de A pela soma desta mesma linha com uma segunda linha L j multiplicada por um número real k diferente de zero, indicado por L i L i + kl j Ao aplicarmos qualquer uma dessas operações sobre a matriz A, obtemos uma segunda matriz B e diremos que B foi obtida de A através da aplicação de uma operação elementar ( 2 1 Exemplo 227 Seja A 3 4 Aplicando a operação 1 acima às linhas L 1 e L 2 obteremos a matriz B A ( ( L L 2 B 2 1 ( 3 4, isto é, 2 1 Dizemos, neste caso, que B foi obtida de A através de uma única operação elementar Exemplo 228 Considere a matriz 0 1 A L 1 L L 2 L 2 + 3L B A matriz B, neste caso, foi obtida de A através da aplicação de duas operações elementares

40 40 CAPÍTULO 2 MATRIZES Observação 229 É interessante destacar que cada operação na definição (226 possui uma operação inversa, isto é, ao aplicarmos uma operação elementar sobre uma matriz A temos uma operação do mesmo tipo que retorna à matriz A Definição 230 Duas matrizes A e B serão ditas linha equivalentes se B pode ser obtida de A através da aplicação de um número finito de operações elementares sobre A Pela observação (229 é claro que se B pode ser obtida de A através da aplicação de um número finito de operações elementares sobre A, então A também pode ser obtida de B através da aplicação de um número finito de operações elementares sobre B Exemplo 231 No último exemplo podemos, partindo da matriz B, obter a matriz A, vejamos B 9 13 L 2 L 2 3L L 1 L A Se duas matrizes quaisquer A e B são linha equivalentes anotaremos A B Exemplo 232 Determine 3 matrizes distintas que sejam linha equivalentes à matriz A Qualquer matriz que possamos obter de A após aplicarmos um número finito de operações elementares sobre A será uma resposta Vejamos: L 1 L L 2 L 2 3L L L 3 As 3 matrizes, são linha equivalentes a A , e Note que as quatro matrizes são linha equivalentes duas a duas! Definição 233 Uma matriz A será dita linha reduzida a forma em escada, ou que está na forma canônica linha reduzida ou, ainda, que está na forma linha reduzida se: 1 O primeiro elemento não nulo de cada linha não nula é igual a 1 2 Toda linha nula ocorre abaixo das linhas não nulas 3 Cada coluna que contém o primeiro elemento não nulo de uma certa linha tem todos os seus outros elementos iguais a zero

41 24 OPERAÇOES ELEMENTARES SOBRE LINHAS E MATRIZES LINHA REDUZIDAS41 4 Sendo as linhas 1, 2,, p as linhas não nulas de A e se o primeiro elemento não nulo da linha i ocorre na coluna k i, i 1, 2,, p, então k 1 < k 2 < < k p De outra forma, o primeiro elemento não nulo de cada linha está à direita do primeiro elemento não nulo da linha precedente Uma matriz onde (2 e (4 acima estão satisfeitas é dita uma matriz escalonada ou que está na forma escalonada Vejamos alguns exemplos Exemplo 234 Dentre as matrizes abaixo, quais estão na forma escalonada? Quais estão na forma canôninca linha reduzida? (a (b (c È simples ver que as 3 matrizes satisfazem os itens (2 e (4 da (233 e, portanto, estão na forma escalonada A matriz do item (a não satisfaz os itens (1 e (3, logo não está na forma canônica linha reduzida A matriz do item (b não satisfaz o item (3 da definição (233 e, portanto, não está na forma linha reduzida Já a matriz do item (c está na forma linha reduzida É bom salientarmos que se uma matriz A está na forma linha reduzida, então ela está na forma escalonada mas a recíproca nem sempre é verdadeira, conforme constatamos pelos itens (a e (b do exemplo anterior Observação 235 Sendo A uma matriz, é possível mostrar que existe uma única matriz na forma canônica linha reduzida que seja linha equivalente a A mas, geralmente, existem várias matrizes escalonadas linha equivalentes a A De outra forma, se formos aplicando operações elementares sobre uma matriz A, chegaremos a uma única matriz na forma canônica linha reduzida ainda que passemos por várias matrizes na forma escalonada linha equivalentes a A Reduzir uma matriz A à forma canônica linha reduzida significa, simplesmente, aplicarmos operações elementares sobre A até obtermos uma matriz na forma canônica linha reduzida, matriz esta que é a única matriz na forma canônica linha reduzida que é linha equivalente a A Logo, concluímos que duas matrizes A e B de mesma ordem são linha equivalentes se, e somente se, são linha equivalentes à mesma matriz na forma canônica linha reduzida Devemos agora responder à seguinte pergunta: Pergunta 236 Dada uma matriz A, como podemos obter a matriz linha reduzida a forma escada linha equivalente a A? Ou ainda, como reduzir a matriz A à forma canônica linha reduzida? Os exemplos abaixo não deixarão dúvidas quanto à resposta a esta pergunta Exemplo 237 Reduzir a matriz A

42 42 CAPÍTULO 2 MATRIZES à forma canônica linha reduzida Fazemos: L 2 L 2 2L L 3 L 3 3L L 2 L L L 1 + 3L L 3 L 3 5L B A matriz B está na forma canônica linha reduzida e é linha equivalente a A Note que poderíamos ter aplicado algumas operações simultaneamente Exemplo 238 As matrizes A ( e B ( são linha equivalentes? Justifique! A ideia é reduzir as duas matries à forma canônica linha reduzida e verificarmos se obtemos a mesma matriz Vejamos: ( ( L 1 L 1 2L ( L 2 L 2 2L 1 ( Como obtivemos a mesma matriz, qual seja, matrizes dadas são linha equivalentes ( , chegamos à conclusão de que as Exemplo 239 Determine uma matriz que esteja na forma canônica linha reduzida que seja linha equivalente à matriz A Tal como nos exemplos anteriores teremos: L 1 L Logo, vem L 1 L 1 + L 2 L 3 L 3 L L 2 L 2 2L L 3 L L 2 L 2 2

43 24 OPERAÇOES ELEMENTARES SOBRE LINHAS E MATRIZES LINHA REDUZIDAS43 Exemplo 240 Determine uma matriz que esteja na forma canônica linha reduzida que seja linha equivalente à matriz B Teremos: L 2 L 2 + 2L 1 L L 3 L /2 L 1 L 1 L 2 L L 3 2L 2 Logo Exemplo 241 As matrizes A são linha equivalentes? Justifique! Pelos exemplos anteriores, como e / / L 2 L / / e B / / temos que as matrizes dadas não são linha equivalentes já que suas formas linha reduzidas são distintas 242 Matriz Inversa e Linha Equivalência Exploramos, agora, a relação entre matriz linha reduzida e matriz inversa Lembramos que uma matriz quadrada A de ordem n é dita invertível se existe uma matriz quadrada A 1 de ordem n, dita inversa de A, tal que Temos, então, o seguinte teorema AA 1 A 1 A I n Teorema 242 Uma matriz quadrada A será invertível se, e somente se, é linha equivalente à matriz identidade Além disso, se após aplicarmos um número finito de operaçoes elementares sobre A obtemos a matriz identidade então, partindo da identidade, e aplicando as mesmas operações elementares, obteremos A 1 ( 1 1 Exemplo 243 A matriz A é invertível? Justifique! Temos 2 3

44 44 ( ( 1 1 L 2 L 2 2L L 2 L 2 5 ( CAPÍTULO 2 MATRIZES L 1 L 1 + L 2 ( Como a matriz A é linha equivalente à matriz identidade, temos que A é invertível Exemplo 244 Determine, se existir, a inversa da matriz A Como no exemplo anterior, teremos L 3 L 3 5L L 1 L / / L 3 L L 2 L / / / L 1 L 1 L 1 + 1/2L 3 L 2 L 2 3/2L Logo a matriz é invertível pois sua forma canônica linha reduzida é a amatriz identidade Para determinar a sua inversa usamos a segunda parte do último teorema, isto é, partimos da identidade e aplicamos as mesmas operações aplicadas em A, ou seja, fazemos: L 3 L 3 5L 1 L 1 L 2 L 1 + 1/2L 3 L 2 3/2L 3 Logo, 1 1/ / L 3 L /8 1/2 1/8 15/8 1/2 3/8 5/4 0 1/4 A 1 L 2 L / /2 0 5/4 0 1/4 1 1/2 0 15/8 1/2 3/8 5/4 0 1/4 Exemplo 245 Determine, se existir, a inversa da matriz A / L 1 L 2 L 2 Temos L 2 L 2 L 1 L L 3 5L L 2

45 24 OPERAÇOES ELEMENTARES SOBRE LINHAS E MATRIZES LINHA REDUZIDAS45 L L 1 L 1 2L 2 L 3 L L Observe que a matriz dada não é linha equivalente à matriz identidada, mas sim à uma matriz que possui uma linha nula e, portanto, A não é invertível Definição 246 (Posto ou Característica de uma Matriz Seja A uma matriz Chamaremos posto ou característica de A, indicado por p(a, o número de linhas não nulas de qualquer matriz escalonada linha equivalente a A Salientamos que a definição acima só tem sentido pois é possível mostrar que, dada uma matriz A, qualquer matriz escalonada linha equivalente a A possui o mesmo número de linhas não nulas! Exemplo 247 Determine o posto da matriz A ( Pela definição anterior para determinar o posto de A devemos escalonar a matriz A, isto é, devemos encontrar uma matriz na forma escalonada que seja linha equivalente a A Então, temos: ( ( 1 1 L 2 L 2 3L e, portanto, p(a 2 Exemplo 248 Qual o posto da matriz A Teremos L 3 L 3 L Logo, p(a 3 Note que a última matriz já está na forma escalonada Exemplo 249 Qual o posto da matriz A Novamente, teremos ( ( L L 2 2L ( ? Justifique! L 3 L 3 + L 2 3 p(a 1 Exemplo 250 Determine a característica da matriz A Teremos? Justifique!

46 L 3 L 3 L L 3 L 4 CAPÍTULO 2 MATRIZES Exemplo 251 Discuta, segundo os valores de a, a característica da matriz Temos a 2 L 2 L 2 L 1 1 a 2 L 4 3 L 3 L 1 A a 2 1 a a a p(a 3 A fim de obtermos a forma escalonada deveríamos dividir a segunda linha por a 1 e, portanto, devemos supor a 1 Então, se a 1, temos A Se a 1 continuamos a escalonar, isto é, a 2 L L 2 L 1 0 a a 2 L 4 3 L 3 L 1 0 a L 3 (a 2 1L /(a (a + 1 p(a 3, se a 1 L 2 L 2 a /(a 1 0 a Observe que a última matriz já está na forma escalonada mas seu número de linhas não nulas dependerá do termo 3 (a + 1, isto é se 3 (a ou, ainda, a 2 teremos p(a 2 Se 3 (a ou, ainda, a 2 teremos p(a 3 Portanto, temos p(a 2, se a 2 e p(a 3 se a 2 L Exercícios Propostos 1 As matrizes A 2 As matrizes A são linha equivalentes? Justifique! e B e B são linha equivalentes? Justifique!