Importante: havia 6 modelos de prova, com os dados numéricos diferentes. Os valores numéricos das soluções estão no final deste arquivo.

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1 Importante: havia 6 modelos de prova, com os dados numéricos diferentes. Os valores numéricos das soluções estão no final deste arquivo. Aplicada Instituto de Matemática Universidade Federal do Rio de Jan Terceira Prova de Álgebra Linear II Turma da EE, 2008, Prof. Gregorio Nome (letra de forma): MODELO NOTA ASSINATURA: Recomendações gerais: Coloque seu nome, assine e leia atentamente toda a prova antes de começar. Responda às questões da maneira mais clara e objetiva possível, a caneta, sem rasuras e sempre no espaço correspondente. Recomenda-se fazer um rascunho primeiro. O uso de calculadoras, laptops, palmtops, celulares está estritamente proibido. PROVA SEM CONSULTA. É PROIBIDO DESGRAMPEAR.. Achar a matriz A de tamanho [ 2 2, ] [ com] autovalores 3 e 3 e autovetores respectivos e. Explique 2 seu raciocínio.

2 A matriz é A está na tabela de valores. Se U é a matriz cujas colunas são os autovetores, então [ ] λ 0 A = U U 0 λ 2 Ver resultados numéricos. 2. Considere a equação diferencial de primeira ordem em R 2, dada pela equação ẋ(t) = Bx(t) onde B é uma matriz 2 2, com autovalores e 2. Ache a expressão geral da primeira coordenada x (t). Ache a solução x (t) sabendo que x (0) = 0 e x () =. 2

3 A expressão geral é x (t) = ae λt + be λ2t onde λ e λ 2 são os autovalores. Para a solução pedida, precisamos resolver o sistema linear A solução é a = [ e λ e λ 2 ] [ ] a b = e λ e λ 2 b = [ ] 0 e λ 2 e λ 3. Para que conjunto de valores de s e t os vetores w, w 2 e w 3 abaixo são linearmente independentes? s t w = 2 w 2 = 3 w 3 =

4 Uma solução é calcular o determinante da matriz de colunas w, w 2, w 3. A resposta é o conjunto dos valores de (s, t) com determinante diferente de zero. S = {(s, t) R 2 : numss + numtt + const 0} 4. Ache a matriz da reflexão ortogonal em relação ao plano Π : x + 2y + 3z = 0 O plano tem equação v T x = 0. A matriz é portanto R = I 2 v 2vvT (Ver valores numéricos). 4

5 5. Considere o sistema Ax = b, onde A = b = Calcule a forma escada de A (faça as contas no local designado). Ache uma base do núcleo de A, e uma base da imagem de A. Ache a solução geral de Ax = b. /3 Aplicada Instituto de Matemática Universidade Federal do Rio de Jan Terceira Prova de Álgebra Linear II Turma da EE, 2008, Prof. Gregorio Nome (letra de forma): MODELO 2 NOTA ASSINATURA: Recomendações gerais: Coloque seu nome, assine e leia atentamente toda a prova antes de começar. Responda às questões da maneira mais clara e objetiva possível, a caneta, sem rasuras e sempre no espaço correspondente. Recomenda-se fazer um rascunho primeiro. O uso de calculadoras, laptops, palmtops, celulares está estritamente proibido. PROVA SEM CONSULTA. É PROIBIDO DESGRAMPEAR.

6 . Achar a matriz A de tamanho [ 2 2, ] [ com] autovalores 3 e 3 e autovetores respectivos e. Explique 2 seu raciocínio. A matriz é A está na tabela de valores. Se U é a matriz cujas colunas são os autovetores, então [ ] λ 0 A = U U 0 λ 2 Ver resultados numéricos. 2. Considere a equação diferencial de primeira ordem em R 2, dada pela equação ẋ(t) = Bx(t) onde B é uma matriz 2 2, com autovalores e 2. Ache a expressão geral da primeira coordenada x (t). Ache a solução x (t) sabendo que x (0) = 0 e x () =. 2

7 A expressão geral é x (t) = ae λt + be λ2t onde λ e λ 2 são os autovalores. Para a solução pedida, precisamos resolver o sistema linear A solução é a = [ e λ e λ 2 ] [ ] a b = e λ e λ 2 b = [ ] 0 e λ 2 e λ 3. Para que conjunto de valores de s e t os vetores w, w 2 e w 3 abaixo são linearmente independentes? s t w = 2 w 2 = w 3 =

8 Uma solução é calcular o determinante da matriz de colunas w, w 2, w 3. A resposta é o conjunto dos valores de (s, t) com determinante diferente de zero. S = {(s, t) R 2 : numss + numtt + const 0} 4. Ache a matriz da reflexão ortogonal em relação ao plano Π : x + 3y + 2z = 0 O plano tem equação v T x = 0. A matriz é portanto R = I 2 v 2vvT (Ver valores numéricos). 4

9 5. Considere o sistema Ax = b, onde A = b = Calcule a forma escada de A (faça as contas no local designado). Ache uma base do núcleo de A, e uma base da imagem de A. Ache a solução geral de Ax = b. /3 Aplicada Instituto de Matemática Universidade Federal do Rio de Jan Terceira Prova de Álgebra Linear II Turma da EE, 2008, Prof. Gregorio Nome (letra de forma): MODELO 3 NOTA ASSINATURA: Recomendações gerais: Coloque seu nome, assine e leia atentamente toda a prova antes de começar. Responda às questões da maneira mais clara e objetiva possível, a caneta, sem rasuras e sempre no espaço correspondente. Recomenda-se fazer um rascunho primeiro. O uso de calculadoras, laptops, palmtops, celulares está estritamente proibido. PROVA SEM CONSULTA. É PROIBIDO DESGRAMPEAR.

10 . Achar a matriz A de tamanho [ 2 2, ] [ com] autovalores 2 e 3 e autovetores respectivos e. Explique 3 seu raciocínio. A matriz é A está na tabela de valores. Se U é a matriz cujas colunas são os autovetores, então [ ] λ 0 A = U U 0 λ 2 Ver resultados numéricos. 2. Considere a equação diferencial de primeira ordem em R 2, dada pela equação ẋ(t) = Bx(t) onde B é uma matriz 2 2, com autovalores e 3. Ache a expressão geral da primeira coordenada x (t). Ache a solução x (t) sabendo que x (0) = 0 e x () =. 2

11 A expressão geral é x (t) = ae λt + be λ2t onde λ e λ 2 são os autovalores. Para a solução pedida, precisamos resolver o sistema linear A solução é a = [ e λ e λ 2 ] [ ] a b = e λ e λ 2 b = [ ] 0 e λ 2 e λ 3. Para que conjunto de valores de s e t os vetores w, w 2 e w 3 abaixo são linearmente independentes? s t w = w 2 = 2 w 3 =

12 Uma solução é calcular o determinante da matriz de colunas w, w 2, w 3. A resposta é o conjunto dos valores de (s, t) com determinante diferente de zero. S = {(s, t) R 2 : numss + numtt + const 0} 4. Ache a matriz da reflexão ortogonal em relação ao plano Π : x + 2y + 3z = 0 O plano tem equação v T x = 0. A matriz é portanto R = I 2 v 2vvT (Ver valores numéricos). 4

13 5. Considere o sistema Ax = b, onde A = b = Calcule a forma escada de A (faça as contas no local designado). Ache uma base do núcleo de A, e uma base da imagem de A. Ache a solução geral de Ax = b. /3 Aplicada Instituto de Matemática Universidade Federal do Rio de Jan Terceira Prova de Álgebra Linear II Turma da EE, 2008, Prof. Gregorio Nome (letra de forma): MODELO 4 NOTA ASSINATURA: Recomendações gerais: Coloque seu nome, assine e leia atentamente toda a prova antes de começar. Responda às questões da maneira mais clara e objetiva possível, a caneta, sem rasuras e sempre no espaço correspondente. Recomenda-se fazer um rascunho primeiro. O uso de calculadoras, laptops, palmtops, celulares está estritamente proibido. PROVA SEM CONSULTA. É PROIBIDO DESGRAMPEAR.

14 . Achar a matriz A de tamanho [ 2 2, ] [ com] autovalores 2 e 3 e autovetores respectivos e. Explique 3 seu raciocínio. A matriz é A está na tabela de valores. Se U é a matriz cujas colunas são os autovetores, então [ ] λ 0 A = U U 0 λ 2 Ver resultados numéricos. 2. Considere a equação diferencial de primeira ordem em R 2, dada pela equação ẋ(t) = Bx(t) onde B é uma matriz 2 2, com autovalores e 2. Ache a expressão geral da primeira coordenada x (t). Ache a solução x (t) sabendo que x (0) = 0 e x () =. 2

15 A expressão geral é x (t) = ae λt + be λ2t onde λ e λ 2 são os autovalores. Para a solução pedida, precisamos resolver o sistema linear A solução é a = [ e λ e λ 2 ] [ ] a b = e λ e λ 2 b = [ ] 0 e λ 2 e λ 3. Para que conjunto de valores de s e t os vetores w, w 2 e w 3 abaixo são linearmente independentes? s t w = w 2 = 3 w 3 =

16 Uma solução é calcular o determinante da matriz de colunas w, w 2, w 3. A resposta é o conjunto dos valores de (s, t) com determinante diferente de zero. S = {(s, t) R 2 : numss + numtt + const 0} 4. Ache a matriz da reflexão ortogonal em relação ao plano Π : x + 3y + 2z = 0 O plano tem equação v T x = 0. A matriz é portanto R = I 2 v 2vvT (Ver valores numéricos). 4

17 5. Considere o sistema Ax = b, onde A = b = Calcule a forma escada de A (faça as contas no local designado). Ache uma base do núcleo de A, e uma base da imagem de A. Ache a solução geral de Ax = b. /3 Aplicada Instituto de Matemática Universidade Federal do Rio de Jan Terceira Prova de Álgebra Linear II Turma da EE, 2008, Prof. Gregorio Nome (letra de forma): MODELO 5 NOTA ASSINATURA: Recomendações gerais: Coloque seu nome, assine e leia atentamente toda a prova antes de começar. Responda às questões da maneira mais clara e objetiva possível, a caneta, sem rasuras e sempre no espaço correspondente. Recomenda-se fazer um rascunho primeiro. O uso de calculadoras, laptops, palmtops, celulares está estritamente proibido. PROVA SEM CONSULTA. É PROIBIDO DESGRAMPEAR.

18 . Achar a matriz A de tamanho [ 2 2, ] [ com] autovalores 2 e 3 e autovetores respectivos e. Explique 3 seu raciocínio. A matriz é A está na tabela de valores. Se U é a matriz cujas colunas são os autovetores, então [ ] λ 0 A = U U 0 λ 2 Ver resultados numéricos. 2. Considere a equação diferencial de primeira ordem em R 2, dada pela equação ẋ(t) = Bx(t) onde B é uma matriz 2 2, com autovalores e 2. Ache a expressão geral da primeira coordenada x (t). Ache a solução x (t) sabendo que x (0) = 0 e x () =. 2

19 A expressão geral é x (t) = ae λt + be λ2t onde λ e λ 2 são os autovalores. Para a solução pedida, precisamos resolver o sistema linear A solução é a = [ e λ e λ 2 ] [ ] a b = e λ e λ 2 b = [ ] 0 e λ 2 e λ 3. Para que conjunto de valores de s e t os vetores w, w 2 e w 3 abaixo são linearmente independentes? s t w = 3 w 2 = 2 w 3 =

20 Uma solução é calcular o determinante da matriz de colunas w, w 2, w 3. A resposta é o conjunto dos valores de (s, t) com determinante diferente de zero. S = {(s, t) R 2 : numss + numtt + const 0} 4. Ache a matriz da reflexão ortogonal em relação ao plano Π : x + 2y + 2z = 0 O plano tem equação v T x = 0. A matriz é portanto R = I 2 v 2vvT (Ver valores numéricos). 4

21 5. Considere o sistema Ax = b, onde A = b = Calcule a forma escada de A (faça as contas no local designado). Ache uma base do núcleo de A, e uma base da imagem de A. Ache a solução geral de Ax = b. /3 Aplicada Instituto de Matemática Universidade Federal do Rio de Jan Terceira Prova de Álgebra Linear II Turma da EE, 2008, Prof. Gregorio Nome (letra de forma): MODELO 6 NOTA ASSINATURA: Recomendações gerais: Coloque seu nome, assine e leia atentamente toda a prova antes de começar. Responda às questões da maneira mais clara e objetiva possível, a caneta, sem rasuras e sempre no espaço correspondente. Recomenda-se fazer um rascunho primeiro. O uso de calculadoras, laptops, palmtops, celulares está estritamente proibido. PROVA SEM CONSULTA. É PROIBIDO DESGRAMPEAR.

22 . Achar a matriz A de tamanho [ 2 2, ] [ com] autovalores 2 e 3 e autovetores respectivos e. Explique 3 seu raciocínio. A matriz é A está na tabela de valores. Se U é a matriz cujas colunas são os autovetores, então [ ] λ 0 A = U U 0 λ 2 Ver resultados numéricos. 2. Considere a equação diferencial de primeira ordem em R 2, dada pela equação ẋ(t) = Bx(t) onde B é uma matriz 2 2, com autovalores e 3. Ache a expressão geral da primeira coordenada x (t). Ache a solução x (t) sabendo que x (0) = 0 e x () =. 2

23 A expressão geral é x (t) = ae λt + be λ2t onde λ e λ 2 são os autovalores. Para a solução pedida, precisamos resolver o sistema linear A solução é a = [ e λ e λ 2 ] [ ] a b = e λ e λ 2 b = [ ] 0 e λ 2 e λ 3. Para que conjunto de valores de s e t os vetores w, w 2 e w 3 abaixo são linearmente independentes? s t w = 3 w 2 = w 3 =

24 Uma solução é calcular o determinante da matriz de colunas w, w 2, w 3. A resposta é o conjunto dos valores de (s, t) com determinante diferente de zero. S = {(s, t) R 2 : numss + numtt + const 0} 4. Ache a matriz da reflexão ortogonal em relação ao plano Π : x + 2y + 2z = 0 O plano tem equação v T x = 0. A matriz é portanto R = I 2 v 2vvT (Ver valores numéricos). 4

25 5. Considere o sistema Ax = b, onde A = b = Calcule a forma escada de A (faça as contas no local designado). Ache uma base do núcleo de A, e uma base da imagem de A. Ache a solução geral de Ax = b. /3 5

26 Questão : valores numéricos ********* Modelo octave:47> q(,3,[,3;-2,-]); l = l2 = 3 U = Uinv = A = ********* Modelo 2 octave:48> q(,-3,[,3;-2,-]); l = l2 = -3 U =

27 Uinv = A = ********* Modelo 3 octave:49> q(,3,[-2,-;,3]); l = l2 = 3 U = -2-3 Uinv = A =

28 ********* Modelo 4 l = l2 = -3 U = -2-3 Uinv = A = ********* Modelo 5 octave:5> q(,3,[-,-2;3,]); l = l2 = 3 U = Uinv = 8

29 A = ********* Modelo 6 octave:52> q(,-3,[-,-2;3,]); l = l2 = -3 U = Uinv = A =

30 Questão 3: valores numéricos ********* Modelo octave:4> q3( [2,3,;5,7,2]) ; nums = numt = - const = - ********* Modelo 2 octave:42> q3( [2,,3;5,2,7]) ; nums = numt = - const = ********* Modelo 3 octave:43> q3( [,2,3;2,5,7]) ; nums = - numt = const = - ********* Modelo 4 octave:44> q3( [,3,2;2,7,5]) ; nums = - numt = const = ********* Modelo 5 octave:45> q3( [3,2,;7,5,2]) ; nums = numt = const = - ********* Modelo 6 0

31 octave:46> q3( [3,,2;7,2,5]) ; nums = - numt = - const =

32 Questão 4: valores numéricos ********* Modelo c = 2 3 A = n2 = 4 n2a = ********* Modelo 2 c = 3 2 2

33 A = n2 = 4 n2a = ********* Modelo 3 c = A = n2 = 4 n2a = 3

34 ********* Modelo 4 c = A = n2 = 4 n2a = ********* Modelo 5 c = 2 4

35 2 A = n2 = 9 n2a = ********* Modelo 6 c = A =

36 n2 = 9 n2a =

37 Questão 5: valores numéricos ********* Modelo A = b = E = b0 =

38 ********* Modelo 2 A = b = E = b0 =

39 ********* Modelo 3 A = b = E = b0 = - 0 9

40 ********* Modelo 4 A = b = E = b0 = ********* Modelo 5 20

41 A = b = E = b0 = ********* Modelo 6 A =

42 b = E = b0 = 0 22