Ao iniciar o programa winmat, abre-se a janela:

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1 Winmat (em português) 8// Material elaborado por Mauri C. Nascimento Dep. Matemática/UNESP/Bauru Este programa é de uso livre e pode ser obtido no endereço Ao iniciar o programa inmat, abre-se a janela: Para entrar com uma matri, acione Matri e Nova (ou CtrlN), na barra de menu do Winmat. Ao faer isso, abre-se uma janela onde se escolhe a dimensão e o tipo de matri (nula, aleatória, diagonal, linhas de probabilidade ou colunas de probabilidade). Acionando o botão criar, a matri aparecerá. Se você quiser uma matri particular, escolha qualquer tipo e troque os elementos a ij da matri usando o botão esquerdo (para trocar somente um elemento) ou direito (para trocar todos os elementos) do mouse e acione a tecla Enter no teclado para realiar as trocas. Na parte superior da janela nova matri aparece escrito nova matri [real]. Isto significa que a matri a ser criada é uma matri com elementos reais. É possível entrar com matries com elementos inteiros ou compleos. Para isso acione, na barra de menu do Winmat, Matri, Modo. Comandos da barra de menu do Winmat: Matri Nova: para entrar com uma matri Abrir: para abrir uma matri salva anteriormente Colar: veja ajuda Modo: para escolher o tipo de elementos da matri (reais, inteiros, compleos) Rotação D: matri de rotação do plano Rotação D: matri de rotação do espaço Refletir Projetar: matri para projeção e refleão Fundo Branco: para que a cor de fundo da matri seja branca Ajuda: Ajuda para este item de menu

2 Calc Uma matri: informações sobre a matri (posto, traço, determinante, polinômio característico com suas raíes) Calcular: operações com matries: por eemplo, AB CB^,/A ou A^(-) para a inversa de A, A para a transposta de A, A B para justapor as matries A e B (veja ajuda). Resolver: para resolver um sistema de equações lineares na forma matricial MX B, onde B é uma matri coluna. Fornece também uma base para o espaço das soluções do sistema homogêneo (núcleo). Prog Linear: para maimiar ou minimiar funções lineares definidas em regiões conveas, descritas por desigualdades lineares Forma Escalonada: abre uma caia de diálogo que permite você levar uma matri "passo a passo" à forma escalonada por linhas Oper Linha/Coluna: para realiar operações elementares sobre linhas e colunas Ver: Acionando Fechar na janela de uma matri, ela desaparece da tela. Para voltar a ver a matri acione Ver e em seguida, a letra que designa a matri Comandos da barra de menu da matri: Arquivo: Para salvar a matri, como matri (salvar ou salvar como), como teto (teto eterno) ou.te (TeXto matri) Editar Misc Desfaer: desfa as últimas operações Dimensões: para mudar as dimensões da matri Formato: para definir o formato, sendo que espessura do campo define o espaço destinado a cada elemento (a ij ) e num decimais define o número de casas decimais depois da vírgula Remover: linhas ou colunas Inserir: linhas ou colunas Trocar: linhas ou colunas Col por col autoavanço: para entrar com os elementos por colunas (clicando com o botão direito do mouse). Caso contrário, a entrada dos elementos será realiada por linhas. Fonte: escolher o tipo de fonte Hífen do menos: para aumentar o sinal de menos Cor do bordo: para alterar a "cor dos índices do bordo" Notas: para digitar notas suplementares sobre uma dada matri. De início é mostrada apenas a descrição de sua criação. Fechar: Para a janela da matri desaparecer da tela.

3 Eercícios ) Para A a) encontre o determinante de A b) encontre o determinante de A t, onde A t é a transposta da matri A, e compare com o determinante de A. O que você observou? Eiste alguma propriedade a respeito do que foi observado? c) encontre a matri inversa de A e verifique que AA I (matri identidade) d) encontre AA t. A soma AA t resulta sempre numa matri simétrica? Porque? e) encontre A A f) encontre C tal que ACA t g) verifique que CA A t. Porque não ocorreu igualdade? h) encontre D tal que DAA t ) Para A 8, B 6 e C 8 a) encontre uma matri X tal que AXBC b) verifique que (AB) A ABBAB. Porque vale a igualdade? c) verifique que (AB) A ABB. Porque não vale a igualdade? d) compare det(ab) com det(a)det(b). e) compare det(a ) com det(a) f) eiste alguma propriedade que di respeito aos ítens c) e d) acima? ) Verifique as propriedades de determinantes construindo eemplos a) Se A é matri quadrada com uma linha (ou coluna) de eros então det(a). b) Se A é uma matri com duas linhas (ou colunas) iguais então det(a). c) Se A é uma matri triangular (A tem somente eros acima ou abaio da diagonal principal) então det(a) é igual ao produto dos elementos da diagonal principal. d) Permutando-se duas linhas (ou colunas) de uma matri, seu determinante muda de sinal. e) Se B é uma matri quadrada obtida de A pela multiplicação de uma linha (ou coluna) de A por um número k, então det(b)kdet(a). f) Somando-se uma linha (ou coluna) um múltiplo de outra linha (ou coluna) de uma matri A, seu determinante não se altera. g) A é invertível se, e somente se, det(a). Operações elementares sobre linhas. São três as operações elementares sobre as linhas de uma matri: a) permuta de linhas: L i L j b) multiplicação de uma linha por um número: troca de L i por kl i c) troca da i-ésima linha pela i-ésima linha mais k vees a j-ésima linha: troca de L i por L i kl j Uma matri elementar é uma matri obtida de uma matri identidade I, a partir de uma única operação elementar sobre linhas de I.

4 Por eemplo, E é uma matri elementar obtida da matri identidade, permutando-se a a linha com a a Sejam A e seja B a matri obtida de A, permutando-se também a a linha com a a, isto é, B. Verifique que BEA. Faça CAE. Que relação eiste entre A e C? Sejam A uma matri n n e seja I n a matri identidade n n. Denotando por e uma operação elementar sobre linhas, verifique, a partir de eemplos, a propriedade e(a)e(i n )A. Assim, uma operação elementar sobre as linhas de A eqüivale ao produto de uma matri elementar (obtida pela mesma operação sobre as linhas de I n ) por A. Por eemplo, se e denota a operação de multiplicação da a. linha por, tomando A, então e(i ), e(a). Verifique que o produto de e(i ) por A resulta em e(a). O que acontece com o produto de A por e(i )? Resolvendo um sistema de equações lineares O sistema tem a forma matricial abaio independentes termos dos Matri incógnitas das Matri coeficientes dos Matri Para resolver o sistema precisamos entrar com a matri dos coeficientes, digamos A, e com a matri dos termos independentes, digamos, B, como mostra a figura abaio.

5 Para encontrar as soluções, acione Calc e Resolver, na barra de menu do inmat. Note que, na figura acima, foram designadas as letras A, para a matri dos coeficientes e B para a matri dos termos independentes. Assim, na janela que se abre, coloque as letras A na caia M A e B na caia B B, nomeie as matries de saída (X X e núcleo K ) como na figura a seguir Acionando o botão resolver, aparecerão duas novas matries: uma matri K, fornece os geradores que, juntamente com a matri solução X, vão compor a forma geral das soluções do sistema. Solução geral do sistema: λ λ Assim, as soluções do sistema são obtidas atribuindo-se valores para λ e λ. Por eemplo, para λ e λ,, ou seja,, e é uma solução para o sistema. Eercício. Encontre a solução geral de cada sistema ) ) ) t t t

6 Autovalores e autovetores Inicie com a matri quadrada A. Acionando Calc, Uma matri e A na barra de menu do Winmat, abre-se uma janela com as informações: posto: traço: -. determinante: -. polinômio característico grau coeficiente :. :. : -. :. raíes. (multiplicidade ) -. (multiplicidade ) que significa que o polinômio característico de A é dado por p() e que suas raíes são iguais a e, que são justamente os autovalores de A. Para encontrar os autovetores associados a um autovalor λ, é necessário encontrar as soluções do sistema (A λi)x, onde I é a matri identidade (no caso, ). Para λ. Precisamos da matri identidade. Para isso, acione Matri, Nova e escolha a opção valor diagonal com valor, para obter a matri identidade designada, digamos por B. Acione Calc e Calcular, na barra de menu do inmat defina a matri CA B (isto é, CA λi, pois λ e IB). Acione Calc e Resolver faendo MC e B eros, como mostra a figura abaio. Acionando o botão resolver, o resutado será uma matri K.. com duas colunas V e, W.., que são dois.. autovetores linearmente independentes associados ao autovalor, ou seja, AVVV e AWWW (verifique). Para λ, proceda como no caso anterior, considerando B a matri identidade. Acionando Calc e Resolver na barra de menu do Winmat, faça CAB (isto é, CAλI, pois λ e IB). Acionando resolver, faendo MC e B eros, obtém-se o vetor U, que é um autovetor associado ao autovalor, ou seja, AUU (verifique). 6