Algoritmo de Interpolação (Método da Resolução Linear)

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1 Interpolação Polinomial Sumário Algoritmo de Interpolação (Método da Resolução Linear)... 1 Exemplo... 2 Diagrama de Bloco do Método da Resolução Linear... 4 Programa em Scilab... 6 Algoritmo de Interpolação (Método da Resolução Linear) Dados Iniciais Ler n, quantidade de pontos a interpolar Ler (x[i],y[i]), par ordenado a ser interpolado {formação do sistema de equações lineares} Para i de 1 até n passo 1 faça Para j de 1 até n passo 1 faça Se j = 1 então a[i,j]=1 senão a[i,j]=x[i] j-1 b[i]=y[i] Fim_Para {resolução do sistema de equações lineares pelo método de Gauss} {transformação a matriz triangular superior} Para k de 1 até n-1 passo 1 faça Para i de k+1 até n passo 1 faça a[ i, m a[ k, a[i,=0 Para j de k+1 até n passo 1 faça a[i,j]=a[i,j]-m*a[k,j] Fim_Para b[i]=b[i]-m*b[ Fim_Para Fim_Para {resolução de a matriz triangular superior} b[ n] c[ n] a[ n, n] Para k de n-1 até 1 passo -1 faça s=0 Para j de k+1 ate n passo 1 faça s=s+a[k,j]*c[j] ( b[ s) c[ a[ k, Fim_Para {coeficientes do polinômio interpolador} Escreva c[i]

2 Exemplo Dado os pontos: x y Ache o polinômio interpolador utilizando o algoritmo. Dados Iniciais Ler n =3, quantidade de pontos a interpolar Ler (x[i],y[i]), par ordenado a ser interpolado (x[1]=-1, y[1]=4), (x[2]=0,y[2]=1), (x[3]=2, y[3]=-1) {formação do sistema de equações lineares} Para i de 1 até 3 passo 1 faça Para j de 1 até n passo 1 faça Como j=1 então a[1,1]=1 Fim_Para j=1 Para j de 2 até n passo 1 faça Como j<>1então a[1,2]= x[1] 2-1 = (-1) 1 =-1 Fim_Para j=2 Para j de 3 até n passo 1 faça Como j<>1 então a[1,3]= x[1] 3-1 =(-1) 2 =1 Fim_Para j=3 b[1]=y[1]=4 Fim_Para i=1 Para i de 2 até 3 passo 1 faça Para j de 1 até n passo 1 faça Como j=1 então a[2,1]=1 Fim_Para j=1 Para j de 2 até n passo 1 faça Como j<>1então a[2,2]= x[2] 2-1 = (0) 1 =0 Fim_Para j=2 Para j de 3 até n passo 1 faça Como j<>1 então a[2,3]= x[2] 3-1 =(0) 2 =0 Fim_Para j=3 b[2]=y[2]=1 Fim_Para i=2 Para i de 3 até 3 passo 1 faça Para j de 1 até n passo 1 faça Como j=1 então a[3,1]=1 Fim_Para j=1 Para j de 2 até n passo 1 faça Como j<>1então a[3,2]= x[3] 2-1 = (2) 1 =2 Fim_Para j=2 Para j de 3 até n passo 1 faça Como j<>1 então a[2,3]= x[2] 3-1 =(2) 2 =4 Fim_Para j=3 b[3]=y[3]=-1 Fim_Para i=3 {resolução do sistema de equações lineares pelo método de Gauss} {transformação a matriz triangular superior} Para k de 1 até 2 passo 1 faça Para i de 2 até 3 passo 1 faça a[2,1] 1 m 1 a [1,1] 1 a[2,1]=0 Para j de 2 até 3 passo 1 faça a[2,2]=a[2,2]-m*a[1,2]=0-1(-1)=1 Fim_Para j=2 Para j de 3 até 3 passo 1 faça a[2,3]=a[2,3]-m*a[1,3]=0-1(1)=-1 Fim_Para j=3 b[2]=b[2]-m*b[1]=1-1(4)=-3 Fim_Para i=2 Para i de 3 até 3 passo 1 faça a[3,1] 1 m 1 a [1,1] 1

3 a[3,1]=0 Para j de 2 até 3 passo 1 faça a[3,2]=a[3,2]-m*a[1,2]=2-1(-1)=3fim_para j=2 Para j de 3 até 3 passo 1 faça a[3,3]=a[3,3]-m*a[1,3]=4-1(1)=3 Fim_Para j=3 b[3]=b[3]-m*b[1]=-1-1(4)=-5 Fim_Para i=3 Fim_Para k=1 Para k de 2 até 2 passo 1 faça Para i de 3 até 3 passo 1 faça a[3,2] 3 m 3 a [2,2] 1 a[3,2]=0 Para j de 3 até 3 passo 1 faça a[3,3]=a[3,3]-m*a[2,3]=3-3(-1)=6 Fim_Para j=3 b[3]=b[3]-m*b[2]=-5-3(-3)=4 Fim_Para i=3 Fim_Para k=2 {resolução de a matriz triangular superior} b[3] 4 c [ 3] a [3,3] 6 Para k de 2 até 1 passo -1 faça s=0 Para j de 3 ate 3 passo 1 faça s=s+a[2,3]*c[3]=0+(-1)*( )= Fim_Para j=3 ( b[2] s) -3-( ) c [ 2] a [2,2] 1 Fim_Para k=2 Para k de 1 até 1 passo -1 faça s=0 Para j de 2 ate 3 passo 1 faça s=s+a[1,2]*c[2]=0+(-1)*( )= Fim_Para j=2 Para j de 3 ate 3 passo 1 faça s=s+a[1,3]*c[3]= ( )= 3 Fim_Para j=3 ( b[1] s) 4 3 c [ 1] 1 a [1,1] 1 Fim_Para k=1 {coeficientes do polinômio interpolador} Escreva c[1]=1 Escreva c[2]= Escreva c[3]= O polinômio interpolador é P2(x)= x x 2

4 Diagrama de Bloco do Método da Resolução Linear Inicio n, x[i], y[i] i 1,n,1 j 1,n,1 a[i,j] x[i] j b[i] y[i] k 1,n-1,1 i k+1,n,1 m a[i,/a[k, a[i, 0 j k+1,n,1 a[i,j] a[i,j]-m*a[k,j] b[i] b[i]-m*b[ c[n] b[n]/a[n,n] Cont

5 Cont k n-1,1,-1 s 0 j k+1,n,1 s s+a[k,j]*c[j] x[ (b[-s)/a[k, c[i] Fim

6 Programa em Scilab // // Interpolação Numérica // Dada uma função f(x) em forma tabular // x representa do domínio e y as imagens // gráfico: %T (verdadeiro) realiza o gráfico do polinômio de interpolação e os pontos // gráfico: %F (falso) não realiza o gráfico do polinômio de interpolação e os pontos // function p=interpolacao(x, y, grafico) n = length(x(1,:)) //n de elemetos ou puntos xp = x //Formação do Sistema Linear a=zeros(n,n) b=zeros(n,1) for i=1:1:n a(i,1)=1 for j=2:1:n a(i,j)=x(i)^(j-1) b(i)=y(i) // Resolução do Sistema Linear // Matriz triangular superior for k=1:1:n-1 for i=k+1:1:n m = a(i,k)/a(k,k) a(i,k)=0 for j=k+1:1:n a(i,j)=a(i,j)-m*a(k,j) b(i)=b(i)-m*b(k) // Solução do sistema x(n)=b(n)/a(n,n) for k=n-1:-1:1 s=0 for j=k+1:1:n s=s+a(k,j)*x(j) x(k)=(b(k)-s)/a(k,k) //Formação do polinomio de interpolação p=poly(x,"x","coeff")

7 // Realizar o gráfico if grafico == %T then h = length(xp(1,:)) //n de elementos t=(xp(1)-0.1:0.01:xp(h)+0.1) funcao=horner(p,t) pontos=horner(p,xp) plot2d(xp,pontos,-4) plot2d(t,funcao) function // -----Exemplo # x = [-1,0,2]; y = [4,1,-1]; p = interpolacao(x,y,%f) // // -----Exemplo # x = [0,0.1,0.3,0.5]; y = [0.5,0,0.2,1]; horner(p,0.2) p = interpolacao(x,y,%f) // // -----Exemplo # // Os seguintes valores satisfazem a função f(x)=sen x x = [1,2]; y = [0.84,0.91]; //Gráfico da função f(x)=sen x no intervalo [1,2] h = length(x(1,:)); t=(x(1)-0.1:0.01:x(h)+0.1); plot2d(t,sin(t)) //A função horner(p, %pi/2) significa p(%pi/2) horner(p,%pi/2) sin(%pi/2) //Erro ao avaliar %pi/2 em p(x) abs(sin(%pi/2)-horner(p,%pi/2)) p = interpolacao(x,y,%f) // // -----Exemplo # //Os seguintes valores satisfazem a função f(x)=x^(1/2) x = [0,1,4]; y = [0,1,2];

8 //Gráfico da função f(x)=x^(1/2) no intervalo [0,4] h = length(x(1,:)); t=(x(1)-0.1:0.01:x(h)+0.1); plot2d(t,sqrt(t)) //A função horner(p,2) significa p(2) horner(p,2) sqrt(2) //Erro ao avaliar 2 em p(x) abs(sin(2)-horner(p,2)) p = interpolacao(x,y,%f) // // -----Exemplo # // x=[2.4,2.6,2.8,3.0,3.2,3.4,3.6,3.8] // y =[11.02,13.42,16.44,20.08,24.53,29.96,36,59,44.7] // Calcule e^(3.1) para tres pontos. Calcule o erro. x=[2.8,3.0,3.2]; y =[16.44,20.08,24.53]; //Gráfico da função f(x)=e^x no intervalo [2.8,3.2] h = length(x(1,:)); t=(x(1)-0.1:0.01:x(h)+0.1); plot2d(t,%e^(t)) //Cálculo do erro horner(p,3.1) %e^(3.1) abs(horner(p,3.1)-%e^(3.1))