Algoritmo de Interpolação (Método da Resolução Linear)

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1 Interpolação Polinomial Sumário Algoritmo de Interpolação (Método da Resolução Linear)... 1 Exemplo... 2 Diagrama de Bloco do Método da Resolução Linear... 4 Programa em Scilab... 6 Algoritmo de Interpolação (Método da Resolução Linear) Dados Iniciais Ler n, quantidade de pontos a interpolar Ler (x[i],y[i]), par ordenado a ser interpolado {formação do sistema de equações lineares} Para i de 1 até n passo 1 faça Para j de 1 até n passo 1 faça Se j = 1 então i,j]=1 senão i,j]=x[i] j-1 b[i]=y[i] {resolução do sistema de equações lineares pelo método de Gauss} {transformação a matriz triangular superior} Para k de 1 até n-1 passo 1 faça Para i de k+1 até n passo 1 faça i, m k, i,=0 Para j de k+1 até n passo 1 faça i,j]=i,j]-m*k,j] b[i]=b[i]-m*b[ {resolução de a matriz triangular superior} b[ n] c[ n] n, n] Para k de n-1 até 1 passo -1 faça Para j de k+1 ate n passo 1 faça s=s+k,j]*c[j] ( b[ s) c[ k, {coeficientes do polinômio interpolador} Escreva c[i]

2 Exemplo Dado os pontos: x y Ache o polinômio interpolador utilizando o algoritmo. Dados Iniciais Ler n =3, quantidade de pontos a interpolar Ler (x[i],y[i]), par ordenado a ser interpolado (x[1]=-1, y[1]=4), (x[2]=0,y[2]=1), (x[3]=2, y[3]=-1) {formação do sistema de equações lineares} Para i de 1 até 3 passo 1 faça Para j de 1 até n passo 1 faça Como j=1 então 1,1]=1 j=1 Para j de 2 até n passo 1 faça Como j<>1então 1,2]= x[1] 2-1 = (-1) 1 =-1 j=2 Para j de 3 até n passo 1 faça Como j<>1 então 1,3]= x[1] 3-1 =(-1) 2 =1 j=3 b[1]=y[1]=4 i=1 Para i de 2 até 3 passo 1 faça Para j de 1 até n passo 1 faça Como j=1 então 2,1]=1 j=1 Para j de 2 até n passo 1 faça Como j<>1então 2,2]= x[2] 2-1 = (0) 1 =0 j=2 Para j de 3 até n passo 1 faça Como j<>1 então 2,3]= x[2] 3-1 =(0) 2 =0 j=3 b[2]=y[2]=1 i=2 Para i de 3 até 3 passo 1 faça Para j de 1 até n passo 1 faça Como j=1 então 3,1]=1 j=1 Para j de 2 até n passo 1 faça Como j<>1então 3,2]= x[3] 2-1 = (2) 1 =2 j=2 Para j de 3 até n passo 1 faça Como j<>1 então 2,3]= x[2] 3-1 =(2) 2 =4 j=3 b[3]=y[3]=-1 i=3 {resolução do sistema de equações lineares pelo método de Gauss} {transformação a matriz triangular superior} Para k de 1 até 2 passo 1 faça Para i de 2 até 3 passo 1 faça 2,1] 1 m 1 a [1,1] 1 2,1]=0 Para j de 2 até 3 passo 1 faça 2,2]=2,2]-m*1,2]=0-1(-1)=1 j=2 Para j de 3 até 3 passo 1 faça 2,3]=2,3]-m*1,3]=0-1(1)=-1 j=3 b[2]=b[2]-m*b[1]=1-1(4)=-3 i=2 Para i de 3 até 3 passo 1 faça 3,1] 1 m 1 a [1,1] 1

3 3,1]=0 Para j de 2 até 3 passo 1 faça 3,2]=3,2]-m*1,2]=2-1(-1)=3 j=2 Para j de 3 até 3 passo 1 faça 3,3]=3,3]-m*1,3]=4-1(1)=3 j=3 b[3]=b[3]-m*b[1]=-1-1(4)=-5 i=3 k=1 Para k de 2 até 2 passo 1 faça Para i de 3 até 3 passo 1 faça 3,2] 3 m 3 a [2,2] 1 3,2]=0 Para j de 3 até 3 passo 1 faça 3,3]=3,3]-m*2,3]=3-3(-1)=6 j=3 b[3]=b[3]-m*b[2]=-5-3(-3)=4 i=3 k=2 {resolução de a matriz triangular superior} b[3] 4 c [ 3] a [3,3] 6 Para k de 2 até 1 passo -1 faça Para j de 3 ate 3 passo 1 faça s=s+2,3]*c[3]=0+(-1)*( )= j=3 ( b[2] s) -3-( ) c [ 2] a [2,2] 1 k=2 Para k de 1 até 1 passo -1 faça Para j de 2 ate 3 passo 1 faça s=s+1,2]*c[2]=0+(-1)*( )= j=2 Para j de 3 ate 3 passo 1 faça s=s+1,3]*c[3]= ( )= 3 j=3 ( b[1] s) 4 3 c [ 1] 1 a [1,1] 1 k=1 {coeficientes do polinômio interpolador} Escreva c[1]=1 Escreva c[2]= Escreva c[3]= O polinômio interpolador é P2(x)= x x 2

4 Diagrama de Bloco do Método da Resolução Linear Inicio n, x[i], y[i] i 1,n,1 j 1,n,1 i,j] x[i] j b[i] y[i] k 1,n-1,1 i k+1,n,1 m i,/k, i, 0 j k+1,n,1 i,j] i,j]-m*k,j] b[i] b[i]-m*b[ c[n] b[n]/n,n] Cont

5 Cont k n-1,1,-1 s 0 j k+1,n,1 s s+k,j]*c[j] x[ (b[-s)/k, c[i] Fim

6 Programa em Scilab // Interpolação function p=interpolacao(x, y, n) //Formação do Sistema Linear a=zeros(n,n) b=zeros(n,1) for i=1:1:n a(i,1)=1 for j=2:1:n a(i,j)=x(i)^(j-1) b(i)=y(i) // Resolução do Sistema Linear // Matriz triangular superior for k=1:1:n-1 for i=k+1:1:n m = a(i,k)/a(k,k) a(i,k)=0 for j=k+1:1:n a(i,j)=a(i,j)-m*a(k,j) b(i)=b(i)-m*b(k) // Solução do sistema x(n)=b(n)/a(n,n) for k=n-1:-1:1 for j=k+1:1:n s=s+a(k,j)*x(j) x(k)=(b(k)-s)/a(k,k) //Formação do polinomio de interpolação p=poly(x,"x","coeff") function // Exemplo # 1 x = [-1,0,2] y = [4,1,-1] // n é a quantidades de pontos p = interpolacao(x,y,3)

7 // Exemplo # 2 x = [-4,-1,0,2,5] y = [1245,33,5,9,1335] p = interpolacao(x,y,5) // Exemplo # 3 x = [3,-2,0,9,4] y = [15,5,3,687,47] p = interpolacao(x,y,5)