CONSTRUÇÃO DE ALGORITMO COMO FERRAMENTA PARA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS SOBRE INTERPOLAÇÃO DE LAGRANGE

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Mirella Malheiro Galvão
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CONSTRUÇÃO DE ALGORITMO COMO FERRAMENTA PARA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS SOBRE INTERPOLAÇÃO DE LAGRANGE F. SALVALAGGIO 1 ; M.A. CARRARO 2 ; J.A.T. SCHULZ 3 RESUMO: Este trabalho apresenta o estudo, desenvolvimento e aplicação de um algoritmo capaz de resolver problemas sobre o conteúdo de Interpolação, segundo o Método de Lagrange.

1 CONSTRUÇÃO DE ALGORITMO COMO FERRAMENTA PARA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS SOBRE INTERPOLAÇÃO DE LAGRANGE F. SALVALAGGIO 1 ; M.A. CARRARO 2 ; J.A.T. SCHULZ 3 RESUMO: Este trabalho apresenta o estudo, desenvolvimento e aplicação de um algoritmo capaz de resolver problemas sobre o conteúdo de Interpolação, segundo o Método de Lagrange. Sua construção foi motivada pela necessidade de agilizar a obtenção de resultados para os problemas que eram propostos durante as aulas da disciplina de Cálculo Numérico no Curso de Licenciatura em Matemática do IFRS-BG. PALAVRAS-CHAVE: modelagem matemática, scilab 1. INTRODUÇÃO A resolução manual de exercícios escolares pode mostrar-se, às vezes, muito trabalhosa e complicada, principalmente quando envolve diversas operações e fórmulas complexas; além de consumir muito tempo, há a possibilidade de cometer diversos erros. Durante as aulas de Cálculo Numérico, a necessidade de interpolar muitas funções, através da Interpolação de Lagrange, levou-nos a buscar uma forma de simplificar o processo envolvido no cálculo dos Polinômios Interpoladores que solucionavam as questões que foram trabalhadas em sala de aula. Para resolver tal problema e como já havíamos trabalhado com o Software Scilab nas aulas de Matemática Computacional, consideramos a possibilidade de desenvolver um 1 Estudante, Curso Licenciatura em Matemática, IFRS campus Bento Gonçalves, Av. Osvaldo Aranha, 540, CEP , Bento Gonçalves, RS, lipesalvalaggio@terra.com.br 2 Estudante, Curso Licenciatura em Matemática, IFRS campus Bento Gonçalves, Av. Osvaldo Aranha, 540, CEP , Bento Gonçalves, RS, marcos.a.carraro@hotmail.com 3 Licenciada em Matemática, Prof. Doutora, IFRS campus Bento Gonçalves, Av. Osvaldo Aranha, 540, CEP , Bento Gonçalves, RS. Fone (54) , julhane.schulz@bento.ifrs.edu.br

2 algoritmo que, quando carregado com os pontos que eram disponibilizados nos problemas, fornecesse o polinômio interpolador. O objetivo deste trabalho é descrever a pesquisa, construção e testes do programa computacional que desenvolvemos para a resolução de problemas de Interpolação. MATERIAL E MÉTODOS Para a construção do algoritmo foram necessários conhecimentos do Método de Interpolação de Lagrange e de construção de algoritmos através do software escolhido, no caso, o Scilab A seguir apresentamos algumas definições importantes para a compreensão do trabalho desenvolvido: Em matemática, interpolar consiste em um método que possibilita encontrar um novo conjunto de dados, a partir de outro conjunto com dados conhecidos. Sendo assim, tendo uma função f(x), interpolar consiste em aproximar essa função através de outra função P(x). Consequentemente, adota-se a função P(x), em substituição à f(x), como referência para futuros estudos. Figura 1: Interpolação de f(x) pelo polinômio P(x). A importância do estudo e utilização da interpolação é devido a algumas situações, tais como: Aproximar funções complexas por funções mais simples. Utilizam-se alguns pontos da função dita complexa, interpolando-os para uma função mais simples. Quando são conhecidos apenas os valores numéricos do comportamento de uma função, determinados por pontos tabulados, e deseja-se conferir sua continuidade. A interpolação polinomial parte da seguinte definição: dados n pontos, constituídos no seguinte formato [x 0, f(x 0 )], [x 1, f(x 1 )],..., [x n, f(x n )], queremos aproximar a função f(x), 2

3 desconhecida e que os representa, através de um polinômio P n (x), de grau menor ou igual a n. Sendo assim, queremos representar a nova função no seguinte formato: (1) em que, P n (x) é o polinômio interpolador e a 0, a 1, a 2,..., a n são os coeficientes de suas respectivas variáveis. Existem várias formas de se obter o polinômio interpolador. Neste trabalho focaremos nosso estudo no Método de Lagrange. A fórmula de Lagrange envolve somente os pontos x i e os valores da função correspondente f(x i ). Então, o polinômio interpolador de Lagrange pode ser escrito como: (2) Onde tem-se que L i (x) é: (3) Sendo assim, de modo geral, o método de Lagrange segue os seguintes argumentos: (4) Resolver analiticamente este tipo de interpolação pode despender uma quantidade enorme de tempo, dependendo da quantidade de pontos que se deseja utilizar na interpolação. Para agilizar este processo de construção, desenvolvemos um algoritmo computacional no software matemático Scilab. Consideramos a alternativa encontrada válida, pois nos auxiliou na obtenção rápida e eficaz dos dados, podendo antecipar possíveis erros, além de que sua construção foi simples pois exigia apenas um pouco de tempo e o conhecimento dos comandos a utilizar. RESULTADOS E DISCUSSÃO O algoritmo desenvolvido é bastante simples e sua programação foi relativamente fácil, pois a fórmula utilizada já existia e possuíamos um software adequado para o trabalho. O programa computacional que desenvolvemos para calcular Interpolação de Lagrange, além de leve (e de fácil execução), mostrou-se eficiente ao ser capaz de resolver todos os problemas que foram propostos em aula. 3

4 Apresentamos um exemplo de problema resolvido através do algoritmo desenvolvido: o objetivo era encontrar o Polinômio de Interpolação de Lagrange para uma função conhecida pelos pontos de uma determinada tabela (Tabela 1) e o valor de P(0.3). Tabela 1: conjunto de pontos i x i y i

5 Figura 2: Resultado obtido através do carregamento dos dados do problema no algoritmo desenvolvido. CONCLUSÕES 5

6 O algoritmo desenvolvido conseguiu resolver todos os problemas de interpolação propostos, retornando resultados idênticos aos obtidos através do cálculo manual, dessa forma consideramos o programa satisfatório. Sua construção foi muito interessante, pois além do conhecimento adquirido durante o desenvolvimento do programa computacional, ganhamos uma calculadora para Interpolação que foi utilizada durante todo o semestre. Do trabalho, ficou a dica de que poderíamos desenvolver outros algoritmos que pudessem nos auxiliar durante as demais disciplinas. Percebemos que o tempo investido no desenvolvimento de um programa foi rapidamente compensado pelo tempo economizado na resolução de problemas. 6

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