MATLAB Avançado. Melissa Weber Mendonça Universidade Federal de Santa Catarina. M. Weber Mendonça (UFSC) MATLAB Avançado 2011.

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1 MATLAB Avançado Melissa Weber Mendonça 1 1 Universidade Federal de Santa Catarina M. Weber Mendonça (UFSC) MATLAB Avançado / 25

2 Referências a funções definidas inline Podemos usar funções anônimas para chamar fzero. Exemplo: ou ainda >> quadratica x.^2-4; >> x = fzero(quadratica,6) >> x = fzero(@(x) x.^2-4,6) M. Weber Mendonça (UFSC) MATLAB Avançado / 25

3 Referências a funções definidas em arquivo Se a função para a qual gostaríamos de encontrar uma raiz estiver em um arquivo próprio, no formato [y] = minhafuncao(x) comandos Podemos chamar a função fzero a partir do ponto x0, escrevendo >> x = fzero(@minhafuncao,x0) bissecção, secante e interpolação quadrática inversa. M. Weber Mendonça (UFSC) MATLAB Avançado / 25

4 Encontrar uma das raizes de f (x) = x 2 4 a partir do ponto x = 6. M. Weber Mendonça (UFSC) MATLAB Avançado / 25

5 Encontrar uma das raizes de f (x) = x 2 4 a partir do ponto x = 6. >> quadratica x.^2-4; >> fzero(quadratica,-6) M. Weber Mendonça (UFSC) MATLAB Avançado / 25

6 Encontrar uma raiz de f (x) = e 2x 3. M. Weber Mendonça (UFSC) MATLAB Avançado / 25

7 Encontrar uma raiz de f (x) = e 2x 3. >> fun exp(2*x)-3; >> fzero(fun,0) M. Weber Mendonça (UFSC) MATLAB Avançado / 25

8 Raizes de um polinômio: roots Para encontrar as raizes de um polinômio de grau n da forma p(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x a n x n primeiramente representamos este polinômio como um vetor linha p no MATLAB, cujas componentes são os coeficientes dos termos em ordem descendente de grau, ou seja, Em seguida, usamos o comando >> p = [a n a n 1 a 2 a 1 a 0 ] >> r = roots(p) resultando em um vetor coluna r com as raizes deste polinômio. M. Weber Mendonça (UFSC) MATLAB Avançado / 25

9 p(x) = t 3 + 2t 2 5t 6 >> p = [ ] >> roots(p) Figura: p(x) = t 3 + 2t 2 5t 6 e suas raizes. M. Weber Mendonça (UFSC) MATLAB Avançado / 25

10 Sistema de equações não lineares: fsolve Para encontrarmos a solução de um sistema de equações não lineares da forma F (x) = 0 onde F : R n R m, usamos a função fsolve, identicamente à função fzero: >> fsolve(@minhafuncao,x0) se utilizarmos uma função em arquivo, ou se utilizarmos uma função anônima. >> fsolve(fun,x0) Observação: Este comando faz parte da Optimization Toolbox, que pode não estar disponível na sua instalação do MATLAB. M. Weber Mendonça (UFSC) MATLAB Avançado / 25

11 Resolver o sistema de equações { y1 = 3x x y 2 = 2x 2 1 3x M. Weber Mendonça (UFSC) MATLAB Avançado / 25

12 Resolver o sistema de equações { y1 = 3x x y 2 = 2x 2 1 3x >> fun [3*x(1).^2+4*x(2).^2-16; 2*x(1).^2-3*x(2).^2-5]; >> fsolve(fun,[1;1]) M. Weber Mendonça (UFSC) MATLAB Avançado / 25

13 Encontrar a raiz de [ x F (x) = x ] 2x 3 sin(x 1 + 2x 2 3x 3 ) M. Weber Mendonça (UFSC) MATLAB Avançado / 25

14 Encontrar a raiz de [ x F (x) = x ] 2x 3 sin(x 1 + 2x 2 3x 3 ) >> fun [x(1).^2+x(2).*x(3); sin(x(1)+2*x(2)-3*x(3))]; >> fsolve(fun,[1;1;1]) M. Weber Mendonça (UFSC) MATLAB Avançado / 25

15 Encontrar a raiz de [ x F (x) = x ] 2x 3 sin(x 1 + 2x 2 3x 3 ) >> fun [x(1).^2+x(2).*x(3); sin(x(1)+2*x(2)-3*x(3))]; >> fsolve(fun,[1;1;1]) >> fsolve(fun,[0;0;0]) M. Weber Mendonça (UFSC) MATLAB Avançado / 25

16 Otimização: Minimização de funções Agora, queremos resolver o problema minimizar f (x). M. Weber Mendonça (UFSC) MATLAB Avançado / 25

17 Minimização de uma função de várias variáveis: fminsearch Para encontrarmos o mínimo de uma função real de várias variáveis, a partir de um ponto inicial x0, usamos o comando >> x = fminsearch(@funcao,x0) Se quisermos também saber o valor da função no ponto de mínimo, usamos a sintaxe >> [x,fval] = fminsearch(@funcao,x0) M. Weber Mendonça (UFSC) MATLAB Avançado / 25

18 Minimizar a função a partir do ponto inicial x 0 = (0, 0). f = e x 1 (4x x x 1 x 2 + 2x 2 + 1) M. Weber Mendonça (UFSC) MATLAB Avançado / 25

19 Minimizar a função a partir do ponto inicial x 0 = (0, 0). f = e x 1 (4x x x 1 x 2 + 2x 2 + 1) >> f=@(x)exp(x(1))*(4*x(1)^2+2*x(2)^2+4*x(1)*x(2)+2*x(2)+1); >> fminsearch(f,[0;0]) M. Weber Mendonça (UFSC) MATLAB Avançado / 25

20 Minimizar f (x) = 100(x 2 x 2 1 ) 2 + (1 x 1 ) 2 M. Weber Mendonça (UFSC) MATLAB Avançado / 25

21 Minimizar f (x) = 100(x 2 x 2 1 ) 2 + (1 x 1 ) 2 >> f 100*(x(2)-x(1).^2).^2+(1-x(1)).^2 >> fminsearch(f,[0;0]) M. Weber Mendonça (UFSC) MATLAB Avançado / 25

22 Minimização de uma função de uma variável com restrições: fminbnd Para encontrarmos o mínimo de uma função de uma variável dentro de um intervalo [a, b], usamos o comando >> x = fminbnd(@funcao,a,b) Se quisermos também saber o valor da função no ponto de mínimo, usamos a sintaxe >> [x,fval] = fminbnd(@funcao,a,b) M. Weber Mendonça (UFSC) MATLAB Avançado / 25

23 Minimizar f (x) = x nos intervalos [0, 1] e [ 10, 1]. M. Weber Mendonça (UFSC) MATLAB Avançado / 25

24 Minimizar f (x) = x nos intervalos [0, 1] e [ 10, 1]. >> f x; >> fminbnd(f,0,1) >> fminbnd(f,-10,1) M. Weber Mendonça (UFSC) MATLAB Avançado / 25

25 Minimizar f (x) = x 2 1 no intervalo [1, 3]. M. Weber Mendonça (UFSC) MATLAB Avançado / 25

26 Minimizar f (x) = x 2 1 no intervalo [1, 3]. >> f x.^2; >> fminbnd(f,1,3) M. Weber Mendonça (UFSC) MATLAB Avançado / 25

27 interp1, interp2, interp3 e interpn Para interpolarmos um conjunto de pontos em 1D, 2D, 3D ou em N dimensões, usamos os comandos interp1 interp2 interp3 interpn respectivamente. M. Weber Mendonça (UFSC) MATLAB Avançado / 25

28 Interpolação 1D: interp1 O comando >> yi = interp1(x,y,xi,method) interpola os dados (x,y) nos novos pontos xi, usando o método method, que pode ser: nearest Vizinho mais próximo linear Interpolação linear (default) spline Splines cúbicos cubic Interpolação por polinômios de Hermite M. Weber Mendonça (UFSC) MATLAB Avançado / 25

29 >> x = 0:10; >> y = sin(x); >> xi = 0:.25:10; >> yi = interp1(x,y,xi); >> plot(x,y, o,xi,yi); >> hold on; >> zi = interp1(x,y,xi, nearest ); >> plot(xi,zi, :k ); >> wi = interp1(x,y,xi, spline ); >> plot(xi,wi, m ); >> ui = interp1(x,y,xi, cubic ); >> plot(xi,ui, --g ) M. Weber Mendonça (UFSC) MATLAB Avançado / 25

30 Interpolação 2D: interp2 O comando >> ZI = interp2(x,y,z,xi,yi,method) interpola os dados (X,Y,Z) nos novos pontos (XI,YI) usando o método method, que pode ser nearest Vizinho mais próximo linear Interpolação linear (default) spline Splines cúbicos cubic Interpolação cúbica, se os dados forem uniformemente espaçados; senão, é o mesmo que spline. M. Weber Mendonça (UFSC) MATLAB Avançado / 25

31 M. Weber Mendonça (UFSC) MATLAB Avançado / 25

32 Interpolação polinomial: polyfit O comando >> p = polyfit(x,y,n) encontra os coeficientes do polinômio p(x) de grau n que interpola os dados y(i) = p(x(i)), em um sentido de mínimos quadrados. O vetor p resultante contém os coeficientes do polinômio em ordem descendente de potências. Exemplo: Tentar interpolar com um polinômio os mesmos pontos do exercício anterior, ou seja, >> x = 0:10; >> y = sin(x); M. Weber Mendonça (UFSC) MATLAB Avançado / 25

33 Integração numérica: trapz Para calcularmos uma aproximação numérica de b a f (x)dx, primeiramente precisamos representar a função f em um conjunto de pontos: Agora, usamos o comando trapz: >> x = 0:pi/100:pi; >> y = sin(x); >> z = trapz(x,y) M. Weber Mendonça (UFSC) MATLAB Avançado / 25

34 Integração numérica: quad Para calcularmos uma aproximação numérica de b a f (x)dx pela quadratura de Simpson (adaptativa), usamos o comando >> q = quad(fun,a,b) em que fun é uma referência a uma função. M. Weber Mendonça (UFSC) MATLAB Avançado / 25