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2 Eliminação de Gauss Objetivos: Saber resolver pequenos sistemas de equações com o método gráfico e regra de Cramer; Compreender como implementar a eliminação progressiva e substituição regressiva; Entender os conceitos de singularidade e mau condicionamento; Compreender como o pivotamento parcial é implementado e qual sua diferença para o pivotamento total; Reconhecer como calcular o determinante como parte do algoritmo de eliminação de gauss com pivotamento parcial; Reconhecer como a estrutura em banda de um sistema tridiagonal pode ser explorado para se obter soluções extremamente eficientes. 2/39

3 Motivação Na aula anterior vimos que o MATLAB fornece dois meios para a solução de sistemas, sendo eles a divisão à esquerda x = A\b e inversão matricial x = inv(a)*b E esta aula tem por objetivo fornecer conhecimento a respeito de como as soluções são obtidas e entender como o MATLAB opera. Apesar da Eliminação de Gauss ter sido um dos primeiros algoritmos desenvolvidos, ele permanece entre os de maior uso hoje e forma a base do método de solução de sistemas lineares em diversos softwares, tais como o MATLAB. 3/39

4 Sistemas Pequenos Veremos, primeiramente, técnicas para solução sistemas pequenos Serão abordados o método gráfico, regra de Cramer e eliminação de incógnitas. 4/39

5 Método Gráfico A solução gráfica é obtida para um sistema com duas equações lineares ao se plotar ambas as equações num plano cartesiano. Como as equações são lineares, cada uma resultará em uma linha reta. Suponha o seguinte sistema: Podemos utilizar o seguinte código: [x,y] = meshgrid(0:0.1:6); f1 = +3.*x +2.*y; f2 = -x+ 2.*y; contour(x,y,f1,[18 18],'k') hold on contour(x,y,f2,[2 2],'r') xlabel('x'); ylabel('y'); grid 5/39

6 Método Gráfico O que nos forneceria a seguinte solução: 6/39

7 Método Gráfico Para um sistema de três equações, cada uma delas representaria um plano num sistema de coordenadas tridimensional. O ponto onde os três planos se interceptam representaria a solução. Apesar do método gráfico não ser muito útil na solução de equações, eles são úteis para visualizar propriedades das soluções. 7/39

8 Determinante e Regra de Cramer O determinante D da matriz [A] pode ser definido como: Para uma matriz 2 x 2, o determinante é calculado como: Para uma matriz de terceira ordem, o determinante pode ser calculado como: tal que os determinantes 2 x 2 são chamados de menor. 8/39

9 Determinante e Regra de Cramer Para as figuras que vimos nos slides 6 e 7, poderíamos calcular o valor dos determinantes de (a), (b) e (c). Obteríamos os seguintes resultados: 9/39

10 Regra de Cramer Este método estabelece que cada incógnita de um sistema linear pode ser expressada como uma fração de dois determinantes: o denominador D e o numerador obtido de um determinante no qual se substitui os coeficientes da incógnita pelos termos independentes. 10/39

11 Regra de Cramer: Exemplo Solucionar o sistema a seguir: O determinante D pode ser calculado como: E a solução torna-se: 11/39

12 Regra de Cramer: Exemplo 12/39

13 Função det No MATLAB, o determinante de uma matriz pode ser calculado diretamente com a função det. Seu uso é da forma: det(a) 13/39

14 Eliminação de Incógnitas A eliminação de incógnitas ao se combinar equações é um método algébrico que pode ser ilustrado para um sistema de duas equações: A estratégia básica é multiplicar as equações por constantes tal que uma das incógnitas seja eliminada quando as duas equações são combinadas. O resultado é uma única equação que pode ser resolvida para a incógnita restante. O quê nos permite subtrair uma equação da outra: 14/39

15 Eliminação de Incógnitas Este tipo de solução pode ser estendido para sistemas maiores. Entretanto inúmeros cálculos são necessários para sistemas maiores, o que torna o método difícil de ser implementado na mão. Entretanto esta técnica pode ser formalizada numa rotina. 15/39

16 Eliminação de Gauss Ingênua O processo de eliminação de incógnitas consiste, basicamente, de dois passos: (1) As equações são manipuladas para eliminar uma das incógnitas das equações. O resultado deste passo é uma equação com uma incógnita. (2) Consequentemente esta equação pode ser resolvida diretamente e o resultado pode ser substituído numa das equações originais para encontrar o valor da outra incógnita. Esse método simples pode ser estendido para grandes conjuntos de equações ao se desenvolver um algoritmo de eliminação progressiva e substituição regressiva. A eliminação de Gauss é o mais básico destes esquemas. Veremos técnicas sistemáticas de eliminação progressiva e substituição regressiva. Apesar destas técnicas serem ideais para serem implementadas num computador, algumas modificações devem ser feitas para se obter um algoritmo robusto. Deve-se, por exemplo, evitar divisões por zero. 16/39

17 Eliminação de Gauss Ingênua O método demonstrado é chamado de ingênuo porque ele não evita o problema da divisão por zero. Assim como feito anteriormente, a técnica consiste de duas fases: eliminação progressiva e substituição regressiva. 17/39

18 Eliminação de Gauss Ingênua Eliminação Progressiva Esta fase é destinada a reduzir o conjunto de equações a um sistema triangular superior. O primeiro passo é eliminar a primeira incógnita x1 da segunda linha até a n-ésima linha. Isto é alcançado facilmente ao se multiplicar a primeira linha por a21/a11 resultando em: Esta equação, da primeira linha, pode ser subtraída da segunda linha, resultando em 18/39

19 Eliminação de Gauss Ingênua O procedimento então é repetido para todas as equações restantes. A primeira linha pode ser multiplicada por a31/a11 e o resultado subtraído da terceira linha. O sistema final, modificado, será dado por: Para todos os passos subsequentes, a equação da primeira linha é chamada de equação pivô, e a11 é chamado de elemento pivô. Esta operação de dividir normalmente é chamada de normalização. 19/39

20 Eliminação de Gauss Ingênua O próximo passo é eliminar x2 da terceira até a n-ésima equação. Para fazer isso, multiplica-se a segunda equação por a'32/a'22 e subtrai-se o resultado da terceira equação. O resultado, ao final de todo o processo, torna-se: Tal que o duplo apóstrofe indica que o elemento foi modificado duas vezes. Deve-se continuar a efetuar o procedimento. A última manipulação na sequência é usar a (n-1)ésima equação para eliminar o termo xn-1 da n-ésima equação. Neste ponto, o sistema terá se tornado um sistema triangular superior. 20/39

21 Eliminação de Gauss Ingênua 21/39

22 Eliminação de Gauss Ingênua Substituição regressiva: A última linha do sistema pode ser solucionada para xn: Este resultado pode ser retroativamente substituído na equação (n-1) para que se possa resolver para xn-1; procedimento este que é repetido até que se resolva o valor de todos os x's. A seguinte fórmula ilustra o procedimento: 22/39

23 Exemplo Utilizar a eliminação de Gauss ingênua para resolver o seguinte sistema. A primeira parte do processo é a eliminação progressiva. Multiplicaremos a primeira linha por 0.1/3 e subtrairemos da segunda linha. O resultado é: A seguir devemos multiplicar a primeira linha por 0.3/3 e subtraí-la da terceira linha. Após essa sequência de operações o sistema torna-se: 23/39

24 Exemplo Para finalizar o passo da eliminação progressiva, devemos remover x 2 da terceira equação. Multiplicamos a segunda equação por / e subtrai-se da terceira equação. Isto eliminará x2 da terceira equação e o sistema torna-se triangular superior. Podemos solucionar o sistema através da substituição regressiva. A última equação poderá ser resolvida primeiro: 24/39

25 Exemplo Este resultado pode ser substituído na segunda equação, que pode ser solucionada para x2 : E pode-se efetuar o mesmo procedimento para encontrar x1: Apesar de existir um pequeno erro de arredondamento, o resultado está bastante próximo da solução exata de 3, -2.5 e 7. Verificar o arquivo GaussIngenuo.m 25/39

26 Contagem de Operações O tempo de execução da Eliminação de Gauss depende da quantidade operações de ponto flutuante, ou flops. Apesar dos computadores de hoje utilizarem co-processadores para matemática, o tempo consumido para efetuar operações de adição/subtração e multiplicação/divisão é aproximadamente o mesmo. Assim ao levar em consideração a quantidade destas operações podemos ter uma ideia de quais partes do algoritmo são mais demoradas e como o tempo computacional aumenta conforme o sistema torna-se maior. Conforme o sistema cresce, o tempo computacional aumenta abruptamente. Para cada ordem de magnitude do sistema, a quantidade de flops aumenta três ordens de magnitude. A maior parte do esforço computacional no Gauss Ingênuo é gasto com a eliminação progressiva. Assim, maneiras de tornar o algoritmo mais eficiente devem ser focados neste passo. 26/39

27 Pivotamento A principal razão para a técnica anterior de Gauss ser chamada de ingênua é porque durante a eliminação e a substituição pode ocorrer uma divisão por zero. Se utilizarmos a técnica para resolver o seguinte sistema: A normalização da primeira linha envolveria uma divisão por a11=0. Problemas também podem surgir quando o elemento pivô é próximo de zero, pois se a magnitude do elemento de pivô é pequena quando comparada a outros elementos, então erros de arredondamento podem ser introduzidos. Assim, antes que cada linha seja normalizada, é vantajoso determinar o coeficiente com o maior valor absoluto na coluna abaixo do elemento pivotante. Isto é chamado de pivotamento parcial. O pivotamento completo raramente é usado, pois maioria do melhoramento advém do pivotamento parcial. 27/39

28 Exemplo: Pivotamento Parcial Utilize a Eliminação de Gauss no problema a seguir: Neste exemplo, o elemento pivô, a11= é muito próximo de zero. Resolveremos uma vez normalmente, e outra fazendo o pivotamento parcial. Tenha em mente que a solução exata é x1=1/3 e x2=2/3. Multiplicando a primeira equação por 1/(0.0003) resulta em: Que pode ser utilizado para remover x1 da segunda equação: 28/39

29 Exemplo: Pivotamento Parcial Esse resultado pode ser substituído novamente na primeira equação para solucionar x 1: E devido ao cancelamento subtrativo, o resultado é bastante sensível ao número de algarismos significativos carregados: Algarismos Significativos x2 x1 Erro Relativo A solução para x1 é altamente dependente da quantidade de algarismos significativos, e isso ocorre porque fazemos uma subtração de algarismos quase iguais. 29/39

30 Exemplo: Pivotamento Parcial No entanto, se as equações são resolvidas na ordem reversa, a linha com o maior elemento pivô é normalizada. As equações são: Fazendo a eliminação e substituição novamente resulta em x 2=2/3. Para diferentes quantidades de algarismos significativos, x1 pode ser calculado da primeira equação, resultando em: Algarismos Significativos x2 x1 Erro Relativo /39

31 MATLAB Conferir o arquivo GaussPivot.m. Ele é idêntico ao GaussIngenuo.m, com exceção da parte que implementa o pivotamento parcial. Ele utiliza a função intrínseca do MATLAB max para determinar o maior elemento disponível na coluna abaixo do elemento pivô. A função max possui a seguinte sintaxe: [y, i] = max(x) tal que y é o maior elemento no vetor x, e i é o índice que corresponde ao elemento. 31/39

32 Avaliação do Determinante Comentou-se anteriormente que a avaliação do determinante pela expansão das matrizes menores era impraticável para sistemas de equações grandes. Entretanto, como o determinante possui uma função importante para se verificar a condição do sistema, é útil que exista um método prático para se calcular este valor. Felizmente, a eliminação de Gauss fornece uma maneira fácil para se fazer isso. O método se baseia no fato de que o determinante de uma matriz triangular pode ser calculado simplesmente como o produto dos elementos da diagonal principal. Como a eliminação de Gauss resulta numa matriz triangular superior, o determinante pode ser calculado como: Onde os apóstrofes indicam a quantidade de vezes que cada termo sofreu alteração. 32/39

33 Avaliação do Determinante Quando o programa emprega o Pivotamento Parcial existe uma pequena modificação. Cada vez que linhas são trocadas, o determinante muda de sinal. Uma maneira de levar isso em conta é através da equação a seguir: Tal que p representa a quantidade de vezes que linhas são alteradas. Esta modificação pode ser incorporada de maneira simples num programa ao simplesmente se introduzir um contador. 33/39

34 Sistemas Tridiagonais Certas matrizes possuem esta estrutura particular que pode ser explorada para se desenvolver esquemas eficientes de solução. Por exemplo, uma matriz em banda é uma matriz quadrada que possui todos os elementos iguais a zero, exceto por uma banda centrada na diagonal principal. Um sistema tridiagonal possui uma largura de banda de 3 e pode ser genericamente expressa como: 34/39

35 Sistemas Tridiagonais Note que alterou-se a notação dos coeficientes de a's e b's para e's, f's, g's, e r's. Isso foi feito para evitar armazenar grande número de zeros inúteis - na matriz quadrada de a's. Essa modificação é bastante vantajosa porque o algoritmo resultante necessita de menos espaço na memória. Um algoritmo para resolver tais sistemas pode ser diretamente baseado na Eliminação de Gauss utilizando eliminação progressiva e substituição regressiva. Entretanto, como maioria dos elementos já são zero, menos esforço é necessário em relação a uma matriz cheia. Esta eficiência será vista no exemplo a seguir. 35/39

36 Exemplo Resolver o seguinte sistema tridiagonal: A eliminação progressiva consiste em transformar a matriz em triangular superior. Isso é feito ao se multiplicar a primeira equação pelo fator e2/f1 e subtrair o resultado da segunda equação. Isso cria um zero no lugar de e2 e transforma os outros coeficientes: Note que g2 não é modificado porque o elemento acima dele é zero. 36/39

37 Exemplo Após realizar o mesmo cálculo para a terceira e quarta linha, o sistema torna-se triangular superior. E a substituição regressiva pode ser aplicada para gerar a solução final. 37/39

38 MATLAB Conferir o arquivo Tridiag.m. Nele está implementada uma rotina que resolve um sistema tridiagonal de equações. Apesar do pivotamento ser necessário às vezes, na maioria das vezes os sistemas tridiagonais de engenharia não necessitam ser pivotados. 38/39

39 Informações Exercícios: /39

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