Álgebra Linear e Aplicações - Lista para Primeira Prova

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1 Álgebra Linear e Aplicações - Lista para Primeira Prova Nestas notas, X, Y,... são espaços vetoriais sobre o mesmo corpo F {R, C}. Você pode supor que todos os espaços têm dimensão finita. Os exercícios abaixo variam bastante em dificuldade, mas há um bom número de problemas difíceis. A ideia não é dar problemas no mesmo nível da prova e sim chamar a atencão para alguns fatos importantes. Também é bom notar que problemas estão relacionados: às vezes o resultado de um ajuda muito a resolver o outro. Outros problemas que merecem atenção. Meyer: 4.2.2, 4.2.4, , , , , Reveja também os exercícios das notas. Problema 1 Falso ou verdadeiro? (Justifique as respostas.) 1. Existe um espaço vetorial X com mais de um elemento, elementos distintos x 1 x 2 em X e uma transformação linear sobrejetiva T : X X com T x 1 = T x Se Y é subespaço de X, então Y = X se e somente se dim(y) = dim(x). 3. Seja B uma base de X. Se x X é tal que l, x = 0 para todo l B, então x = Sejam T, S : X X transformações lineares. Então a imagem de ST tem a mesma dimensão da imagem de T S. Problema 2 Sejam Y 1, Y 2 subespaços de X. Prove que: dim(span(y 1 Y 2 )) dim(y 1 ) + dim(y 2 ). Problema 3 Sejam X, Y e W espaços com a mesma dimensão. Suponha que T : X Y e S : Y W são transformações lineares tais que ST é inversível. Prove que S e T são ambas inversíveis. Dê um exemplo para explicar que isto nem sempre vale quando as dimensões diferem. Problema 4 Seja R n m o espaço das matrizes A com entradas reais, n linhas e m colunas. Os elementos de A R n m serão sempre chamados de A i,j, com 1 i n indexando a linha e 1 j m indexando a coluna. É sabido (e você não precisa provar) que R n m é um espaço vetorial sobre F = R quando definimos, para A, B R n m e λ R: (λa) i,j = λa i,j e (A + B) i,j = A i,j + B i,j. Prove que, com estas definições, dim(r n m ) = nm. 1

2 Problema 5 Seja l X um funcional linear não nulo sobre o espaço X. Prove que dim(ker(l)) = dim(x) 1. (Você consegue provar isso sem usar fórmulas para dimensão?) Problema 6 Considere uma transformação linear inversível T : X Y. Prove que a transposta T : Y X também é inversível e que (T ) 1 = (T 1 ). Problema 7 Seja T : X X linear e inversível. Considere vetores b 1,... b k que formam uma base LI de X com base dual β 1,..., β k. Mostre que os vetores: c 1 T b 1, c 2 T b 2,..., c k T b k também formam uma base LI de X. Prove ainda que: é a base dual dos c i s. γ 1 T β 1,..., γ k T β k Problema 8 Seja X o espaço vetorial sobre R composto de todos os polinômios com coeficientes reais de grau n. Já vimos que este é um espaço vetorial de dimensão n + 1 com base LI dada por: B {1, x, x 2,..., x n }. Prove que cada uma das operações abaixo é linear e calcule a sua representação matricial na base B. 1. A operação T que leva um polinômio p = p(x) X em q(x) = x n p(1/x). 2. A operação D que leva um polinômio p na sua derivada D. 3. A operação P que leva p em p(x) + p( x). Problema 9 Com o mesmo X que no exercício anterior, mostre que os funcionais lineares: l i : p(x) di p (0) (2 i n) dxi são uma base LI de S, onde S = {1, x}. 2

3 Problema 10 Sejam T : X Y e S : Y W transformações lineares. Prove que: dim(ran(st )) min{dim(ran(s)), dim(t )}; dim(ran(s + T )) dim(ran(s)) + dim(ran(t )); e dim(ker(st )) dim(ker(s)) + dim(ran(t )). Problema 11 Seja A uma matrix n m correspondente a uma transformação linear T : R m R n. Prove que a seqüência de operações envolvida na eliminação Gaussiana sobre A corresponde a compôr T com uma série de transformações lineares inversíveis sobre R n. Isto é, a matriz resultante à corresponde a uma transformação linear T = S k S k 1... S 1 T onde cada S i : R n R n é linear e inversível. Problema 12 Seja S X um conjunto não vazio. Prove que dim(ran(s)) = max{ B : B S é LI}. Problema 13 Prove que um conjunto S X gera X se e somente se para todo l X existe um s S com l, s 0. Problema 14 Considere uma transformaçã matriz T : R m matriz na base canônica é A R n m. Mostre que R m cuja onde ran(t ) = span(a 1,..., a m ) a i = A 1,i A 2,i... A n,i é o vetor correspondente à i-ésima coluna de A. Deduza que a dimensão de ran(t ) é o tamanho do maior conjunto LI em a 1,..., a n. Problema 15 Sejam T : X Y e S : Y W transformações lineares com S inversível. Prove que dim(ran(t )) = dim(ran(st )). 3

4 Problema 16 Sejam v 1,..., v n+1 R n. Prove que existem conjuntos disjuntos e não vazios S 1, S 2 R n e números λ i > 0 para cada i S 1 S 2 tais que: λ i v i = λ j v j. i S 1 j S 2 Problema 17 Deduza dos dois exercícios anteriores que a transformação linear dada pela matriz obtida a partir da eliminação Gaussiana tem imagem com a mesma dimensão de imagem que T. Diga como você pode calcular a dimensão da imagem de T a partir da matriz final. Problema 18 Considere uma transformaçã matriz T : R m matriz na base canônica é A R n m. Mostre que R m cuja onde ran(t ) = span(a 1,..., a m ) a i = A 1,i A 2,i... A n,i é o vetor correspondente à i-ésima coluna de A. Deduza que a dimensão de ran(t ) é o tamanho do maior conjunto LI em a 1,..., a n. Problema 19 Deduza dos dois últimos problemas, se fazemos eliminação Gaussiana em A, as colunas 1 i 1 i 2... i r da matriz pós eliminação onde há pivôs não nulos correspondem a vetores LI a i1,..., a ir, que formam uma base de ran(t ). Use isto para fazer os problemas 4.3.1, e do livro do Meyer. Problema 20 Seja T : R n R n uma transformação linear cuja matriz na base canônica é tal que as entradas de cada coluna somam zero. Prove que T não é inversível. Prove um resultado parecido quando as linhas da matriz têm soma zero. [Dica: pode ser mais fácil provar a segunda parte primeiro!] Problema 21 Existe um espaço vetorial sobre R de dimensão 20 que tem menos de 4197! bases LI? [Dica: para propósitos práticos, 4917! =.] 4

5 Problema 22 Seja T : X X um operador linear cuja imagem tem dimensão 1. Prove que T 2 = ct para algum c F. Prove ainda que c 1 se e somente se I T é inversível. Problema 23 Suponha que T : X X e que λ 1,..., λ k F são números distintos tais que para cada 1 i k existe um v i X\{0} com T v i = λ i v i. Prove que os vetores v 1,..., v k são necessariamente LI e deduza que k dim(x). [Dica: faça a prova por indução em k. Uma boa dica para entender o que acontece é considerar primeiro o caso k = 2. Suponha que: α 1 v 1 + α 2 v 2 = 0. O que acontece quando você aplica a transformação linear T λ 2 I a α 1 v 1 + α 2 v 2? Como você pode generalizar isto a k > 2?] 5