Lista de exercícios para serem entregues no dia 22 de Janeiro de 2016.

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1 Lista de eercícios para serem entregues no dia de Janeiro de 6 ) Dadas as matries A [ a ij ] tal que j aij i e [ b ij ] B tal que b ij j i, determine: a) a b b) a( b b) c) a b ) As meninas Amanda (); Bianca () e Clara () falam muito ao telefone entre si A matri M mostra cada elemento a ij representando o número de telefonemas que i deu para j no mês de setembro: M Quem mais telefonou e quem mais recebeu ligações? ) Uma matri A é do tipo 5, outra matri B é do tipo 5 e a matri C é do tipo m Qual o valor de m para que eista o produto (A B) C? ) Determine e na igualdade ) Justifique em cada caso o motivo do determinante ser nulo 5 a) 8 7 6) Calcule os determinantes: 7 b) 5 5 c) a) 5 7 b) c) d) e) 5 f) g) 5 6 h) i)

2 7) Resolva as equações abaio : a) b) 8) 9) / Sejam as matries 5 A e 5 / c da matri C ( A B) Sejam dados: a matri det( A ) A B 5 ) Observe a tabela de compras realiadas por Mariana / / Determine o elemento 5, encontre o conjunto solução da equação Sabendo que ela adquiriu a mesma quantidade ( ) de canetas e cadernos, além do maior número possível de lapiseiras, Qual a quantidade de corretores ela comprou? ) ( ) ( ) ( ) No sistema mostrado, e são números reais: 7 Qual a soma de todos os valores de que satisfaem a esse sistema? ) Lucas quer distribuir entre seus filhos algumas moedas Se cada um de seus filhos ganhar moedas, sobrarão 5; para cada um ganhar 6 moedas, ficarão faltando 5 Quantas moedas Lucas quer distribuir? ) Qual o valor de m para o qual o sistema m não admite? ) Um comerciante deseja totaliar a quantia de R$5 utiliando cédulas de um, cinco e de reais, num total de 9 cédulas, de modo que as quantidades de cédulas de um e de de reais sejam iguais Quantas cédulas de R$5 o comerciante precisará? 5) Numa granja há patos, marrecos e galinhas num total de 5 aves Os patos são vendidos a R$, a unidade, as galinhas a R$ 5, e os marrecos a R$5, Considere um comerciante que tenha gastado R$, na compra de aves desses três tipos e que tenha comprado mais patos do que marrecos Quantos patos o comerciante comprou?

3 6) Para a realiação de um baile, foi veiculada a propaganda no carta Após a realiação do baile, constatou-se que 8 pessoas pagaram ingressos, totaliando uma arrecadação de R$8, O número de damas e de cavalheiros que pagaram ingresso nesse baile, respectivamente, foi: 7) Em um restaurante há mesas, todas ocupadas Algumas, por pessoas; outras, por apenas pessoas, num total de 8 fregueses Qual a quantidade de mesas ocupadas por apenas pessoas? 8) Monte uma matri A uma matri de linhas e colunas de tal forma que seus elementos sejam da forma a ij = i + j 9) Resolva o seguinte sistema linear: ) Uma família comprou água mineral em embalagens de L, de L e de L Ao todo, foram comprados 9 L de água, com o custo total de R$ 65, Veja na tabela os preços da água por embalagem: Nessa compra, o número de embalagens de L corresponde ao dobro do número de embalagens de L Qual a quantidade de embalagens de L que foram compradas? ) Qual é a condição para que o produto de duas matries eista? ) Efetue, se eistir, os produtos matriciais a seguir: 5 a) [ ] [ 7 ] 6 b) [ 5 ] [ 5 ] 9 7 ) Encontre três soluções distintas para a equação linear 5 + = 7 (Dê as soluções sob a forma de matri linhas) ) Observe o sistema quatro soluções reais? r Qual menor valor natural de r para que o sistema apresente

4 5) Observe os quadros I, II e III, anunciados em uma livraria a) Considere os quadros I e II Supondo que todos os livros A foram vendidos ao preço regular e todos os livros B foram vendidos ao preço de oferta, qual a quantia total arrecadada pela livraria na venda desses livros? b) Considere agora o quadro III, que indica a quantia arrecadada na venda de certa quantidade dos livros A e B (valores em reais) Utiliando esses dados e os apresentados no quadro II, a quantidade vendida do livro A (ao preço regular, edição de luo) e a quantidade vendida do livro B (ao preço de oferta, edição de bolso) foram, respectivamente a) e b) 5 e c) 5 e 6 d) e 6 6) Em uma atividade escolar, qualquer número X, inteiro e positivo, é submetido aos procedimentos matemáticos descritos abaio, quantas vees forem necessárias, até que se obtenha como resultado final o número i) Se X é múltiplo de, deve-se dividi-lo por ii) Se X não é divisível por, deve-se calcular X - A partir de X =, por eemplo, os procedimentos são aplicados quatro vees Veja a sequência dos resultados obtidos: ; 9; ; Iniciando-se com X =, Quantas vees os procedimentos são aplicados? 7) Para saber o dia da semana em que uma pessoa nasceu, podem-se utiliar os procedimentos a seguir i) Identifique, na data de nascimento, o dia D e o mês M, cada um com dois algarismos, e o ano A, com quatro algarismos ii) Determine o número N de dias decorridos de º de janeiro até D/M A iii) Calcule Y, que representa o maior valor inteiro que não supera iv) Calcule a soma S = A + N + Y v) Obtenha X, que corresponde ao resto da divisão de S por 7 vi i) Conhecendo X, consulte a tabela: a) escreva a data de seu nascimento e aplique no algoritmo acima pra determinar o dia que você nasceu b) Que dia da semana refere-se ao dia 6/5/96? 8) (i + j), se i = j Sejam as matries A = ( a ij ), em que a ij = { i j, se i j e B = ( b ij ), em que b ij = { i + j, se i = j, calcule -A + B i j, se i j

5 9) Sendo A uma matri e B uma matri n m, classifique cada uma das sentenças abaio como Verdadeira ou Falsa ( ) eiste A + B se, e somente se, n = e m = ; ( ) eistem, iguais, AB e BA se, e somente se, A = B ( ) eistem, iguais, A + B e B + A se, e somente se, A = B; ( ) eiste AB se, e somente se, n = e m = ; ( ) eistem AB e BA se, e somente se, n = e m = ) Sejam as matries A = (a ij ) 7, a ij =i-j, B = (b ij ) 5, b ij = (i - j), e C = A B, quanto vale o termo C? ) Calcule o seguinte produto de matries: ) Determine a matri inversa de a) B = [ ] 5 b) A = [ 8] 5 [ ] 7 [ 8 ) Calcule o determinante de cada uma das matries a seguir: a) [ 7 ] 8 b) [ ] ] ) c) [ ] 6 8 5) Um batalhão do Eército resolveu codificar suas mensagens por meio de multiplicação de matries Primeiramente, associa as letras do alfabeto aos números, segundo a correspondência abaio considerada A B C D E F G H I J L M N O P Q R S 9 5 T U V W X Y Z Desta forma, supondo-se que o batalhão em questão deseja enviar a mensagem PAZ, podese tomar uma matri, da forma e, usando a tabela acima, será transformada em P A Z

6 6) 7) 5 M A seguir, tomando a matri C 5 como chave de código de criptografia, 5 transmite-se a mensagem por meio da multiplicação M C, ou seja, e assim envia-se da cadeia Quando a mensagem chega ao receptor Basta que 7 ele multiplique a matri pela inversa de C obtendo, assim, a matri original e, 5 75 consequentemente, a informação descriptografada Neste caso, utiliando a mesma matri-chave C, qual mensagem seria lida quando o batalhão enviasse a cadeia 5 8 9? Sendo A 5 e 7 5 B Determine X tal que X A + B = onde, calcule o Det AB t A e B 8) Associe V ou F às assertivas a seguir quando forem VERDADEIRAS ou FALSAS, respectivamente Justifique as falsas no espaço abaio 9) I ( ) Se A é uma matri de linhas e coluna e B é uma matri, eiste o produto AB II ( ) Se A e B 5 5 eistem os produtos AB e BA III ( ) Se A é uma matri e B é uma matri, o produto AB será uma matri IV ( ) Se A e B são duas matries quadradas de ordem em o produto AB será uma matri quadrada de ordem IV ( ) O produto de uma matri A de linhas e colunas por uma matri identidade de ordem gera a própria matri A 8 7 Sendo A e B 5 9 a) A B b) B A 7, calcule os produtos indicados quando possível: ) Calcule o determinante da matri A ) A equação linear a seguir é homogênea Encontre duas soluções diferentes da trivial + 5 =

7 ) Resolva o sistema 9 ) Resolva o sistema t t t e escreva a resposta em função da incógnita t ) Resolva o sistema 5) Uma empresa deve embalar uma mistura de amendoim, castanha de caju e castanha-do-pará Sabese que o quilo de amendoim custa R$5,, o quilo de castanha de caju, R$, e o quilo de castanha-do-pará, R$6, Cada lata deve conter meio quilo da mistura e o custo total dos ingredientes de cada lata deve ser de R$5,75 Além disso, a quantidade de castanha de caju em cada lata deve ser igual a um terço da soma das outras duas Determine a quantidade, em gramas, de cada ingrediente por lata 6) Determine o terno ordenado solução do sistema 6 7) Misturam-se dois tipos de leite, Tipo A com % de gordura e outro do Tipo B com % de gordura para obter, ao todo, 8 litros de leite com,5% de gordura Quantos litros de cada tipo de leite foram misturados? 8) Determine a para que o sistema a tenha solução única 9) Qual ponto de abscissa igual a ero e ordenada negativa que está à distância 68 do ponto A(-, -)? 5) Mostre que o triângulo de vértices A(, ), B(-, -6) e C(, -) é retângulo 5) Dados os pontos A(- ) e D(, -), a) determine as coordenadas dos pontos B e C que dividem o segmento AD em três partes iguais b) Qual a distância entre A e B? E entre D e B? 5) Dados os pontos A(8, ), B(-, -5) e C(-6, 9), encontre as coordenadas do ponto P equidistante de A, B e C (d AP = d BP = d CP )

8 5) Considere os pontos A(-6, 8), B(-7, ), C(, 9), D(7, -5), E(, -9) e F(, -) Determine o ponto do eio das abscissas que está alinhado com os baricentros dos triângulos ABC e DEF 5) Os pontos A = (,), B = (,7) e C = (5, -) são vértices de um triângulo Quanto vale o comprimento da mediana AM? 55) No sistema de coordenadas cartesianas a seguir, está representado o triângulo ABC Em relação a esse triângulo, a) demonstre que ele é retângulo; b) calcule a sua área 56) No plano cartesiano, o triângulo de vértices A(, -), B(m, ) e C(, 6) é retângulo em A Qual o valor de m? 57) Se (m + n, m - ) e ( - m, n) representam o mesmo ponto do plano cartesiano, quanto valem m e n? 58) Dados dois pontos A e B, com coordenadas cartesianas (-,) e (,- ), respectivamente, conforme a figura, a) calcule a distância entre A e B b) Sabendo-se que as coordenadas cartesianas do baricentro do triângulo ABC são (G,G) = (/, ) calcule as coordenadas (C,C) do vértice C do triângulo

9 59) Os vértices da base de um triângulo isósceles são os pontos (, -) e (-, ) de um sistema de coordenadas cartesianas retangulares Qual a ordenada do terceiro vértice, se ele pertence ao eio das ordenadas? 6) Considere os pontos A, B e C nas condições mencionadas na tirinha a) Se A, B e C pertencem a uma mesma reta, calcule a distância entre A e C quando: i) A está situado entre B e C; ii) A está situado fora do segmento BC b) Se A, B e C estiverem no plano cartesiano, sendo A um ponto móvel, B um ponto do semi-eio positivo das abscissas () e C a origem (,), determine a equação da linha descrita pelo ponto A e identifique a curva correspondente