EXERCÍCIOS DE REVISÃO MATEMÁTICA 2 a SÉRIE ENSINO MÉDIO ASSUNTO : DETERMINANTES E SISTEMAS LINEARES

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1 EXERCÍCIOS DE REVISÃO MATEMÁTICA a SÉRIE ENSINO MÉDIO ASSUNTO : DETERMINANTES E SISTEMAS LINEARES ) Calcule o valor de cada determinante especificado a seguir: a) Determinante da matri A (a ij ) X, em que a ij -i - j. b) Determinante da matri B (b ij ) X, em que b ij ( i j). c) Determinante da matri C (c ij ) X, em que c ij i j, se i for par e c ij i j, se i for ímpar. d) Determinante da matri I (identidade de ordem ). e) Determinante da matri D 5. ) Se m e n 5, calcule o valor da epressão m n. ) Se p e q, calcule tal que p q. ) Se a 7, b e c 5 5, resolva a equação a b c. 5) Se p 8 e q 5, calcule log q p. 6) Use a Regra de Cramer para resolver cada sistema a seguir: 5 a) c) 57 b) 7 d) 56 7) Use a Regra de Cramer para resolver cada problema a seguir: a) Num quintal há porcos e patos, num total de 56 animais e 56 pés. Quantos são os patos e quantos são os porcos? b) Num estacionamento há 8 veículos (somente motos e carros) num total de 8 rodas. Quantos veículos de cada tipo há no estacionamento? c) Um caia eletrônico só trabalha com notas de e de 5 reais. Se alguém saca 6 reais e leva notas, quantas notas de cada espécie ele leva? d) Um grupo de amigos foi comemorar o aniversário de um deles em um bar. Entre salgados e sucos, foram consumidos 96 itens e a conta ficou por R 76,. Se cada suco custa R$,5 e cada salgado custa R$,, quantos sucos e quantos salgados foram consumidos? 8) Calcule o valor de cada determinante especificado a seguir:

2 a) Determinante da matri A (a ij ) X, em que a ij -i j. b) Determinante da matri B (b ij ) X, em que b ij - ( i j). c) Determinante da matri C (c ij ) X, em que c ij i j, se i for par e c ij i j, se i for ímpar. d) Determinante da matri I (identidade de ordem ). e) Determinante da matri ) Se m. e n 5., calcule o valor da epressão m n. 6 ) Se p. e q 5., calcule tal que p q. ) Se a 5, b e c 5, resolva a equação a b c. 5 9 ) Use a Regra de Cramer para resolver cada problema a seguir: a) Num cofre há apenas moedas de, 5 e 5 centavos totaliando 6 moedas e R$,5. Se o número de moedas de 5 centavos é o dobro do número de moedas de 5 centavos, quantas moedas de cada espécie há no cofre? b) Num estacionamento, há veículos, contando apenas com motos, triciclos e carros. Contando-se o número de rodas, encontra-se 69. Sabe-se ainda que o número de rodas de carros é o triplo do número de rodas de motos. Quantos veículos de cada tipo há no estacionamento? ) No plano cartesiano, três pontos A( A, A ), B( B, B ) e C( C, C ) estarão alinhados, ou seja, serão de uma mesma reta, se, e somente se a) Verifique se os pontos A(, -), B(5, ) e C(, -) estão alinhados. b) Determine a coordenada k de modo que os pontos P(k, ), Q(, 5) e C(, ) pertençam a uma mesma reta. c) Determine o real m de modo que os pontos R(m, 5), S(-, -m) e T(, -) sejam vértices de um triângulo. ) Se, determine o valor de cada determinante a seguir: a) b) c) d) e)

3 5) Sabendo que m, d a, e b e f c, determine os valores de tais que m. 6) Calcule o valor de cada determinante a seguir: a) 5 b) c) 8 5 7) Sabendo-se que det A significa determinante da matri A, A t significa transposta da matri A e A - significa inversa da matri A, calcule o valor da epressão E a seguir, sendo A. E. 8) Se A, calcule o valor da epressão det(at ). det(a - ) det A. 9) Usando o escalonamento resolva cada sistema a seguir : a) 5 b) c) d) e) 5 f) g) 9 h) m ) Qual é o valor de m para que o sistema tenha solução única? ) Classificar e resolver cada sistema a seguir: a) b) c) d)

4 ) Discuta cada sistema a seguir, em função dos parâmetros a e b: 5b a) a 5 a 5 5 b) b c) a b ) Determine os valores de m e n para os quais o sistema abaio é impossível. ) Quais são as relações entre os parâmetros m, n e p que tornam o sistema abaio a) possível determinado? b) possível indeterminado? c) impossível? m 5 5 p 5 n 5) Usando a Regra de Cramer ou o Escalonamento, resolva cada Problema a seguir: a) Um consumidor dispõe de certa importância para faer compras. Se comprar blusa, tênis e calça, faltarão R$,. Se comprar tênis e calça, sobrarão R$, e se comprar blusa e calça, sobrarão R$,. Com base nessas informações, determine o preço da blusa, em reais b) Uma herança de R$ 65., deve ser dividida entre três herdeiros: Álvaro, Beatri e Carmem. O valor que caberá a Beatri corresponde à metade da soma do que receberão Álvaro e Carmem. Além disso, a diferença entre o que receberá Carmem e o que receberá Álvaro é de R$.,. Quanto receberá Carmem? c) Em três tipos de temperos verificou-se que, para cada tablete de gramas, a) O tempero I tem gramas de sal, gramas de pimenta e 8 gramas de essência de carne. b) O tempero II tem gramas de sal, grama de pimenta e 5 gramas de essência de carne. c) O tempero III tem gramas de sal, não contém pimenta e tem gramas de essência de carne. Ache todas as possíveis quantidades dos temperos I, II e III que contenham, simultaneamente, gramas de sal, gramas de pimenta e gramas de essência de carne..

5 QUESTÕES DE VESTIBULARES : ) (CEFET MG) Sendo, então, para todo π.π, k Z, o valor de α é a) tg b) sec c) cos d) sen e).sen ) (CEFET MG) Considere a matri A 5 7 e o sistema linear 6 6. Se det A m e o sistema possui infinitas soluções, então o valor de α é a) b) c) d) e) ) (CEFET MG) O(s) valor(es) de para que -8 é (são) a) - b) c) d) - e e) - e ) (CEFET MG) Para que o sistema tenha infinitas soluções, o valor de 5 m n é igual a a) b) c) d) e) 8 5) (CEFET MG) Sendo, [, a) π e, a relação entre e é

6 b) π c) π d) π e) π 6) (CEFET MG) Sendo A (a ij ), uma matri quadrada de ordem onde a ij i ij j, então, o determinante de A é a) 8 b) 9 c) d) e) 7) (CEFET MG) Seja A (a ij ), a matri quadrada de ordem onde a ij. O valor do determinante de A é igual a a) -57 b) -9 c) d) 9 e) 57 8) (UF PI) Sejam M e N matries quadradas tais que M.N e M -N.. Se det M <, o valor do det N é igual a a) - b) - c) d) e)

7 9) (UE CE) Se o determinante da matri A é, então o determinante da matri B é a) b) c) d) ) (UFV MG) Seja A uma matri inversível de ordem. Se det(a) det (A ), então o valor de det A é a) b) c) d) e) ) (U.F.MG) Determine todos os valores de a e b de modo que o sistema linear a seguir tenha a) solução única ; b) infinitas soluções ; c) nenhuma solução. a b ) (U.F.MG) - Determine todos os valores de, e que satisfaem o sistema ) (U.F.MG) Ache os valores de m para os quais o sistema m 6 6 m tenha soluções. ) (U.F.MG) - Em três tipos de alimentos verificou-se que, para cada grama, a) O alimento I tem unidades de vitamina A, unidades de vitamina B e 8 unidades de vitamina C. b) O alimento II tem unidades de vitamina A, unidade de vitamina B e 5 unidades de vitamina C.

8 c) O alimento III tem unidades de vitamina A, não contém vitamina B e tem unidades de vitamina C. Ache todas as possíveis quantidades dos alimentos I, II e III que forneçam, simultaneamente, unidades de vitamina A, de vitamina B e de vitamina C. 5) (U.F.BA) No sistema 8, determine o valor de. 6) (U.F.PA) Qual é o valor de m para que o sistema m tenha solução única? 7) (PUC-SP) Determine a relação entre a e b para que o sistema 5 b a tenha solução determinada. 8) (CESCEM) Determine os valores de a e b que tornam o sistema b a 6 indetermi nado. 9) (PUC-RS) Determine a relação entre a e b de modo que o sistema b a seja inde- terminado. ) (PUC-SP) Determine os valores de k de modo que o sistema k k tenha solução única. ) (U.F.PE) Determine todos os valores de λ de modo que o sistema λ λ tenha solução única. ) (PUC-SP) Verifique quantas soluções tem o sistema abaio. ) (U.F.BA) - Discutir o sistema 5 a em função do parâmetro a.

9 ) (CESCEA) Discutir o sistema m em função do parâmetro m. 5) (F.G.V. SP) Discutir o sistema k k k em função do parâmetro k. 6) (MACK SP) Discutir o sistema m m em função do parâmetro m. 7) (PUC SP) Para que valores de b o sistema b b 5 tem solução? 8) (ITA SP) - Qual deve ser a relação que a, b e c devem satisfaer para que o sistema abaio tenha pelo menos uma solução? c b a 7 6 9) (CESGRANRIO) Se o sistema b a a tem uma infinidade de soluções, determine a e b. ) (U.F.CE) Se o sistema m não admite solução, calcule o valor de log m. ) (CESGRANRIO) - Que condição deve satisfaer os parâmetros α e β para que o sistema β α α α não tenha solução?

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