Teoria de Sistemas Lineares I

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1 Teoria de Sistemas Lineares I Prof. Aguinaldo S.e Silva Universidade Federal de Santa Catarina

2 Revisão de álgebra linear Conjunto Def. Um conjunto é definido como sendo uma coleção de objetos e é explicitado listando-se seus elementos. F = {0,1,2, } Uma outra forma de explicitar um conjunto é evidenciando alguma propriedade comum de seus elementos: Conjuntos de interesse particular: F = {x R / x 0} R C : conjunto dos números reais : conjunto dos números complexos

3 Corpos numéricos Corpos numéricos Def. Um corpo numérico é um conjunto, denotado por F, de elementos escalares e duas operações: adição e multiplicação - ambas definidas sobre F, satisfazendo as seguintes propriedades: 1 α,β F,α + β F,αβ F 2 Os números 0 e 1 são elementos de F tais que: α + 0 = α α F 1α = α α F 3 α F então α F tal que α + ( α) = 0 4 α 0 F então 1 α F tal que α 1 α = 1 5 Associatividade: α, β, γ F (α + β) + γ = α + (β + γ) (αβ)γ = α(βγ)

4 Corpos numéricos 6 Comutatividade : α, β F α + β = β + α αβ = αβ 7 Distributividade: α, β, γ F (α + β)γ = αγ + βγ

5 Corpos numéricos Exemplos Exemplo 1 Conjunto S = {0,1} S = {0,1} com as definições usuais de soma e de multiplicação não formam um corpo pois: = 2 Entretanto, se redefinirmos as operações: sendo: = 0 ; = 1 ; = = 0 ; 0.0 = 0 ; 1.1 = 1 Com essas operações S = {0, 1} forma um corpo.

6 Corpos numéricos Exemplos Exemplo 2 Conjunto de matrizes Considere o conjunto M 2 2 de todas as matrizes 2 2 da forma: [ ] x y M = y x onde x,y são números reais arbitrários. A soma e de multiplicação de matrizes são as usuais. Sejam os elementos neutros da soma e da multiplicação: 0 = [ Verificar que forma um corpo. ] ; I = [ ]

7 Espaços lineares Espaços lineares Consistem de um conjunto X de elementos chamados vetores. Operações soma vetorial e multiplicação por escalar. Elemento nulo 0 X Propriedades: 1 x + y = y + x, x,y X (comutativa) 2 (x + y) + z = x + (y + z), x,y,z X (associativa) x = x, x X 4 x X, ( x) X tal que x + ( x) = 0 5 (αβ)x = α(βx), α,β R, x X 6 α(x + y) = αx + αy, α R, x,y X 7 (α + β)x = αx + βx, α,β R, x X 8 1x = x, x X

8 Espaços lineares Exemplos 1 Espaço X = R n, com as operações de adição vetorial e multiplicação por escalar definidas de maneira convencional 2 Y = {0}, 0 R n 3 Z = span(v 1,v 2,...,v k ), v i R n, i = 1,...,k 4 W = span(v 1,v 2,...,v k ) = { } f : R + R n, f diferenciável { } α 1 v α k v k : α i R (f 1 + f 2 )(t) = f 1 (t) + f 2 (t) (soma) (αf )(t) = αf (t) (multiplicação por escalar)

9 Espaços lineares Note que um elemento em W é uma trajetória no R n { } 5 V = x W : ẋ = Ax Os elementos de V são trajetórias do R n soluções do sistema linear ẋ = Ax 6 Espaço dos polinômios em s de grau menor ou igual a n

10 Subespaços lineares Subespaços lineares Um subespaço vetorial é um subconjunto que é também um espaço vetorial Definição W é um subespaço vetorial de (V, F) se as seguintes condições são verificadas: 1 0 W 2 w 1,w 2 W então w 1 + w 2 W 3 α F e w W então αw W

11 Subespaços lineares Exemplos 1 X, Y, Z são subespaços do R n 2 V é um subespaço de W [ ] 3 x R 2 x1 : x = é um subespaço do R αx 2 1

12 Independência linear. Base e Representações Independência linear. Base e Representações Os parâmetros considerados neste curso são números reais (a menos que seja especificado diferentemente). Matrizes: A (n m), B (m r), C (l n), D (r p) Seja a i a i-ésima coluna de A e b j a j-ésima linha de B: AB = [ ] a 1 a 2 a m b 1 b 2. b m = a 1 b 1 + a 2 b a m b m CA = C [ a 1 a 2 a m ] = [ Ca1 Ca 2 Ca m ]

13 Independência linear. Base e Representações BD = b 1 b 2. b m D = b 1 D b 2 D. b m D a i b i : matriz n por r (vetor n 1 multiplicado por vetor 1 r) b i a i : só está definido para n = r (escalar) Espaço real de dimensão n: R n Cada vetor x R n é uma ênupla de números reais x = x 1 x 2. x n

14 Independência linear. Base e Representações Um conjunto de vetores {x 1,x 2,...,x n }, x i R n, é linearmente dependente (LD) se e somente se existem escalares α 1,α 2,...,α n,não todos nulos, tais que α 1 x 1 + α 2 x α n x n = 0 Se a igualdade for verdadeira apenas para α 1 = α 2 = = α n = 0 diz-se então que o conjunto {x 1,x 2,...,x n } é linearmente independente (LI).

15 Independência linear. Base e Representações Se um conjunto de vetores {x 1,x 2,...,x n } é linearmente dependente, existe pelo menos um α i diferente de zero e (por exemplo, se α 1 0) x 1 = 1 α 1 [α 2 x 2 + α 3 x 3 + α n x n ] isto é, um dos vetores (mas não necessariamente qualquer um) pode ser escrito como uma combinação linear dos demais.

16 Independência linear. Base e Representações Equivalentemente, os vetores são LI se α 1 x 1 + α 2 x α n x n = β 1 x 1 + β 2 x β n x n = α 1 = β 1 ; α 2 = β 2 ; ; α n = β n Ou ainda, se nenhum vetor x i puder ser expresso como combinação linear dos demais. O conceito de dependência linear depende do tipo (corpo) do escalar considerado.

17 Independência linear. Base e Representações Considere o conjunto das funções racionais em s { } s s + 1, 1 s + 2 Não existem escalares reais α 1, α 2 não todos nulos tais que α 1 s s α 1 2 s + 2 = 0 No entanto, para escalares pertencentes ao corpo das funções racionais em s, a igualdade vale se α 1 = 1 s + 2 ; α 2 = s s + 1

18 Independência linear. Base e Representações Dimensão Definição A dimensão de um espaço vetorial é o número máximo de vetores LI desse espaço. Assim, no R n há no máximo n vetores LI. A dimensão de um espaço vetorial pode ser infinita: considere o espaço das funções contínuas no intervalo [a,b]. Em particular, as funções t,t 2,t 3,... α i t i = 0 α 1 = α 2 = = 0 i=1

19 Independência linear. Base e Representações Base Definição Um conjunto de vetores LI do R n é uma base se qualquer vetor x R n puder ser expresso de forma única como uma combinação linear destes vetores. Em um espaço de dimensão n, qualquer conjunto de n vetores LI forma uma base Quaisquer duas bases de um espaço n-dimensional possuem o mesmo número de elementos. Seja {q 1,q 2,...,q n } uma base para o R n, então qualquer vetor x R n pode ser escrito de maneira única como x = α 1 q 1 + α 2 q α n q n

20 Independência linear. Base e Representações Definindo a matriz quadrada Q (n n) Q [ q 1 q 2 q n ] x = Q α 1 α 2. α n = Qα α [ α 1 α 2 α n ] é a representação de x na base {q 1,q 2,...,q n }.

21 Independência linear. Base e Representações A qualquer vetor x R n, pode-se associar a base ortonormal e 1 = ,e 2 = ,...,e n = Um vetor x na base ortonormal {e 1,e 2,...,e n } se escreve x = x 1 x 2. x n = x 1e 1 + x 2 e x n e n = I n x 1 x 2. x n = confunde-se com sua representação.

22 Independência linear. Base e Representações Exemplo Considere o conjunto dos polinômios de grau menor do que 4. Base: e 1 = s 3 ; e 2 = s 2 ; e 3 = s; e 4 = 1 Se x = s 3 + 4s 2 4s + 10, então x = [ ] e 1 e 2 e 3 e , [ ] é a representação de x na base escolhida.

23 Independência linear. Base e Representações Mudança de Base Se β e β são as representações de um vetor x R n em relação às bases {e 1,e 2,...,e n } e {ē 1,ē 2,...,ē n }, então x = [ e 1 e 2 e n ] β = [ ē1 ē 2 ē n ] β representar e i em termos de {ē 1,ē 2,...,ē n } ou vice-versa. Seja p i = p 1i p 2i. p ni a representação de e i na base {ē 1,ē 2,...,ē n }:

24 Independência linear. Base e Representações Então: e i = [ ] ē 1 ē 2 ē n Ep i, i = 1,2,...,n Usando notação matricial [ e1 e 2 e n ] = [ Ep1 Ep 2 Ep n ] = E [ p1 p 2 p n ] p 1i p 2i. p ni = [ ē 1 p 11 p 12 p 1n ] p 21 p 22 p 2n ē 2 ē n [ ē 1 p n1 p n2 p nn ] ē 2 ē n P

25 Independência linear. Base e Representações x = [ ē 1 ē 2 ē n ] Pβ = [ ē1 ē 2 ē n ] β Como a representação é única: β = Pβ Analogamente, representando ē i na base {e 1,e 2,...,e n }, obtém-se β = Q β. Conhecida a representação de um vetor numa base, a representação em outra base pode ser automaticamente determinada: β = Pβ = PQ β, PQ = I β P = Q 1

26 Independência linear. Base e Representações Exemplo Polinômios de grau menor do que 4. Base: ē 1 = s 3 s; ē 2 = s 2 s; ē 3 = s 1; ē 4 = 1 Se x = s 3 + 4s 2 4s + 10, então x = [ ] ē 1 ē 2 ē 3 ē

27 Operadores lineares Transformação Linear Uma função f : X Y é um operador linear se f (α 1 x 1 + α 2 x 2 ) = α 1 f (x 1 ) + α 2 f (x 2 ) para quaisquer escalares α 1,α 2 e x 1,x 2 X. y = f (x) ; x X (domínio), y Y (contradomínio (range))

28 Operadores lineares Exemplo Seja g uma função contínua sobre [0,T]. A transformação y(t) = T 0 g(t τ)x(τ)dτ é linear, levando do espaço das funções contínuas no intervalo [0,T] para o mesmo espaço.

29 Operadores lineares Teorema Sejam X e Y espaços lineares de dimensão n e m, respectivamente. Sejam {x 1,x 2,...,x n } vetores LI de X. Então, o operador linear L : X Y é unicamente determinado pelos n pares y i = L(x i ), i = 1,2,...,n. Além disso, com relação à base {x 1,x 2,...,x n } de X e à base {u 1,u 2,...,u m } de Y, L pode ser representado por uma matriz A m n. A i-ésima coluna de A é a representação de y i na base {u 1,u 2,...,u m }. Prova: Como L é linear, L(x) = L(α 1 x 1 + α 2 x α n x n ) = α 1 L(x 1 ) + α 2 L(x 2 ) + + α n L(x n ) = α 1 y 1 + α 2 y α n y n

30 Operadores lineares Seja a 1i a 2i. a mi a representação de y i na base {u 1,...,u m } y i = [ ] u 1 u 2 u m Neste caso, a 1i a 2i. a mi, i = 1,2,...,n L( [ ] [ ] x 1 x 2 x n ) = y1 y 2 y n a 11 a 12 a 1n = [ ] a 21 a 22 a 2n u 1 u 2 u m a m1 a m2 a mn

31 Operadores lineares Em relação às bases {x 1,x 2,...,x n } e {u 1,u 2,...,u m }, y = L(x) [ u1 u 2 ] [ u m β = L( x1 x 2 ] x n α) = [ u 1 u 2 u m ] Aα = β = Aα Para se descrever a transformação, não há diferença entre especificar x, y ou α, β. É claro que A (representação da transformação linear) depende das bases escolhidas.

32 Operadores lineares Transformação de Similaridade Considere a transformação linear L : X Y, com a mesma base para o domínio X e o contra-domínio Y. {e 1,e 2,...,e n } A, {ē 1,ē 2,...,ē n } Ā x L y (= L(x)) [ e1 e n ] α A β (= Aα) P Q P Q = P 1 [ ē1 ē n ]ᾱ Ā β (= Āᾱ)

33 Operadores lineares Ā = PAP 1 = Q 1 AQ A = P 1 ĀP = QĀQ 1 = Q = P 1 A, Ā : matrizes similares PAP 1, P 1 ĀP : Transformações de Similaridade Todas as representações de um operador linear são similares. Uma matriz A R n n pode ser vista como a representação de um operador linear ou como o operador linear propriamente dito.

34 Operadores lineares Exemplo de transformação linear A transformação que rotaciona um ponto no plano de 90 o no sentido anti-horário y 3 x 2 = y 1 x 3 y 2 x 1

35 Operadores lineares Em relação à base {x 1,x 2 } y 1 = L(x 1 ) = [ x 1 x 2 ] [ 0 1 y 2 = L(x 2 ) = [ x 1 x 2 ] [ 1 0 ] ] Portanto, A = [ ]

36 Operadores lineares A representação de y 3 com relação à base {x 1,x 2 } é [ β = Aα = [ ][ ] = ] é a representação de x 3 na base {x 1,x 2 } [ ]

37 Operadores lineares Matriz como Operador Linear Seja a função linear L : R n R n descrita pela matriz A R n n y = L(x) = A(α 1 x 1 + α 2 x α n x n ) = α 1 Ax 1 + α 2 Ax α n Ax n = y i = Ax i, i = 1 n Na base ortonormal, x i = e i e, portanto, y i = Ae i = a i (i-ésima coluna de A) que coincide com sua representação na base ortonormal unitária (representação de A = A)

38 Operadores lineares Matriz como Operador Linear Ā = Q 1 AQ Q = [q 1 q 2... q n ] Independente da base α L=A [e 1 e 2...e n ] α β Q Q Ā Base [q 1 q 2...q n ] ᾱ β i-ésima coluna Ā = Representação de Aq i com relação à [q 1 q 2...q n ] A β

39 Operadores lineares Exemplo A = ; b = Considere os vetores {b,ab,a 2 b} (são LI): 1 4 Ab = 0 1 ; A 2 b = 2 3 ; A 3 b = Ā é a representação de A na base {b,ab,a 2 b}:

40 Operadores lineares A(b) = [ b Ab A 2 b ] A(Ab) = [ b Ab A 2 b ] A(A 2 b) = [ b Ab A 2 b ] = Ā = (Forma Companheira)

41 Operadores lineares Representação de A R n n na base {q 1,q 2,...,q n } Ā = Q 1 AQ ; Q [ q 1 q 2 q n ] i-ésima coluna de Q: = representação de q i na base ortonormal {e 1,...,e n } = q i Ā = Q 1 AQ QĀ = AQ ou, como Q = [ q 1 q 2 q n ], [ q1 q 2 q n ]Ā = [ Aq1 Aq 2 Aq n ] ā i é a i-ésima coluna de Ā, representação de Aqi na base {q 1,...,q n }. Uma escolha adequada da base {q 1,q 2,...,q n } pode levar a representações importantes.

42 Operadores lineares Seja A R n n. Se existir um vetor b R n 1 tal que o conjunto de n vetores {b,ab,a 2 b,...,a n 1 b} seja linearmente independente e se A n = β 1 b + β 2 Ab + + β n A n 1 b então a representação de A na base {b,ab,a 2 b,...,a n 1 b} é dada por (forma companheira) Ā = β β β β n β n

43 Normas e produto interno Norma de vetores Qualquer função real representada por x pode ser definida como uma norma se para qualquer x R n e para qualquer escalar α R 1 x 0 ; x = 0 x = 0 2 αx = α x 3 x 1 + x 2 x 1 + x 2 (Desigualdade Triangular)

44 Normas e produto interno Exemplo x p = ( n i=1 x i p ) 1 p x 2 = x x (norma Euclidiana) x = max i ; p 1 p inteiro x i (norma infinito) b x a

45 Normas e produto interno Produto Interno Para dois vetores x,y R n, define-se o produto interno (ou produto escalar) como x,y x 1 y 1 + x 2 y x n y n = x y Propriedades: 1 αx,y = α x,y 2 x + y,z = x,z + y,z 3 x,y = y,x 4 x,x = x x,x = 0 x = 0 6 o vetor x pode ser visto como uma função linear x : R n R

46 Normas e produto interno Identidade do paralelogramo x + y 2 + x y 2 = 2( x 2 + y 2 ) x x y x + y y

47 Normas e produto interno Teorema (Desigualdade de Cauchy-Schwarz) Defina x = ( x,x ) 1 2. Então, x,y x y Prova: Para y = 0, a prova é imediata. Assumindo y 0, 0 x + αy,x + αy = x,x + ᾱ y,x + α x,y + αᾱ y,y vale α.

48 Normas e produto interno y,x Escolhendo α =, tem-se y,y x,y y,x x,x = y,y x,y y,y O ângulo θ entre quaisquer dois vetores x,y R n é dado por x 2 θ ( x ) y y y y

49 Normas e produto interno x y = x y cos θ Se x e y são colineares: θ = 0, x y = x y e se x 0 y = αx para algum α 0 Se x e y são vetores opostos: θ = π, x y = x y e se x 0 y = αx para algum α 0 Se x e y são vetores ortogonais (x y): θ = ± π 2 = x y = 0 x y > 0 = ângulo agudo; x y < 0 = ângulo obtuso

50 Normas e produto interno Dado um vetor y R n, o conjunto { } x : x y 0 define um semi-espaço em R n (y é chamado vetor normal) passando no ponto 0 { } x : x y 0 y 0

51 Normas e produto interno Ortonormalização Um vetor x está normalizado se sua norma Euclidiana é igual a 1, ou seja, x x = 1. Dois vetores x 1 e x 2 são ortogonais se x 1 x 2 = x 2 x 1 = 0. Um conjunto de vetores {x 1,x 2,...,x n } é ortonormal se { x i 0 se i j x j = 1 se i = j Dado um conjunto de vetores LI {x 1,x 2,...,x n }, pode-se obter um conjunto de vetores ortonormais através do procedimento de ortonormalização de Schmidt.

52 Normas e produto interno u 1 = x 1 q 1 = u 1 / u 1 u 2 = x 2 (q 1 x 2)q 1 q 2 = u 2 / u 2.. n 1 u n = x n (q k x n)q k q n = u n / u n k=1 A primeira equação apenas normaliza o vetor x 1

53 Normas e produto interno Na segunda equação, (q 1 x 2)q 1 é a projeção do vetor x 2 ao longo de q 1, e x 2 (q 1 x 2)q 1 é necesssariamente ortogonal ao vetor q 1. u 2 x 2 q 2 x 1 = u 1 Se um conjunto de vetores u 1, u 2,..., u n é ortonormal então U [ ] u 1 u 2 u n ; U U = I n q 1

54 Normas e produto interno Propriedades: Se y = Ux, então n i=1 y 2 i = n xi 2, ou i=1 y 2 = Ux 2 = (Ux) (Ux) = x U Ux = x x = x 2 Em outras palavras, y = Ux é um mapeamento isométrico (a multiplicação por U não altera a norma) Se y = Ux e ỹ = U x então y,ỹ = x, x (a multiplicação por U não altera o produto interno) pois y,ỹ = Ux,U x = (Ux) (U x) = x U Ux = x, x e também não altera o ângulo y,ỹ = x, x Se U é ortonormal, a transformação linear y = Ux preserva a norma dos vetores Ux = x e preserva o ângulo entre vetores Ux,U x = x, x

55 Normas e produto interno Exemplos Transformações de rotação ou reflexão de vetores (de fato, toda matriz ortogonal descreve ou uma rotação ou uma reflexão).

56 Normas e produto interno Exemplo 1 No R 2, a transformação que roda um vetor (sentido anti-horário) de θ é dada por [ ] cos θ sinθ y = U θ x ; U θ = sinθ cos θ u 2 e 2 u 1 θ e 1

57 Normas e produto interno Exemplo 2 A reflexão de um vetor na reta x 2 = x 1 tan( θ 2 ) é dada por [ ] cos θ sinθ y = R θ x ; R θ = sinθ cos θ e 2 u 1 θ e 1 u 2

58 Sistema de equações algébricas lineares Sistema de equações algébricas lineares a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn x 1 x 2. x n = y 1 y 2. y m (Ax = y) A (m n), x (n 1), y (m 1) a ij,y i R : dados do sistema; x i R : incógnitas Três situações: m > n, m = n ou m < n Problema: dados A e y 1 x : Ax = y? 2 Se existe solução, qual o número de soluções LI?

59 Sistema de equações algébricas lineares Espaço Coluna e Posto Espaço Coluna da matriz A R m n é definido como o conjunto de todas as possíveis combinações lineares das colunas de A { R(A) y = Ax : x R n} R m Posto da matriz A R m n é definido como a dimensão do espaço coluna de A (ou, equivalentemente, como o número de colunas LI em A) e denotado ρ(a).

60 Sistema de equações algébricas lineares Espaço Nulo Espaço nulo da matriz A consiste no conjunto de vetores x R n tais que Ax = 0. A dimensão do espaço nulo é chamada de nulidade da matriz A e denotada ν(a). { } N(A) x R n : Ax = 0 Note que y = Ax pode ser escrito y = x 1 a 1 + x 2 a x n a n e portanto x i R, i = 1,...,n são as ponderações das colunas de A = [ a 1 a 2 a n ]

61 Sistema de equações algébricas lineares Propriedades Para A R m n ν(a) = n ρ(a) posto A = número de colunas LI de A = número de linhas LI de A min (n,m) N(A) e R(A) são espaços lineares; (N(A) é um subespaço do R n e R(A) é um subespaço do R m )

62 Sistema de equações algébricas lineares Se ν(a) = 0, N(A) = {0} e as seguintes afirmações são equivalentes: x pode ser determinado de maneira única de y = Ax colunas de A são LI det(a A) 0 Se ν(a) = k, Ax = 0 possui k soluções LI

63 Sistema de equações algébricas lineares Exemplo Considere a matriz A R 3 5 dada por A = Ax = x x x 3 = [ a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 ] x x a 3 = a 1 + a 2 ; a 4 = 2a 2 a 5 = a 3 a 4 = a 1 + a 2 2a 2 = a 1 a 2

64 Sistema de equações algébricas lineares Ax = (x 1 + x 3 + x 5 ) Como a 1, a 2 são LI = ρ(a) = 2 + (x 2 + x 3 + 2x 4 x 5 ) Ax = 0 { x1 + x 3 + x 5 = 0 x 2 + x 3 + 2x 4 x 5 = 0 Número de Equações = ρ(a) = 2 Número de Incógnitas = 5 Número de Graus de Liberdade = 3

65 Sistema de equações algébricas lineares Possíveis soluções LI: v 1 = ; v 2 = , v 3 = {v 1,v 2,v 3 } formam uma base de N(A) ; ν(a) = 3

66 Sistema de equações algébricas lineares Teorema Dada uma matriz A R m n e um vetor y R m 1, existe uma solução x R n 1 da equação y = Ax se e somente se y R(A) ou, equivalentemente, ρ(a) = ρ( [ A y ] ) Dada uma matriz A, uma solução x de y = Ax existe para todo y se e somente se ρ(a) = m (posto completo de linhas).

67 Sistema de equações algébricas lineares Teorema (parametrização de todas as soluções) Dada uma matriz A R m n e um vetor y R m 1, seja x p uma solução x R n 1 da equação y = Ax e seja k = n ρ(a) = ν(a) a nulidade de A. Se ρ(a) = n (posto completo de colunas) a solução x p é única. Se k > 0, então para todo α i R, i = 1,...,k o vetor x = x p + α 1 n 1 + α 2 n α k n k sendo {n 1,...,n k } uma base de N(A) é uma solução de Ax = y. De fato, k Ax p + α i An i = Ax p + 0 = y i=1

68 Sistema de equações algébricas lineares Desigualdade de Sylvester Para A R q n e B R n p ρ(a) + ρ(b) n ρ(ab) min(ρ(a),ρ(b)) p ρ(b) R(B) N(B) ν(b) n d N(A) ρ(a) R(A) } q R(AB) ν(a) B A R p R n R q

69 Sistema de equações algébricas lineares domínio de AB = R(B); R(AB) = subespaço de R(A); ρ(ab) min(ρ(a),ρ(b)); ρ(ab) = ρ(b) d ; ν(a) = n ρ(a) ρ(ab) ρ(a) + ρ(b) n Se B é uma matriz n n não singular d n ρ(a); ρ(a) + ρ(b) n = ρ(a) ρ(ab) min(ρ(a),n) ρ(a)

70 Sistema de equações algébricas lineares Seja A R m n. Então ρ(ac) = ρ(a) ; ρ(da) = ρ(a) para quaisquer matrizes C R n n e D R m m não singulares. O posto de uma matriz não se altera ao ser pré ou pós-multiplicada por uma matriz não singular. Seja A C m n e A sua conjugada transposta. Então, ρ(a) = n ρ(a A) = n ; det(a A) 0 ρ(a) = m ρ(aa ) = m ; det(aa ) 0 A A n n ; AA m m

71 Sistema de equações algébricas lineares Observe que ρ(a) = n implica n m Aα = 0 α = 0

72 Sistema de equações algébricas lineares Inversa Se A R n n (matriz quadrada), A é inversível ou não-singular se det(a) 0. Condições equivalentes: as colunas de A formam uma base para o R n as linhas de A formam uma base para o R n a equação y = Ax tem uma solução única x = A 1 y para todo y R n. Em particular, a única solução de Ax = nesse caso é x = 0 AA 1 = A 1 A = I N(A) = {0} R(A) = R n det(a A) = det(aa ) 0 A 1 = 1 Adj (A) det(a)

73 Sistema de equações algébricas lineares Inversa Adj (A): matriz adjunta da matriz A Adj (A) = [Co (A)] Co (A): matriz cofatora de A, composta pelos cofatores C ij da matriz A.

74 Autovalores, autovetores. Formas de Jordan Autovalores, autovetores. Formas de Jordan Um escalar λ C é um autovalor (valor próprio) de A R n n se existe um vetor x C n não nulo tal que Ax = λx Qualquer vetor x C que satisfaça Ax = λx é chamado de autovetor (vetor próprio) de A associado a λ (mais precisamente, esta é a definição para autovetores à direita de A). Ax = λx pode ser visto como (A λi)x = 0 x C n,x 0 : (A λi)x = 0 det(a λi) = 0 (λ) det(λi A) : polinômio (mônico) característico de A (λ) = 0 : equação característica de A Grau de (λ) = n e portanto A R n n possui n autovalores.

75 Autovalores, autovetores. Formas de Jordan Exemplo Considere a matriz A [ a11 a A = 12 a 21 a 22 ] [ a11 λ a ; A λi = 12 a 22 λ a 21 ] det (A λi) = (λ a 11 )(λ a 22 ) a 12 a 21 = λ 2 (a 11 + a 22 )λ (a 12 a 21 a 11 a 22 ) = λ 2 traço(a)λ + det(a)

76 Autovalores, autovetores. Formas de Jordan n det(a) = a ij Co ij ; Co ij : cofator de a ij j=1 Co ij = ( 1) i+j M ij ; M ij : det de A sem a linha i e a coluna j

77 Autovalores, autovetores. Formas de Jordan Note que λ C é um autovalor de A R n n se (λ) = det(λi A) = 0 Essa condição é equivalente à existência de y C tal que y A = λy = y (λi A) = 0 e qualquer y que satisfaça a relação acima é chamado de autovetor à esquerda de A (associado ao autovalor λ). Se v C n é um autovetor associado a λ C, então v (complexo conjugado de v) é um autovetor associado a λ. Se v é um autovetor de A, a transformação linear A aplicada sobre v produz um escalonamento de λ (na direção v).

78 Autovalores, autovetores. Formas de Jordan Matrizes na forma companheira α α α 2 ; α 1 α 1 α 2 α 3 α e suas transpostas têm o seguinte polinômio característico: (λ) = λ 4 + α 1 λ 3 + α 2 λ 2 + α 3 λ + α 4

79 Autovalores, autovetores. Formas de Jordan Autovalores distintos Teorema: Sejam λ 1,λ 2,...,λ n autovalores distintos de A e v i um autovetor de A associado ao autovalor λ i, i = 1,2,...,n. Então, o conjunto de autovetores {v 1,v 2,...,v n } é LI. Prova: Primeiramente, note que { (λi λ (A λ j I)v i = j )v i, j i = 0, j = i Supondo (por absurdo) que {v 1,v 2,...,v n } é LD, existem escalares α 1,α 2,...,α n não todos nulos tais que n α i v i = 0 i=1

80 Autovalores, autovetores. Formas de Jordan Sem perda de generalidade, assuma α 1 0. Então, (A λ n I) (A λ n 1 I)(A λ n I) n n 1 α i v i = α i (λ i λ n )v i i=1 i=1 n n 2 α i v i = α i (λ i λ n )(λ i λ n 1 )v i i=1. i=1 α 1 (λ 1 λ 2 )(λ 1 λ 3 ) (λ 1 λ n )v 1 = 0 Como λ i λ j, j = 2,3,...,n, α 1 = 0, o que contradiz a hipótese inicial. Como conclusão, {v 1,v 2,...,v n } LI Base do C n

81 Autovalores, autovetores. Formas de Jordan Forma Diagonal Seja Ā a representação de A na base formada pelos autovetores {v 1,v 2,...,v n }. A i-ésima coluna de Ā = representação de Av i = λ i v i na base {v 1,v 2,...,v n }. Então, 0 0 Av i = [ ] v 1 v 2 v i v n. λ i. 0

82 Autovalores, autovetores. Formas de Jordan λ λ 2 0 Ā = = Q 1 AQ 0 0 λ n Q = [ ] v 1 v 2 v n = Existe uma representação diagonal se todos os autovalores de A são distintos. Q define uma transformação de similaridade que diagonaliza a matriz A Portanto, se Q = [ v 1 v 2 v n ] é tal que Ā = Q 1 AQ é uma matriz diagonal, então AQ = QĀ = Av i = λ i v i, i = 1 n e {v 1,v 2,... v n } são autovetores LI de A.

83 Autovalores, autovetores. Formas de Jordan Exemplo A = , λ 1 = 1,λ 2 = 2,λ 3 = 3 (A λ 1 I)v 1 = v 11 v 21 v 31 = 0 v 31 = 0 v 21 = 0 2v 31 = 0 v 1 = 1 0 0

84 Autovalores, autovetores. Formas de Jordan (A λ 2 I)v 2 = v 12 v 22 v 32 = 0 v 12 v 32 = 0 v 32 = 0 v 2 = 0 1 0

85 Autovalores, autovetores. Formas de Jordan (A λ 3 I)v 3 = v 13 v 23 v 33 = 0 2v 13 v 33 = 0 v 23 = 0 v 13 = 0.5v 33 ; v 3 = {v 1,v 2,v 3 } são LI Ā = , Q = [ v 1 v 2 v 3 ]

86 Autovalores, autovetores. Formas de Jordan Considere entretanto A = , λ 1 = λ 2 = 1,λ 3 = 2 (A λ 1 I)v 1 = 0 = Soluções LI: v 1 = , v 2 = v 11 v 21 v 31 = 0

87 Autovalores, autovetores. Formas de Jordan (A λ 3 I)v 3 = 0 = ; v 3 = v 13 v 23 v 33, Q = [ v 1 v 2 v 3 ] = 0

88 Autovalores, autovetores. Formas de Jordan Multiplicidade Geométrica (MG) de λ 1 : 2 (número de soluções LI associadas ao autovalor) No caso geral, tem-se: Multiplicidade Geométrica (MG) Multiplicidade Algébrica (MA) Se a Multiplicidade Geométrica for menor que a Multiplicidade Algébrica, então não é possível determinar autovetores {v 1,v 2,v 3 } LI.

89 Autovalores, autovetores. Formas de Jordan Autovalores complexos Considere a matriz A = Polinômio característico: (λ + 1)(λ 2 4λ + 13) Autovalores: 1, 2 + j3 e 2 j3 Note que autovalores complexos sempre aparecem em pares complexo conjugados para matrizes com coeficientes reais.

90 Autovalores, autovetores. Formas de Jordan Autovetores: Q = ; 1 j j j2 3 j2 0 j j j 3 + j2 j ; ; Ā = j 3 j2 j j j3

91 Autovalores, autovetores. Formas de Jordan Para autovalores não distintos, nem sempre é possível obter Ā na forma diagonal: A = [ ], λ 1 = λ 2 = 5, MA = 2 (A λ 1 I)v 1 = 0 [ ][ v11 v 21 ] = 0 [ 1 v 1 = 0 MG = 1 ]

92 Autovalores, autovetores. Formas de Jordan Forma Canônica de Jordan Define-se como J k (λ) o bloco de Jordan de dimensão k k associado ao autovalor λ, dado por λ λ 1 0 J k (λ) = C k k λ

93 Autovalores, autovetores. Formas de Jordan Para qualquer matriz A R n n existe uma matriz não singular Q tal que J k1 (λ 1 ) Ā = Q 1 J k2 (λ 2 ) AQ =... Jkr (λr) k k r = n sendo que A tem r autovalores distintos λ 1,...,λ r entre n possíveis.

94 Autovalores, autovetores. Formas de Jordan Associados aos r autovalores distintos, pode-se determinar r autovetores LI {v 1,v 2,...,v r } a partir de (A λ i I)v i = 0, i = 1,2,...,r Ā é em geral bidiagonal superior, sendo diagonal no caso de n blocos de Jordan de tamanho k = 1 A forma de Jordan é única para uma dada matriz A (salvo eventuais permutações entre os blocos) Pode haver múltiplos blocos associados ao mesmo autovalor

95 Autovalores, autovetores. Formas de Jordan Os autovetores associados ao bloco de Jordan J ki (λ i ) verificam: λ i [ ] 0 λ i 1 0 vi1 v i2 v iki = A [ v i1 v i2 v iki λ i Definindo v i1 v i (autovetor associado ao autovalor λ i ) tem-se λ i v i1 = Av i1 = (A λ i I)v i1 = 0 v i1 + λ i v i2 = Av i2 = (A λ i I)v i2 = v i1. v i(ki 1) + λ i v iki = Av iki = (A λ i I)v iki = v i(ki 1) Note que sempre existe v i1 0 tal que (A λ i I)v i1 = 0 (definição de autovetor)

96 Autovalores, autovetores. Formas de Jordan Da equação que define v i2 tem-se (A λ i I)(A λ i I)v i2 = (A λ i I)v i1 = 0 { (A λi I) 2 v i2 = 0 (A λ i I)v i2 0 = Autovetor Generalizado de λ i v é um autovetor generalizado de grau l de A associado ao autovalor λ se (A λi) l v = 0 (A λi) l 1 v 0

97 Autovalores, autovetores. Formas de Jordan Note que um autovetor generalizado v de grau 1 satisfaz (A λi)v = 0 ; v 0 e portanto é um autovetor. O número de blocos de Jordan associados ao autovalor λ é dado por ν(a λi) A forma canônica de Jordan é útil do ponto de vista conceitual, não sendo usada para cálculos computacionais.

98 Autovalores, autovetores. Formas de Jordan Exemplo A = (λ) = λ 3 4λ 2 + 5λ 2 = ; λ 1 = 2, λ 2 = λ 3 = 1 Autovetor associado ao autovalor λ 1 = 2: v 1a (A 2I)v 1 = v 1b = 0 ; v 1 = v 1c 2 1 2

99 Autovalores, autovetores. Formas de Jordan Para o autovalor λ 2 = 1: (A 1I)v 2 = v 2 = 0 Note que a 3 a linha é igual à 1 a mais (4 )2 a = ν(a 1I) = 1

100 Autovalores, autovetores. Formas de Jordan Portanto, existe 1 bloco de Jordan associado ao autovalor λ = 1; com isso, sabe-se que a forma de Jordan é dada por Ā = Q 1 AQ = Um autovetor v 2 pode ser obtido da expressão acima: 1 v 2 = 3/7 5/7

101 Autovalores, autovetores. Formas de Jordan A partir de v 21 v 2 pode-se determinar o autovetor generalizado v 22 (A 1I)v 22 = v 21 ; v 22 = Q = [ v 1 v 21 v 22 ] 1 22/49 46/49 Ajuda do Matlab é importante.

102 Autovalores, autovetores. Formas de Jordan Considere A R 4 4 com um autovalor λ de multiplicidade algébrica igual a 4. Assuma que ν(a λi) = 1. Assim, (A λi)v = 0 possui apenas uma solução linearmente independente. Para formar uma base do R 4, três outros vetores LI são necessários. Os três vetores (autovetores generalizados) v 2, v 3 e v 4 devem satisfazer as propriedades: (A λi) 2 v 2 = 0 (A λi) 3 v 3 = 0 (A λi) 4 v 4 = 0 A partir do autovetor generalizado de grau 4 v, a cadeia de autovetores generalizados de tamanho 4 pode ser gerada da seguinte forma: v 4 v 3 v 2 v (A λi)v 4 = (A λi)v (A λi)v 3 = (A λi) 2 v

103 Autovalores, autovetores. Formas de Jordan Como pode ser verificado, valem as propriedades: (A λi)v 1 = 0, (A λi) 2 v 2 = 0, (A λi) 3 v 3 = 0 e (A λi) 4 v 4 = 0. Os vetores gerados dessa maneira são LI. Das equações, obtém-se Av 1 = λv 1 Av 2 = v 1 + λv 2 Av 3 = v 2 + λv 3 Av 4 = v 3 + λv 4 Forma de Jordan (representação na base {v 1,v 2,v 3,v 4 }): Ā = λ λ λ λ Se a ordem dos vetores da base for invertida, a representação passa a ser bidiagonal inferior.

104 Autovalores, autovetores. Formas de Jordan Considere agora A R 4 4 com um autovalor λ de multiplicidade algébrica igual a 4 mas ν(a λi) = 2. Assim, (A λi)v = 0 possui 2 soluções LI. Dois autovetores podem ser obtidos e n 2 = 4 2 = 2 autovetores generalizados são necessários. A partir de cada um dos autovetores, gera-se uma cadeia de autovetores generalizados. As possíveis formas de Jordan neste caso são: Ā 1 = λ λ λ λ ; Ā 2 = λ λ λ λ

105 Autovalores, autovetores. Formas de Jordan Exemplo A = Propriedade (A e C matrizes quadradas) [ ] A B det = det A det C 0 C

106 Autovalores, autovetores. Formas de Jordan (λ) = det(a λi) = [(3 λ)(1 λ) + 1] (2 λ) 2 [ (1 λ) 2 1 ] = (2 λ) 2 (2 λ) 2 (2 λ)λ = (2 λ) 5 λ Autovalores: λ 1 = 2, MA= 5 ; λ 2 = 0, MA= 1

107 Autovalores, autovetores. Formas de Jordan (A 2I) = ρ(a 2I) = 4 ν 1 = ν(a 2I) = 6 4 = 2 MG = 2 A forma de Jordan apresenta dois blocos (MG=2) associados ao autovalor λ 1 = A =

108 Autovalores, autovetores. Formas de Jordan Q = = [ ] x v 1 v 2 v 3 u 1 u 2 x, v 1 e u 1 são autovetores Ā = Q 1 AQ =

109 Autovalores, autovetores. Formas de Jordan Nem sempre é fácil determinar a cadeia de autovetores generalizados. Por exemplo, se v é autovetor, v também é, mas os autovetores generalizados podem ser diferentes Ax = v + λx ; Ay = v + λy

110 Autovalores, autovetores. Formas de Jordan Autovalores e Autovetores de Matriz Simétrica Sejam λ 1, λ 2,..., λ n autovalores de uma matriz simétrica A R n n. λ i R, i = 1,...,n Autovetores v i, v j associados a autovalores distintos λ i λ j são ortogonais, isto é v i,v j = v i v j = 0 Para mostrar que os autovalores são reais, note que se λ C é um autovalor e v C n é um autovetor genérico de A Av = λv ; v 0 = v Av = λv v Tomando o conjugado transposto da expressão (escalar) acima e lembrando que A = A (matriz simétrica) (v Av) = (v Av) = λv v

111 Autovalores, autovetores. Formas de Jordan Subtraindo 0 = (λ λ)v v = λ = λ = λ R Para mostrar a ortogonalidade de autovetores associados a autovalores distintos: Av i = λ i v i = v j Av i = λ i v j v i Av j = λ j v j = v i Av j = λ j v i v j Como o lado esquerdo das expressões acima é igual (A = A ), subtraindo 0 = (λ i λ j ) v i,v j = v i v j se λ i λ j A forma de Jordan de uma matriz simétrica A R n n é diagonal.

112 Autovalores, autovetores. Formas de Jordan Para provar, mostra-se que não existem autovetores generalizados de grau k 2. Suponha, por absurdo, que para algum λ i (A λ i I) k v = 0 e (A λ i I) k 1 v 0 (k 2) Entretanto, (A λ i I) k 2 v,(a λ i I) k v = 0 Usando a simetria de A (A λ i I) k 1 v,(a λ i I) k 1 v = (A λ i I) k 1 v = 0 (A λ i I) k 1 v = 0 o que contradiz a hipótese inicial. Portanto, não existe nenhum bloco de Jordan cuja ordem seja maior do que 1 Q : Ā = Q 1 AQ diagonal

113 Autovalores, autovetores. Formas de Jordan Se A = A, Ā = Ā é uma matriz diagonal (com os autovalores reais na diagonal) e a base formada pelos autovetores é tal que Q Q = I (base ortonormal) (Q 1 AQ) = Q AQ 1 = Q 1 AQ = Q 1 = Q

114 Funções matriciais Funções matriciais Funções de Matriz Quadrada Matrizes quadradas A R n n estão associadas a transformações lineares f : R n R n Defina A 0 = I ; A k = AA A (k vezes) ; k Z Funções Polinomiais: Seja f (λ) um polinômio em λ de grau finito. Por exemplo, f (λ) = λ 2 + 5λ + 6 = (λ + 2)(λ + 3) Uma função f (A) é definida como f (A) A 2 + 5A + 6I = (A + 2I)(A + 3I)

115 Funções matriciais Em particular, se A assume a forma bloco diagonal [ ] A1 0 A = 0 A 2 com A 1 e A 2 matrizes quadradas de qualquer ordem, tem-se [ ] [ ] A k A k = 1 0 f (A1 ) 0 0 A k ; f (A) = 2 0 f (A 2 )

116 Funções matriciais Como é sempre possível escrever A = QÂQ 1 (Â é a representação de A na Forma Canônica de Jordan) f (A) = f (QÂQ 1 ) = (QÂQ 1 )(QÂQ 1 )+5(QÂQ 1 )+6(QQ 1 ) = Q [Â2 + 5Â + 6I ] Q 1 = Qf (Â)Q 1 ou f (Â) = Q 1 f (A)Q. O polinômio mínimo de A é definido como o polinômio mônico (maior coeficiente igual a 1) φ(λ) de menor grau tal que φ(a) = 0. Portanto, f (A) = 0 se e somente se f (Â) = 0 (matrizes similares têm o mesmo polinômio mínimo).

117 Funções matriciais O polinômio mínimo de uma matriz na forma de Jordan pode ser obtido por inspeção. Se λ i é um autovalor de A com multiplicidade n i, o polinômio característico de A é dado por (λ) = det(λi A) = i (λ λ i ) n i

118 Funções matriciais Supondo que a forma de Jordan de A é conhecida, define-se como o índice de λ i a maior ordem de todos os blocos de Jordan associados a λ i (denotado n i ). Por exemplo, λ 1 tem multiplicidade 4 nas quatro matrizes abaixo: Â 1 = Â 3 = λ λ λ λ 1 λ λ λ λ 1 ; Â 2 = ; Â 4 = λ λ λ λ 1 λ λ λ λ 1 = os índices do autovalor λ 1 são, respectivamente, 1, 2, 3 e 4.

119 Funções matriciais Usando os índices n i de todos os autovalores λ i, o polinômio mínimo pode ser expresso da seguinte forma: φ(λ) = i (λ λ i ) n i com grau n = n i n i = n = dimensão de A. Nas matrizes acima, os polinômios mínimos são: φ 1 = (λ λ 1 ) ; φ 2 = (λ λ 1 ) 2 φ 3 = (λ λ 1 ) 3 ; φ 4 = (λ λ 1 ) 4 O polinômio característico é sempre (λ) = (λ λ 1 ) 4. Portanto, o polinômio mínimo é um fator do polinômio característico.

120 Funções matriciais Exemplo Forma de Jordan dada por Note que (Â λi) = (Â λi)3 = Â = λ λ λ λ ; (Â λi)2 = ; (Â λi)k = 0 para k 4

121 Funções matriciais Teorema de Cayley-Hamilton Seja (λ) = det(λi A) = λ n + α 1 λ n α n 1 λ + α n o polinômio característico de A. Então, (A) = A n + α 1 A n α n 1 A + α n I = 0 isto é, toda matriz A R n n satisfaz seu polinômio característico. Como n i n i, o polinômio característico contém o polinômio mínimo como um fator, ou seja, para algum polinômio h(λ) Como φ(a) = 0, (λ) = φ(λ)h(λ) (A) = φ(a)h(a) = 0h(A) = 0

122 Funções matriciais Pelo Teorema, A n pode ser escrita como uma combinação linear de {I,A,...,A n 1 }. De fato, multiplicando-se (A) = 0 por A tem-se que A n+1 pode ser escrito como combinação linear de {A,A 2...,A n }, que por sua vez pode se escrever como combinação linear de {I,A,...,A n 1 }, e assim sucessivamente. Para qualquer polinômio f (λ), independentemente do grau, e valores apropriados de β i, f (A) pode ser expresso na forma f (A) = β 0 I + β 1 A + + β n 1 A n 1 Na verdade, se o polinômio mínimo (grau n) de A é conhecido, A pode ser expressa como combinação linear de {I,A,...,A n 1 }.

123 Funções matriciais Expressando um polinômio qualquer f (λ) na forma f (λ) = q(λ) (λ) + h(λ) q(λ): quociente da divisão por (λ) h(λ): resto da divisão (grau menor que n) f (A) = q(a) (A) + h(a) = q(a)0 + h(a) = h(a) Uma alternativa à divisão de polinômios acima é dada a seguir. Defina h(λ) como h(λ) = β 0 + β 1 λ + + β n 1 λ n 1 β i, i = 0,...,n 1: incógnitas a serem obtidas

124 Funções matriciais Se os n autovalores de A são distintos, β i podem ser obtidos diretamente das n equações f (λ i ) = q(λ i ) (λ i ) + h(λ i ) = h(λ i ), i = 1,2,...,n Se A tem autovalores com multiplicidade maior do que 1, a expressão acima tem que ser diferenciada (em relação a λ) para fornecer novas equações.

125 Funções matriciais Seja f (λ) uma função dada e seja A R n n com o polinômio característico (λ) = m (λ λ i ) n i ; n = i=1 m i=1 Defina o polinômio de grau n 1 (com n coeficientes a determinar): h(λ) = β 0 + β 1 λ + + β n 1 λ n 1 n i

126 Funções matriciais Os n coeficientes β i podem ser obtidos do conjunto de n equações dadas por { f (l) (λ i ) = h (l) l = 0,1,...,ni 1 (λ i ) i = 1,2,...,m onde f (l) (λ i ) dl f (λ) dλ l ; h (l) (λ i ) dl h(λ) λ=λi dλ l λ=λi Neste caso, f (A) = g(a) e diz-se que h(λ) é igual a f (λ) no espectro (conjunto dos autovalores) de A.

127 Funções matriciais Dois polinômios que tenhas os mesmos valores no espectro de A definem a mesma função matricial. O resultado acima pode ser usado para qualquer função f (λ) (não necessariamente polinomial), definindo-se f (A) = h(a) e computando-se os coeficientes β i, i = 0,...,n 1. Qualquer polinômio h(λ) de grau n 1, com n parâmetros independentes, poderia ser usado.

128 Funções matriciais Exemplo 1 A 100, A = [ ] ; (λ) = det(λi A) = (λ 1) 2 g(λ) = α 0 + α 1 λ Espectro de A: λ = 1, f (λ) = λ 100 f (1) = g(1) = α 0 + α 1 d dλ f (1) = d dλ g(1) 100(199 ) = α 1 A 100 = f (A) = g(a) = α 0 I + α 1 A = = α 0 = 99 ; α 1 = 100 [ ]

129 Funções matriciais Exemplo 2 Calcule exp(at), isto é, se f (λ) = exp(λt), encontre f (A) A = ; (λ) = (λ 1) 2 (λ 2), n 1 = 2,n 2 = g(λ) = α 0 + α 1 λ + α 2 λ 2 ; f (A) = α 0 I + α 1 A + α 2 A 2 f (1) = g(1) exp(t) = α 0 + α 1 + α 2 f (1) = g (1) t exp(t) = α 1 + 2α 2 f (2) = g(2) exp(2t) = α 0 + 2α 1 + 4α 2 α 0 α 2 = 2t exp(t) + exp(2t) ; α 1 = 3t exp(t) + 2exp(t) 2exp(2t) = exp(2t) exp(t) t exp(t)

130 Funções matriciais f (A) = 2exp(t) exp(2t) 0 2exp(t) 2exp(2t) 0 exp(t) 0 exp(t) + exp(2t) 0 2 exp(2t) exp(t)

131 Funções matriciais Exemplo 3 Obtenha a expressão de f (Â) para  = λ λ λ λ 1 O polinômio característico é dado por (λ) = (λ λ 1 ) 4. Escolhendo (de maneira conveniente) h(λ) = β 0 + β 1 (λ λ 1 ) + β 2 (λ λ 1 ) 2 + β 3 (λ λ 1 ) 3 A condição f (λ) = h(λ) no espectro de  fornece β 0 = f (λ 1 ) ; β 1 = f (λ 1 ) ; β 2 = f (λ 1 ) 2! ; β 3 = f (3) (λ 1 ) 3!

132 Funções matriciais Assim, f (Â) = f (λ 1)I + f (λ 1 ) (Â 1! λ 1I) + f (λ 1 ) 2! Usando as propriedades de (Â λi) k f (Â) = (Â λ 1I) 2 + f (3) (λ 1 ) (Â 3! λ 1I) 3 f (λ 1 ) f (λ 1 )/1! f (λ 1 )/2! f (3) (λ 1 )/3! 0 f (λ 1 ) f (λ 1 )/1! f (λ 1 )/2! 0 0 f (λ 1 ) f (λ 1 )/1! f (λ 1 )

133 Funções matriciais Por exemplo, para f (λ) = exp(λt) exp(ât) = exp(λ 1 t) t exp(λ 1 t) t 2 exp(λ 1 t)/2! t 3 exp(λ 1 t)/3! 0 exp(λ 1 t) t exp(λ 1 t) t 2 exp(λ 1 t)/2! 0 0 exp(λ 1 t) t exp(λ 1 t) exp(λ 1 t)

134 Funções matriciais Exemplo 5 Considere a matriz (com dois blocos de Jordan) A = Se f (λ) = exp(λt)= e λt, então exp(at) = e At = λ λ λ λ λ 2 e λ 1t te λ 1t t 2 e λ1t /2! e λ 1t te λ 1t e λ 1t e λ 2t te λ 2t e λ 2t

135 Funções matriciais Se f (λ) = (s λ) 1, então 1 (s λ 1 ) (si A) 1 = 1 1 (s λ 1 ) 2 (s λ 1 ) (s λ 1 ) (s λ 1 ) (s λ 1 ) (s λ 2 ) (s λ 2 ) 2 1 (s λ 2 )

136 Funções matriciais Função exponencial e At A série converge para todo t e λ. Então e λt = 1 + λt + λ2 t λn t n... 2! n! e At = I + ta + t2 2! A2 + = k=0 1 k! tk A k Esta série converge rapidamente e pode ser usada para calcular e At.

137 Funções matriciais Propriedades de e At e 0 e A(t 1+t 2 ) [e At] 1 = I = e At 1 e At 2 = e At

138 Funções matriciais Derivada de e At Portanto d 1 dt eat = (k 1)! tk 1 A k k=1 ( ) ( ) 1 = A k! tk A k 1 = k! tk A k A Obs: e (A+B)t e At e Bt k=0 k=0 d dt eat = Ae At = e At A

139 Funções matriciais Transformada de Laplace de e At Desde que [ t k ] L = s (k+1) k! Aplicando a transformada de Laplace à tem-se e At = I + ta + t2 2! A2 + = [ L e At] = k=0 1 k! tk A k s (k+1)ak = s 1 (s 1 A) k k=0 k=0

140 Funções matriciais A série infinita (s 1 λ) k = 1 + s 1 λ + s 2 λ 2 + = (1 s 1 λ) 1 k=0 converge para s 1 λ < 1. Então s 1 (s 1 A) k = s 1 I + s 2 A + s 3 A k=0 = s 1 (I s 1 A) 1 = [ s(i s 1 A) ] 1 = (si A) 1 Então: L [ e At] = (si A) 1

141 Funções matriciais Teorema de Cayley-Hamilton Seja (λ) = det(λi A) = λ n + α 1 λ n α n 1 λ + α n o polinômio característico de A. Então, (A) = A n + α 1 A n α n 1 A + α n I = 0 Se A é uma matriz diagonalizável, então existe uma transformação de similaridade dada pela matriz Q tal que A = QΛQ 1 ; Λ diagonal ; A 2 = (QΛQ 1 )(QΛQ 1 ) = QΛ 2 Q 1 A 3 = QΛ 3 Q 1,..., A k = QΛ k Q 1 [ ] (A) = Q Λ n + α 1 Λ n α n 1 Λ + α n I Q 1 e cada termo dentro dos colchetes é uma matriz diagonal cujo elemento (i,i) é dado por λ n i + α 1 λ n 1 i + + α n 1 λ i + α n = (λ i ) = 0 pois λ i é um autovalor de A.

142 Funções matriciais O teorema de Cayley-Hamilton fornece uma fórmula expĺıcita para o cálculo da matriz inversa A 1 = 1 ] [A n 1 + α 1 A n α n 1 I α n No caso geral, a matriz A sempre pode ser reduzida à forma de Jordan ] Â = Q 1 AQ ; (A) = Q[Ân +α 1 Â n 1 + +α n 1 Â+α n I Q 1

143 Funções matriciais Para mostrar que a matriz dentro dos colchetes vale sempre zero, note que a forma de Jordan é composta de blocos diagonais Âi  = diag {Â1,Â2,...,Âr} ;  k = diag {Âk 1,Âk 2,...,Âk r } Considerando um típico bloco  i, é preciso provar que ] [Ân i + α 1  n 1 i + + α n 1  i + α n I = 0 Note que os termos abaixo da diagonal principal são sempre iguais a zero, e que na diagonal principal um elemento típico (i,i) é dado por (λ i ) = 0. Na diagonal acima da diagonal principal (verificar), um termo típico é dado por nλ n 1 i + α 1 (n 1)λ n 2 i + + α n 1 = d (λ) dλ e a raíz em questão tem multiplicidade maior do que 1. = 0 λ=λi

144 Funções matriciais Se Âi é um bloco de Jordan de tamanho p p, λ i necessariamente é uma raíz de no mínimo ordem p, e assim as derivadas de ordem até p 1 são todas iguais a zero em λ = λ i. As sucessivas diagonais acima possuem termos que são múltiplos dessas derivadas da equação característica, ] e portanto [Ân i + α 1 Â n 1 i + + α n I = 0

145 Funções matriciais Equação de Lyapunov Seja a equação: AM + MB = C onde A é de dimensão n n e B é de dimensão m m e M e C são de dimensão n m. A matriz M deve ser determinada. Esta equação pode ser escrita como um conjunto padrão de equações lineares.

146 Funções matriciais Exemplo Seja n = 3 e m = 2. a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 m 11 m 12 m 21 m 22 m 31 m 32 + c 11 c 12 c 21 c 22 c 31 c 32 m 11 m 12 m 21 m 22 m 31 m 32 [ b11 b 12 b 21 b 22 ] =

147 Funções matriciais Multiplicando: a 11 + b 11 a 12 a 13 b a 21 a 22 + b 11 a 23 0 b 21 0 a 31 a 32 a 33 + b b 21 b a 11 + b 22 a 12 + a 13 0 b 12 0 a 21 a 22 + b 22 a b 12 a 31 a 32 a 33 + b 22 m 11 m 21 m 31 m 12 m 22 m 32 = c 11 c 21 c 31 c 12 c 22 c 32

148 Funções matriciais Seja A(M) = AM + MB. A equação de Lyapunov pode ser escrita como: A(M) = C e é o mapeamento de um espaço de dimensão nm nele mesmo. Um escalar η é chamado um autovalor de A se existe M não nula tal que A(M) = ηm A tem nm autovalores, dados por η k, k = 1,...,nm.

149 Funções matriciais Pode-se provar que: η k = λ i + µ j i = 1,2,...,n j = 1,2,...,m onde λ i,i = 1,2,...,n e µ j = 1,2...,m são os autovalores de A e B, respectivamente. Ou seja, os autovalores de A são todas as possíveis somas dos autovalores de A e B.

150 Funções matriciais Demonstração informal Seja u de dimensão n 1 o autovetor à direita associado com λ i. Então: Au = λ i u Seja v de dimensão 1 m o autovetor à esquerda de B associado ao autovalor µ j. Então: vb = vµ j Aplicando A à matriz uv de dimensão n m: A(uv) = Auv + uvb = λ 1 uv + uvµ j = (λ j + µ j )uv

151 Funções matriciais Conclusão: A solução é única para a equação de Lyapunov se não existirem λ i e µ j tal que λ i + µ j = 0 (caso contrário a matriz nm nm é singular. Se para algum i e para algum j, λ i + µ j = 0, então soluções podem ou não existir. Se C pertence ao espaço imagem de A então soluções existem e não são únicas.

152 Funções matriciais Formas quadráticas e definição em sinal Seja M uma matriz real simétrica de dimensão n n. A função x Mx onde x é um vetor de dimensão n 1, é uma forma quadrática. Uma matriz M é definida positiva (M > 0) se x Mx > 0 para todo x não nulo. Uma matriz M é semidefinida positiva (M 0) se x Mx 0 para todo x não nulo.

153 Funções matriciais Teorema Teorema Uma matriz simétrica M de dimensão n n é definida positiva (semidefinida positiva) se, e somente se, qualquer uma das seguintes condições é válida: 1 Todo autovalor de M é positivo (zero ou positivo). 2 Todos os menores principais ĺıderes de M são positivos (todos os menores principais de M são não negativos). 3 Existe uma matriz não-singular de dimensão n n (uma matriz singular n n ou uma matriz de dimensão m n (com m < n)) N tal que M = N N.

154 Funções matriciais Decomposição em valores singulares Seja H uma matriz real de dimensão m n. Seja M = HH (que é simétrica e semidefinida positiva). Os autovalores de M são reais e não negativos. Seja r o número de autovalores positivos.

155 Funções matriciais Os autovalores de M = H H podem ser arranjados como Seja n = min(m.n). O conjunto λ 2 1 λ2 2 λ2 r > 0 = λ r+1 = = λ n λ 1 λ 2 λ r > 0 = λ r+1 = = λ n corresponde aos valores singulares de H.

156 Funções matriciais Exemplo Seja a matriz Calculando H = M = H H = [ ] Os autovalores de H H sao dados por det(λi M) = λ 2 (λ 26.25) = 0 Portanto os autovalores de H H são e 0. Os valores singulares de H são (26.25) = e 0. O numero de valores singulares é min(2,3) = 2.

157 Funções matriciais Alternativamente os valores singulares de H podem ser calculados de HH. [ ] M = HH = Os autovalores de HH são dados por det(λi M) = λ(λ 26.25) = 0 Os valores singulares de H são e 0. Portanto o número de valores singulares de H e H é o mesmo (só o numero de autovalores 0 HH e de H H diferem).

158 Funções matriciais Decomposição em valores singulares Theorem (Chen,92) Toda matriz H de dimensão m n pode ser decomposta da forma H = RSQ com RR = I m,q Q = QQ = I n, e S é a matriz de dimensão m n com os valores singulares de H na diagonal.

159 Funções matriciais As colunas de Q são os autovetores normalizados de H H As colunas de R são os autovetores normalizados de HH O posto de H é o número de valores singulares não nulos Se o posto de H for r então: As primeiras r colunas de R formam uma base ortonormal do espaço imagem das colunas de H As últimas (n r) colunas de Q formam uma base ortonormal do espaço nulo de H