Álgebra Linear - Exercícios (Transformações Lineares)

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1 Álgebra Linear - Exercícios (Transformações Lineares)

2 Índice Transformações Lineares 3

3 Transformações Lineares Transformações Lineares Exercício MostrequeastransformaçõeslinearesdeR 3 em R 3, T (x, y, z) =(,y,z) e T (x, y, z) =(,z+ y, z +y)... têm os mesmos núcleos e contradomínios. Tranformação T Consideremos a base canónica de R 3 : {e =(,, ),e =(,, ),e 3 =(,, )} Determinemos a matriz da transformação: T (e )=T (,, ) = (,, ) = e + e + e 3 T (e )=T (,, ) = (,, ) = e + e + e 3 T (e 3 )=T (,, ) = (,, ) = e + e + e 3 A matriz da transformação, A, será uma matriz do tipo 3 3 cujas colunas são as coordenadas de T (e i ) na base {e i }: A = O núcleo da transformação é dado pelo conjunto: Nuc(T )= v R 3 : T (v) = ª Determinar o núcleo consiste em resolver o sistema de equações A v = nas variáveis v. Dadoquer A =< 3 o sistema é possível e indeterminado com grau de indeterminação, e a solução é da forma: v v = v v 3 = v,v R 3

4 Transformações Lineares O contradomínio, ou imagem, de T, denotado por Im (T ) ou T R 3 é dado pelo conjunto Im (T )= w R 3 : T (v) =w, v R 3ª. Temos assim que analisar a forma dos vectores A v. Note-se que A v consiste na combinação linear das colunas de A : A v = v + v + v É evidente que apenas e são linearmente independentes, pelo que, não esquecendo que estamos a tentar descobrir a forma de w, se terá com vector genérico de Im (T ): w w w 3 = v + v 3,v,v 3 R Tranformação T Consideremos a base canónica de R 3 : {e =(,, ),e =(,, ),e 3 =(,, )} Determinemos a matriz da transformação: T (e )=T (,, ) = (,, ) = e + e + e 3 T (e )=T (,, ) = (,, ) = e + e + e 3 T (e 3 )=T (,, ) = (,, ) = e + e + e 3 A matriz da transformação, A, será uma matriz do tipo 3 3 cujas colunas são as coordenadas de T (e i ) na base {e i }: A = O núcleo da transformação é dado pelo conjunto: Nuc(T )= v R 3 : T (v) = ª 4

5 Transformações Lineares Determinar o núcleo consiste em resolver o sistema de equações A v = nas variáveis v. Construamos a matriz ampliada do sistema e resolvamos por condensação: L 3 L 3 +( ) L L L +L 3 Dado que r A =< 3 o sistema é possível e indeterminado com grau de indeterminação, e a solução é da forma: v v = v v 3 = v,v R O contradomínio, ou imagem, de T, denotado por Im (T ) ou T R 3 é dado pelo conjunto Im (T )= w R 3 : T (v) =w, v R 3ª. Temos assim que analisar a forma dos vectores A v. Note-se que A v consiste na combinação linear das colunas de A : A v = v + v + v É evidente que apenas e são linearmente independentes (não são múltiplos um do outro), pelo que, não esquecendo que estamos a tentar descobrir a forma de w, se terá com vector genérico de Im (T ): w w w 3 = v + v 3,v,v 3 R Tem-se claramente, Nuc(T )=Nuc(T ). Embora de modo menos claro, também se tem Im (T )=Im(T ).Bastaverificar que os vectores da base 5

6 Transformações Lineares de Im (T ),, se podem escrever como combinação linear dos vectores da base de Im (T ),oquesignifica que os vectores da base de Im (T ) geram o conjunto Im (T ). Deste modo, tem-se Im (T )=Im(T ). Exercício Verifique se a aplicação T se qualifica como transformação linear: R 3, T : R R e T (x, y) =(x y, ) Temos de verificar se T (αu + βv) =αt (u)+βt (v), u,v R, α,β R. Façamos então u =(u,u ) e v =(v,v ). T (αu + βv) = = T (α (u,u )+β(v,v )) = T (αu + βv, αu + βv ) = ((αu + βv ) (αu + βv ), ) = (αu αu +βv βv, ) = (αu αu, ) + (βv βv, ) = α (u u, ) + β (v v, ) = αt (u)+βt (v) Logo, T é uma transformação linear. Exercício 3 Determine a matriz da transformação de cada uma das seguintes transformações lineares, considerando a base canónica: a) T : R R e T (x, y) =(x y, ) b) T : R R e T (x, y) =(x y, x) c) T : R 3 R 3 e T (x, y, z) =(x y,,y+ z) d) T : R 3 R 3 e T (x, y, z) =(,,y) Consideremos a base canónica para R, {e =(, ),e =(, )}, eparar 3, {e =(,, ),e =(,, ),e 3 =(,, )}. 6

7 Transformações Lineares ½ T (e )=T (, ) = (, ) = e a) + e T (e )=T (, ) = (, ) = ( ) e + e A matriz da transformação, A, será uma matriz do tipo cujas colunas são as coordenadas de T (e i ) na base {e i }: A = ½ T (e )=T (, ) = (, ) = e b) + e T (e )=T (, ) = (, ) = ( ) e + e A matriz da transformação, A, será uma matriz do tipo cujas colunas são as coordenadas de T (e i ) na base {e i }: c) d) A = T (e )=T (,, ) = (,, ) = e + e + e 3 T (e )=T (,, ) = (,, ) = ( ) e + e + e 3 T (e 3 )=T (,, ) = (,, ) = e + e + e 3 A matriz da transformação, A, será uma matriz do tipo 3 3 cujas colunas são as coordenadas de T (e i ) na base {e i }: A = T (e )=T (,, ) = (,, ) = e + e + e 3 T (e )=T (,, ) = (,, ) = e + e + e 3 T (e 3 )=T (,, ) = (,, ) = e + e + e 3 A matriz da transformação, A, será uma matriz do tipo 3 3 cujas colunas são as coordenadas de T (e i ) na base {e i }: A = Exercício 4 Determine a imagem do vector (, 4) relativamente a cada uma das seguintes transformações lineares. Utilizando primeiro a definição e em seguida utilizando a matriz de cada transformação: 7

8 Transformações Lineares a) T : R R e T (x, y) =(x y, ) b) T : R R e T (x, y) =(x y, x) a) Utilizemos a definição da transformação: T (, 4) = ( ( ) 4, ) = ( 8, ). Consideremos a base canónica para R, {e =(, ),e =(, )}. Determinemos a matriz da transformação: ½ T (e )=T (, ) = (, ) = e + e T (e )=T (, ) = (, ) = ( ) e + e A matriz da transformação, A, será uma matriz do tipo cujas colunas são as coordenadas de T (e i ) na base {e i }: A = Como o vector v =(, 4) se pode escrever como combinação linear da base escolhida do seguinte modo: ( ) e +4 e,resultaqueasco- ordenadas do vector v na base canónica são. Conclui-se que as 4 coordenadas de T (v) na base canónica se podem determinar fazendo o produto Av (v neste contexto refere-se às coordenadas e não ao vector propriamente dito): Av = 4 = 8 8 Assim, o vector T (v) tem coordenadas na base canónica pelo que pode ser escrito como ( 8) e + e. Um simples cálculo permite verificar que: T (v) =( 8) e + e =( 8) (, ) + (, ) = ( 8, ) Como era de esperar, os resultados utilizando a definiçãodatransformação ou a matriz da transformação são iguais. b) Utilizemos a definição da transformação: T (, 4) = ( ( ) 4, ) = ( 8, ). 8

9 Transformações Lineares Consideremos a base canónica para R, {e =(, ),e =(, )}. Determenimeos a matriz da transformação: ½ T (e )=T (, ) = (, ) = e + e T (e )=T (, ) = (, ) = ( ) e + e A matriz da transformação, A, será uma matriz do tipo cujas colunas são as coordenadas de T (e i ) na base {e i }: A = Como o vector v =(, 4) se pode escrever como combinação linear da base escolhida do seguinte modo: ( ) e +4 e, resulta que as coordenadas do vector v na base canónica são resulta que as coordenadas 4 de T (v) na base canónica se podem determinar fazendo o produto Av (v neste contexto refere-se às coordenadas e não ao vector propriamente dito): Av = 4 = 8 8 Assim, o vector T (v) tem coordenadas na base canónica pelo que pode ser escrito como ( 8) e +( ) e. Um simples cálculo permite verificar que: T (v) =( 8) e +( ) e =( 8) (, ) + ( ) (, ) = ( 8, ) Como era de esperar, os resultados utilizando a definiçãodatransformação ou a matriz da transformação são iguais. Exercício 5 Considere o espaço das matrizes reais, quadradas de ordem, M (R). Verifique quais das seguintes transformações são lineares: a b i) T : M (R) R tal que T = c d a b c d. a b ii) T : M (R) R tal que T =a +3b + c d. c d 9

10 Transformações Lineares i) Temos de verificar se T (αa + βa )=αt (A )+βt (A ), A,A M (R), α,β R Façamos então A = a b a b e A c d =. c d T (αa + βa ) = µ a b = T α a b + β c d c d = αa + βa αb + βb αc + βc αd + βd = αa αb + βb αc αd + βd + βa αb + βb βc αd + βd = αa αb αc αd + αa βb αc βd + βa αb βc αd + βa βb βc βd = α A + αβ a b c d + αβ a b c d + β A = α T (A )+β a T (A )+αβ b µ c d + a b c d 6= αt (u)+βt (v) Logo, T não é uma transformação linear. ii) Temos de verificar se: T (αa + βa )=αt (A )+βt (A ), A,A M (R), α,β R Façamos então A = a b a b e A c d =. c d T (αa + βa ) = µ a b = T α c d = T a b + β c d µ αa + βa αb + βb αc + βc αd + βd = (αa + βa )+3 (αb + βb )+(αc + βc ) (αd + βd ) = α (a +3b + c d )+β (a +3b + c d ) = αt (A )+βt (A )

11 Transformações Lineares Logo, T é uma transformação linear. Exercício 6 Seja T uma transformação linear em R 3 dada por T (x, y, z) = (z,x y, z). a) Indique o núcleo de T, a sua dimensão e uma base. b) Determine a dimensão da imagem de R 3 dada por T. c) T é sobrejectiva? Justifique. a) Consideremos a base canónica para R 3 : {e =(,, ),e =(,, ),e 3 =(,, )} Determinemos a matriz da transformação: T (e )=T (,, ) = (,, ) = e + e + e 3 T (e )=T (,, ) = (,, ) = e +( ) e + e 3 T (e 3 )=T (,, ) = (,, ) = e + e +( ) e 3 A matriz da transformação, A, será uma matriz do tipo 3 3 cujas colunas são as coordenadas de T (e i ) na base {e i }: A = O núcleo da transformação é dado pelo conjunto Nuc(T )= v R 3 : T (v) = ª Determinaronúcleoconsisteemresolver o sistema de equações Av = nas variáveis v. Construamos a matriz ampliada do sistema e resolvamos por condensação: L L L 3 L 3 + L

12 Transformações Lineares Dado que r A =< 3 o sistema é possível e indeterminado com grau de indeterminação, e a solução é da forma: v v = v v = v,v R v 3 Assim, Nuc(T ) tem dimensão (nulidade é ) e base b) Sabendo que. dim (Nuc(T )) + dim (Im (T )) = dim R 3... teremos, +dim(im(t )) = 3 eportantodim (Im (T )) =. c) A transformação T é sobrejectriva se w R 3, v R 3 : T (v) =w. Ésimples verificar que um vector genérico de Im (T ) terá a forma Av, istoé,será combinação linear das colunas de A. A primeira e segunda colunas de A são múltiplas entre si, logo, são linearmente dependentes. Tal significa que Im (T ) terá como base, por exemplo,..ora,nestas circunstâncias poderemos facilmente inferir que o vector w = R 3 não pode ser obtido por combinação linear dos vectores da base de Im (T ), isto é, não existe um vector v tal que T (v) =w. Confirmemos que de facto assim é, verificandoqueosistemaav = w é impossível, para o que estudaremos a matriz ampliada: L L L 3 L 3 + L Como previsível tem-se r A =< 3=r A B, isto é, o sistema é impossível.

13 Transformações Lineares Exercício 7 Seja T uma transformação linear do espaço dos polinómios reais de grau menor ou igual a na variável x, P, em R 3, definida da seguinte forma: a) Calcule T x +5x +6. T [p (x)] = [p ( ),p(),p()] b) Determine, se existir, T (, 3, ). a) Seja p (x) =x +5x+6. Teremos p ( ) = 5+6 =, p () = ++6 = 6 e p ()=+5+6=.Assim,T x +5x +6 =(, 6, ). b) A transformação inversa, T, existirá se a matriz da transformação T for regular. Comecemos então por determinar esta matriz: consideremos a base canónica para R 3, {f =(,, ),f =(,, ),f 3 =(,, )} ea base canónica para P, e = x,e = x, e 3 = ª. T (e )=T x =(,, ) = e + e + e 3 T (e )=T (x) =(,, ) = ( ) e + e + e 3 T (e 3 )=T () = (,, ) = e + e + e 3 A matriz da transformação, A, será uma matriz do tipo 3 3 cujas colunas são as coordenadas de T (e i ) na base {f i }: A = Verificando que A = + ( + + ) = 6= concluímos que A éregulareportantot é invertível. A teoria ensina que a matriz da transformação inversa T é precisamente a matriz A. Utilizando um qualquer método de inversão (por condensação ou pela matriz adjunta) conlui-se que: A = O vector w =(, 3, ) R 3 tem coordenadas w T = 3 T na base escolhida para R 3, a base canónica. A imagem inversa de w pode ser determinada constituindo o produto A w: 3

14 Transformações Lineares A w = 3 = 3 3 Assim, v T = 3 3 T são as coordenadas na base escolhida para P, a base canónica, da imagem inversa do vector w R 3. O vector v será portanto v =( 3) e + e +3 e 3 = 3 x + x +3 = 3x +3. Exercício 8 Seja T uma transformação linear do espaço dos polinómios reais de grau menor ou igual a, P, na variável x, emsipróprio,definida por: T () = + x; T (x) =3 x ; T x =4+x 3x a) Calcule T x +3x. b) A transformação T tem inversa? Justifique. a) Seja p (x) = x +3x. Teremos: T (p (x)) = T x +3x = (porque T é transformação linear) = T () + T ( x)+t 3x = (porque T é transformação linear) = T () + ( ) T () + 3 T x = ( + x)+( ) 3 x +3 4+x 3x = 8+8x 7x b) A transformação inversa, T, existirá se a matriz da transformação T for regular. Comecemos então por determinar esta matriz: consideremos a base canónica para P, e = x,e = x, e 3 = ª. T (e )=T x =4+x 3x =( 3) e + e +4 e 3 T (e )=T (x) =3 x =( ) e + e +3 e 3 T (e 3 )=T () = + x = e + e + e 3 A matriz da transformação, A, será uma matriz do tipo 3 3 cujas colunas são as coordenadas de T (e i ) na base {f i }: 4

15 Transformações Lineares A = Verificando que A = 4+ ( 9 ) = 7 6= concluímos que A éregulareportantot é invertível. A teoria ensina que a matriz da transformação inversa T é precisamente a matriz A. Utilizando um qualquer método de inversão (por condensação ou pela matriz adjunta) conlui-se que: A = Exercício 9 Seja T uma transformação linear em R 3 definida por: T (x,x,x 3 )=(a x,a x,a 3 x 3 ),a i R,i=,, 3 e fixos. Determine as condições que a,a e a 3 devem satisfazer para T admitir inversa, e obtenha a expressão de T. A transformação inversa, T, existirá se a matriz da transformação T for regular. Comecemos então por determinar esta matriz: consideremos a base canónica para R 3, {e =(,, ),e =(,, ),e 3 =(,, )}. T (e )=T (,, ) = (a,, ) = a e + e + e 3 T (e )=T (,, ) = (,a, ) = e + a e + e 3 T (e 3 )=T (,, ) = (,,a 3 )= e + e + a 3 e 3 A matriz da transformação, A, será uma matriz do tipo 3 3 cujas colunas são as coordenadas de T (e i ) na base {f i }: A = a a a 3 Verificando que A = a a a 3 concluímos que A é regular, e portanto T éinvertível,seesósea a a 3 6=. Deveremos portanto impor as condições a 6= a 6= a 3 6=. A teoria ensina que a matriz da transformação inversa T éprecisamenteamatriza. Utilizando um qualquer método de inversão (por condensação ou pela matriz adjunta) conclui-se que: 5

16 Transformações Lineares A = a a a 3 Exercício Seja T uma transformação linear de R 3 em R definida por: T (x) =(T (x),t (x))... com T e T transformações lineares de R 3 em R. Mostre que T é transformação linear se e só se T e T são transformações lineares. (= ) Suponhamos que T é uma transformação linear. Pretende-se mostrar que T e T são transformações lineares. Se T é uma transformação linear teremos: T (αu + βv) =αt (u)+βt (v), u,v R 3, α,β R Desenvolvendo ambas os termos das igualdades teremos: T (αu + βv) = (T (αu + βv),t (αu + βv)) αt (u)+βt (v) = α (T (u),t (u)) + β (T (v),t (v)) Teremos assim: (T (αu + βv),t (αu + βv)) = α (T (u),t (u)) + β (T (v),t (v)) = (αt (u), αt (u)) + (βt (v), βt (v)) = (αt (u)+βt (v), αt (u)+βt (v)) O que implica que: (T (αu + βv),t (αu + βv)) = (αt (u)+βt (v), αt (u)+βt (v)) ½ T (αu + βv) =αt (u)+βt (v) T (αu + βv) =αt (u)+βt (v) Mas então T e T são transformações lineares. 6

17 Transformações Lineares ( =) Suponhamos que T e T são transformações lineares. Pretende-se mostrar que T é uma transformação linear. Se T e T são transformações lineares teremos: T (αu + βv) =αt (u)+βt (v), u,v R 3, α,β R e T (αu + βv) =αt (u)+βt (v), u,v R 3, α,β R Pretende-se mostrar que T (αu + βv) =αt (u)+βt (v), u,v R 3, α,β R : T (αu + βv) = (T (αu + βv),t (αu + βv)) = (αt (u)+βt (v), αt (u)+βt (v)) = (αt (u), αt (u)) + (βt (v), βt (v)) = α (T (u),t (u)) + β (T (v),t (v)) = αt (u)+βt (v) Logo, T é uma transformação linear. Exercício Seja P o espaço vectorial dos polinómios de coeficientes reais de grau menor ou igual a. Considere a transformação linear T, dep em si mesmo, definida por T [p (x)] = p (x +) p (x), p(x) P. a) Indique, justificando, uma base para a imagem de T. b) Determine o núcleo da transformação linear T, a sua dimensão e uma base. a) Comecemos por determinar a matriz da transformação T considerando a base canónica para P, e = x,e = x, e 3 = ª : T (e )=T x =(x +) x =x += e + e + e 3 T (e )=T (x) =(x +) x == e + e + e 3 T (e 3 )=T () = == e + e + e 3 A matriz da transformação, A, será uma matriz do tipo 3 3 cujas colunas são as coordenadas de T (e i ) na base {f i }: A = 7

18 Transformações Lineares Ésimplesverificar que um vector genérico de Im (T ) teráaformaav, isto é, será combinação linear das colunas de A. A primeira e segunda colunas de A são linearmente independentes enquanto a terceira é o vector nulo. Tal significa que Im (T ) terá como base, por exemplo,.. b) O núcleo da transformação é dado pelo conjunto: Nuc(T )={v P : T (v) =} Determinaronúcleoconsisteemresolver o sistema de equações Av = nas variáveis v. Construamos a matriz ampliada do sistema e resolvamos por condensação: L L 3 L L +( ) L L L L L +( ) L Dado que r A =< 3 o sistema é possível e indeterminado com grau de indeterminação, e a solução é da forma: v v = v 3 v 3 = v 3,v 3 R Assim, Nuc(T ) tem dimensão (nulidade é ) e base. Exercício Considere o espaço vectorial real M n (R), das matrizes quadradas de ordem n. Seja T uma transformação definida em M n (R): T (A) =A A T, A Mn (R). a) Mostre que T é uma transformação linear. 8

19 Transformações Lineares b) Determine o núcleo de T, asuadimensãoeumabase. c) Considere n =. Determine a matriz que representa a transformação linear T, supondo fixada a base canónica no espaço M (R). a) Temos de verificar se: T (αa + βa )=αt (A )+βt (A ), A,A M n (R), α,β R T (αa + βa ) = αa + βa (αa + βa ) T = αa + βa αa T + βa T = αa + βa αa T βa T = αa αa T + βa βa T = α A A T + β A A T = αt (A )+βt (A ) Logo, T é uma transformação linear. b) O núcleo da transformação é dado pelo conjunto: Vejamos então: Nuc(T )={A M n (R) :T (A) =} T (A) = A A T = A = A T O núcleo é portanto constituído pelas matrizes reais simétricas de ordem n. Para determinar uma base e a dimensão de Nuc(T ) comecemos por estudar o caso n =3. Neste caso, uma matriz do núcleo terá a forma: a b c b d e, a,b,c,d,e,f R c e f 9

20 Transformações Lineares Poderemos escrever esta matriz como a seguinte combinação linear de matrizes: a + b + c + d + e + f, a,b,c,d,e,f R Concluímos assim, que no caso n =3,anulidadeé6eabaseéconstituída pelos vectores:,,,,,,, a,b,c,d,e,f R Poderemos facilmente inferir que, no caso geral, a nulidade será ++ + n = n n+ e a base será constituída pelos matrizes com os seguintes elementos: ½ aij =, i j =,,n a ij = a ji i<j=,,n c) Consideremos então base canónica para M (R): ½ e =,e =,e 3 = Determinemos a matriz da transformação:,e 4 = ¾

21 Transformações Lineares µ T T (e )=T = = = = e + e + e 3 + e µ 4 T T (e )=T = = = = e + e +( ) e 3 + e µ 4 T T (e 3 )=T = = = = e +( ) e + e 3 + e µ 4 T T (e 4 )=T = = = = e + e + e 3 + e 4 A matriz da transformação, A, será uma matriz do tipo 4 4 cujas colunas são as coordenadas de T (e i ) na base {e i }: A = Exercício 3 Seja T uma transformação linear em R 3, onde T (,, ) = (, 3, ), T (,, ) = (5, 3, 4) e T (,, ) = (4, 6, ). Determine T (v) onde v =(9, 4, 9). Comecemos por determinar a matriz da transformação: consideremos a base canónica para R 3, {e =(,, ),e =(,, ),e 3 =(,, )}. T (e )=T (,, ) = (, 3, ) = e +3 e +( ) e 3 T (e )=T (,, ) = (5, 3, 4) = 5 e +3 e +( 4) e 3 T (e 3 )=T (,, ) = (4, 6, ) = 4 e +6 e +( ) e 3 A matriz da transformação, A, será uma matriz do tipo 3 3 cujas colunas são as coordenadas de T (e i ) na base {f i }: A = Como o vector v =(9, 4, 9) se pode escrever como combinação linear da base escolhida do seguinte modo: 9 e +( 4) e +9 e 3, resulta que as coordenadas do vector v na base canónica são 9 4. Conclui-se que as coordenadas 9

22 Transformações Lineares de T (v) na base canónica se podem determinar fazendo o produto Av (v neste contexto refere-se às coordenadas e não ao vector propriamente dito): Av = = Assim, o vector T (v) tem coordenadas 6 69 na base canónica pelo que 83 pode ser escrito como 6 e +69 e +( 83) e 3. Um simples cálculo permite verificar que: T (v) = 6 e +69 e +( 83) e 3 = 6 (,, ) + 69 (,, ) + ( 83) (,, ) = ( 8, ) Exercício 4 Seja T uma transformação em R : T (x, y) =(k x, x + y),k R. a) Prove que T élinear. b) Determine k de modo a que a transformação T admita inversa e, para esses valores, obtenha a transformação inversa T. c) Considere k =.DetermineadimensãoeumabasenonúcleodeT. Exercício 5 Suponha que V e W são espaços vectoriais e U, T : V W transformações lineares. a) O que entende por núcleo de T? b) Mostre que Núc (U + T ) Núc (U) Núc (T ).

23 Transformações Lineares Exercício 6 Seja V um espaço vectorial de dimensão finita com base α = {v,,v m } e W um espaço vectorial de dimensão finita com base β = {w,,w m }. Seja T : V W uma transformação linear. Complete a seguinte definição: A matriz da transformação T, relativa às bases α e β é uma matriz A, dotipo n m, cujos elementos satisfazem as equações... Exercício 7 Seja V um espaço vectorial de dimensão finita com base α = {v,,v m } e W um espaço vectorial de dimensão finita com base β = {w,,w m }. Seja T : V W uma transformação linear. Diga o que entende por matriz da transformação T e indique, sem provar, uma fórmula para as coordenadas da imagem T (x),x V em termos da matriz da transformação T e do vector das coordenadas do vector x. 9 Exercício 8 Seja A = a matriz de uma transformação T : R 6 R numa dada base α = {v,v }.Seja β = {u,u } uma outra base de R tal que u =3v + v e u =v + v. Determine a matriz da transformação T relativamente à base β. Exercício 9 Considere a matriz da transformação linear T dada por: A = a) Qual a nulidade de T? b) DetermineumabaseparaonúcleodeT. c) Qual a dimensão do contradomínio de T? d) Determine uma base para o contradomínio de T. 3

24 Transformações Lineares Exercício Seja P n o espaço vectorial dos polinómios de grau inferior ou igual a n de coeficientes reais, na variável x. Para qualquer p P n,denote-se por p a derivada em ordem a x do polinómio p. a) Seja p P n.mostreque(x p p) P n. b) Qual a dimensão de P n? c) Considere a aplicação T : P n P n, tal que T [p (x)] = x p (x) p (x), p(x) Pn.MostrequeT é uma transformação linear. d) Utilizando o facto de que T (p) =x p x equeq =implica que q é uma constante, determine uma base para o núcleo de T. e) QualadimensãodonúcleodeT. f) Qual a dimensão do contradomínio de T. g) Determine T (), T (x), T x e T x k,onde <k n. h) Seja β =,x,x,x 3,,x n ª uma base P n. Assumindo n =3determine as coordenadas de p (x) =(x ) x 3x + na base β. i) Determine a matriz da tansformação T na base β =,x,x,x 3,,x n ª. j) Quais os valores próprios da transformação T? l) Considere o polinómio p (x) = c + c x + + c n x n. Determine o polinómio q, tal que T (q) =p. 4