INSTITUTO SUPERIOR DE ECONOMIA E GESTÃO- UTL MATEMÁTICA I - GESTÃO

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1 A NOME: INSTITUTO SUPERIOR DE ECONOMIA E GESTÃO- UTL MATEMÁTICA I - GESTÃO PAE - 13 / 02 / 2004 Duração: 2 horas TURMA: Primeira Parte (12 valores) Na primeira parte, cada questão vale um valor e as respostas erradas serão penalizadas. Indique apenas a resposta correcta. 1. Examine a convergência/divergência da série 1 1 n n e indique a resposta correcta: n1 A série é divergente A série converge para e A série converge para e 1 A série converge para e 2. Qual a taxa de juro anual,r, que duplica o montante inicial de uma conta poupança (juros compostos) ao fim de 9 anos: r ln2 r r r 1 ln2 ln9 ln9 c: 3. A função x ln x 2 se x 0 ax 2 bxc se x 0 é contínua para os seguintes valores de a, b e a,b,c c ln2,a,b b ln2,a,c a ln2,b, c 4. O lim x x 1 2 e x é: Seja x x a gx, onde g é uma função diferenciável no seu domínio, a é uma constante não nula, g1 1 e g 1 0. A equação da recta tangente à função x no ponto x 1 é: y axa1 y ax1 y ax1 y ax1a 6. Seja a função y fx definida implicitamente pela equação 1x 3 y x y 3, e f0 1. A aproximação linear a fx em torno de x 0 é: 1 1 x 1 1 x 3x 3x A área compreendida entre o gráfico da função fx x 2 3, o eixo das abcissas e as rectas x 2 e x 0 é: /3 10/3 10/3

2 8. Tendo em conta o domínio da seguinte expressão, o conjunto solução da inequação lnx 2lnx 1 ln2 é: x 2,4 x 2,3 x 2,3 x 1, 3 9. Se a fôr um número inteiro e x um número real qualquer, x a2 é igual a x a2 se x 0 x a2 se x 0 x a2 se x 0 x a2 se x 0 nenhuma x a2 Classifique cada uma das seguintes seis afirmações com V se Verdadeira e com se alsa. 10. Seja f uma função diferenciável de x: V Se f x 0 para todo o x no intervalo I, então f tem inversa em I. f tem inversa em I se e só se f x 0 para todo o x no intervalo I. 11. Considere a série a n de termo geral a n : V n1 se lim n a n 0, a série pode divergir. se a n é uma série geométrica de razão k 1, então a série é convergente. n1 12. Sejam f e g duas funções diferenciáveis de x: f x 0 no intervalo aberto I f estritamente crescente em I. se fx e gx são funções convexas, então afxbgx também é uma função convexa.

3 Segunda Parte (8 valores) Na segunda parte, apresente todos os cálculos que tiver de efectuar. Justifique as respostas. 1. (2,5 valores) Estude a concavidade/convexidade da função fx ax 3 bxc. i. fx é convexa nos intervalos em que f x 0 e é côncava nos intervalos em que f x 0; ii. cálculo de f x : f x 3ax 2 b e f x 6ax; iii. se a 0, então fx bxcéuma função linear logo é côncava e convexa; se a 0, então se x 0 x 0 a 0 f x 0 f x 0 f convexa f côncava a 0 f x 0 f x 0 f côncava f convexa. 2. (3 valores) Suponha que f x 1 x 2 2, para x 0 e que f1 0 e f 1 4. Qual a expressão de fx? i. obter a expressão geral da 1ª derivada de fx: f x 1 x 2 2 dx x2 dx 2 dx x x C 1 x 1 2x C 1 ii. obter a expressão geral de fx: fx x 1 2x C 1 dx 1 x dx 2x dx C 1dx ln x x 2 C 1 x C 2 iii. avaliar em x 1 de e : f1 0 ln C 1.1C 2 0 f C 1 4 1C 1 C 2 0 1C 1 4 C 2 4 C 1 3 iv. A função é fx ln x x 2 3x 4.

4 3. (2,5 valores) Considere a função y x gex de domínio R em que g é uma função diferenciável. Determine a elasticidade de y em ordem a x. i. determinar y, por diferenciação logarítmica: i.1 i.2 y x gex lny lnx gex lny ge x lnx lny ge x lnx y y y y g e x e x lnx ge x 1 x gex lnx ge x lnx ii.determinar El x y x y y y x gex g e x e x lnx ge x 1 x ii.1 El x y x y y x x gex xg e x e x lnx ge x x gex g e x e x lnx ge x 1 x

5 B NOME: INSTITUTO SUPERIOR DE ECONOMIA E GESTÃO- UTL MATEMÁTICA I - GESTÃO PAE - 13 / 02 / 2004 Duração: 2 horas TURMA: Primeira Parte (12 valores) Na primeira parte, cada questão vale um valor e as respostas erradas serão penalizadas. Indique apenas a resposta correcta. 1. Examine a convergência/divergência da série k k k e indique a resposta correcta: A série é divergente A série converge para e A série converge para e 1 A série converge para e 2. O lim x e x x 1 2 é: 1 0 c: 3. A função x ln x 2 se x 0 ax 2 bxc se x 0 é contínua para os seguintes valores de a, b e a ln2,b,c a,b,c b ln2,a,c c ln2,a,b 4. Qual a taxa de juro anual,r, que duplica o montante inicial de uma conta poupança (juros compostos) ao fim de 9 anos: r ln2 ln9 r 1 ln2 ln9 r r Seja x x a gx, onde g é uma função diferenciável no seu domínio, a é uma constante não nula, g1 1 e g 1 0. A equação da recta tangente à função x no ponto x 1 é: y axa1 y ax1a y ax1 y ax1 6. Seja a função y fx definida implicitamente pela equação 1x 3 y x y 3, e f0 1. A aproximação linear a fx em torno de x 0 é: 1 1 x 1 1 x 3x 3x 3 3

6 7. A área compreendida entre o gráfico da função fx x 2 3, o eixo das abcissas e as rectas x 2 e x 0 é: /3 10/3 10/3 8. Tendo em conta o domínio da seguinte expressão, o conjunto solução da inequação lnx 2lnx 1 ln2 é: x 2,4 x 2,3 x 2,3 x 1, 3 9. Se a fôr um número inteiro e x um número real qualquer, x a2 é igual a x a2 se x 0 x a2 se x 0 x a2 se x 0 x a2 se x 0 nenhuma x a2 Classifique cada uma das seguintes seis afirmações com V se Verdadeira e com se alsa. 10. Considere a série a n de termo geral a n : n1 se a n é uma série geométrica de razão k 1, então a série é convergente. n1 V se lim n a n 0, a série pode divergir. 11. Seja f uma função diferenciável de x: V Se f x 0 para todo o x no intervalo I, então f tem inversa em I. f tem inversa em I se e só se f x 0 para todo o x no intervalo I. 12. Sejam f e g duas funções diferenciáveis de x: f x 0 no intervalo aberto I f estritamente crescente em I. se fx e gx são funções convexas, então afxbgx também é uma função convexa.

7 C NOME: INSTITUTO SUPERIOR DE ECONOMIA E GESTÃO- UTL MATEMÁTICA I - GESTÃO PAE - 13 / 02 / 2004 Duração: 2 horas TURMA: Primeira Parte (12 valores) Na primeira parte, cada questão vale um valor e as respostas erradas serão penalizadas. Indique apenas a resposta correcta. 1. Examine a convergência/divergência da série 1 k n n, em que k é uma constante n1 positiva, e indique a resposta correcta: A série converge para e k A série é divergente A série converge para e k A série converge para e k 2. Qual a taxa de juro anual,r, que duplica o montante inicial de uma conta poupança (juros compostos) ao fim de 9 anos: r r 1 ln2 r r ln2 ln9 ln9 c: 3. A função x ln x 2 se x 0 ax 2 bxc se x 0 é contínua para os seguintes valores de a, b e a,b,c b ln2,a,c c ln2,a,b a ln2,b, c 4. O lim x x 1 2 e x é: Seja x x a gx, onde g é uma função diferenciável no seu domínio, a é uma constante não nula, g1 1 e g 1 0. A equação da recta tangente à função x no ponto x 1 é: y axa1 y ax1a y ax1 y ax1 6. Seja a função y fx definida implicitamente pela equação 1x 3 y x y 3, e f0 1. A aproximação linear a fx em torno de x 0 é: 1 1 x 1 1 x 3x 3x Tendo em conta o domínio da seguinte expressão, o conjunto solução da inequação lnx 2lnx 1 ln2 é: x 2,4 x 2,3 x 2,3 x 1, 3

8 8. A área compreendida entre o gráfico da função fx x 2 3, o eixo das abcissas e as rectas x 2 e x 0 é: / /3 10/3 9. Se a fôr um número inteiro e x um número real qualquer, x a2 é igual a x a2 se x 0 x a2 se x 0 x a2 se x 0 x a2 se x 0 nenhuma x a2 Classifique cada uma das seguintes seis afirmações com V se Verdadeira e com se alsa. 10. Sejam f e g duas funções diferenciáveis de x: f x 0 no intervalo aberto I f estritamente crescente em I. se fx e gx são funções convexas, então afxbgx também é uma função convexa. 11. Considere a série a n de termo geral a n : n1 V se lim n a n 0, a série pode divergir. se a n é uma série geométrica de razão k 1, então a série é convergente. n1 12. Seja f uma função diferenciável de x: f tem inversa em I se e só se f x 0 para todo o x no intervalo I. V Se f x 0 para todo o x no intervalo I, então f tem inversa em I.