Soma dos coeficientes do polinômio: 3 x 4 7x 3-4x x + 5. Raízes de um polinômio: Aula 01 POLINÔMIOS E EQUAÇÕES POLINOMIAIS

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1 Aula 01 POLINÔMIOS E EQUAÇÕES POLINOMIAIS do desenvolvimento do polinômio calculando o valor numérico P(1), ou seja, substituímos o x por 1 e resolvemos: Soma dos coeficientes do polinômio: Exemplo 3 Exemplo 1 3 x 4 7x 3-4x + 10x + 5 Soma dos Coeficientes: = 7 Exemplo Raízes de um polinômio: Raiz ou zero de um polinômio é o valor (ou valores) que anula esse polinômio. P(raiz) = 0 São os "k" valores para os quais o polinômio assume o valor ZERO, ou seja, P(k)=0. Soma dos Coeficientes: = 81 E no caso do expoente do binômio ser um valor maior podemos determinar a soma dos coeficientes

2 Exemplo: Raiz Igual A 1 : Exemplos: Pesquisa de raízes racionais:

3 4) Considerando o polinômio 3 P( x) = x + ax + bx + 8, qual das alternativas pode representar o seu conjunto solução a) S = { -4, -, -1 } b) S = { -4, -3, } c) S = { -, -1, 3 } d) S = { -1, -, -5 } e) S = {, 4, 6 } 5) A soma dos coeficientes do polinômio 4 10 P( x) = (5x 7) é igual a Exercícios: 1) O valor de k para que o polinômio 3 P( x) = x kx + 5x 1 seja divisível por x 1 é a) 048 b) 104 c) 104 d) 51 e) 048 a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 ) O polinômio 4 3 P( x) = x + ax + bx + cx + 6 não pode ter como uma de suas raízes a) 1 b) 3 c) d) 3 e) 4 3) Sabendo que o polinômio 4 3 P( x) = x 8x + mx 7x + 5 possui 1 como uma das suas raízes, conclui-se que o valor de m é a) 9 b) 8 c) 7 d) 6 e) 5 Gabarito: 1- D - E 3- A 4- A 5- C

4 Aula 0 Polinômios Dispositivo prático de Briot-ruffini: Termo independente Todo polinômio que apresentar termo independente diferente de zero não terá raízes nulas. Porém se o termo independente for nulo (zero) então podemos dizer que o ZERO é raiz deste polinômio, e sua multiplicidade será igual ao menor valor do expoente da variável "x". Raízes reais e raízes imaginárias Todo polinômio tem um número par de raízes complexas, pois as raízes complexas são aos pares (o número complexo e seu conjugado). Portanto um polinômio de grau ímpar terá no mínimo uma raiz real! Raízes reais: a quantidade de raízes reais tem a mesma qualidade do grau do polinômio:

5 Polinômio com grau ímpar possui quantidade ímpar de raízes reais. Polinômio com grau par possui quantidade par de raízes reais. Ex: O resto da divisão de P (x) = x x 1 por P (x)= x 1 é ZERO, pois fazendo-se x 1 = 0, temos que x = 1 e como a soma dos coeficientes de P(x) resulta zero, 1 também é raiz desse polinômio. Teorema do resto O resto da divisão de um polinômio P(x) por um binômio do tipo (x a) é o valor numérico para P(a) Ou seja, para determinar o resto da divisão de um polinômio por um binômio do primeiro grau devemos substituir o x pela raiz do divisor. (igualar a zero e isolar o x ) Obs: Se este resto for igual a zero, ou seja, P(a) = 0 então dizemos que o polinômio P(x) é DIVISÍVEL pelo binômio (x a), e, portanto "a" é uma raiz do polinômio P(x). Ex1: O resto da divisão de P(x) = x 3 + 5x 4x 3 por x + é 9 x + = 0. (-) (-) 4. (-) 3 x = -.(-8) = 9

6 Exercícios 1) (UFPR PR) O resto da divisão de P(x)= x 4 x 3 + x + 5x +1 por x- é: a) 1 b) 0 c) 0 d) 19 4) (UFMA MA) Sabendo que é raiz da equação algébrica x 3 + 4x 4x 16 = 0, então o produto das outras duas raízes desta equação é: a) b) 8 c) 10 d) -6 e) -4 e) ) (UFRN RN) Seja P (x)= x 3 + 6x x 30. Se P() = 0, então o conjunto solução de P(x) = 0 é: a) {-, -3, -5} b) {, -3, -5} c) {, -, -} d) {, 3, 5} 5) (FAFI MG) O resto da divisão de P(x)= x 5 3x 4 + x 3 x + x 1 por q(x)= x 3 é: a) um múltiplo de 7. b) um número primo. c) um múltiplo de 1. d) um divisor de 100. e) maior que 50. e) {, 6, 30} 3) (PUC SP) Sabe-se que -1 é raiz do polinômio f= x 3 + x x. As demais raízes desse polinômio são os números: a) irracionais. b) não reais. Gabarito 1 - D - B 3 - A 4 - B 5 B c) racionais não inteiros. d) inteiros positivos. e) inteiros e opostos entre si.

7 Aula 03 Funções do º grau Forma geral Onde a, b e c pertencem ao conjunto de números reais e a 0 Estudo dos Coeficientes

8 Exemplo: Podemos afirmar que os coeficientes da função f(x) = ax + bx + c de gráfico: Estudo do Vértice O vértice de uma função de º grau é o ponto de MÁXIMO ou de MÍNIMO da função. Então o vértice V (x v, y v ) é dado por: b x v = a ou x' + x' ' x v =

9 y = f ( ) v 4a x = ou y ax bx c v v = v + v + Forma fatorada da função 1º) Elabora-se a forma f(x) = ( ).( ).( )... O número de fatores é igual ao número de raízes. º) Em cada parêntese coloca-se x acompanhado de uma raiz com o sinal trocado. 3º) Resolve-se o produto entre os parênteses. O termo independente deve coincidir com o corte no eixo vertical. Exemplo: f(x)= (X+).(X-1) f(x)= X X + X f(x)= X + X a) 6,5 m, 5s b) 50 m, 0 s c) 50 m, 5 s d) 50 m, 00 s e) m, 5 s ) (UM SP) O vértice da parábola y = x + bx + 6 está no ponto (, k). O valor de k é: a) 1 b) c) 3 d) 4 e) 5 3) (UFES ES) O vértice da parábola de equação y = x 4x + t será um ponto do eixo das abscissas se o valor de t for igual a: O termo independente - está de acordo com o gráfico? E se não coincidir? Deve-se multiplicar toda a função pelo fator adequado de forma que o termo independente coincida com o corte no eixo y. Exercícios 1) (UFRGS RS) O movimento de um projétil, lançado para cima verticalmente, é descrito pela equação y= - 40x + 00x onde y é a altura, em metros, atingida pelo projétil x segundos após o lançamento. A altura máxima atingida e o tempo que esse projétil permanece no ar correspondem, respectivamente, a: a) b) 1 c) 1 d) e) 3 4) (FAFI MG) O gráfico de uma função f(x) = a + bx + c está representado abaixo. Podemos afirmar que: a) a<0; b<0; e c<0 b) a<0; b<0; e c>0 c) a<0; b>0; e c <0 d) a<0; b>0; e c >0 e) a>0; b<0; e c<0

10 5) (UFPA PA) A parábola de equação y = x 5x 14 é simétrica em relação à reta: a) y = x b) x = - c) x = 7 d) x = 5 e) y = - x Gabarito 1 C B 3 A 4 D 5 D

11 Aula 04 Geometria analítica I DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS: Quando as coordenadas dos pontos apresentam as abscissas (x) iguais ou as ordenadas (y) iguais, realizamos a operação entre os diferentes: Quando as coordenadas dos pontos apresentam as abscissas (x) e ordenadas (y) diferentes, realizamos a operação entre eles: d AB = 7- d CD = Ponto Médio d AB = 8+3 d CD = 1-5

12 Como o determinante resultou zero, significa que os pontos A, B e C estão alinhados. A, B e C são colineares. A, B e C pertencem à mesma reta. *Quando três pontos não estão alinhados formam um triângulo. CONDIÇÃO DE ALINHAMENTO DE TRÊS PONTOS: Área de um triângulo dados os seus vértices: dados três pontos A (X A ;Y A ), B (X B ;Y B ) e C (X C ;Y C ) não colineares, podemos encontrar a área do triângulo com vértices nos pontos A, B e C. Para que três pontos quaisquer A (X A ;Y A ), B (X B ;Y B ) e C (X C ;Y C ) sejam colineares o determinante correspondente a esses pontos deve ser nulo: Exemplo: Verifique se os pontos A (-1, 3), B(-4, -3) e C(, 9) são colineares det 7 7 det 0 Exemplo:

13 Calcule a área do triângulo com vértices em A(3, ), B(3, 8) e C(11, ) det det 48 Exercícios: det A A 4 (OSEC SP) Considere o triângulo ABC, onde A(-1, 1), B(5, 0) e C(1, ). Então, o comprimento da mediana relativa ao vértice A é: a) 1 b) c) 3 d) 4 e) 5 a) m = b) m = 1 c) n = 3 d) m = 3 e) n = (UFRGS RS) Se um ponto P do eixo das abcissas é equidistante dos pontos A(1, 4) e B(-6, 3), a abcissa de P vale: a) b) 1 c) 0 d) 1 e) 3 (FEI SP) Os vértices de um triângulo são A(5, -3), B(x, ) e C(-1, 3), e sua área mede 1 cm. O valor de x pode ser: a) 0 b) 1 c) d) 4 e) 8 (UM SP) Sejam os pontos A(, 3), B(3, 4), C(4, 6), D(, 4), E(3, 8) e F(k, 1). Se os triângulos ABC e DEF têm a mesma área, então um dos valores de k é: a) 0 b) 1 c) d) 3 e) 4 Gabarito: 1 D B 3 A 4 A 5 D (FEI SP) Os pontos X, Y e Z possuem as seguintes coordenadas no plano cartesiano: (0, 0), (m, 8), (n, m + 3). Se Z é o ponto médio do segmento XY, então:

14 Aula 05 GEOMETRIA ANALÍTICA II

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16 Exercícios 1.( UEPI) A equação da reta perpendicular à reta y = x + 1 e que passa pela intersecção das retas x 3y 1 = 0 e 3x y = 0 é: a) x + y + 7 = 0 b) 5x 5y + 1 = 0 c) 7x 7y 4 = 0 d) 7x + 7y 6 = 0 e) x + y 5 = 0 5. (F. M. Itajubá-MG) As equações das retas que passam pelo ponto (1, 1) e são uma paralela e outra perpendicular à reta x + y 3 = 0, são respectivamente: a) y x 1 = 0 e y + x 3 = 0 b) y + x 1 = 0 e y x + 3 = 0 c) y x + 1 = 0 e y + x 3 = 0 d) y + x + 1 = 0 e y x + 3 = 0 e) Nenhuma das respostas anteriores.. (UESC-BA) Considerando-se duas retas, r e s, e um plano a do espaço, pode-se afirmar: a) Se r e s não possuem pontos em comum, então são paralelas. b) Se r e s são ambas paralelas a a, então são paralelas entre si. c) Se r e s são ambas perpendiculares a a, então são paralelas entre si. d) Se r é paralela a a e s está contida em a, então r é paralela a s. e) Se r é perpendicular a a e s está contida em a, então r é perpendicular a s. 3. (PUC-RJ) O valor de x para que os pontos (1, 3), (, 4) e (x, 0) do plano sejam colineares é: a) 8 b) 9 c) 11 d) 10 e) 5 4. (Unifor-CE) Os gráficos das retas de equações 3x + y 3 = 0, 5x + y 7 = 0, x = e y = 3 a) não se interceptam. b) interceptam-se em mais de três pontos. c) interceptam-se em apenas três pontos. d) interceptam-se em apenas dois pontos. e) interceptam-se em um único ponto. Gabarito 1 C C 3 D 4 E 5 B

17 Aula 06 Arranjos simples ou Combinações Simples

18 Ver resolução no vídeo Ver resolução no vídeo Exercícios (MACK) Cada um dos círculos da figura ao lado deverá ser pintado com uma única cor, escolhida dentre quatro disponíveis. Sabendo-se que dois círculos consecutivos nunca serão pintados com a mesma cor, então o número de formas de se pintar os círculos é: Ver resolução no vídeo a) 100 b) 40 c) 79 d) 916 e) 5040

19 0. Do cardápio de uma festa constavam dez diferentes tipos de salgadinhos dos quais só quatro seriam servidos quentes. O garçom encarregado de arrumar a travessa e servi-la foi instruído para que a mesma contivesse sempre só diferentes tipos de salgadinhos frios, e só diferentes dos quentes. De quantos modos diferentes, teve o garçom a liberdade de selecionar os salgadinhos para compor a travessa, respeitando as instruções? a) 90 b) 1 c) 40 d) 38 e) 80 no segundo, as equipes enfrentarão os times do outro grupo. Ao término da fase de classificação, os dois primeiros colocados de cada grupo avançarão para a fase final, que será disputada em turno único, num só grupo, com cada classificado jogando contra todos os outros times. O time que obtiver a primeira colocação na fase final será declarado campeão do torneio. De acordo com este regulamento, o total de jogos realizados durante o torneio é igual a: a) 10 b) 66 c) 77 d) 7 e) (PUC-RIO 008) O número total de maneiras de escolher 5 dos números 1,, 3,, 5 sem repetição é: a) entre 1 e milhões. b) entre e 3 milhões. c) entre 3 e 4 milhões. d) menos de 1 milhão. e) mais de 10 milhões. 04. (UDESC 010) Doze equipes participarão de um torneio internacional de vôlei; os participantes foram divididos em dois grupos de seis equipes cada. A fase classificatória deste torneio prevê a realização de dois turnos. No primeiro turno, cada equipe jogará contra os adversários do seu próprio grupo e, Exercícios 1-D A 3 B 4 D

20 Aula 07 Solução de um sistema de equações lineares: EQUAÇÃO LINEAR: De um modo geral, denomina-se equação linear toda equação que pode ser escrita na forma: O conjunto-solução do sistema é formado pelos respectivos valores das variáveis que satisfazem as igualdades. ax 1 1+ ax + ax 3 3+ a4x ax n n = b na qual: x 1, x, x 3, x 4,...x n são as incógnitas a 1,a, a 3, a 4,...a n são números reais chamadas coeficientes das incógnitas b é o termo independente > os expoentes das variáveis são iguais a 1. > as incógnitas x 1, x, x 3, geralmente aparecem como x, y e z SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARES: Denomina-se sistema linear m x n o conjunto S de m equações lineares em n incógnitas, que pode ser representado desta forma: ì a11x1 + a1x + a13x3 + a14x a1nxn = b1 a1x1 + ax + a3x3 + a4x anxn = b S = ï í ïïïï... ïî a x + a x + a x + a x a x = b m1 1 m m3 3 m4 4 mn n m > as equações que formam o sistema estão associadas pelos valores das variáveis que são os mesmos em cada uma delas.

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22 Exercícios 1) O sistema linear abaixo é a) sistema possível e determinado b) sistema possível e indeterminado c) sistema impossível d) sistema homogêneo e) sistema natural ) Quanto ao conjunto solução, o sistema linear abaixo pode ser classificado como a) 0 b) 1 c) d) 3 e) 4 5) O valor de m para que o sistema abaixo admita infinitas soluções é a) 1 d) b) - 1 e) - 1 c) a) sistema possível e determinado b) sistema possível e indeterminado c) sistema impossível d) sistema homogêneo e) sistema natural 3) Para que o sistema abaixo seja possível e determinado é necessário que a) a ¹ - b b d) a ¹ 5 5 b) a =- b 5b e) a =- 5 c) a ¹ - 5b 4) O valor de m para que o sistema abaixo seja indeterminado é: Gabarito 1 A B 3 A 4 E 5 E

23 Aula 08 NÚMEROS COMPLEXOS PARTÍCULA IMAGINÁRIA i : Observe a resolução da equação do segundo grau abaixo através da fórmula de Bháskara: > Quando o expoente do i for maior do que 4, podemos dividir esse expoente por 4 e tomar o resto como expoente correspondente e dessa forma consultar a lista: i 0 =1 i 1 =i i = -1 i 3 = -i Como o discriminante (D= b ac) esulta um valor negativo o que impossibilita um conjunto solução no universo dos números reais. Dessa forma ocorre uma ampliação desse conjunto com a inclusão das raízes de números negativos com índice par originando o conjunto dos números complexos. Exemplo 5i 63 9i 874 3i 536 i = 1 5i - 9i - 3i ( - i) - 9.( - 1) i i

24 > A soma de quatro potências consecutivas de i resulta zero. Exercício Resolução: Resolução: Desde i 17 até i 30 temos 14 termos. Cada grupo de 4 a soma resulta zero, então sobram dois termos (podemos considerar os dois últimos ou os dois primeiros): maginário puro : parte real = 0 a + b =??? Z = (a+ b- i)(1- i) Z= a- ai+ b- bi- i+ i Z= a+ b- 1- ai- bi- i parte real = 0 : a+ b- 1= 0 a+ b= 1 (e) Considerando a soma dos dois últimos: i + i = i + i = i- 1 (d) FORMA ALGÉBRICA: a = parte real bi = parte imaginária b = coeficiente da parte imaginária Resolução: número real : parte imaginária = 0 x =??? ( )( ) Z = x 3i 3 + xi Z= 3x+ x i- 9i- 3xi = Z 3x x i 9i 3x = + - Z 6x (x 9)i - = x 9 0 = x 9 x=± 9 x=± 3 (b)

25 a) i d) 3 + i b) i e) 1-3i 1 3 c) + i 3) Seja z = 1+i, onde i é a unidade imaginária. Podemos afirmar que z 8 é igual a: a) 16 b) 161 c) 3 d) 3i e) 3+16i 4) Dado o número complexo z = 5i + 5, o número complexo conjugado de z é: Exercícios 1) Qual o valor de i 14, onde i= - 1 a) -i b) i c) - 1 d) 1 e) 14 i a) 5i 5 b) + 5i 5 c) 5i + 5 d) + 5i + 5 e) 5i 5) Qual o valor de m para que o produto ( + mi).(3 + i) seja um número imaginário puro? a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 10 ) O ponto P, representado na figura é a imagem do complexo Gabarito 1-C -E 3-A 4-D 5-B

26 Aula 09 o o sen0 cos 70 cos35 sen1 o o cos55 cos89 o o Também notamos que as tangentes dos ângulos complementares ( e ) são invertidas: tan 1 1 tan tan tan tan30 tan80 o o 1 tan60 1 tan10 o o A soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é igual a 180. Como no triângulo retângulo um dos ângulos mede 90, temos que a soma dos outros dois resulta 90 : ( e são complementares) Observa-se no quadro acima que o e que, então podemos dizer que o seno de um ângulo é igual ao cosseno de seu complementar e vice-versa. Exemplos:

27 Resolução: a) b) x catadj tan gente 36 cat oposto tan30 o c.o. c.a x x x x 36 3 m 3 y hipotenusa seno 36 cat oposto sen30 o 1 36 y y.36 y 7 m c.o. hip. x catadj 90 hipotenusa cos 60 o c.a. hip. o cosseno 1 x x x 45 y catoposto seno 90 hipotenusa sen 60 3 y y y 45 3 c.o. hip.

28 1) Se um cateto e a hipotenusa de um triângulo retângulo medem a e 3a, respectivamente, então, a tangente do ângulo oposto ao menor lado é x hipotenusa cosseno 18 cat.adjac. cos 30 o c.a. hip x x x x x 1 3 m 10 a) d) 10 b) e) 4 1 c) ) Na figura, são dados: α, β e NQ = a. Assim, a medida de MN pode ser obtida por x hipotenusa seno 18 cat.oposto. sen 60 o c.o. hip x x x x x 1 3 m a) a. senα.senb senα.senb d) a b) a. cosα.sen b senα.cosb e) a c) a. senα.cosb 3) Com os dados da figura que segue, 1 (tgθ. tg a ) - é igual a Exercícios

29 a) 10 b) 9 c) 8 d) 7 e) 6 4) O retângulo tem lados adjacentes medindo 6 e 9,5 e o paralelogramo tem área 9. O cosseno de a é a) 0,85 b) 0,8 c) 0,75 d) 0,6 e) 0,15 5) No triângulo retângulo da figura, BC = 10 cm e cos (a) = 0,8. O valor de AB é a) 8 b) 6 c) 5 d) 4 e) Gabarito 1 B C 3 E 4 B 5 B

30 Aula 10 a)log 4 = x x = 4 = x x = b)log 7 = x 3 = x = 3 x 3 x = 3 c)log 15 = x 5 = x = 5 x 3 x = 3 > Quando um logaritmo não tem sua base expressa, temos que essa base é 10 e esse logaritmo é chamado de logaritmo decimal. d)log 104 = x 4 x = ( ) x 10 = = x 10 x = 10 x = 5 1 e)log = x 8 x 1 = 8 x 1 = 3 = x =-3 x - 3 > Não existe logaritmo de zero e também de número negativo. (só existe logaritmo de número positivo) > Não existe logaritmo com base zero, com base negativa e também não existe logaritmo de 1.

31 Conferir resolução na vídeoaula Devemos mudar a base do logaritmo basicamente em duas situações: > quando os dados fornecidos pela questão e o logaritmo procurado apresentam bases diferentes. > quando a questão apresenta dois logaritmos com bases diferentes na mesma expressão ou equação. > Para realizar a mudança de base utilizamos a expressão: log 4 log.log x log 3 4 = = = = log 3 log 3 log 3 y Exercícios 01) Se logx 8 a) 3 d) 1 b) e) 4 c) 1 3 =, então log 4 x é igual a

32 0) O logaritmo decimal de 10 é igual a a) b) 1 c) 1 1 d) - e) (Dados: log = 0,30 e log 3 = 0,48) a) 1998 b) 1999 c) 000 d) 001 e) 00 03) O valor de log (17,) - log (1,7) é a) 1 b) 0 c) 1 d) log (17, - 1,7) e) log (17,) log (1,7) 04) Se log = m, então log5 = m vale a) m 1 b) 1 m c) m 1- m d) 1 - m m e) 5m 05) Em 1996, uma indústria iniciou a fabricação de 6000 unidades de certo produto e, desde então, sua produção tem crescido à taxa de 0% ao ano. Nessas condições, em que ano a produção foi igual ao triplo da de 1996? Gabarito 1 C C 3 C 4 C 5 E

33 Aula 11 a = a + 9r 10 1 a = a = a = 5600m S = S = S = 5 x 4 8 S = (a + a ) x

34 (a1+ a n).n Sn = (1+ 100).100 S100 = S = S = PA(x - r, x, x + r) x- r+ x+ x+ r = 180 3x = 180 x= o o 60 (ângulo médio) o 5 = = = = = Exercícios 1) Em uma progressão aritmética, em que o primeiro termo é 3 e a razão é 6, a posição ocupada pelo elemento 13 é a) 8ª b) 7ª c) 6ª (x + 5) + (4x + 1) 5x- 7 = (5x - 7) = x x x - 14 = 5x x - 5x = x = 0 x= 4 d) 5ª e) 4ª

35 ) Uma esfera rola num plano inclinado percorrendo 5m no primeiro minuto, 1m no segundo, 19m no terceiro e assim por diante. Após 18 minutos, a distância percorrida, em metros, será igual a c) 00 d) 165 e) 150 a) 14 b) 07 c) 1161 d) 3 e) 3 3) Com o objetivo de realizar uma excursão, cada aluno de uma turma de 30 alunos, concordou em economizar R$ 10,00 na primeira semana e, em cada semana seguinte, R$,00 a mais que na anterior. No final de 15 semanas a turma economizou 5) Um móvel percorre 30 km na primeira hora, 6 km na segunda hora e assim por diante em progressão aritmética. Para percorrer 10 km gastará a) 5h b) 6h c) 7h d) 8h e) 10h a) R$ ,00 b) R$ ,00 c) R$ 7.500,00 d) R$ 6.300,00 e) R$ 4.500,00 4) A produção de certa indústria nos meses de janeiro, fevereiro e março foi respectivamente de 50, 65 e 80 unidades. Mantendo-se a produção nesta progressão, o número de unidades produzidas em dezembro do mesmo ano é de a) 45 Gabarito 1 B C 3 B 4 D 5 E b) 15

36 Aula 1 GEOMETRIA ESPACIAL Muitas questões de geometria espacial exploram a inscrição de figuras com uma tendência de buscar a relação entre os seus respectivos volumes. Os volumes, tanto da figura circunscrita como a inscrita, podem ser calculados através das fórmulas usuais, mas em várias situações a aplicação das relações volumétricas, torna essa determinação mais rápida e bem menos trabalhosa. Resolução na videoaula Resolução na videoaula

37 Resolução na vídeoaula Resolução na videoaula Exercícios 01. O volume de uma esfera inscrita em um cubo é igual a 97. O valor que mais se aproxima do volume desse cubo é a) 43 b) 486 c) 97

38 d) 115 e) A figura abaixo representa um cilindro circunscrito a uma esfera. Se V1 é o volume da esfera e V é o volume do cilindro, então a razão V é V - V 1 a) 1 3 b) 1 c) 1 d) e) (UERJ) Para revestir externamente chapéus em forma de cones com 1 cm de altura e diâmetro da base medindo 10 cm, serão utilizados cortes retangulares de tecido, cujas dimensões são 67 cm por 50 cm. Admita que todo o tecido de cada corte poderá ser aproveitado.o número mínimo dos referidos cortes necessários para forrar 50 chapéus é igual a: a) 3 b) 4 c) 5 d) (UNIRIO) Uma pirâmide está inscrita num cubo, como mostra a figura anterior. Sabendo-se que o volume da pirâmide é de 6 m3, então, o volume do cubo, em m3, é igual a: 03. (Ita) O raio da base de um cone circular reto é igual à média aritmética da altura e a geratriz do cone. Sabendo-se que o volume do cone é 18π m3, temos que o raio da base e a altura do cone medem, respectivamente, em metros: a) 9 e 8 b) 8 e 6 c) 8 e 7 a) 9 b) 1 c) 15 d) 18 e) 1 d) 9 e 6 e) 10 e 8 Gabarito 1 E E 3 B 4 B 5 D