TÓPICOS DE MATEMÁTICA APLICADA

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE TÓPICOS DE MATEMÁTICA APLICADA Carla do Nascimento Lopes Maria Emilia Neves Cardoso

2 Capítulo : Noções Iniciais O objetivo desse capítulo é fornecer uma revisão de alguns tópicos necessários à boa compreensão deste teto. Iniciaremos com uma breve revisão de Álgebra, apresentando eemplos resolvidos e eercícios de fiação. Em seguida, estudaremos um pouco de coeficiente angular e equações de retas e as ideias básicas de funções, incluindo um resumo de funções eponenciais e de funções logarítmicas.. Álgebra básica.. Produtos Notáveis Quadrado da soma de dois termos: (a + b) a + ab + b Quadrado da diferença de dois termos: (a b) a ab + b Produto da soma pela diferença de dois termos: (a + b)(a b) a b Cubo da soma de dois termos: (a + b) a + a b + ab + b Cubo da diferença de dois termos: (a b) a a b + ab b.. Fatoração de epressões algébricas Fatorar uma epressão algébrica significa escrevê-la na forma de um produto de dois ou mais termos (fatores). A fatoração se baseia na lei da distributividade da multiplicação e pode ser usada para simplificar epressões algébricas e para resolver algumas equações. Seguem alguns dos métodos de fatoração: Colocação de fator comum em evidência Eemplos: ) Fatore Solução: Como os dois termos dessa epressão são divisíveis por, podemos usar a lei da distributividade para colocar em evidência e escrever: ( + ) ) Fatore a epressão 0( 5) ( + ) + 8( + ) 5 ( 5) Solução: Os dois termos são divisíveis por ( 5) ( + ) Colocando esse fator em evidência temos: 0( 5) ( + ) + 8( + ) 5 ( 5) ( 5) ( + ) [5( 5) + ( + )] Efetuamos os produtos nos termos entre colchetes e reduzimos os termos semelhantes para chegar ao resultado final: ( 5) ( + ) (9 ) Agrupamento de fatores comuns Eemplo: a b + a b (a b) + (a b) (a b)( + )

3 Diferença de dois quadrados: a b (a + b)(a b) Eemplo: 5y ( + 5y)( 5y) Soma de dois cubos: a + b (a + b)(a ab + b ) Eemplo: ( + )( + ) Diferença de dois cubos: a b (a b)(a + ab + b ) Eemplo: 8 ( )( + + ).. Resolução de equações do º grau pela fórmula de Báskara Encontramos as soluções (raízes) de uma equação do º grau da forma a + b + c 0, com a 0 usando uma epressão conhecida como fórmula de Báskara: b b a ac O número b ac é chamado de discriminante da equação. Quando > 0, a equação possui duas raízes reais; quando 0, a equação possui uma raiz real (ou duas raízes reais iguais); quando < 0, a equação não possui raízes reais. Eemplos: ) Solução: Temos que a, b 5 e c 6. Aplicando a fórmula de Báskara obtemos: ( 5) 5 5 ou ) + 0 Solução: Temos que a, b e c. Aplicando a fórmula de Báskara obtemos: ( ) ) Solução: Temos que a, b e c. Aplicando a fórmula de Báskara obtemos: 8 Então não eistem raízes reais

4 Observação: Quando a equação a + b + c 0, com a 0 possui raízes reais podemos escrever o trinômio a + b + c na forma fatorada da seguinte maneira: a + b + c a( )( ) onde e são as raízes da equação Eemplos: Escreva os trinômios 7 + e 0 na forma fatorada. Solução: Resolvendo a equação encontramos as raízes e Então 7 + ( )( ) Resolvendo a equação 0 0 encontramos as raízes e 5 Então Simplificação de epressões algébricas por fatoração e cancelamento Podemos combinar a fatoração e o cancelamento para simplificar frações algébricas obtendo uma fração mais simples que seja equivalente à fração dada. 6a b a Eemplos: ) ab b ) a a b ab b (a b)(a b) (a b)(a b) a b a b ) 0y 0 5y 0y y 5( y) y. Coeficiente angular e equações de retas As linhas retas num plano têm equações muito simples, relativamente a um sistema de coordenadas cartesianas. Estas equações podem ser deduzidas utilizando-se o conceito de coeficiente angular. Definição: Sejam (, y ) e (, y ) pontos distintos de uma reta r. Se então o y y coeficiente angular (ou inclinação) m de r é dado por m

5 Eemplo : Ache o coeficiente angular da reta que passa pelos pontos (, 5) e (, ). Solução: m 5 6 ( ) 5 Eemplo : Determine o coeficiente angular da reta que passa pelos pontos (7, ) e (, ). 0 Solução: m 0 7 Observação: O valor de m calculado pela definição anterior é independente da escolha dos dois pontos em r. Seja (, y ) um ponto dado de uma reta de coeficiente angular m. Então, para qualquer outro ponto (, y) da reta com temos que y y m Daí, multiplicando ambos os membros por ( ) obtemos a equação da reta na forma ponto-coeficiente angular. y y m( ) () Se o ponto conhecido é aquele em que a reta corta o eio y, e é denotado por (0, b), então a equação () torna-se y m + b () Neste caso, b é chamado de interseção y da reta ou coeficiente linear e () é a equação da reta na forma coeficiente angular-interseção (ou equação reduzida da reta). Eemplo : Escreva a equação da reta que: a) passa pelos pontos (, ) e (5, 8). b) passa por (, ) e tem coeficiente angular. c) tem coeficiente angular e coeficiente linear 5. Solução: 8 ( ) a) m 0 5 Então por () a equação da reta é y 8 0( 5) ou y 0 b) Por (), y ( ) ( ) y y + 5 c) Por (), y 5

6 Observações: O coeficiente angular de uma reta vertical não é definido, por isso as fórmulas () e () não são apropriadas para se obter sua equação. Mas como as primeiras coordenadas de todos os pontos de uma reta vertical são iguais, uma reta vertical que passa pelo ponto (, y ) tem equação. Duas retas não verticais são paralelas se e somente se seus coeficientes angulares são iguais, isto é, r // s m r m s Duas retas não verticais são perpendiculares se e somente se o coeficiente angular de uma é igual ao simétrico do inverso do coeficiente angular da outra, ou seja, r s m r m s O coeficiente angular de uma reta é uma constante. O número y y é a variação na coordenada y e é a variação na coordenada. Dessa forma, o coeficiente angular de uma reta fornece a razão entre a variação de y e a variação de, ou ainda, a taa de variação de y em relação à.. Função Intuitivamente, a palavra função está associada à ideia de dependência. Quando dizemos que o preço cobrado para enviar um pacote pelo correio é função do peso do pacote, que a área de um quadrado é função de seu lado, ou que a amplitude de impulsos elétricos gerados no músculo cardíaco (cuja representação gráfica é o eletrocardiograma) é função do tempo, o que pretendemos dizer é, que o preço cobrado para enviar um pacote pelo correio depende do peso do pacote, que a área de um quadrado depende de seu lado e amplitude de impulsos elétricos gerados no músculo cardíaco depende do tempo. Em termos gerais, uma função consiste em dois conjuntos e uma regra que associa a cada elemento de um dos conjuntos um único elemento do outro. Para estabelecer, por eemplo, o efeito do peso para enviar um pacote pelo correio é preciso conhecer o conjunto de pesos possíveis, o conjunto de preços admissíveis, e uma regra para associar cada peso a um determinado preço. A definição que vamos adotar é a seguinte: Definição: Uma função de um conjunto A em um conjunto B é uma relação que associa a cada elemento de A um único elemento y de B. Sejam os conjuntos A {,, } e B {,,,, 5, 6} e seja a relação de A em B que a cada elemento de A associa y em B. Assim, está associado a y está associado a y está associado a y 6 Esta relação é uma função de A em B, pois cada elemento de A está associado a um único elemento de B. As letras f, g e h serão usadas para representar funções, embora seja comum, em situações práticas, usar letras que lembrem as grandezas envolvidas. 5

7 O conjunto A é chamado de domínio da função e o conjunto B de contradomínio. Quando o domínio e o contradomínio de uma função f são subconjuntos de números reais dizemos que f é uma função real de uma variável real. Com eceção do capítulo, as funções estudadas neste teto serão sempre reais de uma variável real. A letra que representa um número arbitrário do domínio de uma função f é chamada de variável independente; a letra y cujo valor depende do valor atribuído a é chamada de variável dependente. O valor y que uma função f associa a um número pertencente ao domínio é chamado de imagem de por f e denotado por f(). Assim, por eemplo, quando escrevemos que f() estamos indicando que é o número que a função f associa ao número ou que é a imagem de por f. O conjunto imagem de f é o conjunto de todos os valores possíveis de f() obtidos quando varia por todo o domínio. Funções também podem ser representadas por tabelas e descrições por palavras. Outras se representam naturalmente com gráficos, como o eletrocardiograma (EKG). Embora seja possível construir uma fórmula para representar aproimadamente uma função EKG, isto raramente é feito. O que o médico precisa é o esquema de repetições, e é muito mais fácil vê-lo num gráfico do que em uma fórmula. Para representar geometricamente uma função real em um gráfico, costumamos usar um sistema de coordenadas no qual as unidades da variável independente são marcadas no eio horizontal e as unidades da variável dependente y são marcadas no eio vertical. O gráfico de uma função f é o conjunto de todos os pontos (, y) tais que pertence ao domínio de f e y f(). Embora uma função real f possa ser descrita de várias formas, é comum que seja definida enunciando apenas a regra para achar f(). Nesse caso, fica subentendido que o domínio de f é o conjunto de todos os números reais que tornam possíveis as operações indicadas na regra. Eemplos: ) Seja f(). Determine o domínio de e calcule f( ), f() e f(0). Solução: O domínio de f é lr {} f( ) ; f() e f(0) 0 O gráfico de f está esboçado ao lado. ) Thomas Young sugeriu a seguinte regra para calcular a dosagem de medicamento para crianças com idades de a anos: se a denota a dose adulta (em miligramas) e t é a idade da criança (em anos) então a dosagem para a criança é dada por at D(t) t Se a dose para adultos de uma substância é de 500mg, qual deve ser a dose para uma criança de anos? Solução: Devemos substituir na função dada a por 500 e t por. 6

8 Assim D() 5 6 Portanto, a dose para uma criança de anos é 5mg Observações: ) f é uma função polinomial de grau n, se: f() a n n + a n n + + a + a 0 onde os coeficientes a n, a n,, a, a 0 são números reais com a n 0 e n é um número inteiro não negativo. Eemplos: a) f() 7 é uma função polinomial de grau 0. b) f() 8 + é uma função polinomial de grau. d) f() é uma função polinomial de grau 5. ) Uma função racional é um quociente entre duas funções polinomiais. ) Função algébrica é aquela que pode ser epressa como soma, diferença, produto, quociente ou potência racional de polinômios. As funções que não são algébricas são chamadas de transcendentes. As funções eponenciais, logarítmicas e trigonométricas são eemplos de funções transcendentes. dadas. Nos eemplos a seguir, determine os domínios e calcule os valores indicados das funções Eemplo : f() + a) f( ) b) f(0) c) f( ) d) f Eemplo : f() a) f(7) b) f( ) c) f d) f e) f( ) Eemplo : f() a) f(0) b) f( ) c) f() d) f(5) Eemplo : f() a) f() b) f() c) f() d) f(6) 7

9 Eemplo 5: f() a) f() b) f() c) f(0) d) f(0) As funções nos eemplos 6 e 7 a seguir são definidas por regras distintas em diferentes partes de seus domínios. Tais funções são definidas por mais de uma sentença ou definidas por partes. Determine o domínio e os valores especificados de cada uma delas: Eemplo 6: f() se se a) f(0) b) f() c) f d) f() Eemplo 7: f() 5 se se se 0 0 a) f( 5) b) f(0) c) f() d) f e) f Respostas: ) Dom(f) IR a) 5 b) c) 6 7 d) ) Dom(f) IR * a) 7 b) c) d) e) ) Dom(f) IR {, } a) 0 b) c) 5 d) ) Dom(f) [, ) a) 0 b) c) d) 5) Dom(f) IR a) b) 0 c) d) 6) Dom (f) IR a) b) 5 c)0 d) 65 7) Dom (f) IR a) b) 5 c) 5 d) 5 e). Função Eponencial e Função Logarítmica Definição: Seja b IR * função eponencial de base b.. A função de IR em * IR tal que f() b é chamada de Eemplos: 8

10 ) Seja f(). Temos que f() 8; f(0) 0 ; f( ) - ; f / 8 ) Seja f() Temos que f() ; f( ) 8; f(0) ; f 6 Observação: Na definição anterior, b IR * pois: a) Seja f() ( ). Então, por eemplo, f(/) ( ) ½ IR b) Seja f() 0. Então, por eemplo, f( ) 0 0 IR c) Seja f(). Então f() para todo número real, isto é, f() é uma função constante. De modo geral, o gráfico de y b é representado por uma curva que está toda acima do eio, corta o eio y no ponto (0,) e tem concavidade voltada para cima em IR. Além disso, y b é crescente em IR para b > e é decrescente em IR para 0 < b <. As funções eponenciais obedecem às seguintes propriedades: Sejam a, b IR * e e y números reais. a) b b y y b) b.b y b + y c) (b ) y b y d) (a.b) a.b b e) y b b y f) a b a b Definição: Sejam a, b IR * com b. Chamamos de logaritmo do número a na base b ao epoente que devemos colocar na base b para obter o número a e indicamos por log b a. Assim, log b a b a 9

11 Eemplos: ) log 8 pois 8 ) log 8 pois 8 ) log 5 porque As bases mais usadas na prática são a base 0 e a base e (onde e representa o número irracional cujo valor é aproimadamente,78). Os logaritmos de base 0 são chamados de logaritmos decimais e denotados sem indicar o valor da base, isto é, log a log 0 a. Os logaritmos de base e são chamados de logaritmos neperianos (ou naturais) e denotados por ln isto é, ln a log e a. Propriedades dos logaritmos: Sejam b IR * e sejam a, c * IR ) log b a log b c a c ) log b b ) log b 0 ) log b (a.c) log b a + log b c 5) log b a c a c. log b a 6) log b c log b a log b c Definição: Seja b IR * função logarítmica de base b.. A função de A figura a seguir mostra os gráficos de duas funções logarítmicas: * IR em IR tal que f() log b é chamada de Gráfico de y log Gráfico de y log / Propriedades que relacionam as funções eponencial e logarítmica como funções inversas: log ) b b ) log b b 0

12 As variações de muitas grandezas importantes podem ser descritas por um crescimento ou decaimento eponencial. Por eemplo, na ausência de itações ambientais, as populações tendem a crescer eponencialmente; as substâncias radioativas e a concentração dos medicamentos no sangue decaem eponencialmente. Dizemos que Q(t) decresce (ou decai) eponencialmente se Q(t) Q 0 e kt onde k é uma constante positiva e Q 0 é o valor inicial Q(0); dizemos que Q(t) cresce eponencialmente se Q(t) Q 0 e kt onde k é uma constante positiva e Q 0 é o valor inicial Q(0). A figura a seguir mostra as curvas típicas de crescimento e decaimento eponencial. Eemplo: Os seguintes dados foram registrados por um pesquisador durante os primeiros 0 minutos de um eperimento projetado para estudar o crescimento de bactérias. Supondo que o número de bactérias cresça eponencialmente, quantas bactérias haverá após 0 minutos? Solução: Como o crescimento é eponencial, seja Q(t) Q 0 e kt o número de bactérias após t horas. Temos Q e Q(0) Então Q(0) 5.000e 0k Daí e 0k 5 8 Portanto, Q(0) 5.000e 0k 5.000(e 0k ) Após 0 minutos haverá 0.80 bactérias. Número de minutos 0 0 Número de bactérias Foi observado eperimentalmente que a maioria das substâncias radioativas decai eponencialmente de modo que se uma amostra tem uma massa inicial Q 0, a massa que resta após t anos é dada por uma função da forma Q(t) Q 0 e kt. Eemplo: Uma substância radioativa decai eponencialmente. Se 500 gramas da substância estavam presentes inicialmente e 00 gramas estão presentes 50 anos depois, quantos gramas estarão presentes após 00 anos? Solução: Temos que Q(50) 500e 50k 00

13 Daí e 50k Então Q(00) 500e 00k 500(e 50k ) Após 00 anos estarão presentes 0,8 gramas da substância ,8 65 No eemplo anterior, a constante positiva k é uma medida da taa de decaimento, mas essa taa em geral é especificada em termos do tempo t necessário para que metade da amostra decaia. Esse tempo é chamado de meia vida da substância radioativa. O próimo eemplo mostra qual é a relação entre k e a meia vida. Eemplo: Mostre que a meia vida de uma substância radioativa que decai eponencialmente ln é dada por t. k Solução: Queremos encontrar um valor t tal que Q(t ) kt Daí Q0e Q0 Q 0. kt Dividindo por Q 0 e tomando o logaritmo de ambos os membros temos: ln e ln Aplicando propriedades de logaritmos vem: kt ln ln kt ln kt ln t ln k Eemplo: O elemento rádio decai eponencialmente com uma meia vida de.690 anos. Quanto tempo uma amostra de 50g de rádio leva para ser reduzida a 5 g? Solução: A meia vida do rádio é t.690. Então, pelo eemplo anterior, k ln t.690 Como Q 0 50 e Q(t) 5 temos 50 e 5 ln t ln.690 Daí ln.690 t e ln t.690 ln e ln ln ln ln 0 t ln 0 t ln 0 Logo t.690ln 0 ln 5.6 Uma amostra de 50g de rádio leva 5.6 anos para ser reduzida a 5 g.

14 Eercícios Nas questões a 0, calcule os produtos notáveis: ) ( + 5) ) ( + y) ) ( + y ) ) (7 ) 5) (6 ) 6) (9 + 5 )(9 5 ) 7) ( +)( ) 8) ( + y)( y) 9) ( + 5) 0) ( ) Nas questões a use a fórmula de Báskara para resolver a equação dada: ) ) ) ) + 0 Nas questões 5 a, fatore a epressão dada: 5) + 6) 7 + 7) ) ) + 0) ) 6 8 ) 9 5y ) ) 7 5) 7 5 6) + + 7) 8 0 8) + 5 9) + + y + y 0) + ) ( ) ( + ) + 0( ) ) ( + ) ( ) 6( + ) ( ) Nas questões a 6 simplifique o quociente dado o máimo possível: ) ) ( 5) ( ) ( 5) 7 0 ( ) 5) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 6) ( ) ( )

15 7) Encontre o coeficiente angular da reta que contém os pares de pontos dados: a) (, ) e (0, ) b) (, 0) e (0, ) c), e, ) Ache, se possível, a inclinação da reta dada pela equação: a) 6y 5 b) + y 7 c) 5 0 9) Estabeleça a equação da reta L indicada. a) L passa por (, ) e (5, ). b) L passa por (, ) e tem coeficiente angular c) L é vertical e passa pelo ponto (7, ). d) L é horizontal e passa pelo ponto (, 5) e) L tem coeficiente angular 6 e coeficiente linear 7. f) L passa por (, 5) e é paralela à reta de equação + y 0. g) L passa por (,) e é perpendicular à reta de equação + y 7. 0) Um medicamento é ministrado por via intravenosa para aliviar a dor. A função f(t) 90 5ln( + t) com 0 t dá o número de unidades do medicamento remanescentes no corpo depois de t horas. a) Qual foi a quantidade inicial ministrada em termos de unidades do medicamento? b) Quantas unidades estarão presentes depois de horas? (dado: ln 0,77) ) A meia vida de uma certa substância radioativa é horas. Inicialmente, há 8 gramas de substância radioativa. a) Epresse a quantidade remanescente da substância em função do tempo t. b) Em quanto tempo restará apenas um grama de substância radioativa? ) O número de bactérias numa cultura em placa de Petri após t horas é B 00 e 0,69t a) Qual o número inicial de bactérias presentes? b) Quantas bactérias estarão presentes em 6 horas? (dado e,7) c) Quando o número de bactérias será 00? (dado ln 0,0) Respostas: ) ) 9 + y + 6y ) + y + y 6 ) 9 + 5) ) 8 5 8

16 7) 9 8) 6y 9) ) ) 5 ) ; ) Não eistem soluções ) ; 5 5) ( + )( ) 6) ( )( ) 7) 6 8) 5 9) ( ) 0) ( + 7) ) ( + 9)( 9) ) ( + 5y)( 5y) ) ( )( + + ) ) ( )( + + 9) 5) 5 ( + )( ) 6) ( + ) 7) ( 5)( + ) 8) ( + 7)( ) 9) ( + y)( + ) 0) ( + )( + )( ) ) ( ) (7 ) ) ( + ) ( ) ( ) ) 7 5) ( + ) 6) 7) a) b) c) 0 ) ( + 5) 5 ( ) ( 7) 8) a) b) c) Não eiste, pois a reta é vertical 9) a) y 7 b) 7 c) 7 d) y 5 e ) y f) y + 7 g) y + 8 0) a) 90 b) 90 5ln 65, ) a) Q(t) 8 ln t e b) 6 horas ) a) 00 bactérias b) Aproimadamente 5 bactérias c) 0, horas 6, minutos (aproimadamente) 5

17 Capítulo : Limite de uma função real O Cálculo Diferencial e Integral é um importante ramo da Matemática com um grande número de aplicações: plotagem de curvas, otimização de funções, análise de taas de variação e determinação de áreas, entre outras. O que distingue o Cálculo da Álgebra é o conceito de ite que é o ponto de partida para definir todos os outros conceitos do Cálculo, como os de derivada e integral. Na linguagem comum, as pessoas se referem ao ite de velocidade, ao ite de peso de um lutador, ao ite de resistência de um maratonista, ou ao fato de esticar uma mola até o ite. Todas essas frases sugerem que o ite é uma fronteira que em certas circunstâncias não pode ser atingida, mas em outras pode ser atingida ou mesmo ultrapassada. Um ite matemático se parece com esses ites. Nesse capítulo vamos apresentar uma ideia intuitiva do conceito matemático de ite e mostrar como pode ser calculado.. Noção intuitiva do conceito de ite Falando de maneira geral, o processo de determinar o ite de uma função real f consiste em investigar o comportamento do valor de f() à medida que a variável independente se aproima de um número c, que pode ou não pertencer ao domínio de f. Vamos supor que queremos saber o que acontece com f() aproima de. à medida que se Embora f não seja definida em, podemos avaliar f() para valores de próimos de. Para fazer isto, preparamos uma tabela como a que aparece a seguir: 0,9 0,95 0,99 0,999,00,0,05, f(),9,95,99,999,00,0,05, Os valores da função nesta tabela sugerem que: f() se aproima do número à medida que se aproima de de ambos os lados. Podemos obter valores para f() tão próimos de quanto quisermos, bastando para isso tomar valores de suficientemente próimos de. Esse comportamento pode ser descrito, intuitivamente, dizendo que o ite de f() quando tende a é igual a e abreviado por f() ou Geometricamente, a epressão o ite de f() quando tende a é igual a significa que a altura do gráfico de y f() se aproima de à medida que se aproima de. 6

18 O gráfico de f() é uma reta com um buraco em (,), e os pontos (, y) no gráfico se aproimam desse buraco à medida que se aproima de de ambos os lados. Temos a seguinte definição (informal) de ite: Definição: Seja f uma função definida em um intervalo aberto contendo c, eceto talvez em c. Se o valor de f() fica arbitrariamente próimo de L para todos os valores suficientemente próimos de c, dizemos que f tem ite L e escrevemos f() L c Ao definirmos ite, admitimos que f é definida para todos os valores de nas proimidades de c, mas não necessariamente em c. A função não precisa eistir em c, e mesmo que eista, seu valor f(c) neste ponto pode ser diferente do ite quando tende a c. Isso está ilustrado na figura abaio. Para as três funções representadas, o ite de f() quando tende a c, é igual a L, embora as funções se comportem de forma bastante diferente em c. Em (a), f(c) é igual ao ite L; em (b), f(c) é diferente de L, e em (c), f(c) não está definido. figura A figura abaio mostra os gráficos de duas funções que não têm ite quando tende a c. Na figura (a), o ite não eiste porque os ites laterais são diferentes, isto é, f() se aproima de 5 quando tende a c pela direita e se aproima de (um valor diferente) quando tende a c pela esquerda. A função da figura (b) não tem ite (finito) quando tende a c porque os valores de f() aumentam indefinidamente à medida que se aproima de c. Dizemos que funções como a da figura (b) têm um ite infinito quando tende a c. figura 7

19 . Propriedades dos ites Utilizamos uma tabela na seção anterior para nos ajudar a determinar o valor do ite da função dada. O nosso objetivo agora é introduzir propriedades (teoremas) que permitam simplificar o cálculo dos ites de funções algébricas. O teorema se refere aos ites de duas funções lineares elementares. Teorema : Sejam c e k números reais. a) k k c b) c c Eemplos: 7 7 e 5 O teorema mostra como calcular ites de funções que são combinações aritméticas de funções cujos ites já conhecemos. Teorema : Se L, M, c e k são números reais e f () L c e g() c M então: a) (f() g()) c b) (f() g()) c f() c f() c + g() c g() c L + M L M c) (f().g() ) c f() c. g() c L.M d) (k.f ()) c n e) (f()) c k. f() c n c k.l f() L n onde n * f) Se M 0 então c f() g() f() c g() c M L g) Se n é um número natural ímpar, ou se n é um número natural par e L > 0 então n c f() n f() c n L Eemplos: ) ( + + 5) ) 0 8 ( ) 0 ( 8)

20 Podemos determinar mais facilmente o ite de funções polinomiais e de algumas funções racionais através do seguinte resultado: Teorema : a) Seja p uma função polinomial. Então p() p(c) c p() b) Seja r() uma função racional. Se q(c) 0 então q() r() r(c) c Eemplos: ) ) ( ) Teorema : Se h() L c e f é uma função tal que f() h() para todos os valores de pertencentes a algum intervalo contendo c, ecluindo o valor c, então f() L. c Eemplo : Calcular Solução: f() não está definida para, mas para todos os valores de tais que temos: ( )( ) + Então, pelo teorema, ( + ) Além disso, pelo teorema ( + ) Portanto Eemplo : Calcular Solução: f() não está definida em, mas para todos os valores de tais que temos: ( )( ) ( )( ) + ( )( ) 9

21 Logo, pelo teorema, ( + ) Mas sabemos, pelos teoremas anteriores, que ( + ) Então Outros eemplos: Calcule os seguintes ites: ) ( 0) ) ) ) 5 6 5) 5 6) 7) 6 8) 9) 6 0) ) 0 ( ) ) ) 6 ) 0 Respostas: ) 0 ) ) 0 ) 5) 5 6) 7) 5 8) 9) 0) 0 ) ) ) 6 ) 0

22 . Limites laterais Algumas vezes uma função f se comporta de forma diferente de cada lado de um número c, isto é, tende para valores diferentes quando tende para c pela esquerda e pela direita. Essa situação é ilustrada no seguinte eemplo: Seja f() 5 se se A figura mostra que o valor de f() tende a 7 quando tende a para valores menores que, isto é, f() tende a 7 quando tende a pela esquerda. Denotamos esse fato simbolicamente como f() 7 A figura mostra, também, que o valor de f() tende a quando tende a para valores maiores que, isto é, f() tende a quando tende a pela direita. Simbolicamente temos f() Os ites quando tende para c pela direita e quando tende para c pela esquerda são chamados de ites laterais. Observação: Os teoremas da seção anterior também são válidos para ites laterais. O teorema a seguir relaciona ites laterais e ites. Teorema: O f() f() L c c f() c eiste e é igual a um número real L se e somente se No eemplo anterior, como f() f() concluímos que f() não eiste. 5 Eemplo: Seja f() 5 se se se Determine, se eistirem: a) f() b) 0 f() c) f() Solução: a) f() 0 ( 5) 5 0 b) f() ( + 5) 9 c) Nesse caso precisamos calcular os ites laterais:

23 f() ( + 5) 7 e f() ( 5) 7 Então Logo f() f() 7 f() 7 Outros eemplos: Seja f() 7 se Determine, se eistir, f() se - Seja f() 9 se se se Determine, se eistir, f() Seja f() 7 se se Determine, caso eistam, os seguintes ites: a) f() 0 b) f() c) f() 5 Respostas: ) ) 5 ) a) b) não eiste c) 8 Observação: Na linguagem comum, um processo contínuo é aquele que ocorre sem interrupções ou mudanças repentinas. No caso de uma função f, o que caracteriza a ausência de interrupção em um ponto (c, f(c)) de seu gráfico é o fato do f() eistir e desse ite ser igual a c f(c). Assim, dizemos que uma função f é contínua em um número c se f() f(c). Considerando os resultados da seção., podemos afirmar que funções polinomiais são contínuas em todos os números reais e que funções racionais são contínuas em todos os números onde são definidas. Se a função f não é contínua em um número c, dizemos também que f é descontínua em c. c Apresentamos abaio os gráficos de três funções descontínuas em c. (c) f() não eiste c

24 Eercícios lista Determine os ites: ) (5 ) ) (5 7 ) ) ) 5 5/ 5) 6) / 8 7) 5 8) 7 0 9) 0) ) 8 ) 9 6 8/ 8 ) ) 6 5) 6) 0 ( ) 9 7) 0 8) 9) 0) ) 0 5 ) 0 ) ) 9 5) ( + 5) 6) 0 7) 9 8)

25 Nas questões de 9 a, calcule, se eistirem, os ites das funções dadas nos números indicados: 9) f() 5 9 se se em 0) f() se em 5 se ) f() se em ) f() se 0 se se se em ) f() 9 se em se Nas questões de e 5, determine o valor de a para que f() seja contínua no valor indicado. ) f() 9 9 a se se em 5) f() 9 se 5 5 em a se Respostas: ) 7 8) / 5) ) 9) Não eiste ) 9) / 6) 6 ) 0 0) ) 7 / 8 0) 7) / ) 6 ) ) 0 ) / 8) 5) 9 ) 7 5) / ) 6 9) 6) 0 ) Não eiste 6) 5 / 6 ) 0) 0 7) 0 ) 7) ) / ) / 5 8) 5) 6 / 5

26 . Limites que envolvem infinito Vimos na seção anterior que se c é um número real e f() f() então f() não eiste, mas algumas vezes o f() não eiste porque os valores da função crescem ou decrescem c iitadamente quando se aproimam de c. c c c Vamos analisar, por eemplo, o comportamento da função f() quando se aproima de zero. Quando se aproima de zero, também se aproima de zero, e o valor de f() fica muito grande. É evidente, a partir da tabela e do gráfico de f abaio, que à medida que fica mais próimo de zero, os valores de (de ambos os lados) crescem iitadamente. 0, 0,0 0,00 0 0,00 0,0 0, f() Observamos que quando se aproima de zero pela esquerda ou pela direita, os valores de f() aumentam. Se admitirmos que esses valores possam aumentar iitadamente, escrevemos: f() e 0 f() 0 Como a função tem o mesmo comportamento à direita e à esquerda de zero podemos escrever que f() 0 Podemos indicar de forma análoga, o comportamento de uma função cujos valores diminuem iitadamente. Vamos analisar a função g() ( ) para valores de próimos de,,0,00,999,99,9 g() Vemos pela tabela e pelo gráfico, que os valores de g() diminuem iitadamente à medida que se aproima de pela esquerda ou pela direita. Escrevemos, nesse caso, que g() e g() Consequentemente, podemos dizer que g() 5

27 Vamos analisar agora, o comportamento de h() para valores de próimos de.,9,99,999,9999,000,00,0, h() Vemos que à medida que se aproima de pela esquerda, os valores de h() diminuem iitadamente e, que quando se aproima de pela direita, os valores de h() aumentam iitadamente. Então h() + h() Observação: Os símbolos e não representam um número real. São apenas notações para indicar que f() aumenta ou diminui iitadamente quando se aproima de um número real. Assim, quando escrevemos, por eemplo, que f(), não estamos dizendo que f() está cada c vez mais próimo de um número real, ou que o ite eiste. então De modo geral temos: Teorema: Se c g() f() L, onde L é um número real diferente de zero, e c f(), com o sinal dependendo dos sinais de L e de g() à direita de c. g() 0 c Observação: O teorema anterior pode ser enunciado para o ite à esquerda de c com as mesmas conclusões. É possível estudar muitos desses ites raciocinando intuitivamente, como nos eemplos a seguir. Eemplos: ) Determine Solução: Temos que 6 e que ( ) 0. Além disso, para próimo e menor do que, o numerador é positivo e o denominador é negativo e próimo de zero. Então o valor de muito grande e negativo. é Logo 7 ) Calcule 5 ( 5) 6

28 Solução: Temos que (7 ) e 5 ( 5) 0. Quando está próimo e é menor do que 5 7 5, o numerador é positivo e o denominador é positivo e próimo de zero. Então o valor de ( 5) é muito grande e positivo. Então 7 5 ( 5) ) Calcule 5 Solução: Temos que ( 5) e ( ) 0. Quando está próimo e é maior do que, o numerador é negativo e o denominador é negativo e próimo de zero. Então o valor de 5 é muito grande e positivo. Logo 5 ) Determine e Solução: Temos que e ( ) 0 Quando se aproima de pela direita ( > ), o numerador é positivo e o denominador é positivo; quando se aproima de pela esquerda ( < ), o numerador é positivo e o denominador é negativo. Então e Outros eemplos: ) ) ) 0 ) 5) 0 5 6) Respostas: ) ) ) ) 5) 6) 7

29 No início desta seção, estudamos ites onde tomávamos tendendo para um número e, como resultado, os valores da função y f() ficavam muito grandes. Agora vamos tornar o valor de arbitrariamente grande e ver o que acontece com f(). Vamos analisar o comportamento de f() através da tabela abaio ,000 0,00 0,0 0, f() 0, 0,0 0,00 0,000 À medida que aumenta ou diminui, os valores de f() se aproimam de zero. Isso também pode ser observado no gráfico de f, esboçado ao lado. Então f() 0 e f() 0 Em geral, usamos a notação f() L para indicar que os valores de f() tendem para o número L quando aumenta iitadamente. Analogamente, escrevemos f() M para indicar que os valores de f() tendem para o número M quando diminui iitadamente. Podemos generalizar o eemplo acima pelo seguinte teorema: Teorema: Se n é um número inteiro positivo e c é um número real então c n 0 e c n 0 Eemplos: ) ) 0 Os valores de f() também podem crescer ou decrescer iitadamente, quando ou. Por eemplo, os valores de f() crescem iitadamente quando e decrescem iitadamente quando ; os valores de f() decrescem iitadamente quando e crescem iitadamente quando. Denotamos isso, escrevendo: ( ) ( ) O ite no infinito de uma função polinomial é igual ao ite de seu termo de maior epoente (pois se colocarmos esse termo em evidência, todos os demais tendem a zero). Por eemplo: ( )

30 Como consequência, quando tivermos o ite no infinito de um quociente de dois polinômios, ele será igual ao ite do quociente dos termos de maior epoente do numerador e do denominador. Assim, por eemplo: Outros eemplos: ) ) 5 5 ) 5) ( + 7) ) ( 5 + ) 6) ( ) ( ) 7) ) 5 5 9) 5 0) 5 ) ) 5 6 Respostas: ) 0 ) 0 ) ) 5) 6) 7) /7 8) 0 9) 0) ) ) /6 9

31 Eercícios - lista Determine os ites: ) ( ) 8) 5) 7 ) 9) 0 6) ) 0) ) 6 5 ) ) ( 7 + ) 8) 5 7 5) ) ( 5 + ) 9) 6) ) (6 0 ) 0) 6 7 ( 5) 7) 5 ) ( + ) Respostas: ) + 5) + 9) 7) ) 6) 0) 8) 0 ) 7) ) 5) 9) ) 8) + 0) / 0

32 Eercícios de revisão lista Determine os ites abaio: ) ) 5 ) 9 9 ) 0 ) ) ) ) 5) 5) 6) 6 6) ) 5 9 7) / 8) ) 9) 6 9) 0) 6 0) 5 Respostas: ) 6) 6 ) + 6) 0 ) / 6 7) / ) / 7) 9 ) 8) ) 8) ) 9) 8 ) / 9) 5) + 0) 6 5) 0 0)

33 Capítulo Derivada de uma Função Real O conceito de derivada foi introduzido no século XVII em estudos de problemas de Física ligados à pesquisa dos movimentos. Entre outros, destacam-se o físico e matemático inglês Isaac Newton (6-77) e o filósofo e matemático alemão Gottfried Leibnitz (66-76).. Taa de Variação Vamos considerar a seguinte situação: um carro está se movendo ao longo de uma estrada reta e d(t) representa a sua distância do ponto de partida após t horas e queremos determinar a velocidade do carro num instante t. Para definir essa velocidade, primeiro calculamos a velocidade média em um intervalo de tempo próimo de t. Consideramos, por eemplo, os instantes t e t + t onde t é um número real. As posições correspondentes são d(t ) e d(t + t). A velocidade média (v m ) do carro entre os instantes t e t + t é: v m variação da distância variação do tempo d(t Δt) d(t) t Δt t d(t Δt) d(t) Δt Para obtermos a velocidade do carro no instante t (ou a velocidade instantânea em t ), calculamos a velocidade média em intervalos de tempo cada vez menores. Se o intervalo de tempo t é pequeno, a velocidade média se aproima da velocidade instantânea. Podemos então definir a velocidade no instante t ou a taa de variação (instantânea) da distância em relação ao tempo como o ite quando t tender a zero na epressão para a velocidade média, isto é: v(t ) Δt 0 d(t Δt) d(t) Δt Eemplo: A distância (em metros) de um objeto a um ponto é dada por s(t) t + 5 onde o tempo t é medido em segundos. Determine a velocidade do objeto em t. Solução: v(t ) Δt 0 s( Δt) s() Δt t 0 ( t) 5 (9 5) t t 0 9 6t ( t) t t 0 6t ( t) t t 0 t(6 t) t t 0 (6 t) 6 Então a velocidade do objeto no instante t é 6 metros por segundo. As considerações a respeito da taa de variação instantânea da distância em relação ao tempo podem ser generalizadas e assim serem aplicadas para quaisquer quantidades variáveis de qualquer espécie. Definição : Seja y f(). A taa de variação instantânea de y em relação a quando tem o valor é dada por

34 Δ 0 f( Δ) f() Δ Eemplo: Um teste para diabetes envolve a medida da concentração de glicose no sangue de um paciente durante certo período de tempo. Suponha que t horas após uma injeção de glicose sua concentração no sangue seja dada pela função f(t),8 +,6 t onde f(t) é o número de miligramas de glicose por centímetro cúbico de sangue. Com que rapidez a concentração de glicose no sangue está variando horas após a injeção? Solução: Queremos determinar a taa de variação de f(t) em relação a t quando t Então t 0 f( t) f() t t 0,8,6 t t,6 t 0,6 t t,8,6,8 t t,6,8 t,6,8 t,6,8. t t 0 t t t 0 t t,6,8,96,( t),96,96,t t 0 t t (,6,8 t t t (,6,8 t ) t 0 t 0 ) t t,t t 0 t t (,6,8 t ), t 0 t (,6,8 t ), 0, 5, Resposta: A concentração de glicose no sangue horas após a injeção diminui a uma taa de 0,5 mg por cm por hora. Derivada de uma função Vimos na seção anterior que o problema de encontrar a taa de variação de uma variável em relação a outra é resolvido pelo cálculo de um ite, que por ocorrer em muitas outras aplicações, recebe nome e notação especiais. Definição: Seja f uma função. A derivada de f em 0, denotada por f ( 0 ) é dada por: f ( 0 ) Δ0 f(0 Δ) f(0) Δ se o ite eistir (é finito). Eemplo: Seja f(). Determine f (). Solução: f () 0 f( ) f() 0 ( ) 8

35 0 8 6( ) ( ) 8 0 6( ) ( ) 0 ( 6 ( ) ) 0 ( 6 ( ) ) No eemplo anterior determinamos f () mas é possível calcular a derivada de f() em qualquer outro número. Assim, para cada valor de podemos encontrar f (), ou seja, definir uma nova função: a derivada. que Definição: Seja y f(). A função derivada (ou simplesmente derivada) de f é aquela tal f () Δ0 f( Δ) f() Δ O domínio de f é o conjunto de todos os para os quais o ite eiste. Eemplo: Determine a derivada de f() Solução: f ( ) ( ) ( ) () 0 0 ( ) ( ) ( ( ) ) ( ( ) ) Então f () Dessa maneira, se temos f () ; se temos f ( ), etc.. Observações: - O ite indicado na definição de derivada pode eistir para alguns valores de e deiar de eistir para outros. Se o ite eiste (é finito) para a, dizemos que a função é derivável (diferenciável) em a. Uma função derivável (diferenciável) é aquela que é derivável em cada ponto de seu domínio. - A notação f usada na definição anterior tem a vantagem de enfatizar que a derivada de f é uma função de que está associada de certa maneira com a função f dada. Se a função é apresentada na forma y f(), com a variável dependente eplícita, então o símbolo y é usado em lugar de f (). A dy derivada de y f() é também indicada por e algumas vezes por D y. d - A operação de encontrar a derivada de uma função é chamada derivação ou diferenciação.

36 Vamos supor que P ( 0, f( 0 )) é um ponto no gráfico de uma função f derivável em 0 e queremos determinar a reta t que passa por P (figura abaio). Sabemos que uma reta no plano é determinada quando conhecemos seu coeficiente angular e um ponto pertencente a ela. Precisamos calcular, então, o coeficiente angular de t. Vamos escolher outro ponto Q no gráfico de f e traçar uma reta s passando por P e Q. Essa reta que passa por P e Q é chamada de reta secante. Tomando Q bem próimo de P, podemos fazer com que o coeficiente angular da reta s se aproime do coeficiente angular da reta t com qualquer precisão desejada. Vamos supor que a abscissa de Q esteja a unidades de 0. Desse modo, a abscissa de Q é 0 +. Como Q pertence ao gráfico de f, a ordenada de Q é f( 0 + ). Assim, Q ( 0 +, f( 0 + )). Então o coeficiente angular da reta s é: m s f( 0 Δ) f( 0 Δ 0 0 ) f( 0 Δ) f( 0 ) Δ Se fizermos tender a zero, o ponto Q se moverá sobre a curva y f() e tenderá ao ponto P. Além disso, a reta s irá girar em torno de P e tenderá para a reta t. Logo, quando tende a zero, o coeficiente angular de s tende para o coeficiente angular de t, ou seja, m t Δ0 f(0 Δ) f(0) Δ Como f é derivável em 0, esse ite eiste (é finito). Portanto m t f ( 0 ).. Regras básicas de derivação Nesta seção apresentaremos regras para encontrar a derivada de uma função sem utilizar diretamente a definição. Essas regras de derivação permitem calcular com relativa facilidade as derivadas de funções algébricas. Sendo c IR, n Q e u e v funções reais de variável. ) Regra da constante: Se f() c então f () 0 5

37 ) Regra da identidade: Se f() então f () ) Regra da potência: Se f() n então f () n. n ) Regra da soma: Se f() u + v então f () u + v 5) Regra do produto: Se f() uv então f () u v + uv 6) Regra do produto por uma constante: Se f() c.u então f () c.u u 7) Regras do quociente: a) Se f() e v 0 então f ' u v uv () v v c b) Se f() e v 0 então f ' cv () v v Eemplos: ) f() f () ' ) f() (5 + )( ) f () (0 + )( ) + (5 + ) f () ) f() 5. f () ( ) ) f() 5 f () 9 ( ) ( ( ) 5)8 6 9 ( ) ( ) Outros eemplos: Calcule as derivadas: ) f() ) f() 5 + 6

38 ) f() ) f() + 5) f() ( + )( + 5) 6) f() ( + )(7 + ) 7 7) f() 5 8) f() 9) f() 7 0) f() 5 7 Respostas: ) + ) ) ) + 5) ) ) 5 9) ( 7) 8) 5 9 0) ( ). Aplicações de derivada Vimos em. que a derivada f () epressa o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função y f() em função da coordenada do ponto de tangência (desde que o ite eista). Assim, se y 0 f( 0 ), podemos afirmar que y y 0 f ( 0 )( 0 ) é a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto ( 0, y 0 ). Eemplo: Escreva a equação da reta tangente ao gráfico de f() + no ponto (, 5). Solução: Vamos determinar o coeficiente angular da reta tangente no ponto (, 5), isto é, f (). Então f () + Daí f () 6 Logo, a equação da reta tangente é: y 5 6( ) ou y 6 7

39 Pelo que foi estudado nas seções e, sabemos que a derivada f () epressa também, a taa de variação (instantânea) de y f() em relação a. Eemplo: Um teste para diabetes envolve a medida da concentração de glicose no sangue de um paciente durante certo período de tempo. Suponha que t horas após uma injeção de glicose sua concentração no sangue seja dada pela função f(t),8 +,6 t onde f(t) é o número de miligramas de glicose por centímetro cúbico de sangue. Com que rapidez a concentração de glicose no sangue está variando horas após a injeção? Solução: Já resolvemos esse problema anteriormente, usando ite. Utilizando agora o conceito de derivada e as regras de derivação temos: f,8 (t). t Então f,8 () 0,5 Portanto, a concentração de glicose no sangue horas após a injeção diminui a uma taa de 0,5 mg por cm por hora Outros eemplos: ) Escreva a equação da reta tangente ao gráfico de f() + 6 no ponto (, 6) ) A massa de uma cultura de bactérias tem seu crescimento representado pela função m(t) p t,5t para t medido em horas e m em cm e sendo p 0 uma constante positiva. Calcule a velocidade de crescimento dessa cultura quando t 6. ) A resposta do corpo a uma dose de um medicamento às vezes é representada por uma equação da C M forma R M onde C é uma constante positiva e M a quantidade de medicamento dr absorvida no sangue. Determine (esta derivada é chamada de sensibilidade do corpo ao dm medicamento). Respostas: ) y ) 0 cm / h dr ) CM M dm 8

40 Muitas vezes precisamos calcular a taa de variação da taa de variação de uma grandeza. A aceleração, por eemplo, é a taa de variação da velocidade com o tempo, mas a velocidade é a taa de variação da distância com o tempo. Se a distância é medida em quilômetros e o tempo em horas, a velocidade é medida em quilômetro por hora e a aceleração é medida em quilômetro por hora ao quadrado. A taa de variação da função f em relação a é a derivada f. Da mesma forma, a taa de variação da função f em relação a é a derivada (f ). Para simplificar a notação, denotamos a derivada da derivada de f por f e a chamamos de derivada de segunda ordem (ou derivada segunda) de f. De modo geral, o resultado de duas ou mais derivações sucessivas de uma função é uma derivada de ordem superior. A derivada de enésima ordem de uma função y f() é obtida derivando-se a função n vezes e é denotada por: y (n) n d y (n) f n d Eemplo: Se a posição de um carro que está se movendo em linha reta é dada, no instante t por s(t) t t + t, calcule a velocidade e a aceleração do carro. ds Solução: A velocidade é v(t) t 6t + dt A aceleração é a(t) dt dv d s dt 6t 6 9

41 Eercícios - lista Nos itens a 8, ache as derivadas aplicando as regras básicas: ) f() 5 + ) f() ) f() ) f() ) f() 6) f() + 5 7) f() ( ) 8) f() ( + )( + 5) 9) f() ( )( ) 0) f() ( 5 + ) ) f() ) f() ) f() 7 ) f() 7 5) f() 6) f() 7) f() 7 8) f() Nos itens de 9 a, calcule f (): 9) f() 0) f() ) f() ) f() ( + )( ) Nos itens de e, determine o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de f() no ponto especificado. ) f() + 7; P (,8) ) f() ; P (,) Nos itens de 5 e 6, determine a taa de variação de f() em relação a para o valor especificado. 5) f() + ; 6) f() ; 7) Calcula-se que daqui a t anos, a população de certo município será de P(t) 0 (milhares de pessoas). 6 t 0

42 a) Escreva uma epressão para a taa com que a população estará variando daqui a t anos. b) Qual será a taa de crescimento da população daqui a ano? c) Qual será o aumento da população durante o segundo ano? d) Qual será a taa de crescimento da população daqui a 9 anos? e) O que acontecerá com a taa de crescimento da população em longo prazo? 8) A reação do corpo humano a uma dose de remédio pode ser modelada por uma função da forma F (KM M ) onde K é uma constante positiva e M é a quantidade de remédio absorvida pelo df sangue. A derivada pode ser interpretada como uma medida da sensibilidade do corpo ao dm remédio. a) Encontre uma epressão para a sensibilidade S do corpo ao remédio. b) Determine dm Respostas: ds d F dm e dê uma interpretação para essa derivada segunda. ) 5 9 ) ) ) ) 6) 5 7) 5 8) ) ) (5 6 ) ) ) ( ) 0 ) ) ( ) ( ) 5) ( ) 6) ( ) 7 7) 8) ( ) 9) 0) /8 ) /6 ) 9 ) 9 ) 5) / 6) 6 7) a) P(t) (t ) (milhares de pessoas por ano) b).500 pessoas por ano c).000 pessoas d) 60 pessoas por ano e) Tenderá a zero 8) a) S (KM M ) ds b) (K 6M) que é a taa de variação da sensibilidade do corpo com a quantidade de dm remédio.

43 .5 Regra da Cadeia Vamos estudar agora uma regra de derivação chamada regra da cadeia que quando usada com as regras básicas permite ampliar consideravelmente a classe de funções que podemos derivar. Queremos determinar, por eemplo, a derivada de y ( + 5) Podemos fazer isso desenvolvendo ( + 5) e derivando o polinômio resultante. Assim, y ( + 5) dy Logo () d Também podemos fazer u + 5 de modo que y u dy du Calculamos, então, u e du d dy du Daí. u () du d dy dy du Por () e (). d du d Esta relação entre as derivadas ocorre de modo geral e é conhecida como regra da cadeia. Regra da cadeia (versão informal): Se y é uma função derivável em u e u é uma função dy dy du derivável em, então y é uma função derivável em e. d du d Eemplo: Determine a derivada de y ( 5 7 ) 0 Solução: Seja u 5 7 de modo que y u 0 dy Então 0u 9 du e 0 du d dy dy du Pela regra da cadeia,. 0u 9 (0 ) 0( 5 7 ) 9 (0 ) d du d Nos eemplos apresentados, as funções dadas eram potências de funções. Como essas potências ocorrem com frequência no Cálculo, é conveniente estabelecer uma regra de derivação que possa ser aplicada em tais casos.

44 Teorema (regra geral da potência): Se r é um número racional e u é uma função derivável de variável então (u r ) r.u r. u Eemplos: ) y ( + ) 9 Solução: y 9( + ) 8 ( + ) ) y 6 7 Solução: Temos que y (6 7) / Então y (6 7) / ) y ( ) Solução: y 8( ) +. ( ). 8( ) + ( ) 8( ) ( + ) 8( ) (6 ) ) y 0 Solução: y 0. 9 ' 0 9. ( ) 0( ) ( ) 9 Outros eemplos: ) y ( + ) 5 ) y 5 6 ( + 7) 9 ) y 5 6 ) y 5 Respostas: ) y ( 5)( + ) 6 (9 + 8) ) y 0 5 ( + 7) 8 (5 + 7) ) y 0 (5 6) ( 5) ) y ( 5)

45 Eercícios - lista 5 Nas questões a 6, calcule as derivadas: ) y (5 ) 0 ) y ( + ) 5 ) y ( + ) ) y ( + ) 7 5) y 6) y 5 7) y 8) y ( ) 9) y 5 ( + ) 0) y 6 ( ) ) y ( )( + ) ) y (5 + )( + ) 5 ) y ( + ) ( 5) ) y ( + ) ( ) 5 5) y 6) y 7) Determine o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de f() 5 em. 8) Escreva a equação da reta tangente ao gráfico de f() ( ) 5 quando. 9) Uma doença está se espalhando de tal forma que, após t semanas, o número de pessoas infectadas é dado por f(t) 575 t (t 8) com 0 t 8. Ache a taa de disseminação da doença após semanas. 0) Foi observado que o fluo de sangue de uma artéria para um pequeno capilar é dado pela função F KD A C (cm / seg) onde D é o diâmetro do capilar, A é a pressão na artéria, C é a pressão no capilar e K é uma constante positiva. Qual é a taa de variação do fluo de sangue F em relação à pressão C no capilar, se A e D se mantêm constantes?

46 Respostas: ) 0 (5 ) 9 ) 0 ( + ) 6 ) ( + )( + ) 5 ) 7( + ) 6 ( ) 5) 6) ( 5) 7) / ( ) 8) 5 ( ) 9) 0( + ) (6 + ) 0) 6( ) (8 ) ) ( + ) ( 8 ) ) 5( + ) ( + + ) ) ( + ) ( + 0) ) ( + ) ( ) (7 ) ( ) 5) 5 ( ) 6) ( ) 7) m / 8) y 0 9 9) 08 pessoas por semana 0) df KD dc A C 5

47 .6 Derivadas de funções eponenciais e de funções logarítmicas As funções eponenciais e logarítmicas estão entre as mais importantes do Cálculo, com muitas aplicações em campos tão diversos como a Física, a Biologia e a Economia. Nesta seção vamos apresentar as regras básicas de derivação para essas funções. Seja a IR * e seja u uma função derivável de variável Se f() a u então f () u.a u.ln a Caso particular: Se f() e u então f () u.e u Observe que se u é a função identidade então f() e. Consequentemente, f () e. Eemplos: ) f() 7 5 Solução: f () ( + 7) ln5 ) f() e Solução: f (). e e ) f() e 6 5 Solução: Temos que f() e 6 5 (e 6 + 5) / Então f () (e 6 + 5) /.6 e 6 e e ) Uma colônia de bactérias começa com uma população de indivíduos e após t horas a população é dada pela função P(t) e 0,0t. Qual é a taa de variação da população após 00 horas? Solução: P (t) e 0,0t.( 0,0) 00 e 0,0t Após 00 horas temos P (00) 00 e 7 A população está diminuindo a uma taa de 7 indivíduos por hora. Seja a IR * e seja u uma função derivável de variável Se f() u ' log a u então f () u.lna 6

48 Caso particular: Se f() ln u então f () u u ' Eemplos: 5 ) f() log (7 ) Solução: f () (7 )ln ) f() ln Solução: f () ) f() ln(5 ) Solução: Sabemos que ln(5 ) ln(5 ) 0 Então f (). 5 ) f() (ln( + 7)) 0 5 Solução: Pela regra geral da potência temos: f () (ln( + 7)) 7 6(ln( 7)) 7 5) f() ln Solução: Temos que Então f () '. ( ).. Outros eemplos: Calcule as derivadas: ) f() 7 ) f() e / ) f() log ( 5 7) ) f() ln 8 5 5) f() (ln( + )) 7 6) Escreva a equação da reta tangente ao gráfico de f() ln em (considere ln 0,7). 7

49 Respostas: ) f () ( + ). 7. ln ) f (). e / e / 0 ) f () 5 ( 7)ln0 ) f () 8 5 5) f () 7(6 )ln( )) 6 6) y,7.7 Regra de L Hôpital De modo geral, se temos a f() g() em que f() 0 e g() 0 quando a, dizemos que o ite está associado a uma forma indeterminada do tipo 0 0. Calculamos alguns ites desse tipo no capítulo utilizando recursos algébricos. Por eemplo, 5 6 ( )( ) ( )( ) Mas esses recursos não funcionam para determinar, por eemplo, o valor do seguinte ite: ln( 8) Se temos a f() g() onde f() (ou ) e g() (ou ) quando a, dizemos que o ite está associado a uma forma indeterminada do tipo. Os teoremas introduzidos no capítulo também não permitem calcular o e 5 que está associado a uma forma indeterminada do tipo. O teorema a seguir estabelece um método simples que usa a derivada para calcular esses ites chamado regra de L Hôpital. Teorema: (regra de L Hôpital) Sejam f e g funções deriváveis em um intervalo aberto I e g() 0, para todo a. a) Suponha que f() g() 0 Se a ' f () ' g () a a eiste, então, a f() g() a ' f () ' g () 8

50 b) Suponha que Se a ' f () ' g () f() ± e g() ± a eiste, então, a a f() g() a ' f () ' g () Observações: A regra de L Hôpital pode ser aplicada à determinação de ites laterais e de ites no infinito. Informalmente, a regra de L Hôpital diz que, se sua tentativa de calcular o ite de um quociente levar às formas indeterminadas 0 0 ou, então calcule as derivadas do numerador e do denominador e tente novamente. A regra de L Hôpital envolve a derivada do numerador e do denominador separadamente. Um erro comum é derivar o quociente inteiro usando a regra de derivação de quocientes. Eemplos: ) ) ) ln( 8) 8 6 ) e 5 e 5) ln 0 Algumas vezes, a aplicação da regra de L Hôpital a uma forma indeterminada conduz a uma nova forma indeterminada. Quando isso acontece, uma segunda aplicação da regra pode ser necessária. Em alguns casos, é preciso aplicar a regra várias vezes para einar a indeterminação. Eemplos: )

51 ) e e e 6 8e 6 Há casos em que a indeterminação persiste não importando quantas vezes a regra seja aplicada e outros recursos, além da regra de L Hôpital, precisam ser utilizados para determinar o ite. Por eemplo, o cálculo do 0 e leva à forma indeterminada 0 0 Aplicando a regra de L Hôpital (duas vezes) obtemos: 0 e 0 e 0 e (que continua indeterminado) Para determinar o ite, devemos fazer uma mudança de variável: Seja y. Daí y Então : 0 e y e y y y y e y y e y 0 A regra de L Hôpital se aplica somente a ites associados a formas indeterminadas. Assim, é importante verificar se um dado quociente tem a forma indeterminada 0 0 ou antes de aplicar a e 0 regra de L Hôpital. Sabemos que 0. Observe que o cálculo desse ite não e conduz a uma forma indeterminada e, portanto, a regra de L Hôpital não se aplica na determinação do ite. Se aplicarmos (erradamente) a regra vamos obter: e e (o que está errado) e e Outros eemplos: ) ) ) 5) ln 7 7 ) 6) ln e 6 0 e Respostas: ) 7 / ) ) 0 ) / 5) / 7 6) 50

52 Eercícios - Lista 6 Nas questões de a calcule as derivadas, simplificando o resultado: ) f() e 5 5 ) f() 7) f() ln (5 + ) 8) f() ln 5 ) f() ) f() ln (8 ) 5 ) f() e 0) f() (ln ( + )) 5) f() e ln ) f() log ( + ) 6) f() e 5 ) f() ln Nas questões de a use a regra de L Hôpital para determinar os seguintes ites: ) 9) ln ) 6 0) ln 5) ) 5 ln 6) ) ln(7 ) 7) ln ) e 8) ln( ) ln( 5) ) 0 e Respostas: ) f () (5 5 )e ) f () (5 5 ) ln ) f () ( 7ln 0) ) f () e 5) f () e ln 6) f () e e 5 5

53 7) f () 5 5 8) f () ) f () 5 0) f () 6ln( ) ) f () ( ) ln0 ) f () ) 5 / ) 5) 6) 7) / 6 8) / 9) 0) 0 ) 7 ) 0 ) ) 5

54 .8 Derivação implícita Todas as funções estudadas até agora foram dadas por equações da forma y f(), onde a variável dependente y é definida eplicitamente por uma epressão envolvendo a variável independente. Por eemplo, y + e y Muitas funções, no entanto, são definidas implicitamente por uma equação que envolve tanto a variável independente como a variável dependente. Por eemplo: () y e () 5 + y 7y Em alguns casos é possível resolver a equação e escrever a variável dependente na forma eplícita. É o caso da equação () acima, onde y. Mas não é fácil resolver a equação () e escrever y eplícitamente em função de. Vamos supor que conhecemos uma equação que define y implicitamente como uma função dy de e precisamos determinar a derivada. d dy Não é necessário escrever y eplícitamente em função de para encontrar. Podemos d derivar a equação termo a termo, utilizando a regra da cadeia quando derivarmos os termos dy contendo y e, a seguir, eplicitamos. Esta técnica é conhecida como derivação implícita. d Eemplos: dy ) Suponha que a equação () acima, defina uma função derivável tal que y f(). Calcule. d Solução: Temos que 5 + y 7y. Derivando implicitamente ambos os lados dessa equação em relação a obtemos: 0 + y dy dy 7 d d Daí y dy dy 7 d d dy (y 7) d dy Logo d y 7 ) Determine o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função y f() definida implicitamente na equação y 5y + 6 no ponto (, ). Solução: Derivando implicitamente a equação dada em relação a temos: 5

55 y +. y dy 5y dy + 0 d d y dy 5y dy y d d dy ( y 5y ) y d dy y d y 5y Para determinar o coeficiente angular m da reta tangente basta substituir e y na epressão da derivada. Então m Em algumas aplicações, e y estão relacionadas por uma equação, e ambas as variáveis são funções de uma terceira variável t (que quase sempre representa o tempo) e as fórmulas que descrevem e y como funções de t não são conhecidas. Nesse caso, a derivação implícita pode ser d dy usada para relacionar com e a equação relacionando as taas pode ser utilizada para dt dt d dy determinar uma delas quando a outra é conhecida. Nesse conteto, e são chamadas de dt dt taas relacionadas. Eemplos: ) Seja y d e suponha que e y são funções de t. Determine sabendo que, y 5 e dt dy 0,08. dt d dy Solução: Derivando implicitamente a equação dada em relação a t: y 0 dt dt d dy Daí y 0. dt dt dy d Para, y 5 e 0,08 temos: 0, 0. dt dt d Logo 0, dt ) Um tumor é modelado por uma esfera de raio R. Se o raio do tumor é atualmente R 0,5 cm e está aumentando à taa de 0, cm por mês, determine a taa correspondente de aumento do volume V R. 5

56 dv Solução: Derivando implicitamente a equação em relação a t temos:. R dr. dt dt dv Daí.R dr. dt dt dr dv Como R 0,5 e 0, então.(0,5).(0,) 0,7 dt dt Logo o tumor está aumentando 0,7cm por mês. Outros eemplos: ) Sabendo que e y estão relacionados pela equação derivação implícita. y dy 5, determine usando d ) Determine o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função y f() definida implicitamente na equação + y + y 6 y no ponto (, ). ) Suponha que e y são funções da variável t e estão relacionadas pela equação y d dy Se, y e, determine. dt dt ) Quando o ar se epande adiabaticamente (sem ganhar ou perder calor), sua pressão P e o volume V estão relacionados pela equação PV, C onde C é uma constante. Suponha que em um certo instante o volume é 00 cm e a pressão é 80 KPa e está decrescendo a uma taa de 0 KPa/min. A que taa está crescendo o volume nesse instante? Respostas: dy ) d y y ) m 5 dy ) 7 dt ) 5,7 cm /min 55

57 Eercícios lista 7 Nas questões de a encontre dy / d através de derivação implícita: ) y² + ²y ) + y ) ²y y² + ² 7 ) y Nas questões de 5 a 8 determine o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função definida implicitamente pela equação dada para o valor indicado. 5) ² y³ ; 8 7) ²y³ y 6 + y + ; 0 6) y ; 8) ( + y) ; Nas questões de 9 a escreva a equação da reta tangente ao gráfico da função definida implicitamente pela equação dada no ponto indicado. 9) ² + 9y² 6 ; P (0, ) ) ²y² + y 0 ; P (, ) 0) ²y³ y² + y ; P (,) ) ( + y) + 7 ; P (, ) ) Um pequeno balão esférico é introduzido em uma artéria obstruída e inflado à razão de 0,00 mm /min. Qual é a taa de aumento do raio do balão quando o raio é R 0,005 mm? ) A lei de Boyle estabelece que quando uma amostra de gás está comprimida a uma temperatura constante, a pressão P e o volume V estão relacionados pela equação PV C onde C é uma constante. Suponha que em certo instante o volume é 600 cm, a pressão é 50 KPa e a pressão cresce a uma taa de 0 KPa/ min. A que taa está decrescendo o volume nesse instante? Respostas: y 6y ) 8y 5) 9) y ) 0 mm/min ) y y y 6) 0) y + 5 ) 80 cm /min ) y 7) ) y ) y 8) 5 ) y + 56

58 .9 Diferenciais Problemas em que desejamos estimar a variação da variável dependente que corresponde a uma pequena mudança na variável independente ocorrem em muitas aplicações da vida real. Por eemplo, um comerciante deseja saber como um pequeno aumento no preço unitário de um produto irá afetar seu lucro; um sociólogo deseja saber como um pequeno aumento no investimento de capital de um projeto de moradias populares irá afetar a taa de criminalidade; um pesquisador deseja saber como um pequeno aumento na quantidade de bactericida irá afetar a população de bactérias. Para calcular essas variações e estimar seus efeitos, usamos a diferencial de uma função, um conceito que será introduzido logo a seguir. Seja uma quantidade variável e suponha que varie de a. A diferença é chamada de acréscimo (ou incremento) em e denotada por. Assim, Seja y f() onde f é uma função. Se varia de a então o acréscimo de acarreta um acréscimo de y, denotado por y. Nesse caso, y f( ) f( ) Como +, também podemos escrever: y f( + ) f( ) () O gráfico da figura ao lado mostra um caso em que e y são positivos, mas pode ser positivo ou negativo, e y pode ser positivo, negativo ou zero. Nas aplicações, e y são, em geral, pequenos numericamente. Eemplo : Seja f() a) Determine quando varia de a, b) Determine quando varia de a,7 c) Determine y quando varia de a,0 d) Determine y quando varia de a,98 Solução: a), 0, b),7 0, c) y f(,0) f() 8, ,060 d) y f(,98) f() 7, ,

59 Definição: Seja y f() onde f é uma função derivável e seja um acréscimo de. a) A diferencial d da variável independente é d b) A diferencial dy da variável dependente y é dy f ()d Observações: Para a variável independente, não eiste diferença entre e d: ambas medem a variação em. Para a variável dependente y, y mede a variação real em y quando varia de a +, enquanto dy mede a variação aproimada em y correspondente à mesma variação em. Eemplo : Seja y a) Determine dy b) Use dy para aproimar y quando varia de a,0 b) Use dy para aproimar y quando varia de a,98 Solução: a) dy f ()d d b) Temos e d,0 0,0 Então dy d..0,0 0, c) Temos e d,98 0,0 Então dy d..( 0,0) 0, As aproimações 0, e 0, calculadas no eemplo estão bastante próimas das variações reais de y obtidas no eemplo : 0,060 e 0,7608. Interpretação geométrica de dy A figura abaio representa o gráfico de uma função derivável y f(). 58

60 O acréscimo que define a diferencial d está geometricamente representado pela medida do segmento PM. O acréscimo y está representado pela medida do segmento MQ. A reta t é tangente à curva no ponto P. Esta reta corta a reta no ponto R, formando o triângulo retângulo PMR. O coeficiente angular desta reta t é dado por f ( ) ou tg. MR Observando o triângulo PMR, podemos dizer que f ( ) tg PM onde MRe PM são, respectivamente, as medidas dos segmentos MR e PM. dy dy MR Usando o fato de que f ( ), temos daí que d d PM Então, como PM d, concluímos que dy MR. Eemplo : Dado y +, os valores de y, dy e y dy para e 0,; e 0,0 e e 0,00 estão na tabela a seguir. y dy y dy 0,,, 0,0 0,0 0,0 0, 0,000 0,00 0,000 0,0 0,00000 Note, que quanto mais próimo de zero está, menor é a diferença entre y e dy. Nos eemplos anteriores fica claro que dy é uma boa aproimação para y desde que seja pequeno, isto é, se 0 então y dy. Observamos também, que é mais fácil encontrar um valor aproimado para a variação eata de uma função com o auílio da diferencial em lugar de calcular a variação real da própria função. Reescrevendo a fórmula () como f( + ) f( ) + y e considerando y dy, podemos concluir que, se y f() onde f é uma função derivável e é um acréscimo de então f( + ) f( ) + dy ou f( + ) f( ) + f ( )d Eemplo : Seja f() + a) Determine os valores de y e dy quando varia de para,0. c) Determine o erro cometido nessa aproimação. Solução: a) y f(,0) f() (,,0 + ) ( + ),0 0,0 dy f ()d (6 )d 59

61 Para e d 0,0 temos dy 0(0,0) 0, b) Determinamos o erro cometido calculando y dy 0,0 0, 0,00 Eemplo 5: Seja f() Use diferenciais para achar um valor aproimado para f(0,97). Solução: Sabemos que f () Como f( + ) f( ) + f ( )d temos f(0,97) f( + ( 0,0)) f() + f () ( 0,0) Mas f() e f () Então f(0,97) 0,06,06 Eemplo 6: Calcule um valor aproimado para 65, 5 usando diferenciais. Solução: Seja f() Daí 65, 5 f(65,5) f(6 +,5) f(6) + f (6).,5 Temos f (). Então f (6) 0,008 8 Logo, 65, 5 + (0,008)(,5) + 0,05,05 Outros eemplos: ) Seja y f() + 5. Determine os valores de y, dy e y dy quando varia de para,0. ) Use diferenciais para encontrar um valor aproimado para ln(,05). ) Seja f() 5 +. Use diferenciais para encontrar um valor aproimado para f(,0). ) Use diferenciais para encontrar um valor aproimado para 5, Respostas: ) y 0,06060; dy 0,06; y dy 0,00060 ) 0,05 ), ) 5,0 60

62 Eercícios lista 8 ) Seja f() 5. Determine os valores de y e dy quando varia de para,. ) Seja f() + 5. Determine os valores de y e dy quando varia de para,8. ) Suponha que f() 6, e 0,00. a) Faça uma estimativa de y usando diferenciais. b) Determine o erro cometido na aproimação ) Suponha que f(00) 00 e f (00) 0. Faça uma estimativa do valor de: a) f(00,5) b) f(99,75) 5) Sendo f() +, use diferenciais para achar um valor aproimado para f(,) 6) Sendo f(), use diferenciais para achar um valor aproimado para f(0,95) 7) Sendo f() , use diferenciais para achar um valor aproimado para f(,0) 8) Use diferenciais para encontrar um valor aproimado para 0 9) Use diferenciais para encontrar um valor aproimado para, 95 0) Use diferenciais para encontrar um valor aproimado para 7 Respostas: ) y, e dy, ) y 0,7 e dy 0,8 ) a) y 0,0 b) 0, ) a) 05 b) 97,5 5), 6) 0,8 7),9 8) 0,05 9),9875 0),0 6

63 .0 Problemas de máimos e mínimos Em muitas aplicações precisamos achar os valores máimo e mínimo que uma grandeza pode atingir. Por eemplo: A eficácia de um remédio t horas após ter sido tomado é dada por E(t) (9t + t t ) com 0 t 5. Para que valor de t a eficácia é máima? 7 Para resolver este problema há duas considerações a fazer: (ª) A função E assume algum valor máimo no intervalo dado? (ª) Se eiste este valor máimo, onde ele ocorre? Se soubermos responder estas questões então poderemos resolver o problema. Para isso, precisamos de algumas definições e teoremas. Definição: Seja f uma função com domínio D. Então f(c) é: a) máimo absoluto (ou global) de f em D se e somente se f() f(c) qualquer que seja em D. b) mínimo absoluto (ou global) de f em D se e somente se f() f(c) qualquer que seja em D. Figura Máimos e mínimos absolutos também são chamados de etremos absolutos (ou globais). Geralmente omitimos os termos absoluto e global, dizendo apenas máimo e mínimo. Observe que a função f representada na figura possui em [a, b] máimo absoluto quando r e mínimo absoluto quando b. Funções definidas pela mesma regra podem ter etremos diferentes, dependendo do intervalo. Seja f(). Vemos nos gráficos esboçados ao lado que: (a) no intervalo (, ) não eiste máimo absoluto de f e eiste mínimo absoluto quando 0. (b) no intervalo [0, ] eiste máimo absoluto de f quando e mínimo absoluto quando 0. (c) no intervalo (0, ] eiste máimo absoluto de f quando e não eiste mínimo absoluto. (d) no intervalo (0,) não eistem etremos absolutos. Figura 6

64 No eemplo anterior, vimos que uma função contínua pode não possuir etremos absolutos em um intervalo I. Porém se a função contínua é definida em um intervalo fechado e itado então estes valores sempre eistem. Teorema: Se f é contínua em [a, b] então eistem e em [a, b] tais que f( ) f() f( ) para todo em [a, b] (ou seja, f( ) é mínimo absoluto de f em [a, b] e f( ) é máimo absoluto de f em [a, b]). Mesmo dentro de um intervalo, os etremos podem ocorrer localmente. Na figura anterior, temos em p e em r máimos locais e em q um mínimo local. Definição: a) Uma função f tem um máimo local (ou relativo) em c se eiste um intervalo aberto (a, b) contendo c tal que f() f(c) para todo em (a, b). b) Uma função f tem um mínimo local (ou relativo) em c se eiste um intervalo aberto (a, b) contendo c tal que f() f(c) para todo em (a, b). Máimos e mínimos locais também são chamados de etremos locais (ou relativos). Podemos encontrar os etremos relativos calculando a derivada e determinando onde a derivada se anula e os pontos onde a derivada não eiste. Esses pontos são chamados de pontos críticos. Definição: Um ponto crítico de uma função f é qualquer ponto c do domínio de f tal que f (c) 0 ou f (c) não eiste. Para encontrar todos os etremos locais de uma função f, começamos achando todos os pontos críticos (que são os candidatos a etremos locais). Cada ponto crítico deve ser testado para verificar se é realmente um etremo local. Esse teste pode ser feito usando a derivada primeira de f. Teste da derivada primeira para etremos locais Seja c um ponto crítico de f() a) Se f () > 0 à esquerda de c e f () < 0 à direita de c então f tem um máimo local em c. b) Se f () < 0 à esquerda de c e f () > 0 à direita de c então f tem um mínimo local em c. Figura 6

65 Figura Eemplo: f() Então f () + 9 Logo f () 0 ou Como f () > 0 para < e f () < 0 e para > temos pelo teste da derivada primeira que f possui um máimo local em. Como f () < 0 para < e f () > 0 e para > temos pelo teste da derivada primeira, que f possui um mínimo local em. A derivada segunda também pode ser usada para classificar os pontos críticos de uma função como máimos ou mínimos locais. Para isso, basta aplicar o resultado conhecido como: Teste da derivada segunda para etremos relativos: Suponhamos que f (c) 0 a) Se f (c) > 0 então f possui um mínimo local em c. b) Se f (c) < 0 então f possui um máimo local em c. Eemplo: f() + 7 Temos que f () ( + )( ) é igual a zero em e em que são os pontos críticos de f. Para testar esses pontos, calculamos f () + 6 e determinamos seu valor em e em. Então, como f ( ) 8, f tem um máimo local em ; como f () 8, f tem um mínimo local em. Observação: Embora tenha sido fácil usar o teste da derivada segunda para classificar os pontos críticos no eemplo anterior, ele apresenta algumas itações. O teste se aplica aos pontos críticos nos quais a derivada primeira é nula, mas não aos pontos em que a derivada primeira não eiste. Além disso, se tanto f (c) como f (c) são nulas, o teste da derivada segunda não permite chegar a nenhuma conclusão. Notamos nas figuras e, que se f tem um etremo local em c, então f (c) 0 ou f (c) não eiste. Assim, um etremo absoluto de uma função contínua f num intervalo fechado e itado 6

66 I ocorre em pontos interiores onde a derivada é zero ou em pontos interiores onde a derivada f não eiste ou nas etremidades do intervalo I. Para encontrar os etremos absolutos de uma função contínua f em [a, b] devemos: Achar todos os pontos críticos c de f em (a, b). Calcular todos os valores f(c) para os pontos críticos do passo e determinar f(a) e f(b). Selecionar o maior e o menor dos valores do passo. Esses são, respectivamente, os valores de máimo e mínimo absolutos de f em [a, b]. Eemplos: ) Determine os etremos absolutos de f() + + em [0, ] Solução: Temos que f () 6 + ( ). Para ( ) 0 temos Calculamos, então, f(), f(0) e f() Comparando esses resultados, concluímos que f tem um máimo absoluto em e um mínimo absoluto em 0. ) Determine os etremos absolutos de f() + em [0, ]. Solução: Nesse caso, f (). Para 0 temos. Entretanto, apenas pertence ao intervalo [0, ]. Calculamos, então, f(), f(0) e f() Logo, no intervalo [0, ], f tem um máimo absoluto em e um mínimo absoluto em. ) Determine os etremos absolutos de f() no intervalo [, ] Solução: Temos que f (). Para 0 temos 0. Calculamos f(0), f( ) 0 e f() 0 Então f tem um máimo absoluto em 0 e assume em [, ], o valor mínimo zero duas vezes, ou seja, em e em. Isso significa que é possível um mínimo (máimo) absoluto ocorrer em dois ou mais pontos do intervalo. Podemos resolver, agora, o problema dado no início desta seção. Solução: Temos que E(t) (9t + t t ) em [0, 5]. 7 65

67 Então E(t) (9 + 6t t ) 7 Para E(t) 0 temos t ou t, mas apenas t pertence ao intervalo [0, 5]. 5 Calculamos, então, E(0) 0, E() e E(5) 7 Comparando esses resultados, concluímos que E tem um máimo absoluto em t, isto é, a eficácia do remédio é máima, horas após ter sido tomado. Quando o intervalo no qual desejamos analisar a eistência de etremos absolutos de uma função contínua não é fechado e itado, o método descrito anteriormente não é adequado, pois não há garantia de eistência desses etremos. Para fazer esta análise necessitamos do seguinte resultado: Teorema (do único ponto crítico): Seja f uma função contínua no intervalo I e seja c um ponto interior a I. Se c é o único etremo local de f em I então c será o máimo de f em I se c for um máimo local em I ou será o mínimo de f em I se c for um mínimo local em I. Então, para encontrar, caso eistam, os etremos absolutos de uma função contínua f em um intervalo I qualquer, devemos: Determinar os pontos críticos no interior de I. Se houver um único ponto crítico então este será um etremo local. Testa-se para ver se é máimo ou mínimo. Se for máimo local, será o máimo absoluto. Neste caso, a função não possui mínimo absoluto no interior do intervalo. Mas pode assumir um mínimo absoluto em algum etremo do intervalo. É preciso analisar o comportamento da função perto destes etremos. Usamos o mesmo raciocínio caso o etremo local seja um mínimo local. Se não houver pontos críticos no interior de I, não haverá máimo e mínimo no interior de I. Nesse caso, se eistirem etremos, estes ocorrerão nos etremos de I. Saberemos analisando o comportamento da função em I. Se eistir mais de um ponto crítico no interior de I, calculamos o valor da função nos pontos críticos e nos eventuais etremos do intervalo. Comparamos os resultados para determinar o máimo e o mínimo. Eemplo: A concentração de um fármaco no sangue, após sua administração, em uma 0t única dose, é dada por C(t), t 0, onde t é o tempo em horas. Determine em que t t instante a concentração da substância no sangue será máima. Solução: Temos que C (t) 0(t t ) 0t(t ) (t t ) 0t 0t 0 0t (t t ) 0t 66

68 0t 0 (t t ) 0(t ) ((t ) ) 0(t )(t ) (t ) 0(t ) (t ) Assim temos C (t) 0 t Logo t é o único ponto crítico de C no intervalo (0, ). Como para t < temos C (t) > 0 e para t > temos C (t) < 0, pelo teste da derivada primeira, C possui um máimo local em t e, portanto, em t temos o máimo absoluto de C no intervalo [0, ). Assim, a concentração do fármaco será máima uma hora após a sua administração. 67

69 Eercícios lista 9 Nas questões de a 5, determine os etremos absolutos (classificando-os) nos intervalos dados: ) f() + em [, ] ) f() em [, 0] ) f() + 7 em, 0 ) f() + em [, ] 5) Estima-se que uma colônia de bactérias tenha t horas após a introdução de uma toina, uma população de p(t) t + t + 5 (em milhares de indivíduos). Use o Cálculo para determinar o tempo no qual a população está no seu ponto máimo e calcule a população neste ponto. 6) A capacidade aeróbica de um indivíduo é dada por A() 0 idade a sua capacidade aeróbica é máima? (ln ) para 0. Em que 7) Uma equipe de médicos está estudando a capacidade do corpo humano de metabolizar um novo medicamento usado para preparar os pacientes para cirurgias cardíacas. Injetando doses conhecidas nos voluntários e colhendo amostras de sangue a cada 0 minutos para análise, a equipe concluiu que a concentração da substância na corrente sanguínea t horas após a injeção é dada pela função t C(t) e que o remédio será mais eficaz se atingir a concentração máima no momento de t começar a cirurgia. Quantas horas antes da operação o remédio deve ser administrado? t 0 8) A população (em milhares de indivíduos) de uma colônia de bactérias é dada por f(t) t t horas após a introdução de uma toina. Determine o instante em que a população é máima e a população nesse instante. 9) Suponha que o percentual de álcool no sangue, t horas após o seu consumo, seja dado pela t / função f(t) 0,t. Determine o nível máimo de álcool no sangue e quando ele ocorre. Respostas: e ) máimo absoluto em e mínimo absoluto em. ) máimos absolutos em e em 0 e mínimos absolutos em e em ) máimo absoluto em e mínimo absoluto em 0 ) máimo absoluto em 0 e em e mínimo absoluto em 5) t h; bactérias 6) Aproimadamente 0 anos 7) Duas horas antes da operação 8) t 0,67 h (0 min); bactérias 9) Aproimadamente 5 % e duas horas após o consumo 68

70 Capítulo Funções de duas variáveis Trabalhamos até agora eclusivamente com funções reais de uma variável real, mas sabemos que eistem situações práticas nas quais a função depende de duas (ou mais) variáveis. Por eemplo: de modo geral, a concentração C de uma droga no sangue é função de duas variáveis: a quantidade da droga ministrada na injeção e o tempo desde que a injeção foi aplicada. Neste capítulo introduziremos as ideias básicas do Cálculo para funções de mais de uma variável. Apresentaremos inicialmente, a definição e vários eemplos de funções de duas (ou mais) variáveis. A seguir, as definições e regras desenvolvidas anteriormente para derivar funções de uma variável serão utilizadas para calcular as derivadas parciais. Finalmente, estudaremos problemas de máimos e mínimos (com e sem restrição) de funções de duas variáveis.. Funções de duas variáveis Definição: Uma função real f de duas variáveis é uma relação que, a cada par ordenado (, y) de números reais pertencente a um dado conjunto D, associa um único número real z, indicado por f(, y). O conjunto D é chamado de domínio da função e o número z f(, y) é chamado de imagem ou valor de (, y) por f. Na equação z f(, y) chamamos z de variável dependente e e y de variáveis independentes. Em geral, utilizamos apenas uma epressão em e y para especificar f(, y). Nesse caso, fica subentendido que o domínio da função f é o conjunto de todos os pares ordenados de números reais para os quais a epressão é válida. Eemplos: ) Seja f(, y) + y + y +. Determine o domínio de f e f(, ) Solução: O domínio de f é o conjunto de todos os pares ordenados de números reais. f(, ) + + ) Dada a função f(, y) 5y, determine o domínio de f e f(, ) y Solução: A epressão da função dada é válida para qualquer par ordenado (, y) tal que y 0 ou y. Logo, o domínio de f é formado pelos pares ordenados de números reais (, y) tais que y. f(, ) 0 7 ) Dada a função f(, y) y, determine o domínio de f, f(, ). 69

71 Solução: Nesse caso, devemos ter y 0 ou y. Assim, o domínio de f é constituído pelos pares ordenados (, y) de números reais tais que y e f(, ) ( ) ) Seja f(, y) e y + ln. Determine o domínio de f e calcule f(, 0) e f(, ). Solução: A epressão e y é definida para todos os números reais e y e ln é definido apenas para > 0, então o domínio de f é o conjunto de todos os pares ordenados (, y) de números reais tais que > 0. Temos que f(, 0).e 0 + ln e f(, ) e + ln 5,5 5) O Quociente de Inteligência (QI) de uma pessoa é dado pela função f(m, a) idade mental e a é a idade cronológica. Calcule: a) f(, ); b) f(6, 7) 00m onde m é a a Solução: a) f(, ) , b) f(6, 7) 9, 7 Observação: Funções de três ou mais variáveis são definidas por uma etensão da definição de função de duas variáveis. Eemplo: f(, y, z) y + z + yz. Derivadas parciais Em muitos problemas que envolvem funções de duas variáveis, o objetivo é determinar a taa de variação de uma função em relação a uma das variáveis enquanto a outra é mantida constante. Vamos supor, por eemplo, que a concentração C f(, t) de uma droga no sangue é função da quantidade de droga injetada e do tempo t desde que a droga foi injetada. Se t permanece constante, a taa de variação de C em relação a descreve a concentração da droga no sangue em função da quantidade injetada. Se permanece constante, a taa de variação de C em relação a t descreve a concentração da droga no sangue em função do tempo. Dada uma função de duas variáveis z f(, y), suponha que o valor de y seja mantido constante e o valor de varie livremente. Nesse caso, f se torna função apenas de e podemos calcular a sua derivada da forma usual. Esta derivada é chamada de derivada parcial de f em relação a e representada por z f ou Assim, por eemplo, se f(, y) y + y e se fizermos y, vamos obter f(, ) + ou f(, ) 8 +. Esta função depende apenas da variável e sua derivada é a derivada parcial de f em relação a. Então f (, ) Se substituirmos o valor de y por outra constante y 0, a função f(, y 0 ) também será uma função apenas de. Nesse caso, teremos f(, y 0 ) y 0 + y 0 e a derivada parcial de f em relação a será f (, y 0 ) y 0 70

72 Na verdade, é possível pensar em y como uma grandeza constante sem necessidade de usar uma notação especial para indicar este fato. Podemos simplesmente escrever: f (, y) y o que significa que mantivemos y constante e calculamos a derivada de f como se fosse função apenas de. Analogamente, se mantivermos fio e permitirmos que y varie, teremos uma função apenas da variável y. Neste caso, a derivada é chamada de derivada parcial de f em relação a y e representada por z f y ou y Para o eemplo dado temos: f y (, y) y + y + Podemos obter uma definição formal para a derivada parcial usando uma epressão análoga à que define a derivada para funções de uma variável. Definição: Seja f uma função real de duas variáveis reais e y. A derivada parcial de f em relação a é a função tal que f(, y) f(, y) f (, y) se o ite eistir 0 A derivada parcial de f em relação a y é a função tal que f(, y Δy) f(, y) f y (, y) se o ite eistir y0 Δy Observação: Na prática, para achar f consideramos y como constante e derivamos f em relação a utilizando as regras de derivação para funções de uma variável; para achar f y consideramos como constante e derivamos f em relação a y. Eemplos: Calcule as derivadas parciais: ) f(, y) y + y + 7 8y f (, y) 9 8y + y + 7 e f y (, y) + 6y 8 ) f(, y) y 6y f (, y) ( + y + 6y) ½ ( + y ) ( + y + 6y) ½ ( + y ) f y (, y) ( + y + 6y) ½ (8y + 6) ( + y + 6y) ½ (y + ) y y y y 6y 6y 7

73 ) z ln(5 + y ) z 0 5 y e z y y 5 y ) f(, y). e y f (, y) e y + y e y e f y (, y) e y 5) z y z y e z y.y y 8 y 6) f(, y) y y ( y) ( y ). f (, y) ( y) 6y y ( y) 6y y ( y) y( y) ( y ). f y (, y) ( y) y y 6 y ( y) y y 6 ( y) 7) A concentração C de bactérias no sangue (em milhões de bactérias/ml) após uma injeção de antibiótico é função da dose injetada (em gramas) e do tempo desde a injeção t (em horas). Suponha que C f(, t) te t. Determine f (, ) e f t (, ). Solução: Sabemos que f (, y) t e t e f t (, y) e t te t f (, ) e 0,5 (significa que há um decréscimo de 0,5 milhões de bactérias /ml por grama de antibiótico). f t (, ) e e 0, (significa que há decréscimo de 0, milhões de bactérias /ml por hora). Outros eemplos: Calcule as derivadas parciais: ) f(, y) 6 + 5y + 0y ) f(, y) 5 y e ) f(, y) + y y + ) f(, y) y y Respostas: ) f (, y) + 0y f y (, y) 5y + 0 7

74 ) f (, y) y 5 5 y e f y (, y) 5y 5 y e ) f (, y) + y y y ) f (, y) ( y) y f y (, y) y + f y (, y) ( y) Observação: As derivadas parciais também podem ser definidas para funções de mais de duas variáveis. Assim, por eemplo, se w f(, y, z), mantendo e y fios e deiando z variar obtemos a derivada parcial f z. Eemplo: Seja f(, y, z) y z 5 + y + 7. Então f (, y, z) y z 5; f y (, y, z) yz + 8y e f z (, y, z) y z Como as funções de uma variável, as funções de duas (ou mais) variáveis podem ser derivadas mais de uma vez. Vamos considerar, por eemplo, a função f(, y) y + 5y. Suas derivadas parciais são f (, y) 6y + e f y (, y) 9 y 0y. Essas derivadas também são funções de duas variáveis e podemos, portanto, calcular suas derivadas parciais. São elas: (f ) (, y) 6y + e (f ) y (, y) 8y (f y ) (, y) 8y e (f y ) y (, y) 8 y 0 Essas quatro funções são chamadas de derivadas parciais de segunda ordem da função f. Por simplicidade, omitimos os parênteses e representamos as derivadas parciais de segunda ordem de uma função f de duas variáveis da seguinte maneira: f derivada parcial de f em relação a f y derivada parcial de f em relação a y f y derivada parcial de f y em relação a f yy derivada parcial de f y em relação a y Eemplo: Seja f(, y) lny + ye. Determine f, f y, f y e f yy Solução: Como f (, y) ye e f y (, y) y + e temos que: f (, y) ye f y (, y) e f y (, y) e f yy (, y) y Observação: As derivadas parciais de segunda ordem f y e f y são chamadas de derivadas mistas de segunda ordem de f. Se f y eiste e é contínua em um intervalo aberto I, então f y eiste em I e f y f y 7

75 Eercícios lista 0 Nos questões de a 0, calcule as derivadas parciais em relação à e em relação à y: ) f(,y) y 5 + y + ) f(,y) 5 y + y + y ) f(,y) ( + y) 5 ) f(,y) ( + y + y) 5) f(,y) y y 6) f(,y) 7) f(,y) y y 8) f(,y) y 9) f(,y) ye 0) f(,y) lny Nas questões de a, determine: a) f (, y) b) f y (, y) c) f y (, y) d) f yy (, y) ) f(, y) 6 + 7y + 5y ) f(, y) y + y y ) f(, y) ) f(, y) e lny 5) Uma medida da sensação de calor é o chamado índice de temperatura aparente dado pela equação A(t, h) 0,885t,h +,0th 0,5 onde A é a temperatura aparente em graus Celsius, t é a temperatura do ar em graus Celsius e h é a umidade relativa do ar em forma decimal. A A a) Determine e t h b) Use o resultado do item (a) para determinar as taas de variação da temperatura aparente em relação à temperatura do ar e em relação à umidade quando a temperatura ambiente é º C e a umidade relativa do ar é de 80 %. 6) A capacidade vital V dos pulmões é o maior volume de ar que pode ser ealado após uma inalação de ar. Para um indivíduo do seo masculino com anos de idade e y centímetros de altura, V pode ser aproimado pela fórmula V 7,6y 0,y V V Calcule e e interprete os resultados. y 7

76 Respostas: ) f (, y) y 5 + 6y + f y (, y) 0y + ) f (, y) 0y + y f y (, y) 5 + 6y + 6y ) f (, y) 5( + y) f y (, y) 0( + y) ) f (, y) ( + y + y) ( + y) f y (, y) ( + y + y) ( + ) 5) f (, y) y y 6) f (, y) 5y 7) f (, y) (y ) 6y 8) f (, y) ( ) f y (, y) y y f y (, y) 5 f y (, y) (y ) f y (, y) y 9) f (, y) ye ( + ) f y (, y) e 0) f (, y) lny f y (, y) y ) a) b) 7 c) 7 d) 0 y ) a) b) c) d) 0 ) a) y b) y c) y d) 6y ) a) e e lny b) y e e c) d) y y 5) a) A t 0,885 +,0 h e A h, +,0t b) A A (; 0,8),85 e (; 0,8) 6,0 t h V 6) 0,y cm/ano é a taa na qual a capacidade pulmonar decresce com a idade para um homem adulto V 7,6 0, cm/ano. É difícil de interpretar, já que encaramos a altura y de um adulto y como fia em lugar de como função da idade. 75

77 . Máimos e mínimos de funções de duas variáveis Sabemos que a derivada é uma ferramenta indispensável à resolução de problemas onde figurem etremos de funções de uma variável. Nesta seção estudaremos como determinar valores de máimos e mínimos de funções de duas variáveis e veremos que as derivadas parciais são úteis para esse fim. Definição: Seja f uma função de duas variáveis. a) Dizemos que f possui um máimo relativo em ( 0, y 0 ), se f( 0, y 0 ) f(, y) para qualquer ponto (, y) na vizinhança de ( 0, y 0 ). b) Dizemos que f possui um mínimo relativo em ( 0, y 0 ), se f( 0, y 0 ) f(, y) para qualquer ponto (, y) na vizinhança de ( 0, y 0 ). c) Dizemos que f possui um etremo relativo em ( 0, y 0 ) se f possui um máimo relativo ou um mínimo relativo em ( 0, y 0 ). Na figura à esquerda, ( 0, y 0 ) é um máimo relativo e no centro da figura, ( 0, y 0 ) é um mínimo relativo. Suponha que f tenha um etremo relativo no ponto ( 0, y 0 ). Nesse caso, mantendo y fio com o valor y 0 e deiando variar, obtemos uma função de uma variável f(, y 0 ) com um etremo relativo em 0. De acordo com o teste da derivada primeira para máimos e mínimos relativos de funções de uma variável, a derivada desta função deve se anular em 0, isto é, f ( 0, y 0 ) 0. Da mesma forma, mantendo fio com o valor 0 e deiando y variar, obtemos uma função de uma variável f( 0, y) com um etremo relativo em y 0. Como a derivada desta função deve se anular em y 0, temos que f y ( 0, y 0 ) 0. Essas considerações nos levam a formular o seguinte teorema que estabelece a condição necessária para uma função de duas variáveis f ter um etremo relativo. Teorema: Se f possui um etremo relativo em ( 0, y 0 ) então f ( f y( 0 0, y ) 0 0, y ) 0 0 As soluções deste sistema de equações recebem o nome de pontos críticos de f. O ponto crítico que não é etremo relativo é chamado de ponto de sela. O ponto ( 0, y 0 ) à direita da figura anterior corresponde a um ponto de sela. 76

78 Vamos apresentar a seguir um teorema baseado nas derivadas parciais de segunda ordem, fundamental para determinar se um ponto crítico é um máimo relativo, um mínimo relativo ou um ponto de sela. Teorema: (teste da derivada segunda) Seja f uma função de duas variáveis e seja ( 0, y 0 ) um ponto crítico de f. Seja D( 0, y 0 ) f ( 0, y 0 ).f yy ( 0, y 0 ) (f y ( 0, y 0 )) a) Se D( 0, y 0 ) > 0 e f ( 0, y 0 ) > 0 então f tem um mínimo relativo em ( 0, y 0 ). b) Se D( 0, y 0 ) > 0 e f ( 0, y 0 ) < 0 então f tem um máimo relativo em ( 0, y 0 ). c) Se D( 0, y 0 ) < 0 então f tem um ponto de sela em ( 0, y 0 ). d) Se D( 0, y 0 ) 0 então não é possível chegar a nenhuma conclusão: ( 0, y 0 ) pode ser um etremo relativo ou um ponto de sela. As conclusões do teorema anterior estão resumidas na tabela abaio. Sinal de D( 0, y 0 ) Sinal de f ( 0, y 0 ) Comportamento no ponto ( 0, y 0 ) + + Mínimo relativo + Máimo relativo Ponto de sela Eemplo : Seja f(, y) + y y Solução: Começamos calculando as derivadas parciais e construindo o sistema: f (, y) + y 6 e f y (, y) 6y 6y y 6 0 6y 6y 0 Resolvendo o sistema obtemos quatro pontos críticos: (, ), (, ), (0, 0) e (, 0). Para testar estes pontos precisamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem: f (, y) 6 6 f y (, y) 6y f yy (, y) 6 6 Assim D(, y) (6 6)(6 6) (6y) (6 6) 6y O resultado da aplicação do teste da derivada segunda é o seguinte: D(, ) 6 (, ) é ponto de sela D(, ) 6 (, ) é ponto de sela D(0, 0) 6 e f (0, 0) 6 f tem um máimo relativo em (0, 0) D(, 0) 6 e f (, 0) 6 f tem um mínimo relativo em (, 0) Eemplo : Uma combinação de dois medicamentos está sendo testada no combate a certa infecção bacteriana. Os estudos mostraram que a duração da infecção em testes de laboratório pode ser modelada pela função f(, y) + y 8 y + y + 0 onde é a dose do primeiro 77

79 medicamento em centenas de mg e y é a dose do segundo medicamento em centenas de mg. Determine a dose de cada medicamento para que a duração da infecção seja mínima. Solução: f (, y) 8 + y e f y (, y) y y 0 y + 0 Resolvendo o sistema obtemos um ponto crítico: (6, ). Calculando as derivadas parciais de segunda ordem temos: f (, y) f y (, y) f yy (, y) Então D(, y) 8 Logo D(6, ) e f (6, ) f possui um mínimo relativo (6, ) Portanto a dose de deve ser 600 mg e a de y 00 mg. Outros eemplos: ) Encontre os pontos críticos das funções abaio e classifique cada um deles como um máimo relativo, um mínimo relativo ou um ponto de sela: a) f(, y) y + y + + b) f(, y) + y + y + c) f(, y) + y + y d) f(, y) + y y e) f(, y) + y + y ) Certa doença pode ser tratada administrando pelo menos 70 unidades do medicamento C, mas este remédio pode produzir graves efeitos colaterais. Em busca de uma alternativa menos arriscada, um médico decide usar os medicamentos A e B, que não produzem efeitos colaterais se a dose combinada dos dois medicamentos for menor que 60 unidades. O médico sabe que, quando unidades do medicamento A e y unidades do B são administradas a um paciente, o efeito é equivalente ao de administrar z unidades do medicamento C, onde z 0,05(y y y) a) Para que doses e y o nível equivalente z do medicamento C é máimo? b) Se o médico administrar doses adequadas de A e B, será possível tratar a doença sem efeitos colaterais? 78

80 Respostas: ) (, 5) é ponto de sela ) (, ) é mínimo relativo ) (0, 0) é ponto se sela e (, ) é máimo relativo ) (, ) é mínimo relativo, (, ) é máimo relativo e (, ) e (, ) são pontos de sela 5) (0, 0) é ponto de sela e (, ) e (, ) são mínimos relativos 6) a) 0 unidades de A e 5 unidades de B, o que resulta em uma dose equivalente de z 8,75 unidades ( como é maior que 70, a combinação é eficaz). b) Como o número total de unidades é 55 (que é menor que 60) não há risco de efeitos colaterais. Observação: Se D( 0, y 0 ) 0, o teste da derivada segunda para funções de duas variáveis não é conclusivo e f pode ter um etremo relativo ou um ponto de sela em ( 0, y 0 ) e outros métodos precisam ser usados para determinar sua natureza. Eemplo: f(, y) + y Solução: Nesse caso f (, y) e f y (, y) y Então y 0 0 Resolvendo o sistema encontramos um único ponto crítico: (0, 0) As derivadas de segunda ordem são: f (, y) f y (, y) 0 f yy (, y) y Logo D(, y) y e D(0, 0) 0 O teste da derivada segunda não permite chegar a nenhuma conclusão, mas como f(0, 0) 0 e f(, y) > 0 quando (, y) (0, 0), podemos concluir que f tem um mínimo relativo em (0, 0). 79

81 Eercícios lista Nas questões de a 0 encontre os pontos críticos das funções dadas e classifique cada um deles como um máimo relativo, um mínimo relativo ou um ponto de sela: ) f(, y) + (y ) ) f(, y) y y ) f(, y) y + + y ) f(, y) y + y 5) f(, y) + y y 6) f(, y) + y y 7) f(, y) + y + y 8) f(, y) y y + 9) f(, y) y + y + y 0) f(, y) + y + y ) Uma combinação de dois medicamentos está sendo testada no combate a certa infecção. Os estudos mostraram que a duração (em dias) da infecção em testes de laboratório pode ser modelada pela função f(, y) y + + y onde é a dose em mg do primeiro medicamento e y é a dose em mg do segundo medicamento. Determine a dose de cada medicamento para que a duração da infecção seja mínima e a duração correspondente. ) A eficácia do tratamento de uma doença depende da combinação de dois medicamentos A e B. A duração, em dias, do tratamento pode ser modelada pode ser modelada pela função f(, y) y + y onde é a dose em mg de A e y é a dose em mg de B. Para que doses de A e B a eficácia do tratamento é máima? Qual é essa duração? Respostas: ) (0,) é mínimo relativo ) (,) é ponto de sela ) (, ) é ponto de sela ) (,) é máimo relativo 5) (0,0) é mínimo relativo e (, ) e (,) são pontos de sela 6) (0,0) é ponto de sela e (, ) é mínimo relativo 7) (0,0) é ponto de sela e (,) e (, 8) são mínimos relativos 8) (, ) e (,) são pontos de sela, (,) é máimo relativo e (, ) é mínimo relativo 9) (, ) e (,8) são pontos de sela 0) (,) e (, ) são pontos de sela, (, ) é máimo relativo e (,) é mínimo relativo ) mg do medicamento e mg do medicamento y; 6 dias ) 6 mg de A e mg de B; f(6, ) 7 (dias) 80

82 . Multiplicadores de Lagrange Em termos matemáticos, um problema de otimização com restrição de duas variáveis é um problema no qual queremos maimizar (ou minimizar) uma função f cujas variáveis independentes e y estão sujeitas a uma condição adicional na forma de uma equação g(, y) k, k IR, conhecida como equação de restrição. Para visualizar o que significa o processo de otimização com restrição de uma função de duas variáveis e y, podemos pensar na função como uma superfície no espaço tridimensional e na restrição como uma curva no plano y. restrição. Quando procuramos, por eemplo, o máimo de uma função sujeita a uma dada restrição, estamos itando nossa busca à parte da superfície que está diretamente em cima da curva que representa a restrição. O ponto mais alto dessa parte da superfície é o máimo com a Em alguns casos, a equação de restrição pode ser substituída na função a ser otimizada e o problema fica reduzido a outro envolvendo máimos e mínimos não sujeitos a restrições, sendo resolvido pelos métodos da seção precedente. Entretanto, este procedimento nem sempre é possível, como no caso em que a função a ser otimizada envolve mais de duas variáveis e várias restrições. O método apresentado a seguir deve-se ao matemático francês Joseph Lagrange e é aplicável a todos os casos e pode ser generalizado para qualquer número de variáveis ou restrições. O método dos multiplicadores de Lagrange se baseia no fato de que todo etremo relativo de uma função real f de duas variáveis e y com uma restrição g(, y) k ocorre em um ponto crítico da função (de Lagrange): F(, y, ) f(, y) (g(, y) k) onde é uma nova variável (o multiplicador de Lagrange). Para determinar os pontos críticos de F, calculamos suas derivadas parciais: F (, y, ) f (, y) g (, y) F y (, y, ) f y (, y) g y (, y) F (, y, ) (g(, y) k) E resolvemos o sistema de equações F (, y,λ) 0 Fy (, y,λ) 0 Fλ (, y,λ) 0 Isto é, resolvemos f f y (, y) (, y) λg (, y) 0 λg (, y) 0 y (g(, y) k) 0 8

83 Ou ainda, f f y (, y) λg (, y) λg y g(, y) k (, y) (, y) Os pontos ( 0, y 0 ) que fornecem os etremos de f com a restrição g(, y) k estão entre os pontos determinados pelas duas primeiras coordenadas desses pontos críticos. Resumo do método dos multiplicadores de Lagrange Os pontos onde uma função real f de duas variáveis tem etremos relativos sujeitos à restrição g(, y) k estão incluídos entre os pontos determinados pelas duas primeiras coordenadas das soluções ( 0, y 0, 0 ) do sistema f f y (, y) λg (, y) λg y g(, y) k (, y) (, y) Uma desvantagem do método de Lagrange é que ele fornece somente os pontos críticos da função sem discriminar se é máimo, mínimo ou nenhum dos dois. Eiste uma versão do teste das derivadas parciais de segunda ordem que pode ser usada para determinar que tipo de etremo com restrição corresponde a cada ponto crítico ( 0, y 0 ), mas neste teto vamos supor que se f possui um máimo (ou mínimo) relativo com restrição em ( 0, y 0 ), ele será dado pelo maior (menor) dos valores de f( 0, y 0 ). Eemplos: A função f(, y) + y possui um valor mínimo com a restrição + y 6. Use o método dos multiplicadores de Lagrange para determinar esse mínimo. Solução: Vamos supor que g(, y) + y e que k 6 Queremos encontrar o valor mínimo de f sujeita à restrição g(, y) k. Pelo método dos multiplicadores de Lagrange, devemos resolver o seguinte sistema: λ y λ y 6 () () () De () e () obtemos y y Substituindo em () obtemos: Logo,, y e 8 Ou seja, (,, 8) é a única solução do sistema. Assim o único valor etremo de f sujeita à restrição dada ocorre no ponto (, ). Portanto o valor mínimo desejado é f(, ) 8

84 A função f(, y) + y y possui um valor máimo com a condição + y. Use o método dos multiplicadores de Lagrange para determinar esse máimo. Solução: Vamos supor que g(, y) + y e que k Queremos encontrar o valor máimo de f sujeita à restrição g(, y) k. Pelo método dos multiplicadores de Lagrange, devemos resolver o seguinte sistema: y λ () 6y λ () y () De () e () obtemos 6y ( + y) 6y + y 8y Substituindo em () obtemos: 8 y 8 y + y 8y + 6y 6 8y y 6 y Logo, 8, y e. Ou seja, (8,, ) é a única solução do sistema. Assim o único valor etremo de f sujeita à restrição dada ocorre no ponto (8, ). Portanto o valor máimo desejado é f(8, ). Utilize o método dos multiplicadores de Lagrange para encontrar os valores de máimo e mínimo da função f(, y) + 8y com condição y 600. Solução: Vamos supor que g(, y) y e que k 600 Então λy 8 λ y 600 () () () Pela equação () sabemos que 0 e y 0. 8 Logo em () podemos escrever e em () podemos escrever y Daí temos: 8 y y 8 Substituindo em () obtemos: ± 0 Assim, se 0 temos y 0 e se 0 temos y 0 Portanto os pontos críticos de f são (0,0) e ( 0, 0) 8

85 Além disso. f(0,0).680 e f( 0, 0).680 Logo o valor máimo é.680 e o valor mínimo é.680 Utilize o método dos multiplicadores de Lagrange para encontrar os valores máimos e mínimos da função f(, y) + y + y com a restrição + y 5 Solução: Vamos supor que g(, y) + y e que k 5 Temos que resolver o seguinte sistema: y λ λy y 5 () () () Por () temos 0 ( ) 0 Então podemos ter 0 ou 0. Ou seja: 0 ou Se 0 temos por () que y 5 Se temos por () que y + y. Portanto, neste caso, temos y. Substituindo este valor em () encontramos ± Assim os pontos críticos de f são: (0, 5 ), (0, 5 ), (, ) e (, ). Daí, f(0, 5 ) ,5 f(0, 5 ) 5 5 0,5 f(, ) f(, ) Logo, o valor máimo é e o valor mínimo é 0,5 8

86 Eercícios lista ) Ache o valor máimo de f(, y) + y y sujeita à restrição + y 9 ) Ache o valor mínimo de f(, y) + y y y + com a restrição + y 5 ) Ache o valor máimo de f(, y) + 5y y y com a restrição + y ) Use o método dos multiplicadores de Lagrange para achar os pontos críticos de f(, y) + y com a restrição + y 5 5) Use o método dos multiplicadores de Lagrange para achar os pontos críticos de f(, y) y com a restrição + y 8 6) Utilize o método dos multiplicadores de Lagrange para determinar os pontos críticos da função f(, y) + y + + com a restrição + y 7) Use o método dos multiplicadores de Lagrange para achar os pontos críticos de f(, y) 6 8y sujeita à restrição + y 7 8) Ache o valor mínimo da função f(, y) ( ) + (y ) sujeita à restrição + 5y 7. Respostas: ) f(, 7/) 7 ) f(8, 7) 8 ) f(/, ) ) (, ) e (, ) 5) (, ), (, ), (, ) e (, ) 6) (, 0), (, 0), (, ) e (, ) 7) (, ) e (,) 8) f(, 7) 0 85

87 Capítulo 5 Integral de uma função real No capítulo estudamos várias regras para obter a derivada de uma função, mas em muitas aplicações conhecemos a derivada de uma função e precisamos encontrar a função. Neste capítulo vamos introduzir a antiderivação que inverte o processo de derivação e permite achar todas as funções que têm uma dada função como derivada. Vamos estudar também algumas técnicas usadas para determinar as integrais indefinidas e resolver problemas relacionados ao cálculo da área de regiões planas. O resultado principal estabelecido neste capítulo é o teorema fundamental do cálculo que mostra a relação entre derivadas e integrais. 5. Antiderivada Integral indefinida Nos eemplos e problemas estudados no capítulo anterior, começamos com uma função dada e calculamos a derivada para obter informações a respeito da função. Em muitas situações, no entanto, o problema é o inverso: conhecemos a derivada e estamos interessados em determinar a função. Isso acontece, por eemplo, quando sabemos a taa com a qual uma população está aumentando e queremos calcular qual será a população em um determinado instante futuro. A função encontrada nesse problema é uma antiderivada. Definição : Uma função g é uma antiderivada (ou primitiva) de uma função f em um intervalo I, se g() f() para todo em I. Se considerarmos, por eemplo, a função f(), é fácil verificar que g() é uma antiderivada de f, pois g' (). Dizer que g é uma antiderivada de f equivale a dizer que f é a derivada de g, mas agora pensamos em f como a função dada e em g como a função a ser encontrada. O processo de encontrar uma antiderivada é conhecido como antiderivação. A antiderivada de uma função não é única. De fato, as funções g () + 5 g () g () + 7 também são antiderivadas de f(), pois suas derivadas são iguais a f. Note que qualquer função do tipo h() + C onde C é uma constante qualquer, é uma antiderivada de f. Podemos estabelecer o seguinte resultado: Teorema: Seja g uma antiderivada de f em um intervalo I. Se h é outra antiderivada de f em I então eiste uma constante C tal que h() g() + C para todo em I. Assim, quando achamos uma antiderivada g de uma função f, encontramos uma infinidade de antiderivadas de f e todas da forma g + C onde C é uma constante. 86

88 Ao considerarmos todas as antiderivadas de uma dada função é conveniente introduzirmos uma nova terminologia e uma nova notação, como se segue: Definição : A integral indefinida de f, indicada por f() d, é a família de todas as antiderivadas de f. Assim, se g é uma antiderivada de f e C é uma constante arbitrária, então f() d g() + C Nessa definição f()d é chamado de integrando e C de constante de integração. Daremos razões, mais adiante, para o uso da diferencial d que aparece no integrando. No momento vamos considerar que o símbolo d indica que a antiderivada deve ser calculada em relação à variável. Para o eemplo dado escrevemos d + C Usando os resultados do capítulo, podemos obter as integrais indefinidas das principais funções que decorrem imediatamente das respectivas regras de derivação. Regras básicas de antiderivação ) (f() g()) d f() d + g() d ) Se a é um número real então a f() d a f() d ) d + C ) Se n Q e n então n d n + C n d 5) ln + C 6) Se k IR * então e k d k e k + C Observação: A regra pode ser estendida a qualquer número finito de parcelas. Eemplos: ) ( 5) d d + 5 d + C + 5( + C ) C onde C C + 5C Na prática, quando as regras básicas são usadas para calcular integrais indefinidas, as constantes individuais de integração que aparecem podem ser combinadas em uma única constante. Assim. A solução acima pode ser apresentada da seguinte maneira: ( 5) d d + 5 d C 87

89 5 ) 7 6 / 6 6 d d 6 d 7 / d d / / 5 5 / C ) 7 d d 6 5 d d d d ln ln + + C ) 5 d d + / d / 5 d / 5 / ln + 5 ln C / 5/ Outros eemplos: ) (5 ) d ) ( 5)(8 ) d ) ( ) d ) d 5) 5 Respostas: 7 d 6) 6 d ) C ) C ) C ) + C 5) C 6) 7 ln + + C 88

90 Eercícios - lista Use as regras básicas para calcular as integrais abaio: ) ( 5) d ) ( + ) d d ) ( )( + 5) d ) ( 5 + 6) 5) ( 5 + ) d 6) ( + ) d 7) ( + + ) d 8) ( + 5 ) d / 7 (5 ) d 0) 5 9) d 7 ) d ) 6 d 5 7 ) 9 5 d ) d Respostas: ) 5 + C ) + + C ) C ) C 5) 0 / + + C 6) C 5 7) + + C 8) 5 + C 9) 50 7 / / + C 0) 9 / + 5 / + C 7 9 ) + 7 ln + C ) + ln + C ) C ) + 5 ln + + C 89

91 5. Integração por substituição Eistem várias técnicas para escrever uma integral em uma forma à qual se aplique uma ou mais das regras básicas. Queremos calcular, por eemplo, ( ) 9 d () Podemos epandir a epressão ( + ) 9 e, em seguida integrar termo a termo (mas isso seria muito trabalhoso). Então vamos tentar simplificar a integral fazendo uma mudança de variáveis. Seja u +. Daí du d Substituindo estas epressões em () obtemos: ( ) 9 9 d ( ) d u 0 u 9 du + C () 0 Substituindo u por + em () temos nosso resultado: ( ) C Como a variável foi substituída por uma nova variável, esta maneira de calcular integrais definidas é conhecida como integração por substituição ou mudança de variável. A justificativa do procedimento usado no eemplo anterior é dada pelo teorema a seguir, que é análogo à regra da cadeia para derivação. Teorema: Seja h uma função derivável de variável e seja g uma antiderivada de f. Então, se u h(), f(h())h ' ()d f(u)du g(u) + C g(h()) + C ) 5 8 Eemplos: d Solução: Seja u Daí du 5d. Então d 5 du Logo 5 8 d u. du 5 5 u / du 5 u / u (5 8) + C / 5 5 ) ( ) 8 d Solução: Seja u + 90

92 Daí du 6d. Então d du 6 Logo ( ) 8 8 d ( ) d 8 d ) ( 7) Solução: Seja u + 7 Daí du 6 d. Então du 8 d 6 u 8 8 du 6 u du 6. 9 u 9 ( ) C 8 d Logo ( 7) ( 7) u 8 d u du u du u u ( 7) + C ) d Solução: Seja u. Daí du d () Da primeira igualdade em () temos: u + (u + ) u + u + Então d (u 5/ / / u ) u du (u u u ) du u / 7 5 / / + + u 7/ + u 5/ + u / ( ) 7/ + ( ) 5/ + ( ) / + C 5/ / / u u Outros eemplos: ) ( ) 7 d ) d 5 5 d ) ( ) 5 ) 5 d Respostas: ) ( + ) 8 + C ) C 5 ) ( ) + C ) ( + 5) 5/ 0 ( + 5) / + C 5 9

93 Eercícios lista Calcule as integrais: ) ( + ) d ) 5 d 9 ) ( + 7) d ) ( ) 8 d 5) d 6) ( 6) 7 d 6 7) ( ) d 8) ( 6 ) d 9) ( )(6 9 +) / d 8 0) ( + + 5) (8 + 7) d ) ( +) / d / ) (5 ) d Respostas: 0 ) C ) C ) ( 5) C ) C 7 ( ) 5) (5 + 6) / + C 6) 0 6 ( + + 6) 6 + C 7) ( + ) + C 8) 9) ( 6 + ) + C (6 9 + ) / + C 0) ( + + 5) 9 + C 9 ) ( + ) / ( + ) / + C ) 0 (5 ) / + (5 ) 5 / + C 5 9

94 5. Integração por Partes Nesta seção vamos estudar uma técnica que pode ser usada para integrar produtos nos quais um dos fatores pode ser facilmente integrado e o outro se tornar mais simples ao ser derivado. Essa técnica, conhecida como integração por partes, é uma consequência direta da regra do produto para diferenciais. A fórmula de integração por partes é apresentada a seguir. Sejam u e v funções de variável Sabemos que d(uv) udv + vdu Ou, equivalentemente, udv d(uv) vdu Integrando ambos os membros dessa equação temos: udv d(uv) vdu Ou ainda, udv uv vdu () A equação () é chamada de fórmula para integração por partes. Esta fórmula transforma o problema do cálculo de udv no cálculo de vdu. Através de uma escolha conveniente de u e dv pode ser mais fácil calcular a segunda integral do que a primeira. Na fórmula acima, deiamos de escrever a constante de integração, já que no decorrer do desenvolvimento aparecerão outras. Todas as constantes podem ser representadas por uma única constante que será introduzida no final do processo. ) ln d Eemplos: Solução: Como ln não pode ser integrado usando as regras dadas até agora vamos fazer: u ln e dv d de modo que du d e v d Então ln d (ln) d udv Pela fórmula de integração por partes temos: ln d uv vdu (ln ). d ln d ln + C 9

95 ) e d Solução: Nesse caso, vamos fazer: u e dv e d Daí du d e v e d e Então e d udv Pela fórmula de integração por partes temos: e d uv vdu. e e d e e d e e 6 + C Às vezes, a integração por partes leva a uma nova integral que também pode ser integrada por partes. Eemplo: e d Solução: Vamos fazer u e dv e d Daí du d e v e d e Então e d udv Pela fórmula de integração por partes temos: e d uv vdu e e d () Para achar a e d u e dv e d. Então du d e v e também precisamos utilizar a integração por partes. Nesse caso, seja Logo e d e e d e e d e e Daí e de () e d e ( e e ) e e + e + C Algumas integrais podem ser calculadas por integração por partes ou por substituição. As soluções podem parecer diferentes, mas se estiverem corretas, poderão diferir, no máimo, por uma constante. Eemplo: 5 d 9

96 Fazendo u e dv 5, temos que du d e v ( + 5) / Então, usando o método de integração por partes, achamos: 5 d ( + 5) / ( + 5) 5 / + C 5 Fazendo u + 5, d du e u 5 e utilizando o método de integração por substituição, encontramos: 5 d ( + 5) 5 / 0 ( + 5) / + C 5 Observe que ( + 5) / ( + 5) 5 / ( + 5) / ( 5) 5 5 ( + 5) / ( + 5) / ( + 5) / ( + 5) / 0 ( 5) 5 ( 5 5) 5 / 0 ( 5) / Outros eemplos: ) ln d ) 6 e d Respostas: ) ln + C ) e e + C 95

97 Eercícios lista 5 Use o método de integração por partes para calcular as integrais abaio: ) ln d 6) ln d ) e d / 7) e d ) ln d 8) ln d ) e d 9) 5 e d 5) ln d 0) ln d Respostas: ln ) ln + C 6) C e e ) C 7) e / e / + C ) ln + C 8) ln + C 9 ) e e + C 9) 5 e 9 5 e + C 5) / ln / + C 0) ln 9 + C 96

98 5. Integral Definida Noção intuitiva Já sabemos que a derivada tem origem geométrica: está ligada ao problema de traçar a reta tangente a uma curva. A integral definida também tem origem geométrica: está ligada ao problema de determinar a área de uma região plana itada por uma curva qualquer. Não é difícil calcular a área de regiões cujos ites são definidos por linhas retas, como retângulos e triângulos. O problema se torna mais difícil quando os ites da região são definidos total ou parcialmente por linhas curvas. Uma das primeiras soluções conhecidas de um problema deste tipo foi a do matemático grego Arquimedes que calculou a área sob uma curva parabólica. Vamos considerar uma função f() contínua em um intervalo [a, b] e supor que f() 0 nesse intervalo. Queremos calcular a área A da região sob o gráfico de f entre a e b (isto é, a região compreendida entre o gráfico de f, o eio e as retas verticais a e b). Para calcular a área A pelo método de Arquimedes, devemos cobrir a região sob o gráfico de f com um conjunto de retângulos adjacentes, todos com a base inferior no eio. A altura de cada retângulo é o valor da função para um valor de correspondente a um dos pontos da base do retângulo, isto é, escolhemos a altura de tal forma que o lado superior do retângulo intercepte o gráfico da função (figura ). O método de Arquimedes envolve duas ideias principais: a primeira é a de que podemos calcular a área aproimada de região somando as áreas desses retângulos. A segunda é a de que podemos tornar a aproimação cada vez melhor usando uma quantidade maior de retângulos (vemos na figura que estes retângulos representam melhor a região que os da figura ). figura figura Assim, dividimos o intervalo [a, b] cujo comprimento é b a em n subintervalos, cada um b a dos quais tem comprimento, isto é, n [ 0, ], [, ],..., [ n -, n ] onde 0 a e n b Consideramos os retângulos de largura e altura f( * i ) onde intervalo [ i -, i ]. Então a área do i-ésimo retângulo é f( * i ). * i é um número qualquer no A área A é aproimada pela soma das áreas desses retângulos, que é: 97

99 n * S n f( i ) f( * ) f( * n ) i Como observamos anteriormente, essa aproimação torna-se cada vez melhor à medida que aumentamos o número de subdivisões do intervalo [a, b]. Então definimos a área A como o ite de S n quando n cresce infinitamente. Ou seja: A S O ite acima aparece também na definição de integral definida: Definição: Seja f uma função definida e itada em [a, b]. Dividimos o intervalo [a, b] em b a n subintervalos de comprimentos iguais. Sejam 0 a,,,..., n b os etremos n * desses subintervalos. Escolhemos em cada subintervalo [ i -, i ] um ponto arbitrário i e teremos a soma n * S n f( i ) f( * ) f( * n ) i chamada Soma de Riemann. Dizemos que f é integrável em [a, b] se eistir um número real L tal que L S. Neste caso, L é a integral definida de a até b e usamos a notação de Leibniz para b representá-lo: L f()d. a n Observações: Nesta notação, a e b são chamados ites de integração: a é o ite de integração inferior e b é o ite de integração superior. b A integral definida f()d é um número real e não depende de. Podemos usar qualquer outra a letra sem mudar o valor da integral: b a f()d b f(t)dt a n b f(r)dr a Se f é contínua em [a, b] podemos provar que o ite da definição acima sempre eiste, ou seja f é integrável em [a, b]. Propriedades das integrais definidas: Sejam f e g funções integráveis em [a, b] e c um número real qualquer. a a) f()d 0 a b b) a a f()d f()d b 98

100 b c) a b c.f()d c f()d a b d) (f() g()) a d b a b f()d + g()d a b e) a c f()d a b f()d + f()d c O teorema a seguir mostra como calcular a integral definida de uma função contínua, desde que possamos encontrar uma antiderivada desta função. Devido à sua importância em estabelecer a relação entre a derivação e a integração, este teorema, descoberto independentemente por Newton na Inglaterra e Leibniz na Alemanha é conhecido como Teorema Fundamental do Cálculo: Seja f uma função contínua em [a, b]. Se g é uma antiderivada de f em [a, b] então Eemplo : ( 5) d b f()d g(b) g(a) a Solução: Sabemos que g() C onde C é uma constante arbitrária é uma antiderivada de f() + 5. Portanto, pelo teorema fundamental do cálculo temos: ( 5) d g() g() 5 8 Observações: A diferença g(b) g(a) também costuma ser indicada por g() b a Usando a notação anterior no eemplo escrevemos: ( 5) d ( C) 5 8 No cálculo da integral definida do eemplo, a constante de integração desapareceu. Isto acontece sempre, pois se g() + C denota a antiderivada de uma função f, então: (g() + C) b a (g(b) + C) (g(a) + C) g(b) + C g(a) C g(b) g(a) Assim, em todos os cálculos envolvendo uma integral definida, iremos ignorar a constante de integração. Eemplo : ( ) d 5 Solução: Sabemos que g() + + é uma antiderivada de f() + +. Então, 5 pelo teorema fundamental do cálculo temos: 99

101 ( ) d g() g( ) b Se f é contínua em [a, b] e f() 0 para nesse intervalo então f()d é a área A da região a sob o gráfico de f entre a e b, conforme vimos no início desta seção. Eemplo : Calcule a área da região R sob o gráfico de f() entre e Solução: Como f é contínua e f() 0 em [, ], a área A é dada pela integral definida de f de a, isto é, A d Temos que g() é uma antiderivada de f. Então A d g() g() 9 Para verificar o resultado do eemplo, observe que a área A é a soma da área do retângulo R com a área do triângulo R (figura ao lado).. Então A. + + O que coincide com o resultado obtido anteriormente. Eemplo : Calcule a área da região sob o gráfico de f() + entre e. Solução: Observamos que f é contínua em [, ] e f() 0 em [, ]. Então a área é dada por A Como g() ( ) d + é uma antiderivada de f, temos: A 8 ( ) d g() g( ) A região sob o gráfico de uma função f entre a e b pode estar inteiramente abaio do eio como mostra a figura () a seguir. figura figura 00

102 Nesse caso, para calcular a área da região destacada, vamos considerar a função h f definida no intervalo [a, b]. Os gráficos de f e h são simétricos em relação ao eio (figura ), e a área A da região sob o gráfico de f entre a e b é igual à área B da região sob o gráfico de h entre a e b. b Então A B a b h()d a b f()d f()d a Assim, se f é contínua em [a, b] e f() 0 para nesse intervalo, então área da região sob o b gráfico de f entre a e b é dada por A f()d a Eemplo : Determine a área da região sob o gráfico de f() entre e Solução: Observamos que f é contínua em [, ] e tal que f() 0 em [, ]. Então a área á dada por A ( Como g() ) d é uma antiderivada de f temos: 8 A ( ) d (g() g()) Se a curva está parcialmente acima do eio e parcialmente abaio como mostrado na figura ao lado, a área pode ser calculada pela soma das áreas correspondentes a partes da região que estão acima e abaio do eio. c A A + A + A + A a d f()d c e f()d + d b f()d f()d e Eemplo : Calcule a área da região itada pelo gráfico de f() + entre 0 e Como g() Solução: Vemos no gráfico ao lado que no intervalo [0, ] a curva está parcialmente acima do eio e parcialmente abaio, isto é, f() 0 em [0, ] e f() 0 em [, ]. Então a área A da região sob o gráfico de f entre 0 e é dada por: A A + A onde A ( )d e A ( )d + é uma antiderivada de f, temos que: A ( )d g() g(0) 0 0 A ( )d (g() g()) 0 0 0

103 Logo A A + A + 8 Para determinar a área da região R entre os gráficos de f e g de a até b (figura abaio), basta subtrair a área da região sob o gráfico de g da área da região sob o gráfico de f. Então área de R área de R área de R b Ou seja, área de R a b f()d g()d a b (f() a g()) d Portanto, se f e g são funções contínuas em [a, b] tais que f() g() em [a, b] e se R é a região itada pelos gráficos de f e g e pelas retas a e b, então a área de R é dada pela b (f() g()) d a Eemplo 5: Calcule a área da região itada pelos gráficos das funções f() + 6 e g() + + entre e Solução: f e g são funções contínuas em [, ] e tais que g() em [, ]. f() Então a área A da região itada pelos gráficos de f e g e pelas retas e é dada por: A (( 6) ( )) d ( 6 5) d ( + 5) (8 + 0) ( + 5) 6 Vimos que a área pode ser calculada por integral, usando o teorema fundamental do cálculo, mas eistem outras aplicações nas quais o processo de integração desempenha um papel importante. 0

104 Eemplo Se um objeto move-se ao longo de uma reta com função posição s(t), então sua t velocidade é v(t) s (t). Portanto v(t) dt s(t ) s(t ) é a mudança de posição, ou deslocamento, do objeto durante o período de tempo t a t. t Quando v(t) 0 a partícula move-se para direita. Quando v(t) 0 a partícula move-se para esquerda. A distância total percorrida pelo objeto neste período de tempo é dada por d v(t) dt Uma partícula move-se ao longo de uma reta de tal forma que sua velocidade no instante t é dada por v(t) t² t 6 m/s. a) Ache o deslocamento da partícula durante o período de tempo t b) Ache a distância percorrida durante esse período de tempo. Solução: t t a) S() S() (t t 6) dt ( 6t) 9,5 m (deslocamento para esquerda). b) Temos que v(t) t² t 6 (t ) (t + ). Então em [, ], v(t) 0 e em [, ], v(t) 0. Assim, d ( v(t) dt v(t)) dt + v(t) dt 0,7 m t t 0

105 Eercícios lista 6 ) Calcule as integrais definidas: a) ( ) d b) ( + ) d 8 c) 6 d d) d ) Calcule a área das regiões destacadas nas figuras abaio: a) f() b) f() c) f() d) f() 5 + e) f() ) Nos próimos 5 dias quantas pessoas poderão ser epostas a um certo vírus se sabemos que em t dias, a partir de agora, o vírus terá se disseminado a uma taa de 9t(8 t) pessoas por dia? Quantas pessoas estarão em contato com o vírus durante o quinto dia? ) Um objeto se move de tal forma que sua velocidade após t minutos é de 5 + t + t² metros por minuto. Que distância o objeto percorre durante o segundo minuto? 5) Um estudo indica que daqui a meses, a população de uma determinada cidade estará aumentando à taa de 0 + pessoas por mês. Em quanto aumentará a população da cidade nos próimos 9 meses? 6) Calcule a área itada pelos gráficos de f() 5 e g() + 7) Determine a área itada pelos gráficos de f() + e g() 8) Calcule a área itada pelos gráficos de f() e g() 9) Calcule a área itada pelos gráficos de f() + e g() + 0

106 0) O gráfico de uma função f aparece na figura ao lado e sabemos 6 que f() d,8 f() d, e f() d,5. Determine a área da região itada pelo gráfico de f() e o eio entre e 6. Respostas: ) a) 8 b) 8 / 0 c) d) 6 ) a) b) 9 c) 9 d) 9 e) 8 ) 55 pessoas; pessoas ) 5 m 5) 6 pessoas 9 6) 7) 8 8) 9) 8 0) 8,7 05