Unidade 7. Integrais inde nidas. 7.1 Antiderivadas ou integrais inde nidas. Sendo f(x) e F (x) de nidas em um intervalo I ½ R, dizemos que

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1 Unidade 7 Integrais inde nidas 7. Antiderivadas ou integrais inde nidas Sendo f() e F () de nidas em um intervalo I ½, dizemos que ara todo I. F e umaantiderivada ou uma rimitiva de f, sef 0 () =f() f. Ou seja, F e antiderivada ou rimitiva de f se F e uma fun»c~ao cuja derivada e Como rimeiros eemlos, temos f() rimitiva de f() 3 3 e e sen cos Observa»c~ao 7. Se F e antiderivada de f em I, ec e uma constante, ent~ao F + c tamb em e uma antiderivada de f em I. De fato, se F 0 () =f(), aratodo I, ent~ao [F ()+c] 0 = F 0 () =f(), eortantof ()+c tamb em e uma antiderivada de f() em I. Assim, or eemlo 3, 3 +5e 3 s~ao rimitivas de 3. Proosi»c~ao 7. Se F e F s~ao antiderivadas de f, emi ½ (I um intervalo), ent~ao eiste c tal que F () =F () +c, aratodo I. 7

2 Semana 7. Integrais inde nidas. 7 De ni»c~ao 7. (Integral inde nida) Sendo F uma rimitiva de f no intervalo I, chama-se integral inde nida de f, no intervalo I, µa rimitiva gen erica de f em I, F () +C, sendo C uma constante real gen erica. Denotamos tal fato or f() d = F () +C Nesta nota»c~ao, omite-se o intervalo I. Sumarizando, f() d = F () +C () F 0 () =f() 7. Integrais inde nidas imediatas Coletaremos as rimeiras integrais inde nidas cujo c alculo e imediato. Proosi»c~ao 7.. d = + + C, se 6=. +. d =lnjj + C. 3. sen d= cos + C. 4. cos d =sen + C. 5. e d = e + C. 6. a d = a (a>0;a 6= ). ln a 7. sec d=tg + C. 8. cosec d= cotg + C. 9. sec tg d=sec + C. 0. cosec cotg d= cosec + C.. d =arctg + C. +. =arcsen + C.

3 Semana 7. Integrais inde nidas. 73 Para veri car a validade das integrais acima, basta veri car que a derivada (em rela»c~ao a ) do segundo membro, em cada igualdade, e a fun»c~ao que se encontra sob o sinal de integra»c~ao. Como eemlos, µ + 0 se 6=, =( +) =. (ln jj) 0 ==: se >0, (ln jj) 0 =(ln) 0 ==; se <0, (ln jj) 0 =(ln( )) 0 = ( )0 ==. µ a 0 (a ) 0 = a ln a, logo = a ln a ln a ln a = a. 7.3 Maniula»c~oes elementares de integrais Proosi»c~ao 7.3 Se f() d = F () +C e g() d = G() +C, ent~ao, sendo a; b, a 6= 0,. [f() +g()] d = f() d + g() d. k f() d = k f() d 3. f( + b) d = F ( + b) +C 4. f( b) d = F ( b) +C 5. f(b ) d = F (b ) +C 6. f(a) d = F (a) +C a 7. f(a + b) d = F (a + b) +C a 7.4 Eemlos elementares. cos d =sen + C. Logo, (a) cos 3d= sen 3 + C 3 (b) cos 3¼ d = sen 3¼ + C. e d = e + C. Logo, (a) e 5 d = e 5 + C

4 Semana 7. Integrais inde nidas. 74 (b) e d = e + C (c) e 5 d = 5 e5 + C 3. Calcular tg d. sec d =tg + C. Temos cos +sen =, logo +tg =sec. Logo, tg d = (sec ) d = sec d =tg + C 4. Calcular (5 cos +cos5) d. (5 cos +cos5) d =5 cos d+ cos 5d =5sen + sen 5 + C 5 5. Calcular sen cos d. Temos sen =sencos, logo sen cos = sen. Da ³ sen cos d = sen d = ( cos ) +C = cos + C Calcular d. Ã + d = +! d = d + d = = d + d = = = +lnjj + C = +lnjj + C 7.5 Integra»c~ao or mudan»ca de vari avel ou integra»c~ao or substitui»c~ao Suonhamos que f(u) du = F (u) +C (7.)

5 Semana 7. Integrais inde nidas. 75 Podemos substituir u = '() na eress~ao 7., fazendo du = ' 0 () d, ou seja, de 7. obtemos f('()) ' 0 () d = F ('()) + C (7.) Sumariando o que dissemos acima, f(u) du = F (u) +C =) f('()) ' 0 () d = F ('()) + C ela mudan»ca de vari avel u = '(), tomando-se du = ' 0 () d. Na r atica, quando calculamos f('())' 0 () d, tendo-se as considera»c~oes acima, fazemos u = '(), du = ' 0 () d, e assamos ela seqäu^encia de igualdades: f('())' 0 () d = f(u) du = F (u) +C = F ('()) + C Eemlo 7. Calcular 3 d. Solu»c~ao. Come»camos fazendo a substitui»c~ao u =3. Ent~ao du = du d d =(3 )0 d = d. Portanto d = du. Assim, temos 3 d = Eemlo 7. Calcular tg d. µ du = u u = du = u =+ + + C = u = + C = u + C = 3 + C sen Solu»c~ao. tg d= cos d. Como (cos ) 0 = sen, tomamos u =cos, e teremos du = (cos ) 0 d = sen d. Assim, sen tg d= cos d = du = ln juj + C = ln j cos j + C u

6 Semana 7. Integrais inde nidas. 76 Eemlo 7.3 Calcular +5 d. Solu»c~ao. Note que ( +5) 0 =. Isto sugere fazermos u = +5, de onde du =d,ouseja,d= du. Temos ent~ao +5 d = u du = u = du = u = + C = +5+C 7.5. Uma tabela mais comleta de integrais imediatas Tabela 7.. Tabela de integrais inde nidas (nas ultimas linhas, a > 0, e 6= 0). u du = u C, ( 6= ) du =lnjuj + C u sen udu = cos u + C cos udu =senu + C e u du = e u + C a u du = au ln a (a>0;a 6= ) sec udu =tgu + C cosec udu= cotg u + C sec u tg udu =secu + C cosec u cotg udu= cosec u + C sec udu =lnj sec u +tguj + C cosec udu = ln j cosec u +cotguj + C tg udu = ln j cos uj + C cotg udu =lnj sen uj + C du =arctgu + C +u du a + u = a arc tg u a + C du a u =arcsenu a + C du =arcsenu + C u du a u = a ln a + u a u + C. du u + =lnju + u + j + C

7 Semana 7. Integrais inde nidas Problemas Calcule as seguintes integrais inde nidas, utilizando, quando necess ario, mudan»ca de vari aveis. Fa»ca uso da tabela de integrais inde nidas da tabela 7... ( + ) d. esosta C. ³ + 3 d. esosta C 3. cos a sen a d. esosta. + C a 4. ln d. esosta. ln + C. Sugest~ao. Fa»ca u = ln 5. d. esosta. ln j3 7j + C tg d. esosta. ln j cos j + C 7. cotg 3 d. esosta. 3lnj sen 3 j + C 8. tg ' sec 'd'. esosta. tg ' + C. Sugest~ao. Fa»ca u =tg' 9. sen cos d. esosta. sen3 3 + C. Sugest~ao. Fa»ca u = sen 0. cos 3 sen d. esosta. cos4 4 + C. d. esosta. +3+C. Sugest~ao. Fa»ca u = ( +) 4 d. esosta. ( +) 5 3. e d. esosta. e + C 5 + C. Sugest~ao. Fa»ca u = + 4. e d. esosta. e + C. Sugest~ao. u = 5. e 3+4e d. esosta. 4 ln(3 + 4e )+C. Sugest~ao. u =3+4e 6. d +. esosta. arc tg( ) +C. Sugest~ao. =( ), u = 7. d 3. esosta. 3 arc sen( 3) +C