Ampliando o repert orio de t ecnicas de integra»c~ao

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1 Aula Amliando o reert orio de t ecnicas de integra»c~ao. Comletando quadrados Da nossa tabela amliada de integrais imediatas, tabela 5., agina 35, temos as integrais da tabela. abaixo. Tabela.. (a>0, 6 0) a + x a arc tg x a + C a x arcsenx a + C a x a ln a + x a x + C. x + lnjx + x + j + C Voltaremos nossa aten»c~ao agora ao c alculo das integrais I I 3 ax + bx + c ax + bx + c I I (Ax + B) ax + bx + c (Ax + B) ax + bx + c nas quais, a, b, c, A e B s~ao n umeros reais, e a 6 0. Veremos que, ara calcular cada uma das integrais I, I, I 3,eI, tudo (ou quase tudo) que temos a fazer e comletar um quadrado em ax + bx + c, eent~ao usar a equena tabela de integrais.. 59

2 Amliando o reert orio de t ecnicas de integrac»~ao 60 Lembramos que comletar um quadrado em ax + bx + c e escrever este trin^omio do segundo grau na forma a(x + m) + n. Primeiramente, colocamos o coe ciente a em evid^encia: µ ax + bx + c a x + b a x + c a Comletamos ent~ao o quadrado em x + b a x + c a : µ x + x + x + + µ Fazemos ent~ao, ara o c alculo de uma das integrais I, I, I 3,eI, a substitui»c~ao eteremos u x + ; du x + x + u k ax + bx + c a(u k ) Agora, a menos de alguns equenos ajustes, recairemos em integrais da tabela.. Exemlo. Calcular x +3x +. Solu»c~ao. Come»camos fazendo sendo u x +3. x +3x + Como du, x +3x + µ x + 3 x + " µ x + 3 # µ # " µ x + 3 # " u 6 du h u i du ln +u + C ln ln x + x + + C ln du u ln + u + C (tabela.) +x +3 (x +3) + C x + x + + C ln x + x + + C

3 Amliando o reert orio de t ecnicas de integrac»~ao 6 Exemlo. Calcular x x x. Solu»c~ao. Come»camos fazendo " µ x x (x + x ) x + # " µ x + # 5 µ x + Ã! Ã! µ 5 x + Sendo, u x +, du, ex u, x x x r ³ 5 x x + u 3 r ³ du 5 u r ³ du 3 5 r ³ du 5 sendo I I J u q( du, ej 5) q( 5) du. Para o c alculo de I, fazemos w ( 5),eent~ao dw udu,etemos u I r ³ du dw w + C 5 w Por sua vez, v! u tã 5 x x + C

4 Amliando o reert orio de t ecnicas de integrac»~ao 6 J u r ³ du arcsen + C 5 5 arc sen u x + + C arcsen + C 5 5 Portanto, x x x I J x x arc sen x C. Algumas integrais envolvendo fun»c~oes trigonom etricas.. Integrais da forma R sen m x cos n x, m e n inteiros n~ao negativos Primeiro caso: m ou n e um inteiro ³mar Consideremos J R sen m x cos n x. Sendo m e n inteiros n~ao negativos, no caso em que o exoente m e ³mar, teremos m k +,eent~ao J sen k+ x cos n x sen k x cos n x sen x (sen x) k cos n x sen x ( cos x) k cos n x sen x Agora fazemos cos x t, eent~ao dt sen x, obtendo J ( t ) k t n ( dt) ( t ) k t n dt que e uma integral de um olin^omio em t. Se m e ar,masn e ³mar, transformamos a integral J em uma integral de um olin^omio, or um rocedimento an alogo.

5 Amliando o reert orio de t ecnicas de integrac»~ao 63 Exemlo.3 Calcular J R sen 6 x cos 5 x. Solu»c~ao. J sen 6 x cos 5 x sen 6 x cos x cos x sen 6 x(cos x) cos x sen 6 x( sen x) cos x t 6 ( t ) dt, sendo t senx, dt cosx. Teremos ent~ao J t 6 ( t + t ) dt (t 6 t + t 0 ) dt t7 7 t9 9 + t + C sen7 x 7 sen9 x 9 Segundo caso: m e n s~ao ambos ares + sen x Neste caso, abaixamos os graus das ot^encias de fun»c~oes trigonom etricas, mediante as rela»c~oes ou seja, fazemos cos a +cosa J sen m x cos n x (sen x) k (cos x)` + C sen a cos a sen k x cos ` x (.) µ cos x k µ +cosx ` Exemlo. Calcular I R sen x cos x. Solu»c~ao.I R sen x cos x R (sen x) cos x Fazendo uso das rela»c~oes trigonom etricas., temos µ µ +cosx +cosx I µ µ cosx +cos x +cosx

6 Amliando o reert orio de t ecnicas de integrac»~ao 6 ( + cos x cos x +cos 3 x) cos x cos x+ cos 3 x Calculando searadamente as quatro integrais, temos: I R x (juntaremos adiante todas as constantes em uma s o) I R cos x sen x +cosx I 3 cos x (cos +cos a a ) + cos x x + sen x x + sen x I cos 3 x (ot^encia de cosseno, de exoente ³mar!) cos x cos x ( sen x) cos x ( t ) dt (t sen x, dt cosx, logo cos x dt ) µ t t3 sen x sen3 x 3 6 Finalmente, I sen x cos x (I I I 3 + I ) x sen x 6 6 x 6 sen x + 6 sen x sen3 x + C x 6 sen x 6 sen3 x + C.3 F ormulas de redu»c~ao (ou de recorr^encia) As f ormulas de redu»c~ao, ou f ormulas de recorr^encia, freqäuentemente encontradas em t abuas de integrais, s~ao em geral obtidas atrav es de integra»c~ao or artes. Nos exemlos abaixo, deduziremos duas delas e ilustraremos como s~ao usadas. Exemlo.5 Sendo n, deduzir a f ormula de redu»c~ao sec n x tg x secn x + n n n sec n x (.)

7 Amliando o reert orio de t ecnicas de integrac»~ao 65 Solu»c~ao. SejaI n R sec n x.temos I n sec n x sec {z n x} sec {z x} uv u dv Sendo u sec n x,temos vdu du (n ) sec n 3 x (sec x) 0 (n ) sec n 3 x sec x tg x (n ) sec n x tg x Sendo dv sec x,tomamosv tgx. Da ³ I n uv vdu tgxsec n x tg x (n ) sec n x tg x tgxsec n x (n ) sec n x tg x Agora, sendo J R sec n x tg x,temos J sec n x(sec x ) (sec n x sec n x) sec n x sec n x I n I n Assim sendo, de onde eortanto ou seja, I n tgxsec n x (n )J tgxsec n x (n )(I n I n ) [ + (n )]I n tgx sec n x +(n )I n I n tg x secn x n sec n x tg x secn x n + n n I n + n n sec n x Exemlo.6 Emregando a f ormula de redu»c~ao., calcule as integrais R sec 3 x, R sec x,e R sec 5 x. Alicando a f ormula., que acabamos de deduzir acima, temos, quando n 3, sec 3 tg x sec x x + sec x tg x sec x + ln j sec x +tgxj + C

8 Amliando o reert orio de t ecnicas de integrac»~ao 66 Alicando a f ormula., ara n,temos sec x tg x sec x + sec x 3 3 tg x sec x tg x + C Para n 5,temos sec 5 x I 5 tg x sec3 x + 3 I 3 tg x sec3 x + 3 µ tg x sec x + I tg x sec3 x + 3tgx sec x + 3 ln j sec x +tgxj + C Exemlo.7 Deduza a f ormula de recorr^encia cos n x n sen x cosn x + n n cos n x eent~ao,usando-a,calcule R cos x e R cos 7 x. Solu»c~ao. cos n x cos {z n x} cos {z x} uv u dv Sendo u cos n x,temosdu (n ) cos n x sen x. vdu Sendo dv cosx,odemostomarv senx. Ent~ao cos n xsenxcos n x +(n ) cos n x sen x senxcos n x +(n ) cos n x( cos x) µ senxcos n x +(n ) cos n x cos n x Logo, cos n x sen x cos n x +(n ) cos n x (n ) cos n x Da ³, n cos n xsenxcos n x +(n ) cos n x eent~ao cos n x n sen x cosn x + n n cos n x

9 Amliando o reert orio de t ecnicas de integrac»~ao 67 Deixamos ara o leitor a alica»c~ao desta f ormula, ara obter cos x sen x cos3 x + 3 sen x cos x + 3x + C cos 7 x 7 sen x cos6 x sen x cos x + 35 sen x cos x sen x + C. Problemas Integrais que requerem comletamento de quadrados. R x +x+5. Resosta. x+ arc tg + C.. R. Resosta. 3x x+ arc tg 3x + C. 3. R x 6x+5. Resosta. ln x 5 x + C.. R 6x 7 3x 7x+. Resosta. ln j3x 7x +j + C. 5. R 3x x x+. Resosta. 3 ln(x x +)+ 3 arc tg x 3 + C. 6. R 3x x. Resosta. x+3 arc sen + C. 7. R 3x +5x. Resosta. 3 ln j6x +5+ (3x +5x)j + C.. R x+3 3+x x. Resosta. 3+x x + 7 x arc sen + C. 9. R ax+b ax +bx+c. Resosta. ax + bx + c + C. Integrais envolvendo fun»c~oes trigonom etricas. R sen 3 x. Resosta. 3 cos3 x cos x + C.. R sen 5 x. Resosta. cos x + 3 cos3 x 5 cos5 x + C. 3. R cos x sen 3 x. Resosta. 5 cos5 x + 7 cos7 x + C.. R cos 3 x sen x. Resosta. cosec x 3 cosec3 x + C. Sugest~ao. Use o mesmo rocedimento descrito µa agina 6, ara o c alculo da integral R sen m x cos n x, quando m ou n e umexoente ³mar. 5. R sen x. Resosta. 3 sen x x 6. R cos 6 x. Resosta. 6 + sen x 3 + C. ³ 5x + sen x sen3 x sen x + C.

10 Amliando o reert orio de t ecnicas de integrac»~ao 6 7. R sen x cos x. Resosta. 3x sen x + sen x + C. Sugest~ao. sen x cos x sen x.. R tg 3 x. Resosta. tg x +lnj cos xj + C. Sugest~ao. tg 3 x tgx tg x tgx(sec x ). 9. R sec 3 x. Resosta. sec x tg x + ln j sec x +tgxj + C. Sugest~ao. R sec 3 x R sec {z} x sec {z x}. Deois, use a identidade tg x u dv sec x. Alternativamente, odemos fazer R sec 3 x R cos 3 x R cos x cos x R 0. R sec x. Resosta. tg x + 3 tg3 x + C. Sugest~ao. sec x sec x sec x (+tg x)sec x.. R sen 3 x 3 cos x. Resosta. 3 5 cos53 x +3cos 3 x + C.. R 5senx. Resosta. 3 ln tg x tg x + C. cos x,eent~ao u senx. ( sen x) Sugest~ao. Use a identidade sen x tg x +tg x (temos tamb em cos x tg x ). +tg x Fa»ca tg x u, com x arc tg u eent~ao du. +u 3. R sen x. Resosta. ³ arc tg tg x +cos x x + C. Sugest~ao. Como +tg x sec x, deduzimos cos x +tg x e sen x cos x tg x.fa»ca t tgx, x arc tg t. tg x +tg x. R sen ax cos bx (a 6 b). Resosta. cos(a+b)x cos(a b)x + C. (a+b) (a b) Sugest~ao. Considereasf ormulas abaixo, e some-as membro a membro. sen(a + b)x senax cos bx +senbx cos ax sen(a b)x senax cos bx sen bx cos ax 5. R sen ax sen bx (a 6 b). Resosta. sen(a b)x (a b) sen(a+b)x (a+b) + C Sugest~ao. Desenvolva cos(a + b)x e cos(a b)x, esubtraia,membroamembro, uma f ormula da outra.

11 Amliando o reert orio de t ecnicas de integrac»~ao 69 F ormulas de redu»c~ao. Deduza a f ormula de recorr^encia tg n x tgn x n tg n x eent~ao, usando-a, calcule (a) R tg 5 x. Resosta. tg x tg x ln j cos xj + C. (b) R tg 6 x. Resosta. tg5 x tg3 x +tgx x + C 5 3 Sugest~ao. R tg n x R tg n x tg x R tg n x(sec x ).. Deduza as f ormulasderecorr^encia (a) sen n x n cos x senn x + n n (b) x n e ax a xn e ax n x n e ax a sen n x