Esbo»cando gr a cos: primeiros passos

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1 Aula 6 Esbo»cando gr a cos: primeiros passos Eiste o processo simples de esbo»car-se o gr a co de uma fun»c~ao cont ³nua ligando-se um n umero nito de pontos P 1 =( 1 ;f( 1 ));::: ;P n =( n ;f( n )), deseugr a co, no plano. Mas este procedimento nem sempre revela as nuances do gr a co. Nesta aula veremos como as derivadas s~ao ferramentas auiliares no esbo»co desses gr a cos, provendo informa»c~oes qualitativas que n~ao podem ser descobertas atrav es de uma simples plotagem de pontos. 6.1 Crescimento e decrescimento f() cresce f( 2 ) f() f( ) quando cresce Figura 6.1. f e crescente em um certo intervalo I. De ni»c~ao A fun»c~ao f() e crescente no intervalo I (I ½ R) se, nesse intervalo, quando aumenta de valor, f() tamb em aumenta de valor. Em outras palavras, f e crescente se vale a implica»c~ao 1 < 2 ) f( 1 ) <f( 2 ) 47

2 Esboc»ando gr aficos: primeiros passos 48 para quaisquer 1 ; 2 2 I. 2. A fun»c~ao f() e decrescente no intervalo I (I ½ R) se, nesse intervalo, quando cresce em valor, f() decresce. Em outras palavras, f e decrescente se vale a implica»c~ao para quaisquer 1 ; 2 2 I. 1 < 2 ) f( 1 ) >f( 2 ) f() decresce f( ) 1 f() f( ) 2 =f() quando cresce Figura 6.2. f e decrescente em um certo intervalo I. Teorema 6.1 Suponhamos que f e cont ³nua no intervalo fechado [a; b] e tem derivada nospontosdointervaloaberto]a; b[. 1. Se f 0 () > 0 nospontosdointervaloaberto]a; b[, ent~ao f e crescente no intervalo [a; b]. 2. Se f 0 () < 0 nospontosdointervaloaberto]a; b[, ent~ao f e decrescente no intervalo [a; b]. N~ao iremos demonstrar o teorema 6.1 aqui. Iremos apenas ilustrar geometricamente o fato de que esse teorema e bastante plaus ³vel. Na gura 6.3, em que f e crescente em um certo intervalo [a; b], todasasretas tangentes ao gr a co de f, nointervalo]a; b[, s~ao inclinadas para a direita. Da ³ os coe cientes angulares dessas retas s~ao todos positivos. Como o coe ciente angular em um ponto P =(c; f(c)) e f 0 (c), temosf 0 (c) > 0 para cada c 2]a; b[. Ocomportamentodef 0 () nos etremos do intervalo n~ao precisa ser levado em considera»c~ao. Na gura 6.3, temos f 0 (a) =0ef 0 (b) =+1 (a reta tangente em (b; f(b)) e vertical, lim f 0 () =+1).!b Na gura 6.4, em que f e decrescente em um certo intervalo [a; b], todas as retas tangentes ao gr a co de f, nointervalo]a; b[, s~ao inclinadas para a esquerda. Da ³ os

3 Esboc»ando gr aficos: primeiros passos 49 a b Figura 6.3. Os coe cientes angulares, das retas tangentes, sempre positivos, e indicativo de fun»c~ao crescente. coe cientes angulares dessas retas s~ao todos negativos. Como o coe ciente angular em um ponto P =(c; f(c)) e f 0 (c), temosf 0 (c) < 0 para cada c 2]a; b[. Ocomportamentodef 0 () nos etremos do intervalo n~ao precisa ser levado em considera»c~ao. Na gura 6.4, temos f 0 (a) =0e f 0 (b) = 1 (a reta tangente em (b; f(b)) e vertical, lim f 0 () = 1).!b a b Figura 6.4. Os coe cientes angulares, das retas tangentes, sempre negativos, e indicativo de fun»c~ao decrescente. De ni»c~ao 6.2 (Pontos de m aimo e pontos de m ³nimo locais) Um ponto 0, no dom ³nio da fun»c~ao f, eumponto de m ³nimo local de f se eiste um intervalo [a; b] contido no dom ³nio de f, coma< 0 <b, tal que f() f( 0 ) para todo em [a; b]. Isto ocorre, por eemplo, no caso em que eistem intervalos [a; 0 ] e [ 0 ;b] contidos em D(f) tais que f e decrescente em [a; 0 ] e ecrescenteem[ 0 ;b]. Veja gura 6.5. Se, ao contr ario, f() f( 0 ),paratodo em [a; b], 0 eumponto de m aimo local de f. Isto se d a, por eemplo, quando eistem intervalos [a; 0 ] e [ 0 ;b] contidos em D(f) tais que f e crescente em [a; 0 ] e decrescente em [ 0 ;b]. Veja gura 6.6.

4 Esboc»ando gr aficos: primeiros passos 50 f( ) 0 a 0 b Figura eumpontodem ³nimo local. Note que f 0 ( 0 )=0se f tem derivada em 0 pois, em um ponto de m ³nimo local, a reta tangente ao gr a co deve ser horizontal. f( ) 0 a 0 b Figura eumpontodem aimo local. Note que f 0 ( 0 )=0se f tem derivada em 0 pois, em um ponto de m aimo local, a reta tangente ao gr a co deve ser horizontal. 6.2 Derivadas de ordem superior e concavidades do gr a co Sendo f uma fun»c~ao, de nimos f 0 como sendo a fun»c~ao derivada de f, ef 00 (l^e-se \f duas linhas") como sendo a derivada da derivada de f, ouseja f 00 () =(f 0 ()) 0 f 0 ( + ) f 0 () = lim!0 E costume denotar tamb em, sendo = f(), f 00 () =f (2) () = d2 d 2 = d d Anota»c~ao d2 e lida \de dois de dois". d 2 Analogamente, de nem-se eparacadan 2 µ d d f 000 () =f (3) () =(f 00 ()) 0 = d3 d 3 = d d f (n) () =(f (n 1) ()) 0 = dn d n = d d µ d 2 d 2 µ d n 1 d n 1

5 Esboc»ando gr aficos: primeiros passos 51 De ni»c~ao Ogr a co de = f() e c^oncavo para cima (ou tem concavidade voltada para cima) nointervaloabertoi se, eceto pelos pontos de tang^encia, a curva = f() est a, nesse intervalo, sempre no semi-plano acima de cada reta tangente a ela nesse intervalo (veja gura 6.7). Dizemos que o intervalo I e aberto quando I tem uma das formas: ]a;b[, ]a; +1[, ] 1;b[. 2. Ogr a co de = f() e c^oncavo para baio (ou tem concavidade voltada para baio) nointervaloabertoi se, eceto pelos pontos de tang^encia, a curva = f() est a, nesse intervalo, sempre no semi-plano abaio de cada reta tangente a ela (veja gura 6.8). Figura 6.7. Neste gr a co a curva = f() e c^oncava para cima, para valores de em um certo intervalo aberto I. Isto quer dizer que, eceto pelos pontos de tang^encia, a curva = f() (para 2 I) est a sempre no semi-plano acima de cada reta tangente a ela. Neste caso, µa medida em que cresce, cresce tamb em o coe ciente angular da reta tangente µa curva no ponto (; f()), na gura passando de negativo a positivo. Figura 6.8. Neste gr a co a curva = f() e c^oncava para baio, para valores de em um certo intervalo aberto I. Isto quer dizer que, eceto pelos pontos de tang^encia, a curva = f() (para 2 I) est a sempre no semi-plano abaio de cada reta tangente a ela. Neste caso, µa medida em que cresce, decresce o coe ciente angular da reta tangente µa curva no ponto (; f()), na gura passando de positivo a negativo.

6 Esboc»ando gr aficos: primeiros passos 52 Teorema 6.2 Sendo f() deriv avel duas vezes nos pontos do intervalo aberto I, 1. se f 00 () > 0 para todo 2 I, ent~ao a curva = f() e c^oncava para cima em I; 2. se f 00 () < 0 para todo 2 I, ent~ao a curva = f() e c^oncava para baio em I. N~ao demonstraremos o teorema 6.2 aqui, mas faremos a seguinte observa»c~ao. Se f 00 () > 0 nos pontos 2 I ent~ao, pelo teorema 6.1, a fun»c~ao f 0 () e crescente em I. Assim, f 0 () cresce µa medidaemque cresce, como na gura 6.7. Desse modo, temos a curva = f() c^oncava para cima em I. Se f 00 () < 0 nos pontos 2 I ent~ao, pelo teorema 6.1, a fun»c~ao f 0 () e decrescente em I. Assim, f 0 () decresce µa medidaemque cresce, como na gura 6.8. Desse modo, temos a curva = f() c^oncava para baio em I. De ni»c~ao 6.4 (Pontos de in e~ao da curva = f()) OpontoP =( 0 ;f( 0 )) e umponto de in e~ao da curva = f() se esta curva e c^oncava para cima (ou para baio) em um intervalo ] ; 0 [ ( real ou 1) ec^oncava para baio (respectivamente, para cima) em um intervalo ] 0 ; [ ( real ou +1). Isto quer dizer que o ponto P =( 0 ;f( 0 )) e um ponto de mudan»ca do sentido de concavidade do gr a co de f. Veja gura 6.9. P 0 Figura 6.9. P e um ponto de in e~ao do gr a co de f. Tendo em vista o resultado do teorema 6.2, se f 00 () e cont ³nua, os candidatos a pontos de in e~ao s~ao os pontos (; f()) para os quais f 00 () =0. Eemplo 6.1 Consideremos a fun»c~ao f() = 2 3. Temos f 0 () =2 3 e f 00 () =2. Assim, f esuasderivadasf 0 e f 00 s~ao todas cont ³nuas em R. Analisando a varia»c~ao de sinal de f 0 (), deduzimos: f 0 () > 0, 2 3 > 0, >3=2 Assim, f() e crescente no intervalo 3=2 (ou seja, no intervalo [3=2; +1[). Por outro lado, f() e decrescentenointervalo] 1; 3=2]. Desse modo, em 0 =3=2, temos um ponto m ³nimo local, que acontece ser o ponto de m ³nimo de f(). Note que f 0 (3=2) = 0, poisse 0 eumpontodem aimo ou

7 Esboc»ando gr aficos: primeiros passos 53 m ³nimo local, de uma fun»c~ao deriv avel, a reta tangente ao gr a co em ( 0 ;f( 0 )) deve ser horizontal. Como f 00 () =2> 0 para todo, o gr a co de f tem a concavidade sempre voltada para cima. Com os elementos deduzidos acima, notando que f(3=2) = 9=4, e que 0 e 3 s~ao as ra ³zes de f (solu»c~oes da equa»c~ao f() =0), temos o esbo»co da curva = 2 3 na gura / /4 Figura Aqui levamos em conta tamb em que Eemplo 6.2 Consideremos a fun»c~ao f() = lim f() =+1 e lim f() =+1.!+1! 1 Temos f 0 () =3 2 6 e f 00 () =6 6. Assim, f esuasderivadasf 0 e f 00 s~ao todas cont ³nuas em R. Analisando a varia»c~ao de sinal de f 0 (), deduzimos: f 0 () =3( 2) > 0, <0 ou >2 Assim, f() e crescente no intervalo ] 1; 0] etamb em e crescente no intervalo [2; +1[, sendo decrescente no intervalo [0; 2]. Desse modo 0 e ponto de m aimo local de f e 2 e pontodem ³nimo local. Repare que 0 e 2 s~ao ra ³zes de f 0 (). Assim, nos pontos (0;f(0)) = (0; 0) e (2;f(2)) = (2; 4) as retas tangentes ao gr a co de f s~ao horizontais. Analisando a varia»c~ao de sinal de f 00 (), temos f 00 () =6 6 > 0, >1 Assim, a curva = 3 3 2,gr a co de f, tem concavidade voltada para cima quando >1, e para baio quando <1. O ponto P =(1;f(1)) = (1; 2) e pontode in e~ao do gr a co.

8 Esboc»ando gr aficos: primeiros passos Figura Com os elementos deduzidos acima, notando que 0 e 3 s~ao as ra ³zes de f (solu»c~oes da equa»c~ao f() =0), temos o esbo»co da curva = na gura Aqui levamos em conta tamb em que lim f() =+1 e lim f() = 1.!+1! Problemas Cada uma das fun»c~oes f() dadas abaio tem como dom ³nio todo o conjunto R. Para cada uma delas, (a) Calcule f 0 () e determine os intervalos em que f e crescenteeaquelesemquef e decrescente; (b) Determine os pontos de m aimo locais e os pontos de m ³nimo locais de f, bem como os valores de f() nesses pontos; (c) Calcule f 00 () e determine os intervalos em que a curva = f() e c^oncava para cima e aqueles em que ela e c^oncava para baio; (d) Determine os pontos de in e~ao da curva = f(); (e) Calcule as ra ³zes de f (solu»c~oes da equa»c~ao f() =0), quando isto n~ao for dif ³cil; (f) Calcule os limites lim f() e lim f().!+1! 1 (g) A partir dos dados coletados acima, fa»ca um esbo»co bonito do gr a co de f. 1. f() =

9 Esboc»ando gr aficos: primeiros passos f() = f() = f() = f() = f() = Respostas e sugest~oes 1. (a) f 0 () = f % ( e crescente) em ] 1; 1], e& ( e decrescente) em [1; +1[. (b) 1 e pontodem aimo local de f. f(1) = 2. (c) f 00 () = 2. A curva = f() e semprec^oncava para baio. (d) A curva = f() n~ao tem pontos de in e~ao. (e) As ra ³zes de f s~ao 1 p 2 ¼ 0; 6 e 1+ p 2 ¼ 2; 4. (f) lim!+1 lim f() = 1.! 1 f() = 1, 2. (a) f 0 () = f % em ] 1; 1], & em [1; 3], e% novamente em [3; +1[. (b) 1 e pontodem aimo local de f, 3 e pontodem ³nimo local. f(1) = 4, f(3) = 0. (c) f 00 () = Acurva = f() e _ (c^oncava para baio) em ] 1; 2[ e ^ (c^oncava para cima) em ]2; +1[. (d)p =(2; 2) e o unico ponto de in e~ao do gr a co de f. (e)asra ³zes de f s~ao 0 e 3. (f) lim!+1 f() =+1, lim! 1 f() = (a) f 0 () = =12( 3 2 2). f & em ] 1; 1], % em [1; 0], & em [0; 2] e % em [2; +1[. (b) 1 e 2 s~ao pontos de m ³nimo locais de f, 0 e ponto de m aimo local. f( 1) = 3, f(0) = 8, f(2) = 24. (c)f 00 () = = 12( ). A curva = f() e ^ em ] 1; 1 [ eem] 2 ; +1[, e e _ em ] 1 ; 2 [, sendo 1 =(1 p 7)=3 ¼ 0; 5 e 2 =(1+ p 7)=2 ¼ 1; 2. (d) Os pontos de in e~ao do gr a co s~ao ( 1 ;f( 1 )) e ( 2 ;f( 2 )). (e)asra ³zes de f n~ao podem ser determinadas com facilidade. Gra camente, poderemos notar que f tem uma raiz entre 0 e 1, e uma outra entre 2 e 3. (f) lim!+1 f() =+1, lim! 1 f() = (a) f 0 4 () = ( 2. f % em ] 1; 0], e & em [0; +1[. (b) 0 e pontode +1) 2 m aimo local de f. f(0) = 3. (c) f 00 () = 4(32 1) ( 2. A curva = f() e ^ em +1) 3 ] 1; p 3=3[ eem] p 3=3; +1[, e e _ em ] p 3=3; p 3=3[. (d) Os pontos de in e~ao do gr a co s~ao ( p 3=3; 5=2) e ( p 3=3; 5=2), sendo p 3=3 ¼ 0; 6. (e)f n~ao tem ra ³zes: f() > 0 para todo real. (f) f() =1, lim f() =1. lim!+1! 1 5. (a) f 0 () = =6( ). f % em ] 1; 1], & em [1; 2], e% em [2; +1[. (b)1 e pontodem aimo local de f, 2 e pontodem ³nimo local. f(1) = 1, f(2) = 2. (c)f 00 () =12 18 = 6(2 3). Acurva = f() e ^ em ]3=2; +1[ e e _ em ] 1; 3=2[. (d) O ponto de in e~ao do gr a co e (3=2; 3=2). (e)asra ³zes

10 Esboc»ando gr aficos: primeiros passos 56 de f n~ao podem ser determinadas com facilidade. Gra camente, poderemos notar que f tem uma raiz entre 2 e 3 (f) f() =+1, lim f() = 1. lim!+1! 1 6. (a) f 0 () = 4(1 2 ) ( f & em ] 1; 1], % em [ 1; 1], e& em [1; +1[. (b) 1 ) 2 e pontodem ³nimo local de f, 1 e pontodem aimo local. f( 1) = 2, f(1) = 2. (c) f 00 () = 8(2 3) (1 + 2 ) 3. A curva = f() e _ em ] 1; p 3[, ^ em ] p 3; 0[, _ em ]0; p 3[ e ^ em p 3; +1[. (d) Os pontos de in e~ao do gr a co s~ao ( p 3; p 3), (0; 0) e ( p 3; p 3) (e) A unica ra ³z de f e 0. (f) lim f() =0, lim f() =0.!+1! 1 Esbo»cos dos gr a cos: (-1,3) (2,4)